Sistemas Numéricos e Conceito de Número

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DEFINIÇÃO
Os sistemas de números naturais historicamente contextualizados, os Axiomas de Peano, o surgimento dos
números inteiros e complexos, os números racionais e sua relação com medida, seu surgimento e concepção
moderna, alguns problemas e operações com frações.
PROPÓSITO
Refletir sobre nossa própria concepção da Matemática, proveniente de como a aprendemos ao longo de
nossa vida escolar, geralmente organizada em Aritmética, Geometria e Álgebra, tendo como foco a
Aritmética.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
 
Relacionar a contagem ao surgimento dos números naturais e o porquê de sua criação
MÓDULO 2
 
Relacionar a criação dos números racionais e reais positivos à necessidade de realização de medidas e
manipulação das operações matemáticas básicas
 Relacionar a contagem ao surgimento dos números naturais e o porquê de sua criação
INTRODUÇÃO
O QUE IRÁ NOS NORTEAR EM CADA MÓDULO É
ENTENDER A PERGUNTA: “O QUE É UM NÚMERO?” A
DISCUSSÃO QUE FAREMOS TERÁ DUAS IDEIAS
CENTRAIS E ELEMENTARES: A CONTAGEM E A
MEDIDA.
Com estas ideias, iremos construir o conceito abstrato de número que permeia a Aritmética. A contagem nos
conduz aos números naturais (ℕ), mas devemos estar atentos ao nosso sistema numérico, que nem sempre
foi universal e que diversos povos ao longo da história criaram sua própria forma de contar. O mais
interessante é que todos eles respeitavam regras muito semelhantes, que mais tarde foram nomeadas como
Axiomas de Peano.
 
E medir vai nos conduzir aos números racionais (ℚ+ ) e reais (ℝ+ ) positivos. Os números inteiros (ℤ), bem
como os números racionais e reais negativos, surgem com o entendimento mais amplo e irrestrito dos
números. Não temos a ambição de chegar tão longe aqui. Nós nos restringiremos ao uso da reta, mas
deixaremos algumas referências para aqueles que quiserem ir mais adiante.
CONCEITO
 
VOCÊ JÁ IMAGINOU COMO SERIA DIFÍCIL O SEU DIA, SE
VOCÊ PERDESSE A NOÇÃO DE QUANTIDADE DAS COISAS?
SE VOCÊ FOSSE UM CAMPONÊS, POR EXEMPLO, COMO
FARIA PARA RELACIONAR O NÚMERO DE OVELHAS EM UM
CERCADO, SEM SABER COMO CONTAR?
Uma primeira estratégia para resolver este problema seria estabelecer uma correspondência um a um com o
conjunto de referência.
 
Fonte: Madlen/Shutterstock
Por exemplo: para cada ovelha que entrasse no cercado, você faria um nó em um pedaço de corda; ao final,
a mesma quantidade de ovelhas no cercado seria a quantidade de nós em sua corda. Note, porém, que esta
tarefa não envolve ainda o conceito de número, mas ela já era empregada por grupos humanos na Pré-
história, segundo Tatiana Roque (2012), alguns séculos antes dos primeiros sistemas de escrita ou de
numeração.
Sendo assim, um número natural foi a marca dada (os nós) a todos os conjuntos de objetos (as ovelhas) que
poderiam ser colocados em correspondência um a um entre si, isto é: a todos os conjuntos que têm a mesma
quantidade de elementos.
 REFLITA
O conceito de número natural é uma abstração que emerge da noção concreta de contagem.
Acabamos de ver que o conceito de número natural é, de fato, um grande passo na abstração.
Quando uma criança não entende de forma imediata que o mesmo número 2 serve para registrar duas
colheres ou duas garrafas ou duas camisas, é porque ela ainda não deu este passo abstrato.
E é importante que percebamos isso, pois o entendimento de que o número 2 representa a quantidade de
elementos de um conjunto que possua apenas dois objetos nele é uma abstração e tanto.
Arrisco a dizer que você também nunca tinha parado para pensar sob essa perspectiva.
SISTEMAS DE NÚMEROS NATURAIS
Antes de entramos diretamente nas operações usuais com os números naturais, com os quais você muito
provavelmente está familiarizado, queremos começar olhando para esse conjunto por outras perspectivas,
algumas nada triviais.
Diversas civilizações desenvolveram sistemas de
numeração semelhantes aos números naturais que
conhecemos hoje. Veja a seguir o exemplo dos
babilônicos:
Fonte: Wikimedia.
Numerais Babilônicos, Josell7, 2010.
 IMPORTANTE
Esse sistema possui 60 algarismos, isto é, um sistema sexagesimal. Note que o número 1 é o primeiro
elemento e a representação do zero não aparece.
Já os maias possuíam 20 algarismos, como você pode ver abaixo:
 
Fonte: Matematiques
 ATENÇÃO
O sistema maia merece destaque, pois ele já contava com a representação do zero em sua concepção.
Portanto, se considerarmos pela ótica maia, o zero é, de fato, representado como um número natural.
EXEMPLO 1
Vejamos como os maias e os babilônicos representavam o número 300.
No sistema decimal, temos:
Três centenas, zero dezenas e zero unidades; (3 × 100 + 0 × 10 + 0 × 100)
No sistema babilônico seria:
Cinco sexagenas e zero unidades (5 × 60 + 0 × 60 ^ 0)
No sistema maia:
Quinze vintenas e zero unidades (15 × 20 + 0 × 20 ^0).
Você pode encontrar, ainda hoje, sistemas não decimais. O exemplo mais simples são os relógios: cada 60
segundos correspondem a 1 minuto.
Poderíamos citar diversas outras civilizações, como os romanos ou egípcios que também possuíram o seu
conjunto de números naturais, mas os maias e babilônicos tiveram ainda uma característica, presente em
nosso sistema decimal: seu sistema de numeração era posicional, isto é, o conjunto que apresentamos acima
representa as suas unidades.
UM SISTEMA POSICIONAL É EXTREMAMENTE
VANTAJOSO, POIS PERMITE QUE, DADO UM NÚMERO
QUALQUER, SEJA POSSÍVEL DETERMINAR O SEU
SUCESSOR DE FORMA SIMPLES. E A IDEIA DE
SUCESSOR É A BASE QUE NORTEIA O CONJUNTO
DOS NÚMEROS NATURAIS.
O sistema decimal que aprendemos na escola é composto de dez algarismos, a saber: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Antes de continuarmos, que tal esclarecer uma das dúvidas mais comuns no campo da Matemática, mas que
muitas pessoas ainda se confundem?
 
Fonte: Roman Samborskyi/Shutterstock
VOCÊ SABE QUAL É A
DIFERENÇA ENTRE
NÚMERO, NUMERAL E
ALGARISMO?
Temos certeza de que você não se confundirá mais:
 
O número relaciona-se sempre à quantidade! O
numeral é a representação gráfica desse número. E
algarismos são os símbolos de numeração utilizados
nessa representação gráfica.
Exemplo: 
O número vinte e nove (quantidade de dias do mês de
fevereiro, nos anos bissextos) é representado pelo
numeral 29, que é formado pelos algarismos 2 e 9.
Podemos escrever qualquer número utilizando apenas estes símbolos. Vamos entender como se dá esse
processo:
1
Suponhamos o número 423 (que identificaremos como 𝑎).
2
Poderemos dizer: 𝑎 ∈ ℕ (lemos “𝑎 pertence ao conjunto dos números naturais”) e é um número de 3
algarismos.
3
Assim: 𝑎 = 423 = 4 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 3.
4
No caso geral, isto significa que existe: 𝑎0,𝑎1 e 𝑎2∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} tal que:
 
𝑎 = 𝑎2⋅ 100 + 𝑎1⋅ 10 + 𝑎 0.
 
Em que 𝑎0 são as unidades, 𝑎1 são as dezenas e 𝑎2 são as centenas.
O CONJUNTO DE NÚMEROS QUE GERA TODO O
SISTEMA POSICIONAL É CHAMADO DE BASE. NO
CASO, O SISTEMA DECIMAL TEM BASE 10, O SISTEMA
MAIA BASE 20 E O SISTEMA BABILÔNICO BASE 60. O
RACIOCÍNIO É O MESMO PARA QUALQUER NÚMERO
NATURAL, MAS A NOTAÇÃO NÃO É TÃO AGRADÁVEL.
EXEMPLO 2
 
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Digamos que, em Marte, seus habitantes possuam apenas 3 dedos em cada mão, por isso, em sua evolução,
desenvolveram um sistema numérico posicional que tinha apenas 6 algarismos, {0𝑚,1𝑚,2𝑚,3𝑚,4𝑚,5𝑚 }. Quem
deve ser o correspondente ao número 6 do nosso sistema decimal no sistema marciano?
 
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Solução: Qual o número que deve vir depois do número 5𝑚? Note que não temos o número 6 neste sistema.
Desta forma, ocorre exatamente a mesma coisa quando queremos escrever o número que vem depois do 9
no nosso sistema decimal. Portanto é 10𝑚.
 
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Agora, vamos dar um pouco mais de profundidade ao exemplo: E o número 100_m no sistema marciano,
corresponderia a qual número em nosso sistema decimal?
 
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Solução: Existem diversas formas de dar esta resposta. Vamos optar pela maisexplícita e tentar achar um
padrão, exibindo quem é o correspondente de cada um dos números compostos por dois algarismos. Assim,
ficará mais fácil de intuirmos quem será o próximo:
 
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
0 𝑚 →0 10 𝑚 →6 20 𝑚 →12 ⋯ 50 𝑚 →30
1 𝑚 →1 11 𝑚 →7 21 𝑚 →13 ⋯ 51 𝑚 →31
2 𝑚 →2 12 𝑚 →8 22 𝑚 →14 ⋯ 52 𝑚 →32
3 𝑚 →3 13 𝑚 →9 23 𝑚 →15 ⋯ 53 𝑚 →33
4 𝑚 →4 14 𝑚 →10 24 𝑚 →16 ⋯ 54 𝑚 →34
5 𝑚 →5 15 𝑚 →11 25 𝑚 →17 ⋯ 55 𝑚 →35
 
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Podemos ver que, de uma coluna para outra, são acrescentadas 6 unidades. Com o raciocínio análogo ao
que fizemos anteriormente, o número que vem depois do 99 no sistema decimal é o 100. No caso do sistema
marciano, o 55_m faz este papel, portanto: 100_m→36
 
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Mas, imagine que você tivesse que saber a qual número corresponde o 315𝑚. Seria mais complicado! Por
isso, de modo geral, dado um número de três algarismos 𝑎𝑏𝑐𝑚 ∈ ℕ𝑚 no sistema numérico marciano, em que
𝑎,𝑏,𝑐 ∈{0𝑚,1𝑚,2𝑚,3𝑚,4𝑚,5𝑚 }, para transformá-lo em um número no nosso sistema numérico, basta fazer a
conta: 𝑎⋅62+𝑏⋅6+𝑐.
 
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Vejamos como fica o número que apresentamos no quadro anterior:
315 𝑚=3 ⋅ 62+ 1 ⋅ 6 + 5 ⋅ 60 = 108 + 6 + 5 = 119
 SAIBA MAIS
Existe uma série de nuances sobre o tema de sistemas e bases numéricas, para os que estiverem iniciando o
seu caminho nos círculos da Matemática. Para o leitor interessado, recomendo Números Naturais, de Ripoll,
Rangel & Giraldo, que faz uma extensa discussão sobre o tema, com foco no Ensino Básico.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
CONSIDERE AS COMPARAÇÕES A SEGUIR, EM QUE O LADO DIREITO MOSTRA
NÚMEROS NO SISTEMA DECIMAL E O LADO ESQUERDO NO SISTEMA MARCIANO.
SELECIONE A ALTERNATIVA QUE VOCÊ CONSIDERA VERDADEIRA:
A) 235𝑚 <90
B) 200𝑚 <70
C) 537𝑚 >200
GABARITO
Considere as comparações a seguir, em que o lado direito mostra números no sistema decimal e o
lado esquerdo no sistema marciano. Selecione a alternativa que você considera verdadeira:
A alternativa "C " está correta.
Vamos passar os números do sistema marciano para o sistema decimal: 
235𝑚=2⋅62+3⋅6+5=95>90, logo, a primeira sentença é falsa. 
200𝑚=2⋅62=72>70, logo, a segunda sentença também é falsa. 
5⋅62+3⋅6+7=205>200, logo, a terceira sentença é verdadeira.
 
 
EXEMPLO 3
 
Fonte: IR Stone/ Shutterstock
Pirâmide Maia de Kukulcan El Castilho ao pôr do sol.
Determine o sucessor e o antecessor dos números abaixo, em caracteres maias:
 
Fonte: Autor
O leitor pode pensar em cada box da esquerda para direita como dezenas e unidades, lembrando que cada
bolinha vale uma unidade e cada traço vale cinco unidades.
 
Fonte: Autor
Este é o sucessor do número dado:
É o antecessor do número proposto:
 
Fonte: Autor
O BIG BANG DOS NÚMEROS NATURAIS
MAS, AFINAL, O QUE É UM NÚMERO NATURAL?
Segundo Eave (1995), a busca sobre o entendimento dos números se originou primeiramente na Física, com
relação a uma definição precisa do que é a reta numérica. A teoria dos conjuntos se mostrou um terreno fértil
para tal construção.
A PARTIR DAÍ, FOI NECESSÁRIO REAPRESENTAR O
CONJUNTO NUMÉRICO MAIS CONHECIDO DO
PLANETA SOB UMA NOVA PERSPECTIVA.
Deve-se a Giuseppe Peano a constatação de que se pode elaborar toda a teoria dos números naturais a
partir de quatro fatos básicos, conhecidos atualmente como os Axiomas de Peano, publicado no seu livro
Os princípios da Aritmética apresentados por um novo método. Segundo ele:
GIUSEPPE PEANO 
Foi o fundador da lógica simbólica e o centro de seus interesses foram os fundamentos da Matemática
e o desenvolvimento de uma linguagem lógica formal. Em 1889, Peano publicou os seus axiomas
famosos, chamados Axiomas de Peano, que definiram os números naturais em termos de conjuntos.
Fonte: (SÓ MATEMÁTICA, 2020)
javascript:void(0)
 
Fonte: Wikipedia
“O conjunto dos números naturais possui quatro propriedades fundamentais, das quais resultam,
como consequência lógica, todas as afirmações verdadeiras que se podem fazer sobre esses números.”
Giuseppe Peano (1858-1932)
AXIOMAS DE PEANO
Talvez você esteja se questionando:
 
Fonte: Sumkinn /Shutterstock
 RESPOSTA
Os axiomas são afirmações ou proposições que não precisam ser provadas. Eles constituem-se como
alicerces nos quais uma teoria é construída.
Seja ℕ um conjunto de elementos, chamados números naturais, satisfazendo os seguintes axiomas:
I
Existe um número natural chamado de 1.
Esta afirmação é o início de tudo: existe um conjunto que possui um elemento, o primeiro. Poderia ser o zero,
mas, por uma questão de princípios, o autor definiu 1.
II
Existe uma função 𝑠:ℕ→ℕ tal que 𝑠 é injetiva (1-1), em que, para cada número natural 𝑎 ∈ ℕ, está associado
o número natural 𝑠(𝑎) denominado sucessor de 𝑎.
Este axioma garante que todo número deste conjunto possui um sucessor. Assim, dá um sentido de ordem
aos números naturais.
III
Para todo 𝑎∈ℕ, 𝑠(𝑎)≠1
Este é o resultado que caracteriza que estamos no conjunto dos números naturais e não dos inteiros, pois ele
diz que o primeiro elemento não é sucessor de ninguém, isto é, não existe ninguém neste conjunto que seja
menos que ele.
IV
(Princípio de Indução) - Se 𝑆 é um subconjunto dos números naturais ℕ, tal que:
a. 1 ∈ 𝑆
b. Se 𝑎 ∈ 𝑆 então 𝑠(𝑎) ∈ 𝑆
Então 𝑆 = ℕ
O PRINCÍPIO DE INDUÇÃO MATEMÁTICA
ESTE PRINCÍPIO MERECE DESTAQUE, POIS É UMA
FERRAMENTA PODEROSA PARA DEMONSTRAR A
VALIDADE DE AFIRMAÇÕES SOBRE O CONJUNTO DOS
NÚMEROS NATURAIS.
A comparação ao Big Bang é inevitável, como a afirmação feita pelo professor Stephen Hawking : o universo
surgiu por geração espontânea, do nada. Assim são os números naturais. Existe um conjunto com o número
1 e pronto!
STEPHEN HAWKING (1942-2018)
Foi um físico inglês que trabalhou nas leis básicas que governam o universo. Com Roger Penrose, ele
mostrou que a teoria geral da relatividade de Einstein implicava que espaço e tempo teriam um começo
no Big Bang e um fim nos buracos negros.
Fonte: (HAWKING.ORG, 2020)
Como teria dito um velho matemático alemão, Leopold Kronecker:
javascript:void(0)
 
Fonte: Sociedade Portuguesa de Matemática
“Deus criou os números naturais, todo o mais foi criado pelo Homem”
Leopold Kronecker(1823-1891).
 
Fonte: R-Type/Shutterstock
Para que você se familiarize com o Princípio de Indução Matemática, pense em um conjunto de dominós
enfileirados sobre uma mesa. Então, empurra-se uma das peças em qualquer posição. Ocorre, desse modo,
um efeito em cadeia que derruba todas as restantes. Esse é um conceito formidável! Ele está presente em
toda a Matemática de diversas formas.
Vamos pensar em uma série de proposições: 𝑃1, 𝑃2,⋯ numeradas pelos números naturais.
Suponha que podemos provar que:
𝑃𝐵= Alguma proposição da série é verdadeira.
𝑃I = A veracidade de cada proposição na série implicará a veracidade da próxima proposição.
 IMPORTANTE
Note que isso implicará que provamos todas as proposições da série, a partir da primeira ser provada como
verdade. Ou seja, provar a 𝑃𝐵 e depois 𝑃I, significa que podemos derrubar alguma peça da pilha de dominós,
e cada peça ao cair vai derrubar a próxima, qualquer que seja a peça do dominó.
Esta é uma descrição lúdica do Princípio de Indução Matemática:
𝑃𝐵 é chamado de passo básico e 𝑃I de passo indutivo.
Este processo pode ser pensado visivelmente, como uma onda de demonstrações indo de afirmação em
afirmação e formando uma cadeia de teoremas.
𝑃1→𝑃2→⋯→𝑃𝑛→𝑃𝑛+1→⋯.
PSICOLOGICAMENTE, A NATUREZA INTRÍNSECA DA
INDUÇÃO ESTÁ EM SEU PROCESSO. COMO
APRENDER ISSO? BEM, UM IMPORTANTE PROCESSO
PARA AMADURECER O PENSAMENTO LÓGICO
INDUTIVO É PERCEBER ATRAVÉS DE EXEMPLOS E
CASOS PARTICULARES QUE DETERMINADOS
FENÔMENOS DEVEM OCORRER SEMPRE.
Este pensamento ingênuo cria um vácuo de oportunidade. A pergunta é, então: O que significa ocorrer
sempre?
EXEMPLO 4
Assista, a seguir, a um exemplo em vídeo elucidado pelo professor Sandro Davison - Bachareladoem
Engenharia pelo Instituto Militar de Engenharia:
PLANO PARA RESOLVER PROBLEMAS
UTILIZANDO A INDUÇÃO MATEMÁTICA
A partir do exemplo assistido no vídeo, podemos definir alguns passos para resolver problemas matemáticos
através da indução. Lembre-se de que ainda estamos falando da contribuição de Peano para essa área do
conhecimento, no caso, seu Axioma IV.
 IMPORTANTE
A indução, como forma de raciocínio lógico, já era conhecida na Antiguidade Clássica, a partir das obras
aristotélicas, especialmente no Órganon.
.
ÓRGANON
Conjuntos de obras que apresentam a Lógica como um instrumento da Filosofia.
Então, vamos a esses passos:
Encontre no enunciado do problema uma série de proposições semelhantes. Se elas estiverem escondidas,
devemos explicitá-las e reformular o problema. Se não existir uma cadeia explícita, devemos construi-la, a fim
de que o problema se torne parte dela.
Prove o passo básico.
javascript:void(0)
Prove que qualquer que seja o número natural 𝑛, a veracidade da 𝑛-ésima proposição implica a veracidade
da (𝑛+1)-ésima proposição que é o passo indutivo.
Uma vez provado o passo básico e o indutivo, todas as sentenças estão provadas simultaneamente. A partir
daí, é possível chegar a qualquer uma delas, partindo da base passo a passo.
VAMOS ENTENDER ISSO DE FORMA PRÁTICA?
EXEMPLO 5A
Seja 𝑛 ∈ ℕ Mostre que a igualdade , é verdadeira.
PASSO BÁSICO
Consiste em considerar a sentença, no caso 𝑛=1. Desta forma, basta verificarmos que o lado direito é igual
ao lado esquerdo, de fato, pois, 
Apesar de não ser necessário, vamos verificar que quando 𝑛=2, também é verdadeiro. 1+2=3, e 
HIPÓTESE DE INDUÇÃO
Vamos estabelecer a hipótese de indução, isto é, vamos supor que a igualdade é verdadeira, até um valor 𝑛0
fixado, assim:
PASSO INDUTIVO
Queremos provar que
 
De fato, pois
ó çã
ã
 
Daí
ê
 
Obtivemos, então, exatamente a sentença que desejamos. Provamos, assim, que a igualdade proposta no
exemplo é verdadeira.
EXEMPLO 5B
Seja 𝑛∈ℕ, considere a soma dos 𝑛 primeiros números ímpares: 
Complete a tabela:
𝑛 1 +3 + ⋯ + ( 2𝑛 − 1) Resultado da soma 𝑛2
1 1 1 12
2 1 + 3 4 22
3 1 + 3 + 5 9 32
4 1 + 3 + 5 + 7 16
5 1 + __ + 5 + 7 + 9 25 52
⋮ ⋮ ⋮
1 + 3 + ⋯ + 199
SOLUÇÃO
O que temos que observar é que 199=2𝑛−1, logo 2𝑛=200, 𝑛=100.
Portanto, 𝑛2=1002.
Sobre o valor da soma, não provamos que 1+3+⋯+(2𝑛−1)=𝑛2 , mas a tabela nos induz a acreditar que de
fato isto ocorra, assim, o valor da soma é 10.000.
Deixaremos essa prova a seu cargo. Não se preocupe se você ainda não entendeu direito como se usa a
indução, você terá tempo.
javascript:void(0)
EXEMPLO 5C
Assista, a seguir, a mais um exemplo em vídeo também elucidado pelo professor Sandro Davison -
Bacharelado em Engenharia pelo Instituto Militar de Engenharia:
SURGIMENTO DOS NÚMEROS INTEIROS ℤ E
COMPLEXOS ℂ
Os números Inteiros são geralmente abordados em um primeiro curso de Álgebra e não temos aqui o intuito
de explorá-lo. Assumiremos que você tem familiaridade com as operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão de números inteiros, bem como o Teorema Fundamental da Aritmética (Fatoração) e
as desigualdades no Conjunto de Números Inteiros (ℤ).
 SAIBA MAIS
Caso queira rever ou se aprofundar, recomendamos:
— Algebra, de S. M. Birkhoff (um clássico).
— Para uma abordagem mais formal, de Milies e Coelho.
— Para uma abordagem mais informal, de Courant e Robbins.
O conjunto dos números inteiros possui diversas histórias e personagens fascinantes. Recomendamos o livro
O Último Teorema de Fermat, de Simon Singh (2014), para você conhecer mais o universo dos números
inteiros.
Alguns matemáticos se destacam quando falamos a respeito da história dos números. Veja a seguir quais
são eles:
 
Fonte: Wikipedia
LEONHARD EULER
No século XVIII, apresentou-se uma intensa atividade
em torno dos números imaginários. Leonhard Euler
 afirmava que qualquer operação usual entre números
imaginários nos daria novamente um número da forma
 , em que 𝑚 e 𝑛 eram números reais.
Segundo Ripoll, Rangel e Giraldo (2016), apesar de
toleradas as quantidades complexas e negativas, elas
não possuíam uma representação rigorosa. Somente
no início do século XIX surgem as primeiras
representações geométricas dos números negativos e
complexos.
javascript:void(0)
JEAN ROBERT ARGAND
A primeira abordagem geométrica para os números
negativos é devida a Jean Robert Argand em 1813-
1814. Ele introduz a noção de quantidades absolutas e
orientação, dando a interpretação geométrica de que
multiplicar por (−1) é a reflexão em relação à origem,
fazendo então com que (−1)⋅(−1) torne-se
naturalmente (+1).
Isto poderia ser assim representado:
Fonte: autor
 
Fonte: Lovers of Math
 
Fonte: Wikipedia
CARL FRIEDRICH GAUSS
Argand fez um trabalho muito bom, porém ele era um
matemático amador (profissionalmente, era livreiro).
Apenas em 1831, quando Carl Friedrich Gauss 
publicou o que chamou de Manifesto das grandezas
imaginárias, os números complexos e negativos
ganharam de vez o seu lugar na Aritmética, sobre os
quais era possível realizar cálculos de modo
consistente.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
LEONHARD EULER (1707-1783)
Foi o matemático mais prolífico na história. Os 866 livros e artigos dele representam aproximadamente
um terço do corpo inteiro de pesquisa em Matemática, teorias físicas e Engenharia Mecânica
publicadas entre 1726 e 1800. Em Matemática pura, ele integrou o cálculo diferencial de Leibniz e o
método de Newton em Análise Matemática. 
Fonte: (SÓ MATEMÁTICA, 2020)
JEAN ROBERT ARGAND (1768-1822)
Argand ficou famoso pela sua interpretação geométrica dos números complexos. Ele apresentou, ainda,
uma prova para o Teorema Fundamental da Álgebra, sendo, possivelmente, o primeiro a trabalhar com
o teorema no caso em que os coeficientes são números complexos.
Fonte: (EDUC, 2000)
CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855)
Matemático, astrônomo e físico alemão, criador da Geometria Diferencial, a ele se devem
importantíssimos estudos de Matemática, Física, Geometria e Astronomia. Entre outras coisas, inventou
o telégrafo e definiu o conceito de números complexos. 
Fonte: (UC, 2020)
 SAIBA MAIS
Se você quiser saber um pouco mais sobre essa história, leia Historia da Matemática — Uma visão crítica
desfazendo mitos e lendas, de Tatiana Roque, e Números Racionais, Reais e Complexos, de Jaime Ripoll et
al.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O NÚMERO NA REPRESENTAÇÃO MAIA: 
 
 
 
FONTE-AUTOR CLASS=
 
LEMBRE-SE DE CADA BOX DA ESQUERDA PARA DIREITA COMO CENTENAS,
DEZENAS E UNIDADES, E QUE CADA BOLINHA VALE UMA UNIDADE E CADA
TRAÇO VALE CINCO UNIDADES. 
 DETERMINE O ANTECESSOR E O SUCESSOR DO NÚMERO ACIMA, EM
CARACTERES MAIAS:
A)
 
Fonte-Autor
A)
B)
 
Fonte-Autor
B)
C)
 
Fonte-Autor
C)
D)
 
Fonte-Autor
D)
2. SEJA 𝒏 ∈ ℕ. CONSIDERE A SOMA: 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2𝑛−1+2𝑛. 
A PARTIR DA TABELA, RESPONDA: 
 
𝑛 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2𝑛 RESULTADO DA SOMA 2𝑛+1 VALOR DE 2𝑛+1
0 1 1 21 2
1 1 + 2 3 22 4
2 1 + 2 + 4 7 23 8
3 1 + 2 + 4 + 8 15 24 16
4 1 + 2 + 4 + 8 + 16 31 25 32
 
DE ACORDO COM O QUE OBSERVAMOS NA TABELA, QUAL DEVE SER O VALOR
ESTIMADO PARA A SOMA EM QUESTÃO COM 100 TERMOS?
A) 10000
B) 2100
C) 2100-1
D) X2101-1
GABARITO
1. Considere o número na representação maia: 
 
 
 
Fonte-Autor class=
 
Lembre-se de cada box da esquerda para direita como centenas, dezenas e unidades, e que cada
bolinha vale uma unidade e cada traço vale cinco unidades. 
 Determine o antecessor e o sucessor do número acima, em caracteres maias:
A alternativa "D " está correta.
 
Podemos perceber que os números maias, apesar de estarem na base 20, isto é, com seus algarismos
representados por números que vão de zero a dezenove, possuem uma subclassificação:
O sucessor de quatro bolinhas enfileiradas é uma barra horizontal.
O sucessor de uma barra é uma barra com uma bolinha em cima dela.
 
Fonte-Shutterstock
A regravale até três barras enfileiradas. Devemos estar atentos ao fato de que o mesmo se aplica aos
antecessores. Como estamos falando de sucessores e antecessores no exercício, basta que observemos a
casa das unidades, que é a ultima casa, olhando da esquerda para a direita. Desta forma, podemos perceber
que temos três barras.
 
O sucessor de três barras, pela lógica apresentada, deve ser o box com três barras com uma bolinha em
cima.
 
O antecessor de três barras é o número duas barras com quatro bolinhas em cima. Desta forma, a resposta
fica:
 
Fonte-Shutterstock
2. Seja 𝒏 ∈ ℕ. Considere a soma: 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2𝑛−1+2𝑛. 
A partir da tabela, responda: 
 
𝑛 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2𝑛 Resultado da soma 2𝑛+1 Valor de 2𝑛+1
0 1 1 21 2
1 1 + 2 3 22 4
2 1 + 2 + 4 7 23 8
3 1 + 2 + 4 + 8 15 24 16
4 1 + 2 + 4 + 8 + 16 31 25 32
 
De acordo com o que observamos na tabela, qual deve ser o valor estimado para a soma em questão
com 100 termos?
A alternativa "D " está correta.
 
A pergunta foi simples: no caso, queremos saber apenas a expressão do resultado dos 100 primeiros termos
da soma proposta. A tabela nos faz acreditar que o resultado da soma será 2𝑛+1−1. Note que isso é o que a
tabela está nos induzindo, assim, a resposta correta é a letra D.
 
Vamos provar o caso geral. Poderíamos provar por indução que tal sentença é verdadeira para todo número
natural 𝑛. Entretanto, preferimos outra abordagem, mais simples.
 
Digamos que o valor desta soma seja 𝑥, então 𝑥 = 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2 𝑛 - 1 + 2 𝑛.
 
E multiplicando por 2 ambos os lados, temos 2𝑥 = 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2 𝑛 + 2 𝑛+1
2𝑥 − 𝑥 = 𝑥 = 2 𝑛+1 −1
 Relacionar a criação dos números racionais e reais positivos à necessidade de realização de medidas e
manipulação das operações matemáticas básicas
INTRODUÇÃO
Os números naturais e inteiros advêm do processo da contagem, tanto para acrescentar ou retirar. Contudo,
na vida diária sempre se precisou medir quantidades, tais como comprimentos, áreas, pesos e tempo.
Desejamos operar livremente as grandezas dessas quantidades. Para tal, devemos expandir o domínio de
nossa Aritmética para além dos números inteiros.
A pergunta que gostaríamos de responder inicialmente é:
DADOS 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, QUEM DEVE SER 𝑥 TAL QUE 𝑎⋅𝑥=𝑏?
No contexto dos números naturais, essa pergunta é tratada como um problema geométrico, com aparições
desde o século V a.C. O valor de 𝑥 era denominado terceira proporcional, assim concluímos que o manuseio
dos números racionais é muito anterior ao dos números inteiros.
A MEDIDA E OS NÚMEROS RACIONAIS
A medida dá origem aos números racionais positivos quando desejamos comparar grandezas de mesma
espécie.
Necessitamos estabelecer uma unidade, uma grandeza 𝑢 fixada como referência, com a qual outras
grandezas de mesma espécie são comparadas.
ESTE PENSAMENTO NOS LEVA A UMA IDEIA
INCOMPLETA, MAS INTUITIVA: MEDIR = DETERMINAR
QUANTAS VEZES A UNIDADE OU ALGUMA
SUBDIVISÃO DELA CABE NA GRANDEZA A SER
MEDIDA (ESSE PENSAMENTO NÃO É ERRADO,
APENAS INCOMPLETO).
Se estabelecermos um comprimento qualquer 𝑙, e
tomarmos um quadrado exatamente com essa medida
de lado, então, independentemente da unidade
escolhida, com base em alguma subdivisão em partes
iguais do lado do quadrado, nunca iremos conseguir
dois números naturais, tal que a diagonal do
quadrado e o lado do quadrado sejam múltiplos
inteiros desta unidade.
Fonte: autor
javascript:void(0)
NUNCA IREMOS CONSEGUIR DOIS NÚMEROS
NATURAIS
Não se preocupe com essa afirmação! Você a entenderá perfeitamente, ainda neste módulo!
ENTENDIMENTO GEOMÉTRICO DOS NÚMEROS
RACIONAIS
Passamos agora ao entendimento geométrico dos números racionais. Fixada uma grandeza 𝑎 e uma unidade
𝑢, tal que ela não possa ser colocada um número inteiro de vezes na grandeza 𝑎 a ser comparada, contudo
suponha que possamos subdividir a unidade 𝑢 em uma quantidade 𝑞, obtendo, então, uma nova unidade
, menor que 𝑢 tal que a qual passa, então, a caber uma quantidade inteira 𝑝 de vezes na
grandeza 𝑎, assim com isto, temos: ã
 ATENÇÃO
Dizemos neste caso que um número racional é a medida de uma grandeza 𝑎, em que 𝑝,𝑞 ∈ ℕ. Desta
forma, vemos que os números racionais positivos surgem de modo natural do conjunto ℕ. Voltaremos a esta
discussão na próxima seção. Parece confuso? Tranquilize-se! Com o exemplo, tudo ficará bem mais claro!
EXEMPLO 1
Sejam 𝑢 a unidade, û, uma subdivisão da unidade 𝑢 e 𝑎 uma grandeza da mesma espécie de 𝑢, que se
relacionam segundo a imagem a seguir:
 
Fonte: autor
Vemos claramente que 𝑢=8⋅û e 𝑎=5⋅û . Desta forma, podemos expressar 𝑎 em termos da unidade, pois:
û
û
Então: 
Logo, a medida de 𝑎 é 
EXEMPLO 1B
Assista, a seguir, a um vídeo no qual o professor Sandro Davison aborda o entendimento geométrico dos
números racionais.
A CONCEPÇÃO MODERNA DOS NÚMEROS
RACIONAIS
O tópico anterior apresentou de forma geométrica o surgimento dos números racionais, a partir de ter fixado
uma unidade como referência. De fato, uma excelente forma de se compreender esse conteúdo ou mesmo
apresentá-lo a quem gostaria de aprender Matemática.
 
Mas, seguindo a mesma percepção que tivemos com os Axiomas de Peano, podemos conceber a criação
dos números racionais a partir do que já sabemos sobre números inteiros. Perceba que continuamos no
campo do conjunto das frações, mas com um olhar levemente diferente.
DESSA FORMA, QUE OBJETO DA TEORIA DOS
CONJUNTOS PODE NOS AJUDAR A DESCONSTRUIR O
CONCEITO , COM 𝒑,𝒒 ∈ ℤ E 𝒒≠𝟎?
Pode não parecer tão imediato em um primeiro momento, mas podemos traçar uma relação entre frações e
pares ordenados, por exemplo: 
Assim, podemos olhar uma fração como um par ordenado. Logo, o conjunto que dá origem aos racionais do
ponto de vista da lógica matemática é ℤ × ℤ∗, em que ℤ∗= ℤ ∖ { 0 }.
A figura a seguir ilustra de forma geométrica como devemos imaginar os números racionais:
 
Fonte: autor
No entanto, temos algumas arestas a serem aparadas. Por exemplo, os pares ordenados (4, 5) e (12, 15) são
diferentes, já as frações são as mesmas.
 
Para resolver este problema, você deve lembrar que duas frações são iguais ou equivalentes quando 𝑎
⋅ 𝑑 = 𝑐 ⋅ 𝑑.
 DICA
Assim, utilizando as ideias já existentes, podemos definir uma relação de equivalência.
SEJAM (𝒂,𝒃),(𝒄,𝒅) ∈ ℤ × ℤ ∗, DIREMOS QUE (𝒂,𝒃) É
EQUIVALENTE A (𝒄,𝒅) QUANDO 𝒂⋅𝒅=𝒄⋅𝒅.
Em linguagem matemática, escrevemos (𝑎 , 𝑏) ≅ (𝑐 ,𝑑).
 
Definimos, então, um número racional como sendo o conjunto de todos os pares ordenados (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ × ℤ
∗, tal que (𝑎 , 𝑏) ≅(𝑝, 𝑞).
 
 IMPORTANTE
Note que fixado 𝑛 ∈ ℤ, o par (𝑝, 𝑞) é equivalente a (𝑝 ⋅ 𝑛, 𝑞 ⋅ 𝑛), pois 𝑝⋅(𝑞 ⋅ 𝑛) = 𝑞 ⋅ ( 𝑝 ⋅ 𝑛), assim, podemos
dizer sem perda de generalidade que os conjuntos , São iguais. Nesse sentido, podemos perceber
que tanto faz escrevermos , o número independe do representante do conjunto. Outra forma de
percebermos isso é entender que também podemos escrever 1/2 ou 2/4, pois indicam a mesma quantidade
representada.
Imagine que você divida uma maçã em duas partes
iguais e coma uma das partes (1/2). Não seria a
mesma situação se você a dividisse em quatro partes
iguais, e comesse duas destas partes (2/4)?
 
Fonte: Nataly Studio/Shutterstock
DEFINIÇÃO: 
DADO UM NÚMERO RACIONAL ∈ ℚ, DIREMOS QUE
 É IRREDUTÍVEL SE O ÚNICO DIVISOR NATURAL
COMUM DE 𝒑 E 𝒒 FOR O NÚMERO 1.
EXEMPLO 2
Considere os números: .
Diga se eles são ou não irredutíveis.
Vejamos: como foi relatado, esperamos que você tenha alguma familiaridade com as operações
básicas.
Para resolver este problema, recomendamos o uso de uma tabela, onde nós vamos colocar os divisores do
numerador em uma linha e os divisores do denominador em outra. Se apenas o 1 aparecer nas duas tabelas,
simultaneamente, então a fração será irredutível. Esse pode não ser o método mais rápido, mas é o mais
simples.
49 1,7,49
21 1,3,7,21
Percebemos neste caso que o 1 e o 7 aparecem como divisoresde ambos os números, no caso 49 e 21.
Desta forma, temos que a fração é redutível. Apesar de ser redutível, note que existe um representante
irredutível para esta fração, pois e neste caso é irredutível.
9 1,3,9
14 1,2,7,14
Percebemos neste caso que apenas o número 1 ocorre como divisor em ambas as tabelas, por isso, temos
pela definição que é irredutível.
 ATENÇÃO
Obs. 1: Dada uma fração ∈ ℚ, sempre existe um representante, (𝑝,𝑞)∈ , tal que é irredutível.
Obs. 2: Entendemos perfeitamente o que você deve estar pensando, “Mas, como assim? Um número
racional é um conjunto?”.
Sim, um número racional é um conjunto, mas se você pensar bem, ele já era um conjunto, pois se fixarmos,
por exemplo, (2,3)∈ ℤ×ℤ∗, o que é este número? Pela nossa definição , que é o mesmo número que:
, para quaisquer 𝑛 ∈ ℤ. Sendo assim, as frações equivalentes que vemos no Ensino
Fundamental apresentam o conceito de classes de equivalência, mas sem fazer alarde.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
QUAL DAS SENTENÇAS A SEGUIR É O REPRESENTANTE IRREDUTÍVEL DA
FRAÇÃO 432180 ?
A) 21690
B) 10845
C) 7230
D) 125
GABARITO
Qual das sentenças a seguir é o representante irredutível da fração 432180 ?
A alternativa "D " está correta.
O que estamos pedindo aqui é que você simplifique a fração até que isso não possa mais ser feito. De forma
geral, temos: 
432180=2⋅2162⋅90=2⋅2⋅1082⋅2⋅45=4⋅3⋅364⋅3⋅15=12⋅3⋅1212⋅3⋅5=125 
Portanto, a resposta correta é a letra d).
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Para que possamos nos aprofundar ainda mais nessa concepção moderna dos números racionais, devemos
ter em mente que uma interpretação geométrica está no entendimento das soluções das equações 𝑞⋅𝑥=𝑝,
com 𝑝,𝑞 ∈ ℤ e 𝑞≠0.
 
Observemos isto graficamente:
 
Fonte: autor
Você pode notar que todos os pontos pretos que estão sobre uma mesma reta na figura, pertencem ao
mesmo conjunto. Sob a luz desta perspectiva, podemos pensar sobre esta nova representação no sentido
das inclusões ℕ⊂ℤ⊂ℚ, como segue na próxima figura:
 
Fonte: autor
O conjunto dos números naturais está representado pelos pontos amarelos, o conjunto dos números inteiros
são os pontos amarelos e os verdes e, por fim, o conjunto dos números racionais são os pontos de cor
amarela, verde e azul.
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Você sabe o que significa uma relação de equivalência?
Uma relação de equivalência em ℤ×ℤ* é um objeto matemático que satisfaz as 3 propriedades a seguir:
1 - REFLEXIVA
(𝑝,𝑞)≅(𝑝,𝑞)
2 - SIMÉTRICA
(𝑝,𝑞) ≅ (𝑥,𝑦)⇒ (𝑥,𝑦) ≅ (𝑝,𝑞)
3 - TRANSITIVA
(𝑝,𝑞) ≅ (𝑥,𝑦) e (𝑥,𝑦) ≅ (𝑎,𝑏) ⇒ (𝑝,𝑞) ≅ (𝑎,𝑏)
Para que o aluno possa entender melhor as relações
de equivalência, vamos pensar sobre a relação de
amizade, em sentido amplo.
Fonte: Rawpixel.com/ Shutterstock
- A reflexividade nos diz que uma pessoa é amiga de si mesma.
- A simétrica nos apresenta que a relação de amizade é mútua: se eu sou seu amigo, então você também é
meu amigo.
- Por fim, a transitiva diz que se um amigo seu tiver um amigo, essa pessoa é imediatamente sua amiga
também.
É claro que isto é apenas um contexto lúdico, mas espero que você tenha entendido a ideia das relações de
equivalência.
 ATENÇÃO
É muito importante que você perceba que estamos aqui apenas apresentando as ideias básicas acerca deste
mundo tão fantástico da Matemática. Portanto, há muito a se aprender, muito a ser aprofundado.
As relações de equivalência são, de modo geral, um conceito extremamente abstrato. Frações equivalentes
são apenas um exemplo que apresenta de forma simples o conceito, especialmente para os principiantes
nesse vasto universo matemático. Saiba, portanto, que este tema escala em âmbito de generalidade e
abstração que só pode ser de fato entendido quando se ganha experiência e maturidade matemática, e como
toda maturidade, só se adquire com o tempo.
EXEMPLO
Assista a seguir a mais um vídeo com o professor Sandro Davison. Desta vez, ele vai apresentar a resolução
de um exercício sobre malha em Z×N.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
SEJAM PQ ∈ ℚ UMA FRAÇÃO. QUAL DAS SENTENÇAS ABAIXO É VERDADEIRA? 
 
DICA: PARA MOSTRAR QUE ALGO É FALSO, BASTA EXIBIR UM CASO EM QUE A
SENTENÇA SEJA FALSA. ASSIM, TENTE VERIFICAR QUE EXISTEM 4 AFIRMAÇÕES
FALSAS. A QUE SOBRAR SERÁ A VERDADEIRA.
A) pq é irredutível.
B) Se 𝑝 é par e pq é redutível, então 𝑞 é par
C) Se p2q2 é irredutível, então pq é irredutível.
D) Se 𝑝 é ímpar e pq é irredutível, então 𝑞 é par.
GABARITO
Sejam pq ∈ ℚ uma fração. Qual das sentenças abaixo é verdadeira? 
 
DICA: Para mostrar que algo é falso, basta exibir um caso em que a sentença seja falsa. Assim, tente
verificar que existem 4 afirmações falsas. A que sobrar será a verdadeira.
Parabéns! A alternativa “C” está correta. 
Vamos por eliminação: 
a) É falsa, pois, se escolhermos pq=24, esta fração é redutível. 
b) É falsa, pois se escolhermos pq=69, temos que 𝑝=6 é par, ela é redutível, mas 𝑞=9 é ímpar. 
c) É verdadeira, mas vamos verificar que as outras são falsas, que é bem mais simples. 
d) É falsa, pois, se escolhermos pq=35, temos que 𝑝=3 é ímpar, ela é irredutível, mas 𝑞=5 é ímpar.
ALGUMAS OPERAÇÕES EM ℚ
Apesar das ideias abstratas, a medida ainda é o que nos guia na hora de definir as operações com frações. A
seguir, uma breve síntese das operações de soma e divisão de frações com objetivo de darmos sentido a
essas operações.
SOMA
Primeiro, devemos lembrar que, para executar a soma, as grandezas devem ser colocadas sob a mesma
unidade ou subunidade. Por exemplo:
 
 
Pensando em segmentos, o que temos aqui são duas barras de mesmo material e mesmo tamanho, em que
a primeira barra está dividida em 3 partes e usamos uma, e a segunda está dividida em 5 partes e usamos 3.
O ponto é que em cada barra estão sendo utilizadas unidades diferentes. O que devemos fazer é colocar as
barras sob a mesma subunidade. Como?
BARRA 1
A barra 1 está dividida em 3 partes. Dividindo cada uma delas em 5 partes, vamos obter 15 partes no total.
Mas, se usamos uma das 3 partes na unidade anterior, agora vamos utilizar 5 partes com a nova unidade,
pois sabemos que 
BARRA 2
A barra 2 está dividida em 5 partes. Dividindo cada uma delas em 3 partes, vamos obter 15 partes no total.
Mas, se usamos três das 5 partes na unidade anterior, agora vamos utilizar 9 partes com a nova unidade,
pois sabemos que assim: 
De forma geral: 
Definição:
Dados ∈ ℚ tem-se 
Esta pode não ser exatamente a forma como você aprendeu a somar frações na infância, mas, no fim, é a
mesma coisa. Estamos evitando usar termos como MMC (Mínimo Múltiplo Comum) ou MDC (Máximo Divisor
Comum). Lembra-se deles?
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
GASTEI 39 DO MEU SALÁRIO COM ALIMENTAÇÃO E 25 COM AS DEMAIS
DESPESAS. O QUE SOBROU FOI APLICADO EM UM INVESTIMENTO DE RENDA
FIXA. QUAL FRAÇÃO DO MEU SALÁRIO FOI COLOCADA NO INVESTIMENTO?
A) 3345.
B) 514
C) 415
D) 914
GABARITO
Gastei 39 do meu salário com alimentação e 25 com as demais despesas. O que sobrou foi aplicado
em um investimento de renda fixa. Qual fração do meu salário foi colocada no investimento?
Parabéns! A alternativa “C” está correta. 
A conta é simples. O que foi gasto corresponde a 3 9+ 2 5=15+1845=3345. 
Esta é a parte que foi gasta. Como queremos o que foi investido, então: 3345−4545=1245 
A resposta poderia ser esta, sem problemas, mas ela não está na múltipla escolha, note que 1245=415 
 
DIVISÃO
Lembre-se de que uma divisão já é uma fração, assim, a divisão de frações pode ser pensada da seguinte
forma: .
Segundo o mesmo princípio das frações equivalentes, isto é, quando multiplicamos o numerador (a parte de
cima da fração) e o denominador (a parte de baixo da fração) pelo mesmo valor, continuamos a ter a mesma
fração. Assim:
 
 .
De forma geral:
Definição:
Dados ∈ ℚ com 𝑚≠0, tem-se 
 RELEMBRANDO
Provavelmente, você tenha se lembrado da famosa regra: Mantenha o primeiro e multiplique pelo inverso do
segundo.
EXEMPLO 3
Uma geladeira foi comprada de maneira que do valorforam pagos à vista. O restante do valor deve ser
pago em 10 prestações iguais. Qual a fração, em relação ao total, de cada parcela?
SOLUÇÃO
A ideia é simples: ficaram faltando do valor da geladeira, e esta quantia foi dividida em 10 parcelas fixas.
Logo, o montante de cada parcela vai corresponder a . 
OS INCOMENSURÁVEIS E O SURGIMENTO DOS
NÚMEROS REAIS
javascript:void(0)
Segundo Eave (1995), os pitagóricos acreditavam que os números eram a essência do universo e da
sociedade secreta grega. Sob a concepção moderna, um número para os pitagóricos correspondia aos
números racionais positivos.
 
Devemos ter o cuidado de localizar os próximos eventos, narrados há aproximadamente 500 a.C., porque
não há como ter precisão histórica em relação ao que vamos contar, mas a reflexão vale muito a pena!
 
O problema se inicia com um fato guardado a sete chaves pelos pitagóricos:
PITAGÓRICOS
Pitágoras (570 a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego, creditado como fundador do
pitagorismo.
A DIAGONAL DE UM QUADRADO É INCOMENSURÁVEL
COM SEUS LADOS.
O QUE ISSO SIGNIFICA?
Segundo o Teorema de Pitágoras, deve-se ter que: Se
𝑥 é a diagonal de um quadrado de lado 𝑙, então 𝑥 deve
ser a solução da equação 𝑥2=𝑙2+𝑙2, portanto 𝑥2=2𝑙2.
Assim, se estabelecermos um comprimento qualquer,
e tomarmos um quadrado exatamente com essa
medida de lado, independentemente da unidade
escolhida, com base em alguma subdivisão em partes
javascript:void(0)
iguais do lado do quadrado, nunca iremos conseguir
dois números naturais, tal que a diagonal do quadrado
e o lado do quadrado sejam múltiplos inteiros desta
unidade.
 
Fonte: Autor
De acordo com Eave (1995), toda a teoria da proporção pitagórica e das figuras semelhantes era baseada
nesse pressuposto óbvio. Assim, grande parte da Geometria pitagórica foi subitamente invalidada.
 CURIOSIDADE
A lenda conta que Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras, foi misteriosamente naufragado após ter
exposto esse segredo.
Outra relação que ilustra a incomensurabilidade entre grandezas é a comparação entre o diâmetro 𝐷 e o
perímetro 𝐶 de um círculo que gera o famoso número 𝜋, em que
 
Fonte: autor
Neste caso, a prova que tais grandezas são incomensuráveis é bem mais difícil e sofisticada. A primeira
prova foi dada apenas em 1770, por Johann Lambert.
Uma prova simplificada para este fato pode ser encontrada em Niven (1947) ou com maiores detalhes em
Spivak (1970). Decorre da existência de grandezas incomensuráveis a necessidade de se expandir o
conjunto dos números racionais.
OS NÚMEROS REAIS FORAM UM CAPÍTULO E TANTO
NO DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO
MATEMÁTICO E SOMENTE COMPLETAMENTE
ENTENDIDOS PELA COMUNIDADE MATEMÁTICA NA
SEGUNDA METADE DO SÉCULO XIX.
Como já falamos, haverá sempre um mundo a se mergulhar no âmbito da Matemática!
As atividades a seguir ilustram um pouco da dificuldade que se pode encontrar quando trabalhamos com
frações.
EXEMPLO 4
Adaptada da OBMEP
Um ônibus transporta 31 estudantes da Estácio, baianos e mineiros, para um encontro nacional de educação.
Entre os baianos, são homens e, entre os mineiros, são mulheres. Entre todos os estudantes, quantas
são as mulheres?
SOLUÇÃO
Esta questão é delicada, mas muito bonita também. Aqui, fica nítido que não conhecemos as unidades do
problema e que eles se encontram em unidades distintas, assim, se simplesmente fizermos a soma das
frações, isso não irá nos dar uma resposta adequada. Neste problema, temos duas unidades, representadas
em baianos e mineiros.
 
Porém, o problema deixa algumas coisas claras:
Baianos + Mineiros = 31.
A quantidade de mineiros como unidade, é divisível por 7, pois são mulheres.
A quantidade de baianos como unidade é divisível por 5, pois são homens.
VAMOS FAZER UMA TABELA:
Múltiplos de 7 Número cuja soma é 31
7 24
14 17
21 10
28 3
Vemos claramente que a terceira linha é única que satisfaz as 3 condições relatadas. Logo, temos 21
mineiros e 10 baianos. Assim, podemos construir a seguinte tabela:
javascript:void(0)
Mineiros Baianos Total
Mulheres 6 15
Homens 12 16
Total 21 10 31
Agora todos os alunos estão sob a mesma unidade. Com isso, a fração que representa a quantidade de
mulheres é .
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJAM 𝒖 A UNIDADE, Û UMA SUBDIVISÃO DA UNIDADE 𝒖, 𝒂 E Â GRANDEZAS DA
MESMA ESPÉCIE DE 𝒖 QUE SE RELACIONAM SEGUNDO A IMAGEM A SEGUIR: 
 
 
FONTE: AUTOR
DETERMINE 𝑎 EM TERMOS DE Â. 
A) a=54⋅â
B) Xa=57⋅â.
C) a=45⋅â
D) a=75⋅â
2. CONSIDERE A MALHA EM ℤ × ℕ. DETERMINE A ALTERNATIVA QUE EXIBE
TODOS OS PONTOS QUE PERTENCEM AO CONJUNTO 12: 
 
 
FONTE: AUTOR
 
A) 𝑔11; 𝑓14
B) 𝑔10; 𝑓12;𝑒14
C) 𝑓9; 𝑑10; 𝑏11
D) 𝑔6; 𝑓4; 𝑒2
GABARITO
1. Sejam 𝒖 a unidade, û uma subdivisão da unidade 𝒖, 𝒂 e â grandezas da mesma espécie de 𝒖 que se
relacionam segundo a imagem a seguir: 
 
 
Fonte: autor
Determine 𝑎 em termos de â. 
A alternativa "D " está correta.
 
Vemos claramente que 𝑢=4⋅û, 𝑎=5⋅û e â=7⋅û. Desta forma, podemos expressar 𝑎 em termos da unidade, 
u=4⋅ûa=5⋅ûâ=7⋅û.
Então:
a=57⋅â.
Com isto, temos que o conceito de número racional positivo surge da noção de medida entre grandezas
comensuráveis.
2. Considere a malha em ℤ × ℕ. Determine a alternativa que exibe todos os pontos que pertencem ao
conjunto 12: 
 
 
Fonte: autor
 
A alternativa "C " está correta.
 
Novamente uma imagem vale mais que mil palavras. A seguir, temos a representação dos números racionais
como pontos do plano cartesiano. Como vimos no módulo, a classe de um número racional pq são todos os
pontos do plano (𝑚,𝑛) tal que estejam sobre a reta que passa pela origem e pelo ponto (𝑝,𝑞). Assim,
considerando a reta que passa pela origem e pelo ponto (1,2) = 𝑓 9, vemos que 𝑑10 e 𝑏11 também pertencem
à classe de 12.
 
Fonte: autor
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A Aritmética é o estudo dos conjuntos numéricos. Resumidamente, estudamos os números naturais –
aqueles que surgem naturalmente pela necessidade humana de contar as coisas – com um pouco mais de
profundidade. Também através dos números naturais obtivemos a excelente oportunidade de conhecermos o
Princípio de Indução Matemática, que é uma ferramenta poderosíssima dentro da ciência de forma geral. E
isso fizemos com a ajuda de Peano, lembra-se?
 
Estudamos também com um pouco mais de empenho os números racionais: aqueles relacionados às
questões sobre a necessidade de medir as coisas. Tivemos a oportunidade de perceber a necessidade dos
números reais devido aos incomensuráveis e, em um contexto histórico, o surgimento dos números inteiros e
complexos.
 
Portanto, apresentamos a você a ideia de que todo conhecimento matemático é sempre inicial, ou seja,
sempre haverá muito mais a se aprender. E é nisto que acreditamos: que você irá buscar mais e mais se
aprofundar nesse mundo!
REFERÊNCIAS
BEZERRA, Juliana. Pitágoras. In: Toda Matéria. Publicado em: 25 set. 2019.
BIRKHOFF, S. M. Álgebra. 3rd. ed. New York: AMS, 1988.
COURANT, R.; ROBBINS, H. O que é Matemática. Rio de Janeiro: CM, 2000.
EAVE, H. Introdução à História da Matemática. São Paulo: Unicamp, 1995.
FOMIN, D. A. Círculos Matemáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
GIUSEPPE Peano. In: Só Matemática. Consultado em meio eletrônico em: 21 mai. 2020.
HEFEZ, A. Curso de Álgebra. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2016.
JEAN-ROBERT Argand. In: Educ. Universidade de Lisboa. Consultado em meio eletrônico em: 21 mai.
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NIVEN, I. A simple Proof that pi is irrational. In: Bull. Amer. Math. soc, 509, 1947.
RIPOLL, C.; Rangel, L.; GIRALDO, V. Números Inteiros. Rio de Janeiro: SBM, 2016.
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ROQUE, T. História da Matemática: Uma visão crítica desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiro: Zahar,
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SPIVAK, M. Calculus. v. 2. Barcelona: Reverté S.A., 1970.
STEPHEN Hawking. The Official Website. Consultado em meio eletrônico em: 21 mai. 2020.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, acesse:
O site da Sociedade Brasileira de Matemática.
Assista:
Canal A Matemaníaca, por Julia Jaccoud, YouTube.
Canal M3 Matemática Multimídia, que pode ajudar você a aprofundar conceitos básicos apresentados
aqui. Por exemplo, o vídeo A Razão dos Irracionais, que fala sobre os matemáticos pitagóricos.
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, acesse:
A dissertação de mestrado A construção histórica dos sistemas de numeração como recurso
didático para o Ensino Fundamental I, de Claudélcio G. Leite, defendida na UFC (Universidade
Federal do Ceará), que apresenta diversos sistemas de numeração com uma abordagem lúdica,
adaptada para alunos do Ensino Fundamental.
CONTEUDISTA
Marcelo Leonardo dos Santos Rainha
 CURRÍCULO LATTES
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