Matemática Básica - As quatro operações básicas.

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Algarismos são símbolos que usamos para representar concretamente um número.
Algarismos indo-arábicos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
Ordem: A posição de cada algarismo será importante para representação do número.
Exemplo: 123 é diferente de 231
No primeiro número 1 vale 100, 2 vale 20 e 3 vale 3
No segundo número 1 vale 1, 3 vale 30 e 2 vale 200
Classe: Classificação do algarismo, teremos classes infinitas.
Exemplo: unidades, centenas, milhares, milhões, ...
Assim conseguimos nomear qualquer algarismo em um número.
Exemplo: 123.457.901
123.457.901 tem 3 classes e ordem 9
1 unidade 7 unidade de milhar 3 unidade de milhão
0 dezena 5 dezena de milhar 2 dezena de milhão
9 centena 4 centena de milhar 1 centena de milhão 
 MILHÃO MILHAR UNIDADE CLASSE
C D U C D U C D U ORDEM 
a + b = c
M A T E M Á T I C A D O Z E R O ! P R O F . J O H N N Y
AS QUATRO OPERAÇÕES BÁSICAS
ALGARISMOS
 NÚMEROS NATURAIS NOMENCLATURA DA ADIÇÃO
 1 2 3 4 5 7 9 0 1
Números Naturais são os números
utilizados na contagem:
N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
Por isso o conjunto é chamado de infinito
contável, já que mesmo o número de
elementos sendo infinito sempre é
possível descobrir qual será o próximo
número.
 parcela parcela total
ADIÇÃO
Resolvendo uma adição: Para resolver uma adição é necessário somar algarismos de cada
ordem específica por vez.
Exemplo: 12 + 14 
Exemplo 2: 17 + 26
Exemplo 3: 123 + 188
Agora somamos unidade com unidade e dezena com dezena.
Unidades: 2 + 4 = 6
Dezenas: 1 + 1 = 2
Total: 26
C D U 
 1 2
 1 4
 
C D U 
 1 7
 2 6
 4 3TOTAL
 
C D U 
1 2 3
 1 8 8
 3 1 1TOTAL
Agora somamos unidade com unidade, dezena com dezena e
centena com centena.
Unidades: 3 + 8 = 11
Perceba que 11 não pode estar nas unidades, então vamos deixar o
1 nas unidades e mandar o outro 1 para as dezenas.
Dezenas: 1+ 2 + 8 = 11
Mais uma vez não podemos deixar 11 nas dezenas, assim teremos
que deixar o 1 nas dezenas e mandar o outro 1 para as centenas.
Centenas:
1 + 1 + 1 = 3
Total = 311
CONHECIMENTO PRÉVIO - NATURAIS
M A T E M Á T I C A D O Z E R O ! P R O F . J O H N N Y
OPERANDO
 2 6TOTAL
Agora somamos unidade com unidade e dezena com dezena.
Unidades: 7 + 6 = 13
Perceba que 13 não pode estar nas unidades, então vamos deixar o 3 nas
unidades e mandar o 1 para as dezenas.
Dezenas: 1 + 1 + 2 = 4
Total: 43
Comutativa
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
Associativa Elemento neutro
a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a
+1
+1+1
SUBTRAÇÃO
M A T E M Á T I C A D O Z E R O ! P R O F . J O H N N Y
NÚMEROS INTEIROS
Números Inteiros são os números
naturais e seus simétricos.
Z = {...; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ...}
Os Inteiros também é um conjunto infinito
contável, já que mesmo o número de
elementos sendo infinito sempre é
possível descobrir qual será o próximo
número.
a - b = c
NOMENCLATURA DA SUBTRAÇÃO
 minuendo subtraendo diferença
OPERANDO
Resolvendo uma subtração: Para resolver uma subtração é necessário subtrair algarismos de
cada ordem específica por vez.
Exemplo: 255 - 131
Exemplo 2: 345 - 136
 
C D U 
 2 5 5
 1 3 1
 1 2 4TOTAL
Agora subtraímos unidade com unidade, dezena com dezena e
centena com centena.
Unidades: 5 - 1 = 4
Dezenas: 5 - 3 = 2
Centenas: 2 - 1 = 1
Total: 124
 
C D U 
 1 3 6
 2 0 9TOTAL
 3 4 3 15
Agora subtraímos unidade com unidade, dezena com dezena e
centena com centena.
Unidades: 5 - 6 = ? 
Perceba o problema, não conseguimos encontrar uma solução nos
Naturais, por isso o 5 "emprestará" 1 do 4 (dezena) e se tornará 15
Unidade: 15 - 6 = 9
Dezenas: 4 - 1 - 3 = 0
Centenas: 3 - 1 = 2
Total: 209
Esses exemplos são possíveis já que o minuendo é maior que o subtraendo, mas e se fosse o
oposto? Seria possível resolver?
Resolvendo uma subtração com subtraendo maior que o minuendo: Aqui é importante que
você conheça os Números Inteiros e como eles são utilizados. Se você tira uma parte maior do
que você tinha você ficará devendo. Se você tem 90 reais e precisa pagar 100 reais, você ficará
devendo 10 reais, ou seja, seu saldo será de -10 reais.
Pensando nisso, na hora de resolver uma subtração estude o minuendo e o subtraendo, caso o
subtraendo for maior, o total será negativo, porém na hora de operar subtraia o menor do
maior.
Exemplo: 131 - 255
Perceba que a 255 - 131 = 124 e 131 - 255 = -124
Exemplo 2: 54 - 136
 
C D U 
 5 4
 8 2TOTAL
 1 13 6
M A T E M Á T I C A D O Z E R O ! P R O F . J O H N N Y
OPERANDO
 
C D U 
 1 3 1
 2 5 5
 1 2 4TOTAL
Antes de mais nada estudaremos o sinal, neste caso como o
subtraendo é maior que o minuendo, o sinal será negativo, porém
para operar faremos 255 - 131
Unidades: 5 - 1 = 4
Dezenas: 5 - 3 = 2
Centenas: 2 - 1 = 1
Total: -124
Antes de mais nada estudaremos o sinal, neste caso como o
subtraendo é maior que o minuendo, o sinal será negativo, porém
para operar faremos 136 - 54
Unidades: 6 - 4 = 2
Dezenas: 3 - 5 = ?
Mais uma vez não temos resposta nos Naturais para essa operação,
assim vamos "emprestar" o 1 das centenas e nas dezenas ficará 13
13 - 5 = 8
Total: -82
CONHECIMENTO PRÉVIO - NATURAIS
Não é Comutativa
PROPRIEDADES DA SUBTRAÇÃO
Não é Associativa
a - b = b - a (a - b) - c = a - (b - c)
Elemento Neutro
a - 0 = a
Anulação
a - a = 0
MULTIPLICAÇÃO
Multiplicação é uma soma disfarçada
Exemplo: 2 x 3 = 2 + 2 + 2 = 6
 
 3 vezes
a x b = c
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O QUE É UMA MULTIPLICAÇÃO NOMENCLATURA DA MULTIPLICAÇÃO
 fator fator produto
TABUADA
NOTAÇÕES PARA MULTIPLICAÇÃO
a x b a . b a(b)
1 X 1 = 1
1 X 2 = 2
1 X 3 = 3
1 X 4 = 4
1 X 5 = 5
1 X 6 = 6
1 X 7 = 7
1 X 8 = 8
1 X 9 = 9
1 X 10 = 10
2 X 1 = 2
2 X 2 = 4
2 X 3 = 6
2 X 4 = 8
2 X 5 = 10
2 X 6 = 12
2 X 7 = 14
2 X 8 = 16
2 X 9 = 18
2 X 10 = 20
3 X 1 = 3
3 X 2 = 6
3 X 3 = 9
3 X 4 = 12
3 X 5 = 15
3 X 6 = 18
3 X 7 = 21
3 X 8 = 24
3 X 9 = 27
3 X 10 = 30
4 X 1 = 4
4 X 2 = 8
4 X 3 = 12
4 X 4 = 16
4 X 5 = 20
4 X 6 = 24
4 X 7 = 28
4 X 8 = 32
4 X 9 = 36
4 X 10 = 40
6 X 1 = 6
6 X 2 = 12
6 X 3 = 18
6 X 4 = 24
6 X 5 = 30
6 X 6 = 36
6 X 7 = 42
6 X 8 = 48
6 X 9 = 54
6 X 10 = 60
5 X 1 = 5
5 X 2 = 10
5 X 3 = 15
5 X 4 = 20
5 X 5 = 25
5 X 6 = 30
5 X 7 = 35
5 X 8 = 40
5 X 9 = 45
5 X 10 = 50
7 X 1 = 7
7 X 2 = 14
7 X 3 = 21
7 X 4 = 28
7 X 5 = 35
7 X 6 = 42
7 X 7 = 49
7 X 8 = 56
7 X 9 = 63
7 X 10 = 70
8 X 1 = 8
8 X 2 = 16
8 X 3 = 24
8 X 4 = 32
8 X 5 = 40
8 X 6 = 48
8 X 7 = 56
8 X 8 = 64
8 X 9 = 72
8 X 10 = 80
9 X 1 = 9
9 X 2 = 18
9 X 3 = 27
9 X 4 = 36
9 X 5 = 45
9 X 6 = 54
9 X 7 = 63
9 X 8 = 72
9 X 9 = 81
9 X 10 = 90
10 X 1 = 10
10 X 2 = 20
10 X 3 = 30
10 X 4 = 40
10 X 5 = 50
10 X 6 = 60
10 X 7 = 70
10 X 8 = 80
10 X 9 = 90
10 X 10 = 100
Como resolver qualquer tabuada
Lembre sempre do x10 e do x5 e depois some ou subtraia o quanto necessário.
Exemplo: 
8 x 7 = 8 x 5 + 8 + 8
8 x 7 = 40 + 16 = 56
Exemplo 2 :
9 x 9 = 9 x 10 - 9
9 x 9 = 90 - 9 = 81
Perceba o padrão. Sempre
a próxima operação é o
resultado anterior somado
ao dono da tabuada.
Exemplo:3 x 4 = 12
3 x 5 = 15 = 12 + 3
3 x 6 = 18 = 15 + 3
3 x 7 = 21 = 18 + 3
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OPERANDO COM NATURAIS
Resolvendo uma multiplicação: Para resolver basta operar cada algarismo de um número
com cada algarismo de outro número.
Exemplo: 25 x 3
Exemplo 2: 14 x 8
Exemplo 3: 13 x 12
 
C D U 
 3
 7 5TOTAL
 2 5
+1
Multiplicando o 3 por 5 temos 15, como 15 não pode ser unidade,
ficaremos com o 5 e mandaremos o 1 para as dezenas.
Multiplicando o 3 por 2 temos 6, com +1 que foi mandado temos 7.
Total: 75
 
C D U 
 8
1 1 2TOTAL
 1 4
Multiplicando o 8 por 4 temos 32, como 32 não pode ser unidade,
ficaremos com o 2 e mandaremos o 3 para as dezenas.
Multiplicando o 8 por 1 temos 8, com +3 que foi mandado temos 11,
como 11 não pode ser uma dezena ficaremos com o 1 e o outro vira
centena.
Total: 112
+3
 
C D U 
 1 2
 2 6
TOTAL
 1 3
 1 3 0
 1 5 6
Multiplicando o 2 por 3 temos 6.
Multiplicando o 2 por 1 temos 2.
Ao usar a unidade temos 26 até agora, agora vamos para a
dezena.
Multiplicando 1 por 3 temos 3.
Multiplicando 1 por 1 temo 1.
Após essas multiplicações temos 13 nas dezenas e por isso o total
será 130, já que 13 dezenas são 130.
Total: 26 + 130 = 156
E se ao invés de apenas Números Naturais também quiséssemos multiplicar números
inteiros? Isso seria possível?
(+) . (+) = (+) (+) . ( - ) = ( - ) Exemplo: -2 . 3 = -6
( - ) . ( - ) = (+) ( - ) . (+) = ( - ) -2 . (-3) = 6
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REGRINHA DE SINAIS
Ao multiplicar números com mesmo sinal teremos um resultado positivo e números com
sinais diferentes teremos um resultado negativo.
A operação continua a mesma, a única diferença é que é necessário estudar os sinais antes.
Exemplo: 25 x (-3)
Exemplo 2: -12 x (-13)
OPERANDO COM NEGATIVOS
 
C D U 
 3
 7 5TOTAL
 2 5
+1
Como temos um número negativo e um positivo o resultado será
negativo.
Multiplicando o 3 por 5 temos 15, como 15 não pode ser unidade,
ficaremos com o 5 e mandaremos o 1 para as dezenas.
Multiplicando o 3 por 2 temos 6, com +1 que foi mandado temos 7.
Total: -75
 
C D U 
 1 2
 2 6
TOTAL
 1 3 0
 1 5 6
Como ambos os números são negativos teremos um resultado
positivo.
Multiplicando o 2 por 3 temos 6.
Multiplicando o 2 por 1 temos 2.
Ao usar a unidade temos 26 até agora, agora vamos para a
dezena.
Multiplicando 1 por 3 temos 3.
Multiplicando 1 por 1 temo 1.
Após essas multiplicações temos 13 nas dezenas e por isso o total
será 130, já que 13 dezenas são 130.
Total: 26 + 130 = 156
 1 3
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
Comutativa Associativa Elemento neutro
a . b = b . a (a . b) . c = a . (b . c) a . 1 = a
Distributiva
(a + b). c = a.c + b.c
Anulação
a . 0 = 0
DIVISÃO
Números Racionais são os números que
podem ser representados como:
 a 
 b sendo a e b pertencentes aos Inteiros.
Exemplos: 1 ; 5 ; 7 ; ...
 2 4 7 
Esses números também podem ser escritos
como um número decimal.
Exemplos: 0,5 ; 1,25 ; 1 ; ...
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NÚMEROS RACIONAIS
Frações servem para representar partes
de um todo.
Por exemplo: 1 é uma parte de dois.
FRAÇÕES
2
1
2
1
2
NOMENCLATURA
a : b = c
 dividendo divisor quociente
ALGARITMO DE EUCLIDES
a = c.b + r
resto
DIVISÍVEL X NÃO DIVISÍVEL
r = 0 é divisível
r = 0 não é divisível
NOTAÇÃO
a : b
a : b
a/b
(+) : (+) = (+) (+) : ( - ) = ( - ) Exemplo: -6 : 3 = -2
( - ) : ( - ) = (+) ( - ) : (+) = ( - ) -9 : (-3) = 3
REGRINHA DE SINAIS
A regra de sinais também se aplica na divisão.
Resolvendo uma divisão: Para resolver uma divisão usaremos o método da chave, olharemos
para o divisor e encontraremos por qual número multiplicar para dar o dividendo.
Exemplo: 15 : 5
 15 | 5
 - 15 3
 0 
Exemplo 2: 19 : 3
 19 | 3
 -18 6
 01
Caso encontrar o quociente de uma só vez seja difícil, podemos ir fazendo por partes.
Exemplo 3: 210 : 5
 210 | 5
-20 42
 10
 -10
 00
Exemplo 4: -15 : 5
 15 | 5
- 15 3
 00
OPERANDO
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Como 5 x 3 = 15, sabemos que nosso quociente será o 3.
Aqui não temos números divisíveis, porém 3 . 6 = 18, sendo este o número
mais próximo.
Pelo Algoritmo de Euclides teremos:
19 = 3.6 + 1
Ao invés de olhar para o 210, olharemos apenas para o 21, assim sabemos
que 5 x 4 = 20
Após subtrair sobra 1, o zero cai e temos 10. Sabemos que 5 x 2 = 10.
Total: 42
Estudando os sinais sabemos que o resultado será negativo.
Como 5 x 3 = 15, sabemos que nosso quociente será o 3.
Quociente: -3
CONHECIMENTO PRÉVIO - NATURAIS
Não Comutativa
PROPRIEDADES DA DIVISÃO
Elemento neutro
a : b = b : a a : 1 = a
AS QUATRO OPERAÇÕES BÁSICAS
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Adição e Subtração são operações inversas
Caso eu some e logo depois subtraia o mesmo valor, eu voltarei ao resultado inicial e vice-
versa.
b + a - a = b
b - a + a = b
Exemplo: 
5 + 4 - 4 = 5
Exemplo 2:
6 - 5 + 5 = 6
Multiplicação e Divisão são operações inversas
Caso eu multiplique e logo depois divida o mesmo valor, eu voltarei ao resultado inicial e vice-
versa.
b . a : a = b
b : a . a = b
Exemplo: 
(5 : 4) . 4 = 5
Exemplo 2:
(6 . 5) : 5 = 6
Comutativa: adição e multiplicação.
Associativa: adição e multiplicação.
Distributiva: multiplicação.
Elemento neutro: adição (0), subtração (0), multiplicação (1) e divisão (1).
Anulação: multiplicação.
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RELAÇÃO ENTRE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
RELAÇÃO ENTRE MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
PROPRIEDADES
Matemática e
outras
incógnitas
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