Prova de Cálculo Numérico - SEL, Interpolação e Ajuste Polinomial

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
Área do Conhecimento de Ciências Exatas e Engenharias
Cálculo Numérico – Prova 2
Prof. Leonardo Dagnino Chiwiacowsky – Data: 26/10/2020
Nome: .................................................................................
Questão 1 (2,5 pts): Considere o sistema de equações lineares (SEL) descrito abaixo:
16x1 − 85x4 + 11x5 = −2
−6x1 + 14x3 − 33x5 = 1
18x2 − 8x5 + 74x6 = −3
7x1 + 52x3 + 15x4 = −10
28x1 − 13x2 + 11x4 = 18
19x2 + 12x3 − x6 = 0
a) (1,0 pt) Com o objetivo de empregar um método iterativo para solução do SEL, verifique a
condição de convergência. Caso necessário, reorganize o sistema original e apresente-o;
b) (1,0 pt) Encontre uma aproximação para o vetor solução do SEL pelo emprego do Método
de Gauss-Seidel, assumindo como aproximação inicial o vetor x(1) = [1 1 . . . 1]T e usando
como critério de parada o erro relativo ER < 10−4.
c) (0,5 pts) Informe o número de iterações necessário para atingir o critério de parada e o
respectivo valor do reśıduo relativo (δrel) da última aproximação.
Apresente os resultados representando os valores numéricos com 8 d́ıgitos significativos.
Questão 2 (3,0 pts): Uma companhia de eletrônica produz transistores, resistores e chips de
computador usando Vidro, Cobre e Zinco como matéria-prima. A tabela abaixo indica o consumo
unitário de cada matéria-prima para produzir uma unidade de cada item:
Componente Vidro Cobre Zinco
Transistor 2 4 1
Resistor 1 3 3
Chip 3 2 1
O fornecimento desses materiais varia de semana para semana. Assim, a companhia precisa
determinar uma meta de produção diferente para cada semana. Por exemplo, em uma semana
espećıfica, a quantidade total de materiais dispońıveis era 610 unidades de vidro, 960 unidades de
cobre e 510 unidades de zinco.
a) (0,5 pts) Formule o problema descrito no formato de um sistema de equações lineares (SEL);
b) (0,5 pts) Com o objetivo de empregar um método iterativo para solução do SEL, verifique
a condição de convergência. Caso necessário, reorganize o sistema original e apresente-o;
c) (1,0 pt) Aplique o método de Gauss-Jacobi para determinar o número de transistores,
resistores e chips fabricados nessa semana, assumindo como aproximação inicial o vetor
x(1) = [0 0 0]T , e critério de parada δrel < 10
−5. Escreva o vetor solução final, com 8 d́ıgitos
significativos.
d) (0,5 pts) Forneça a solução do mesmo sistema de equações lineares empregando agora o
método de Gauss. Apresente os resultados representando os valores numéricos com 8 d́ıgitos
significativos.
e) (0,5 pts) Assumindo a solução fornecida pelo método de Gauss como uma solução exata
(E) e a solução fornecida pelo método iterativo de Gauss-Jacobi como a solução aproximada
(A), calcule o respectivo erro relativo ER e apresente o resultado em notação cient́ıfica com
6 d́ıgitos significativos, onde: ER =
‖E − A‖
‖E‖
.
Questão 3 (2,5 pts): Na tabela abaixo, está assinalado o posicionamento de um ônibus, partindo
do marco zero de uma rodovia federal:
Tempo (min) 60 80 100 120 140 160 180
Posição (km) 76 95 112 138 151 170 192
a) (1,0 pt) Determine e apresente o polinômio interpolador quadrático para estimar a Posição
após transcorridos 137 minutos. Escreva a expressão matemática do polinômio identificado
usando 6 d́ıgitos significativos;
b) (0,5 pts) Calcule e apresente a estimativa para a Posição após transcorridos 137 minutos.
Apresente o resultado usando 4 casas decimais;
c) (1,0 pt) Usando o conjunto completo de dados, calcule e apresente a estimativa de tempo
para que o ônibus percorra 120 km. Com base nos dados utilizados, a estimativa encontrada
representa um valor adequado? Justifique.
Questão 4 (2,0 pts): A tabela abaixo fornece o estoque de empregos formais no Brasil, para o
peŕıodo de 2005 a 2016 1:
t (ano) 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
N (milhões) 27,0 28,6 30,5 32,2 33,6 36,2 38,3 39,6 40,8 41,2 39,7 38,3
a) (1,0 pt) Determine e apresente o polinômio N(t) de ajuste linear;
b) (0,5 pts) Calcule e apresente o erro quadrático do ajuste SQE;
c) (0,5 pts) Use o polinômio de ajuste para prever o estoque de empregos formais em 2020;
Apresente os resultados representando os valores numéricos com 6 d́ıgitos significativos, em notação
decimal ou cient́ıfica.
1http://geoconceicao.blogspot.com/2017/02/a-reducao-do-emprego-formal-no-brasil.html