Algebra Linear-resumoU3

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MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear
Unidade 3 - Transformac¸o˜es elementares de matrizes,
matriz escaloconada
A. Hefez e C. S. Fernandez
Resumo elaborado por Paulo Sousa
PROFMAT - SBM
10 de agosto de 2013
Transformac¸o˜es elementares de matrizes
Nesta unidade, reinterpretaremos na matriz ampliada associada a um
sistema de equac¸o˜es lineares as transformac¸o˜es que se efetuam nos
sistemas de equac¸o˜es ao longo do processo de eliminac¸a˜o, explici-
tando seu cara´ter algor´ıtmico, ou seja, de procedimento sistema´tico
e efetivo.
O me´todo de eliminac¸a˜o em sistemas de equac¸o˜es lineares consiste em
efetuar repetidamente transformac¸o˜es elementares sobre um sistema
de equac¸o˜es lineares, de modo a ir obtendo sistemas equivalentes, ate´
reduzir o sistema original a um sistema de fa´cil resoluc¸a˜o.
Esse me´todo e´ essencialmente devido a Gauss e foi aperfeic¸oado por
Camille Jordan e, por este motivo, e´ chamado de eliminac¸a˜o de Gauss-
Jordan.
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Transformac¸o˜es elementares de matrizes
Seja A uma matriz m por n. Para cada 1 6 i 6 m, denotemos por Li
a i-e´sima linha de A. Definimos as transformac¸o˜es elementares nas
linhas da matriz A como segue:
I Permutar linhas Li e Lj , indicada por Li ↔ Lj ;
I Substituic¸a˜o de uma linha Li pela adic¸a˜o desta mesma linha com
c vezes uma outra linha Lj , indicada por Li ↔ Li + cLj ;
I Multiplicac¸a˜o de uma linha Li por um nu´mero real c na˜o nulo,
indicada Li ↔ cLi .
Exemplo: [
3 0 3 12
2 1 −1 3
]
L1↔ 13L1−→
[
1 0 1 4
2 1 −1 3
]
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Transformac¸o˜es elementares de matrizes
[
1 0 1 4
2 1 −1 3
]
L2↔−2L1+L2−→
[
1 0 1 4
0 1 −3 −5
]
.
Sejam A e B matrizes de ordem m×n. A matriz A e´ dita ser equiva-
lente por linhas a` matriz B se B pode ser obtida de A pela aplicac¸a˜o
sucessiva de um nu´mero finito de transformac¸o˜es elementares sobre
linhas.
Observe que a noc¸a˜o de equivaleˆncia de matrizes por linhas corres-
ponde a` noc¸a˜o de equivaleˆncia de sistemas lineares quando se efetuam
as respectivas transformac¸o˜es sobre as equac¸o˜es. De fato, a sistemas
equivalentes, correspondem matrizes associadas equivalentes, e vice-
versa.
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Forma escalonada de uma matriz
Toda matriz pode ser transformada por meio de uma sequeˆncia de
transformac¸o˜es elementares sobre linhas numa matriz em uma forma
muito especial, a forma escalonada, que sera´ utilizada na pro´xima
unidade para resolver sistemas de equac¸o˜es lineares.
Seja A uma matriz m × n. Dizemos que a matriz A esta´ na forma
escalonada se as seguintes condic¸o˜es sa˜o cumpridas:
1. As (poss´ıveis) linhas nulas ficam abaixo das (poss´ıveis) linhas na˜o
nulas;
2. O primeiro termo na˜o nulo de cada linha na˜o nula e´ igual a 1;
3. Os demais termos da coluna, a` qual pertence o primeiro termo
na˜o nulo de uma linha na˜o nula, sa˜o todos nulos;
4. Se L1, L2 . . . , Lp sa˜o as linhas na˜o nulas e o primeiro elemento na˜o
nulo da linha Li ocorre na coluna ki , enta˜o k1 < k2 < · · · < kp.
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Forma escalonada de uma matriz
Exemplos:
[
1 0 1 4
0 1 −3 −5
]
,
 1 0 0 −10 0 1 5
0 0 0 0
 ,
 1 −2 0 00 0 1 3
0 0 0 0
 , In.
O resultado que apresentaremos a seguir nos garantira´ que toda ma-
triz e´ equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada. O
interesse desse resultado reside no fato que ao reduzir a matriz am-
pliada associada a um dado sistema de equac¸o˜es lineares a` forma
escalonada, encontramos um outro sistema equivalente ao sistema
dado que se encontra em sua expressa˜o mais simples. Quando apli-
cado aos sistemas de equac¸o˜es lineares, este resultado e´ chamado de
processo de eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan.
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Forma escalonada de uma matriz
Teorema: Toda matriz e´ equivalente por linhas a uma matriz na
forma escalonada.
O me´todo apresentado no exemplo a seguir, para obtermos uma ma-
triz equivalente por linhas a uma matriz dada, pode ser generalizado
de forma a obtermos uma demonstrac¸a˜o do teorema acima.
Exemplo:

1 1 5 −8 1
1 4 13 −3 1
−2 1 −2 21 −2
0 3 8 5 0
 L2↔L2−L1−→

1 1 5 −8 1
0 3 8 5 0
−2 1 −2 21 −2
0 3 8 5 0

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Forma escalonada de uma matriz
L3↔2L1+L3−→

1 1 5 −8 1
0 3 8 5 0
0 3 8 5 0
0 3 8 5 0
 L4↔L2−L4−→

1 1 5 −8 1
0 3 8 5 0
0 3 8 5 0
0 0 0 0 0
 L3↔L2−L3−→

1 1 5 −8 1
0 3 8 5 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 L2↔ 13L2−→

1 1 5 −8 1
0 1 8/3 5/3 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 L1↔L1−L2−→

1 0 7/3 −29/3 1
0 1 8/3 5/3 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 .
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