ATV 02 CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS

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	MAICON DIOGO LOPES
	Curso
	GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-14901.01
	Teste
	ATIVIDADE 2 (A2)
	Iniciado
	03/03/21 20:45
	Enviado
	03/03/21 21:07
	Status
	Completada
	Resultado da tentativa
	10 em 10 pontos  
	Tempo decorrido
	21 minutos
	Resultados exibidos
	Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
· Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função.
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função   no ponto P(1,2).
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é . Precisamos então determinar o vetor gradiente. O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função , assim,
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2):
-                          
-                         
-                
 
A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é .
Assim, a direção de maior crescimento é .
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	As derivadas parciais com relação a   e a   fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis   quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função   com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário.
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por  . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função   no ponto   na direção do vetor  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são:  e , que implicam que o vetor gradiente seja . Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional procurada é .
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador.
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função   é o conjunto  .
II - O domínio da função   é o conjunto  .
III - O domínio da função   é o conjunto  .
IV - O domínio da função   é o conjunto  .
 
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I, IV
	Resposta Correta:
	 
I, IV
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função, concluímos que:
Afirmativa I: Correta. O domínio da função  é o conjunto .
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função  é o conjunto .
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto   do espaço tridimensional é expresso pela função  .
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do potencial elétrico   no ponto  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto é, Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é  e sua norma é , temos que a direção procurada é .
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	Considere a função de duas variáveis  , tal que as variáveis   e   são funções da variável  , isto é,   e  . A derivada da função   com relação à variável   é obtida por meio da regra da cadeia expressa por  . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função   com relação às variáveis   e   e precisamos das derivadas das funções   e   com relação à variável  .
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função   com relação à variável  , sabendo que   e  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , ,  e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada: . Trocando as expressões de  e  temos .
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	Suponha que   seja uma função diferenciável de   e  , tal que  . No entanto,   e   são funções de   expressas por   e  . Para se obter a derivada de   com relação a variável   devemos fazer uso da regra da cadeia.
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de   em relação a  , isto é,  , para quando  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que , onde . Assim, . Dado que , temos .
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível.
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
	Resposta Correta:
	 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma representação geométrica da função no plano  recorremos ao uso das curvas de nível, que são curvas planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do plano .
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da função  .
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto   na direção do vetor  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
	Resposta Correta:
	 
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor gradiente são: ,  e . Assim, dado o ponto (3,4), temos . O vetor  é unitário, então a derivada direcional irá nos fornecer a taxa de variação desejada: .
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente.
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da funçãono ponto P(-1,1).
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor gradiente são: ,  e . Logo, . Como a direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor gradiente, temos que o vetor procurado é .
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	Chamamos de curva de nível da função  o conjunto de todos os pares  pertencentes ao domínio de  tais que , onde  é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis.
 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A equação  é uma curva de nível para a função  para .
	Resposta Correta:
	 
A equação  é uma curva de nível para a função  para .
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Pela definição de curva de nível, temos que . Assim, igualando a função ao valor de , temos que . Portanto, a curva de nível da função  para  é dada pela equação .