2 Lista Exercicios Calculo Numerico

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PONTÍFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Lista de Cálculo Numérico.
Professore: Willian C. Leal
1a Questão.
Calcule as integrais com as informações dadas e justifique a regra de integração utilizada:
a)
∫ 2
0
x2ln(x2 + 1)dx com h = 0, 25
b)
∫ 2
0
x2e−x
2
dx utilizando 10 pontos.
c)
∫ 5
3
1√
x2−4dx utilizando 9 pontos.
d)
∫ 1
0
esin(x)dx com h = 0, 25.
e)
∫ 1
0
e−x
2
dx com m=10.
f
∫ 3
0
dt
1+t2+t4
com h = 0, 5.
g
∫ 4
0
√
1 +
√
xdx com m=8.
2a Questão.
A figura mostra uma pessoa que desliza, sem atrito, do alto de um escorrega (ponto A), acoplando-se
a um carrinho que se encontra em repouso no ponto B. A partir deste instante, a pessoa e o carrinho
movem-se juntos na água até parar.
a) Sabendo que a velocidade do conjunto pessoa-carrinho imediatamente após o acoplamento é 4 m/s
e que a velocidade, v, em cada instante t na água é dada pela tabela seguinte, calcule (usando todos
os pontos da tabela) a distância percorrida na água pelo conjunto pessoa-carrinho até parar.
t 0,0 0,3 0,6 0,8 1,0 1,2 1,8 2,4 3,0 3,6 4,2
v 4,0 3,9 3,7 3,5 3,3 2,9 2,5 2,0 1,25 0,75 0,0
b) Estime o erro de truncamento cometido no intervalo [1, 2; 4, 2].
3a Questão.
A figura mostra um pendulo com comprimento L que faz um ângulo máximo θ0 com a vertical. Usando
a Segunda Lei de Newton, pode ser mostrado que o peŕıodo T (o tempo para um ciclo completo) é dado
por
T = 4
√
L
g
∫ π
2
0
dx√
1− k2 sin2(x)
em que k = sin(1
2
θ0) e g é a aceleração da gravidade. Se L = 1m e θ0 = 42
o, use a regra de Simpson com
m = 10 para calcular o peŕıodo.
4a Questão.
Calcular as integrais com uma precisão de 0, 0001.
a)
∫ 1
0
cos(x2)dx
b)
∫ 2
1
e
1
xdx
5a Questão.
A intensidade de luz com comprimento de onda λ viajando através de uma grade de difração com N
fendas a um ângulo θ é dada por I(θ) = N2 sin
2(k)
k2
em que k = πNd sin(θ)
λ
e d é a distância entre cada fenda.
Um laserde hélio-neônio com comprimento de onda λ = 632, 8× 10−9m está emitindo uma banda estreita
de luz, dada por −10−6 < θ < 10−6, através de uma grade com 10.000 fendas separadas por 10−4m. Use a
regra do Trapézio com m = 10 para estimar a intensidade de luz total
∫ 10−6
−10−6 I(θ)dθ emergindo da grade.
6a Questão.
Calcular a área da região delimitada pelas curvas y = cos(x) e y = cos2(x) entre x = 0 e x = π com
m = 6.
7a Questão.
Sabendo que se f ′(x) for cont́ınua em [a, b], então o comprimento da curva y = f(x) no intervalo
a ≤ x ≤ b é
L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx
Calcule o comprimento das seguintes curvas.
a) y = xe−x, 0 ≤ x ≤ 5 com m = 10
b) y = xln(x), 1 ≤ x ≤ 2, 2 com m = 6
8a Questão.
A massa total de uma barra de densidade variável é representado pela integral
m =
∫ L
0
ρ(x)Ac(x)dx
donde m é a massa, ρ(x) é a densidade, Ac(x) é a Área da seção e x é a distância, x ∈ [0, L] e L é
comprimento total da barra. Os seguintes dados foram medidos para L = 10m. Determine a massa em
gramas para obter a melhor aproximação.
x em metros 0 2 3 4 6 8 10
ρ em g \ cm3 4.00 3.95 3.89 3.80 3.60 3.41 3.30
Ac em cm
2 100 103 106 110 120 133 150