ATV 04 CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS

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	MAICON DIOGO LOPES
	Curso
	GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-14901.01
	Teste
	ATIVIDADE 4 (A4)
	Iniciado
	03/03/21 21:18
	Enviado
	03/03/21 21:40
	Status
	Completada
	Resultado da tentativa
	10 em 10 pontos  
	Tempo decorrido
	22 minutos
	Resultados exibidos
	Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
· Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios. Por exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de acordo com sua ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos que esta é definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na equação, e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação.
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 1.
	Resposta Correta:
	 
A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 1.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as definições de classificação por ordem e grau, temos que a ordem da equação é definida pela “maior derivada” da equação, no caso, a maior derivada é a de ordem 1, . Já a classificação pelo grau é dada pelo expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1, pois .
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial   se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial:  , onde   representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo  . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial   reduzida em 0,043% após 15 anos.
 
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é  .
II. A função que representa o problema descrito é  .
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de  .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I e II, apenas.
	Resposta Correta:
	 
I e II, apenas.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial separável , temos que as afirmativas I e II estão corretas, pois
, onde .
Para , concluímos que  e, para  concluímos . Portanto, a função que representa o problema descrito é .
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em equação diferencial linear e equação diferencial não linear . As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a variável independente é   e a variável dependente é  , temos que: (i) A variável dependente   e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente  .
 
Considere a variável   uma função da variável  , isto é,  . Analise as afirmativas a seguir.
 
I. A equação diferencial   é linear.
II. A equação diferencial   é linear.
III. A equação diferencial   é linear.
IV. A equação diferencial   é linear.
 
Assinale a alternativa correta.
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I, III e IV, apenas.
	Resposta Correta:
	 
I, III e IV, apenas.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as condições de linearidade de uma equação diferencial, temos que as afirmativas I, III e IV estão corretas, pois em todas elas temos que a variável dependente  e todas as suas derivadas possuem grau 1, e cada coeficiente depende apenas da variável independente .
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava uma temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90 °C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo levará para que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C.
 
Assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
20 minutos.
	Resposta Correta:
	 
20 minutos.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do bolo pode ser descrita pela equação diferencial  onde  e são fornecidas as seguintes informações:  e . Nosso problema consiste em determinar o tempo , em minutos, tal que . Resolvendo a equação diferencial, temos 
, onde . Das condições  e  vamos determinar as constantes  e . De  temos . De , temos . Portanto, a função temperatura do bolo é . Vamos determinar agora o tempo para o qual a temperatura é 30ºC. De , temos .
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial:
 ,
onde   é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. Considere a seguinte situação:
 
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que corresponde à expressão da função crescimento dessa população.
 
 
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela seguinte equação diferencial , onde  é a função quantidade de bactérias que depende do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: para  temos . Resolvendo a equação diferencial, temos
, onde  e  são constantes e . Como  temos . Portanto, a função que descreve o crescimento dessa população de bactérias é .
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de   um capacitor com capacitância de   e um resistor com uma resistência de  . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial:  , onde   é a carga, medida em coulombs.
 
Dado que  , assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A função corrente é expressa por .
	Resposta Correta:
	 
A função corrente é expressa por .
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A função corrente é a derivada da função carga, isto é, . A EDO  é uma equação linear de primeira ordem cuja solução pode ser expressa por . Dada a EDO , temos que  e . Portanto, sua solução geral é . Como , segue que  e, assim, a função carga é expressa por . Por fim, concluímos que a função corrente é .
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m. Para esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N. Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em seguida, seja liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado obedece à equação diferencial:  , onde   é uma função do tempo   que indica a posição da massa   e   é a constante elástica.
 
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke:  ).
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por 
	Resposta Correta:
	 
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes condições:  (a mola no tempo  está esticada em 0,8 m sendo seu comprimento natural de 0,5 m; portanto, está deformada em 0,3 m) e  (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a função velocidade é a derivada primeira da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor da constante elásticaé: . Tomando  e  na EDO , obtemos a EDO . Resolvendo o PVI: ,  e  temos que a solução geral da EDO é  , portanto, a solução do PVI é . Portanto,
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução.
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A função   é solução da equação diferencial  .
II. A função   é solução da equação diferencial  .
III. A função   é solução da equação diferencial  .
IV. A função   é solução da equação diferencial  .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
II e IV, apenas.
	Resposta Correta:
	 
II e IV, apenas.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a definição de solução de uma equação diferencial, temos que estão corretas as afirmativas II e IV, pois:
Afirmativa II: Correta. Dada a função , temos . Repare que  Trocando  na equação diferencial, temos:
Afirmativa IV: correta. Dada a função , temos  e . Trocando ,  e  na equação diferencial, temos:
.
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial.
 
Considere a equação diferencial  . Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (   )  Para   temos que   é solução da equação diferencial dada.
II. (   )  Para   temos que   é solução da equação diferencial dada.
III. (   ) Para  , temos que   é solução da equação diferencial dada.
IV. (   ) Para  , temos que   é solução da equação diferencial dada.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, V, V, F.
	Resposta Correta:
	 
V, V, V, F.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial, temos que sua solução geral é: . Assim:
Afirmativa I: Verdadeira. Para , temos que . Portanto,  é solução da equação diferencial dada.
Afirmativa II: Verdadeira. Para , temos que . Portanto,  é solução da equação diferencial dada.
Afirmativa III: Verdadeira. Para  temos que . Portanto,  é solução da equação diferencial dada.
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma  , onde   e   são funções contínuas em um dado intervalo. A solução geral para equações diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela expressão  .
 
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência, assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s):
 
 
I. A solução geral da equação   é  .
II. A solução geral da equação   é  .
III. A solução geral da equação   é  .
IV. A solução geral da equação   é  .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I, II e IV, apenas.
	Resposta Correta:
	 
I, II e IV, apenas.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando o método de solução para uma equação diferencial linear, temos:
Afirmativa I: correta. Temos que  e , assim,
.
 
Afirmativa II: correta. Dividindo toda a equação por , temos que  e , assim, .
 
Afirmativa IV: correta. Temos que  e , assim, , onde .