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MATEMÁTICA F B O N L I N E . C O M . B R ////////////////// Professor(a): Davi Lopes assunto: Funções: MonoticiDaDe, pariDaDe e perioDiciDaDe frente: MateMática ii AULAS 16 A 19 EAD – ITA/IME 005.030 – 131045/18 Resumo Teórico Funções: Monoticidade, Paridade e Periodicidade Monoticidade, Crescimento e Decréscimo • Função Estritamente Crescente: Dizemos que uma função f, definida em um subconjunto dos reais, é estritamente crescente se, para quaisquer x e y reais no domínio: x < y ⇒ f(x) < f(y) • Função Estritamente Decrescente: Dizemos que uma função f, definida em um subconjunto dos reais, é estritamente decrescente se, para quaisquer x e y reais no domínio: x < y ⇒ f(x) > f(y) • Função Crescente: Dizemos que uma função f, definida em um subconjunto dos reais, é estritamente crescente se, para quaisquer x e y reais no domínio: x < y ⇒ f(x) ≤ f(y) • Função Decrescente: Dizemos que uma função f, definida em um subconjunto dos reais, é estritamente decrescente se, para quaisquer x e y reais no domínio: x < y ⇒ f(x) ≥ f(y) • Função Constante: Dizemos que uma função f, definida em um subconjunto dos reais, é estritamente decrescente se, para quaisquer x e y reais no domínio, temos que f(x) = f(y). • Função Monótona: É toda função que é crescente ou que é decrescente. Fato Útil: Se f é estritamente crescente, ou estritamente decrescente, então f é uma função injetora. Paridade Seja f: A → R uma função. Dizemos que: • f é uma função par se f(–x) = f(x), ∀x ∈ A. • f é uma função ímpar se f(–x) = –f(x), ∀x ∈ A. Fato Útil 1: Se uma função f é par e ímpar, então ela é a função nula (f(x) = 0, para todo x real). Fato Útil 2: O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y, e o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Periodicidade Dizemos que uma função f: A → B é periódica de existir p ≠ 0 tal que, para todo x ∈ A, temos f(x) = f(x + p). Se p for o menor valor positivo que satisfaz a igualdade acima, então p é chamado de período fundamental da função. Exercícios 01. Seja f: N → N uma função estritamente crescente tal que f(f(n)) = 3n, ∀n ∈ N. Analise as seguintes afirmações: I. f é injetora; II. f(1) = 2; III. f(2) = 3; IV. f(3) = 4. Quantas são verdadeiras? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 02. Uma sequência a 1 , a 2 , a 3 ,… é definida por a 1 = 2, a 2 = 5 e, para todo n ≥ 1, a n + 2 = 1 1+ +a a n n . Qual o valor de a 2002 ? A) 3 5 B) 4 5 C) 2 D) 3 E) 5 03. Das afirmações que seguem, indique qual é a falsa: A) O produto de duas funções pares é uma função par. B) O produto de duas funções ímpares é uma função ímpar. C) A soma de duas funções ímpares é uma função ímpar. D) A soma de duas funções pares é uma função par. E) Alguma das alternativas anteriores é falsa. 04. Sejam f, g: R → R, tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes afirmações: I. f(x) · g(x) é ímpar. II. f(g(x)) é par. III. g(f(x)) é ímpar. É(são) verdadeira(s) apenas: A) I B) II C) III D) I e II E) I, II e III 2F B O N L I N E . C O M . B R ////////////////// Módulo de estudo 005.030 – 131045/18 05. Os valores de k para que a função f(x) = (k – 2)x + 1 seja estritamente decrescente são: A) k < 2 B) k ≤ 2 C) k ≥ 2 D) k ≥ –2 E) k = 2 06. Dadas as funções f(x) = 1 1 + − e e x x , x ∈ R*, e g(x) = x · senx, x ∈ R, podemos afirmar que: A) ambas são pares. B) f é par e g é ímpar. C) f é ímpar e g é par. D) f não é par e nem ímpar, e g é par. E) ambas são ímpares. 07. Seja f: R → R uma função não nula, ímpar e periódica, de período p. Considere as seguintes afirmações: I. f(p) ≠ 0; II. f(–x) = –f(x + p), ∀x ∈ R; III. f(–x) = f(x – p), ∀x ∈ R; IV. f(x) =–-f(–x), ∀x ∈ R. Podemos concluir que: A) I e II são falsas. B) I e III são falsas. C) II e III são falsas. D) I e IV são falsas. E) II e IV são falsas. 08. Considere uma função f: R → R não constante e tal que f(x + y) = f(x)f(y),∀x, y ∈ R. Das afirmações: I. f(x) > 0,∀x ∈ R; II. f(nx) = (f(x))n, ∀x ∈ R, ∀x ∈ N; III. f é par. É(são) verdadeira(s), apenas: A) I e II B) II e III C) I e III D) I, II, III E) nenhuma 09. Seja f: R → R uma função ímpar, tal que f(x + 5) = f(x), ∀x ∈ R e f 1 3 1 = . O valor da soma f f 16 3 29 3 + + f(12) + f(–7) é: A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 10. A função f é dada pela tabela a seguir: x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 Por exemplo, f(2) = 1. Quanto vale f(f(…f(f(4))…)), onde o f aparece 2009 vezes? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. Defina S k = {1, 2, …, k}, k ∈ N. Considere as afirmações: I. Se m < n, então não existe função sobrejetora f: S m → S n ; II. Se m ≤ n, então há n! (n m)!− funções injetoras f: S m → S n ; III. Há n m m + − 1 funções crescentes f: S m → S n ; IV. Há mn funções f: S m → S n . Quantas são verdadeiras? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 12. Seja f uma função real de variável real dada por f(x) = |x – 3| + 5x. Podemos afirmar corretamente que: A) f é uma função par. B) f é uma função ímpar. C) f é uma função crescente. D) f é uma função decrescente. E) f(x) ≥ 0 para todo número real. 13. A respeito da função f: [0, +∞) → [0, +∞), f(x) = x x1 + . Analise as afirmações sobre f: I. Injetora; II. Sobrejetora; III. Estritamente Crescente; IV. Ímpar Quantas são verdadeiras? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 14. Considere uma função f: R* + → R dada por f(xy) = f(x) + f(y), para todos x, y reais. Analise as sentenças: I. f(1) = 0; II. f(xn) = nf(x), ∀x ∈ R* + , n ∈ N; III. f é par; IV. f(x) > f(y) se x > y. É(são) verdadeira(s): A) Apenas I B) Apenas I e II C) Apenas I, II e III D) Apenas I, II e IV E) I, II, III, IV 15. Analise as afirmações: I. Se f(x + p) = f(x), ∀x, então f é periódica; II. Se existe x tal que f(x + p) = f(x), então f é periódica; III. Não existe função simultaneamente par e ímpar; IV. Todo gráfico de função ímpar passa pela origem. São verdadeiras: A) I B) I e III C) I, II e III D) I e IV E) NDA. 3 F B O N L I N E . C O M . B R ////////////////// Módulo de estudo 005.030 – 131045/18 16. Seja f: R → R uma função tal que, para todos x, y reais: f(x) + f(y) + 1 > f(x + y) > f(x) + f(y) Considere as afirmações: I. f(0) = 0; II. f é uma função ímpar, isto é, f(–x) = –f(x), ∀x ∈ R. III. f(2x) = 2f(x) IV. Existe apenas uma função cumprindo as desigualdades acima. Quantas são verdadeiras? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 17. Se f: R → R uma função ímpar de período 2, então f(4) é igual a: A) 0 B) 2 C) 4 D) –2 E) –4 18. Qual das seguintes funções é periódica? A) f(x) = ex B) f(x) = x · cosx C) f(x) = sen 1 x (x ≠ 0) D) f(x) = x – x E) NDA. 19. Seja f uma função ímpar e g(x) = xf(x) + f(xn) + f(x)n. Então, podemos afirmar que: A) Se n é ímpar, então g é par. B) Se n é ímpar, então g é ímpar. C) Se n é par, então g é par. D) Se n é par, então g é ímpar. E) Se n é par, então g não é par, nem ímpar. 20. Se f(x) = {0, se x é racionalx, se x é irracional e g(x) = {x, se x é racional0, se x é irracional Então, a respeito da função f – g, considere as afirmações: I. f – g é injetora; II. f – g é sobrejetora; III. f – g é estritamente crescente; IV. f – g é ímpar. Quantas são verdadeiras? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 21. Sejam f e g funções reais e de variável real. Analise as afirmações a seguir: I. Se f(x) e g(x) são pares, então f(x) + g(x) é par; II. Se f(x) e g(x) são ímpares, então f(x) + g(x) é ímpar; III. Se f(x) e g(x) são pares, então f(x) · g(x) é par; IV. Se f(x) e g(x) são ímpares, então f(x) · g(x) é ímpar; V. Se f(x) e g(x) são pares, então f(g(x)) é par; VI. Se f(x) e g(x) são ímpares, então f(g(x)) é ímpar; Quantas são verdadeiras? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 22. Seja f: − π π 2 2 , → R dado por f(x) = x + tgx. Considere as seguintes afirmações: I. f é estritamente crescente; II. f é bijetora; III. f é contínua; IV. f é ímpar. Quantas são verdadeiras? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 23. Sejam f e g funções reais dadas por f(x)= sen x x 2 cos e g(x) = 2, cada uma definida no seu domínio mais amplo possível. Analise as informações a seguir: I. O conjunto solução da equação f(x) = g(x) contém infinitos elementos; II. No intervalo 3 4 5 4 π π , , a função f é crescente; III. O período da função f é p = π. Sobre as afirmações, é correto afirmar que: A) Todas são falsas. B) Apenas III é verdadeira. C) Apenas I e II são verdadeiras. D) Apenas II e III são verdadeiras E) NDA. 24. Em relação à periodicidade e à paridade da função f: R → R, definida por f(x) = sen x + cos x, pode-se afirmar corretamente que: A) f é periódica e par. B) f é periódica e ímpar. C) f é periódica, mas não é par nem ímpar. D) f não é periódica, não é par e nem ímpar. E) NDA. 25. Seja f: R → R uma função tal que f(x) ≤ x e f(x + y) ≤ f(x) + f(y), para todos os reais x e y. A) Calcule f(0). B) Mostre que f é ímpar. 26. Demonstre que toda função f: R → R pode ser escrita como f(x) = g(x) + h(x), onde g: R → R é uma função par e h: R → R é uma função ímpar. 27. Seja: f(x) = x 10 , se o último dígito de x é 0 x + 1, caso contrário Se a 0 = 2009 e a n + 1 = f(a n ), determine o menor n ∈ R tal que a n = 1. 28. Sejam A e B dois subconjuntos de N. Por definição, uma função f: A → B é crescente se a 1 > a 2 → f(a 1 ) ≥ f(a 2 ), para quaisquer a 1 , a 2 ∈ A. A) Para A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}, quantas funções de A para B são crescentes? B) Para A = {1, 2, 3} e B = {1, 2,…, n}, quantas funções de A para B são crescentes, onde n é um número inteiro positivo? 4F B O N L I N E . C O M . B R ////////////////// Módulo de estudo 005.030 – 131045/18 29. Para cada inteiro positivo k, seja f 1 (k) o quadrado da soma dos algarismos de k. Se n ≥ 2, seja f n (k) = f 1 (f n – 1) (k)). Mostre que a sequência a n = f n (11), n ≥ 1, é periódica. 30. Determine todas as funções estritamente crescentes f: N → N tais que f(2) = 2 e f(m) · f(n) = f(mn), para todos os inteiros positivos m e n. Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 D E B D A C B A C E 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D C C B E A A D C B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 D E B C – * * * – * * 26: g f e h f (x) (x) f( x) (x) (x) f( x) = + − = − − 2 2 27: 30 28: A) 10 B) n + 2 3 30: f(x) = x – Demonstração. Anotações SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: DAVI LOPES DIG.: NAILTON – REV.: TEREZA
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