Resumo | Progressão aritmética

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
 
 
Definição: 
Progressão aritmética é uma sequência onde a 
diferença de dois termos consecutivos quaisquer 
é uma constante, chamada razão da progressão 
aritmética. Isto é, 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 = 𝑟. Exemplo: 
 (-3, -1, 1, ... ). 
 
No exemplo acima, temos 𝑎1 = −3, 𝑎2 = −1, 
𝑎3 = 1 e assim sucessivamente. Observe que a 
razão é igual a 2, pois: 
𝑟 = 𝑎3 − 𝑎2 = 𝑎2 − 𝑎1 = 2. 
 
Termo geral: 
Como a diferença de dois termos consecutivos é 
a razão da progressão aritmética, podemos obter 
cada termo, a partir do segundo, somando ao seu 
anterior a razão, ou seja: 
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟 
𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟 
𝑎4 = 𝑎3 + 𝑟 
 ⋮ 
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑟 
 
Porém, note que cada termo a partir do segundo 
pode ser escrito utilizando-se apenas o primeiro 
termo e a razão: 
𝑎3 = (𝑎1 + 𝑟) + 𝑟 = 𝑎1 + 2𝑟 
𝑎4 = ((𝑎1 + 𝑟) + 𝑟) + 𝑟 = 𝑎1 + 3𝑟 
 ⋮ 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
 
Analogamente, é possível obter qualquer termo 
a partir de outro qualquer e a razão: 
𝑎𝑛 = 𝑎𝑘 + (𝑛 − 𝑘)𝑟 
 
Soma dos termos: 
Considere uma quantidade finita de n números 
em progressão aritmética. A soma de dois 
termos equidistantes dos extremos é sempre a 
mesma. Em particular, isso significa que 
𝑎1 + 𝑎𝑛 = 𝑎2 + 𝑎𝑛−1. 
 
O resultado é válido, pois sabemos que 
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟 e 𝑎𝑛−1 = 𝑎𝑛 − 𝑟, logo: 
𝑎2 + 𝑎𝑛−1 = 𝑎1 + 𝑟 + (𝑎𝑛 − 𝑟) 
 = 𝑎1 + 𝑎𝑛. 
Esse fato nos permite concluir que para somar 
uma quantidade n de números em progressão 
aritmética, basta calcular a soma de dois termos 
equidistantes dos extremos (em particular o 
primeiro com o último) e multiplicar por n/2: 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛)𝑛
2
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1) Quantos múltiplos de 7 existem entre 50 e 
1000? 
 
Resolução: 
O primeiro múltiplo de 7 maior que 50 é 56 e o 
último múltiplo de 7 menor que 1000 é 994. 
Portanto temos 𝑎1 = 7, 𝑎𝑛 = 994 e r = 7. 
Nosso objetivo é determinar o valor de n. Então: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
994 = 56 + (n - 1)7 
994 – 56 = 7n – 7 
938 + 7 = 7n 
945 = 7n 
n = 135. 
 
Existem 135 múltiplos de 7 entre 50 e 1000. 
 
 
2) (UNICAMP) Considere que (a, b, 3, c) é uma 
progressão aritmética de números reais, e que a 
soma de seus elementos é igual a 8. O produto 
dos elementos dessa progressão é igual a 
 
a) 30 b) 10 c) -15 d) -20 
 
Resolução: 
Temos que a + b + c + 3 = 8, logo a + b + c = 5. 
 
Por outro lado, utilizando a fórmula da soma: 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛)𝑛
2
 
8 =
(𝑎 + 𝑐)4
2
 
8 = 2(a + c) 
a + c = 4. 
 
Portanto concluímos que b = 1, e como b e 3 são 
termos consecutivos, a razão é 3 – b = 3 - 1 = 2. 
Por fim, tem-se a = b – 2 = -1 e c = 3 + 2 = 5. 
Logo ab(3)c = (-1)1.3.5 = -15. 
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