Aula 6 - Cap07 - Deflexao de vigas

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Terceira Edição
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
CAPÍTULO RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Deflexão de Vigas 
por Integração
R
esistên
cia
d
o
s M
ateriais
7 - 2
Capítulo 7 – Deflexão de Vigas por Integração
7.1 – Introdução
7.2 – Deformação de uma Viga devido a Carregamentos 
Transversais
7.3 – Equação da Linha Elástica
7.4 – Método de Superposição
R
esistên
cia
d
o
s M
ateriais
7 - 3
7.1 – Introdução
• Determinar a deflexão de vigas prismáticas submetidas a um dado 
carregamento.
• No cap. 4, uma viga prismática sob flexão pura se encurva tomando a 
forma de um arco de circunferência.
• Para o caso de uma viga sob carregamento transversal, a curvatura da S.N. 
é:
EI
xM )(1


Sendo:
M – momento fletor na seção;
E – módulo de elasticidade longitudinal;
I – momento de inércia da seção transversal em relação à L.N.
R
esistên
cia
d
o
s M
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7 - 4
7.2 – Deformação de uma Viga devido a Carregamentos 
Transversais
 Para a viga em balanço da figura: 
1 ( ) 1M x Px
EI EI 
   
 A equação obtida mostra que a curvatura da 
S.N. varia linearmente com x
 Na extremidade 
livre A, 
 A
A
 ρ
ρ
,0
1
 Na extremidade 
engastada B,
1
, B
B
P L E I
E I P L


  
onde x é a distância da extremidade esquerda 
da viga até a seção considerada.
R
esistên
cia
d
o
s M
ateriais
7 - 5
 Para a viga biapoiada da figura: 
• Reações de apoio em A e C;
7.2 – Deformação de uma Viga devido a Carregamentos 
Transversais
• Diagrama de momento fletor (DMF); 
R
esistên
cia
d
o
s M
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7 - 6
• A curvatura é zero nos pontos onde o momento é nulo (extremidades da 
viga e ponto E). 
EI
xM )(1


M positivo (entre A e E) – concavidade voltada para cima;
M negativo (entre E e D) – concavidade voltada para baixo;
• A curvatura é máxima (menor raio de curvatura) onde o momento é 
máximo. 
• A curvatura fornece uma idéia razoável da forma da viga deformada. 
7.2 – Deformação de uma Viga devido a Carregamentos 
Transversais
R
esistên
cia
d
o
s M
ateriais
7 - 7
7.3 – Equação da Linha Elástica
• Nos capítulos anteriores y representava a distância de uma certa fibra da 
seção transversal até a L.N.;
2
2
1 ( )M x d y
EI dx
 Como: 
• Do cálculo diferencial, a expressão da curvatura de uma curva é dada por: 
2
2
232
2
2
1
1
dx
yd
dx
dy
dx
yd

















• Neste capítulo, y representa o 
deslocamento vertical de um ponto 
(deformação transversal ou flecha)
R
esistên
cia
d
o
s M
ateriais
7 - 8
7.3 – Equação da Linha Elástica
 
 
 
1
0
1 2
0 0
1 2
0 0
1
1
1
ou 
x
x x
x x
dy
M x dx C
dx EI
y dx M x dx C x C
EI
y M x dx C dx C
EI

 
   
 
 
   
 
       
   

 
 
 Integrando, e sabendo que θ é o ângulo (em radianos) que a tangente à 
curva elástica no ponto Q forma com a horizontal: 
 A primeira equação define a declividade θ da viga no ponto Q;
 A segunda equação define a flecha y da viga no mesmo ponto.
• Equação diferencial da linha elástica de uma viga: 
2
2
( )d y M x
dx EI

R
esistên
cia
d
o
s M
ateriais
7 - 9
  1 2
0 0
1 x x
y M x dx C dx C
EI
       
   
 
• As constantes C1 e C2 são determinadas a 
partir das condições de contorno da viga.
– Viga simplesmente apoiada: 0,0  BA yy
– Viga biapoiada: 0,0  BA yy
– Viga em balanço: 0,0  AAy 
 Caso geral de carregamento faz-se necessário 
dividir a viga em várias partes (seções ou 
componentes) para representar a equação do 
momento para cada uma.
 Com isso, outras constantes de integração 
surgem, o que exige a aplicação da condição 
de continuidade da Linha Elástica e da 
Declividade como condições de contorno.
7.3 – Equação da Linha Elástica
R
esistên
cia
d
o
s M
ateriais
7 - 10
Exemplo 7.1
A viga em balanço AB tem seção transversal uniforme e suporta a
força P. Determinar a flecha e a declividade da viga no ponto A.
R
esistên
cia
d
o
s M
ateriais
7 - 11
Exemplo 7.2
A viga prismática AB simplesmente apoiada suporta uma carga
uniformemente distribuída q por unidade de comprimento.
Determinar a equação da linha elástica e a flecha máxima.
R
esistên
cia
d
o
s M
ateriais
7 - 12
Exemplo 7.3
Determine para a viga prismática, com carregamento indicado, a
flecha e a declividade no ponto D.
R
esistên
cia
d
o
s M
ateriais
7 - 13
Exemplo 7.4
A viga ABC suporta uma carga concentrada P na extremidade do
balanço. Para a parte AB da viga, pede-se:
(a) A equação da linha elástica;
(b) A flecha máxima;
(c) O valor numérico de ymax para os seguintes dados.
6 4360 101 306 10 m 200 GPa
220 kN 4,5 m 1, 2 m
zW I E
P L a
   
  
x
y
R
esistên
cia
d
o
s M
ateriais
7 - 14
7.4 – Método de Superposição
Princípio da Superposição:
• A deformação e a declividade de 
vigas submetidas a vários carre-
gamentos podem ser obtidas pela 
superposição do efeito de cada 
carregamento individualmente, que 
após somados dão o resultado do 
carregamento como um todo.
• Este procedimento é facilitado 
pela existência de tabelas que 
mostram o efeito de vários 
tipos de cargas e condições de 
apoio de vigas.
R
esistên
cia
d
o
s M
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7 - 15
Exemplo 7.5
Para a viga e carregamento 
mostrado, determine a declividade 
e a flecha no ponto B.
SOLUÇÃO:
Superponha as deformações devido ao Carregamento I e Carregamento II como 
mostrado.
R
esistên
cia
d
o
s M
ateriais
7 - 16
Carregamento I
 
EI
wL
IB 6
3
  
EI
wL
y IB 8
4

SOLUÇÃO:
Carregamento II
 
EI
wL
IIC 48
3
  
EI
wL
y IIC 128
4

No segmento CB da viga, o momento fletor é 
zero e a linha elástica é uma linha reta.
   
EI
wL
IICIIB 48
3
 
 
EI
wLL
EI
wL
EI
wL
y IIB 384
7
248128
434






R
esistên
cia
d
o
s M
ateriais
7 - 17
   
EI
wL
EI
wL
IIBIBB 486
33
 
   
EI
wL
EI
wL
yyy IIBIBB 384
7
8
44

EI
wL
B 48
7 3

EI
wL
yB 384
41 4

Combine as duas soluções,
SOLUÇÃO:
R
esistên
cia
d
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7 - 18