aula 5 Estátistica e Probabilidade

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DESCRIÇÃO
Introdução a variáveis aleatórias discretas, distribuições Bernoulli e binomial, distribuições geométrica e hipergeométrica, distribuição de Poisson.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos associados às variáveis aleatórias discretas e as principais distribuições discretas de probabilidade.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos de variáveis aleatórias discretas unidimensionais
MÓDULO 2
Descrever as distribuições de Bernoulli e binomial
MÓDULO 3
Descrever as distribuições geométrica e hipergeométrica
MÓDULO 4
Descrever a distribuição de Poisson
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS UNIDIMENSIONAIS
/
MÓDULO 1
 Descrever os conceitos de variáveis aleatórias discretas unidimensionais
INTRODUÇÃO
Iniciaremos o estudo de um dos tópicos mais importantes da teoria das probabilidades. Aqui serão vistos todos os conceitos fundamentais que nos
levarão ao bom entendimento de variáveis aleatórias discretas unidimensionais e das principais distribuições de probabilidades discretas.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Seja E um experimento aleatório e S o espaço amostral associado a esse experimento. Uma função X que associa o número real X(s) a cada
elemento s ∈ S é chamada variável aleatória.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Considere o experimento aleatório de lançar 3 moedas. Seja X a variável aleatória que conta o número de caras nesse experimento.
S = { (C, C, C), (C, C, K), ... , (K, K, K)}
, onde os valores que X assume são 0, 1, 2 e 3. Por exemplo:
X({C, C, C)) = 3, X((C, C, K) = 2, ... X((K, K, K) = 0.
/
Seja X uma variável aleatória que representa o número de acidentes de trânsito por dia em determinado local.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Seja X uma variável aleatória. Se os possíveis valores assumidos por X forem finitos ou infinitos enumeráveis, dizemos que X é uma variável aleatória
discreta.
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
(FUNÇÃO DE MASSA DE PROBABILIDADE)
É uma função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória uma probabilidade dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Devendo satisfazer às seguintes condições:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
3. Considere o exemplo do lançamento de 3 moedas. Determine a distribuição da probabilidade desse experimento e obtenha seu respectivo gráfico.
X 0 1 2 3 Somatório
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
/
 
Fonte: Wikipedia
FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA (REPARTIÇÃO)
Seja X uma variável aleatória discreta. Define-se por função distribuição acumulada a seguinte expressão:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROPRIEDADES
A) 
B) 
C) 
D) 
E) É Í À
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
4. Exemplo do lançamento das 3 moedas. Determine a função distribuição acumulada.
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ESPERANÇA MATEMÁTICA
(VALOR ESPERADO OU MÉDIA)
Seja X uma variável aleatória. O valor esperado ou média de uma variável aleatória é representado pela seguinte expressão:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
5. Exemplo das 3 moedas. Seja X: “Número de caras no lançamento de 3 moedas”. Então, a esperança matemática de X é dada por:
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROPRIEDADES
Considere X e Y variáveis aleatórias e a e b constantes. Então:
a) E(aX)=a.E(X);
b) E(aX±b)=a.E(X)±b;
c) E(aX±bY)=a.E(X)±b.E(Y);
d) E(XY)=E(X).E(Y), se X e Y forem independentes; e
e) E(XY)=E(X).E(Y)+cov(X,Y), se X e Y não forem independentes.
Em que cov(X,Y)=[(X-E(X))(Y-E(Y))] é chamada covariância de X e Y.
VARIÂNCIA
Seja X uma variável aleatória discreta. Então, a variância de X é dada por:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
PROPRIEDADES
Sejam X e Y variáveis aleatórias e a e b constantes, então:
a)
b) 
c) forem independentes, caso contrário:
d) Em que cov(X,Y)=E(XY)-E(X).E(Y) é a covariância.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE UMA MOEDA HONESTA. JOGA-SE ESSA MOEDA 4 VEZES. SEJA X A VARIÁVEL ALEATÓRIA QUE
REPRESENTA O NÚMERO DE CARAS. QUAIS OS POSSÍVEIS VALORES DESSA VARIÁVEL ALEATÓRIA?
A) {0, 1, 2, 3}
B) {1, 2, 3}
C) {0, 1, 2, 3, 4}
D) {1, 2, 3, 4}
E) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
2. CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR, QUAL SERIA O VALOR ESPERADO DO NÚMERO DE CARAS?
A) 1
B) 2
C) 5/2
D) 3
E) 10/3
3. UM JOGADOR PARTICIPA DE UM JOGO DE APOSTA QUE CONSISTE EM LANÇAR UM DADO. SE O DADO
RESULTAR EM FACE 6, ELE GANHA R$10,00, CASO CONTRÁRIO, ELE PERDE R$5,00. DEPOIS DE 2 RODADAS, OU
SEJA, DE LANÇARMOS O DADO DUAS VEZES, QUAL A PROBABILIDADE DESSE JOGADOR TER GANHO
POSITIVO?
A) 1/36
B) 1/6
C) 5/18
D) 11/36
E) 1/3
/
4. CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR, QUAL SERIA O GANHO ESPERADO DO JOGADOR?
A) -5
B) 0
C) 5
D) 10
E) 20
5. SUPONHA QUE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA TENHA A SEGUINTE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE:
X 0 1 2 3
P(X = X) 0,10 0,30 0,40 0,20
 
 
DETERMINE A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA PARA X = 2.
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 0,1
B) 0,3
C) 0,4
D) 0,7
E) 0,8
6. CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR, QUAL SERIA A VARIÂNCIA DA VARIÁVEL ALEATÓRIA X?
A) 0,81
B) 1,7
C) 3,7
D) 4,2
E) 4,64
GABARITO
1. Considere uma moeda honesta. Joga-se essa moeda 4 vezes. Seja X a variável aleatória que representa o número de caras. Quais os
possíveis valores dessa variável aleatória?
A alternativa "C " está correta.
Veja que, no lançamento de uma moeda 4 vezes, podem ocorrer de 0 a 4 faces cara!
2. Considerando o enunciado anterior, qual seria o valor esperado do número de caras?
A alternativa "B " está correta.
/
Para determinar o valor esperado de X, precisamos inicialmente apontar a distribuição de probabilidade de X, ou seja, definir a probabilidade de cada
um dos seus possíveis valores. Para facilitar o cálculo dessas probabilidades, considere o seguinte espaço amostral associado ao experimento de
lançar 4 moedas:
S=C, C, C,C, C, C,C, K, C,C, K, C, C,K,C,C,K, C, C,C,C,C,K,K, C,K,C,K,C,K,K,C,K,C,C,K,K,C,K,C,K,K,C,C,K, K
(K,K,K,K)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
 
Daí,
X 0 1 2 3 4
P(X = x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando o resultado das probabilidades, temos:
X 0 1 2 3 4
P(X = x) 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, o valor esperado de X é dado por:
EX=0.PX=0+1.PX=1+2.PX=2+3.PX=3+4.P(X=4) 
EX=0.116+1.14+2.38+3.14+4.116=14+34+34+14=84=2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
3. Um jogador participa de um jogo de aposta que consiste em lançar um dado. Se o dado resultar em face 6, ele ganha R$10,00, caso
contrário, ele perde R$5,00. Depois de 2 rodadas, ou seja, de lançarmos o dado duas vezes, qual a probabilidade desse jogador ter ganho
positivo?
A alternativa "D " está correta.
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
4. Considerando o enunciado anterior, qual seria o ganho esperado do jogador?
A alternativa "A " está correta.
/
Para calcular o ganho esperado, basta aplicar a fórmula da esperança matemática
EX=(-10).PX=-10+5.PX=5+20.PX=20 
 
EX=-10.2536+5.1036+20.136=-25036+5036+2036=-18036=-5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Suponha que uma variável aleatória tenha a seguinte distribuição de probabilidade:
X 0 1 2 3
P(X = x) 0,10 0,30 0,40 0,20
 
 
Determine a função de distribuição acumuladapara X = 2.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
Observe que a função de distribuição acumulada é dada por:
FXX=0, SE X < 0 PX<0=00,1, SE 0≤X≤1 FX(0)=P(X≤0)=0,1 0,4, SE 1 ≤X<2 FX(1)=P(X≤1)=0,1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, Fx(2)=0,8
6. Considerando o enunciado anterior, qual seria a variância da variável aleatória X?
A alternativa "A " está correta.
Note que a variância de X é dada por:
V X=EX2-EX2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
EX=0×0,1+1×0,3+2×0,4+3×0,2=0+0,3+0,8+0,6=1,7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
EX2=02×0,1+12×0,3+22×0,4+32×0,2=0+0,3+1,6+1,8=3,7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
VX=3,7-1,72=0,81
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um banco oferece seguro residencial que cobre acidentes como incêndio e catástrofe no valor de R$100.000,00. Esse banco cobra do segurado uma
taxa anual de R$1.000,00. Sabendo que a probabilidade de ocorrer incêndio ou qualquer tipo de catástrofe em um ano é de 0,001, qual será o lucro
/
esperado por cliente do banco?
RESOLUÇÃO
ESPERANÇA (VALOR ESPERADO)
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA FAMÍLIA PRETENDE TER 3 FILHOS. SUPONDO QUE A CHANCE DE TER UM MENINO É A MESMA DE TER
UMA MENINA, E SENDO X A VARIÁVEL ALEATÓRIA QUE REPRESENTA O NÚMERO DE MENINAS, DETERMINE A
CHANCE DE X SER NO MÍNIMO IGUAL A 2.
A) 1/8
B) 3/8
C) 1/2
D) 5/8
E) 7/8
2. UM ESTUDANTE PODE ESCOLHER NO MÍNIMO UMA E NO MÁXIMO 4 DISCIPLINAS PARA FAZER NO SEMESTRE.
A PROBABILIDADE DE QUE O ESTUDANTE ESCOLHA 1, 2, 3 OU 4 DISCIPLINAS NO SEMESTRE É DE,
RESPECTIVAMENTE, 1/20, 1/4, 2/5 E 3/10. SABENDO QUE PARA CADA DISCIPLINA ESCOLHIDA ELE PAGA R$300,00,
QUAL É A DESPESA ESPERADA DESSE ESTUDANTE?
A) 525
B) 640
C) 735
D) 885
E) 910
GABARITO
1. Uma família pretende ter 3 filhos. Supondo que a chance de ter um menino é a mesma de ter uma menina, e sendo X a variável aleatória
que representa o número de meninas, determine a chance de X ser no mínimo igual a 2.
A alternativa "C " está correta.
Para resolver a questão, precisamos determinar inicialmente a distribuição de probabilidade de X. Assim,
/
X 0 1 2 3
P(X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Daí,
PX≥2=PX=2+PX=3=38+18=12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um estudante pode escolher no mínimo uma e no máximo 4 disciplinas para fazer no semestre. A probabilidade de que o estudante
escolha 1, 2, 3 ou 4 disciplinas no semestre é de, respectivamente, 1/20, 1/4, 2/5 e 3/10. Sabendo que para cada disciplina escolhida ele paga
R$300,00, qual é a despesa esperada desse estudante?
A alternativa "D " está correta.
Considere a variável aleatória D: “Despesa com disciplina”. Então, para uma disciplina, o estudante terá uma despesa de R$300,00, para duas
disciplinas terá uma despesa de R$600,00, e assim por diante, de forma que a distribuição de probabilidade de X é dada por:
D 300 600 900 1200
P(D = d) 1/8 3/8 3/8 1/8
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ED=300.120+600.14+900.25+1200.310=15+150+360+360=885
 
Logo, a despesa esperada será de R$885,00.
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MÓDULO 2
 Descrever as distribuições de Bernoulli e binomial
INTRODUÇÃO
A ideia do estudo das distribuições de probabilidade é determinar uma formulação matemática para fenômenos que ocorrem frequentemente no
cotidiano ou que se deseja calcular. A seguir, apresentaremos duas das principais distribuições discretas de probabilidade que têm características em
comum e muitas aplicações práticas.
DISTRIBUIÇÕES DE BERNOULLI E BINOMIAL
/
DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Considere uma única tentativa de um experimento que só tem dois possíveis resultados: Sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q,
na qual p+q=1.
Seja a variável aleatória X que representa o sucesso nessa única tentativa. Então, podemos dizer que X pode assumir dois valores: 0 (fracasso) e 1
(sucesso).
X 0 1
P(X=x) q p
 
Assim, a função de probabilidade da variável X pode ser dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NOTAÇÃO: X~BERNOULLI(P)
 
ESPERANÇA MATEMÁTICA (MÉDIA)
Como vimos, o conceito de esperança ou média é mais uma informação que é interessante conhecermos sobre a distribuição de probabilidade. Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VARIÂNCIA
Assim como a média, a variância é outra informação importante sobre o comportamento da dispersão em torno da média da distribuição de
probabilidade. Dessa forma,
/
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Observe que o desenvolvimento da distribuição de Bernoulli servirá como passo inicial para a formulação matemática de problemas que já resolvemos
na parte de probabilidade básica. No entanto, essa distribuição é limitada pelo fato de termos apenas uma única tentativa no experimento.
Veremos a seguir uma generalização da distribuição de Bernoulli.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
A distribuição binomial abrange uma quantidade significativa de aplicações e, por isso, tem grande importância dentro do estudo das probabilidades.
Vejamos como se caracteriza e quais informações podemos obter dessa distribuição.
Considere agora n tentativas sucessivas e independentes de um mesmo experimento que admite apenas dois possíveis resultados: Sucesso com
probabilidade p e fracasso com probabilidade q, na qual p+q=1.
Seja X = o número de sucessos nas n tentativas .
Desejamos determinar a função de probabilidade de X, ou seja, P(X=x). Desse modo, considere inicialmente um resultado particular (RP) dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as tentativas são sucessivas e independentes, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando todas as possíveis maneiras de combinar os sucessos, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NOTAÇÃO: X~B(N,P)
/
 
EXEMPLO
1. Considere um atirador amador que tem 50% de chances de acertar um alvo. Suponha que atirou 40 vezes em um alvo. Qual a probabilidade do
atirador ter acertado o alvo 15 vezes?
Solução:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Interpretação: A chance de sucesso do atirador é de aproximadamente 4%, apenas.
ESPERANÇA MATEMÁTICA
 
 
 
FAÇA Y = X-1
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Do binômio de Newton, temos , daí por analogia
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
 
/
VARIÂNCIA
Vimos que a variância de uma variável aleatória é dada por:
 
Como já calculamos E(X) no item anterior, precisamos calcular a E(X2 ). Assim,
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo y = x-2, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Daí,
 
Agora, calculando a variância de X, temos:
/
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
 
MÃO NA MASSA
1. UM DADO É LANÇADO UMA ÚNICA VEZ. SEJA A VARIÁVEL ALEATÓRIA X QUE REPRESENTA A RETIRADA DE
UM NÚMERO PAR NESSE ÚNICO LANÇAMENTO. QUAL O VALOR ESPERADO DE X?
A) 1/6
B) 1/4
C) 1/3
D) 1/2
E) 2/3
2. UMA MOEDA NÃO VICIADA É LANÇADA 10 VEZES. DETERMINE A PROBABILIDADE DE SE OBTER EXATAMENTE
2 CARAS.
A) 0,01
B) 0,04
C) 0,07
D) 0,10
E) 0,15
3.CONSIDERANDO O ENUNCIANDO DA QUESTÃOANTERIOR, A PROBABILIDADE DE OBTERMOS NO MÍNIMO 2
CARAS É APROXIMADAMENTE:
A) 0,90
B) 0,92
C) 0,95
D) 0,97
E) 0,99
/
4. UM CASAL QUER TER 5 FILHOS. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE, DESSES 5 FILHOS, NO MÁXIMO UM SEJA
MENINO? ADMITA QUE A PROBABILIDADE DE NASCER MENINO SEJA IGUAL A DE NASCER MENINA.
A) 0,112
B) 0,157
C) 0,188
D) 0,212
E) 0,250
5. NUMA FÁBRICA DE DISPOSITIVOS ELETRÔNICOS, 2% DA PRODUÇÃO É FORMADA POR ITENS DEFEITUOSOS.
UM LOTE É ACEITO PELO COMPRADOR SE TIVER NO MÁXIMO 3% DOS DISPOSITIVOS DEFEITUOSOS. ADMITA
QUE UM LOTE TENHA 100 DISPOSITIVOS. QUAL A PROBABILIDADE QUE O COMPRADOR REJEITE O LOTE?
A) 0,14
B) 0,20
C) 0,25
D) 0,30
E) 0,33
6. CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR, DETERMINE O NÚMERO MÉDIO DE DISPOSITIVOS
ELETRÔNICOS DEFEITUOSOS EM 10 LOTES.
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
GABARITO
1. Um dado é lançado uma única vez. Seja a variável aleatória X que representa a retirada de um número par nesse único lançamento. Qual o
valor esperado de X?
A alternativa "D " está correta.
 
Note que a variável aleatória X se caracteriza como uma distribuição de Bernoulli, pois temos uma única tentativa de um experimento, nesse
caso, o lançamento do dado, com dois resultados possíveis, sucesso quando o resultado do dado for par e fracasso quando o resultado for
ímpar. Além disso, sabemos que o valor esperado da distribuição de Bernoulli é p, que é a probabilidade de sucesso, portanto, a resposta é
1/2, visto que p = 3/6 = 1/2.
2. Uma moeda não viciada é lançada 10 vezes. Determine a probabilidade de se obter exatamente 2 caras.
A alternativa "B " está correta.
Seja X: “Obter cara no lançamento de uma moeda”. Veja que esse experimento se caracteriza como uma distribuição binomial, visto que
temos 10 tentativas sucessivas e independentes de um experimento, que nesse caso é o lançamento da moeda. Além disso, só temos dois
resultados possíveis para a variável aleatória que conta o número de caras, sucesso com probabilidade p = 1/2 e fracasso com probabilidade
q = 1/2. Assim,
SE X~BN,P⇒PX=X=NXPX1-PN-X
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Daí,
PX=2=102122128=0,044
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3.Considerando o enunciando da questão anterior, a probabilidade de obtermos no mínimo 2 caras é aproximadamente:
A alternativa "E " está correta.
Considere a variável aleatória X que representa o resultado cara.
PX≥2=1-PX<2=1-PX=0+PX=1 
=1-1001201210+101121129=0,9893
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Um casal quer ter 5 filhos. Qual a probabilidade de que, desses 5 filhos, no máximo um seja menino? Admita que a probabilidade de
nascer menino seja igual a de nascer menina.
A alternativa "C " está correta.
Seja a variável aleatória X que representa o número de meninos. Logo,
PX≤1=PX=0+PX=1=50120125+51121124=0,188
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Numa fábrica de dispositivos eletrônicos, 2% da produção é formada por itens defeituosos. Um lote é aceito pelo comprador se tiver no
máximo 3% dos dispositivos defeituosos. Admita que um lote tenha 100 dispositivos. Qual a probabilidade que o comprador rejeite o lote?
A alternativa "A " está correta.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
6. Considerando o enunciado da questão anterior, determine o número médio de dispositivos eletrônicos defeituosos em 10 lotes.
A alternativa "C " está correta.
Sabendo que o valor esperado de uma binomial com parâmetros n e p é igual a np, temos:
EX=NP=100×0,02=2
 
Como queremos a média para 10 lotes, temos: 10×2=20 dispositivos.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
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Um aluno está cursando a disciplina de Estatística na faculdade de Engenharia. Nas duas primeiras avaliações ele obteve notas 10 e 9,
respectivamente. No entanto, falta ainda a última avaliação na qual professor aplicará um teste de múltipla escolha contendo 50 questões,
cada uma com 5 itens. Sabe-se que a média para passar na disciplina é 7 e que o aluno só precisa obter uma nota 2 para ser aprovado. O
aluno, acreditando estar praticamente aprovado na disciplina, decide não estudar. Na aplicação do teste, ele observa que não sabe nenhuma
das questões e decide escolher aleatoriamente os itens de todas as perguntas. Qual a probabilidade desse aluno obter exatamente um 2
nesse teste?
RESOLUÇÃO
UMA APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA FÁBRICA DE MOTORES DE VENTILADORES MONTA 120 MOTORES POR MÊS E SEPARA 20 ITENS PARA
INSPEÇÃO. SABE-SE QUE, DOS MOTORES MONTADOS MENSALMENTE, 6 NÃO FUNCIONAM. QUAL A
PROBABILIDADE DE TODOS OS MOTORES INSPECIONADOS FUNCIONAREM BEM?
A) 0,05
B) 0,12
C) 0,15
D) 0,30
E) 0,36
2. UMA COMPANHIA REALIZA INSPEÇÃO EM CARREGAMENTOS DE FORNECEDORES, DE MODO A DETERMINAR
PRODUTOS NÃO CONFORMES. CONSIDERE QUE UM LOTE CONTENHA 1000 ITENS, SENDO 1% DOS PRODUTOS
NÃO CONFORMES. QUAL É O TAMANHO NECESSÁRIO DA AMOSTRA, DE MODO QUE A PROBABILIDADE DE
ESCOLHER, NO MÍNIMO, UM ITEM NÃO CONFORME NA AMOSTRA, SEJA NO MÍNIMO 0,90?
A) 200
B) 212
C) 220
D) 229
E) 241
GABARITO
/
1. Uma fábrica de motores de ventiladores monta 120 motores por mês e separa 20 itens para inspeção. Sabe-se que, dos motores montados
mensalmente, 6 não funcionam. Qual a probabilidade de todos os motores inspecionados funcionarem bem?
Seja a variável aleatória X: “O motor funcionar”. Assim, calcular a probabilidade que todos funcionem bem equivale a determinar a
probabilidade que nenhum funcione. Daí,
PX=0=2000,0500,9520=0,3585
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma companhia realiza inspeção em carregamentos de fornecedores, de modo a determinar produtos não conformes. Considere que um
lote contenha 1000 itens, sendo 1% dos produtos não conformes. Qual é o tamanho necessário da amostra, de modo que a probabilidade de
escolher, no mínimo, um item não conforme na amostra, seja no mínimo 0,90?
Seja X a variável aleatória que representa a quantidade de itens não conformes. Dessa forma, podemos dizer que X segue um binomial (n, p
= 0,01). Queremos determinar o valor de n para que a probabilidade de no mínimo um item não conforme na amostra seja de, no mínimo,
0,90.
PX≥1≥0,9⇒1-PX<1≥0,90⇒PX=0≤0,1 
⇒N00,0100,99N≤0,1⇒ 
⇒0,99N≤0,1
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para resolver essa desigualdade, aplicaremos o logaritmo natural em ambos os lados da desigualdade. Assim,
LN0,99N≤LN0,1⇒N≤LN 0,1LN 0,99=229,11≃229
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Descrever as distribuições geométrica e hipergeométrica
INTRODUÇÃO
A seguir veremos mais duas distribuições de probabilidades com características parecidas com as distribuições de probabilidades
anteriores, mas que mantêm suas próprias particularidades e que também contemplam uma vasta gama de aplicações. Neste módulo, tal
como fizemos no anterior, vamos partir da caracterização das distribuições geométrica e hipergeométrica e, em seguida, trataremos das
informações (média e variância) inerentes a essas distribuições.
DISTRIBUIÇÕES GEOMÉTRICA E HIPERGEOMÉTRICA
/
DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
Considere tentativas sucessivas e independentes de um experimento aleatório que só admite dois possíveis resultados: Sucesso com
probabilidade p e fracasso com probabilidade q, em que p+q=1.
Seja a variável aleatória X: “Número de tentativas até a ocorrência do 1º sucesso”. Assim, X pode assumir os seguintes valores:
 
 
 
 
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a função de probabilidade de X é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NOTAÇÃO: X~G(P)
 
EXEMPLO
1. A chance de encontrar o monitor de Estatística na sala de monitoria é de 20%. Qual a probabilidadede que um aluno tenha que ir à sala do
monitor 4 vezes para encontrá-lo pela primeira vez?
Solução:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Interpretação: A probabilidade de que o aluno vá até a sala do monitor 4 vezes até encontrá-lo pela primeira vez é de aproximadamente 10%.
ESPERANÇA MATEMÁTICA
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, E(x)=1/p
VARIÂNCIA
De acordo com os conceitos vistos no módulo inicial, a variância é definida por:
V(X)=E(X2)-E(X)2
 
Como já conhecemos o valor da esperança, temos agora que determinar:
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Daí,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
Logo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
Considere uma população com N elementos dos quais r têm determinada característica. A retirada de um desses r elementos é definida
como sucesso. Retiramos dessa população uma amostra sem reposição de tamanho n.
Seja X a variável aleatória que conta o número de sucessos na amostra. Do conceito de probabilidade frequentista, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que n(x) é o número de eventos favoráveis a x e n(S) o número de eventos favoráveis ao espaço amostral (S).
Porém, n(S) equivale ao número de maneiras de selecionar uma amostra de tamanho n, ou seja, . Além disso, observe que
temos de escolher os x sucessos (elementos com certa característica) e maneiras de escolher os outros n-x indivíduos sem
a característica. Daí,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NOTAÇÃO: X~HIPERGEOMÉTRICA(N,R,N)
 
EXEMPLO
2. Em uma população de 100 peças, sabe-se que 20 são defeituosas. Retira-se uma amostra de 10 peças. Qual a probabilidade de obtermos 2
peças defeituosas?
Solução: Veja que o sucesso é a retirada da peça defeituosa, ou seja, a característica de interesse é que a peça seja defeituosa. Dessa forma,
para determinar tal probabilidade, podemos empregar a distribuição hipergeométrica, visto que essas peças defeituosas fazem parte de uma
população e dessa população será retirada uma amostra. Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
 
Interpretação: A probabilidade de retirar uma peça defeituosa de uma amostra de tamanho 10 retirada de uma população de tamanho 100 é
de aproximadamente 32%.
ESPERANÇA MATEMÁTICA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para desenvolver esse quociente entre combinações, precisamos usar algumas identidades conhecidas, tais como:
 
E
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ASSIM,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo y = x-1, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que , pois é a função de probabilidade hipergeométrica com parâmetros N-1, r-1 e n-1.
Logo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VARIÂNCIA
/
Para o cálculo da variância, vamos omitir a demonstração pela quantidade excessiva de cálculos. Dessa forma, a variância da distribuição
hipergeométrica é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. NO LANÇAMENTO DE UM DADO, QUAL A PROBABILIDADE DE TER QUE LANÇÁ-LO QUATRO VEZES PARA SE
OBTER FACE DOIS PELA PRIMEIRA VEZ?
A) 0,1
B) 0,15
C) 0,2
D) 0,25
E) 0,3
2.A PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR DETERMINADO PRODUTO NA PRATELEIRA DE UM SUPERMERCADO É
DE 1/3. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE SE TENHA QUE IR AO SUPERMERCADO NO MÁXIMO 2 VEZES PARA
ENCONTRAR O PRODUTO PELA PRIMEIRA VEZ?
A) 1/3
B) 1/2
C) 5/9
D) 2/3
E) 7/9
3. CONSIDERANDO OS DADOS DA QUESTÃO ANTERIOR, QUAL SERIA A MÉDIA E A VARIÂNCIA,
RESPECTIVAMENTE, DE IDAS AO SUPERMERCADO?
A) 1 e 3
B) 2 e 4
C) 2 e 3
D) 3 e 6
E) 3 e 9
4. UMA URNA CONTÉM 10 BOLAS BRANCAS E 20 BOLAS PRETAS. RETIRA-SE UMA AMOSTRA DE 5 BOLAS SEM
REPOSIÇÃO. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE ESSA AMOSTRA TENHA 2 BOLAS BRANCAS?
A) 0,05
B) 0,125
/
C) 0,185
D) 0,25
E) 0,36
5. SABE-SE QUE 10% DAS PEÇAS PRODUZIDAS POR DETERMINADA MÁQUINA SÃO DEFEITUOSAS. RETIRA-SE
UMA AMOSTRA DE TAMANHO 30 DE UMA POPULAÇÃO DE 150 PEÇAS PRODUZIDAS EM UM DIA. QUAL A
PROBABILIDADE DE QUE 5 PEÇAS SEJAM DEFEITUOSAS?
A) 0,05
B) 0,10
C) 0,15
D) 0,20
E) 0,25
6. CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR, DETERMINE A MÉDIA DE PEÇAS DEFEITUOSAS NA
AMOSTRA.
A) 0,3
B) 0,5
C) 1,0
D) 1,5
E) 2,0
GABARITO
1. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de ter que lançá-lo quatro vezes para se obter face dois pela primeira vez?
A alternativa "A " está correta.
Veja que o problema trata do número de tentativas para se obter um evento pela primeira vez. Portanto, possui a característica da
distribuição geométrica. Seja X a variável aleatória que representa o número de tentativas até a ocorrência da primeira face dois. Então,
X~G(p=1/6) e vimos que:
SE X É UMA GEOMÉTRICA ⇒PX=X=QX-1P
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Então,
P(X=4)=(5/6)3(1/6)=0,096.
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2.A probabilidade de se encontrar determinado produto na prateleira de um supermercado é de 1/3. Qual a probabilidade de que se tenha
que ir ao supermercado no máximo 2 vezes para encontrar o produto pela primeira vez?
A alternativa "C " está correta.
DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
/
3. Considerando os dados da questão anterior, qual seria a média e a variância, respectivamente, de idas ao supermercado?
A alternativa "D " está correta.
Sabendo que a variável aleatória X da questão anterior tem distribuição geométrica com 
parâmetro p = 1/3. Temos:
EX=1p=11/3=3
 
VX=qp2=2/31/9=6
4. Uma urna contém 10 bolas brancas e 20 bolas pretas. Retira-se uma amostra de 5 bolas sem reposição. Qual a probabilidade de que essa
amostra tenha 2 bolas brancas?
A alternativa "E " está correta.
Observe que temos uma população de 30 bolas e que será retirada uma amostra de 5 bolas na qual se quer calcular a probabilidade de
termos 2 bolas brancas, que é uma característica que está dentro da população. Portanto, temos que a questão se caracteriza como uma
distribuição hipergeométrica. Assim,
PX=X=RX.N-RN-XNN
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Nessa questão temos N=30, r=10, n=5 e x=2. Daí,
PX=2=102.2033010=0,3599
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5. Sabe-se que 10% das peças produzidas por determinada máquina são defeituosas. Retira-se uma amostra de tamanho 30 de uma
população de 150 peças produzidas em um dia. Qual a probabilidade de que 5 peças sejam defeituosas?
A alternativa "B " está correta.
Seja a variável aleatória X: “Número de peças defeituosas na amostra”. Nesse caso, X segue uma distribuição hipergeométrica, em que
N=150, r=15, n=30 e x=5. Assim,
PX=5=155.1352515030=0,1019
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6. Considerando o enunciado da questão anterior, determine a média de peças defeituosas na amostra.
A alternativa "A " está correta.
Sabendo que a variável aleatória X da questão anterior segue uma distribuição hipergeométrica com parâmetros N=150, r=15 e n=30, temos:
EX=NP, EM QUE P=RN 
DAÍ, P=15/150=0,01⇒E(X)=30×0,01=0,3.
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GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
/
Numa população de 10.000 habitantes, temos que 0,5% dessa população sofre de certa doença. Retira-se uma amostra de tamanho 80 dessa
população. Qual a probabilidade que nessa amostra tenhamos 10 pessoas com essa doença?
RESOLUÇÃO
UMA APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICAVERIFICANDO O APRENDIZADO
1. NOS AEROPORTOS DE CERTO PAÍS, A PROBABILIDADE DE UM METAL PEQUENO NÃO SER DETECTADO NO
RAIO-X É DE 0,2. UM PASSAGEIRO QUE ESTÁ VIAJANDO PELO MODAL AÉREO, NESSE PAÍS, VAI FAZER VÁRIAS
CONEXÕES. SABE-SE QUE ELE ESQUECEU UMA MOEDA NO BOLSO. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE O
PASSAGEIRO SÓ TENHA A MOEDA DETECTADA NO TERCEIRO RAIO-X?
A) 0,01
B) 0,03
C) 0,05
D) 0,10
E) 0,11
2. UM ESTACIONAMENTO DE UM CENTRO COMERCIAL TEM CAPACIDADE PARA 180 CARROS, SENDO 30 VAGAS
PARA IDOSOS. SABENDO QUE 20 VAGAS ESTÃO OCIOSAS NESSE ESTACIONAMENTO, QUAL A PROBABILIDADE
DE QUE 3 DESSAS VAGAS SEJAM DE IDOSOS?
A) 0,10
B) 0,15
C) 0,25
D) 0,35
E) 0,50
GABARITO
1. Nos aeroportos de certo país, a probabilidade de um metal pequeno não ser detectado no raio-X é de 0,2. Um passageiro que está
viajando pelo modal aéreo, nesse país, vai fazer várias conexões. Sabe-se que ele esqueceu uma moeda no bolso. Qual a probabilidade de
que o passageiro só tenha a moeda detectada no terceiro raio-X?
A alternativa "B " está correta.
/
Seja X a variável aleatória que representa o número de vezes que o passageiro terá que passar no raio-X para que a moeda seja detectada
pela primeira vez. Então, X~G(p=0,80). Assim,
PX=3=0,220,8=0,032
 
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2. Um estacionamento de um centro comercial tem capacidade para 180 carros, sendo 30 vagas para idosos. Sabendo que 20 vagas estão
ociosas nesse estacionamento, qual a probabilidade de que 3 dessas vagas sejam de idosos?
A alternativa "C " está correta.
Seja X a V.A. que representa as vagas de idosos nesse estacionamento. Portanto, X é uma distribuição hipergeométrica com parâmetros
N=180, r=30 e n=20. Assim,
PX=3=303.1501718020=0,25
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Descrever a distribuição de Poisson
INTRODUÇÃO
A distribuição que veremos agora tem relevante papel no estudo da probabilidade, visto que se trata da distribuição que calcula a
probabilidade de eventos discretos que ocorrem em intervalos contínuos, o que agrega uma quantidade considerável de aplicações.
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Antes de definir a distribuição de Poisson, é importante conceituar o que é um processo de Poisson, pois como veremos, as probabilidades
calculadas por essa distribuição se referem a este tipo de processo.
/
PROCESSO DE POISSON
É um processo no qual eventos discretos ocorrem em intervalos contínuos (tempo, comprimento, área, volume...).
 EXEMPLO
Exemplos de processos de Poisson
Acidentes de trânsito por dia.
Focos de incêndio por área.
Número de chamadas telefônica por minuto.
Número de trocas de pneu por km2.
Seja X a variável aleatória discreta que representa o número de sucesso em um processo de Poisson. Então, dizemos que X segue uma
distribuição de Poisson, com a seguinte função de probabilidade:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que λ é a taxa média de ocorrência.
NOTAÇÃO: X~P(Λ)
 
ESPERANÇA MATEMÁTICA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
 
VARIÂNCIA
/
Para o cálculo da variância, usaremos a mesma estratégia utilizada no cálculo da média. Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como já conhecemos o valor da esperança de X, vamos calcular inicialmente a E(X2 ). Dessa forma,
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo y = x-2, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
 
Note que na distribuição de Poisson, a média é igual à variância.
Essa distribuição se aplica a eventos raros.
λ é proporcional ao intervalo contínuo considerado no problema.
Os eventos são independentes.
EXEMPLO
1. Sabe-se que o número de acidentes em determinada via segue uma distribuição de Poisson com média de 9 acidentes por ano. Qual a
probabilidade de que em determinado mês não ocorram acidentes nessa via?
Solução: Observe que a média está dada em meses, mas pede a probabilidade em anos. No entanto, como sabemos que uma das
propriedades da distribuição de Poisson é a proporcionalidade, então, se em um ano ocorrem nove acidentes, em um mês ocorrerão 9/12 =
3/4 acidentes (λ = 0,75). Assim,
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Interpretação: A probabilidade de que não ocorra acidente na via em determinado mês é de aproximadamente 47%.
APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PELA DISTRIBUIÇÃO
DE POISSON
 COMENTÁRIO
Essa aproximação foi muito útil durante o tempo em que os recursos computacionais eram escassos. Há alguns anos, a maioria dos
estudantes usavam calculadoras simples para resolver problemas que envolvessem cálculos matemáticos e não tinham computadores
pessoais. Além disso, mesmo as calculadoras mais potentes tinham limitações quanto ao cálculo do fatorial. Portanto, para resolver essa
limitação, aproximava-se a distribuição binomial pela distribuição de Poisson.
Faça a média da Poisson igual à média da Binomial, ou seja, λ=np e suponha que λ não é muito grande. Vimos da distribuição de Poisson
que o número de sucessos pode ser dado por 0,1,2,…. Considere o caso de termos zero sucessos, assim, utilizando a distribuição binomial,
teríamos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas, como λ=np→p=λ/n. Daí,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nota:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Generalizando, temos:
 
 
 
 
 
 
 
/
 
 
 
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, podemos aproximar a distribuição binomial pela distribuição de Poisson. Essa aproximação é boa quando n > 50 e p 0,10.
MÃO NA MASSA
1) UM POSTO POLICIAL RECEBE EM MÉDIA 2 CHAMADAS POR DIA. QUAL A PROBABILIDADE DE RECEBER
EXATAMENTE 3 CHAMADAS EM UM DIA?
A) 0,10
B) 0,15
C) 0,18
D) 0,20
E) 0,25
2. CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR, QUAL SERIA A PROBABILIDADE DESSE POSTO
RECEBER 7 CHAMADAS EM UMA SEMANA?
A) 0,01
B) 0,02
C) 0,03
D) 0,04
E) 0,05
3. UM JORNAL REGISTRA EM MÉDIA 3 ERROS ORTOGRÁFICOS A CADA 5 PÁGINAS IMPRESSAS. QUAL A
PROBABILIDADE DE QUE UM JORNAL COM 30 PÁGINAS CONTENHA EXATAMENTE 8 ERROS?
A) 0,001
/
B) 0,002
C) 0,003
D) 0,004
E) 0,005
4. CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR, QUAL SERIA A PROBABILIDADE DESSE JORNAL
REGISTRAR MENOS DE 2 ERROS EM UMA PÁGINA?
A) 0,50
B) 0,62
C) 0,75
D) 0,82
E) 0,88
5. UMA OUVIDORIA RECEBE 5 RECLAMAÇÕES POR HORA. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE RECEBA APENAS
UMA RECLAMAÇÃO EM 10 MINUTOS?
A) 0,36
B) 0,42
C) 0,48
D) 0,54
E) 0,60
6. UMA FIRMA VISITA OS CLIENTES QUE COMPRARAM O SEU PRODUTO. SE A PROBABILIDADE DE DEFEITO DO
PRODUTO FOR DE 0,01, QUAL A PROBABILIDADE DE QUE EM 1000 VISITAS OCORRAM NO MÍNIMO 3 DEFEITOS?
A) 0,956
B) 0,967
C) 0,975
D) 0,986
E) 0,997
GABARITO
1) Um posto policial recebe em média 2 chamadas por dia. Qual a probabilidade de receber exatamente 3 chamadas em um dia?
A alternativa "C " está correta.
Seja X a variável aleatória discreta que representa chamadas por dia. Veja que X representa o sucesso (chamadas) em um processo de
Poisson, em que eventos discretos ocorrem em intervalos contínuos (dia). Assim, pode-se dizer que X~P(λ=2), ou seja,
PX=X=E-ΛΛXX!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Daí,
PX=3=E-2233!=0,18
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
2. Considerando o enunciado da questão anterior, qual seria a probabilidade desse posto receber 7 chamadas em uma semana?
A alternativa "B " está correta.
Observe que, na questão anterior, a média λ era de 2chamadas por dia. Utilizando a propriedade de proporcionalidade de λ, temos que em
uma semana λ = 14 (2 x 7). Logo,
PX=7=E-141477!=0,02
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Um jornal registra em média 3 erros ortográficos a cada 5 páginas impressas. Qual a probabilidade de que um jornal com 30 páginas
contenha exatamente 8 erros?
A alternativa "D " está correta.
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
4. Considerando o enunciado da questão anterior, qual seria a probabilidade desse jornal registrar menos de 2 erros em uma página?
A alternativa "E " está correta.
Observe que, se em 5 páginas a média λ é igual a 3, portanto, em uma página, teremos 3/5 erros. Então,
PX<2=PX=0+PX=1=E-3/53/500!+E-3/53/511!=0,88
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5. Uma ouvidoria recebe 5 reclamações por hora. Qual a probabilidade de que receba apenas uma reclamação em 10 minutos?
A alternativa "A " está correta.
Seja a variável aleatória X: “Reclamações por hora”. Logo, X~P(λ=5). No entanto, o problema pede a probabilidade de que receba apenas
uma reclamação em 10 minutos. Portanto, em 10 minutos, λ = 5/6. Assim,
PX=1=E-5/65/611!=0,36
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Uma firma visita os clientes que compraram o seu produto. Se a probabilidade de defeito do produto for de 0,01, qual a probabilidade de
que em 1000 visitas ocorram no mínimo 3 defeitos?
A alternativa "E " está correta.
Observe que a questão poderia ser resolvida por meio de uma distribuição Binomial, pois temos que a variável aleatória, digamos X,
representa o número de defeitos (sucessos) nas visitas, isto é:
X~BN=1000, P=0,01
Dessa forma, a solução poderia ser obtida por:
PX≥3=1-PX<3=1-PX=0+PX=1+PX=2= 
 
=1-01000(0,01)0(0,99)1000+11000(0,01)1(0,99)999+21000(0,01)1(0,99)999=0,9973
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que quanto maior o valor de x a calcular, mais trabalhoso seria o montante dos cálculos. Além disso, teríamos que trabalhar com os
fatoriais das combinações. Dessa forma, para facilitar os cálculos poderíamos usar a distribuição de Poisson para resolver esta questão.
/
Nesse caso, consideraremos a aproximação da distribuição Binomial pela distribuição de Poisson, bastando fazer 
λ = np = 1000 x 0,01 = 10. Assim,
P(X≥3)=1-P(X<3)=1-P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 
 
=1-E-101000!+E-101011!+E-101022!=0,9972
 
 
Observe que os resultados são bem aproximados.
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GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
O número de mortes por febre amarela no Brasil é de 4 por ano. Qual a chance de que em seis meses morra no máximo 1 pessoa?
RESOLUÇÃO
UMA APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SUPONHA QUE A INCIDÊNCIA DE DETERMINADA DOENÇA NA POPULAÇÃO SEJA DE 1 CASO A CADA 100.000
HABITANTES. EM UMA CIDADE DE 500.000 HABITANTES, DETERMINE A PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR
EXATAMENTE 2 CASOS DESSA DOENÇA NA REFERIDA CIDADE.
A) 0,04
B) 0,08
C) 0,12
D) 0,16
E) 0,20
2. SABE-SE QUE EM MÉDIA 5 LÂMPADAS SE QUEIMAM A CADA 1000 LÂMPADAS TESTADAS. QUAL A
PROBABILIDADE DE QUE EM UM TESTE DE 10.000 LÂMPADAS, EXATAMENTE 40 LÂMPADAS SE QUEIMEM?
/
A) 0,02
B) 0,04
C) 0,08
D) 0,16
E) 0,20
GABARITO
1. Suponha que a incidência de determinada doença na população seja de 1 caso a cada 100.000 habitantes. Em uma cidade de 500.000
habitantes, determine a probabilidade de se encontrar exatamente 2 casos dessa doença na referida cidade.
A alternativa "B " está correta.
Seja a variável aleatória X: “Incidência da doença por habitante”. Veja que X~P(λ=1). Portanto, em uma cidade de 500.000 habitantes, X será
uma Poisson com λ = 5. Assim,
PX=2=E-5522!=0,08
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Sabe-se que em média 5 lâmpadas se queimam a cada 1000 lâmpadas testadas. Qual a probabilidade de que em um teste de 10.000
lâmpadas, exatamente 40 lâmpadas se queimem?
A alternativa "A " está correta.
Veja a probabilidade de uma lâmpada queimar com probabilidade 0,01 e poderíamos resolver utilizando a distribuição binomial. No entanto,
para evitar, usaremos a distribuição de Poisson com λ = 100.
PX=40=E-50504040!=0,02
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Aqui abordamos os conceitos fundamentais associados às variáveis aleatórias discretas. Além disso, apresentamos as principais
distribuições discretas de probabilidade, entre as quais, as de Bernoulli, binomial, geométrica, hipergeométrica e de Poisson.
Cada distribuição de probabilidade exerce um papel importante para o cálculo de probabilidades de fenômenos comuns que acontecem no
nosso dia a dia.
Todos os conceitos adquiridos neste tema são essenciais não apenas para a continuidade do estudo da teoria das probabilidades, mas
também para o bom entendimento de modelos estatísticos.
/
REFERÊNCIAS
Fonseca, J. S.; Martins, G. A. Curso de Estatística. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
Meyer, P. Probabilidade – Aplicações à Estatística. 2. ed. São Paulo: LTC, 1987.
Morettin, P. A.; Bussab, W. de O. Estatística Básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
Morettin, P. A. Estatística Básica – Probabilidade e Inferência. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, assista
Ao canal IMPA – Instituto de Matemática Pura e Aplicada, YouTube.
CONTEUDISTA
Paulo H. C. Maranhão
 CURRÍCULO LATTES
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