P1 Matemática Financeira UFRJ 2020

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Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ
1a Lista-Prova de Matemática Financeira
Turma: MAD366 Prof. Rafael Santos Entrega: Dia 12/01/2021 até 22:00
Regras e informações:
� Caso haja indicativos fortes de fraude (cola) em alguma(s) questão(ões), todos os envolvidos serão devi-
damente penalizados (inclusive o aluno que resolveu de fato, mas cometeu a infelicidade de compartilhar
sua solução). Tal penalidade pode chegar inclusive a atribuição de nota zero para a lista inteira.
� Todas as respostas devem ser justificadas de modo bem completo, com o aluno explicando seu racioćınio
com palavras (não respondam apenas com cálculos, sem explicações em palavras!). Respostas com um
resultado final correto, mas sem as devidas justificativas, terão descontos na pontuação, podendo até
mesmo serem desconsideradas. Além disso, a pontuação será dada gradativamente de acordo com o
desenvolvimento da questão, então evitem deixar em branco, coloquem o pensamento de vocês.
Escrevam bastante! Justifiquem tudo!
� Informações sobre formatação da lista e forma de envio devem ser consultadas no site do curso.
� Quando não for informado explicitamente a periodicidade com que as capitalizações ocorrem, assuma que
elas ocorrerão na mesma periodicidade com a qual a taxa de juros foi informada.
� Quando não for informado qual regime de capitalização, utilize o regime composto. Além disso, quando
precisar lidar com peŕıodos fracionários nesse regime, utilize a convenção exponencial, a menos que seja
pedido de forma expĺıcita que seja usada outra convenção espećıfica no exerćıcio.
� Atenção: Sempre que aparecer a letra λ nos enunciados, o aluno deve substituir essa letra por seu número
da pauta na disciplina e resolver considerando esse número (desde o ińıcio da solução. Não é permitido
que apareça a letra λ durante a solução). A pauta, onde esse número pode ser consultado, consta
no site.
Questão 1: (2,2 pontos) Considere o fluxo de caixa ilustrado na figura abaixo:
(a) (0,4 ponto) Interprete a figura e crie uma breve historinha de poucas linhas que ilustre um contexto que
seja compat́ıvel com o fluxo de caixa ilustrado.
(b) (0,8 ponto) Calcule o saldo que esse fluxo apresenta em t = 89 dias, considerando regime de capitalização
simples com taxa de juros variável, de modo que no primeiro mês a taxa seja 2% a.m. e nos meses seguintes
seja 0, 03(1 + 0, 02λ) a.m.
(c) (1,0 ponto) Calcule o saldo que esse fluxo apresenta em t = 89 dias, considerando regime de capitalização
composta com taxa de juros 12% a.s. capitalizada a cada peŕıodo de 3 + b0, 2λc dias e utilizando a convenção
linear para lidar com peŕıodos fracionários.
Nota: A notação bxc significa maior inteiro que seja menor ou igual a x (ou seja, pega-se apenas a parte
inteira do número).
Questão 2: (2,5 pontos) Um indiv́ıduo tem uma d́ıvida que, a prinćıpio, vai ser quitada com 3 pagamentos
nos valores de X reais, Y reais e Z reais, a serem pagos respectivamente daqui a 73 dias, 5 meses e 3 semestres.
Nesse contexto, faça o que é pedido:
Passo 1: Escolha os valores de X, Y e Z. Cada aluno deve escolher quais quantias monetárias que vão ser
usadas nesse exerćıcio. Uma vez escolhido, o aluno deve indicar a escolha desses 3 valores no ińıcio da solução
e utilizá-los em todos os itens dessa questão. As regras para escolha são: Os 3 valores precisam ser distintos,
estarem dentro da faixa de 1.000 à 100.000 e não podem terminar com algarismo zero.
Passo 2: A partir dos valores escolhidos, resolva os itens abaixo:
(a) (1,0 ponto) Suponha que o indiv́ıduo faz uma nova proposta: Ele deseja quitar essa d́ıvida com 2 paga-
mentos de igual valor, um para ser realizado daqui a 3 trimestres e outro daqui a 2 anos. Considerando regime
de juros simples com taxa de juros de 3% a.m. e data focal no mês 1 + b0, 3λc, calcule o valor dos pagamentos
na nova proposta.
(b) (0,8 ponto) Suponha que o indiv́ıduo deseja quitar essa d́ıvida com um único pagamento a ser realizado
daqui a λmeses. Considerando regime de juros compostos com capitalização cont́ınua e taxa de juros instantânea
de 20% a.a., calcule o valor desse pagamento único.
(c) (0,7 ponto) Calcule o prazo médio de pagamento, considerando regime de juros compostos com taxa de
juros efetiva trimestral de 5%.
Questão 3: (0,7 ponto) Considere a frase: “Um capital aplicado no regime de juros compostos por um certo
peŕıodo sempre vai ter um rendimento igual ou superior ao que teria se fosse aplicado no regime de juros simples
durante o mesmo periodo e com mesma taxa de juros”.
Disserte sobre a frase acima. Você concorda? Discorda? Justifique da forma mais detalhada posśıvel.
Questão 4: (2,6 pontos) Resolva o que se pede em cada um dos itens abaixo:
(a) (0,8 ponto) Um capital de R$ 5.000, 00 foi aplicado por N bimestres à uma taxa instantânea variável de
acordo com a função δ(t) = 0, 0005λ+ 0, 006t, com t expresso em meses. Considerando que o montante após N
bimestres seja de R$ 7.200, 00, calcule o valor de N.
(b) (0,7 ponto) Um capital de R$7.500, 00 foi aplicado a uma taxa mensal q durante 1 ano e rendeu juros de
R$2.500. Considerando que nesse peŕıodo a taxa de inflação foi de 3% a.m. e que tiveram 252 dias úteis nesse
ano, calcule o valor da taxa real mensal de juros.
(c) (0,7 ponto) Um t́ıtulo de crédito no valor de R$20.000 vai ser descontado 400 dias antes de seu vencimento,
na modalidade de desconto comercial simples, com taxa de desconto informada pelo banco igual a 2% a.m.
Calcule a porcentagem do valor nominal do t́ıtulo que vai ser perdida com o desconto.
(d) (0,4 ponto): Uma das operações apresentadas entre os outros três itens desse exerćıcio contraria uma
premissa de matemática financeira e portanto (quase) certamente jamais seria encontrada em uma situação
real. Aponte qual delas e justifique.
Questão 5: (2,4 pontos) Marque verdadeiro ou falso para as afirmações abaixo. Se for verdadeiro, justifique
rigorosamente ou demonstre. Se for falso, apresente sua correção e justifique-a rigorosamente; ou apresente um
contra-exemplo, devidamente explicado. Respostas sem justificativa serão automaticamente desconsideradas.
(a) (0,6 ponto) Considere que temos uma aplicação no regime composto por um peŕıodo de n /∈ N meses e
que a única informação que desconhecemos sobre essa aplicação é justamente o valor de n. Pode-se afirmar
que ao calcularmos esse valor considerando a convenção linear, iremos certamente encontrar um valor menor ou
igual do que se calculassemos pela convenção exponencial.
(b) (0,6 ponto) Considere que temos uma aplicação de 1.000λ reais rendendo a uma taxa over h% (mensal) e
uma aplicação de R$1.010λ rendendo a uma taxa instantânea de mesmo valor h% (mensal). Podemos afirmar
que existe pelo menos um valor de h pertencente ao intervalo (0,100) que faz com que o montante dessas
aplicações consigam se igualar em tempo finito.
(c) (0,6 ponto) três capitais de mesmo valor P serão aplicados em três investimentos distintos durante 1 ano
(que contempla 252 dias úteis) conforme descrito abaixo:
(i) O capital vai render de acordo com uma taxa de juros efetiva diária de 0, 05%
(ii) O capital vai render de acordo com uma taxa de juros efetiva semestral de 9, 4%
(iii) O capital vai render de acordo com uma taxa over mensal de 2%
Podemos afirmar que os montantes obtidos com cada aplicação ao final de um ano vão estar de acordo com
a desigualdade S(i) > S(ii) > S(iii).
(d) (0,6 pontos) O portador de um cheque de valor nominal N vai descontá-lo 90 dias antes do seu vencimento
na modalidade de desconto comercial composto com taxa de desconto declarada igual a 4% a.m. Ele realizou
essa operação com objetivo de aplicar esse capital resgatado em uma boa oportunidade de investimento que
oferecia uma taxa efetiva mensal de rendimento igual a 4, 1%. Dessa forma, o portador do cheque de fato sai
ganhando pois consegue chegar na data de vencimentodo cheque com um capital superior a N .
BOA SORTE! :)