02_sinais_sistemas

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SINAIS E 
SISTEMAS
�1
DEFINIR
OBJETIVOS
• O que significa sinal 
• O que significa sistema 
• Exemplos 
• Tipos de sinais 
• Representação de sinais
�2
EXEMPLO
QUE É UM SINAL?
• Exemplo: a voz sendo captada por um microfone: 
• O som é uma onda mecânica que se propaga pelo ar. 
• Ela tem uma freqüência, um comprimento de onda, uma intensidade, uma 
velocidade de propagação, uma direção, uma frente de onda, sofre 
interferência, reflete nas paredes, etc. 
• O som é transmitido de um ponto a outro, enviando uma informação: O som é 
um sinal. 
• Como o som é uma onda mecânica, ela é modelada por uma equação de onda 
• Esta equação de onda é a representação matemática do som e portanto uma 
representação do sinal que se propaga
�3
Direção de propagação
In
te
ns
id
ad
e 
da
 p
re
ss
ão
Ondas sonoras
I(t, x) = I ⋅ cos(k ⋅ x − ω ⋅ t)
�4
DEFINIÇÃO
SINAL
• Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula uma informação 
sobre a natureza de um fenômeno físico (ou químico, ou 
biológico, ou humano, ou econômico, ou político … - depende de 
como modelamos o sistema) 
• Se o sinal é função de uma variável, ele é unidimensional 
• Se o sinal é função de mais de uma variável, ele é 
multidimensional 
�5
EXEMPLOS
SINAIS
• Sinal de voz: bidimensional, temos a posição e o tempo como variáveis 
• Sinal elétrico de uma rede residencial: unidimensional, temos o tempo 
como variável 
• Onda de radio (TV, rádio, dados): bidimensional, temos a posição e o 
tempo como variável 
• Imagem vista pelo olho de uma pessoa: multidimensional: variáveis 
são as cores, distância, quantidades, etc.. 
• Escrita: Durante a leitura a imagem das palavras é vista pela pessoa, a 
variável é uma palavra lida serialmente pela mente da pessoa. = 
unidimensional
�6
MAIS UNS EXEMPLOS:
SINAIS
• Batimentos cardíacos lidos por um sensor eletrônico: 
unidimensional , batidas por segundo 
• Pressão sanguínea 
• Variação de temperatura ambiente 
• Rentabilidade 
• Transparencia governamental 
• Risco de mercado
�7
DEFINIÇÃO
SISTEMA
• Um sistema é uma entidade que manipula um ou mais sinais para 
realizar uma função, produzindo novos sinais. 
• Matematicamente o sistema é um modelo composto de uma 
equação ou sistema de equações lineares 
SISTEMA
Sinais de entrada Sinais de saída
�8
RECONHECIMENTO DE VOZ
EXEMPLO
• Voz = sinal de entrada 
• Microcontrolador com algoritmo = sistema 
• Luz indicadora ou mensagem exibida em um display: saída
�9
SISTEMA DE COMUNICAÇÃO DIGITAL
EXEMPLO
• Dados digitais = sinal de entrada 
• Transmissor + receptor = sistema 
• Dados digitais recebidos = sinal de saída
�10
SISTEMA DE CONTROLE
EXEMPLO
• Variáveis de entrada 
• Sistema: Realimentação, controlador (on/off, PID, controle digital, 
etc), processo, atuador, distúrbios. 
• Variáveis de saída
�11
TIPOS
CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS
• Sinais constantes ou contínuos: O valor não muda com o passar 
do tempo, ou de qualquer outra variável. Exemplo: A diferença de 
potencial em uma fonte de tensão contínua ideal. 
• Sinais variáveis: O valor muda com o passar do tempo, podem ser 
aleatórios, periódicos, crescentes, decrescentes, exponenciais. 
Exemplo: Uma fonte de tensão senoidal em regime permanente. 
�12
ELETRICIDADE
EXEMPLO
Baterias 
Fonte CC do laboratório 
Gerador CC 
Gerador CA 
Tensão na tomada 
Gerador de sinais 
(obs. Existem outras 
formas de tensão CA 
além da senoidal)
v(t) = V
v(t) = Vp cos(ωt)
�13
DEFINIÇÃO
LINEARIDADE
• Definimos um elemento linear como um elemento passivo que 
tem uma relação causa - efeito linear. 
• Exemplo: Lei de Ohm em um resistor linear 
• A relação linear quer dizer simplesmente que a multiplicação de 
um sinal por uma constante é igual ao sinal resposta. 
• Definimos um sistema linear como um sistema composto 
inteiramente composto por sinais independentes, sinais 
dependentes lineares e elementos lineares. 
v(t) = R ⋅ i(t)
�14
DEFINIÇÃO
SUPERPOSIÇÃO
• A consequência mais importante da linearidade é a superposição. 
• Em qualquer sistema linear 'G' o sinal de saída (resposta) pode ser 
calculada pela soma algébrica de cada um dos efeitos isolados de 
cada sinal de entrada 
• Um sistema é linear quando satisfaz o princípio da superposição
G{a1x(t) + a2x(t)} = a1G{x1(t)} + a2G{x2(t)}
�15
DEFINIÇÕES FORMAIS
SINAIS
• Sinal Contínuo: Um sinal contínuo x(t) é uma função (real ou 
complexa) cujo domínio é o conjunto dos números reais. 
• Sinal Discreto: Um sinal discreto x[n] é uma função real ou 
complexa cujo domínio é o conjunto de números inteiros.
�16
DEFINIÇÕES
SISTEMAS
• Sistema contínuo: São sistemas cujas entradas e saídas são 
funções escalares (sinais reais ou complexos) contínuos no tempo. 
• Sistema linear: Um sistema é linear se satisfaz o principio da 
superposição 
• Invariante no tempo: Um sistema é invariante no tempo se um 
deslocamento de entrada produz igual deslocamento na saída
G{a1x(t) + a2x(t)} = a1G{x1(t)} + a2G{x2(t)}
y{t − a} = G{x(t − a)}
�17
NÃO FAZ PARTE DO CURSO
SISTEMAS E SINAIS DISCRETOS
• São sistemas cujas entradas e saídas são sequencias enumeráveis 
de escalares reais ou complexos. 
• Sendo x[n] as entradas e y[n] as saídas 
• Um sinal discreto x[n] é uma função real ou complexa cujo 
domínio é o conjunto dos números inteiros.
y[n] = G{x[n]}
�18
TIPOS
RESPOSTAS DE UM SISTEMA
• A solução de um sistema de equações diferenciais representa a 
resposta de um sistema 
• Quando a resposta depende da natureza geral do sistema 
(características) ela é geralmente chamada de natural, ela é 
determinada considerando uma excitação do sistema com uma função 
impulso unitário. 
• Quando a resposta é relativa a um excitação a uma função degrau 
unitário, ela é uma resposta transitória. 
• Quando a resposta é relativa a uma excitação a um sinal periódico ela 
é chamada de resposta forçada. Neste caso o regime de excitação do 
sistema é permanente. 
�19
LARGURA OU COMPRIMENTO
TAMANHO DO SINAL
• O tamanho de uma entidade é um número que indica a largura ou 
comprimento ou volume da entidade. 
• A amplitude do sinal varia com o tempo. Como medir a sua força 
ou tamanho? 
• Exemplo: Se quisermos usar um número N para determinar a 
medida do tamanho de uma vaca, o peso não é suficiente, mas o 
seu volume poderia ser uma boa forma de representar a vaca. 
Vamos simplificar a vaca a um cilindro:
V = π∫
H
0
r2(h)dh
ALAMY STOCK PHOTO�20
DEFINIÇÃO
ENERGIA DO SINAL
• Poderíamos usar a área abaixo de um sinal x(t) como uma possível 
medida de tamanho, mas se ele for uma senoide a área vai ser 
zero. 
• Podemos então calcular a área de x2(t), sempre vai resultar em um 
número positivo, esta é a energia do sinal: 
• Se o sinal for complexo usamos o módulo do sinal para calcular 
sua energia:
Ex = ∫
+∞
−∞
x2(t)dt
Ex = ∫
+∞
−∞
|x2(t) |dt
�21
DEFINIÇÃO
POTÊNCIA DO SINAL
• A energia do sinal deve ser finita para seja uma medida 
significativa do tamanho do sinal. É necessário que para um 
tempo tendendo a infinito a amplitude do sinal seja zero, caso 
contrario e integral da energia não converge. 
• Se isso ocorrer, uma forma mais interessante de medir o sinal é 
usar a energia média ou potência do sinal:
Px = lim
T→∞
1
T ∫
+T/2
−T/2
x2(t)dt
Px = lim
T→∞
1
T ∫
+T/2
−T/2
|x2(t) |dt
�22
OBSERVAÇÕES
ENERGIA DO SINAL
• A potência do sinal é uma média temporal do quadrado da 
amplitude do sinal, ou seja o valor médio quadrático de x(t). Se 
você fizer a raiz quadrada de Px temos o conhecido valor rms. 
• Esta média tendendo ao infinito existirá se o sinal for periódico. 
Sinais tipo rampa, ou tipo degrau possuem uma potência infinita. 
• Esta energia não é a energia real (conforme a definição da física) 
• As unidades de Energia e Potência do sinal não são 
dimensionamento corretas, elas são formas de medir um sinal
�23
DETERMINE A MEDIDA ADEQUADA PARA O SINAL:
EXEMPLO
• O sinal tende a zero quando o tempo tendea infinito. Podemos 
usar a energia do sinal para medir.
x(t) =
0 t < − 1
2 −1 ≤ t < 0
2e− t2 0 ≤ t
Ex = ∫
+∞
−∞
x2(t)dt = ∫
0
−1
22dt + ∫
∞
0
4e−tdt
Ex = 4t
0
−1
+ (−4e−t)
∞
0
= (0 − 4(−1)) + (0 − (−4e0)) = 4 + 4 = 8
�24
DETERMINAR A MEDIDA ADEQUADA PARA O SINAL
EXEMPLO
• Como o sinal é periódico, a amplitude do sinal não tende a zero 
para t tendendo a infinito. Vamos usar a potencia do sinal.
x(t)
1
-1
1 2 3 t
Px = lim
T→∞
1
T ∫
+T/2
−T/2
x2(t)dt =
1
T ∫
+T/2
−T/2
x2(t)dt
Px =
1
2 ∫
+2/2
−2/2
x2(t)dt =
1
2 ∫
+1
−1
t2dt =
1
2
1
3
t3
+1
−1
=
1
6
(1 − (−1)) =
1
3
Observação : o valor rms deste sinal é a raiz quadrada de Px
�25
DESLOCAMENTO TEMPORAL
OPERAÇÕES COM SINAIS
• Considere um sinal x(t) e o mesmo sinal atrasado T segundos 
• Logo em um deslocamento temporal de T segundos, substituímos 
t por t - T. Assim x(t-T) representa x(t) deslocado T segundos. 
• Para T positivo o deslocamento é a direita (atraso) 
• Para T negativo o deslocamento é a esquerda (avanço)
ϕ(t + T ) = x(t)
ϕ(t) = x(t − T )
�26
SECANTE HIPERBÓLICA
EXEMPLO
sech(t)sech(t+2) sech(t-2)
Atraso Avanço
�27
ESCALAMENTO TEMPORAL
OPERAÇÕES COM SINAIS
• A compressão ou expansão de um sinal na tempo é chamada de 
escalamento temporal 
• Multiplicando o tempo por um valor “a"comprimimos o sinal 
• Dividindo o tempo por um valor “a" expandimos o sinal
ϕ(t) = x ( ta )
ϕ (t) = x(at)
�28
SECANTE HIPERBÓLICA DE X
EXEMPLO
sech(t)sech(2t)
sech(t/2)
�29
REVERSÃO TEMPORAL
OPERAÇÕES COM SINAIS
ϕ(t) = x(−t)
x = et/2 x = e−t/2
�30
SINAIS CONTÍNUOS E DISCRETOS NO TEMPO
SINAIS
• Um sinal é continuo no tempo quando seu valores existem para todos os 
valores de tempo. É um sinal que pode assumir qualquer valor em uma faixa 
de tempo contínua. 
• Um sinal é discreto no tempo quando seus valores ocorrem apenas em 
intervalos de tempo determinados. 
0 0
�31
SINAIS ANALÓGICOS E DIGITAIS
SINAIS
• Sinais analógicos podem assumir qualquer valor de amplitude, eles podem ser 
contínuos no tempo ou discretos. 
• Sinais digitais podem assumir apenas valores determinados de amplitude. Por exemplo 
o sistema digital binário tem apenas dois valores possíveis o 0 e o 1. Eles podem ser 
contínuos no tempo ou discretos. 
Analógico, continuo no tempo
Analógico, discreto no tempo
Digital, continuo no tempo
Digital, discreto no tempo
�32
PERIÓDICOS E NAO PERIÓDICOS
SINAIS
• Um sinal é periódico se: 
• Onde To é o período da função 
x(t) = x(t + T0), ∀t
�33
DEGRAU UNITÁRIO U(T)
MODELOS UTEIS DE SINAIS
u(t) = {1 t ≥ 00 t < 0
�34
FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO
EXEMPLO
• Esboce o grafico da função:
x(t) = u(t − 2) − u(t − 4)
2 4
1
-1
2 4
x(t)
t
-u(t-4)
u(t-2)
�35
IMPULSO UNITÁRIO 
MODELOS UTEIS DE SINAIS
δ(t) = {1 t = 00 t ≠ 0
1
Propriedade, seja uma função y(t) multiplicada por um impulso unitário:
y(t)δ(t) = y(0)δ(t)
�36
SIMPLIFIQUE
EXEMPLO
(t3 + 3)δ(t) = 3δ(t)
[sin (t3 − π2 )] δ(t) = − δ(t)
e−2tδ(t) = δ(t)
ω2 + 1
ω2 + 9
δ(ω − 1) =
1 + 1
1 + 9
δ(ω − 1) =
1
5
δ(ω − 1)
�37
EXPONENCIAL COMPLEXA
MODELOS UTEIS DE SINAIS
x(t) = est
s = σ + jω
est = e(σ+jω)t = eσtejωt = eσt(cos ωt + j sin ωt)
�38
EXPONENCIAL COMPLEXA
SINAIS UTEIS
σ = 0
σ = 0 e ω = 0
σ > 0 σ < 0
�39
EXPONENCIAL COMPLEXA
SINAIS UTEIS 
σ < 0 e ω = 0σ > 0 e ω = 0
�40
PLANO DE FREQUÊNCIA COMPLEXA
SINAIS UTEIS
σ
jω
Si
na
is 
ex
po
ne
nc
ia
lm
en
te
 c
re
sc
en
te
s 
Si
na
is 
ex
po
ne
nc
ia
lm
en
te
 d
ec
re
sc
en
te
s
�41
PARES E IMPARES 
FUNÇÕES
• Uma função é par se: 
• Uma função é impar se:
xp(t) = xp(−t)
xi(t) = − xi(−t)
�42
REPRESENTAÇÃO
SISTEMAS
• Exemplo: 
v(t) = Ris(t) +
1
C ∫
0
−∞
is(τ)dτ +
1
C ∫
t
0
is(τ)dτ
y(t) = x(t) * h(t)
v(t) = Ris(t) + vc(0) +
1
C ∫
t
0
is(τ)dτ , t ≥ 0
�43
RESPOSTA
SISTEMAS LINEARES
• A saída para um sistema para t > 0 é o resultado de duas causas 
independentes: a condição inicial do sistema para t = 0 e a 
entrada x(t) para t > 0 . 
• Se o sistema é linear a resposta é a soma das duas causas 
independentes.
v(t) = vc(0) + Ris(t) +
1
C ∫
t
0
is(τ)dτ
Resposta total = resposta de entrada nula + resposta estado nulo
�44
INVARIANTES E VARIANTES NO TEMPO
SISTEMAS LINEARES
• Sistemas cujos parâmetros não são alterados com o tempo são 
invariantes no tempo. Exemplo: Se a entrada for atrasada T 
segundos a saída atrasa T segundos e tem a mesma forma.
t
t − T
�45
INVARIANTES E VARIANTES NO TEMPO
EXEMPLOS
• Invariantes 
• Variantes
i(t) =
v(t)
r(x)
i(t) =
v(t)
r
dy
dt
+ 3y(t) = x(t)
�46
CASUAL E NÃO CASUAL
SISTEMAS
• Um sistema casual (conhecido como fisico ou não antecipativo) é 
aquele que a saída em qualquer instante t0 depende do valor da 
entrada x(t) para t < t0 . Isto é o valor da saída no instante 
presente depende somente do valor presente ou passado da 
entrada do sistema. 
• Se um sistema age antes de saber o valor da entrada , significa 
que o sistema sabe o valor da entrada no futuro, portanto 
violando a lei da casualidade, sendo então um sistema não casual. 
y(t) = x(t − 2) + x(t + 2)
y(0) = x(−2) + x(+2)
�47
MODELO: DESCRIÇÃO ENTRADA-SAÍDA 
SISTEMAS 
• A descrição de um sistema em termos de medidas nos terminais 
de entrada e saída é chamado de descrição entrada saída. 
• Aplicação: Sistemas mecânicos, elétricos, hidráulicos, acústicos, 
térmicos, eletromecânicos, sistemas sociais, econômicos e 
biológicos. 
�48
SISTEMAS ELÉTRICOS
MODELO
• Leis de Ohm, Leis de Kirchhoff, etc…
vL(t) + vR(t) + vc(t) = x(t)
LKT:
L
dy(t)
dt
+ Ry(t) +
1
C ∫
t
−∞
y(τ)dτ = x(t)
dy(t)
dt
+ 3y(t) + 2∫
t
−∞
y(τ)dτ = x(t)
Derivando
d2y
dt2
+ 3
dy
dt
+ 2y =
dx
dt
�49
NOTAÇÃO D - DERIVADA
MODELO
• Para facilitar usamos D para representar a derivada: 
• E 1/D para representar a derivada 
d2y
dt2
+ 3
dy
dt
+ 2y =
dx
dt
D2y(t) + 3Dy(t) + 2y(t) = Dx(t)
(D2 + 3D + 2)y(t) = Dx(t)
(D + 3 + 2D ) y(t) = x(t)
�50
ALGUNS EXEMPLOS DE MODELOS MECÂNICOS ELÉTRICOS 
MODELOS FÍSICOS
Sistema
Variável através 
do elemento
Integral da 
variável através 
do elemento
Elétrico Corrente, i Carga, q Tensão, v21 Gradiente de 
potencial
Mecânico Força, F Momento, p Velocidade, v21 Diferença de 
deslocamento
Mecânico 
rotacional
Torque, T Momento 
angular, h
Velocidade 
angular, 𝜔21
Diferença de 
deslocamento 
angular
Fluidos Taxa de fluxo 
volumetrico, Q
Volume V Diferença de 
pressão, P21
Momento de 
pressão
Termodinâmica Fluxo de calor, q Energia 
calorifica, H 
Diferença de 
temperatura
Variável sobre o 
elemento
Integral da 
variável sobre o 
elemento
�51
CIRCUITO RC
EXEMPLO
• Determine a equação relacionando a entrada e a saída do circuito 
RC série, quando a saída for (a) a corrente de malha (b) a tensão 
no capacitor 
Ri(t) +
1
C ∫
t
−∞
i(τ)dτ = x(t)
15i(t) + 3∫
t
−∞
i(τ)dτ = x(t)
15i(t) + 3
1
D
i(t) = x(t)
(15 + 3D ) i(t) = x(t)
�52
CONTINUAÇÃO
EXEMPLO
• (a) 
• (b)
(15 + 3D ) i(t) = x(t)
(15D + 3) i(t) = Dx(t)
i(t) =
Dx(t)
15D + 3
vC(t) = y(t) = 3∫
t
−infty
i(τ)d(τ) =
3
D
i(t)
y(t) =
3
D
Dx(t)
15D + 3
=
x(t)
5D + 1
�53
FIXAÇÃO
EXERCÍCIOS
• Para o circuito RLC determine a relação de entrada-saída se a 
saída for a tensão no indutor . 
• Para o circuito RLC determine a relação entrada-saída se a saída 
for a tensão no capacitor.
(D2+3D+2)vL(t)=D2x(t)
(D2+3D+2)vC(t)=2x(t)�54
EFEITOS DENTRO DE SISTEMAS GENÉRICOS
MODELAMENTO
• Armazenamento indutivo 
• Armazenamento capacitivo 
• Dissipação de energia
�55
DISSIPADORES DE ENERGIA
MODELAMENTO
𝑖 =
1
𝑅
𝑣21
Equação 
característica
Elemento 
físico
Tipo de 
Elemento
Energia ou 
Potencia Símbolo
Resistência 
elétrica
𝑃 =
1
𝑅
𝑣221
𝐹 = 𝑓𝑣21Amortecimento 
translacional
𝑃 = 𝑓𝑣22
𝑇 = 𝑓𝜔21Amortecimento 
rotacional
𝑃 = 𝑓𝜔221
𝑄 =
1
𝑅𝑓
𝑃21Resistência 
 do fluido
𝑃 =
1
𝑅𝑓
𝑃 221
D
is
si
pa
do
re
s 
de
 e
ne
rg
ia
𝑞 =
1
𝑅𝑡
𝜏21Resistência térmica
𝑃 =
1
𝑅𝑡
𝜏21
�56ARMAZENAMENTO CAPACITIVO
MODELAMENTO
𝑖 = 𝐶
𝑑𝑣21
𝑑𝑡
Equação 
característica
Elemento 
físico
Tipo de 
Elemento
Energia ou 
Potencia Símbolo
Capacitância 
elétrica
𝐸 =
1
2
𝐶𝑣221
𝐹 = 𝑀
𝑑𝑣2
𝑑𝑡
Massa 
translacional
𝐸 =
1
2
𝑀𝑣22
𝑇 = 𝐽
𝑑𝜔2
𝑑𝑡
Massa 
rotacional
𝐸 =
1
2
𝐽𝜔22
𝑄 = 𝐶𝑓
𝑑𝑃21
𝑑𝑡
Capacitância 
 do fluido
𝐸 =
1
2
𝐶𝑓𝑃 221
A
rm
az
en
am
en
to
 c
ap
ac
iti
vo
𝑞 = 𝐶𝑡
𝑑𝜏21
𝑑𝑡
Capacitância 
térmica
𝐸 =
1
2
𝐶𝑡𝜏2
�57
ARMAZENAMENTO INDUTIVO
MODELAMENTO
𝑣21 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
Equação 
característica
Elemento 
físico
Tipo de 
Elemento
Energia ou 
Potencia Símbolo
Indutância 
elétrica
𝐸 =
1
2
𝐿𝑖2
𝑣21 =
1
𝐾
𝑑𝐹
𝑑𝑡
Mola 
translacional
𝐸 =
1
2
𝐹 2
𝐾
𝜔21 =
1
𝐾
𝑑𝑇
𝑑𝑡
Mola 
rotacional
𝐸 =
1
2
𝑇 2
𝐾
𝑃21 = 𝐼
𝑑𝑄
𝑑𝑡
Inercia do 
fluido
𝐸 =
1
2
𝑄2A
rm
az
en
am
en
to
 In
du
tiv
o
�58
SISTEMA MECÂNICO TRANSLACIONAL
EXEMPLO
• Determine a relação entrada-saída para o sistema mecânico 
translacional. A entrada é a força x(t) e a saída é a posição da 
massa y(t)
Obs : No livro do Lathi o atrito é B, aqui usei f!
x(t) = M
d2y
dt2
+ f
dy
dt
+ ky(t)
x(t) = MD2y(t) + fDy(t) + ky(t)
x(t) = y(t)(MD2 + fD + k)
y(t) =
x(t)
MD2 + fD + k
�59
DE UM SISTEMA
DESCRIÇÃO INTERNA E EXTERNA
• A relação entrada - saída é a descrição externa de um sistema. 
Não importa que utilizamos os componentes internos do sistema 
para descreve-la. 
• A relação interna permite descrever todos os sinais internos do 
sistema
�60
DESCRIÇÃO EM ESPAÇO DE ESTADO
DESCRIÇÃO INTERNA
• Identificamos certas variáveis chave, chamadas de variáveis de 
estado. 
• Estas variáveis possuem a propriedade de que todo sinal possível 
no sistema pode ser expresso como uma combinação linear 
destas variáveis de estado. 
• A descrição por espaço de estado não faz parte do curso. 
�61
FIXAÇÃO
EXERCÍCIOS
• Capitulo 1 do Lathi: 1.1-1, 1.1-2, 1.1-5, 1.4-3, 1.8-1, 1.8-2, 1.8-3, 
1.8-6
�62