Aula 7 - Cap08 - Flambagem de colunas

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CAPÍTULO RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Terceira Edição
Flambagem de 
Colunas
R
esistência
dos M
ateriais
8 - 2
Capítulo 8 – Flambagem de Colunas
8.1 – Introdução
8.2 – Estabilidade das Estruturas
8.3 – Equação de Euler
8.4 – Tensão Crítica e Índice de Esbeltez
8.5 – Comprimento Efetivos de Flambagem
R
esistência
dos M
ateriais
8 - 3
8.1 – Introdução
• Neste capítulo, estamos preocupados com a
estabilidade da estrutura; 
 capacidade de suportar um determinado esforço 
de compressão sem sofrer uma súbita 
mudança na sua configuração inicial.
• Depois destes cálculos de projeto, podemos descobrir se a coluna fica 
instável sob o carregamento e se ela torna-se subitamente bastante 
encurvada, ocorrendo o fenômeno da flambagem. 
- Deformação permanece dentro das 
especificações
adm
PL
AE
  
• No projeto de colunas, a área da seção transver-
sal é selecionado tal que
- Tensão admissível não é excedida
adm
P
A
  
R
esistência
dos M
ateriais
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8.2 – Estabilidade das Estruturas
Compreendendo o fenômeno da flambagem: 
 Seja o modelo simplificado que consiste de duas 
barras rígidas, AC e BC, ligadas em C por um pino e 
uma mola de torção de constante K.
 2 momento exercido pela mola para restaurar
a barra à sua posição inicial
sen momento para afastar a barra 
2 2
da vertical
K
L LP P

 
 
   
 O sistema é estável (tende a retornar à posição de 
equilíbrio original) se
  42
2 cr
L KP K P P
L
     
Ângulo de 
deflexão da 
mola
• Carga crítica: valor da carga para o qual os dois conjugados se equilibram.
 Depois de uma pequena perturbação,
R
esistência
dos M
ateriais
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8.3 – Equação de Euler
• Considere uma viga carregada axialmente. Seja determinar a menor 
força P, para a qual a coluna biarticulada AB venha a perder a 
estabilidade.
R
esistência
dos M
ateriais
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8.3 – Equação de Euler
• Depois de uma pequena perturbação, o 
sistema alcança uma configuração, tal 
que
02
2
2
2


y
EI
P
dx
yd
y
EI
P
EI
M
dx
yd
• Solução da equação diferencial:
Fazendo
 teremos
2 Pp
EI

que é uma equação diferencial homogênea 
de segunda ordem de coeficientes 
constantes.
2
2
2 0
d y p y
dx
 
R
esistência
dos M
ateriais
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8.3 – Equação de Euler
• Solução da equação diferencial:
A solução geral é
As condições de contorno são:
• Para x = 0: y = 0
• Para x = L: y = 0
Substituindo na solução:
2
2
2 0
d y p y
dx
 
1 2sen cosy C px C px 
2
1
0
sen 0
C
C pL


R
esistência
dos M
ateriais
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8.3 – Equação de Euler
• Solução da equação diferencial:
Para a segunda condição:
Se 
 O deslocamento lateral y da coluna 
é nulo para qualquer valor de x;
 coluna permanece reta para 
qualquer valor de P.
Usaremos então
o valor de L depende das condições de 
contorno e será denotado por lf .
1 sen 0C pL 
1 0C 
sen 0pL 
R
esistência
dos M
ateriais
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8.3 – Equação de Euler
• Solução da equação diferencial:
Para
A solução é
Como
Vem que
n = 0 – sem carga; coluna reta
n = 1 – primeiro modo de flambagem
n = 2 – segundo modo de flambagem
sen 0fpl 
 0,1, 2,fpl n n  
2 2
2 2
2 e
f
n Pp p
l EI
 
2 2
2
f
n EIP
l

R
esistência
dos M
ateriais
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8.3 – Equação de Euler
• Solução da equação diferencial:
Como desejamos o menor valor de P
para a qual a peça perde a estabilidade, 
devemos usar n = 1. 
Temos, portanto, a equação de Euler
Sendo que
• lf – comprimento efetivo de flambagem 
(distância entre pontos de momentos 
nulos);
• E – módulo de elasticidade longitudinal;
• I – momento de inércia mínimo da área 
da seção transversal.
2
2cr
f
EIP
l

R
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dos M
ateriais
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8.3 – Equação de Euler
• Condição de instabilidade:
• Condição de estabilidade (coluna reta)
• Podemos dizer então que a carga crítica 
Pcr é o menor valor de carga que pode 
produzir flambagem na peça.
• Observação: Peças sob tração não estão 
sujeitas ao fenômeno da flambagem.
2
2cr
f
EIP P
l
 
2
2cr
f
EIP P
l
 
R
esistência
dos M
ateriais
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8.4 – Tensão Crítica e Índice de Esbeltez
 
2
2
2 2 2
22 2
cr
f
cr
cr
cr
f f f
EIP P
l
PP
A A
EI E E
Al A l l kI

 
  
 
  
  
• O valor de tensão correspondente à car-
ga crítica é chamada de tensão crítica,
• k é o raio de giração da área da seção transversal em 
relação ao eixo centroidal perpendicular ao plano de 
flambagem.
2
f
Ik A
l
índice de esbeltez
k


 
R
esistência
dos M
ateriais
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8.5 – Comprimento Efetivos de Flambagem
• O comprimento efetivo de 
flambagem pode ser colocado na 
forma geral como
• Sendo 
c - constante que depende das 
condições de vinculação das 
extremidades da coluna;
L - comprimento da coluna.
fl cL
R
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8.5 – Comprimento Efetivos de Flambagem
• Coluna bi-rotulada (caso (a))
O índice de esbeltez da coluna é
De acordo com a equação de Euler, a carga 
crítica:
1
f
c
l L


fl L
k k
  
 
2 2
2 2
2 2
22
cr
f
cr
EI EIP
l L
E E
L k
 
  
 
 
R
esistência
dos M
ateriais
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8.5 – Comprimento Efetivos de Flambagem
• Coluna engastada e livre (caso (b))
O índice de esbeltez da coluna é
De acordo com a equação de Euler, a carga 
crítica:
2
2f
c
l L


2fl L
k k
  
 
( )2 2
2 2
2 2
22
4 4
2
caso a
cr
cr
f
cr
PEI EIP
l L
E E
L k
 
  
  
 
R
esistência
dos M
ateriais
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8.5 – Comprimento Efetivos de Flambagem
• Coluna engastada nas extremidades 
(caso (c))
O índice de esbeltez da coluna é
De acordo com a equação de Euler, a carga 
crítica:
1 0,52
2f
c
Ll
 

2
fl L
k k
  
 
2 2
( )
2 2
2 2
22
4 4
2
caso a
cr cr
f
cr
EI EIP P
l L
E E
L k
 
  
  
 
R
esistência
dos M
ateriais
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8.5 – Comprimento Efetivos de Flambagem
• Coluna engastada rotulada (caso (d))
O índice de esbeltez da coluna é
De acordo com a equação de Euler, a carga 
crítica:
0,7
0,7f
c
l L


0,7fl L
k k
  
 
 
2 2
( )
22
2 2
22
4 1, 20
0,7
0,7
caso a
cr cr
f
cr
EI EIP P
l L
E E
L k
 
  
  
 
R
esistência
dos M
ateriais
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8.5 – Comprimento Efetivos de Flambagem
1c 2c  0,7c  0,5c 
R
esistência
dos M
ateriais
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Exemplo 8.1
É aplicada uma carga centrada P em uma coluna de alumínio. A extremidade 
A pode deslizar livremente no plano xz.
a) Determinar a relação a/b entre os 
lados da seção transversal para que 
não ocorra a flambagem;
b) Dimensionar a seção transversal da 
coluna, sabendo que L = 500 mm, 
E = 70 GPa, P = 20 kN e que o 
coeficiente de segurança é 2,5. 
R
esistência
dos M
ateriais
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Exemplo 8.2
Cada uma das barras da treliça 
tem seção circular. 
Para o carregamento mostrado, 
determinar o coeficiente de 
segurança contra a flambagem na 
estrutura. 
Usar E = 210 GPa e considerar 
somente a flambagem no plano 
da estrutura. 
As áreas da seção transversal das 
barras BC e CD são 2000 mm2 e 
2500 mm2, respectivamente.