Fundamentos de Física 9ª Edição Vol 4 - Halliday 4 ED 9 [souexatas blogspot com br]-[materialcursoseconcursos blogspot com br]

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- a - ÓPTICA E FÍSICA MODERNA 
-
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fl1Ners1õade Federal do Par, 
lliblioteca C,:,"t""1 
HALLIDAV & RESNICK 
, 
Optica e Física Moderna 
Jearl Walker 
Cle·veland State University 
Tradução e Revisão Técnica 
Ronaldo Sérgio de Biasi, Ph.D. 
Professor Titular do Instituto Militar de Engenharia - IME 
** ---* LTC 
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VOLUME 4 
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SUMARIO GERAL 
rs,oade federal do Par, 
iblioteca CP~..-.. 1 
Volume 1 
1 Medição 
2 Movimento Retilíneo 
3 Vetores 
4 Movimento em Duas e Três Dimensões 
5 Força e Movimento - 1 
6 Força e Movimento - li 
7 Energia Cinética e Trabalho 
8 Energia Potencial e Conservação da Energia 
9 Centro de Massa e Momento Linear 
10 Rotação 
11 Rolamento, T orque e Momento Angular 
Volume 2 
12 Equilíbrio e Elasticidade 
13 Gravitação 
14 Fluidos 
15 Osc ilações 
16 Ondas -1 
17 Ondas - li 
18 Temperatura, Calor e a Primeira Lei da 
Termodinâmica 
19 A Teoria Cinética dos Gases 
20 Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica 
Volume 3 
21 Cargas Elétricas 
22 Campos Elétricos 
23 Lei de Gauss 
24 Potencial Elétrico 
25 Capacitância 
26 Corrente e Resistência 
27 Circuitos 
28 Campos Magnéticos 
29 Campos Magnéticos Produzidos por 
Correntes 
30 Indução e Indutânc ia 
31 Oscilações Eletromagnéticas e Corrente 
Alternada 
32 Equações de Maxwell; Magnetismo da Matéria 
Volume 4 
33 Ondas Eletromagnéticas 
34 Imagens 
35 1 nterferência 
36 Difração 
37 Relat ividade 
38 Fótons e Ondas de Matéria 
39 Mais Ondas de Matéria 
40 Tudo sobre os Átomos 
41 Conc:lução de Eletricidade nos Sólidos 
42 Física Nuclear 
43 Energia Nuclear 
44 Ouarks, Léptons e o Big Bang 
A A d. R pen ices ! espostas dos Testes e das Perguntas e Problemas Ímpares Índice 
-~ 
• 
natalia
Highlight
SUMARIO 
Volume 4 
' 33 ONDAS ELETROMAGNETICAS 1 
33-1 O que É Física? 1 
33-2 O Arco-íris de Maxwell 1 
33-3 Descrição Qualitativa de uma Onda Eletromagnética 2 
33-4 Descrição Matemática de uma Onda Eletromagnética 5 
33-5 Transporte de Energia e o Vetor de Poynting 8 
33-6 Pressão da Radiação 11 
33-7 Polarização 12 
33-8 Reflexão e Refração 16 
33-9 Reflexão Interna Total 23 
33-1 O Polarização por Reflexão 24 
REVISÃO E RESUMO 25 PERGUNTAS 26 PROBLEMAS 28 
34 IMAGENS 31 
34-1 O que É Física? 37 
34-2 Dois Tipos de Imagens 37 
34-3 Espelhos Planos 38 
34-4 Espelhos Esféricos 41 
34-5 Imagens Produzidas por Espelhos Esféricos 42 
34-6 Refração em Interfaces Esféricas 46 
34-7 Lentes Delgadas 48 
34-8 Instrumentos Óticos 55 
34-9 Três Demonstrações 58 
REVISÃO E RESUMO 61 PERGUNTAS 62 PROBLEMAS 63 
35 INTERFERÊ~JCIA 12 
35-1 O que É Física? 72 
35-2 A Luz como uma Onda 72 
35-3 Difração 77 
35-4 O Experimento de Young 78 
35-5 Coerência 82 
35-6 Intensidade das Franjas de Interferência 83 
35-7 Interferência em Filmes Finos 87 
35-8 O lnterferômetro de Michelson 94 
REVISÃO E RESUMO 95 PERGUNTAS 96 PROBLEMAS 97 
N 
36 D I FRACA O 10s 
) 
36-1 O que É Física? 106 
36-2 Difração e a Teoria Ondulatória da Luz 106 
36-3 Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos 107 
36-4 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda 
- Método Qualitativo 111 
36-5 Determinação da Intensidade da Luz Difratada por 
uma Fenda - Método Quantitativo 113 
36-6 Difração por uma Abertura Circular 115 
36-7 Difração por Duas Fendas 119 
36-8 Redes de Difração 122 
36-9 Redes de Difração: Dispersão e Resolução 125 
36-1 O Difração de Raios X 128 
REVISÃO E RESUMO 130 PERGUNTAS 131 PROBLEMAS 132 
37 RELATIVIDADE 140 
37-1 O que É Física? 140 
37-2 Os Postulados da Relatividade 140 
37-3 Registrando um Evento 142 
37-4 A Relatividade da Simultaneidade 143 
37-5 A Relatividade do Tempo 145 
37-6 A Relatividade das Distâncias 150 
37-7 A Transformação de Lorentz 153 
37-8 Algumas Consequências das Equações de Lorentz 155 
37-9 A Relatividade das Velocidades 158 
37-1 O O Efeito Doppler para a Luz 159 
37-11 Uma Nova Interpretação do Momento 161 
37- 12 Uma Nova Interpretação da Energia 162 
REV'SÃO E RESUMO 167 PERGUNTAS 168 PROBLE1v1AS 110 
' 
38 FOTONS E ONOA,S DE MATÉRIA 11s 
38-1 O que É Física? 206 
38-2 O Fóton, o Quanturr, da Luz 178 
38-3 O Efeito Fotelétrico 180 
38-4 Os Fótons Possuem Momento 183 
38-5 A Luz como uma Onda de Probabilidade 186 
38-6 Elétrons e Ondas de Matéria 189 
,nrvers1aaae Federal ao ~ai 
lübllotoca CP11tr"' J SUMÁRIO vil 
38-7 A Equação de Schrõdinger 192 
38-8 O Princípio de Indeterminação de Heisenberg 194 
38-9 O Efeito Túnel 196 
REVISÃO E RESUMO 199 PERGUNTAS 200 PROBLEMAS 201 
39 MAIS ONDAS DE MATÉRIA 206 
39-1 O que É Física? 206 
39-2 Ondas em Cordas e Ondas de Matéria 206 
39-3 Energia de um Elétron Confinado 201 
39-4 Funções de Onda de um Elétron Aprisionado 211 
39-5 Um Elétron em um Poço Finito 215 
39-6 Outras Armadilhas para Elétrons 211 
39-7 Armadilhas Eletrônicas Bidimensionais e Tridimensionais 219 
39-8 O Modelo de Bohr do Átomo de Hidrogênio 221 
39-9 A Equação de Schrõdinger e o Átomo de Hidrogênio 223 
• 
REVISAO E RESUMO 231 PERGUNTAS 232 PROBLEMAS 233 
40 TUDO SOBRE OS ÁTOMOS 23s 
, 
40-1 O que E Física? 238 
40-2 Algumas Propriedades dos Átomos 238 
40-3 O Spin do Elétron 240 
40-4 Momento Angular e Momento Magnético 241 
40-5 O Experimento de Stern-Gerlach 244 
40-6 Ressonância Magnética 246 
40-7 O Princípio de Exclusão de Pauli 248 
40-8 Armadilhas Retangulares com Mais de um Elétron 248 
40-9 Construção da Tabela Periódica 252 
40-1 O Os Espectros de Raios X dos Elementos 253 
40-11 O Laser 257 
40-12 Como Funcionam os Lasers 258 
REVISÃO E RESUMO 262 PERGUNTAS 263 PROBLEMAS 263 
41 CO~DUÇÃO DE ELETRICIDADE 
NOS SOLI DOS 269 
41-1 O que É Física? 269 
41-2 Propriedades Elétricas dos Sólidos 269 
41-3 Níveis de Energia em um Sólido Cristalino 270 
41-4 Isolantes 271 
41-5 Metais 212 
41-6 Semicondutores 278 
41-7 Semicondutores Dopados 280 
41-8 A Junção p-n 283 
41-9 O Diodo Retificador 285 
41-1 O O Diodo Emissor de Luz (LED) 286 
41-11 O Transistor 288 
REVISÃO E RESUMO 289 PERGUNTAS 290 PROBLEMA~ 291 
42 FÍSICA NUCl EAR 295 
42-1 O que É F!sica? 295 
42-2 A Descoberta do Núcleo 295 
42-3 Propriedades dos Núcleos 298 
42-4 Decaimento Radioativo 304 
42-5 Decaimento Alfa 308 
42-6 Decaimento Beta 310 
42-7 Datação Radioativa 313 
42-8 Medida da Dose de Radiação 315 
42-9 Modelos Nucleares 316 
REVISÃO E RESUMO 319 PERGUNTAS 320 PROBLEMAS 321 
43 EN ERG IA N U C L E AR 321 
43-1 O que É Física? 327 
43-2 Fissão do Urânio: O Processo Básico 328 
43-3 Um Modelo para a Fissão Nuclear 330 
43-4 O Reator Nuclear 333 
43-5 Um Reator Nuclear Natural 338 
43-6 Fusão Termonuclear: O Processo Básico 339 
43-7 A Fusão Termonuclear no Sol e em Outras Estrelas 341 
43-8 A Fusão Nuclear Controlada 343 
REVISÃO E RESUMO 346 PERGUNTAS 346 PROBLEMAS 347 
44 QUARKS, LÉPTONS E O BIG BANG a51 
44-1 O que É Física? 351 
44-2 Partículas, Partículas e Mais Partículas 351 
44-3 Interlúdio 355 
44-4 Os Léptons 359 
44-5 Os Hádrons 361 
44-6 Maig uma Lei de Conservação 363 
44-7 O Caminho Óctuplo 364 
44-8 O Modelo dos Quarks 365 
44-9 As Interações Básicas e as Partículds Mensageiras 368 
44-1 O Uma Pausa para Refletir 370 
44-11 O universo en1 Expansão 371 
44-12 A Radiação Cósn1ica de Fundo 372 
44-13 A Maténci Escura 373 
44-14 O B1g Bang 374 
44-15 Conclusão 376 
REVISAO E RESUMO 377 PERGUNTAS 378 PROBLEMAS 378 
vlll :, 11 MAH I! 1 
APENDICES 
A O S1stcn1a lntcrnac1onal dP Un1dadrs (SI) 383 
RESPOSTA 
dos I estes e das Perguntas e Problemas lrnpare 398 
B Algu111as Constantes Funda1ncntn1s da íls1cn 385 
e Alguns Dados Astrono1111cos 386 1 N D I C, 402 
D Fatores de Conversao 387 
E Fórn1ulas Mate111át1cas 391 
f Propriedades dos Elen1cntos 394 
G Tabela Periódica dos Elen1entos 397 
• 
-
-
. , 11vers1aade Federal do Pac, 
qibllot e fltr\l 
O QUE É FÍSICA? 
, 
A era da infor1nação em que vivemos se baseia quase total1nente na físi-
ca tias ondas eletro1nagnéticas. Queiramos ou não, estamos globalmente conectados 
pela televisão,telefo11ia e Internet. Além disso, queira1nos ou não, estamos imersos 
en1 ondas eletromagnéticas por causa das transmissões de rádio, televisão e telefo-
ne celular. 
Há 20 anos, nem os engenheiros mais visionários imaginavrun que essa rede 
global de processadores de informação pudesse ser implantada em tão curto espaço 
de ten1po. O desafio para os engenheiros de hoje é tentar prever como serão as in-
terconexões globais daqui a 20 anos. O ponto de partida para enfrentar esse desafio 
é co,npreender a física básica das ondas eletromagnéticas, que existem em tantas 
formas diferentes que receberam o nome poético de arco-íris de Maxwell. 
33-0 O Arco-íris de Maxwell 
A grande contribuição de James Clerk Maxwell (veja o Capítulo 32) foi mostrar que 
um raio luminoso nada mais é que a propagação no espaço de campos elétricos e 
magnéticos ( ou seja, é uma onda eletromagnética) e que, po1tanto, a ótica, o estudo 
da luz visível, é um ramo do eletromagnetismo. Neste capítulo, passamos do geral 
para o particular: concluímos a discussão dos fenômenos elétricos e magnéticos e 
estabelecemos os fundamentos para o estudo da ótica. 
Na época de Maxwell (meados do século XIX), a luz visível e os raios infraver-
melhos e ultravioletas eram as únicas ondas eletromagnéticas conhecidas. Inspirado 
pelas previ<;ões teóricas de Maxwell, Heinrich Hertz descobriu o que hoje chamamos 
de ondas de rádio e observou que essas ondas se propagam com a mesma velocidade 
que a luz visível. 
Como mostra a Fig. 33-1, hoje conhecemos um largo espectro de ondas eletro-
111agnéticas: o arco-íris de Maxwell. Estamos imersos em ondas eletron1agnéticas 
pertencentes a esse espectro. O Sol, cujas radiações definem o meio ambiente no 
qual nós, como espécie, evoluímos e nos adaptamos, é a fonte predominante. Nossos 
corpos são també1n atravessados por sinai.5 de rádio, televisão e telefonia celular. Mi-
cro-ondas de aparelhos de radar podem chegar até nós. Temos também as ondas ele-
tro,nagnéticas provenientes das lâmpadas, dos motores quentes dos auto,nóveis, das 
máquinas de raios X, dos relâmpagos e dos elementos radioativos existentes no solo. 
Além disso, somos banhados pelas radiações das estrelas e de outros corpos de nossa 
galáxia e de outras galáxias. As ondas eletromagnéticas também viajam no sentido 
oposto. Os sinais de televisão, produzidos na Terra desde 1950, já levara1n notícias a 
nosso respeito Uuntamente com episódios de / Love Lucv, embora com intensidade 
11111ito baixa) a qualquer civilização tecnicamente sofisti~ada que porventura habite 
um planeta em órbita de uma das 400 estrelas mais próximas da Terra. 
Na escala de comprimentos de onda da Fig. 33-1 (e na escala de frequências 
correspondente). cada marca representa uma variação do comprimento de onda (e 
CAP ÍT U o 
2 CAPITllLO J. 
1~,1111111111111lt1 ,k 01ul I t 11111) 
illll i.011 ,1111 11111 
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Onda, l(llli.(,l' (1ntl,I\ ck r.11ho l nli , 1\ 1 •1111l lhn 
l 111 , 1110h 1,1 
I O 1 
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10 102 10' 101 10'• ] Qb 107 108 10'1 1010 1011 10
12 1011 1011 
Frequência (11,) --.. 
1 
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Usos navais e 
aeronáuticos 
1 
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~100 {-+~~+ 
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1.1 60 t 
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1 
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400 450 500 550 600 650 700 
C.Omprimento de: onda (nn\) 
Figura 33-2 Sensibilidade relativa do 
olho humano a ondas eletromagnéticas 
de diferentes comprimentos de onda. 
Esta parte do espectro eletromagnético. 
à qual o olho é sensível. é chamada de 
luz visível. 
Rádio Ft-1 
Canais de televisão 
Usos navais c: e<") 
Rádio 
, . .... 
aeronauucos, 1 • 
AM telefonia celular <N t--
1 1 1 
106 107 10
8 
Frequência (H z) 
Figura 33-1 O espectro eletromagnético. 
a, 
tD 
• 
'1' .... 
1 
109 
Usos na\'ais e 
aeronáuticos: 
telefonia celular 
1 
1010 
1 
1011 
da frequência) de 10 vezes. As extremidades da escala estão em aberto; o espectro 
eletromagnético não tem limites definidos. 
Certas regiões do espectro eletromagnético da Fig. 33-1 são identificadas por nomes 
familiares como raios X e micro-ondas. Esses nomes indicam intervalos de comprimen-
tos de onda, não muito bem definidos, dentro das quais são usados os mesmos tipos de 
fontes' e detectores de radiação. Outras regiões da Fig. 33-1, como as indicadas como 
canais de TV e de rádio AM, representam bandas específicas definidas legalmente para 
fins comerciais ou outros propósitos. Não existem lacunas no espectro eletromagnético; 
além disso, todas as ondas eletromagnéticas, não importa onde se situem no espectro, 
se propagam no espaço livre (vácuo) com a mesma velocidade e. 
A região visível do espectro é, naturalmente, de particular interesse para nós. A 
Fig. 33-2 mostra a sensibilidade relativa do olho humano a radiações de vários com-
primentos de onda. O centro da ,egião visível corresponde aproximadamente a 555 
nm; uma luz com esse co1nprimento de onda produz a sensação de verde-claro. 
Os limites do espectro visível não são bem definidos, já que a curva de sensibi-
lidade do olho tende assintoticamente para a linha de sensibilidade zero, tanto para 
grandes como pari pequenos comprimentos de onda. Se tomamos arbitrariamente 
como limites os c 1mprimentos de onda para os quais a sensibilidade do olho é 1 o/o do 
valor máximo, esses limites são aproxin~adamente 430 e 690 nm; entretanto, o olho 
pode detectar radiações fora desses limites, se forem suficientemente intensas. 
33-3 Descrição Qualitativa de uma Onda 
Eletromagnética 
Algumas ondas eletromagnéticas, como os raios X, os raios gama e a luz visível, são 
produzidas por fontes de dimensões atômicas ou nucleares, governadas pela física 
quântica. Vamos agora discutir como é gerado outro tipo de onda eletromagnética. 
Para simplificar a discussão, vamos nos restringir à região do espectro ( comprimento 
de onda À = 1 n1) na qual a fonte de radiação (as ondas emitidas) é macroscópica, 
mas de din1ensões relativamente pequenas. 
A Fig 33-3 n1ostra, de forma esquemática, uma fonte desse tipo. O componente 
principal é um oscilculor LC, que estabelece uma frequência angular w ( = lt-f LC ). 
As cargas e con·entes no circuito variam senoidalmente com essa frequêr.1;ia. como 
Tran•fonn dor 
e 
1. 
n 
('\ 1.:1lador L <': \ntC'lla do 
upo dipolo 
clctn,n 
I 
Ponto 
ri, lante" 
!/ 
n10stra a Fig 31-1. Un1a fonte externa (un1 gerado1 de CA. por exemplo) fornece a 
energia necc-.s.ma para con1pensar. não só as perdac, térmicas. n1as també1n a energia 
extraída pela onda eletromagnética. 
O oscilador LC da Fig. 33-3 está acoplado. por meio de um transformador e 
Je uma linha de transmissão, a uma antena, que consiste essencialmente em dois 
condutores ret1hneos dispostos como na figura. Através do acoplrunento. a corrente 
"enoidal do oscilador produz correntes senoidais, con1 a frequência angular w do os-
cilador LC. nos elerne:itos da antena. Corno essas correntes fazem com que as cargas 
nos elementos da antena se aproximem e se afastem periodicamente, a antena pode 
ser vista como um dipolo elétnco cujo momento dipolar elétrico varia senoidalmente em 
módulo e sentido ao longo do eixo da antena 
Como o módulo e a orientação do momento dipolar variam com o tempo, o mó-
dulo e orientação do campo elétrico produzido pelo dipolo também vanam. Além 
disso. como a corrente elétrica varia com o tempo, o módulo e a orientação do campo 
magnético produzido pela corrente variam com o tempo. As variações dos campos 
elétrico e magnético não acontecem instantaneamente em toda parte, mas se propa-
gam para longe da antena com a velocidade e da luz. Os campos variáveis formam 
uma onda eletromagnética que se afasta da antena com velocidade e. A frequência 
angular da onda é w, a mesma do oscilador LC. 
A Fig. 33-4 mostra de que forma o campo elétrico E e o campo magnético iJ 
variam com o tempo quando a onda passapor um ponto distante P da Fig. 33-3; en1 
todas as regiões da Fig. 33-4, a onda está se propagando para fora do papel. (Es-
colhemos um ponto distante para que a curvatura das ondas representadas na Fig. 
33-3 fosse suficientemente pequena para ser desprezada. Quando isso acontece, di-
zemos que a onda é uma onda plana e a discussão do problema se torna muito mais 
simples.) Várias propriedades importantes das ondas eletromagnéticas podem ser 
observadas na Fig. 33-4; elas são sempre as mesmas, independentemente da forma 
como as ondas foram criadas. 
1. Os campos É e jJ são perpendiculares à direção de propagação da onda. Como 
vimos no Capítulo 16, isso significa que a onda é uma onda transversal. 
2. O campo elétrico é perpendicular ao campo magnético. 
3. O produto vetorial É X iJ ap"nta no sentido de propagação da onda. 
4. Os campos variam senoidalmente, como as ondas transversais discutidas no Ca-
pítulo 16. Além disso, variam com a mesma frequência e estão em fase. 
Essas propriedades são compatíveis com uma onda eletromagnética que se pro-
paga em direção a P no sentido positivo do eixo x, na qual o campo elétrico da Fig. 
33-4 oscila paralelamente ao eixo )' e o campo magnético oscila paralelamente ao 
eixo z (se estivermos usando, naturalmente, um sistema de coordenadas dextrogiro ). 
Nesse caso, podemos descrever os campos elétrico e magnético através de funções 
senoidais da posição x (ao longo do percurso da onda) e do tempo t: 
E = Em sen(kx - wt), (33-1) 
B = Bm sen(kx - wt), (33-2) 
Figuro 33-3 S, t m u~ti10 ror.i r.í:tl.!1 
un1 nd cl l m néu n rc 1 
d ond curt de d10 do ~ tr 
clctr ,na n ttco um o 11 r LC 
produz um corrente cn 1<l l n nt n 
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no qual um d tcctor pode 1nd1 r 
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Figura 33-4 (a)-(h) Variação 
do campo elétrico Ê e do campo 
magnético iJ no ponto distante P da 
Fig. 33-3 quando um ciclo da onda 
eletromagnética passa pelo ponto. Nesta 
visão, a onda está se propagando para 
fora do papel, perpendicularmente ao 
plano do desenho. O módulo e o sentido 
dos dois campos variam periodicamente. 
Note que o campo elétrico e o 
campo magnético são mutuamente 
perpendiculares à direção de propagação 
da onda. 
4 CAPÍTULO 33 
' J "1111 ()<; • C011111 IICI Car)1tul1) 16, w e k ,,n a 
cn1 que t,,, e /Jm ,aoª' an.1pl1Luuc!'.. e o L, ,~s c:1ivan1cntc. (Jhscrvc que n.io 6 o 
rrcquência angular e o nu1nc1 o <lc ond,,. r ' 1' "t ,11·,s e id ·1 c·un1)11 , c>lacl,,rncntc 
· I· eletro1nagnc 1c, · ' • ' ' ' 
uois ca,npos consl1tuc111 un1a ont ., d 1d·1 cl•·lroni-11•116t1ca é de cr,t.i pela 
. . d A nte e/c1,-,co a n1 • ... . , e, 
const1tu1 u,na on a. co111110 11:. , , • . eJa E i '.-2. Como vcrcn10, adi,1ntf 
Eq. 33- l e a conzponente ,nagnetcca e descrita p q. -
- d existir separada1nentc. 
as duas co1nponentes nao po em ' . d d aaação d·, onda é l1Jlk. Con1rJ 
d E 16 13 a veJoc1da e e prop o' ' De acor o co1n a q. - ', . ímbolo e (e não v) para representar 
se trata de uma onda eletromagnet1ca, usamos O s , d d 
. - que O valor de e e a o por essa velocidade. Na próxima seçao vamos ver 
1 
(velocidade da onda). (33-3) e """ 
vJi-Oeõ 
que é aproximadamente igual a 3,0 X 108 m/s. Em outras palavras, 
._ , . . . d 1 · , el se propagam no vácuo com a -'Todas as ondas eletromagnetlcas, 1J1clum o a uz v1s1v , 
mesma velocidade e. 
Vamos ver também que a velocidade e e as amplitudes do elétrico e do campo mag-
ríético estão relacionadas através da equação 
E,11 
=e 
Bn, 
(razão entre as amplitudes). (33-4) 
Dividindo a Eq. 33-1 pela Eq. 33-2 e levando em conta a Eq. 33-4, descobrimos q~e 
os módulos dos carr1pos em qualquer instante e em qualquer ponto do espaço estao 
relacionados pela equação 
E 
-=e 
B 
(razão entre os módulos). (33-5) 
Como mostra a Fig. 33-5a, uma onda eletromagnética pode ser representada 
por um raio (uma reta orientada qu.e mostra a direção de propagação da onda), por 
frentes de onda (superfícies imaginárias nas quais o campo elétrico tem o mesmo 
módulo) ou das duas formas. As duas frentes de onda que aparecem na Fig. 33-5a 
estão separadas por um comprimento de onda À ( = 27T/k). (Ondas que viajam apro-
ximadamente na mesma direção formam um feixe , como o feixe de um laser ou de 
uma lanterna, que também pode ser representado por um raio.) 
Podemos também representar a onda como na Fig. 33-5b, que mostra os vetores 
campo elétrico e campo magnético em um "instantâneo" da onda tomado em um 
certo momento. As curvas que passam pelas extremidades dos vetores representam 
as oscilações senoidais dadas pelas Eqs. 33-1 e 33-2; as componentes da onda E e 
B estão em fase, são mutuamente perpendiculares e são perpendiculares à direção 
de propagação. 
(a) 
Frentes de -
onda Raio 
Figura 33-5 (a) Uma onda eletromagnética representada por 
um raio e duas frentes de onda; as frentes de onda estão separadas 
por um co1nprimento de onda A. (b) A mesma onda, representada 
~or um "instantâneo" do campo elétrico E e do campo magnético 
Bem vários pontos do eixo x pelos quais a onda passa com 
velocidade e. No ponto P, os campos variam com o tempo da 
forma mostrada da Fig. 33-4. A cornponente elétrica da onda é 
~onstít~íd~ apenas por campos elétricos; a componente magnética 
e constttu1da apenas por campos magnéticos. O retângulo 
tracejado no ponto P aparece também na Fig. 33-6. 
(b) 
y 1 ~-·----
' 
Ca,npo 
elt~lrico 
1 ----~ 
1 
- c.1n1po 
- . rnagneuco 
11:;twa:aw,., 
É preciso ton1ar cuidado ao inte11)rcla1 a T•ig. 11 51> Os ch:-.enhos scn1clhuntc, pai a 
uina corda esticada, que discutin1os no Capítulo 16, rcpresenluva,n os dcsloca,nentos 
para citna e para bai\.o de ~artes da cord~ co1n a passag~m da on.da .<havia algo r<!al-
111c11tc l!lll 11101•il11e11to ). A Fig. 33-5b é n1a1s abstrata. No instante 1nd1cado. os can1pos 
elétrico e 111ugnético possue1n u1n ce1to 1nódulo e um certo sentido (mas são sempre 
perpendiculares ao eixo x) em cada ponto do eixo x. Como estrunos representru1do es-
s:1s grandezas vetoriais co1no setas, devemos traçar duas setas para cada ponto, todas 
apontando para longe do eixo x, como espinhos de u1na roseira. Entretanto, as setas 
representa1n apenas os valores do ca1npo elétrico e 1nagnético em pontos do eixo x; nem 
as setas e as curvas senoidais que unem as extremidades dos vetores representam qual-
quer tipo de movimento, nem as setas ligam pontos do eixo x a pontos fora do eixo. 
Desenhos como os da Fig. 33-5 ajudrun a visualizar o que é na verdade uma 
situação muito complexa. Considere em pri1neiro lugar o campo 1naguético. Como 
está variando senoidalmente, o campo induz (através da lei de indução de Faraday) 
u1n campo elétrico perpendicular que também varia senoidalmente. Entretanto, como 
0 ca1npo elétrico está vru·iando senoidalmente, induz (através da lei de indução de 
Maxwell) um campo magnético perpendicular que também varia senoidalmente, e 
assim por diru1te. Os dois campos criam continuamente um ao outro através da in-
dução e as variações senoidais dos campos se propagam como uma onda: a onda 
e\etro1nagnética. Se esse fenômeno espantoso não existisse, não poderíamos enxer-
gar; na verdade, como dependemos das ondas eletromagnéticas do Sol para manter 
a Ten·a aquecida, sem esse fenômeno não poderíamos nem existir. 
Uma Onda Curiosa 
As ondas que discutimos nos Capítulos 16 e 17 necessitam de um n1.eio ( um material 
qualquer) para se propagar. Falamos de ondas qüe se propagavam em uma corda, no 
interior da Terra e no ar. As ondas eletromagnéticas, por outro lado, não necessitam , 
de u1n 1neio para se propagar. E verdade que podem existir no interior de um material 
(a luz, por exemplo, se propaga no ar e no vidro), mas também podem se propagar 
perfeitamente no vácuo do espaço que nos separa das estrelas. 
Quando a teoria da relatividaderestrita foi finalmente aceita pelos cientistas, 
muito tempo depois de ter sido proposta por Einstein em 1905, a velocidade da luz 
passou a desempenhar um papel especial na física. Uma razão para isso é que ave-
locidade da luz no vácuo é a mesma em todos os referenciais. Se você produz um 
raio lu1ninoso ao longo de um eixo e pede a vários observadores que estão se mo-
vendo com diferentes velocidades em relação a esse eixo para medir a velocidade 
da luz, todos obtêm o nzestno resultado. Essa observação é surpreendente e difere da 
que seria constatado se os observadores estivessem estudando qualquer outro tipo 
de onda; no caso de outras ondas, a velocidade medida depende da velocidade do 
observador em relação à onda. 
Hoje en1 dia, o metro é definido de tal forma que a velocidade da luz (e de qual-
quer outra onda eletromagnética) no vácuo é exatamente 
e = 299 792 458 m/s, 
o que significa que a velocidade da luz no vácuo é usada como padrão. Co1no isso 
equivale a definir qualquer distância em ter1nos da velocidade da luz, ao medir o 
tempo de trânsito de u1n pulso luminoso entre dois pontos. não estamos medindo a 
velocidade da luz e si1n a distância e11tre os pontos. 
33-4 Descrição Matemática de uma Onda 
Eletromagnética 
~amos agora demonstrar as Eqs. 33-3 e 33-4 e, o que é 1nais iinportante, discutir a 
indução recíproca de campos elétricos e 1nagnéticos que é re!)ponsável pelo fenó-
meno da luz. 
.. PARTE• -~. 
ONDAS ELE.TROMAGN~TICAS 5 
• 
f 
6 
z 
CAPÍTULO 33 
O campo magnético oscilante 
induz um campo elétrico 
oscilante e perpendicular. 
y 
dx 
r ,., 1 ' ..... ..... ..... E+dE E 1 1 
l 
X 
l 1 J - LJ B 
Figura 33-6 Quando a onda 
eletromagnética passa pelo ponto P 
da Fig. 33-Sb, a variação senoidal do 
ca1npo magnético B em u1n retângulo 
em torno de P induz campos elétricos 
ao longo do retângulo. No instante 
mostrado na figura, o módulo de jj está 
diminuindo e, portanto, o 1nódulo do 
cainpo elétrico induzido é maior do 
lado direito do r~tângu!o que do lado 
esquerdo. 
A Equacão 33-4 e o Campo Elétrico Induzido 
O rctflngulo 1,.1cc1ado de din1cn.,õcs ,/, L I, d:i J•ig. ::\ J .(, pertence "" pla1111 t 't e e 1.1 
parado no ponto f' do eixo , (n 1nL·sn10 n.:1finguh1 :1parccc 1111 1,,do din..:1tr, J:1 l·1g 
J3-5h). Quando a onda elelro1nagnét1ca pass .. 1 pl!l<i r1:t:1ngul<>, p111pai[1ndo-sc da 
esquerda para a direita, o !luxo 1nagnético <l>u que atrav1:ssa r> retú11g11Jo vuria e, de 
acordo com a lei de indução de Faraday, aparecen1 ca1npn" clétricn induzidos n.i 
região do retângulo. Toma1nos Ê e Ê + e/E como os campos indtt/tdos nos dois lu-
dos mais cotnpridos do retângulo. Esses campos elétricos são. na realidade. a cnn1-
po11cnte elétrica da onda eletromagnética. 
Observe o peqt1eno trecho vermelho da curva da componente magnética longe 
do eixo y na Fig. 33-Sb. Considere o ca,npo elétrico induzido no instante em que 
a componente magnética está passando pelo retângulo. Nesse momento. o campo 
1nagnético que atravessa o retângulo está apontando no sentido positivo do eixo z e 
o módulo do campo está diminuindo ( o módulo era máximo pouco antes de o tre-
cho vennelho passar pelo retângulo). Como o campo magnético está diminuindo. o 
fluxo magnético <l>
8 
que atravessa o retângulo também está diminuindo. De acordo 
com a lei de Faraday, a variação do fluxo induz um campo elétrico que se opõe à 
variação do campo magnético, produzindo um campo magnético B no sentido po-
sitivo do eixo z. 
De acordo com a lei de Lenz, isso, por sua vez, significa que se imaginarmos o 
perímetro do retângulo como se fosse uma espira condutora, surgiria nessa espira , 
uma corrente elétrica no sentido anti-horário. E óbvio que não existe, na verdade, 
nenhuma espira, mas essa análise mostra que os vetores do campo elétrico induzido, 
Ê e Ê + dÊ, têm realmente a orientação mostrada na Fig. 33-6, com o módulo de 
Ê + dÊ 1naior que o módulo de Ê. Se não fosse assim, o campo elétrico induzido 
não tenderia a produzir uma corrente no sentido anti-horário. 
Vamos agora aplicar a lei de indução de Faraday, 
f E• ds = - d:B , (33-6) 
~ercorre~do .º retângulo da Fig. 33-6 no sentido anti-horário. A contribuição para a 
integral aos 1ados do retângulo paralelos ao eixo x é nula, já que, nesses trechos Ê 
e ãs são perpendiculares. A integral, portanto, tem o valor ' 
f Ê · ds =(E+ dE)h - Eh= h dE. (33-7) 
O fluxo <f>8 que atravessa o retângulo é dado por 
<Pn = (B)(h dx), (33-8) 
em que B é o módulo de B no ir1terior do retângulo e h dx t. a á d A 1 
rivando a Eq. 33-8 em relação a t, obtemos: V rea o retango o. De-
d<l>o dB 
--=- = hdx--
dt dt . (33-9) 
Substituindo as Eqs. 33-7 e 33-9 na Eq. 33-6, obtemos: 
/1 dE = - /1 dx dB 
dt 
ou 
dE dB 
(33-10) = ---d.Y dt 
Na verdade, tanto B como E são funções de duas va · , · r1ave1s, x e t como t 
Eqs. 33-1 e 33-2. Entretanto, ao calcular dE'dx deve ' mos ramas ' , mos supor que t é c t t · , 
que a Fig. 33-6 é um "insta11tâneo" da onda Da mes í ons an e, Ja 
vemos supor que .\'.' é constante, pois estamo~ lidandoma orma, ao calc~lar_ dB/dt, de-
com a taxa de var1açao de B em 
,rnv 1aaôe f eoora1 do Par~ 
lbl\ot r.a C""t,-"' 
um local deter1ninado. o ponto P da 1-;ig ~3 'ih. Nl'ssas l'i1cunstanl'1as. as dl·i ivaJas 
são Jeri1•atlt15 JJarcia1s e é n1ais coneln escn:vc1 a l!q. 33- 1 O na lor1na 
ili~ 11/] 
( 13-1 1 ) 
él.\ ilt 
o sinal negativo da Eq. 3.3-11 é apropriado e necessário porque, e1nbora E esteja 
au1nentando con1 , na região onde se encontra o retângulo da Fig. 33-6, B estéÍ di-
n1inuindo con1 t. 
De acordo co1n a Eq. 33-1, temos: 
aE 
ax = kE111 cos(k.t - wt) 
e de acordo com a Eq. 33-2, 
aB 
at 
Assim, a Eq. 33-11 se reduz a 
= -wB,,1 cos(k.':( - wt). 
kE,,1 cos(kx - wt) = wB111 cos(kx - wt). (33-12) 
Para uma onda progressiva, a razão w/k é a velocidade da onda, que estamos cha-
mando de e. A Eq. 33-12 se torna, portanto, 
E,11 
B,,, 
que é exatamente a Eq. 33-4. 
=e (razão entre as amplitudes), 
A Equação 33-3 e o Campo Magnético Induzido 
(33-13) 
A Fig. 33-7 mostra outro retângulo tracejado no ponto P da Fig. 33-Sb, desta vez no 
plano xz. Quando a onda eletromagnética passa por esse retângulo, o fluxo elétrico 
<I>E que atravessa o retângulo varia e, de acordo com a lei de indução de Maxwell, 
aparece um campos magnético induzido na região do retângulo. Esse campo magné-
tico induzido é, na realidade, a componente magnética da onda eletromagnética. 
Vemos na Fig. 33-5b que no instante escolhido para o campo magnético da Fig. 
33-6, assinalado em vermelho na curva da componente magnética, o campo elétrico 
que atravessa o retângulo da Fig. 33-7 tem o sentido indicado. Lembre-se de que, 
no momento escolhido, o campo magnético da Fig. 33-6 está dimi11uindo. Co1no os 
dois campos estão em fase, o campo elétrico da Fig. 33-7 também está diminuin-
do e o mesmo ocorre com o fluxo elétrico <l>e que atravessa o retângulo. Usar1do o 
mesmo raciocínio que para a Fig. 33-6, vemos que a variação do fluxo <l>E induz um 
campo magnético com vetores l3 e l3 + dB orientados como na Fig. 33-7, com l3 + 
dB maior que B. 
Va1nos aplicar a lei de indução de Maxwell, 
1- - d<l>E j B · ds = JJ,oeo dt , (33-14) 
percorrendo o retângulo tracejado na Fig. 33-7 no sentido anti-horário. Apenas os 
lados mais co1npridos do retângulo contribuem para a integral porque o prodt1to es-
calar ao longo dos lados mais curtos é zero. Assim, podemos escrever 
f B ·ds = -(B + dB)h + Bh = -h dB. (33-15) 
O fluxo <l>c que atravessa o retângulo é 
cp /: = ( E)(/1 d.Y ), (33-16) 
ONDAS f l l:. TRO I AGN(TICAS 7 
z 
O campo elétrico oscilante 
induz um campo magnético 
oscilante e perpendicular. 
y 
-E 
Figura 33-7 Quando a onda 
eletromagnética passa pelo ponto P 
da Fig. 33-5b, a variação senoidal do 
campo elétrico E em um retângulo em 
tomo de P induz campos magnéticos 
ao longo do retângulo. O instante 
mostrado na figura é o mes1no da Fig. 
33-6: o módulo de E está diminuindo e, 
po1tanto, o módulo do campomagnético 
induzido é maior do lado direito do 
retângulo que do iado esquerdo. 
- -.--., . 
• 
8 CAPÍTULO 33 
no intc, i111 do ,c1 f111g11lo. fJcn\,1nd<1" l~q. 33-16 c,n onde /:. é O rnodulo n1L:dio UL 1 
relação a t, lbtc111os: 
t/<J> I 
til 
,11 
= lz ti\ -
,lt 
Substituindo esta equação e a Eq. 33- J 5 na Eq. 33- t 4, obtemos 
( ([[,) -lz c/8 = J.1-060 h tl.t <li 
ou, usando a notação de derivada parcial como fizemos anteriormente para pas'>ar 
daEq. 33- lO a Eq. 33-11 , 
aB íJE (33-17) = J.1-060 •• 
âx <Jt 
. , , . mbora B esteja aumentando Mais uma vez, o sinal negativo e necessar10 porq~e •. e. . 
com x no ponto p do retângulo da Fig. 33-7' E esta d1m1n~1ndo com t. 
Substituindo as Eqs. 33-1 e 33-2 na Eq. 33-17, temos. 
-kB cos(kx - wt) = -J.1-0eowE,11 cos(kx - wt), Ili 
que podemos escrever na forma 
E,,, 
B,,, 
1 
J.1-0Bo( w/ k) 
1 
Combinando esta equação com a Eq. 33-13, obtemos -
1 
e= 
Vii-Osõ 
( velocidade da onda), 
que é e~atamente a Eq. 33-3. 
"'TESTE 1 
A parte 1 da figura mostra o 
campo magnético B na po-
sição do retângulo da Fig..: 
33-6 em outro instante; B 
continua no plano xz, mas 
agora está orientado no sen-
z tido negativo do eixo z e o 
módulo de B está aumen-
• 
y 
(1) 
_. 
''VB 1 ' 
1 ' 
1 X 
: 1 
1 1 
1J z 
y 
(33-18) 
r7 
// r• 
J..--~",-<,-- -;.; 
// 
// 
// 
(2) 
tando. (a) Complete a ilustração da parte 1 desenhando os vetores que representam os 
campos elétricos induzidos, corno na Fig. 33-6. (b) Para o mesmo instante, complete a 
parte 2 da figura desenhando o campo elétrico da onda eletromagnética e os campos mag-
néticos induzidos, como na Fig. 33-7. 
33-5 Transporte de Energia e o Vetor de Poynting 
Como todo banhista sabe, uma onda eletromagnética é capaz de transportar energia e 
fornecê-la a u1n corpo. A taxa por unidade de área com a qual uma onda eletromag-
nética transpo1ta energia é descrita por un1 vetor S, denominado vetor de Poynting 
em ho1nenage1n ao físico John Henry Poynting (1852-1914), o primeiro a discutir 
suas propriedades. O vetor de Poynting é definido através da equação 
~ 1 --+ - ~ 
S = E X B 
/J-0 
( vetor de Poynting). (33-19) 
O módulo S depende da rapidez com a qual a energia é transportada por uma onda 
através de uma área unitária em u1n dado instante (inst): 
,· (.1.1-20) 
De acnrJn ct,nl a l~q ~J ~(), a unid:tdl' dl' ,.;; no SI é o ,vatt por 1netro quadrado (W/1n7) • 
. \ dirl·,·:il' dl, , l'l\'' lk' Pt') nting ,\' de iln1a onda cletro1nagnética etn uni ponto qualquer 
d,, l'~l':t\'l' ind1ea ,l din.'Ç;io de propagação Ja onda e a direção de transporte de energia 
Jlc.'~Sl' pllll(\\. 
Cl)Hlü € e 8 _:-ão n1utuan1ente perpendicu~1res en1 u1na onda eletro1nagnética, o 
,nódulo de E , 8 é EB. f-c\ssin1. o n1ódulo de S é 
l 
S = EB, 
/io 
(33-21) 
en1 que S, E e B são valores instantâneos. Como existe uma relação fixa entre E e 
B. poden1os trabalh,u· co111 ape11as tu11a dessas grandezas; escolhemos trabalhar com 
E, j .. i que a 111aioria dos instrume11tos usados para detectar ondas eletromagnéticas 
é sensível à con1ponente elétrica da onda e não à componente magnética. Usando a 
relação B = Ele, dada pela Eq. 33-5, podemos escrever a Eq. 33-21 na forma 
l 
S =--E2 (!luxo instantâneo de energia). (33-22) 
Fazendo E= E,,. sen(k..\"- wt) na Eq. 33-22, poderíamos obter uma equação para 
o transporte de energia em função do tempo. Mais útil na prática, porém, é a energia 
1nédia transportada, ou seja, a média de S ao longo do tempo, representada como 
Sméd e ta111bén1 conhecida como intensidade Ida onda. De acordo com a Eq. 33-20, 
a intensidade é dada por 
(
energia/tempo) = (potência) . 
área méd área méd 
De acordo com a Eq. 33-22, temos: 
1 1 
I = Sméd = --[ E 2]méd = [ E;, sen2( kx - wt) ]méd· 
C/J-0 C/J-0 
• 
(33-23) 
(33-24) 
Em un1 ciclo completo, o valor médio de sen2 8, para qualquer variável angular 8, é 
t (veja a Fig. 31-17). Além disso, definimos uma nova grandeza Erms• o valor médio 
quadrático ou valor rins* do campo elétrico, como 
E,,, 
Erms = \/2 • 
Nesse caso, a Eq. 33-24 pode ser escrita na forma 
l = 
1 
C/J-0 
(33-25) 
(33-26) 
Como E = cB e e é um número muito grande, seria natural concluir que a energia 
associada ao campo elétrico é muito maior que a associada ao campo magnético. Essa 
conclusão, porém, não estaria correta; na verdade, as duas t!nergias são exatamente 
iguais. Para mostrar que isso é verdade, começamos com a Eq. 25-25, que fornece 
a densidade de energia u ( = s
0
E-/2) associada ao campo elétrico, e substituímos E 
por cB. Nesse caso, podemos escrever: 
_ 1 E2 _ 1.,. (cB)2 ul. - zeo - 2c.o . 
• As iniciai~ mls vên, do inglês root nrean squarc, que significa valor médio quadrático. (N.T.) 
-~ .. PA.RTlI-A 
ONDAS Ell IROMAGNÉTICAS o 
10 CAPÍTULO 33 
Toda a energia emitida pela fonte 
luminosa S passa pela superfície 
de uma esfera de raio r. 
/ 
/ 
Figura 33-8 Uma fonte pontual 
S emite ondas eletromagnéticas 
uniformemente em todas as direções. 
As frentes de onda esféricas passam por 
uma esfera imaginária de centro em S e . 
raio r. 
Se agora substiluinnos < por seu valor, dadci pela f:q. ~3-3. lcren1os: 
l /J 7 
li 1 -= ~eo JJ 2 = 
J.toBo 2t.Li1 
Corria, de acordo com a Eq. 30-55, B2/2µ0 é a densidade de energia " 11 de um can1-
po n1agnético É, ve1nos que uE = u8 para uma onda eletromagnética cm todos os 
pontos do espaço. 
Variação da ~ntensidade com a Distância 
A variação com a distância da radiação eletro1nagnética emitida por uma fonte pode 
ser difícil de calcular quando a fonte ( como o farol de um automóvel) projeta a onda 
em uma certa direção. Em algumas situações, porém, podemos supor que a fonte 
é uma fonte pontual que emite luz isotropicamente, ou seja, com igual intensidade 
em todas as direções. A Fig. 33-8 mostra, de forma esquemática, as frentes de onda 
esféricas emitidas por uma fonte pontual isotrópica S. 
Suponha que a energia da onda é conservada enquanto a onda se afasta da fon-
te e imagine uma superfície esférica de raio r ecentro na fonte, como na Fig. 33-8. 
Toda a energia emitida pela fonte tem que passar pela superfície esférica; assim, a 
troca com a qual a energia atravessa a superfície esférica é igual à troca com a qual a 
energia é emitida pela fonte, ou seja, é igual à potência P, da fonte. Segundo a Eq. 
33-23, a intensidade Ida onda na superfície esférica é dada por 
1 
= potência = P s 
área 4nr 2 ' 
(33-27) 
em que 41rr2 é a área da superfície esférica. De acordo com a Eq. 33-27, a intensi-
dade da radiação eletromagnética emitida por uma fonte pontual isotrópica diminui 
com o quadrado da distância r da fonte. 
IITESTE 2 
-
A figura 1nostra o ca1npo elétrico de u1na onda eletromagnética em um 
certo ponto e em um certo instante. A onda está transportando energia 
no sentido negativo do eixo z. Qual é a direção do campo magnético da 
onda no mesmo ponto e no mesmo instante? 
z 
y 
..... 
E 
5 · Exemplo 
Onda luminosa: valores rms do campo elétrico e do campo magnético 
Quando olhamos para a Estrela Polar (Polaris), recebemos a 
luz de uma estrela que está a 431 anos-luz da Terra e emite 
energia a uma taxa 2,2 X 103 vezes maior que o Sol (Psol = 
3,90 X 1026 W). Desprezando a absorção da luz pela atmos-
fera terrestre, dete11nine os valores rms do campo elétrico 
e do campo magnético da luz que chega até nós. 
1. O valor rms do campo elét1ico, Erm~· está relacionado 
à intensidade luminosa,/, através da Eq. 33-~6 (/ = 
E2 rm,/cµo). 
2. Como a fonte está muito distante e e1nite ondas com 
igual intensidade e1n todas as direções. a intensidade l 
a uma distância r da fonte está relacionada à potência 
Ps da fonte através da Eq. 33-27 (/ = p )47Tr2). 
3. Os módulos do campo elétrico e do campo magnético 
de uma onda eletromagnética em qualquer instante e 
em qualquer ponto do espaço estão relacionados pela 
Eq. 33-5 (E/B = e). Assim, os valores rms dos campos 
també1n estão relacionados pela Eq. 33-5. 
Campo elétrico De acordo com as duas primeirasideias. 
P. I = ., 
41rr2 
E2 rms 
Cf.J.-0 
l 
• • 
• 
' 
l 
ONDAS ELETR0/14/,GN~TIC 111 
J /~1·110 i 1T/', • 
Fa1l•nJn /', ( 2.2 '\. 1 O 1)( '· 90 '\. 1 O'" 'vV) - 8.58 >.. 102'' 
\\f,,. 431 anos tu, 4.08 '\. 10111 111 e substituindo as 
constantes 1'1sieas por seus valores, obtcn1os 
J:'1111, = l .24 , 1 O ' V /111 l ,2 111 V /111. (Resposta) 
paraçao con1 os va lcu cs no1111ah11entc rncduln c111 Jab 
ralório, tnas o valo, do can1po 111:i!,!nétil;n /J r 4 t pT 
é 11111ito pequeno. Essn dili.:n:nça ajuda,, explicar por qu 
a 111aio, ia dos instru1nentos usados par., detecta, n1ec.l1r 
onda& eletromagnéticas foi projetada para rci,pc,nd r , 
con1ponente elétrica da onda. Seria errado, porén1, :ilirmar 
que a co1nponente elétrica de uma onda eletromannétic.i e 
Can1po n1agnético De acorc.lo con1 a Eq. 33-5, te1nos: 
!{, 111, 1.24 X l O ·' V /111 /11111, = --'.;.;.e._ - -----8--
(.' 3,00 X 10 111/s 
= 4,J X 10 12 1' = 4,1 pT. 
Não podemos con,parar os campos Observe que o valor 
do ca1npo elétrico E011s (= 1,2 n1V/m) é pequeno em com-
33-6 Pressão da Radiação 
"1naior" que a componente magnética. Não podemn<; corn 
parar grandezas medidas em unidades diferentes. Como 
vimos, a componente elétrica e a componente magnética 
estão em pé de igualdade no que di7 respeito i1 propagaçãn 
da onda, já que as energias médias, que podenz ser comp:1-
radas, são exatamente iguais. 
Além de energia, as ondas eletro111agnéticas ta1nbém possuem momento linear. Isso 
significa que pode1nos exercer u1na pressão sobre um objeto (a pressão de radia-
ção) simplesmente ilu1ni11ando o objeto. Entretanto, essa pressão deve ser muito 
pequena, já que, por exemplo, não sentimos nada quando alguém nos fotografa 
usando u1n flash. 
Para determinar o valor da pressão, vamos supor que um objeto seja submetido 
a um feixe de radiação eletromagnética (um feixe luminoso, por exemplo) duran-
te um intervalo de tempo At. Vamos supor ainda que o objeto esteja livre para se 
mover e que a radiação seja totalmente absorvida pelo corpo. Isso significa que, 
durante o intervalo de tempo 11t, o objeto recebe uma energia 11U da radiação. 
Maxwell demonstrou que o objeto também recebe momento linear. O módulo 11p 
da variação de momento do objeto está relacionado à variação de energia 11U atra-
vés da equação 
t:,.p = 11U 
e 
(absorç.io total), (33-28) 
em que e é a velocidade da luz. A direção da variação de momento do objeto é adi-
reção do feixe incidente da radiação que o corpo absorve. 
Em vez de ser absorvida, a radiação pode ser refletida pelo objeto, ou seja, pode 
ser en1itida novamente. Se a radiação é totalmente refletida e a incidência é perpendi-
cular, o 1nódulo da variação do momento é duas vezes maior que no caso anterior: 
!::,.p = 2 ó. U 
(' 
( incidência perpendicular e reflexão total). (33-29) 
Da 1nesma forma, u1n objeto sofre uma variação de 1nomento duas vezes maior quan-
do uma bola de tênis perfeitamente elástica se choca co1n o objeto do que quando é 
atingido por t1111a bola perfeita1nente inelástica (uma bola feita de massa de mode-
lar, digan1os) co1n a 1nesma 1nassa e velocidade. Quando a radiação é parcialmente 
absorvida e parcialn1ente refletida, a variação de momento do corpo tem um valor 
entre 11U/c e 2 AU/c. 
De acordo co1n a segunda lei de Newton na for111a do 1no1nento linear (Seção 
9-4 ). a toda variação de 1no1nento está associada u1na força dada por 
,~ = ~/} (33-30) 
:lt 
natalia
Highlight
12 CAPITULO 33 
Para dctcr1ninar tuna cxprc~san para a lorça cxcrcid,1 pclu r.,diaçao cm 1crn10 cln u 
intensidade f da radiação, observamos que a 111tcnsidadc é dtu.la por 
potência cncrg iu/1c 1111 H 1 
J - -- área - án:a · 
l 
Suponha que urna superfície plana de área A, perpendicular a direçfio ~a radiação, 
intercepta a radiação. A energia interceptada pela superfície durante o intervalo de 1 
tempo ó.t é dada por 
!::. V = IA !::. t. 
Se a energia é totalmente absorvida, a Eq. 33-28 nos diz que ó.p = IA ó.t/c e, de acor-
do com a Eq. 33-30, o 1nódulo da força exercida sobre a superfície é 
F = IA 
e 
(absorção total). (33-32) 
Se a radiação é totalmente refletida, a Eq. 33-29 nos diz que ó.p = 2/A ó.t/c e, de 
acordo com a Eq. 33-30, 
2/A 
F=-- (incidência perpendicular e reflexão total). (33-33) 
e 
Se a radiação é parcialmente absorvida e parcialmente refletida, o módulo da força 
exercida sobre a superfíçie tem um valor entre !Ale e 2Wc. 
A fcYrça por upidade de área exercida pela radiação é a pressão de radiação p r· 
Podemos detenninar o valor dessa pressão para as situações das Eqs. 33-32 e 33-33 
dividindo ambos os membros das equações por A. Os resultados são os seguintes: 
e 
I 
P =-r e 
21 
( absorção total) 
Pr = (incidência perpendic~ar e reflexão total). 
e 
(33-34) 
(33-35) 
É preciso tomar cuidado para não confundir o símbolo Pro usado para representar 
1 
a pressão da radiação, com o símbolo p, usado para representar o momento linear. 
Como acontece com1 a pressão dos fluidos, discutida no Capítulo 14, a unidade de 
pressão de radiação do SI é o Pascal (Pa), que corresponde a uma força de 1 newton 
por metro quadrado (1 N/m2) . 
A invenção do laser permitiu aos pesquisadores utilizar pressões de radiação 
muito maiores que a que é produzida, por exemplo, por uma lâmpada de flash. Isso 
acontece porque um feixe de laser, ao contrário de um feixe de luz comum, pode ser 
focalizado em uma região com apenas alguns_ comprimentos de onda de diâmetro, 
o que permite fornecer uma grande quantidade de energia a pequenos objetos colo-
cados nessa região. 
TESTE 3 
Um feixe de luz de intensidade uniforme incide perpendicularmente em uma superfície 
não refletora, iluminando-a totalmente. Se a área da superfície diminui, (a) a pressão da 
radiação e (b) a força exercida pela radiação sobre a superfície aumenta, diminui ou per-
manece constante? 
33-7 Polarização 
As antenas de televisão inglesas são orientadas na vertical e as americanas são 
orientadas na horizontal. A diferença se deve à direção de oscilação das ondas ele-
tromagnéticas que transportam o sinal de televisão. Na Inglaterra, o equipamento de 
. . 
uan,niis,ãti é projetado para ge1,1t onda\ polari1.aclns, L~ 11 ica l111LlllL 1111 ç;l!p1, c1q 11 
canipo eletr1co osctla na , crl1cal. ,\o.;s1n1. pa1a que o l,llnpo l: ILt1 lln das ondas de 
ieh~, is:to prL)duza unia corrente na antena (e. portanto. forneça u111 s111,il ao 1cccptor 
de tele, isão). é preciso que a antena esteja na vc1tical. Nos bstaJn-, l Jnitlos. as nnJ.i , 
,ão polarizada, horizontaln1ente. * 
A Fig. 33 9a mostra u1na onda eletron1agnética con1 o can1po e leu ico osciluntlo 
parale1a111ente ao eixo vertical)'. O plano que conté1n o vetor É en, instantes succss1-
,os de ten1po é chamado de plano de polarização tia onda (é po1 isso que tli1cn1os 
que unia onda co1no a da Fig. 33-9 é JJ!a110-JJ0/ari::.acla na direção)'). Poden1os repre-
sentar a JJolari::.ação da onda n1ostrando a direção das oscilações do ca1npo elétrico en1 
uma vista frontal do plano de oscilação, co1no na Fig. 33-9b. A seta de duas cabeças 
indica que quando a onda passa por nós o crunpo elétrico oscila verticaltnente, isto 
é. alterna continuamente entre o sentido positivo e o sentido negativo do eixo y. 
Luz Polarizada 
As 011das eletromagnéticas transmitidas por um canal de televisão têm se1npre a 
mesma polarização, mas as ondas eletromagnéticas emitidas por uma fonte de luz 
comum (co1no o Sol ou uma lâmpada elétrica) são polarizadas aleatoriamente ou 
não polarizadas (os dois termos têm o mesmo significado). Isso quer dizer que a 
direção do campo elétrico muda aleatoriamente com o tempo, embora se mantenha 
perpendicular à direção de propagação da onda. Assim, se representarmos a onda 
vista de frente durante um certo intervalo de tempo, não teremos um desenho sim-
ples con10 o da Fig. 33-9b, mas uma série de setas, como na Fig. 33-lOa, cada uma 
com uma orientação diferente. 
Em princípio, é possível simplificar o desenho representandoos campos elétri-
cos da Fig. 33-lOa através das componentes y e z. Nesse caso, a luz não polarizada 
pode ser representada por duas setas de duas cabeças, como na Fig. 33-lOb. A seta 
paralela ao eixo y representa as oscilações da componente y do campo elétrico e a 
seta paralela ao eixo z representa as oscilações da componente z do campo elétrico. 
Ao adotarmos essa representação, estamos transformando a luz não polarizada em 
uma combinação de duas ondas polarizadas cujos planos de oscilação são mutua-
mente perpendiculares: um desses planos contém o eixo y e o outro o eixo z. Uma 
das razões para fazer a mudança é que é muito mais fácil desenhar a Fig. 33-lOb 
que a Fig. 33-1 Oa. 
Podemos desenhar figuras semelhantes para representar uma onda parcialmen-
te polarizada, isto é, uma onda cujo campo elétrico passa mais tempo em certas 
direções do que em outras. Nesse caso, desenhamos uma das setas mais comprida 
que a outra. , 
E possível transformar a luz não polarizada em polarizada fazendo-a passar por 
um filtro polarizador, como na Fig. 33-11. Esses filtros, conhecidos comercialmente 
Um luz 
não polarizada 
orientada para 
fora do papel; 0 
campo elétrico 
está em todas as 
direções do plano. 
--
y 
( (/ ) (b) 
•No Bra,il, as onda, de televi\ão 1an1bém ,ão polanzada~ horizontaln1enle (N.T.) 
Esta é uma forma 
compacta de 
representar a luz 
não polarizada. 
_ ._ P_ART_E.. 
I 
: 
( li ) 
13 
Uma luz potanzada 
verticalmente 
z.--
' orientada para fora 
do papel; o campo 
elétrico é 
• sempre vertical. 
l 
-E 
(b) 
Figura 33-9 (a) O plano de oscilação 
de uma onda eletromagnética 
polarizada. (b) Para representar a 
polarização, mostramos uma vista 
"frontal" da onda e indicamos a direção 
das oscilações do campo elétrico através 
de uma seta de duas cabeças. 
Figura 33-10 (a) A luz não polarizada 
é formada por ondas com o campo 
elétrico em diferentes direções. 
Na ilustração. as ondas estão todas 
se propagando na mes1na direção. 
perpendicularmente para fora do papel. 
e têm a mesma amplitude E. (b) Uma 
outra fo1ma de representar a luz não 
polarizada. A luz é a superposição 
de duas ondas polarizadas cujos 
planos de oscilação são mutuamente 
perpendiculares. 
14 CAPÍTULO 33 
Como o eixo de polarização do filtro 
é vertical, apenas a luz polarizada 
verticalmente consegue atravessá-lo. 
Raio incidente 
L\1z não polari1.ada 
Filtro polarizador 
Luz polarizada verticalmente 
Figura 33-11 A luz não polarizada se 
polariza depois de passar por um filtro 
polarizador; a direção de polarização 
é a mesma do filtro, representada na 
ilustração por retas verticais. 
Como o eixo de 
polarização do filtro 
é vertical, apenas a 
componente vertical 
do campo elétrico 
consegue 
Y atravessá-lo. 
,-+ 
E 
Figura 33-12 Luz polarizada prestes 
a atravessar um filtro polarizador. 
O campo elétrico É da luz pode ser 
separado nas componentes E>' (paralela 
à direção de polarização do filtro) e Ez 
(perpendicular à direção de polarização 
do filtro). A componente E_v atravessa 
o fi ltro, enquanto a componente E. é 
absorvida. 
• 
co,no filtros Polaroid, forarn invcnt;,dns crn 1 'J32 P"r Í!dwin l..and _quando era um 
• J • d ~ 1·, lollia de plástrco que contcn1 estudante universitário. U,n ftltro po .1r11,1 nr e un, . f: 
,noléculas longas. Ourante o proccc.,so de fabr1caçfio, a f nlha é est ic~ada. 0 que az 
lé I l·nheni Quando a Jut pa<, ,a pela folha. as CfJrnponcntci elo co1n que as 1no cu as se a 1 • , 
campo elétrico paralelas às moléculas conseguem atravessa-la, mas as corriponente: 
perpendiculares às moléculas são absorvidas e desaparecem. , , . 
E1n vez de examinar o comportamento individual das °:ole:ulas. é p<)ssivel atri-
buir ao filtro como um todo uma direção de polarização, a d1reçao queª componente 
do campo elétrico deve ter para atravessar o filtro: 
F::, A componente do campo elétrico paralela ~ direç~o de pol_arização é transmitida por 
um filtro polarizador; a componente perpendicular e absorvida. 
O campo elétrico da luz que sai de um filtro polarizador contém apenas a compo~ente 
paralela à direção de polarização do ftltro, o que significa que a ~u~ es~á pol~~da 
nessa direção. Na Fig. 33-11, a componente vertical do campo eletnco e transffilt.I~a 
pelo filtro e a componente horizontal é absorvida. Isso faz com que a onda transnn-
tida seja polarizada verticalmente_ 
Intensidade da Luz Polarizada Transmitida 
Vamos considerar agora a intensidade da luz transmitida por um filtro polarizador. 
Começamos com luz não polarizada, cujas oscilações do campo elétrico podemos 
separar em componentes y e z, como na Fig. 33-lOb. Além disso, podemos supor que 
o eixo y é paralelo à direção de polarização do filtro. Neste caso, apenas a componen-
te y do c~mpo elétrico da luz é transmitida pelo ftltro; a componente z é absorvida. 
Como mostra a Fig. 33-l Ob, se a orientaç~o do campo elétrico da onda original é 
aleatória~ a soma das componentes y tem o mesmo valor que a soma das componen-
tes z. Quf1DdO a componente z é absorvida, metade da intensidade /0 da onda original 
é perdida. A intensidade I da luz que emerge do filtro é, portanto, 
(33-36) 
Essa é a chamada regra da metade, que só é válida se a luz que incide no filtro po-
larizador é não polarizãcía. ,. 
Suponha agora que a luz que incide em um filtro polarizador seja polarizada. A 
Fig; 33-12 mostra\um filtro polarizador no plano do papel e o campo elétrico E de 
uma onda polarizada antes de passar pelo filtro. Podemos separar o campo E em duas 
componentes em relação à direção de polarização do filtro: a componente paralela 
Ey! que é transmitida pelo _filtro, e a componente perpendicular E,, que é absorvida. 
C~mo () é o ângulo entre E e a direção de polarização do filtro, a componente para-
lel~ transmitida é dada por 
, 
1 
Ey = E cos O. (33-37) 
' 
~ intensidade de uma on?a eletromagnética (como a nossa onda luminosa) é pro-
p_orc_1onal ao quadrado do modulo do campo elétrico (Eq. 33-26, J = E;,islcµ,
0
). Isso 
~1gn1fica ~ue, no c~so q~e est~mos examinando, ~ i~ten~idade J d_a onda emergente 
e proporcional a Ey e a 1ntens1dade 10 da onda ong1nal e proporcional a 'E2. Assim, 
de acordo com a Eq. 33-37, 1/10 = cos2 () e, portanto, 
l = 10 cos2 8. (33-38) 
Ess~ é a cham~da regra do cosse110 ao quadrado, que só é válida se a luz que incide 
no filtro polanzador for polarizada. Nesse caso, a intensidade l da luz trar1smitida 
é máxima e igual à intensidade inicial /0 quando a direção da polarização da luz é 
patalela :1 Jirc..'çào º: pnl.iri1a1;.'10 d~) l11trn (ou sc1a. q1'.ando ~ n.a l•q ~ ~ 18.: O ), J ~ 
zero quanJti J J1rc..'(aO <lc..' pol.u1, aç.10 da \ui' é pcrpcnd1cula1 a d1rc1,.ao <lc pnl,ll tla<;ao 
do filtro (ou sc_1a. quanJo O e 90c ). 
A Fig. 33-13 n1oslr.1 un1 a11 • .1njt) no qual un1a luz iniltal n1cnlc não polarizada pas-
\a por dois lt lu·os polari,adorcs, P 1 e P 2• ( O pri 1neiro filtro e chamado de 1>ola1 ,-a</01 
e O -;egundo de analisador.) Con10 a direção de polarização <le P 1 é vertical. a luz que 
enicrge de P, esta polarizada ve1ticaln1ente. Se a direção de polarização de P2 tatnbém 
e yerticaL toda a luz que chega a P2 é trans1nitida. Se a direção de polarização de P2 é 
hoiizontal. toda a luz que chega a P2 é absorvida. Chegainos à 1nes1na conclusão ~on-
~ideiando apenas as orientações relativas dos dois filtros: se as direções de polarização 
são paralelas, toda a luz que passa pelo primeiro filtro passa tainbém pelo segundo (Fig. 
33- l 4a ). Se as direções são perpendiculares ( caso em que dizemos que os filtros estão 
cru:a,ios). não passa nenl1un1a luz pelo segundo filtro (Fig. 33-14b). Finalmente, se as 
duas direções de polruização da Fig. 33-13 fazem um ângulo entre Oº e 90º, parte da 
luz que passa por P 1 trunbé1n passa por P2, de acordo com a Eq. 33-38. 
Existe1n outros 1neios de polarizar a luz além dos filtros polarizadores. A luz 
trunbé1n pode ser polarizada por reflexão (como será discutido na Seção 33-10) e 
por espalha1nento.No espalhan1ento, a luz absorvida por um átomo ou molécula é 
emitida 11ovamente em outra direção. Um exemplo é o espalhamento da luz solar 
pelas 1noléculas da atmosfera; se não fosse por esse fenômeno, o céu seria escuro 
1nesmo durante o dia. 
Embora a luz solar direta seja não polarizada, a luz proveniente do resto do céu 
é pru·cialmente polarizada por espalhainento. As abelhas usain essa polarização para 
se orientar. Os vikings também usavam a polarização da luz do céu para navegar no 
mar do Norte quando o céu estava claro, mas o Sol se encontrava abaixo do horizonte 
(por causa da alta latitude do mar do Norte). Esses navegantes antigos descobrirain 
que a cor dos cristais de um certo material (hoje conhecido como cordierita) variava 
da acordo com o ângulo de incidência de uma luz polarizada. Olhando para o céu 
através àe um desses cristais e fazendo-o girar, podiam deterininar a posição do Sol 
e, portanto, a direção dos pontos cardeais. ~ 
TESTE 4 
ONDAS ELETROMAGNtTICA 15 
1>111 C ,li) d, 
pol,11 i,.1~,10 
''1 
Esta luz é 
polarizada 
l', verticalmente. • 
Como o eixo de polarização está 
inclinado, apenas uma parte 
da luz consegue atravessá-lo. 
Figura 33-13 A luz transmitida pelo 
filtro polarizador P, está polarizada 
verticalmente, como indica a seta de 
duas cabeças. A quantidade de luz 
transmitida pelo filtro polarizador P2 
depende do ângulo entre a direção 
de polarização de P1 e a direção de 
polarização de P2, indicada pelas 
retas no interior do filtro e pela linha 
tracejada. 
301_'0---- (/1 30~-0-
' ' ' 
A figura mostra quatro pares de fi ltros polarizadores, vistos de frente. 
Cada par é montado no caminho de um feixe de luz inicialmente não 
polarizada. A direção de polarização de cada filtro (linha tracejada) 
faz o ângulo indicado com o eixo x (horizontal) ou o eixo y (vertical). 
Coloque os pares na ordem da fração da luz incidente que atravessa 
os dois filtros, começando pela maior. O -o:~º -O''\!ºº -o·'\!ºº - ' ' ' ' ' ' 
60 ' 
Figura 33-14 (a) A 1na1or 
pane <.!1 luz passa por duas 
placas pol·1nzadora::. quando 
a direção de polanzação das 
placas coinc:,de. n1as (b) a maior 
parte da lu, e absorvida quando 
as direções de polarilação das 
duas placa-. são perpcnd1culares. 
( R1charcl Alegna/F111llia111e11tul 
Photograph.\) ( (/) 
' 
(a) 
...... ..._. ,,. .. ,.. .. ..... 
~ ~-
(/,) 
(b) (e) (d) 
-..- ,...... ... -.. ,,.._,,.,, """'""'~ 1• - ~ ,,,.,..HI ~,os.,..._ pe, 
,,.,,,.,,,.,.,.,., ~ ""'1MWt ~ p,olM,e,,.,.,.,.. Pf,IJ-t,..,, ,,,.,,,., '°""""' ,.. 
~ po6ll,tWf "Clãt11w ,oi. -- ... ...... ,,,.,... ...,.. ,,,.,. 
~ ,oh,11,nf ., "'°" 
.,.,.,,.., ,,.,..,. ~ pul. .,,...,..,~ ,,.. 
.. e,., ,,..A.VW )fiM1W ~ 
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- ... 
I a li ,,. pol, 
.... .... CI•• ,,.,...., ,,,.. - _,, 
,,,, t,w ,,.. . .. -... 
phb+ ,,.. 
.... - ... 
fllJ' .,.,., 
16 CAPITULO 33 
-- - -
- - ' .... 
· · - Exemplo . .. ~ -e-.· ·· . . 
Polarizaçfio e i11tonsicJaclc ltrr11ir1osi1 co,11 trôs filtrc>s 11ol.1riz.1dorcs 
1\ Fig. 33-1 ~a. dc,1.•nhada 1.•111 pl.'r,p1.·1.·11,·~1 111osl1a t1111 l'1111-
junco tl1.• tres filtro, polar11adores no qual 111c1de 11111 fl'i\l' 
de luz iniciahncnte nüo polar,,ada J\ d11 e1rao de polar i,a 
çào do prirneiro filtro~ paralcl.1 ao crxo v. a ('o sl.'gundo f a, 
u1n ângulo de 60º co1n a pr11ncira no sentido anti horário 
e a do terceiro é paralela ao eixo.,. Que fração tia inten-
sidade inicial /0 da luz sai do conjunto e l'llJ que tlireçào 
essa luz está polarizada? 
l' dacf:t f>l'f;1 1t:g1:1 do l'IISS\.!1111 ,ICI !Jll,tcfr,td() ( Í (f. JJ J ' Q 
ângulo o{, 11 fingu l,, c1111c a d11c'i;~c1 de poh1r1, .. 1ç,1c, d,1 luz 
incidl'nlc (pa1all'la ao l'i\<1 )') e :1 d11c~·,1n de:: polnr11:aç.10 cio 
sl'gundo tiltr,, (que l~,z un1 :ingul<, de (1() <.:1111111 c1xc, \ 110 
scnlrdo anti-h111 ,í1 io). Assi111. O (1()º e, P'" tanh1, 
/, , , l'( ,,2 60 . 
IDEIAS-CHAVE . 
1. O cálculo deve ser realizado filtro por filtro. começando 
pelo filtro no qual a luz incide inicialmente. 
A dirc~·üo tlc JJolariza<;ã<> da lu, tr,1nsmilida é paralela a 
tlircção de polariza\·ão de, segundo filtro, ou seja. faz u,11 
ângulo de 60º co1n o eixo v no sentido anti-hor:.írio, como 
mostra a sela de duas cabeças da Fig. 33-15<1. 
2. Para detenninar a intensidade da luz transmitida por 
um dos filtros, basta aplicar a regra da metade (se a luz 
incidente no filtro não estiver polarizada) ou a regr~ do 
cosseno ao quadrado (se a luz incidente no filtro já es-
tiver polarizada). 
3. A direção de polarização da luz transmitida por um fil-
tro polarizador é sempre igual à direção de polarização 
do filtro. 
Terceiro filtro Como a luz que chega ao terceiro filtro é 
polarizada, a intensidade / 1 da luz transmitida pelo filtro é 
dada pela regra do cosseno ao quadrado. O ângulo 8 agora 
é o ângulo entre a direção de polarização da luz incidente 
no terceiro filtro (Fig. 33-1 Sd) e a direção de polarização 
do terceiro filtro (paralela ao eixo x). Assim. () = 30º e. 
portanto, 
Primeiro filtro A luz original está representada na Fig. 
33.15b por duas setas de duas cabeças, como na Fig. 
33~10b. C~mo a ~uz incidente no primeiro filtro é não po-
lanzada, a rntens1dade / 1 da luz transmitida pelo primeiro 
filtro é dada pela regra da metade (Eq. 33-36): 
11 = !I0• 
Como a _direção de polarização do primeiro ftltro é para-
lela ao eixo y, a polarização da luz transmitida pelo filtro 
também é paralela ao eixo y, como mostra a seta de duas 
cabeças da Fig. 33-lSc. 
Seg".ndo fil~ Como a luz que chega ao segundo filtro é 
polanzada, a mtensidade 12 da luz transmitida pelo filt,o 
/ 3 = 12 cos2 30º. 
A luz que sai do terceiro filtro está polarizada paralelamen-
te ao eixo x (Fig. 33-I5e). Para determinar a intensidade 
dessa luz, substituímos /2 por seu valor em função de /
1 
e 
I, por seu valor em função de /
0
: 
Assim, 
13 = 12 cos2 30º = (11 cos2 60º) cos2 30º 
= (ti o) cos2 60º cos2 30º = 0,094/
0
• 
/3 
~ = 0,094. (Resposta) 
Isso sign~fica q_ue a luz que sai do conjunto tem apenas 
9,4% da intensidade da luz que incide no conjttnto (Se 
dre1?ováerm~s o segundo filtro, que fração da luz incidente e1xar o sistema?) 
33-8 Reflexão e Refração 
• 
Embora as ondas luminosas se espalhem 
de que a luz se propaga e1n linha reta com ao seF~fastarem de uma fonte, a hipótese 
uma boa aproximação. O estudo das ~ ? ~a ig. 33-5a, constitui frequentemente 
aproximação é chamado de ótica geo~o~r~e a~s das ondas luminosas usando essa 
Capítulo 34, vamos discutir a ótica geo~~;c~. o long~ ~este capítulo e em todo o 
A fotografia da Fig. 33_ 16 rica da luz vis1vel. pro . . a mostra um exempl d d 
. pagam aproximadamente em linl1a reta U . o e_ on as luminosas que se 
c1dente), proveniente da esquerda e qu . m feixe luminoso estreito (o feixe in 
plana de água. Parte da luz é refletida e :~ propag~ ~o ar, encontra uma superfíci~ 
propa~a.para cima e para"' direita, comts a su~erf1c1~ •. formando um feixe que se 
superf1c1e. O resto da luz penetra na á et o feixe or1g1nal tivesse ricocheteado na 
~~~---~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~gu_ª_·~ º -nn~an_d_o~um~ feixeque se propagapara 
• 
. PARTE.\ .::,. 
1 'Y 
h<I 
• 
l \ 
A luz deve atravessar 
este sistema de três 
hltros de polanzação. 
ONDAS ELETROMA N(TICAS 
\ 
O calculo é 
realizado filtro 
por filtro. ,/-
( 11\ 
O eixo de 
polarização 
deste filtro é 
vertical. 
L, A luz incidente é 
''Y': .,._L não polanzada. 
O eixo de polarização deste 
filtro faz 60º com a vertical 
no sentido anti-horário. 
! 
""T;',,) 
( rJ A luz sai do primeiro filtro 
polarizada verticalmente. 
• • 
A intensidade é dada pela 
regra da metade . 
• 
A luz que incide no segundo 
filtro é polarizada verticalmente. 
O eixo de 
polarização deste 
A iuz sai do segundo filtro com uma 
polarização que faz 60º com a vertical 
filtro e horizontal. 
/., 
no sentido anti-horário. A intensidade é 
dada pela regra do cosseno ao quadrado. 
• 
~ 
( ,•) 
~ 
r~'cd) 
A luz saido terceiro filtro 
polarizada horizontalmente. 
A intensidade é dada pela 
regra do cosseno ao 
quadrado. 
A polarização da luz que 
incide no terceiro filtro faz 
60º com a vertical no 
sentido anti-horário. 
Figura 33-15 (a) Urn raío de luz inícialrnente não polarizada, de intensidade 
/ 0, atravessa u1n conjunto de três fi ltros polarizadores. As intensidades / 1, / 2 
e / 1 da luz e1n v,írios pontos do percurso estão indicadas na figura. Tambérn 
estão indicadas as polarizações, ern vistas frontais, (b) da luz inicial e da luz 
transn1itida (e) pelo pri1neiro filtro; (d) pelo segundo filtro; (e) pelo terceiro filtro. 
baixo e para a direita. Como a luz pode se propagar na água, dize1nos que a água é 
tra11s1Jare11te; os materiais nos quais a luz não se propaga são chamados de opacos. 
Neste capítulo, va1nos considerar apenas inateriais transparentes. 
A passagen1 da luz por u1na superfície (ou i11te1face) que separa dois 1neios di-
ferentes é cha,nada de refração. A ,nenos que o raio incidente seja perpendicular à 
interface. a refração n1uda a direção de propagação da luz. Observe na Fig. 33- J 6a 
l)Ue a 1nudança de ài reção ocorre apena-; na interface; dentro d' água, a luz se propa-
ga e1n linha reta, con10 no ar. 
Na Fig. 33- l 6b, os fei'\es lu1ninosos da fotografia estão representados por u111 raio 
incidl'11te. un1 r111<> refierillo e un1 raio ref ratallo ( e frentes de onda .1ssociada-,) A orien-. . 
t_ação desses raios e n1edída en1 relação a unia direção, conhecida con10 nor111al. que 
e perpendicular ú intert'ace no ponto en1 que oco1Te1n a relle'\ão e a I efra\·ão. Na Fig. 
33-16/J, o â11gttlo d e incidência e 01, o angulo de reflexão e H; e o ângulo de refra-
Regras para calcular a intensidade: 
Se a luz incidente e não polarizada, 
use a regra da metade: 
I sai = 0,5/inc· 
Se a luz incidente é polarizada, use a 
regra do cosseno ao quadrado: 
en, que e é o ângulo entre a direção 
de polarização da luz incidente e o 
eixo de polarização do filtro. 
17 
• 
18 CAPÍTULO 33 
(a) 
Normal 
R:110 R.; 10 r 1nodcn1c rrllctido 
Frente de onda 
Interface _/ 
Rain 
refr.u.ado 
Ar 
A'?Ua 
(b) 
Figura 33-16 (a) Fotografia que mostra a reflexão e a refração de um feixe de luz incidente em uma superfície de água ho~zonr;u 
(©1974 FP/Funda,nental Photography). (b) U1na representação de (a) usando raios. Os ângulos de incidência (81). de reflexao <8 ) e 
de refração (&2) estão indicados. 
' 
, . 
ção é 02 ; os três ângulos são medidos e,n relação à nonnal. O plano que contem o raie. 
incidente e a normal é o plano de incidência. que é plano do papel na Fig. 33-l6b. 
Os resultados experimentais mostram que a reflexão e a refração obedecem à 
seguintes leis: 
Lei da reflexão O raio refletido está no plano de incidência e tem um ângulo dt 
reflexão igual ao ângufo de incidência. Na Fig. 33-16b. isso significa que 
(reflexão). L33-39J 
(Frequentemente, a plica é omitida quando se representa o ângulo de reflexão.) 
Lei da refração O raio refratado está no plano de incidência e tem um ângulL 
de refração 02 que está relacionado ao ângulo de incidência 8 1 atra,•és da equação 
- ~- 1--- n 2 sen 82 = n 1 sen 81 (refração). (33-40) 
1 
em qu~ n 1 e n2 são constantes adimensionais, denominadas índices de r efração, que 
dependem do mei9 onde a luz está se propagando. A Eq. 33~0. conhecida como 
lei de Snell, será demonstrada no Capítulo 35, onde veremos também que o índice 
de refração de um meio é igual a c/v, onde v é a ,1elocidade da luz no meio e e é a 
velocidade da luz no vácuo. 
f Tabe~a 33-1 ~ostra _os índices de refração do , ,ácuo e de alguns materiais co-
muns. No vacuo, n e defirudo como exatamente 1; no ar. 11 é ligeiramente maior que 
Tabela 33-1 ~ 
Índices de Refração de Alguns Meios• 
Meio 
, 
Indice :t-.Ieio 
, 
lndice 
Vácuo l (exatamente) Vidro de baixa dispersão 1 -.., . ..)_ 
Ar (CNTP)h 1,00029 Cloreto de sódio 1.54 , 
Agua (20ºC) 1.33 Poliestireno 1.55 
Acetona 1.36 Dissulfeto de carbono 1.63 , 
Alcool etílico 1.36 Vidro de alta dispersão 1.65 
Solução Je açúcar (30o/o) 1.38 Safira 1.77 
Quartzo fundido 1.46 \ 7idro de altíssima dispersão 1.89 
Solução de açúcar ( 80o/c) 1.49 Diamante 2.42 
"Para um con1priJnento de onda de 589 nm (luz an1arela do sódio>. 
~CNTP significa "condições nonuaís de te1nperatura ,o~c) e pre~sâo 11 alml"·. 
1 
(ll,l pt.tli\.·a. qua,c: ,1.·11~p1 c: ,e: , upoc: qu~ 11 pat ,t o ,11 ta111bcn1 é igual .i 1 ). N,10 cx 1~1c: 
lll'llhllll1 Jl\C:Íll Ct1lll Ulll 11\~l('t' J c: J"l' I I ilÇaO llll'llOI (jlll.' 1. 
p(1Jt'rlll)°' l'\l'll'\ cr a f:q , ,-40 na 10 1 n1a 
11 , 
,cn 02 = - ~cn 01 
li, 
(33-41 ) 
para con1parar o ,\ngu lo de refração () ! co1n o ângulo de incidência O 1• De acordo com 
a Eq JJ-41. o valor relati, o de 82 depende dos valores relativos de 112 e 11 1• Existem 
trê-.. po~sibilidades: 
1. Se 11 ! = 111• e ! = 81• Nesse caso, a refração não desvia o raio lu1ninoso. que con-
tinua sua trajetória reti hnea, con,o na Fig. 33-17 a. 
2. Se 11! > 11 1• 82 < e,. Nesse caso, a refração faz o raio luminoso se aproximar da 
nonnal. co1no na Fig. 33-17 b. 
3. Se 112 < 11 1• 82 > 8 1• Nesse caso, a refração faz o raio lu1ninoso se afastar da normal, 
co1no na Fig. 33-17 e. 
O ângulo de refração ja,nais é suficientemente grande para que o raio refratado se 
propague no 1nesmo meio que o raio incidente. 
Dispersão Cromática 
O índice de refração n para a luz em qualquer meio, exceto o vácuo, depende do 
comprimento de onda. Isso significa que quando um feixe luminoso é formado por 
raios de luz de diferentes comprimentos de onda, o ângulo de refração é diferente 
para cada raio: em outras palavras, a refração espalha o feixe incidente. Esse espa-
lhamento da luz é conhecido como dispersão cromática, onde a palavra "dispersão" 
se refere ao espal11amento da luz de acordo com o comprimento de onda e a palavra 
"cro1nática" se refere às cores associadas aos diferentes comprimentos de onda. A 
dispersão cromática não é observada nas Figs. 33-16 e 33-17 porque a luz incidente 
é 111011ocro111ática, isto é, possui apenas um comprimento de onda. 
E1n geral, o índice de refração de um meio é nzaior para pequenos comprimentos 
de onda (correspondentes, digamos, à cor azul) que para grandes comprimentos de 
onda (correspondentes, digamos, à cor vermelha). A Fig. 33-18, por exemplo, mostra 
a variação do índice de refração do quartzo fundido com o comprimento de onda da 
luz. Essa variação significa que quando um feixe luminoso que contém raios de luz 
azul e de luz vermelha é refratado pelo quartzo fundido, a coniponente azul (o raio 
correspondente à luz azul) sofre um desvio maior que a componente vermelha. 
Nonnal Nonnal 
1 
11:z = 11, 
(n) Se os índices são 
iguais, a direção 
não muda. 
,i,, -
( b) 
. . . . . 
Se o segundo índice é . . 
maior, o raio se 
aproxima da normal. 
Fi~ur~ 33-17 A luz que estava se propagando em um 111eio de índice de refração 
n" -
11 1 incide c,n u,n 1neio de índice de refração 11~. (a) Se 111 = 11 1, o raio lun11noso não 
sofre nenhun1 desvio; o raio refratado contínua a se propagar na 111es111a t!ireçiío (reta 
ponltlhada). (b) Se Ili> 11 1, o raio luminoso é desviado e,n direção i1 nor1nal. (cl Se 11 , < 11,, 
o raio lum· · d · -1noso e esv,aJo para longe da norn1al. 
1 
1 
e_J 
1 
1 
1 .... 
J..-?, 
18,, .... 
1 • 
1 
1 
1 
· . 
( e) 
Se o segundo índice é 
menor, o raio se afasta 
da normal. 
10 
20 CAPÍTULO 33 
o ·~ 
l, 1~ 
V -~ 1.1, ..... 
.:., ... 
.:., 
-o 
~ l 16 ·- . -o 
(: ·-
l, 15 L_____,: _____ __,_ _ _, 
300 400 500 600 700 800 
Con1pri1ncnto de onda (n1n) 
Figura 33- 18 Índice de refração 
do quartzo fundido e1n função do 
con1primento de onda. De acordo com 
o gráfico, quanto menor o comprimento 
de onda. 111aior o desvio sofrido por 
um raio Ju1ninoso ao entrar ou sair do 
quartzo. 
Figura 33-19 Dispersão cromática da 
luz branca. A componente azul é mais 
desviada na interface que a componente 
vermelha. (a) Quando a luz passa do 
ar para ovidro, o ângulo de refração 
da componente azul é menor que o da 
componente vermelha. (b) Quando a 
luz passa do vidro para O ar, 0 ângulo 
de refração da componente azul é maior 
~ue o da componente vermelha. As 
linhas pontilhadas mostram a direção na 
Q~al a luz continuaria a se propagar se 
nao houvesse refração. 
Figura 33-20 (a) Ur . . · n pr1s1na 
t11angular separa a I b e , uz ranca nas 
ores co1nponentes. (b) A d' -
crornática oc . rspersao 
e é accntuad OrTe na pn,neira interface 
a na segunda (C . . 
Bausch & Lonib) · o, testa <ie 
U
1
1
1 
feixe de /u, [Jrc111c,1 possui raios de todas ( c,u ,1uasc todas) as c<Jrcc; do es-
pectro visível, com intensidades aproximadamente iguais. Quand~, <>bscr:arn<JS un1 
feixe desse tipo, não vemos as cores separadamente, mas temos a 1mpres!>aC> que .1c;-
sociamos à cor branca. A Fig. 33-19a mostra um feixe de luz branca incic.lindr, em 
u1na superfície de vidro. (Como o papel deste livro é branco, o feixe de luz branca 
foi representado por um raio cinzento, mas, em geral, os feixes de luz monocromá-
tica costu1nam ser representados por raios vermelhos.) Na Fig. 33-19a, foram re-
presentadas apenas a componente vermelha e a componente azul da luz refraLada. 
Como o raio azul é o que sofre o maior desvio, o ângulo de refração 82,, do raio azul 
é 111e11or que o ângulo de refração 82,. do raio vermelho. (Lembre-se de que os ân-
gulos de refração são medidos em relação à normal.) Na Fig. 34-19b, um feixe de 
luz branca que estava se propagando no vidro incide em uma interface vidro-ar. O 
raio azul novamente sofre um desvio maior que o raio vermelho, mas, desta vez, 82,, 
é maior que 82 ... 
Para aumentar a separação das cores, pode-se usar um prisma' de vidro de seção 
reta triangular corno o da Fig. 33-20a. Com o uso de um prisma desse tipo, a dis-
persão que ocorre quando a luz penetra no vidro (lado esquerdo das Figs. 33-20a e 
33-20b) é acentuada pela dispersão que ocorre quando a luz deixa o vidro. 
O Arco-íris 
A manifestação mais poética da dispersão cromática é o arco-íris. Quando a luz solar 
que contém raios d~ muitos comprimentos de onda, é interceptada por uma gota d~ 
chuva, parte da luz e refratada para o interior da gota, refletida na superfície interna 
e r~fratada para o exterior. A Fig. 33-21a mostra a situação quando O Sol está no 
h~nzont~ à esquerda (~, p~rtanto, os raios solares são horizontais). Corno no caso do 
pnsma triangular, a pnrne1ra refração separa a luz solar nas cores componentes e a 
Luz branca 
incidente 
Normal 
1 
1 
1 
1 
1 
1 e, 1 e1 
(a) 
Luz branca 
refletida 
. . . . . . . . . . 
refratada 
( l'l) 
Luz branca 
incidente 
Normal 
Luz branca 
refl(étida 
; 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
·, 81 : 81 /,/ 
'<f)"" 
O azul é sempre 
mais desviado 
que o vermelho. 
Luz 
. 
h----:8 u~. refratada 2a · .. 
(b) 
(b) 
. . . 
1 Ili ,i l 11 
/ , 
o ::s !~ ' , \ 
" figura 33-21 (a) A separação de (11) ! (/,) 
core, que acontece quando a luL do 
Sol entra e sai das gotas de chuva 
produz o arco-1ris pri1nário. O ponto 
antissolar A está no horizonte. à 
direita. Os raio:, de luz que vão das 
gotas responsáveis pelo arco-íris até 
~ 
o observador fazem u1n ângulo de 
42º con1 a direção de A. (b) Todas 
as gotas de chuva cuja direção faz 
um ângulo de 42° com a direção de 
Arco-í1is 
A contribuem para o arco-íris. (e) C. ~ Situação quando o Sol está acima do L -,," :.J 
horizonte (e. portanto, A está abaixo ' / ' /'42º 
do horizonte). (d) Formação de um 
490, - ' ' / • 
arco-íris secundário. (e) A (d) 
segunda refração acentua o efeito. (Apena~ o raio vermelho e o raio azul aparece1n 
na figura.) Quando muitas gotas são iluminadas simultaneamente, o espectador pode 
obse1var um arco-í1is quando a direção onde se encontram as gotas faz um ângulo 
de 42º co1n o ponto antissolar A, o ponto diametralmente oposto ao Sol do ponto 
de vista do observador. 
Para localizar as gotas de chuva, coloque-se de costas para o Sol e aponte com 
os dois braços na direção da sombra da sua cabeça. Em seguida, mova o braço di-
reito, em qualquer direção, até que faça u1n ângulo de 42º com o braço esquerdo. Se 
as gotas iluminadas estiverem na direção do seu braço direito, você verá um arco-
íris nessa direção. 
Como todas as gotas de chuva cuja direção faz um ângulo de 42° com a dire-
ção de A contribuem para o arco-íris, este é sempre um arco de circunferência que 
tem como centro o ponto A (Fig. 33-2lb) e o ponto mais alto do arco-íris nunca está 
mais de 42° acima do horizonte. Quando o Sol está acima do horizonte, a direção de 
A está abaixo do horizonte e o arco-íris é mais curto e mais próximo do horizonte 
(Fig. 33-2lc). 
Um arco-íris como o que acabamos de descrever, em que a luz é refletida apenas 
uma vez no interior de cada gota, é chamado de arco-íris pri111ário. Em um arco-
íris secundário como que aparece na Fig. 33-2 ld, a luL. é refletida duas vezes no 
interior de cada gota. Um arco-íris secundário é observado quando a direção das 
gotas faz um ângulo de 52º com a direção de A. O arco-íris secundário é mais largo 
e mais fraco que o arco-íris primário e por isso é n1ais difícil de ver. Alén1 disso, 
as cores aparecen1 na orden1 inversa. co1no se pode constatar comparando as Figs. 
33-1 la e 33-21 d. 
Arco-íris envolvendo três t)U quatro reflexões ocon·en1 na direção do Sol e não 
podem ser vistos porque essa parte do céu é don1inada pela luz. solar direta. Arco-íris 
envo~vendo um número ainda 111aior de reflexões poden1 ocorrer en1 outras regiões 
do ceu, mas são fracos demais para sere,n observados. 
ONDA El T O 21 
1 
1 
1 12 1 
1 
1~ 1 12 - - -
' 
( .ot,tS de chu\ 1 
Lu, sol,1r 
/ 
o.,~52° ,\ • 
22 CAPÍTULO 33 
TESTE 5 
\lg 111n tio, dl•,t11h11°' h cg1111 11111 tr, t11111 llllt11.<J' 
1 
11 1 
I I r 1 
( n) ( /,) 1 
' t 
Exemplo . f 
• Reflexão e refração de um feixe de luz monocromática 
(a) Na Fig. 33-22a, um feixe de luz monocromática é re-
fletido e refratado no ponto A da interface entre o material 
1, cujo índice de refração é n1 = 1,33, e o material 2, cujo 
índice de refração é 11.z = 1,77. O feixe incidente faz um 
ângulo de 50º com a interface. Qual é o ângulo de reflexão 
no ponto A? Qual é o ângulo de refração? 
1 O EIAS -CHAVE .· \ -·. ,:-
(1) O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência; os 
dois ângulos são medidos em relação à normal à interface 
no ponto de reflexão. (2) Quando a luz atinge a interface 
de materiais com índices de refração diferentes, n1 e n.i, 1 
parte da luz pode ser refratada na interface de acordo com 
a lei de Snell, Eq. 33-40: 
(33-42) 
onde os dois ângulos são medidos em relação à normal à 
interface no ponto de refração. 
Cálculos Na Fig. 33-22a, a normal no ponto A é a reta tra-
cejada. Observe que o ângulo de incidência 8; não é 50° em 
sim 90º - 50º = 40°. Assim, o ângulo de reflexão é 
81 = 81 = 40º. (Resposta) 
A luz que passa do material 1 para o material 2 é re-
fratada no ponto A da interface dos dois materiais. Os ân-
gulos de incidência e de refração também são medidos em 
relação à normal, desta vez no ponto de refração. Assim, 
na Fig. 33-22a, o ângulo de refração é o ângulo 82• Expli-
citando 82 na Eq. 33-42, temos: 
82 = sen- 1 ( :: sen 81) = sen-
1 
( ::~~ sen 40º) 
= 28,88º = 29º. (Resposta) 
Este resultado mostra que o raio refratado se aproximou 
da normal ( o ângulo com a normal di1ninuiu de 40° para 
29°). Isso já era de se esperar, pois o raio passou para 
11-, -
(a) 
B r-. 
1 ... 
183\ .. 
1 ... 
(b) 
Figura 33-22 (a) A luz é refletida e refratada no ponto A 
da interface entre os materiais 1 e 2. (b) A luz que penetra 
no material 2 é refletida e refratada no ponto B da interface 
entre os materiais 2 e 3 (ar). As linhas pontilhadas mostram a 
direção do raio incidente. 
um meio com um índice de refração maior. Atenção: 
note que o feixe passa para o outro lado da normal, ou 
seja, enquanto o feixe incidente está do lado esquerdo 
da normal na Fig. 33-22a, o feixe refratado está do lado 
direito.(b) A luz que penetrou no material 2 no ponto A chega ao 
ponto B da interface do material 2 com o material 3, que 
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 23 
é O ar. con10 1nostra n Fig. 3 '.\-221> A interface do 1natc-
ric1I 2 con1 o n1atcrial 3 é paralela u interface do n1aterial 
1 L'lllll o n1atcr1al 2. No ponto 8, parte da luz é refletida e 
partl' é refratada. Qual é o ângulo de reflexão? Qual é o 
üngulo de refração? 
A lu, que passa do 1natcrial 2 para o ar é rclrat,1da no 
ponto B. cotn um ângulo de rcl ração o,. Apl 11.:arnn ,na1 
uma vez a lei da refração, n1as, dc'>la vez, c~crcvc,no<, a 
_Eq. 33-40 na forma 
( 33-43) 
Explicitando 83, obte1nos: Cá/cu/os Em primeiro lugar, precisamos relacionar um 
dos ângulos no ponto B a un1 ângulo conhecido no ponlo 
A. Con10 a interface que passa pelo ponto B é paralela à 
interface que passa pelo ponto A, o ângulo de incidência 
no ponto B é igual ao ângulo de refração 02, como mos-
tra a Fig. 33-22b. Para a reflexão, usa1nos novamente a 
lei da reflexão. Assim, o â11gulo de reflexão no ponto B 
é dado por 
83 = sen- • ( ni scn 02) = scn- 1 ( 
1
'
77 
scn 28.88.,) 
n3 1.00 
= 58,75° = 59°. (Rcspo-,ta) 
Oi = 82 = 28,88º = 29º. (Resposta) 
Este resultado mostra que o raio refratado se afasta da 
normal ( o ângulo com a normal aumenta de 29., para 59º). 
Isso já era de se esperar, pois o raio passou para um meio 
(o ar) com um índice de refração menor. 
33-9 Reflexão Interna Total 
As Figs. 33-23a e 33-23b mostram vários raios de luz monocromática sendo emiti-
dos por wna fonte pontual S, propagando-se na água e incidindo na interface da água 
com o ar. No caso do raio a da Fig. 33-24a, que é perpendicular à interface, parte da 
luz é refletida na interface e parte penetra no ar sem mudar de direção. 
No caso dos raios b a e, que chegam à interface com ângulos de incidência cada 
' vez 1naiores, também existem um raio refletido e um raio refratado. A medida que o 
ângulo de incidência aumenta, o ângulo de refração também aumenta; para o raio e, 
o ângulo de refração é 90°, o que significa que o raio refratado é paralelo à interface. 
O ângulo de incidência para o qual isso acontece é chamado de ângulo crítico e re-
presentado pelo símbolo O e· Para ângulos de incidência maiores que O e• como os dos 
raios f e g, não existe raio refratado e toda a luz é refletida; o fenômeno é conhecido 
como reflexão interna total. 
Para determinar o valor de 8c, usamos a Eq. 33-40. Atribuindo arbitrariamente o 
índice 1 à ágoa e o índice 2 ao ar e fazendo 01 = Oc, 02 = 90º, obtemos: 
a b 
s 
Se o segundo índice é 
menor e o ângu!o de 
incidênc;.ia é grande, pode 
ocorrer reflexão total. 
(a) 
(33-44) 
Figura 33-23 (a) A reflexão interna total da luz emitida por uma fonte pontual S na água 
~c~ntece para ângulos de incidência maiores que o ângulo crítico (}e· Quando o ângulo de 
1_nc1dência é igual ao ângulo crítico, o raio refratado é paralelo à interface água-ar. (b) Uma 
fonte luminosa em um tanque com água. (Ken Kay/Fundarnental Photographs) 
• 
(b) 
:.!4 :\PI I IJ LLI 
Figura 33-24 Uso de un1 cndoscópio 
para C'\,1111inar o interior de un1a artéria. 
( ©L<t1trt·11t!Phototakc) 
Ra,o 
rcllcticlo / 
./ ,,, 
,\ r 
\ 1idro 
c:an1pu t·1tt1rico ptrpL·ndicular ao papel 
<J-f (~a,npo t•létrico parak·lo ao papel 
Figura 33-25 Un1 raio de luz não 
polarizada, que estava se propagando no 
ar, incide en1 un1a superfície de vidro 
con1 un1 ângulo de incidência igual ao 
ângulo de Bre,vstcr 011 • O ca1npo elétrico 
do raio incidente pode ser separado 
cn1 tuna co1nponcnte perpendicular 
ao plano <lo papel (que é o plano de 
incitlênciu, rcílexão e refração) e un1a 
cotnponente paralela ao plano do 
papL'I. A luz refletida contén1 apenas a 
co1nponcntc perpendicular e, portanto, 
cst:\ polari;,ada nessa direção. A luz 
rcíratada contén1 as duas co1nponentcs, 
1nas a con1pon1.:nte perp1.:ndiculur é 
n1cnos intensa; assin1, a lu, refratada 
esta parciahncnte polarizada. 
l I qth' 11,,~ d 1 
I] 
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(',,n1l, l' ,cnr, Jc un1 :ingul0 nãn pode cr 111.11(11 que •1 11111d,t<.l 11 11 'º pod 
1 . . [ , ~-4S Isso si!!nifica que a rcllcx,11J inlc1 n, 101 ti n ao p<X qul 11, n., q. · • ... . 01n 11 n 
qu,,nJo a lu, p..i,..,,1 para uni ineio coin u111 ,ndtce de rei rl1ç,10 n1,11or qu -·' 
. (" 1• , • 110 ur 11 1 f ·tg 13-21a, tuuo o r J "'-' cnct1ntra 1n1c1altnenlc. Se a Jonte ,1 cs 1,es,c • : íl 
· • • J • d ·os (e r•) ~er111111 p,1rc1aln1cnle r e 1nc1<lcntc.., na 111tcr{acc agua ..... ar (1nc u1n o os ra1 .., 
tido.., e parcialn1enlc refratado.., . . 
A relle\.ào interna total tem ,nuitas aplicações tecnol(;~1cas .. P<)r e e.n,ph '· 0 
n1c<licos pode1n e\.aminar o interior de uma artéria de un1 pac1cnlc 1nlrodu1.111?11 di)I 
feixes de fibra ótica na rutéria através de um cate ter ( Fig: 33-24 l. i \ luz ::p~icad,i ~ 
e'.trcn1idade de u1n dos feixes sofre reflexões interna.., totais ao _longo Jo pc rL ur <) d1.: 
n1odo que. apesar de as fibras seguirem u1n trajeto curvo, a maior par~c tia luz chega 
à outra extremidade e ilumina o interior da artéria. Parte da lu1 refletida pelas pare-
des da artéria penetra no outro feixe e segue o caminho in, erso, ~endo detectada e 
transfonnada em uma imagem em um monitor. ~-r:;: 
33-1 O Polarização por Reflexão 
Os óculos escuros com filtros polarizadores ajudam a evitar a ofuscação causada pela 
luz refletida na água. Isso acontece porque os raios luminosos, ao serem refletidos 
em qualquer superfície, se tomam total ou parcialmente polarizados. . 
A Fig. 33-25 mostra um raio de luz não polarizada incidindo em uma superfície 
de vidro. Vamos separar os vetores campo elétrico da luz em duas componentes. A 
co111po11e1ite perpendicular é perpendicular ao plano de incidência e, portanto, per-
pendicular ao plano do papel na Fig. 33-25; essa componente está representada por 
pontos (como se pudéssemos ver os vetores de frente). A coniponente paralela é pa-
ralela ao plano de incidência e, portanto, paralela ao plano do papel na Fig. 33-25; 
essa componente está representada por setas de duas cabeças. Como a luz incidente 
é não polarizada, as duas componentes têm a mesma amplitude no raio incidente. 
E1n geral, a luz refletida também possui as duas componentes, mas com ampli-
tudes diferentes. Isso significa que a luz refletida é parcialmente polarizada: o campo 
elétrico tem maior amplitude em algumas direções que em outras. Para um certo ân-
gulo de incidência, porém, conhecido como ângulo de Brewster e representado pelo 
símbolo On, a luz refletida possui apenas a compoI\ente perpendiculai,-, como mostra 
a Fig. 33-25. Nesse caso, a luz refletida é totalmente polarizada perpendicularmente 
ao plano de incidência. A luz refratada, por outro lado, posst1i tanto a componente 
paralela como a componente perpendicular. 
O vidro, a água e outros materiais dielétricos discutidos na Seção 25-7 podem 
polarizar a luz por reflexão. Quando você observa uma dessas superfícies enquanto 
está sendo iluminada pelo Sol, pode ver um ponto brilhante no local onde a refle-
xão está ocorrendo. Se a superfície é horizontal, como na Fig. 33-25, a polarização 
da luz refletida é horizontal. Para eliminar a ofuscação causada por uma superfície 
refletora horizontal, é preciso que os filtros polarizadores usados nos óculos sejam 
montados de tal forma que a direção de polarização fique na vertical. 
A Lei de Brewster 
Observa-se experimentalmente que o ângulo de Brewster 8
8 
é aquele para o qual os 
raios refletido e refratado são mutuamente perpendiculares. Como o ângulo do raio 
refletido na Fig. 33-25 é 88 e o ângulo do raio refratado é Or, temos: 
()B + ()r = 90º. ( 33-46) 
Esses dois ângulos podem ser relacionados com o auxílio da Eq. 33-40. Atribuindo 
ONDAS ELETROI-AAGNÊTICAS 25 
. · nente O índice 1 da Eq. 33-40 ao n1aterial no qual se propaga1n os raios arbitrar1a1 . 
. ·deilte e reílet1do, te111os: 1nc1 
111 scn ºº = 112 sen e,. 
Combinando a<; duas equações, obte1nos: 
11 1 sen 88 = 112 sen(90º - 88) = 112 cos88 , 
0 que nos dá 
(ângulo de Brewster). 
(33-47) 
(33-48) 
(33-49) 
(Observe que os índices da Eq. 33-49 não são arbitrários, já que os meios 1 e 2 foram 
definidos previamente.) Se os raios incidente e refletido se propagam ,io ar, podemos 
fazer 11
1 
= 1 e representar n2 como n; nesse caso, a Eq. 33-49 assume a forma 
88 = tan-
1 n (lei de Bre\vster). (33-50) 
Esta versão simplificada da Eq. 33-49 é conhecida como lei de Brewster. Como o 
ângulo de Brewster, a lei de Brewster recebeu esse nome em homenagem a Sir Da-
vid Brewster (1781-1868), o cientista escocês que a descobriu experimentalmente 
e1n 1812. 
REVISÃO E RESUMO 
1 
Ondas Eletromagné,ticas Uma onda eletromagnética é formada 
por campos elétricos e magnéticos variáveis. As várias frequências 
possíveis das ondas eletromagnéticas constituem um espectro, do 
qual uma pequena parte constitui a luz visível. Uma onda eletromag-
nética que se propaga na direção do eixo x possui um campo elétrico 
Ê e um campo magnético B cujos módulos dependem de x e t: 
E = E,,, sen(kx - wt) 
e B = B111 sen(kx - wt), (33-1,33-2) 
em que Em e B .. são as amplitudes de Ê e B. O campo elétrico induz 
o campo magnético e vice-versa. A velocidade de qualquer onda 
eletro1nagnética no vácuo é e, que pode ser escrita como 
E 1 
e=-= 
B yµõeõ ' 
(33-5, 33-3) 
e1n que E e B são os 1nódulos dos campos em um instante qualquer. 
Fluxo de Energia A taxa por unidade de área com a qual a ener-. , 
g1a e transpo~ada por uma onda eletromagnética é dada pelo vetor 
de Poynting S: 
- 1 -+ -+ S = - E x B. (33-19) 
/J-(1 
; dir:ção de S (que é tambétn a direção de propagação da onda e a 
ireçao do fluxo de energia) é perpendicular às direções de E e B. 
A taxa 1 , ct· · t d · ne ,1ª por unidade de área com a qual a energia é transpor-
~ ª· s ... d, e cha1nada de i11te11sidade da onda e representada pelo 
s1mbolo /: 
1 l = --E2 rm~~ (33-26) 
em que E = E 1/2 
Ca< , . m" "' 2. Un1afo11te JJontual de ondas eletromaonéti-
., 1.:1n1te as ond· . . º · as 1sotrop1ca111e11te, ou seja, com igual intensidade 
em todas as direções. A intensidade das ondas a uma distância r de 
uma fonte pontual de potência P, é dada por 
/ = l's 
47Tr2 
(33-27) 
Pressão da Radiação Quando uma superfície intercepta uma 
onda eletromagnética, a onda exerce uma força e uma pressão na 
superfície. Quando a radiação é totalmente absorvida por uma su-
perfície perpendicular à direção de propagação, a força é dada por 
F = IA (absorção total), (33-32) 
e 
em que 1 é a intensidade da radiação eA é a área da superfície. Quan-
do a radiação é totalmente refletida, a força é dada por 
F = 2/A 
e 
(incidência perpendicular e reflexão total). (33-33) 
A pressão da radiação p, é a força por unidade de área: 
I 
P, = 
e 
(absorção total) (33-34) 
2/ 
e p = -
r e (incidência perpendicular e reflexão total). (33-35) 
Polarização Dizemos que uma onda eletro1nagnética é polari-
zada quando o vetor campo elétrico se conserva sempre no 1nes1no 
plano, que é chamado de JJ/a110 de oscilação. A luz produzida por 
u1na lâmpada comum não é polarizada; dizemos que uma luz desse 
tipo é não polarizada ou polarizada aleatorian1ente. 
Filtros Polarizadores Quando se faz a luz passar por un1 filtro 
polarizador, apenas a componente do ca1npo elétrico paralela à di-
reção de polarização do filtro é tra11s111itida; a componente per-
pendicular à direção de polarização é absorvida pelo filtro. A luz 
26 CAPÍTULO 33 
que cn1erge de un1 filtro polari1aJor está polari7a<la paralehunentc 
à direção de polarização do filtro. . , _ . 
Qu.u1do a luz que incide un1 filtro polanzador e nao polari-
zada. a intensidade da luz transnútida, /. é n1etade da intensidade 
onginal /11: 
(33-36) 
Quando a luz que incide no filtro polarizador já está polarizada, a 
intensidade da luz transmitida depende do ângulo 8 entre a direção de 
polarização da luz incidente e a direção de polarização do filtro: 
(33-38) 
Ótica Geométrica Ótica geo111étrica é o tratamento aproximado 
da luz no qual as ondas lunúnosas são representadas como raios que 
se propagan1 em linha reta. 
Reflexão e Refração Quando um raio lunúnoso encontra uma 
interface entre dois meios transparentes, em geral aparecem um raio 
refletido e um raio refratado. Os dois raios estão sempre no plano 
de incidência. O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência 
e 
O 
ângulo de refração cslá rclacionac.lo ao :uigulo tlc 1nçicl(:11c1.i 
através da lei c.lc Sncll. 
( rc I raça o), (3~-41l) 
etn que 
111 
e 
112 
são os índices de refração dos meios nos quais se 
propagarn o raio incidente e o raio refratado. 
Reflexão Interna Total Uma onda que incide em uma interface 
com um meio cujo índice de refração é menor que o do meio no qual 
está se propagando experimenta reflexão interna total se o ângulo 
de incidência é 1naior que um ângulo crítico 8, dado por 
(ângulo crítico). (33-45) 
Polarização por Refle~ão Uma onda refletida é ~ot~l':?e~te 
polarizada, com o vetor E perpendicular ao plano de 1nc1denc1a, 
quando o ângulo de incidência é igual ao ângulo de Brewster 8a, 
dado por 
(ângulo de Brewster). (33-49) 
1 
PERGUNTAS 
1 Se o campo magnético da uma onda lunúnosa é paralelo ao eixo 
y e seu módulo é dado por B
1 
= Bm sen(kz - wt), determine (a) a 
direção de propagação da onda; (b) a direção do campo elétrico as-
sociado à onda. 
2 Suponha que o segundo filtro da Fig. 33-15a seja girado a partir 
da direção de polarização paralela ao eixo y (8 = O), terminando 
com a direção de polarização paralela ao eixo x (8 = 90°). Qual 
das quatro curvas da Fig. 33-26 repres,enta melhor a intensidade da 
luz que atravessa o sistema de três fi ltros em função do ângulo 8 
durante a rotação? 
I 
Figura 33-26 Pergunta 2. 
3 (a) A Fig. 33-27 mostra um feixe luminoso passando por um filtro 
polarizador cuja direção de polarização é paralela ao eixo y. Supo-
nha que o filtro seja girado de 40º no sentido horário, mantendo-
se paralelo ao plano xy. Com a rotação, a porcentagem da luz que 
atravessa o filtro aumenta, dinúnui ou permanece constante (a) se 
a luz incidente for não polarizada; (b) se a luz incidente for polari-
zada paralelamente ao eixo x; (c) se a luz incidente for polarizada 
paralelamente ao eixo y? 
y 
'--X 
Figura 33-27 Pergunta 3. 
1 
4 A Fig. 33-28 mostra os campos elétrico e magnético de uma onda 
eletromagnética em um certo instante. O sentido de propagação da 
onda é para dentro ou para fora do papel? 
1 -• 
Figurl 33-28 Pergunta 4. 
B -E 
5 Na'Fig. 33-15a, comece com um feixe de luz polarizada para-
lelamente ao eixo x e escreva a razão entre a intensidade final I 
e a intensidade inicial 10 na forma / 3/ / 0 = A cosn 8. Quais são o~ 
va_lor~s ~e A, n e 8 quando giramos a direção de polarização do 
pnme1ro filtro (a) 60º no sentido anti-horário; (b) 90º no sentido 
horário? 
6_ Na Fig. 33-29, ~ma luz não polarizada atravessa um conjunto de 
c1nc? filtros pol~r1zado~es. As direções de polarização dos filtros, 
med1da~_no sentido ant.J.-horário no sentido positivo do eixo y, são 
as segu1nt:s: filtro 1, 35°; filtro 2, Oº; filtro 3, Oº; filtro 4, 110º; 
filtr? .s. 45 . O filtro 3 sofre uma rotação de 180º no sentido anti-
hor.ano. ~urante a rotação, para que ângulos (medidos no sentido 
ant1~horáriéo n
1
_o ~entido positivo do eixo y) a transnússão de luz pelo 
conJunto e nrunada totalmente? 
y 
.......... r-x 
4 
5 
Figura 33-29 Pergunta 6. 
.·, , ,. ,O 111,,,tr.1 r,lill~ Jl' lu, 1111,nOCl\llllilll\"a p,,,,ando por 
1 ,..\ ftf , ~ · • 
1 
h e< Coloque ll' ,natcn,u, na 01dl·n1 dll 1nd1L·c <lc 
trés ni.1tcn,11,. e • 
1
. . . 0 Cllntc•·ando ~lo nuuor n: rJ~a • " 
e 
Figura 33-30 Pergunta 7. 
s A fig. 33-31 n1ostra as reflexões múltiplas de um raio luminoso 
em um corredor de vidro no qual as paredes são paralelas ou per-
pendiculares entre si. Se o ângulo de incidência no ponto a é 30°, 
quais são os ângulos de reflexão do raio luminoso nos pontos b, e, 
d, e ef! 
~a 
Figura 33-31 Pergunta8. 
9 A Fig. 33-32 mostra quatro placas horizontais A, B, C e D feitas 
de materiais diferentes, com ~ acima da primeira placa e abaixo 
da última. O índice de refração1 dos materiais é dado. Raios de luz 
incidem na extremidade esquerda das quatro placas, da forma in-
dicada na figura. Em que placa existe a possibilidade de que a luz 
fique confinada de tal forma que, após muitas reflexões, chegue à 
extremidade direita sem deixar a placa? 
Ar 
/ 1,3 A 
/ 1,5 B 
/ 1,4 e 
/ 1,3 D 
Ar 
Figura 33-32 Pergunta 9. 
10 O bloco da esquerda da Fig. 33-33 apresenta reflexão interna 
total para a luz no interior de um material com índice de refração 
.. ----
ONDAS ELETRO 'AG (l CAS 27 
111 q11,1ndl> L, 1,lt .,r do l,11!11 ilc lor,1 cio m 11 r1 d m r 1 1 1 
t hcg,1 ao ponto \ , 111tl11 de q1111lq11cr ()Olllo d r 1 , 
c-.qucnl,1 {Lnrno o r,iio q11L' up.ucc.c n., hgum) of rc r fl l 
tcnn1na na ,cgiao sn111hrc,1<l,1 d,1 cliri.:11.1 ', outro bl ,nostri:irn 
s1tuaçoc~ semelhante, par., outros rn1ttcn,11 r olo<tU 
na ordem do índice de rcfr.tç,11,, con1c~,1111l11 pelo m111or 
t\r ,\ 1\r ,\ Ar A 
Figura 33-33 Pergunta 10. 
11 As três partes da Fig. 33-34 mostram a refração da luz na in-
terface de dois materiais diferentes. O raio incidente (cinzento, na 
figura) é uma mistura de luz vermelha e azul. O índice de refração 
aproximado para a luz visível está indicado para cada matenal. Qual 
das três partes mostra uma situação fisicamente possível? (Sugestão: 
considere primeiro a refração em geral, independentemente da cor. 
e depois considere a diferença entre a refração da luz vermelha e a 
refração da luz azul.) 
n = 1.3 n= 1,5 ·-~ 
n= 1,3 
(a) (b) (e) 
Figura 33-34 Pergunta 11. 
12 Na Fig. 33-35, a luz começa no material a, passa por placas 
feitas de três outros materiais com as interfaces paralelas entre si 
e penetra em outra placa do material a. A figura mostra o raio in-
cidente e os raios refratados nas diferentes interfaces. Coloque os 
materiais na ordem do índice de refração, começando pelo maior. 
(Sugestão: O fato de que as interfaces são paralelas permite uma 
comparação direta.) 
a b d a 
e 
Figura 33-35 Pergunta 12. 
I 
• 
28 CAPITULO 33 
1 1 
• O nun1ero da ponto3 Indica o grau de dificuldade do problema 
Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Ffslca de Jearl Walker, LTC. Rio de Janeiro, 2008 
Seção 33-2 O Arco-íris de Maxwell 
• 1 Un1 laser de hélio-neônio enúte luz vermelha em u1na faixa 
estreita de comprimentos de onda e1n tomo de 632,8 n1n, com uma 
"largura" (como a da escala da Fig. 33-1) de 0,0100 run. Qual é a 
"largura" da luz e1nitida e1n unidades de frequência? 
•2 O objetivo do Projeto Seafarer era construir uma gigantesca 
antena subterrânea, co1n un1a área da orde1n de 10 000 km2, para 
transmitir sinais de rádio que pudessem ser captados por submari-
nos a grandes profundidades. Se o comprimento de onda efetivo 
desses sinais de rádiv fosse l ,0 X 104 raios terrestres, qual seria (a) 
a frequência e (b) o período da radiação emitida? Normalmente, as 
ondas eletro1nagnéticas são fortemente atenuadas ao se propagarem 
en1 n1ateriais condutores de eletricidade, como a água salgada, o que 
torna difíciJ a comunicação com submarinos. 
•3 A partir da Fig. 33-2, determine (a) o menor e (b) o maior com-
primento de onda para o qual a sensibilidade de olho humano é 
igual a 1netade da sensibilidade máxima. Determine também (c) o 
comprimento de onda, (d) a frequencia e (e) o período da luz à qual 
o olho humano é mais sensível. -
•4 A que distância devem estar as mãos de uma pessoa para que 
estejam separadas por 1,0 nanossegundo-luz (a distância que a luz 
percorre em 1,0 nanossegundo)? 
Seção 33-3 Descrição Qualitativa de uma Onda 
Eletromagnética 
•5 Qual o valor da indutância deve ser ligada a um capacitor de 17 
pF em um oscilador capaz de gerar ondas eletromagnéticas de 550 
nm (ou seja, dentro da faixa da luz visível)? Comente a resposta. 
•6 Qual é o comprimento de onda da onda eletromagnética emitida 
pelo sisterna oscilador-antena da Fig. 33-3 se L = 0,253 µ,H e C = 
25,0 pF? 
Seção 33-5 Transporte de Energia e o Vetor de Poynting 
•7 Qual é a iJJtensidade de uma onda eletromagnética plana se o 
valor de B., é 1,0 X 104 T? 
•8 Suponha (de forma pouco realista) que uma estação de TV se 
comporta como uma fonte pontual, isotrópica, transmitindo com 
uma potência de 1,0 MW. Qual é a intensidade do sinal ao chegar 
às vizinhanças de Próxima do Centauro, a estrela mais próxima do 
Sistema Solar, que está a 4,3 anos-luz de distância? (Uma civiliza-
ção alienígena a essa distância poderia assistir a Arquivo X.) U1n 
ano-luz é a distância que a Juz percorre ern um ano. 
•9 Alguns lasers de neodímio-vidro podem produzir 100 TW de 
potência e1n pulsos de 1,0 ns com um comprimento de onda de 
0.26 µ.m. Qual é a energia contida em um desses pulsos? 
•10 Uma onda eletro1nagnética plana tem u111 ca1npo elétrico má-
xi1110 de 3,20 X 10 4 V/m. Deter1nine a amplitude do ca1npo mag-, . 
nel!co. 
•11 U1na onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo 
no sentido positivo do eixo .r te1n co1nponentes E, = E,. = O e 
E = (2,0 V /m) cos[ 7T X l 015 s·1 )(t- r/c) ]. (a) Qual é a amplitude do 
ca1npo 1nagnético associado à onda? (b) O ca1npo magnético oscila 
paralelamente a que eixo? (e) No instante em que o can1po elétrico 
associado à onda aponta no scnlido ro i1rvo do cix ,, crn um e rt• 
ponto p do espaço. cm que direção aponta ,, çtunp<, 111agnét1co no 
mesmo ponto? 
•12 E1n uma onda de rádio plana, o valor máximo do c::un p(J ~lé-
trico é 5,00 V/m. Calcule (a) o valor máximo do campo rnagnét1co, 
(b) a intensidade da onda. 
••13 A luz do Sol no limite superior da atrnosfera terrestre tem 
uma intensidade de 1.40 kW/m2• Calcule (a) E" e (b) B,. para a lu1: 
solar nessa altitude, supondo tratar-se de uma onda plana. 
• • 14 Uma fonte pontual ic;otrópica emite luz com um comprimento 
de onda de 500 nm e uma potência de 200 W. Um detector de luz 
é posicionado a 400 m da fonte. Qual é a máxima taxa i/Blôt c~m-a 
qual a componente magnética da luz varia com o tempo na pos1çao 
do detector? 
• • 15 Um avião que se encontra a uma distância de 1 O km de um 
transmissor de rádio recebe um sinal com uma intensidade de 1 O 
µ,W/m2• Determine a amplitude (a) do campo elétrico e (b) do campo 
magnético associado ao sinal na posição do avião. ( c) Se o trans-
missor irradia uniformemente ao longo de um hemisfério. qual é a 
potência da transmissão? -
• • 16 Frank D. Drake, um investigador do programa SETI (Search 
for Extra-Terrestrial Intelligence, ou seja, Busca de Inteligência 
Extraterrestre), disse uma vez que o grande radiotelescópio de 
Arecibo, Porto Rico (Fig. 33-36) "é capaz de detectar um sinal que 
deposita em toda a superfície da Terra uma potência de apenas um 
picowatt". (a) Qual é a potência que a antena do radiotelescópio de 
Arecibo receberia de um sinal como esse? O diâmetro da antena 
é 300 m. (b) Qual teria que ser a potência de urna fonte isotrópi-
ca situada no centro de nossa galáxia para que um sinal com esta 
potência chegasse à Terra? O centro da galáxia fica a 2,2 X 104 
anos-luz de distância. Um ano-luz é a distância que a luz percorre 
em um ano. 
Figura 33-35 Problema 16. O radiotelescópio de Arecibo. 
(Cortesia ela Cor11ell University). 
• 1- O campo elétrico máximo tt uma distância de 1 O m de uma 
fonte pontual isotrópica é 2,0 V /m. Quais são (a) o valor máximo do 
ca1npo 1nagnético e {b) a intensidade média da luz a essa distância 
da fonte? (c) Qual é a potência da fonte? 
natalia
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natalia
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. ºd·idc.: J da luz ctnitida por tuna fonte pontual e h,o-
, 18 ,\ 1n1c.:ns1 < • A • • • 37 
• . ,J"da cn1 função da d1st.1nc1a r da tonte. 1\ Fig. 33-
S e·\ e.: 1111.: 1 • 
u·i.: r• · . 1, 1 id·idc.: / e1nfun\·ão do inverso do quadrado da d1s-0~1111 a ,n t:1 ~ • . , . 200 W/ i 
n~ :.. . ~ A escala do eixo vertical e definida por/, = 111 
1an1.:i.i. 1 • • J é d fi 'd -2 - 8 O - 2 Qual ta '" I· do ci:xo hor1zonta e 111 a por,~ - , m e 
' 'l ,:~<;L ,l ,\ l t: t. .... 
potencia da fonte? 
], 
,..... 
"' E 
....... 
~ l .._, ..... 
1 1 
o -2 r, 
T-2 (in-2) 
Figura 33-37 Pergunta 18. 
seção 33-6 Pressão da Radiação 
• 19 Lasers de '.tlta potência são usados para comprimir plasmas 
(gases de partículas carre~adas)._Um laser capaz de gerar puls_os de 
radiação com uma potência máxima de 1,5 X 103 MW é focalizado 
em 1,0 mm2 de u1n plasma de elétrons de alta densidade. Determi-
ne a pressão exercida sobre o plas1na se este se comporta como um 
meio perfeitamente refletor. 
•20 A luz do Sol no limite superior da atmosfera terrestre tem uma 
intensidade de 1,4 kW/m2• (a) Supondo que a Terra (e a atmosfera) 
se comporta como um disco plano perpendicular aos raios solares 
e que toda a energia incidente é absorvida, calcule a força exercida 
sobre a Terra pela radiação. (b) Compare essa força com a força 
exercida pela atração gravitacional do Sol. 
•21 Qual é a pressão da radiação a 1,5 m de distância de uma lâm-
pada de 500 W? Suponha que a superfície sobre a qual a pressão é 
exercida está voltada para a lâmpada e é perfeitamente absorvente. 
Suponha também que a lâmpada irradia uniformemente em todas 
as direções. 
•22 Um pedaço de cartolina pintado de preto, totalmente absor-
vente, de área A = 2,0 cm2, intercepta um pulso luminoso com uma 
intensidade de 10 W/cm2 produzido por uma lâmpada estroboscó-
pica. Qual é a pressão exercida pela luz sobre a cartolina? 
••23 Pretende-se levitar uma pequena esfera, totalmente absor-
vente, 0,500 m acima de uma fonte luminosa pontual e isotrópica, 
fazendo com que a força para cima exercida pela radiação seja igual 
ao peso da esfera. A esfera tem 2,00 mm de raio e uma massa es-
pecífica de 19,0 g/cm3• (a) Qual deve ser a potência da fonte lumi-
nosa? (b) Mesmo que fosse possível construir uma fonte com essa 
potência, por que o equilíbrio da esfera seria instável? 
••24 Teoricamente, uma espaçonave poderia deslocar-se no sis-
tema solar usando a pressão da radiação solar em uma grande vela 
feita de folha de alumínio. Qual deve ser o tamanho da vela para 
que a força exercida pela radiação seja igual em módulo à força de 
atração gravitacional do Sol? Suponha que a massa da espaçonave, 
incluindo a vela, é 1500 kg e que a vela é perfeita1nente refletora e 
está orientada perpendicularmente aos raios solares. Os dados as-
tronômicos necessários podem ser obtidos no Apêndice C. (Se for 
usada uma vela maior, a espaçonave se afastará do Sol.) 
••25 Prove, para uma onda eletromagnética plana que incide per-
pendicularmente em uma superticie plana, que a pressão exercida 
P~la radiação sobre a superfície é igual à densidade de energia do 
fe:xe incidente. (Essa relação entre pressão e densidade de energia 
nao depende da refletância da superfície.) 
ONDAS ElfTROl'tiAGNÉTICAS 29 
26 N. Fig. "\3-38, o feixe de um laser 1:0111 4,(10 \V d pol nc1 
e D = 2,60 m1n de diâmclro é aponl.ido par., c11n,1, pcrpcnJ1cular 
mente a uma das faces circularc~ (co1n menos de 2,60 nun <lc 01.imc 
tro) Jc um cilindro perfeita1nente refletor, que é rnantiJn su pen o 
pela pressão da radiação do laser. A ma.,sa cspccíhca do cilindro é 
1,20 g/cmJ. Qual é a altura H do cilindro? 
L..r---D--
I 
]-[ 
____ .. 
Figura 33-38 Problema 26. 
• •27 Uma onda eletromagnética plana, com um comprimento de 
onda de 3,0 m, se propaga no vácuo, no sentido positivo do eixo x. 
o campo elétrico, cuja amplitude é 300 V /m, oscila paralelamente 
ao eixo v. Determine (a) a frequência; (b) a frequência angular; (c) 
o núme;o de onda; (d) a amplitude do campo magnético associado 
à onda. (e) O campo magnético oscila paralelamente a que eixo? 
(f) Qual é o fluxo médio de energia, em watts QOr metro quadrado. 
associado à onda? A onda ilumina uniformemente uma placa com 
uma área de 2,0 m2 . Se a placa absorve totalmente a onda, deter-
mine (g) a taxa com a qual o momento é transferido à placa e (h) a 
pressão exercida pela radiação sobre a placa. 
"•28 A intensidade média da radiação solar que incide perpendi-
cularmente em uma superfície situada logo acima da atmosfera da 
Terra é 1,4 kW/m2• (a) Qual é a pressão de radiação p, exercida pelo 
Sol sobre essa superfície, supondo que toda a radiação é absorvida? 
(b) Calcule a razão entre essa pressão e a pressão atmosférica ao 
nível do mar, que é 1,0 X 105 Pa. 
••29 Urna pequena espaçonave cuja massa é 1,5 X 103 kg (incluin-
do um astronauta) está à deriva no espaço, longe de qualquer campo 
gravitacional. Se o astronauta liga um laser de 10 kW de potência, 
que velocidade a nave atinge em 1,0 dia por causa do momento as-
sociado à luz do laser? 
••30 Um laser tem uma potência luminosa de 5,001nW e um com-
primento de onda de 633 nm. A luz emitida é focalizada (concen-
trada) até que o diâmetro do feixe luminoso seja igual ao diâme-
tro de 1266 nrn de uma esfera iluminada pelo laser. A esfera é 
perfeitamente absorvente e tem uma massa específica de 5,00 X 
103 kg/1n3. Determine (a) a intensidade do feixe produzido pelo laser 
na posição da esfera; (b) a pressão exercida pela radiação do laser 
sobre a esfera; (e) o módulo da força correspondente; ( d) o módulo 
da aceleração que a força imprime à esfera. 
•••31 Quando um cometa se aproxi1na do Sol, o gelo da superfície 
do cometa sublima. liberando íons e partículas de poeira. Como os 
íons possuem carga elétrica, são empurrados pelas partículas car-
regadas do vento solar e formam uma cauda de íons, retilínea, que 
aponta radialmente para longe do Sol (Fig. 33-39). As prutículas de 
poeira ( eletrica1nente neutras) são e1npurradas para longe do Sol pela 
força da luz solar. Suponha que as partículas de poeira são esféri-
cas, têm uma 1nassa específica de 3,5 X l 03 kg/m3 e são totalmen~ 
te absorventes. (a) Que raio deve ter uma partícula para descrever 
uma trajetória retilínea. co1no a trajetória 2 da figura? (b) Se o raio 
da partícula é maior que o valor calculado no item (a), a trajetória 
natalia
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30 CAPÍTULO 33 
se encurva para longe do Sol, como a lrajclúna 1, ou pura pc1 tn do 
Sol, corno a lra.Jetória 2? 
'\.~... 1 Cauda de poeira ,, ... 
Sol 
Co1ncta 
,, .......... ,, .......... 3'~: 
Cauda de íons 
Figura 33-39 Problema 31. 
Seção 33- 7 Polarização 
•32 Na Fig. 33-40, um feixe de luz inicialmente não polarizada 
atravessa três filtros polarizadores cujas direções de polarização 
fazem ângulos de 91 = 92 = 93 = 50º com a direção do eixo y. Que 
porcentagem da intensidade inicial da luz é transmitida pelo con-
junto? (Sugestão: preste atenção nos ângulos.) 
1 
~(,, 
/" 
'~ 
' 
' 
' ' 
Figura 33-40 Problemas 32 e 33. 
y 
1 
X 
•33 Na Fig. 34-40, um feixe de luz inicialmente não polarizada 
atravessa três filtros polarizadores cujas direções de polarização 
fazem ângulos de 91 = 40º, 92 = 20º e 93 = 40º com a direção do 
eixo y. Que porcentagem da intensidade inicial da luz é transmitida 
pelo conjunto? (Sugestão: preste atenção nos ângulos.) 
•34 Na Fig. 33-41, u1n feixe de luz não polarizada, com uma inten-
sidade de 43 W/m2• atravessa un1 sistema composto por dois filtros 
polarizadores cujas direções fazem ângulos 91 = 70º e 82 = 90º com 
o eixo y. Qual é a intensidade da luz transmitida pelo sistema? 
Figura 33-41 Problemas 34, 35 e 42. 
•35 Na Fig. 33-41, um feixe luminoso co1n uma intensidade de 
43 W/m2 e a polarização paralela ao eixo y atravessa um sistema 
composto por dois filtros polarizadores cujas direções faze1n ângu-
los 81 = 70º e 82 = 90º com o eixo y. Qual é a intensidade da luz 
transmitida pelo sistema? 
••36 ~ Na praia, a luz em geral é parciahnente polarizada 
devido às reflexões na areia e na água. Em uma certa praia, t>n1 um 
certo dia, no final da tarde, a componente horizontaldo vetor campo 
elétrico é 2,3 vezes maior que a componente vertical. Um banhista 
fica de pé e coloca óculos polarizadores que eliminam totalmente 
·1 con1ponL'IIIL hor1111nt;il do 1,;,11npo cli.;lnc..o (a) Ou · fr r d 11 
;cn1,idadc luin1uo\a 1111.tl 1.:Jieg:1 ,1n olho do b 111h1 :a 1 (bJ A1nd 
usando ,.,·ulos, 0 hanhir;ta 5c cl1•11., de l.11111 nu areia JUC fr ~ 1 d 
intensidade lun1111osa total chcg,1 ,igor.1 ar, ,,Jhr, do banh, t 
••37 Queremos Ja,cr a dirc~a,, de polant'H,ao de urn íc1xe de lu 
polarizada girar de 90° fatcndo o Jcixc p..is ..ir pur urn ou rna, flllt 
polarizadores. (a) Qual é o número mínirnr, de flltr,, nece ~no 
(b) Qual é o número mínimo de filtros nccc~sáríi,. e a 1ntcn. •daJ 
da luz transmitida deve ser mais de; 60rk da 1nl<'ns1dadc ong1nal 
••38 Na Fig. 33-42, um feixe lu.1, não polan,ada passa p()r u~ cGn 
junto de três filtros polarizadores. Os ángu!os O',. 02 e 01 dac; _d rreçoe 
de polarização são medido~ no sentido ant1-horano n? sentido po 1 
tivo do eixo y (não estão desenhados em e.,calaJ. ~s angulos O, e' 
são fixos, mas o ângulo 82 pode ser ajustado. A Fig. 33-43 mostr 
a intensidade da luz que atravessa o conJunto em função de 02, < ! 
escala do eixo de intensidades não é conhecida.) Que porcentageri 
da intensidade inicial da luz é Lransmítida pelo conjunto se 01 == 
30º? 
' 
Figura 33-42 Problemas 38, 40 e 44. 
I 
Figura 33-43 Problema 38. 90º 
••39 Utn feixe de luz não polarizada com uma intensidade de 
1 O m W/m2 atravessa um filtro polarizador como na Fig. 33-11. De-
termine (a) a amplitude do campo elétrico da luz transmitida; (b) a-
pressão exercida pela radiação sobre o filtro polarizador. 
••40 Na Fig. 33-42, um feixe de luz não polarizada atravessa um 
conjunto de três filtros polarizadores. Os ângulos 8
1
, 8
2 
e 8, das di-
reções de polarização são medidos no sentido anti-horário, a partir 
do semieixo y positivo (os ângulos são estão desenhados em escala). 
Os ângulos 01 e 83 são fixos, mas o ângulo 8
2 
pode ser ajustado. A 
Fig. 33-44 mostra a intensidade da luz que atravessa o conjunto em 
função de 82• (A escala do eixo de intensidades não é conhecida.) 
Que porcentagem da intensidade inicial da luz é transmitida pelo 
conjunto para 02 = 90º? 
f 
Figura 33-44 Problema 40. 
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~ 
• 
• 1 Um feixe de luz polarizada pa::.sa por un1 conjunto de dois 
• 
4 
olarizadores. Em relação à direção de polarização da luz in-
fi I tros P 1 . - d fi lt - a · · 'd te as direções de po anzaçao os ros sao v para o pn1ne1ro 
~
1
1:: e 90º para o segundo. Se lOo/o da intensidade incidente são 
transmitidos pelo conjunto, quanto vale (}? 
•• 42 Na Fig. 33-41, um feixe de luz não polarizada atravessa um 
conjunto de dois filtros polari1.a~ores. ?s ângulos ~1 e e2 ~as dir~-
ões de polarização dos filtros sao medidos no sentido anti-horário 
~ partir do semieixo y positivo ( os ângulos não estão desenhados 
em escala na figura). O ângulo e 1 é fixo, 1nas o ângulo (}2 pode ser 
ajustado. A Fig 33-45 mostra a intensidade da lu2. que atravessa o 
sistema em função de ez. (A escala do eixo de intensidades não é 
conhecida.) Que porcentagem da intensidade inicial da luz é trans-
mitida pelo rx>njunto para e2 = 90º? 
I l'l-
\ 
\ . 
I'\. 
1 
1 
~ / 
180° 
Figura 33-45 Problema 42. 
• •43 Um feixe de luz parcialmente polarizada pode ser conside-
rado uma mistura de luz polarizada e não polarizada. Suponha que 
um feixe desse tipo atravesse um filtro polarizador e que o filtro 
seja girado de 360° enquanto se mantém perpendicular ao feixe. Se 
a intensidade da luz transmitida vaiia por um fator de 5,0 durante 
a rotação do filtro, que fração da intensidade da luz incidente está 
associada à luz polarizada do feixe? 
• •44 Na Fig. 33-42, um feixe de luz não polarizada atravessa um 
conjunto de três filtros polarizadores que transmite 0,0500 da in-
tensidade luminosa inicial. As direções de polarização do primeiro 
e do terceiro filtro são (}1 = Oº e (}3 = 90°. Detennine (a) o menor e 
(b) o maior valor possível do ângulo (}2 ( < 90°) que define a direção 
de polarização do filtro 2. 
Seção 33-8 Reflexão e Refração 
•45 Quando o tanque retangular de metal da Fig. 33-46 está cheio 
até a borda de um líquido desconhecido, un1 observador O, com os 
PARTE-4 . 
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 31 
luz se refrata. O outro meio pode ser do tipo I ou <lo 1ipo 2; :.i r ig. 
33-47/J 1nostra o ângulo de refraçào O, cm Junção do f1ngul,, <l<' ,n-
cidcncia 91 para os dois ltpos de meio. A c<.cala do eixo hon/ontal 
é definida por 01, = 90º. Sem fazer nenhum cálculo. dctcrmtnl- Cu) 
se o índice de refração do meio l é 1naior ou menor que o índice de 
refração da água (11 = 1,33) e (b) se o índice de refração do meio 
2 é maior ou menor que o índice de refração da água. Determine o 
índice de refração (c) do meio 1 e (d) do meio 2. 
' Agua 
(a) 
Figura 33-47 Problema 46. 
45° 
r i : 
--1 - ' -
' J 2 I , 
I ,__,. , t 
l<.........l...~e1 
0° 91, 
(h) 
.. 47 Um raio de luz que estava se propagando no vácuo incide na 
superfície de uma placa de vidro. No vácuo, o raio faz um ângulo de 
32,0º com a normal à superfície, enquanto no vidro faz um ângulo 
de 21,0° com a normal. Qual é o índice de refração do vidro? 
•48 Na Fig. 33-48a, um raio luminoso que estava se propagando 
na água incide com um ângulo (}1 em outro meio, no qual parte da 
luz se refrata. O outro meio pode ser do tipo 1 ou do tipo 2; a Fig. 
33-48b mostra o ângulo de refração (}2 em função do ângulo de in-
cidência e1 para os dois tipos de meio. A escala do eixo vertical é 
definida por e2s = 90°. Sen fazer nenhum cálculo, detennine (a) se 
o índice de refração do meio 1 é maior ou menor que o índice de 
refração da água (n = 1,33) e (b) se o índice de refração do meio 
2 é maior ou menor que o índice de refração da água. Detennine o 
índice de refração (c) do meio 1 e (d) do meio 2. 
92 
92s 1---....----....----....---~ 
' Agua 
,.._~'---~'---~'---~L9 
olhos ao nível do alto do tanque, mal pode ver o vértice E. A figu- Oº 45º 90º 1 
ra mostra um raio que se refrata na superfície do líquido e toma a - (a) 
direção do observador O. Se D = 85,0 cm e L = 1,10 m, qual é o 
(b) 
índice de refração do líquido? Figura 33-48 Problema 48. 
i ,r Normal à superfície 
i/ do líquido 
o- .... 
D 
-1~ -L--~E 
Fº •oura 33-46 Problema 45. 
º46 N· p· ª 1g. 33-47a, um raio lu1ninoso que estava se propagando 
em um certo · · ·d meio 1nci e com u1n ângulo 81 na água, onde prute da 
•49 A Fig. 33-49 mostra um raio luminoso sendo refletido em dois 
espelhos perpendiculares A e B. Determine o ângulo entre o raio 
incidente ; e o raio r'. 
Figura 33-49 Problema 49. 
• •50 Na Fig. 33-50a, um feixe luminoso que estava se propagando 
no meio 1 incide com um ângulo (}1 = 40° na interface com o meio 
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1 
1 
32 CAPÍTULO 33 
2. Parte da luz penetra no 1ueio 2 e pa11e dessa luz penetra no ,ncio 
3: todas as interfaces são paralelas. A orientação do feixe no meio 
3 depende, entre outros fator~s. do índice de refração 113 do terceiro 
1neio. A Fig. 33-50b n1ostr11 o ângulo 03 e1n função de 113• A escala 
do eixo vertical é definida por 83" = 30,0º e 83b = 50,0°. (a) É pos-
sível calcular o índice de refração do 1neio 1 com base nessas itúor-
mações? Se a resposta ror afir1nativa, determine o valor de n1• (b) , 
E possível calcular o índice de refração do meio 2 com base nessas 
infor1nações? Se a resposta for afirmativa, detennine o valor de 112• 
(c} Se 81 = 7fl" e n3 = 2,4, qual é o valor de 9J? 
~~J- ' 
1 _..,"'" 
1 2 3 
..... , -, 
...... 
~ ~· ...... -
1,5 1, 7 1,9 
(a) (b) 
Figura 33-50 Problema 50. 
••51 Na F'ig. 33-51, a luz incide, fazendo um ângulo 81 = 40,1º 
com a normal, na interface de dois meios transparentes. Parte da 
luz atravessa as outras três camadas transparentes e parte é refletida 
para citnae escapa para o ar. Se 111 = 1,30, n2 = 1,40, n3 = 1,32 e 
114 = 1,45, determine o valor (a) de 85; (b) de 84• 
Ar 
-
• 
Figura 33-51 Problema 51. 
••52 Na Fig. 33-52a, um feixe luminoso que estava se propagando 
no meio J incide no meio 2 com um ângulo de 30°. A refração da 
luz no meio 2 depende, entre outros fatores, do índice de refração n2 
do meio 2. A Fig. 33-52b 1nostra o ângulo de refração 82 en1 função 
de n2• A escala do eixo vertical é definida por 82,, = 20,0º e 82b = 
40,0°. (a) Qual é o índice de refração do meio 1? (b) Se o ângulo 
de incidência au1nenta para 60º e n2 = 2,4, qual é o valor de 82? 
82" '----'---'--..1.-...:._--L-- n.-, 
1,3 1,5 1, 7 1,9 -
(a) (b) 
Figura 33-52 Problema 52. 
•53 Na Fig. 11-53, u1n nuo 1nc.1dc. c.1n u1n,1 dac; lucc ilc 11n1 pn n1 
triangular de vidro ímrrso no ,11 (J .1ngulo de 111c1dcn1.:1a fl é e co-
lhido de tal fonna que o raio l:.tncrgcntc tu, o rncsrno ,1ngulo r, con 
a normal ~1 outra face. tviostre que o índice de rcfraç,1c, 11 do v1tlro 
dado por 
scn !( tf, + cf,) 
ti == 
scn!<ti • 
em que cp é o ângulo do vértice superior do prisma e 1/1 é o ángulr 
de desvio, definido como o ângulo entre o raio emergente e o raii 
incidente. (Nessas condições, o ângulo de desvio t/1 tem o menor 
valor possível, que é denominado ângulo de desvio 111fnin10.) 
Figura 33-53 Problemas 53 e 64. 
-----rt---· -- -, . - -.... 
.... 
, 
/ 
••54 -!f/l'fr Dispersão enz u1n vidro de janela. Na Fig. 33-54, un 
feixe de luz branca incide com um ângulo 8 = 50º em um vidr1 
comum de janela (mostrado de perfil). Nesse tipo de vidro, o ín 
dice de refração da luz visível varia de 1,524 na extremidade azu 
do espectro a 1,509 na .~xtrerr.idade vermelha. As duas superfície 
do vidro são paralelas. Determine a dispersão angular das cores dL 
feixe (a) quando a luz entra no vidro e (b) quando a luz sai do ladt 
oposto. (Sugestão: quando você olha para um objeto através dt 
um vidro de janela, as cores do objeto se dispersam como na Fig 
33-20?) 
Figura 33-54 Problema 54_ 
0 •55 Na Fig. 33-55, uma estaca vertical com 2,00 m de compri-
1n~nto se projeta do fundo de uma piscina até um ponto 50,0 cm 
acuna da água. O Sol está 55,0º acima do horizonte. Qual é o com-
primento da sombra da estaca no fundo da piscina? 
Figura 33-55 Problema 55. 
Raios 
bloqueados 
••56 ~ Arco-íris produzidos JJOr gotas quaclradas. Suponha 
que, e,n um planeta exótico, as gotas de chuva tenham uma seção 
reta quadrada e caiam se,nµre co1n uma face paralela ao solo. A Fig. 
33-56 1nostra u1na dessas gotas, na qual incide u1n feixe de luz branca 
co1n um àngulo de incidência 8 = 70,0° no ponto P. A parte da luz 
que penetra na gota se propaga até o ponto A, onde parte é refratada 
de volta para o ar e a outra parte é refletida. A luz refletida chega 
natalia
Highlight
• 
de novnrncntc parte dn h11 l1 n·f1 atndn dl• voltn p:11 n 
O Ponto B, on · • r. 1 1 • a , ll •ti'd•i Qu·1l e a drtcrcn,ia ,•1111 l' os ,1111•11 ns l llli , nros 
Parte e rc e • · . o are Ih 1 (li .:: 1 111) '-' Ul' h11 a1;11I (11 1, ,,11) l)lll' dl•1x111n 1 vern1c : •· 
de uz • ) onto ;\ e (b) no ponto Jl'l (Sl' ho11VL'I' unu, dil'L'll'll(n, 
a oota ( ,1 no P · t 1 · 
e dor externo vera 11111 aren íns ao o )Sl't'Vnr 11 111 ljlll' sai uin observa · 
,10 ponto A ou pelo ponto JJ.) da gota pc 
, . 
B 
Figura 33-56 Problerr.a 56. 
seção 33-9 Reffexão Interna Total 
•57 U1na fonte luminosa pontual está 80,0 cm abaixo da superC(cie 
de uma piscina. Calcule o diâmetro do círculo na superfície através 
do qual a luz emerge da água. 
•58 O índice de refração do benzeno é 1,8. Qual é o ângulo críti-
co para um raio luminoso que se propaga no benzeno ern direção a 
uma interface plana do benzeno com o ,ar? 
••59 Na Fig. 33-57, um raio luminoso incide perpendicularn1en-
te à face ab de um prisma de vidro (n = 1,52). Determine o maior 
valor do ângulo cJ> para o qual raio é totalmente refletido pela face 
ac se o prisma estiver imerso (a) no ar; (b) na água. 
a 
Figura 33-57 Problema 59. b ... '-----~- c 
••60 Na Fig. 33-58, a luz do raio A é refratada pelo meio 1 (n1 = 
1,60), atravessa uma fina camada do meio 2 (n2 = 1,80) e incide 
com o ângulo crítico na interface dos meios 2 e 3 (n3 = 1,30). (a) 
Qual é o valor do ângulo de incidência (}A? (b) Se(} A diminuir, parte 
da luz conseguirá passar para o meio 3? 
A luz do raio B é refratada pelo material 1, atravessa o material 
2 e incide com o ângulo crítico na interface dos materiais 2 e 3. (c) 
Qual é o valor do ângulo de incidência e 8? ( d) Se (} 8 diminuir, parte 
da luz conseguirá passar para o meio 3? 
Figura 33-58 Problema 60. 
' 61 Na Fig. 33-59, u1n feixe luminoso que e~tava se propagando 
no meio 1 é refratado para o meio 2, atravessa esse 1neio e incide 
com o ângulo crítico na interface dos meios 2 e 3. Os índices de 
refraç- -
• aosaon, = 1,60,112 = l,40en3 = 1,20. (a)Qualéovalordo 
angul~ 6? (b) Se o valor de(} aumentar, a luz conseguirá penetrar 
no meio 3? -··· 
. UWlVIRSIOAO! nDERAL DO PAl: 
BIBLIOTECA CENTl:W... 
' 
PARJ:E .4 .. 
ONDAS ELE.TROMAGNETICAS 33 
Figura 33-59 Problc1na 61. 
••62 ~ U1n peixe-gato está 2,00 m abaixo da superfície de um 
lago. (a) Qual é o diâ1netro da circunferência na superfície que deli-
1nila a região na qual o peixe pode ver o que existe do lado de fora do 
lago? (b) Se o peixe descer para uma profundidade maior, o diâmetro 
da circunferência aumentará, diminuirá ou continuará o mesmo? 
• •63 Na Fig. 33-60, um raio luminoso penetra no ponto P, com 
uni ângulo de incidência e, e1n um prisma triangular cujo ângulo 
do vértice superior é 90°. Parte da luz é refratada no ponte Q com 
un1 ângulo de refração de 90º. (a) Qual é o índice de refração do 
pristna en1 termos de (}? (b) Qual, numericamente, é o maior valor 
possível do índice de refração cio prisma? (c) A luz sairá do prisma 
no ponto Q se o ângulo de i11cidência nesse ponto for ligeiramente 
aun1entado? (d) A luz sairá do prisma no ponto Q -se o ângulo de 
incidência nesse ponto for ligeiramente reduzido? 
' Ar ' ' ' e ' 
Figura 33-60 Problema 63. 
0 
• 64 Suponha que o ângulo do vértice superior do prisma de vidro 
da Fig. 33-53 seja cJ> = 60,0° e que o índice de refração do vidro seja 
n = 1,60. (a) Qual é o menor ângulo de incidência(} para o qual um 
raio pode entrar na face esquerda do prisma e sair na face direita? (b) 
Qual deve ser o ângulo de incidência (} para que o raio saia do prisma 
com o mesmo ângulo(} com que entrou, como na Fig. 33-53? 
• "65 A Fig. 33-61 mostra uma fibra ótica simplificada: um núcleo 
de plástico (n1 = 1,58) envolvido por um revesthnento de plástico 
com um índice de refração menor (ni = 1,53). Um raio luminoso 
incide em u1na das extremidades da fibra com um ângulo (}. O raio 
deve sofrer reflexão interna total no ponto A, onde atinge a interface 
núcleo-revestimento. (Isso é necessário para que não haja perda de 
luz cada vez que o raio incidir na interface.) Qual é o maior valor 
de (} para o qual existe reflexão interna total no ponto A? 
------112 ~ 
----- A --------- n1 -----------~ 
Figura 33-61 Proble1na 65. • 
fll Na Fig. 33-62, u1n raio luminoso incide com um ângulo() em 
u1na face de un1 cubo de plástico transparente feito de u1n material 
cujo índice de refração é 1,56. As dimens6~s indicadas na figura 
são H = 2,00 cm e W = 3,00 cm. A luz atravessa o cubo e chega 
a un1a das faces, onde sofre reflexão (voltando para o interior do 
natalia
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natalia
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34 CAPÍTULO 33 
cubo) e possiveln1ente refração (escapando para o ar). Esse é o ponto 
da pri111eira reflexiio. A luz refletida atravessa novamente o cubo e 
chega a outra face, onde sofre u1na segunda rejlexiio. Se 01 = 40º, 
detennine em que face está (a) o ponto da pri1neira reflexão e (b) o 
ponto da segunda reflexão. Se existe refração (c) no ponto da pri-
meira reflexão e/ou (d) no ponto da segunda reflexão, detennine o 
ângulo de refração; se não existe, responda "não há refração".Se 
81 = 70º, detennine em que face está (e) o ponto da priineira reflexão 
e (t) o ponto da segunda reflexão. Se existe refração (g) no ponto da 
primeira reflexão e/ou (h) no ponto da segunda reflexão, deter1nine 
o ângulo de refração; se não existe, responda "não há refração". 
r---,,v--...J·I 
~-' p- 2 
!{ 
1 3 
4 
Figura 33-62 Problema 66. 
• •67 No diagrama de raios da Fig. 33-63, onde os ângulos não 
estão desenhados em escala, o raio incide com o ângulo crítico na 
interface dos materiais 2 e 3. O ângulo <f> é 60,0º e dois dos índices 
de refração são n, = 1,70 e~ = 1,60. Determine (a) o índice de 
refração n3 e (b) o valor do ângulo 8. ( c) Se o valor de 8 for aumen-
tado, a luz conseguirá penetrar no meio 3? 
• 
Figura 33-63 Problema 67. 
Seção 33- 1 o Polarização por Reflexão 
•68 (a) Para que ângulo de incidência a luz refletida na água é 
totalmente polarizada? (b) Esse ângulo depende do comprimento 
de onda da luz? 
•69 Um raio de luz que está se propagando na água (índicf de 
refração 1,33) incide em urna placa de vidro cujo índice de refr;1~ão 
é 1,53. Para que ângulo de incidência a luz refletida é totaln1ente 
polarizada? 
••70 Na Fig. 33-64, um raio luminoso que estava se propagando 
no ar incide em um material 2 com um índice de refração nl = 1,5. 
Abaixo do material 2 está o material 3, com um índice de refração 
n3• O raio incide na interface ar-material 2 com o ângulo de Brewster 
para essa interface e incide na interface material 2-material 3 com 
o ângulo de Brewster para essa interface. Qual é o valor de 113? 
~ 
1 Ar 
11-, 
• 
Figura 33-64 Problema 70. 
Problen1as Adicionais 
71 (a) Quanto tc1npo u1n sinal <lc r.ídio lcv.1 p,sr,1 perc11rrcr o 
150 k1n que scpara1n Luna antena tr,1n<.1ni, ,or.1 de urn,1 .intcnn re-
ceptora? (b) Ve1nos a Lua por causa da lu1 ,olar r~lletida. Quanto 
tempo essa luz leva para chegar a nossos olho,, desde o in~lüntc crTI 
que deixa o Sol? As distâncias entre a Terra e a Lua e entre a fer-
ra e o Sol são, respectivamente, 3,8 X 1 o~ km e 1,5 X I O ~ m. 1 e) 
Qual é o tempo que a luz leva para executar uma viagem de ida e 
volta enttc a Terra e uma espaçonave que se encontra cm órbita cm 
tomo de Saturno, a 1,3 X 109 km de distância? (d) Os astrónomos 
acreditam que a nebulosa do Caranguejo, que está a cerca de 6500 
anos-luz da Terra, é o que restou de uma supemova observada pelos 
chineses em 1054 d.C. Em que ano ocorreu, na verdade, a explosão 
da supemova? (Quando olhamos para estrelas à noite, estamos na 
realidade contemplando o passado.) 
7 2 Uma onda eletromagnética com uma frequência de 4,00 X 1014 
Hz está se propagando no vácuo no sentido positivo do eixo x. O 
campo elétrico da onda é paralelo ao eixo y e tem uma amplit~de 
Em. No instante t = O, o campo elétrico no ponto P, situado no eixo 
x, tem o valor de + E,,/4 e está diminuindo com o tempo. Qual é a 
distância, ao longo do eixo x, entre o ponto P e o primeiro ponto 
com E= O (a) no sentido negativo do eixo x e (b) no sentido posi-
tivo do eixo x? 
73 A componente elétrica de um feixe de luz polarizada é dada 
por 
Ey = (5,00 V/m) sen[(l,00 X 106 m- 1)z + wt]. 
(a) Escreva uma expressão para a componente magnética da onda, 
incluindo o valor de <.u. Determine (b) o comprimento de onda; (c) 
o período e (d) a intensidade da luz. (e) O campo magnético oscila 
paralelamente a que eixo? (f) A que região do espectro eletromag-
nético pertence essa onda? 
74 No sistema solar, uma partícula está sujeita à influência com-
binada da atração gravitacional do Sol e da força da radiação solar. 
Suponha que a partícula é uma esfera com uma massa específica de 
1,0 X 103 kg/m3 e que toda a luz incidente é absorvida. (a) Mostre 
que, se o raio da partícula for menor que um certo raio crítico R, a 
partícula será ejetada para fora do sistema solar. (b) Determine o 
valor do raio crítico. 
75 Na Fig. 33-65, um raio luminoso entra em uma placa de vidro 
no ponto A, com um ângulo de incidência 01 = 45,0°, e sofre re-
flexão interna total no ponto B. De acordo com essas informações, 
qual é o valor mínimo do índice de refração do vidro? 
incidente 
Vidro 
B 
Figura 33-65 Problema 75. 
7C Na Fig. 33-66, um feixe de luz não polarizada, com uma in-
tensidade de 25 W/m2, atravessa um sistema composto por quatro 
filtros polarizadores cujos ângulos de polarização são 01 = 40º, 
natalia
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natalia
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s 
) 
1 
) 
l 
) 
; 
) 
l 
1 
• • 
_ lOº 8 = 20º e 84 =-~ 30º. Qual é a intensidade da luz trans-e - . 3 2 • t a? rnitida pelo s1s em · 
8---r_- -3 --
' ' ' 
' ' 
)' 
' ' 
-
• Figura 33-66 Problema 76. 
l 
77 --::$"f. Arco-íris. A Fig. 33-67 mostra um raio luminoso en-
trando e saindo de uma gota d'água esférica depois de sofrer uma 
reflex?o interna (veja a Fig. 33-2la). A diferença entre a direção 
finai do raio e a direção inicial é o ângulo de desvio 8dcsv· (a) Mostre 
que (Jdc,v é dado por 
em que (Ji é o ângulo de incidência do raio na gota e 8, é o ângulo 
do raio refratado. (b) Use a lei de Snell para expres~ar 8, em termos 
de e, e do índice de refração n da água. Em seguida, use uma calcu-
ladora gráfica ou um computador para plotar 8dcsv em função de 8; 
para n = 1,331 (luz vermelha) e para n = 1,333 (luz azul). 
A curva da luz vermelha e a curva da luz azul passam por um 
mínimo para valores diferentes de edcs.,, o que significa que existe 
um ângulo de desvio mínimo diferente para cada cor. A luz de uma 
cor que sai da gota com o ângulo de desvio mínimo é especialmente 
intensa porque os raios se acumulam nas vizinhanças desse ângulo. 
Assim, a luz vermelha mais intensa sai da gota com um ângulo e a 
luz azul mais intensa sai da gota com outro ângulo. 
Determine o ângulo de desvio 1nínimo (c) para a luz vermelha e 
(d) para a luz azul. (e) Se essas cores estão nas extremidades de um 
arco-íris (Fig. 33-21a), qual é a largura angular do arco-íris? 
Raio 
solar 
Figura 33-67 Problema 77. 
' 
Gotad'água 
8 ' 1 ' 
78 ~ O a e , . . , . d . . r o-1r1s pr11nar10 escrito no Problema 77 é o tipo 
~ais comum, produzido pela luz refletida apenas u1na vez no inte-
d
nor d~ gotas de chuva. Um tipo mais raro é o arco-íris secundário 
escnto na Seç- 33 8 . 
1
. 
1 
. ao - , produzido pela luz refletida duas vezes no 
n enor das t (F" sof ·a go as 1g. 33-68a). (a) Mostre que o desvio angular 
n .) por um a· 1 · fé . r 10 um1noso ao atravessar u1na oota de chuva es-
nca é dado por º 
ONDAS ELETROMAGNETICAS 35 
Ou., .. = (180º)k + 20, 2(k + 1 )fl, 
em que k é o número de reflexões internas. Use o método do Pro-
blema 77 para determinar o ângulo de desvio mínimo (b) para a lu/ 
vermelha e (c) para a luz azul de um arco-íris secundário. (d) Deter-
mine a largura angular desse tipo de arco-íris (Fig. 33-2ld). 
O arco-íris terciário estaria associado a três reflexões inter-, 
nas (Fig. 33-68b). E provável que esse tipo de arco-íris realmente 
aconteça, mas, como foi comentado na Seção 33-8, não é possível 
observá-lo porque é muito fraco e ocorre na direção do Sol. Deter-
mine o ângulo de desvio mínimo (e) para a luz vermelha e (f) para 
a luz azul de um arco-íris terciário. (g) Determine a largura angular 
desse tipo de arco-íris. 
(a) (b) 
Figura 33-68 Problema 78. 
79 ( a) Prove que um raio de luz que incide em uma janela de vidro 
emerge do lado oposto com uma direção paralela à do raio original 
e um deslocamento lateral, como na Fig. 33-69. (b) Mostre que, 
para pequenos ângulos de incidência, o deslocamento lateral é dado 
por 
-
n - l 
X = t8---
' n 
em que t é a espessura do vidro, 9 é o ângulo de incidência do raio 
em radianos e n é o índice de refração do vidro. 
• 
Figura 33-69 Problema 79. 
80 Uma onda eletromagnética está se propagando no sentido nega-
tivo do eixo y. Em um certo local e em um certo instante, o campo 
elétrico aponta no sentido positivo do eixo z e tem um módulo de 
100 V/m. Determine (a) o módulo e (b) a direção do campo mag-
nético correspondente. 
81 A componente magnética de um?. onda luminosapolarizada é 
dada por 
B~ = (4,0 X 10-6 T) sen[(l,57 X 107 m- 1)y + wt]. 
Determine (a) a direção de polarização da luz; (b) a frequência da 
luz; (c) a intensidade ca luz. 
: Na Fig. 33-70, um feixe de luz não polarizada atravessa um con-
junto de três filtros polarizadores no qual as direções de polarização 
36 CAPÍTULO 33 
do pri111ciro e do terceiro filtro süo 01 - 30º (no sentido unti-horá-
rio) e 0
1 
= 30º (no sentido hor:írio). Que fração da lu, incidente é 
trans1nitida pelo <'Onjunto'? 
' 
Figura 33-70 Problen1a 82. 
-- -
' ' 
83 Um raio de luz branca que estava se propagando no quartzo fun-
dido incide em uma interface quartzo-ar com um ângulo 01• Supo-
nha que o índice de refração do quartzo é n = 1,456 na extremidade 
vermelha da faixa da luz visível e 11 = 1,470 na extremidade azul. 
Se 01 é (a) 42,00°, (b) 43,10° e (c) 44,00°, a luz refratada é branca, 
avermelhada, azulada ou não há luz refratada? 
84 Um feixe de luz não polarizada atravessa três filtros polariza-
dores. O ângulo entre as direções de polarização do primeiro e do 
terceiro filtro é 90º; a direção de polarização do filtro do meio faz 
um ângulo de 45,0º com as direções de polarização dos outros dois 
filtros. Que fração da luz incidente atravessa os três filtros? 
85 Em uma região do espaço onde as forças gravitacionais podem 
ser desprezadas, uma esfera é acelerada por um feixe luminoso uni-
forme de intensidade 6,0 mW/m2• A esfera, totalmente absorvente, 
tem um raio de 2,0 µ,m e uma massa específica uniforme de 5,0 X 
103 kg/m3• Determine o módulo da aceleração da esfera. 
86 Um feixe de luz não polarizada atravessa um conjunto de qua-
tro filtros polarizadores orientados de tal forma que o ângulo ent(e 
as direções de polarização de filtros vizinhos é 30°. Que fração da 
luz incidente é transmitida pelo conjunto? 
87 Durante um teste, um radar da OTAN, operando em 12 GHz 
com uma potência de 180 kW, tenta detectar um avião "invisível" 
a 90 km de distância. Suponha que as ondas de radar são emitidàs 
uniformemente ao longo de um hemisfério. (a) Qual é a inten-=-
sidade do feixe ao chegar à posição do avião? O 11vião reflete as 
ondas de radar como se tivesse uma seção reta de apenas 0,22 m2• 
(b) Qual é a potência da onda refletida pelo avião? Suponha que 
a onda refletida tem uma intensidade uniforme ao longo de um 
hemisfério. Determine, na posição do radar, (c) a intensidade da 
onda refletida; (d) o valor máximo do ca1npo elétrico associado 
à onda refletida; (e) o valor rms do ca1npo magnético associado 
à onda refletida. 
88 A componente magnética de uma onda eletro1nagnética no 
vácuo tem uma amplitude de 85,8 nT e um número de onda Je 
4,00 m-•. Detennine (a) a frequência, (b) o valor rms da componente 
elétrica e (c) a intensidade da onda. 
89 Determine (a) o limite superior e (b) o li1nite inferior do ângu-
lo de Brewster para u1na luz branca incidindo c1n quartzo fundido. 
Suponha que os co1npri1ncnto.., ele onú.i da 1111 C<.ICJ,1111 cn1rc 4fli.J 
e 700 11111. 
90 Na Fig. 33-71, dois raios lu,ninosos que se c<.t.iv,1111 <;C pro 
pagando no ar passam por cinco placas de plástico transparcnt 
e voltam para o ar. As placas tê1n interface~ paralelas e ec;pes ur 
desconhecida; os índices de retração são "1 = 1.7, "2 - 1,6, 11 
1,5, 11
4 
= 1,4 e 11
5 
= 1,6. O ângulo de incidência do raio b é Ob -
20º. E1n relação à normal à última jnterface, determine (a) o ângulr, 
de saída do raio a; (b) o ângulo de saída do raio b. (Suge.~tiio: pod 
ser 1nais rápido resolver o problema algebricamente.) Se em vez d 
ar houver um vidro com um índice de refração 1.5 à esquerda e 
direita das placas, determine o ângulo de saída (c) do raio a; (d) d, 
raio b. 
.. 
a 
Figura 33- 71 Problema 90. 
91 Um laser de hélio-neônio, que trabalha com um compriment J 
de onda de 632,8 nm, tem uma potência de 3,0 mW. O ângulo d · 
divergência do feixe é (J = O, 17 mrad (Fig. 33-72). (a) Qual é a ir -
tensidade do feixe a 40 m de distância do laser? (b) Qual é a potênci 1 
de uma fonte pontual que produz a mesma intensidade luminosa 1 
mesma distância? 
Figura 33-72 Problema 91. 
92 Por volta do anõ 150 d.C., Cláudio Ptolomeu mediu os seguin-
tes valores para o ângulo de incidência O; e o ângulo de refração e, 
de um raio luminoso ao passar do ar para a água: 
01 _Oi 01 02 
10º 8º 50º 35º 
20º 15°30' 60° 40°30' 
30º 22°30' 70° 45°30' 
40° 29° 80º 50° 
Use os resultados da tabela e a lei de Snell para determinar o índice 
de refração da água. O interesse desses dados está no fato de serem 
as medidas científicas mais antigas de que se tem notícia. 
93 Um feixe de luz não polarizada atravessa dois filtros polariza· 
dores. Qual deve ser o ângulo entre as direções de polarização dos 
filtros para que a intensidade da luz que atravessa os dois filtros seja 
um terço da intensidade da luz incidente? 
O QUE É FÍSICA? -
Um dos objetivos da física é descobrir as leis básicas que governam o 
co111portamento da luz, como a lei de refração. Um objetivo mais amplo é encontrar 
aplicações prúticas para essas leis; a aplicação mais importante é provavelmente a 
produção de imagens. As primeiras i1nagens fotográficas, produzidas em 1824, eram 
meras curiosidades, mas o mundo moderno não pode passar sem imagens. I1nensas 
indústrias se baseiam na produção de imagens nas telas dos aparelhos de televisão, 
computadores e cinemas. As imagens colhidas por satélites são usadas por estrate-
gistas militares em tempo de guerra e por estrategistas ambientais para lidar com 
pragas. Câmaras de televisão instaladas em locais estratégicos podem tornar as ruas 
mais seguras, mas também podem violar a intimidade das pessoas. A ciência ain-
da tem muito a aprender sobre o modo como as imagens são produzidas pelo olho 
humano e o córtex visual do cérebro, mas já é possível criar imagens mentais em 
algumas pessoas cegas estimulando diretamente o córtex visual. 
Nosso primeiro passo neste capítulo será definir e classificar as imagens. Em 
seguida, examinaremos os vários modos corno as imagens podem ser produzidas. 
34-2 Dois Tipos de Imagens 
Para que alguém possa ver, digamos, um pinguim, é preciso que os olhos interceptem 
alguns dos raios luminosos que partem do pinguim e os redirecionem para a retina, 
no fundo do olho. O sistema visual, que co1neça na retina e termina no córtex visual, 
localizado na parte posterior do cérebro, processa automaticamente as informações 
contidas nos raios luminosos. Esse sistema identifica arestas. orientações, texturas, 
formas e cores e oferece à consciência uma imagem (uma representação obtida a 
partir de raios luminosos) do pinguim; o observador percebe e reconhece o pinguim 
como estando no local de onde vên1 os raios luminosos, à distância apropriada. 
O sistema visual executa esse processamento mesmo que os raios luminosos 
não venham diretamente do pinguim, mas seja1n antes refletidos por um espelho ou 
refratados pelas lentes de um binóculo. Nesse caso, o pinguim é visto na direção 
onde se encontra o espelho ou a lente e a distância percebida pode ser muito dife-
rente da distância real. 
Assi1n, por exemplo, se os raios luminosos foram refletidos por um espelho pla-
no, o pinguim parece estar atrás do espelho, já que os raios que chegam ao olho vêm 
dessa direção. Naturalmente, não existe nenhu111 pingui1n atrás do espelho. Esse tipo 
de i1nagem, que é chamado de imagem virtual, existe apenas no cérebro, embora 
pareça existir no mundo real. 
Uma imagem real, por outro lado, é aquela que pode ser produzida e1n un1a 
superfície, como em u1na folha de papel ou em tllna tela de cine,na. Podemos ver 
u~a image,n real (caso contrário os c)ne1nas estarh1n1 vazios), n1as, nesse caso, a 
existência da imagen1 não depende da presença de espectadores. 
Neste capítulo vamos discutir vários modos pelos quais as in1agens virtuais P reais 
podem ser formadas por reflexão (co1n espelhos, por exemplo) e pur refração (com 
lentes, por exe1nplo). Va1nos tan1bén1 cxa1ninar n1ais profundan1enteas diferenças 
entre o d · · · 1 d · . s 01s tipos de nnagens. 1nas antes apresentare,nos um exe,np o e 1n1agen1 
virtual encontrada na natureza. 
CAPÍTULO 
38 CAPÍTULO 34 
~enos quente 
• 
Mais quente 
Estrada 
(b) 
Mais deva ar 
Mais depressa 
( r) 
Uma Miragem Corr1um 
Un1 exe1nplo con1um de iinagem virlual é a poça d' agua que par1.:cc.: cxislir nas es-
tradas asfaltadas nos dias de calor, se1npre algu1nas dezenas de n1ctros à frente cJ , 
nosso carro. A poça d'água é u1na tnirage111 (um tipo de ilusão) for1nada por raio 
luminosos que vêm do céu (Fig. 34-l a). Quando os raios se aproximam da e!.tra-
da, at1·avessam camadas de ar cada vez 1nais quentes, por causa <lo calor irradiado 
pelo asfalto. Com o aumento da temperatura do ar, a velocidade da luz aumenta e, 
portanto, o índice de refração diminui. Assi1n, o raio é refratado, tornando-se hon-
zo11tal (Fig. 34-1 b). 
Mesmo depois que o raio se torna horizontal, pouco acima da pista de rolamente 
continua a encurvar-se, já que a parte inferior da frente de onda está em uma regiã , 
onde o ar é mais quente e, portanto, se propaga 1nais depressa que a parte superio 
(Fig. 34-lc). Esse movimento não uniforme da frente de onda faz com que o raios 
enct~rve para cima (Fig. 34-ld). 
Quando um raio desse tipo atinge o olho de um observador, o sistema visual su 
põe automaticamente que o raio se propagou em linha reta, o que significaria que s 
originou em um ponto da estrada à frente. Como a luz vem do céu, a miragem ter 
um to1n azulado que lembra a água. Além disso, as camadas de ar aquecido normal 
,mente apresentam uma certa turbulência, o que torna a imagem trêmula, contribuin 
do ainda mais para a ilusão de que se trata de um reflexo.na água. Quando o carrc 
se aproxima da poça imaginária, os raios refratados, que são quase horizontais, nã, 
chegam mais ao olho do observador e a ilusão desaparece. ~ 
34-3 Espelhos Planos 
O espelho é uma superfície que reflete um raio luminoso em uma direção definid, 
em vez de absorvê-lo ou espalhá-lo em todas as direções. Uma superfície metálic, 
polida se comporta como um espelho; uma parede de concreto, não. Nesta seção 
vamos discutir as imagens produzidas por um espelho plano (uma superfície refie 
tora plana). 
A Fig. 34-2 mostra uma fonte luminosa pontual O, que vamos chamar de objeto 
a uma distância p de um espelho plano. A luz que incide no espelho está represen-
tada por alguns raios que partem de O. A reflexão da luz está representada por raios 
• 
Menosq~ 
Mais quente 
E~trada 
(d) 
Em um espelho plano, a luz 
parece vir de um objeto situado 
do outro lado do espelho . 
.... ............ -- ... -- ... -- ... I ----· ---------- . --...... ---, ---- ...... - - ,,*"" -.,. .,. .,. ,. 
Figura 34-1 (a) Um raio proveniente do céu é refratado pelo ar aquecido - --P---1---1 ---i.j 
por uma estrada (sem chegar à estrada). U1n observador que intercepta a 
luz tem a impressão de que existe uma poça d'água na estrada. (b) Desvio 
(exagerado) sofrido por u1n raio luminoso descendente que atravessa u1na 
interface imaginária de u1na camada de ar menos 4uente com urna camada de 
ar mais quente. (e) Mudança de orientação das frentes de onda e desvio do raio 
luminoso associado, que ocorre porque a parte inferior das frentes de onda se 
propaga mais depressa na ca1nada de ar rnais quente. (d) De:.viu sofrido por 
un1 raio luminoso ascendente que atravessa urna interface in1aginária de uma 
ca1nada de ar 1nais quente co1n urna camada de ar n1enos quente. 
Figura 34-2 Uma fonte luminosa pontual 
O, chamada de objeto, está a uma distância 
JJ de um espelho plano. Raios luminosos 
provenientes de O são refletidos pelo 
espelho. Se o olho do observador intercepta 
raios refletidos, ele tem a impressão de que 
existe uma fonte luminosa pontual 1 atrás do 
espelhe, a u1na distância i. A fonte fictícia I 
é u1na image1n virtual do objeto O. 
·tem do espelho. Quando prolongan1os os raios rcílctidos no scnl ido inverso que pai · _ . . 
1 .. ís do espelho). constatan1os que as cxtensoes dos raios se 1ntcrccpla1n c111 (para i, d' A • • , d Ih 
O
nto que está a u,na 1stanc1a I atras o espc o. 
un1 P . 
Quando olha1nos para u111 espelho con10 o da Ftg. 34-2, nossos olhos rcccbcrn parte 
d luz refletida e ten1os a in1pressão de que esta,nos olhando para u,n ponto lu,ninoso 
~uado no ponto de interseção dos prolonga1ncntos dos raios. Esse ponto é a imagem J 
~o objeto o. Ele é 1.:hamado de in1agenz pontual porque é un1 ponto e de in1c1ge111 virtual 
orque nenhum raio passa realmente pelo ponto onde está a Ílnage1n. (Como verc1nos 
~aquí a pouco, os raios JJassanz pelo ponto onde está u1na i1nage111 real.) 
A Fig. 34-3 mostra dois raios escolhidos entre os muitos da Fig. 34-2. U1n é 
perpendicular ao espelho e é refletido no ponto b; o outro chega ao espelho com um 
ângulo de incidência O e é refletido no ponto a. A figura ta1nbém 1nostra os prolon-
oamentos dos dois raios. Os triângulos aOba e alba têm um lado comum e três ân-
º gulos iguais e são, portanto, congruentes (têm a mesma forma e tamanho), de modo 
que os lados horizontais têm o mesmo comprimento. Assim, 
Ib = Ob, (34-1) 
em que lb e Ob são l:l.s distâncias entre o espelho e a imagem e entre o espelho e o 
objeto, respectivari1ente. De acordo com a Eq. 34-1, as distâncias entre o espelho e 
o objeto e o espelho e a i1nagem são iguais. Por convenção (ou seja, para que nossas 
equações leve1n aos resultados corretos), as distâncias dos objetos (p) são se1npre 
consideradas positivas e as distâncias das ima[iens (i) são consideradas positivas 
para imagens reais e negativas para imagens vi1tuais (como neste caso). Assim, a 
Eq. 34-1 pode ser escrita na forma lil = p ou 
. , = -p (cspcU10 plano). (34-2) 
Apenas os raios que estão razoavelmente próximos entre si podem entrar no olho 
depois de serem refletidos por um espelho. Para a posição do olho mostrada na Fig. 
34-4, apenas uma pequena parte do espelho nas vizinhanças do ponto a (uma parte 
menor que a pupila do olho) contribui para a imagem. Para verificar que isso é ver-
dade, feche um olho e observe a imagem no espelho de um objeto pequeno, como a 
ponta de um lápis. Em seguida, coloque a ponta do dedo na superfície do espelho e 
posicione-a de modo a ocultar a imagem. Apenas a parte do espelho que está coberta 
pelo dedo era responsável pela formação da imagem. ~~ 
Objetos Maiores 
Na Fig. 34-5, um objeto O, representado por uma seta, está a uma distância p de 
um espelho plano. Cada ponto do objeto se comporta como a fonte pontual O das 
Figs. 34-2 e 34-3. Olhando para a luz refletida pelo espelho, observa-se uma ima-
gem virtual I que é formada pelas imagens pontuais de todas as partes do objeto e 
parece estar a uma distância i atrás do espelho. A relação entre as distâncias i e p é 
dada pela Eq. 34-2. 
Podemos ta1nbém determinar a posição da imagem de um objeto 1naior repetin-
do o que fizemos para o objeto pontual da Fig. 34-2: traça1nos alguns dos raios que 
chega1n ao espelho provenientes da extremidade superior do objeto, desenhamos os 
raios refletidos correspondentes e R,rolongamos os raios reflelidos para trás do espe-
lho até que se interceptem para formar a itnagem da extremidade superior do objeto. 
Fazemos o mesmo para os raios que partem da extremidade inferior do objeto. Como 
mostra a Fig. 34-5, observa,nos que a imagem vittual l tem a mesma orientação e 
altura (medida paralelamente ao espelho) que o objeto O. 
O labirinto de Espelhos 
E_m um labirinto de espelhos (Fig. 34-6 ). as paredes são cobertas por espelhos do 
piso até o teto. Andando no interior de u1n desses labirintos, o que se vê na 1naioria 
l'ARTE 
IMAGENS 30 
-. 1 -,, 
Figura 34-3 Dois raios da Fig. 34-2. O 
raio Oa faz u,n ângulo arbitrário O com 
a normal à superfície do espelho; o raio 
Ob é perpendicular ao espelho. 
Espelho 
Figura 34-4 Um feixe estreito de 
raios provenientes de O penetra no 0U10 
depois de ser refletido pelo espelho. 
Apenas uma pequena região do espelho,nas vizinhanças do ponto a, está 
envolvida na reflexão A luz parece se 
originar em um ponto I atrás do espelho. 
Em um espelho plano, as distâncias 
entre o objeto e o espelho e entre a 
imagem e o espelho são iguais. 
Figura 34-5 Um objeto de dimensões 
1nacroscópicas O e sua imagem virtual 1 
e1n um espelho plano. 
1 
l 
r 
40 CP,PITU LO 34 
Figura 34-6 Um labirinto de espelhos. 
(Cortesia de Adria11 Fisher, lVlVl V. 
111a~e111aker. co111) 
(a) 
(b) 
o 
(e) 
Os reflexos criam 
a aparência de um 
corredor. 
(d) 
o 
o 
Figura 34-7 (a) Vista de cima de 
u1n labirinto de espelhos. Um raio 
proveniente do espelho B chega ao 
observador em O depois de ser refletido 
pelo espelho A. (b) O espelho B parece 
estar atr,ís do espelho A. (e) O raio que 
parte de O volta a O depois de sofrer 
quatro reflexões. (<[) O observador vê 
un1a iinagem virtual de si próprio na 
extre1nidade de um con·edor aparente. 
das direções é uma superposição confusa de reflexos. Em certas direções, porém 
parece haver um corredor comprido que conduz à saída. Ao tomar um ~esses cor 
redores, descobrimos, depois de esbarrar em vários espelhos, que ele nao passa de 
uma ilusão. 
A Fig. 34-7 a é uma vista de cima de um labirinto de espelhos no qual o piso f o 
dividido em triângulos equiláteros (ângulos de 60°) pintados de cores diferentes t 
as paredes foram cobertas por espelhos verticais. O observador está no ponto O, nc 
centro da entrada do labirinto. Olhando na maioria das direções, o que se vê é um .. 
superposição confusa de imagens. Entretanto, quando o observador olha na direçãl 
do raio mostrado na Fig. 34-7 a, algo curioso acontece. O raio que parte do centre 
do espelho B é refletido no centro do espelho A antes de chegar ao observador. (C 
raio obedece à lei da reflexão e,-portanto, o ângulo de incidência e o ângulo de re 
flexão são iguais a 30°.) 
Para fazer sentido do raio que está chegando, o cérebro do observador autorna 
ticamente Qrolonga o raio na direção oposta. Assim, o raio parece se originar em un 
ponto situado atrás do espelho A. Em outras palavras, o observador vê urna imagen 
virtual ae B atrás de A, situada a uma distância igual à distância entre A e B (Fig 
34-7b). Assim, quando o observador olha nessa direção, enxerga o ponto B aparente-
mente na extremidade de um corredor constituído por quatro cômodos triangulares. 
Essa descrição, porém, não está completa, já que o raio visto pelo observador 
não parte do ponto B, é apenas refletido nesse ponto. Para determinar a origem do 
raio, reconstituímos seu trajeto ao longo dos espelhos, aplicando a lei de reflexão 
(Fig. 34-7c) e chegamos à conclusão de que provém do próprio observador! O que 
o observador vê ao olhar na direção do corredor aparente é uma imagem virtual de 
si próprio, a uma distância de nove cômodos triangulares (Fig. 34-7d). (Existe um 
segundo corredor aparente começando no ponto O. Em que direção o observador 
precisa olhar para vê-lo?) - --
TESTE 1 
A figura mostra dois espelhos verticais paralelos, A e B, ,1 
separados por uma distância d. Um passarinho se encontra 
no ponto O, a u1na distância 0,2c/ do espelho A. Cada es- , • O ----'<-0 •i::.f d 
pelho produz u1na JJrilneirn in1age111 (menos profunda) do J ri 
passarinho. E1n seguida, cada l"Spelho produz u1na segunda ,....... _______ _j_ 
inza~e,n a partir da pri1neira image1n do espelho oposto. Ein n 
seguida, cad_a espelho produz nrna terceira i111agenz a partir 
?ª segiJnda 1mage~1 do espelho oposto, e assim por diante ... pode1n se for1nar centenas de 
nnag~ns_ de passarinhos! A que distância atrás do espelho ;\ estão a pri,neira, seounda e 
terceira unagens do espelho 4? 0 ,_.. 
3,,.4 Espell1os Esféricos 
l
,,1,,, .. 1r ,1.,ora das in1agcns produ2.idas por espelhos planos para as imag;ns \ ':UtlllS " •''" 'e- ., . . . 
1 /' l•,s Jll)I' l'SJ1L'lhos con1 supcrltc1es curvas. Em particular, vamos considerar Jll IH ti l ' ' 
. , ·llt'lS l'sfericos. que tên1 a lorn1a de tuna pequena se"ão da superfície de uma 
11s 1•iq •l ' ' ' l 
·.1., .. 1 N .1 \'l'rdadc, un1 cspcl ho plano pode ser considerado u1n espelho esférico com c..'slt,., ..... 
1
• 11·,, ,I · cur,•atura 1nl1n1to. \1111 e • 
c0111o fa:i!er u111 Espelho Esférico 
C'oinl.',·:1nios con1 o espelho plano da Fig. 34-8i:i, que está voltado para a esquerda 
L'lll dire,·ào a un1 objeto O e a u111 observador que não aparece na figura. Para fazer 
uin cspcll10 cô11cavo, encurva1nos JJara dentro a superfície do espelho, como na 
fig. J~-81>. Isso n1odifica várias características do espelho e da imagem que produz 
~ 
de u1n objeto: 
L. o cc1111~> ,!e curvatura C (o centro da esfera à qual pertence a superfície does-
pelho) estava a un1a distância infinita no caso do espelho plano; agora está mais 
pr6xin10, à fre11te do espell10. 
2. O ca,111>0 de visão (a extensão da cena vista pelo observador) diminui em relação 
ao espelho plano. 
3. A <listância da i111age111 aumenta em relação ao espelho plano. , 
4. O 1a111a11ho da i111age111 amnenta em relação ao espelho plano. E por isso que mui-
tos espelhos de 111aquiagem são côncavos. 
Para fazer um espelho convexo, encurvamos para fora a superfície do espelho, 
con10 na Fig. 34-8c. Isso causa as seguintes modificações no espelho e da imagem 
que produz de u1n objeto: 
1. O centro de curvatura agora está atrás do espelho. , 
2. O campo de visão au,nenta em relação ao espelho plano. E por isso que quase 
todos os espelhos usados nas lojas para observar o movimento dos fregueses são 
convexos. 
3. A distância da imagem diminui em relação ao espelho plano. 
4. O ta111anho da imagem diminui em relação ao espelho plano. 
Os Pontos Focais dos Espelhos Esféricos 
No caso de um espelho plano, a distância da imagem, i, é sempre igual em módulo 
à distância do objeto, p. Antes de determinar a relação entre as duas distâncias nos 
espelhos esféricos, vamos considerar a reflexão da luz emitida por um objeto O que 
se encontra nas proximidades do eixo central de um espelho esférico, a urna grande 
distância do espelho. O eixo central é uma reta que passa pelo centro de curvatura C 
e pelo centro e do espelho. Devido à grande distância entre o objeto e o espelho, as 
frentes de onda <la luz emitida pelo objeto podem ser consideradas planas ao se apro-
xin1arem do espelho. Isso equivale a dizer que os raios q11e representam as ondas lumi-
nosas provenientes do objeto são paralelos ao eixo central ao atingirem o espelho. 
. Quando esses raios paralelos são refletidos por um espelho côncavo como o da 
Fi~. 34-9a, os raios próximos do eixo central convergem para um ponto comum F; 
dois desses raios refletidos são mostrados na figura. Quando colocarmos uma tela 
(pequena) em F, uma imagem pontual do objeto O aparece na tela. (Isso acontece 
rara qualquer objeto 1nuito afastado.) O ponto F recebe o nome de ponto focal (ou 
fioco) do espelho; a distância entre F e o centro e do espelho é chamada de distância 
ocal do espelho e representada pela letra/ 
No caso de um espelho convexo, os raios paralelos, ao serem refletidos, diver-
:en, em vez de convergir (Fig. 34-9b), mas os protongamentos dos raios para trás 
~ e, espelho con,1erge1n para um ponto co1num. Esse ponto, F, é o ponto focal ( ou 
oco) do espelho convexo e sua distância do centro e do espelho é a distâ11cia focal 
o 
I 
PARTE. 4 ,; · 
IMAGENS 41 
' ,,. I 
I 
I 
1 
1-P+i-J 
(a) 
Quando o espelho é encuNado 
desta forma, a imagem se afasta. 
o 
e Eixo central 
,.,. 
", ,,. . 
,,. I 
.,, I 
; I 
/ I " / 
/ 
/ 
I 
-1. -- r_l-_P_:;-i--j 
(b) 
Quando o espelho é encuNado 
desta forma, a imagem se aproxima. 
o 
I Eixo central C 
1-P-i-.... _i_+l ___ r----+1• I 
(e) 
Figura 34-8 (a) Um objeto O 
forma uma imagem virtual I em um 
espelho plano. (b) Se o espelho plano 
é encurvado de modo a tomar-se 
côncavo, a imagem se afasta e aumenta 
de tamanho. (e) Se o espelho plano é 
encurvado de modo a tomar-se convexo, 
a imagem se aproxima e diminui de 
tamanho. 
42 CAPÍTIIL O :-1 11 
Figura34-9 (a) 1 n1 11111 l·,pclho 
côncavo. ,aio, lun11110,os pai ah:lo!-. 
incidenlcs convcrgc111 para un, loco ll'al 
situado no ponto F, do 1ncl>n10 lado do 
espelho que os raios. (/J) Ent uin espelho 
conve,o, raio::, lu1ninoso:- paralelo:-
incidentes parece,n divergir de u1n íoco 
virtual situado no pon~o F. do lado 
oposto do espelho 
l ',11,1 l,11 111/ li IJ 1111 11 11 •Hlljl 111111 1 11 0 
p,11,110111•, 111 1Jl"11 < •nlr11I 
,.,,,, 
1 1 1 I 
( I 
' 1 1 11 • • ,, 11 11 ,11 
~ 
.. 
1-
,. I • , • 
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• 
J. 
~ 
li 1 
I ( f • • 
i; 1 " 
e, ,11r ,1 
• I 
• 
, 
1 ") 
f Quand,, colocamos u,na tela cm /•, u1na i1nage1n do objeto (J 11ar1 c1pt1rec <' na teln 
o que mo<;tra que existe u,na diferença essencial entreº" pontos focais doe;; dois t1 
pos de espelhos esférico~ .. 
Para distinguir o ponto focal de u1n espelho côncavo, no qual os raios realmen 
te se cruzam, do ponto focal de um espcJho convexo, no qual o cru;;amento é apt: 
nas dos prolongamentos dos raios divergentes, dizemos que o primeiro é um pont, 
focal real e o segundo um ponlo fr,cal virtual. Alé,n disso, a distância focal de un 
espelho côncavo é considerada positiva e a distância focal de um espelho convexo 
considerada negativa. Em ambos os casos, a relação entre a di stância focalf e orai 
de curvatura r do espelho é dada por 
( c,pclho c~férico ). (34-3 ) 
em que, para manter a coerência com os sinais da distância focal , <> raio ré considerad1 
positivo no caso de um espelho côncavo e negativo no caso de um espelho convexo. 
34-5 Imagens Produzidas por Espelhos Esféricos 
Uma vez definido o ponto focal dos espelhos esféricos, podemos determinar a relação 
entre a distância da imagem, i, e a distância do objeto, p, para espelhos côncavos e 
convexos. Começamos por imaginar que o objeto O está situado entre o ponto focal 
F e a superfície de um espelho côncavo (Fig. 34-1 Oa). Nesse caso, é produzida uma 
imagem virtual; a irr1agem parece estar atrás do espelho e tem a mesma orientação 
que o objeto. 
O tipo de imagem varia 
de acordo com a posição 
do objeto em relação ao 
ponto focal. Imagem 
virtual I 
o 
F 
, , ,, ,, 
o 
I 
.. - ( i = too) 
1~ --(i=-co 
... --
o 
lmagc1n 
real I ~~ 
',-./1 -i-1 
1..-J-.. 
R.aios paralelos 
.,.._ ,, = ! -~ l 1-:.-1 . P--~-~~~-,-~~--
(a) ( b) (e) 
Figura 34-1 O (a) Um objeto O, 1nais próximo de um espelho côncavo que o ponto focal. 
e sua imagem virtual /. (b) O objeto no ponto focal F. (e) O objeto mais afastado que o 
ponto focal e sua imagem real /. 
Q 
do afasta1nos o objeto O do espelho, a i1nagc1n latnbém se. afasta 1té dei-
uan , . . d . r· 
d 
xistir quando o objeto e pos1c1ona o no ponto I oca) ( •1g. 34-1 Ob ). Quando 
xar e e F · n ·d - 1 1 . t está exatamente no ponto ', os raios re et1 os sao para e os e, portanto, 
obJe o ' . 0 _ "orma uma i1nagem, J,i que nem os raios refletidos pelo espelho 11cm os pro-
nao se ,, ' . 
mentos dos raios se 1ntercepta1n. Jon"ª • . ,. . e Se 
O 
objeto O está 1na1s longe do espelho concavo que o ponto focal, os raios 
A tidos convergem para formar uma imagem invertida do objeto (Fig. 34-lOc) à 
reue " · · d b. d lh · f nte do espelho. Se a1astamos mais a1n a o o ~eto o espe o, a imagem se apro-
~~a do ponto focal e diminui de tamanho. Quando colocamos uma tela na posição 
~a imagem, a imagem aparece na tela~ dizemos que o objeto foi focalizado na tela 
elo espelho. Como a imagem aparece em uma tela, trata-se de uma imagem real. A 
~istãncia i de uma imagem real é u1n nú1nero positivo, enquanto a distância de uma 
imagem virtual é um nún1ero n~gativo. Vemos também que 
~ As imagens reais se formam do mesmo lado '10 espelho en1 que se encontra o objeto, 
enquant1) as imagens ·;irtuais se formam do lado oposto. 
Co1no será demonstrado na Seção 34-9, quando os raios luminosos de um ob-
jeto fazem apenas pequenos ângulos com o eixo central de um espelho esférico, a 
distância do objeto, p, a distância da imagem, i, e a distância focal,!, estão relacio-
nadas através da seguinte equação: 
1 1 1 
-+-=-
p i f 
( espelho esférico). (34-4) 
Em ilustrações como a Fig. 34-1 O, supomos que a aproximação para pequenos ângu-
los é válida, mas desenhainos os raios com ângulos exagerados para maior clareza. 
Dentro dessa aproximação, a Eq. 34-4 se aplica a qualquer espelho côncavo, convexo 
ou plano. Os espelhos convexos e planos produzem apenas imagens virtuais, inde-
pendentemente da localização do objeto. Como se pode ver na Fig. 34-8c, a imagem 
se forma atrás do espelho e tem a mesma orientação que o objeto. 
O tamanho de um objeto ou imagem, medido perpendicularmente ao eixo cen-
tral do espelho, é chamado de altura do objeto ou imagem. Seja h a altura de um 
objeto eh' a altura da imagem correspondente. Nesse caso, a razão h' Ih é chamada 
de ampliação lateral do espelho e representada pela letra m. Por convenção, a atn-
pliação lateral é um número positivo quando a imagem tem a mesma orientação que 
o obJeto e um número negativo quando a imagem tem a orientação oposta. Por essa 
razão, a expressão de m é escrita na forma 
h' 
1ml =-
h 
( ampliação lateral). (34-5) 
Vamos demonstrar daqui a pouco que a ampliação lateral também é dada pela se-
guinte expressão: 
• 
l 
m=-- (ampliação lateral). (34-6) 
p 
No caso de um espelho plano, para o qual i = - p, temos m = + 1. A ampliação 
l~teral de 1 significa que a imagem e o objeto são do mesmo taina11ho; o sinal posi-
h~o significa que a imagem e o objeto têm a mesma orientação. No caso do espelho 
concavo da Fig. 34-1 Oc, ,n = - 1,5. 
As Eqs. 34-3 a 34-6 são válidas para todos os espelhos planos, esféricos côn-
ca~os e esféricos convexos. Além dessas equações, o leitor teve que aprender muita 
coisa a respeito de espelhos e é aconselhável que organize as informações comple-
tando a Tabela 34-1. Na colu11a Posição da Imagem, indique se a imagem está do 
IMAGENS 43 
44 CAPll tJI O 311 
' . . .. . . - . ' . 
- . . . . . 
, ' ..!.. _..,.......,,_,,~ 
lhbolo tfni; hnnoons Produzidos por Es11olhos - Sinal 
der 
'l'ipu dL' FspL'IIH) 
Plnnn 
(\'llll' l\Vll 
(\)IIVL;\0 
• 
Jmage1n 
de n, 
Posi~·i10 cl-1 Objeto 
Qualquer 
M.P.Q.F. 
Posiçã~o __ __:T~ip:~º:_ __ o_ri_en_t__;aç:....ã_o ____ de_f __ _ 
-----
M.L.Q.F. 
Qualque~r ________ ..:__ ________________________ _ 
mesmo lado do espelho que o objeto ou do lado oposto. Na coluna Tipo d~ Irr_iagem 
indique se a imagem é real ou virtual. Na coluna Orien!ação ~a Imagem, indique Sf 
a imagem tem a mesma orientação que o objeto ou a onentaçao oposta. !'l"ªs coluna 
Sinal de f, Sinal de r e Sinal de m, indique se o sinal da grandeza m~nc:onada é po 
sitivo ou negativo ou coloque± se o sinal for irrelevante. (As abrev1açoes M.P.Q.f 
e M.L.Q.F significam "mais perto do espelho que F' e "mais longe do espelho qur-
F', respectivamente.) 
Corno Localizar Imagens Produzidas por 
Espelhos Desenhando Raios _ 
As Figs. 34-1 la e 34-1 lb mostram um objeto O diante de um espe~o côncavo. ~o 
demos localizar graficamente a imagem de qualquer ponto do obJeto fora do e1xc 
central desenhando um diagrama de raios com dois dos quatro raios especiais qul 
passam pelo ponto: 
1. Um raio inicialmente paralelo ao eixo central, que passa pelo ponto focal F depoif 
de ser refletido pelo espelho (raio 1 da Fig. 34-1 la) . 
2. Um raio que passa pelo ponto focal F e se torna paralelo ao eixo central depois 
de ser refletido pelo espelho (raio 2 da Fig. 34-1 la). 
3. Um raio que passa pelo centro de curvatura C do espelho e volta a passar pelo 
centro de curvatura depois de ser refletido (raio 3 da Fig. 34-1 lb). 
4. Um raio que incide no centro e do espelho e é refletido com um ângulo de refle-
xão igual ao ângulo de incidência (raio-4 da Fig. 34-11 b). 
1 
A imagem do ponto fica na interseção dos dois raios especiais escolhidos. Para deter-
minar a imagem do objeto completo, basta encontrar a localização de dois ou mais dos 
pontos do objeto. As _mesmas definições dos raios especiais, com pequenas modifica-
ções, podem ser aplicadasaos espelhos convexos (veja as Figs. 34-1 lc e 34-1 ld). 
Demonstração da Equação 34-6 
Estamos agora em condições de demonstrar a Eq. 34-6 (m = -i/p), a equação usada 
para calcular a ampliação lateral de um objeto refletido em um espelho. Considere o 
raio 4 da Fig. 34-1 lb. O raio é refletido no ponto e do espelho e, portanto, o ângulo 
de incidência e o ângulo de reflexão são iguais. 
Como os triângulos retângulos abc e dec da figura são semelhantes (possuem os 
mesmos ângulos), podemos escrever: 
de 
ab 
cd 
ca • 
A razã~ do lado. esqu~rdo (a menos do sinal) é a ampliação lateral m do espelho. Já 
que às imagens 1nvert1das é associada uma ampliação lateral negativa, chamamos a 
razão de -m. Como cd = i e ca = p, temos: 
F 
(a) 
o 
e 
( e) 
Dois deGses raios sao suf iclentos 
para localizar a imagem. 
--------........ 
........ F .... e 
Aqui, também, bastam 
dois raios para localizar 
• . a imagem. 
figura 34-11 (a, b) Quatro raios que podem ser traçados para determinar a imagem 
de um objeto produzida por um espelho côncavo. Para um objeto na posição mostrada 
na figura, a imagem é real, invertida e menor que o objeto. (c,d) Quatro raios do mesmo 
tipo para o caso de um espelho convexo. No caso de um espelho convexo, a imagem é 
sempre virtual, tem a mesma orientação que o objeto e é menor que o objeto. [Em (e), o 
prolongamento do raio incidente 2 passa pelo ponto focal F; em (d), o prolongamento do 
raio 3 passa pelo centro de curvatura C.] 
• 
l 
m =--
p 
(ampliação), 
que é a equação que queríamos demonstrar. 
TESTE 2 
(34-7) 
Um morcego van1piro da América Central, cochilando sobre o eixo central de um espelho 
esférico, sofre uma ampliação lateral m = -4. (a) A imagem do morcego é real ou virtual? 
(b) A imagem é invertida ou tem a mesma orientação que o morcego? (e) A imagem está 
do mesmo lado do espelho que o morcego ou do lado oposto? 
Exe1nplo 
_ PARTE-.~ 
IMAGENS 45 
(b) 
; ,, 
,, 
,, ,, ,, 
• 
-- ,, ---- -- e 1 ------
F 
(á) 
--
Imagem produzida por um espelho esférico 
Uma tarântula de altura h está diante de um espelho esféri-
~o cuja distância focal tem valor absoluto l! I = 40 cm. A 
imagem da tarântula produzida pelo espelho tem a mesma 
orientação que a tarântula e uma altura h' = 0,20h. 
(a) A imagem é real ou virtual? Está do mesino lado do 
espelho que a tarântula ou do lado oposto? 
Racioclnio Como a imagem tem a mesma orientação que 
a tarântula (o objeto), é virtual e está localizada do outro 
lado do espelho. (A conclusão é óbvia para os leitores que 
completaram a Tabela 34-1.) 
(b) O espelho é côncavo ou convexo? Qual é o valor da 
distância focal!, incluindo o sinal? 
1 D EIA - C H A V E- - -
Não pode,nos saber de que tipo é o espelho pelo tipo de 
i1nagem, já que tanto os espelhos côncavos como os con-
vexos podem produzir imagens virtuais. Além disso, não 
• 
46 CAPÍTULO 34 
podeinos saber de que tipo é o c~pelho a partir do "inal ~ºª 
distância focal/, obtido co1n o uso da Eq. 34-3 ou da Eq. 
34-4, porque não dispo1nos de informações suficientes para 
aplicar uma dessas equações. Entretanto, pode1nos usar a 
informação a respeito do aumento. 
i O 111,, 
o que nao pareci' cll' grande ulil11Jadl JlHra dclcrn1inur J. 
Entretanto, podcn1os usar l'Slc rl'-.ultado rar:i clí rninar i na 
Eq. 34-4. Fazendo i = 0,2011 na l~q. l4-•i, 1c,nn<:: 
1 1 1 J 1 
Cálculos Sabe1nos que a relação entre a altura da imagem 
h' e a altura do objeto h é 0,20. Assim, de acordo com a 
Eq. 34-5, temos: 
-- = - + - :::: --- + --.r ; P -o.2op ,, 
e, portanto, 
1 
-(-5+1). 
JJ 
lz' lnil = - = 0,20. 
li 
J= -p/4. 
Como o objeto e a imagem têm a mesma orientação, sabe-
mos quem é positivo: m = +0,20. Substituindo este valor 
na Eq. 34-6 e explicitando;, obtemos: 
(:;01no p é uma grandeza positiva, .f deve ser negativa, o 
que significa que o espelho é convexo, com 
J = - 40 cm. (Resposta) 
• 
o e I 
n1 
r-t 
l • p . • 1 1 
(a) 
34-6 Refração em Interfaces Esféricas 
Vamos agora examinar as imagens formadas pela refração dos raios luminosos n 
interface de duas substâncias transparentes, como ar e vidro. Limitaremos a discus 
são a interfaces esféricas de raio de curvatura recentro de curvatura C. A luz ser, 
emitida por um objeto pontual O em um meio de índice de refração n 1 e incidirá err 
uma interface esférica com um meio de índice de refração nz. 
Nosso interesse é determinar se os raios luminosos, depois de refratados na inter-
face, formam uma imagem real ou virtual. A resposta depende dos valores relativo< 
de n1 e nz e da geometria da situação. 
A Fig. 34-12 mostra seis resultados possíveis. Em todas as partes da figura, o 
meio com índice de refração maior está sombreado e o objeto O se encontra no eixo 
central, no meio cujo índice de refração é n1, à esquerda da interface. É mostrado 
apenas um raio luminoso; como o objeto está no eixo central, a imagem também está 
no eixo e basta um raio para determinar sua posição. 
/ 
/ 
/ 
Real 
o e I I 
n1 
1--, -
I • ·P i • I 
(b) 
\ 
\ 
Virtual ...... -...... \ ... .. ...... 
o 
n1 
(e) 
Virtual 
O IC 
n1 _./ 
(e) 
\ Virtual \ 
COI 
n1 
(d) 
Virtual - --
.,. --
O I e 
Figura 34-12 Seis 1nodos pelos quais uma imagem pode ser formada por raios luminosos 
refrata~os e~ u'.11a superfíci: esférica de raio r e centro de curvatura C. A superfície separa 
um meio de 1nd1ce d~ refraya~ n1 de um meio de índice de refração n
2
• O objeto pontual 
O está sempre no meio de 1nd1ce de refração n1, à esquerda da superfície. A substância 
so1nbreada é a que possui maior índice de refração (pense nessa substância como vidro, por 
exemplo, e na outr~ substância como ar). Imagens reais são formadas nos casos (a) e (b); 
nas outras quatro situações são formadas imagens virtuais. 
(/) 
. 11 , lll.' ,1.,fr.1,·;tll lk' t..'aJa ,.til, ,1 nn11n.ll :1 int~rl,,ll.\ 1nn-;1r.1u.1 lon1u 11111,1 h11hi1 Nl1 Pl'' l , , . 
. 1 , ,,, I IX'IL, CL'lllll' llt..' t..'Ul"\,llllt,l (. Por c,1us.1 d,t rc ll ,1~.10, o r ,110 e ,1prc11' 1111.i tr tl'l.'J.ll ,1, 1 , • . -
• 1 , l•,ti, t..'t l~IIL'trandc,11.'111 u1n n1c10 con1 n1a1or 1nt.J1ce de n:I raçuo e se a lnc;t,1 11 tll 11111,I ,1.: 
l • 11 ',l' t..'stt, .:1 ~~llL'h,tndo cn1 un1 n1e10 con1 1nenor 1ndicc de rcfr.1ção. Se o raio J;t lll)lllh . . - - • . 
1, intcn:-cnta ú c1'\0 central, a ,n1agen1 ton11ada pela refraçao e real : se u raio ,ctrat,ll L ~- . . ... _ , . , ... ,,.,J'-1 nü'-1 inten:epta o e1:\o real. a u11age111 tonnada pela ref raça o e virtual 
n:I, ;,.;,1 Fig. J4-12, ín1agens reais l são fonnadas (a uma distância ida superfície 
,,t""tnca) nas !situações o e b. en1 que o raio lun11noso é refratado 11a d1rcção do eixo 
~~ntr,tl. e in1agens virtuais são forrnadas nas situações e e d, em que o raio luminoso 
é r~fratado J)Ora longe do eixo central. Observe nessas quatro figuras que a imagem 
fonttada é real quando o objeto se enco11tra relati"amente distante da interface e vir-
tual quando o objeto se encontra relativamente próximo. Nas outras Juas situações 
tFig. 34-12e e Fig. 34-1 ?.j). a imagem é sempre virtual, independentemente da dis-
tância do objeto. 
Observe unia diferença importante em relação às imagens formadas por reflexão 
em espelhos esféri...:os: 
As imagens formadas por refração são vi1-tuais quando estão do mesmo lado que o 
objeto ,; reais quando estão do lado oposto. 
Na Seção 34-9 vamos demonstrar que, para raios luminosos fazendo um ângulo 
pequeno com o eixo central, 
(34-8) 
Como no caso dos espelhos, a distância do objeto p é sempre positiva e a distância da 
imagem i é positiva para imagens reais e negativa para imagens virtuais. Entretanto, 
para manter todos os sinais corretos na Eq. 34-8, devemos usar a seguinte regra para 
o sinal de r, o raio de curvatura: 
O Quando o objeto está diante de uma superfície refratora convexa, o raio de curvatura r 
é positivo; quando o objeto está diante de uma superfície côncava, r é negativo. 
Observe que, no caso dos espelhos, é adotada a convenção oposta .. " TESTE 3 
Uma abelha se encontra diante da superfície esférica côncava de uma escultura de vidro. 
(a) Qual das situações da Fig. 34-12 se parece com essa situação? (b) A imagem produzida 
pela superfície é real ou virtual? Está do mesmo lado que a abelha ou do lado oposto? 
Exemplo 
_ PARl&- -
7 
Este inseto foi conservado no interior de 
um bloco de âmbar durante cerca de 25 
milhões de anos. Como 0bservamos o 
inseto através de uma supe~iície curva. 
a posição da imagem não coincide com 
a posição do inseto (veja a Fig. 34-l 2d). 
(Dr. Paul A. Zahl/Photo Researchers) 
Imagem produzida por uma superfície refratora 
Um mosquito do período Jurássico foi encontrado no in-
terior de um bloco de âmbar cujo índice de refração é 1,6. 
Uma das superfícies do bloco é esfericau1ente con,1exa, 
com um raio de curvatura de 3,00 1nm (Fig. 34-13). A ca-
beça do mosquito se encontra no eixo central dessa super-
f' . 
icie; quando observada ao longo do eixo central, parece 
estar a 5,0 mm de profundidade. A que profundidade se 
encontra realmente? 
. ,· IDEIAS-CHAVE 
A cabeça parece estar a 5,0 mm da superfície porque os 
raios luminosos que chegam ao olho do observador são 
refratados na interface entre o âmbar e o ar. De acordo 
com a Eq. 34-8, a distância da imagem i e a distância do 
objeto p podem ser bem diferentes. Para aplicar a equação 
ao problema, devemos observar o seguinte: 
48 CAPÍTULO 34 
/ O C 
1. Con1o O objeto (a cabeça) e sua imagcrn cslao do rne,;;-
mo lado da interface, a irnage1n l~ vir1ual e. pnrt:inlo, o 
sinal da imagen1 é negativo: i =- - 5,0 1nm. 
2. Como seinpre supomos que o obJeto está no rneio de 
índicederefração111,11 1 = 1,6en, - 1,0. 
3. Como O objeto se encontra diante de uma interface côn-
cava, o raio de curvatura ré negativo: r = -3.0 mm. 
Cálculos Fazendo essas substituições na Eq. 34-8, 
Figura 34- 13 U111 bloco de âmbar contendo urn mosquito 
do período Jurá:.sico, com a cabeça no ponto O. A superfície 
refratora esférica do lado direito, cujo centro de curvatura é 
o ponto C, produz uma imagem I para um observador que 
intercepta os raios lu1ninosos provenientes do objeto. 
nos dá 
1,6 
p 
n1 
p 
+ 
nz n2 - n1 + . ' I r 
1,0 1,0 - 1,6 
-5,0 mm -3,0 mm 
O homem da foto está focalizando a 
luz do sol em um jornal, com o auxílio 
de uma lente convergente feita de gelo, 
para acender uma fogueira. A lente foi 
fabricada derretendo ambos os laJos de 
uma placa de gelo até que assumisse 
a forma convexa do recipiente raso 
(de fundo abaulado) que aparece em 
primeiro plano na fotografia. 
( Cortesia de Matthew G. Wheeler) 
e, portanto, p = 4,0 mm. (Resposta) 
r 
34-7 lentes Delgadas 
Uma lente é um corpo transparente limitado por duas superfícies refratoras com un 
eixo central em comum. Quando a lente está imersa no ar, a luz é refratada ao pene 
trar na lente, atravessa a lente, é refratada uma segunda vez e volta a se propagar n1 
ar. As duas refrações podem mudar a direção dos raios luminosos. 
Uma lente que faz com que raios luminosos inicialmente paralelos ao eixo cen 
tral se aproximem do eixo é chamada de lente convergente; uma lente que faz corr 
que os raios se afastem do eixo central é chamada de lente divergente. Quando un 
objeto é colocado diante de uma lente convergente ou divergente, a difração dos raioc 
luminosos pela lente pode produzir uma imagem do objeto. 
Vamos considerar apenas o caso especial das lentes delgadas, ou seja, lentes na~ 
quais a distância do objeto p, a distância de imagem i e os raios de curvatura r
1 
e r
2 
das superfícies da lente são muito maiores que a espessura da lente. Vamos também 
considerar apenas raios que fazem ângulos pequenos com o eixo central ( os ângulos 
estão exagerados nas figuras). Na Seção 34-9 vamos demonstrar que, para esses raios, 
a relação entre a distância i da imagem e a distância p do objeto é dada por 
1 1 1 
- = - + - (lente delgada), (34-9) f p i 
que é igual à Eq. 34-4, a equação dos espelhos esféricos. Vamos demonstrar tam-
bém que, para urra lente delgada de índice de refração n imersa no ar, a distância 
focal fé dada pc · 
2. = (n - 1) (_!_- _!_) 
f r1 '2 (lente delgada no ar), (34-10) 
conhecida como equação do fabricante de lentes. Na Eq. 34-1 O, r
1 
é o raio de curva-
tura da superfície da lente mais próxima do objeto e r
2 
é o raio de curvatura da outra 
superfície. Os ~inais dos rai?~ podem ser determinados usando as regras da Seção 
34-6 para os raios de superf1c1es refratoras esf éticas. Se a lente está imersa em ou-
tro meio que não o ar (óleo, por exemplo) de índice de refração nmeio• o parâmetro n 
da Eq. 34-10 deve ser substituído pela razão n/nmeio· De acordo com as Eqs. 34-9 e 
34-1 O, podemos afirmar o seguinte: 
~ma le1~te pode produzir uma imagem de um objeto porque é capaz de desviar os 
raios luminosos, mas só é capaz de desviar os raios luminosos se tiver um índice de 
refração diferente do índice de refração do meio. 
t • ' • 
\ Fig. 34-14,1 nh1,11,1 u1n.1 lente delgaJa c~1n1 s~pe1 f1cies con, cxas. Q ,ando, aios 
1 ll1 
l.'i\.ll l'e1tt1,1l .1t1,1,es,.1n1 a lente. sao n:frataJo.., Juas vetes con10 n1ost1a 
1k' ll',' 
p,ir, . nr,liada Ja Fig. J4-14h. 1\ dupl,1 refração fa7 os raios convcrgirlnl pa1a u1n 
\ , ... 1.1 ,11 • • 
·1 ~- ··il f -.,1uaJo a u1na tllstanc1aj do centro da lente. Tr.ita-se, portanto. Jc unia 
r111l(ll ll•l• 'l't,n,eri2ente. 1\le111 dt!-.SO, Fz e u1n ponto focal real,Ja que os raios rcaln,cnte se 
k•ntl ~ dº A • f I d , f Q d • 1 1 . 11 ll'-'"Sl' pl1nto: a v,tanc1a oca correspon ente e. . uan o raios para e os ao (íU7,ll . . 
. . •111r1J atravessa1n a lente no sentido inverso. convergen, en1 outro ponto focal t:I\.Ü lt: L • A • 
,.11 r. ~ituado à 1nes1na d1stanc1a. do outro lado da lente. 
rt:, ·c~1110 os pontos focais de un1a lente convergente são reais, as distâncias focai s 
1 
·on·espondentes são consideradas positivas. con10 no caso dos espelhos côncavos. 
E~trecanto. co1no os sinais us~dos na ótica às vezes podem ser enganosos, é melhor 
·enficannos se tudo est:.í. certo na Eq. 34-1 O. Se.fé positivo, o lado direito da equação 
e positivo: o que dizer <lo lado esquerdo? Vamos examiná-lo termo a termo. Como o 
,ndice de refração n Jo vidro ou de qualquer outra substância é sempre maior que 1, 
0 
termo (11- 1) é iJOS1tivo. Como um objeto colocado do lado esquerdo da lente está 
diante de un1:.1 superfície convexa, o raio de curvatura r, é positivo, de acordo com 
a regra de sinal para superfícies refratoras. No lado direito da lente, o objeto está 
yoJtado para unia superfície côncava e, portanto, o raio de curvatura r2 é negativo. 
Assitn, o te11110 (llr, - l/r2) é positivo e todo o lad,) direito da Eq. 34-10 é positivo. 
Isso significa que os sinais estão corretos. 
A Fig. 34- l 4c mostra uma lente delgada co1n lados côncavos. Quando raios pa-
ralelos ao eixo central atravessam a lente, são refratados duas vezes, como mostra 
a vista a1npliada da Fig. 34-14d. A dupla refração faz os raios divergirern. Trata-se, 
poi1anto, de uma lente divergente. Os prolongamentos dos raios refratados conver-
gem para um ponto comum F2, situado a uma distância! do centro da lente. O ponto 
f
1 
é. portanto, um ponto focal virtual. (Se os olhos de u1n observador interceptarem 
alguns dos raios divergentes, ele verá um ponto claro en1 F2, como se fosse a fon-
te da luz.) Existe outro foco vi1t ual do outro lado da lente, em F,, situado à mesma 
distância do centro. Co1no os pontos focais de uma lente divergente são virtuais, a 
distância focal! é tomada co1no negativa. 
Para localizar o foco F1 , 
acompanhe raios paralelos 
ao eixo central. 
e, Fi 
-
e, 
,.._ ..r: - /-·1 , .. - - 4 ,., 
' -
( 1/) 
O prolongamento dos 
raios mostra a posição 
do foco virtual F2. 
'-, I • /o 1 ( " - . 
' ' 
Os raios mudam de 
direção apenas nas 
superfícies. 
' 
,, 
,, ,, 
( b) 
1'11 ,lnll).:,lllll'lll• > 
~ / 
'1 _ _. 
I ' -
( () ( .r, 
IMAOE 49 
• 
Figura 34-14 (a) Raios luminosos 
inicialmente paralelos ao eixocentral de 
uma lente convergente são desviados pela 
lente e converge,n para o ponto focal re J.l 
F2• A lente é mais fina que no desenho; 
na verdade, supomos que todo o desvio 
ocorra em um único plano, representado 
na figura por tnna reta vertical passando 
pelo centro da lente. (b) Ampliação da 
parte superior da lente representada en1 
(a): as linhas tracejadas são as nonnais à 
superfície nos pontos de entrad,, e saída 
de um raio lu1ninoso. Observe que os 
desvios que o raio sofre ao entrar e ao sair 
da lente são no 1nes1110 sentido e tenden1 
a uproxin1á-lo do eixo central. (e) Os 
1nesmos raios paralelos diverge1n depois 
tle passar por u,na lente lhvergente. o.., 
prolonga1nenlos dos raio!-. divergentes 
passan1 por um ponto focal \ iitual F2• 
(d) A1npliaçào da parte superior Ja lente 
rep1e!-ientaJa en1 (e). Observe que os 
desvios que o raio ... ofre ao entrar e ao sair 
da lente são no n1e~n10 sentido e tcnden1 a 
alastü-lo do eixo central. 
• 
1,,1age11s Prodtiziclas 11or Le11tes Delgadas 
h r nt 
d Uill 1 1 n \ .llllllS .1go1.1 l ll ll SttlCl ,lf . , .. 1111 11}'l li 111111 1,td ,1 (l{I I l ·11tc (..011 \, r 
1 
\ 11g. J t.l - l 'la 11111, 11 .111111 nhll'ICJ ( J 111.11, 11 l 1t!i l ,1dt• que (> pc)IJI•> í 
l '!lll\ l'rgl'lll l' { ), uni, 1,1i11, d C!-.L' lllt ,tdos 11,1 11g 111',I 11111 l í Ull qu 1 1 llt Í(JíRlJ l HT 
1n1agi:111 re.11 c 111, crti<l.1 do ohjl'tu no t:idn oposto 
Quando o objeto é coloca<lo entre o ponto l oc,il I I e•• lcn1c, como na 1 1 4 1 
a lente fo1111a u,na in1age111 \'irtual <lo 1nci.1no lado da lenll! e cnrn ,1 ,nc m 1 < n ·nl , 
que o objeto. ,\ ssin1, u,na lente convergente poJc lorn1a1 u111a 1mr1gen1 rc,11 ou u11 
ilnag.en1 \'irtual. dependendo da posição do ohjcto cm rcl,1çao do pon10 focal 
A l;ig. 34- lSc: ,nostra u,n objeto O diante de u,na lente dive rgente. Nc e ca 
qualquer que seJa a distância do objeto (quer o objeto c ... tcja mais pró;i.:;imo ou ma 
distante da lente que o ponto focal), a lente produz uma imagem , irtual do mcc.rr > 
lado da lente e com a mesma orientação que o objeto. 
Como no caso dos espelhos. tomamos a distância da imagem i como positi, 1 
quando a imagem é real ~ co1no negativa quando a imagem é virtual. Entretant< , 
as posições das imagens reais e virtuais são diferentes no caso das lentes e no ca'- > 
dos espelhos: 
A s imagens virtuais produzidas por lentes ficam do mesmo lado que o objeto e as 
imagens reais ficam do lado oposto. 
A runpliação lateral m produzida por lentes convergentes e divergentes é dada pelr , 
mesmas equações usadas no caso de espelhos, Eqs. 34-5 e 34-6. 
O_ leitor te~e que aprender muita coisa a respeito de lentes e é aconselhável qu · 
orgaruze essas informações completando a Tabela 34-2. que é válida para lentes dt! 
gadas simétricas (com os dois lados convexos ou os dois lados côncavos). Na colun 1 
Lentes convergentes 
podem produzir imagens 
reais ou virtuais. 
l 
l 
... .... ... .... ... ... 
' -
o 
.... 
Lentes divergentes podem 
produzir apenas imagens virtuais. 
o 
e .. -
~-rk1~ : TI 
(a) 1-p ---J~---- - ; - - ---1 
lap' 1-i 
(ó) f:" f I· T1--~i--
l · 1 (e) p---...1 
Figura 34-15 (a) Uma lente convergente forma uma i . . 
objeto O está mais distante da lente que o ponto focal Fm~;;; ~ real e invert_ada quando o 
mesma orientação que 
O 
objeto o quando O está . 
1 
· , • imagem I é virtual e tem a 
(e) Uma lente divergente forma uma imagem ·rtmalrus/ prox1mo da lente que o ponto focal. 
b. O v1 u com a mesma o . t -
o ~eto , qualquer que seja a distância do objeto. , r1en açao que o 
Tabela 34-2 
das Imagens Produzidas por Lentes 
Tipo de Lente 
Convergente 
Divergente 
Imagem 
--------=--
Posição do Objeto Posição T' ---- - · -------=- -- - - _ ipo Orientação 
M.P.Q.F. - - -- - - --
Sinal 
----- - - -- - --
de/ 
-- --- -------
------------------ - ----- - -
de / de 111 
M.L.Q.F. --------- --------
-----~---- - - - - -- --------------------
Qualquer ___ , __ 
----- ---- -------------------
•. 
• 
) 
•• 1• Inia~cin. indique ... e a 1n1agen1 estú Jo 111c'.\III<' lado da lente que o objeto 
r )' •, .1 o u .1 ~ . d I . . . . I . t .1 l 
1111
<1,,0 Na coluna Tipo e n1agen1. 1111.hque se a 1n1agen1 e rc•c1 ou ,.,, 
l ll Jt) l,lul . d' . . 
l 1' 'a coluna OriL'nt.içiio da ln1agen1. 1n 1quc se a .•n1ugem te'.n a 111C's111a or1cnta\aO 
1111 
1 
-,
1
) l)ll a orientação 011osta. Nas colunas Sinal de.f. Sinal der e Sinal de 111. 
li~ t1 o )Jt: l 
~I . , ,e 
O 
,inal da grande ia n1encionada é positivo 0u negativo ou coloque± se o 
1ndiqt1t b · · - · M P Q F M L Q F . . fi " . · d . · I for 111 eh~,.111tc. (As a 1ev1açoes . . . e . . . s1gn11ca1n mais peito a ,1n,1 . d 1 e" . ) 
U
.., F' e "111a1s longe a ente que e • respectivamente . 
h:nte q " .. 
con1o Localizar Imagens Produzidas por 
Lentes Desenhando Raios 
.\ Fig. J-l- J 6a n1oslra u1n 0bjeto O diante de uma lente convergente. O objeto está 
111,,is dist 1nre da lente q,:e o ponto focal F,. Podemos localizar graficamente a i1na-
<•etn Je qi..alquer ponrv do objeto fora do eixo central (como a ponta da seta da Fig. 
34_ ! 6a l desenhando um diagra1na de raios co1n dois dos três raios especiais que 
passan1 pelo ponto: 
1. Lln1 raio ~niciahnente paralelo ao eixo central, que depois de ser refratado passa 
pelo ponto focal F2 (raio 1 da Fig. 34-16a). 
2. Un1 raio que passa pelo ponto focal F1 e depois de ser refratado se torna paralelo 
ao eixo central (raio 2 da Fig. 34-16a). 
3. Un1 raio que pas1.a pelo centro da lente e sai da lente sem 1nudar de direção (raio 
3 da Fig. 34-16a) porque atravessa uma região da lente na qual os dois lados são 
quase paralelos. 
A i111agem do ponto fica na interseção dos dois raios especiais escolhidos. Para de-
tenninar a iinagem do objeto co1npleto, basta encontrar a localização de dois ou 
111ais dos seus pontos. 
A Fig. 34-16b 1nostra que os prolongamentos dos três raios especiais pode1n 
ser usados para localizar a image1n de um objeto situado mais perto de uma lente 
convergente que o ponto focal. Observe que, nesse caso, é preciso modificar a de-
finição do raio 2; agora se trata de um raio cujo prolongamento para trás do objeto 
passa pelo ponto focal F 1• 
No caso de uma lente divergente, as definições dos raios 1 e 2 são diferentes. 
Como n1ostra a Fig. 34-16c, o raio 1 agora é um raio paralelo ao eixo central cujo 
prolongamento para trás, depois de refratado, passa pelo ponto focal F2; o raio 2 é 
um raio cujo prolongamento passa pelo ponto focal F 1 e que, depois de refratado, se 
toma paralelo ao eixo central. 
Em cada figura, dois raios são 
suficientes para localizar a imagem 
o 
I 
UI) ( b) 
Figura 34-16 Tr··· r· ·o . . . 1 1 · . 
1 .. ' ,11 ~ e~pec1a1!\ penn1icn1 l)Ca 11ar tuna 11n.1oe1n orn1ada por 1 , e-unia ente delgada. quer ll obJeto (> cste1,1 ta) diante Je 
uma lente convc ', , . . . uma 
I 
rgt:ntc, n1a1., ala!\tado que o pl)llto to1.:.d, (hl J1 .1ntc de 
ente convergc11t , · f deu 
1 
t:, n1a1~ prox11no que t) puntu ucal tiu (cl J1.1n1c 
ma ente d1vcrgcn1c. (,) 
IMAGENS 51 
I 
:1 
1 
52 CAPÍTULO 34 
Figura 34-17 Vários 
sistemas de duas 
lentes (que não estão 
desenhados em escala) 
com um objeto à 
esquerda da lente 1. 
Na 1 ~ parte da solução, 
considerrunos apenas 
a lente 1 e ignoramos 
a lente 2 (tracejada no 
primeiro desenho). Na 
211 parte, consideramos 
apenas a lente 2 e 
ignora1nos a lente I 
(omitida no segundo 
desenho). Nosso 
objetivo é determinar a 
imagem final, ou seja, 
a imagern produzida 
pela lente 2. 
Sisten1as de Duas Lentes 
Van1os agora exan1inar o cnso de urn obJclo colocado diante <lc 1u,1 c11nJunto ú du 
lentes cujos eixos centrais coincidc,n. Algun., do., por:.sívc1s .,, tcr11u d d11u I nt 
estão representados na Fig. 34-17, ondeª" figura nao f<,ram dc<,cnhad,1 crr1 e ai 
Em todos os casos, o objeto está à esquerda dc1 lente 1 , ,nas pode e'>t:ir 1ur11 rr6x1rn, 
ou mais distante da lente que o ponto focal. Embora nem sempre «;cja fiÃcil acurnr 
nhar o percurso dosraios luminosos através de um sistema de dua!. lentes, podcrn 
determinar qual é a hnagem final dividindo o problema cm duas partes: 
1 n parte Ignorando a Jent~ 2, usamos a Eq. 34-9 para determinar a irnagcrn / 1 prn<l J. 
zida pela lente 1. Verificamos se a imagem está ~t esquerda ()U a direita a 
lente, se é real ou virtual e se tem a mesma orientação que,, objeto. f•a,,.;rn 
um esboço de /1• Um exemplo aparece na parte de cima da Fig. 34-1 ?a. 
... . '. . ' . .,._-._ .. · 1 
P1 -j 
Mais longe 
que o ponto 
focal 
Mais longe 
que o ponto 
focal 
(a) 
Mais longe 
que o ponto 
focal 
/1 
12 está à esquerda 
do onto 2. 
(e) 
/ 
,, 
1 
• 1 
• 1 
1 1 ,, 
12 está à direita 
, r I da lente 2. 
-112--i 
• 1 
1 1 ,, 
V 
,1 
1 1 
1 
Mais longe que 
o ponto focal 
I.i csL<'i à direita 
da lente 2. 
( 1') 
/11 -, 
Mais longe 
que o ponto 
focal 
(b) 
1 
1 
1 
1 ,, 11, 
12 está a direita 
da lente 2. 
~ ll 
~ 1P.ií: 
negativa. 
I 
Mais perto ,-----•--, }---
que o ponto 
focal. 
Mais longe que o ponto focal 
1 • 
(d) 
P1 -j 
) 
Mais longe 
que o ponto 
focal 
12 C$lá à esqut'rda 
do ponto 2. 
(/) 
~I 
I 
12 está a direi a 
da lente 2. 
rte Ignorando a lente l, tratamos / 1 como o objeto da lente 2 e usamos a Eq. 
2ª pa 34_9 para determinar a imagem /2 procluzida pela lente 2. A i1nagcrn /2 é a 
in1agein final do siste1na de duas lentes. Ve1ificamos se a irnage1n está à 
esquerda ou à direita da lente, se é real ou virtual e se tem a 1nesma orien-
tação que o objeto da lente 2. Finalmente, fazemos um esboço de /2• Um 
exemplo aparece na parte de baixo da Fig. 34-17 a. 
Podemos, portanto, analisar qualquer sistema de duas lentes tratando uma lente 
d cada vez. A única exceção acontece quando 11 está à direita da lente 2. Nesse caso, 
~ da podemos tratar 11 como objeto da lente 2, mas devemos considerar a distância do run , 
objeto p
2 
como um nún1ero negaLivo quando usamos_ a ~q. _34:9 p~a calcul~ a p~~ição 
de /,. Nesse caso, c0mo nos outros exemplos, se a distancia li da imagem e pos1t1va, a 
ima~em é real e está o lado direito da lente 2. Um exemplo aparece na Fig. 34-17b. 
ºo método de solução por partes também pode ser usado no caso de conjuntos 
de uês ou mais lentes ou de combinações de lentes e um espelho. 
A arnpliação lateral total M produzida por um conjunto de lentes ( ou de lentes 
e um espelho) é o produto das ampliações dadas pela Eq. 34-7. No caso de um sis-
tema de duas lentes, temos: 
(34-11) 
• 
Se M é positiva, a imagem final tem a mesma orientação que o objeto que está à 
esquerda da lente 1. Se M é negativa, a imagem fmal é uma imagem invertida do 
objeto. Nos casos em que a distância p2 é negativa, como 11a Fig. 34-1 ?b, em geral é 
mais fácil determinar a orientação da imagem final observando o sinal de M . 
' .PA R·r'Ji -A . . 
/lresTE 4 
• 
Uma lente simétrica delgada produz uma imagem de uma impressão digital com uma am-
pliação de +0,2 quando a impressão digital se encontra 1,0 cm 1nais afastada da lente que 
o ponto focal. Quais são o tipo e a orientação da imagem e qual é o tipo de lente? 
Exemplo . li 
Imagem produzida por uma lente simétrica delgada 
Um louva-a-deus está sobre o eixo central de uma lente 
simétrica delgada, a 20 cm da lente. A ampliação lateral 
da lente é ,n = -0,25 e o índice de refração do material 
de que é feita a lente é 1,65. 
(a) Determine o tipo de imagem produzido pela lente; o tipo 
de lente; se o objeto (louva-a-deus) está mais próximo ou 
mais distante da lente que o ponto focal; de que lado da lente 
é formada a imagem; se a imagem é invertida ou não. 
Raciocínio Podemos deduzir muita coisa a respeito da lente 
e da image1n a partir do valor de m. De acordo com a Eq. 
34-6 (m = -ilp), temos: 
i = -mp = 0,25p. 
Não é preciso fazer nenhum cálculo para responder às 
perguntas. Co1no p é sempre positivo, sabemos que i é 
positivo. Isso significa que a imagem é real e, portanto, a 
lente é convergente (as lentes convergentes são as únicas 
que produzem imagens reais). O objeto está mais distante 
da lente que o ponto focal ( caso contrário, a imagem seria 
virtual). Além disso, a imagem é invertida e fica do lado 
oposto da lente, como todas as imagens reais formadas por 
lentes convergentes. 
(b) Quais são os dois raios de curvatura da lente? 
1. Como a lente é simétrica, r 1 (a superfície mais próxima 
do objeto) e r2 devem ter o mesmo módulo, r. 
2. Como a lente é convergente, o objeto está diante de uma 
superfície convexa no lado mais próximo e, portanto, 
r 1 = +r. Por outro lado, está diante de uma superfície 
côncava no lado mais afastado e, portanto, r2 = -r. 
3. Os raios de curvatura estão relacior1ados à distância fo-
cal f através da equação do fabricante de lentes, Eq. 
34-1 O ( a única equação deste capítulo que envolve us 
raios de curvatura de uma lente). 
4. A distância focal!, a distância do objeto p e a distância 
da imagem i estão relacionadas pela Eq. 34-9. 
54 CAPÍTULO 34 
Cálculos Conhecemos p (é um dos dados do problema), 
mas não conhece1nos i Assim, o primeiro passo é deter-
minar o valor de i usando as conclusões a que chegamos 
no itein (a). O resultado é o seguinte: 
i = (0,25)(20 cm) = 5,0 cm. 
De acordo com a Eq. 34-9, temos: 
1 1 1 1 1 
-= - + - =--- + . 
f p i 20 cm 5,0 cm 
e, portanto,/ = 4,0 cm. 
. -
De acordo com a Eq. 34-1 O, temos: 
1 (1 1) ( 1 - = (n - 1) - - - = (n - l) 
f '1 '2 +r - ~r )· 
Substituindo f e ,z por valores numéricos, temos: 
1 2 
-- = (1,65 -1)-, 
4,0 cm r 
e, portanto, 
r = (0,65)(2)(4,0 cm)= 5,2 cm. (Resposta) 
:: Exemplo 1 
V' ' -...._ 
Imagem produzida por um sistema de duas lentes 
A Fig. 34-18a mostra uma semente de abóbora 0
1 
colo-
cada diante de duas lentes delgadas simétricas coaxiais 1 
e 2 de distâncias focais .f.. = + 24 cm e fi = + 9 cm, res-
pectivamente, separadas por uma distância L = 10 cm. A 
semente está a 6,0 cm da lente 1. Qual é a localização da 
imagem da semente? 
· · ' '· :·:,-, o-· E IA e H AV-E ·. ·;,··.":7~ :;;:·-!"i"x":'1"·'.~~"'"" 
• • i - ~ " 1 •• ~~"' .,,. !'li 
• :· ,_ ·'- •••• ·~·· º'> ··- .. '· ~--}-• • ....;·;.,t,.;;,., 
Poderíamos localizar a imagem produzida pelo conjun-
to de lentes usando o método dos raios. Entretanto, po-
demos, em vez disso, calcular a localização da imagem 
resolvendo o problema por partes, de lente em lente. Co-
meçamos pela lente mais próxima da semente. A imagem 
que procuramos é a final, ou seja, a imagem /2 produzida 
pela lente 2. 
Lente 1 Ignorando a lente 2, localizamos a imagem / 1 pro-
duzida pela lente 1 aplicando a Eq. 34-9 à lente 1: 
1 1 1 
-+-=-
P1 i1 Íi . 
O objeto O 1 para a lente 1 é a semente, que se encontra a 
6,0 cm da lente; assim, fazemos p 1 = +6,0 cm. Substi-
tuindo .f.. por seu valor, temos: 
1 1 1 ----+-=---
+6,0 cm i1 +24 cm ' 
o que nos dá i 1 = -8,0 cm. 
Isso significa que a imagem / 1 está a 8,0 cm da lente 
1 e é virtual. (Poderíamos ter antecipado que a imagem é 
virtual observando que a semente está mais próxima da len-
te 1 que o ponto focal.) Como !1 é virtual, está do mesmo 
lado da lente que o objeto 0 1 e tem a mesma orientação, 
como mostra a Fig. 34-18b. 
Lente 2 Na segunda parte da solução, consideramos a ima-
gem / 1 como um objeto 0 2 para a segunda lente e agora 
(a) 
(b) 
(e) 
. 
Lente 1 Lente 2 
t 
I• • I• L-i 
PI i 
1 
1 
1 
1 
Lente 1 1 
. 
'1 
Ji----
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
L-i 
1 
l 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
Primeiro, use a lente . , . 
mais prox1ma para 
localizar a imagem. 
Depois, use essa 
imagem como objeto 
para a segunda lente. 
' . l Lente 2 
. r 
l-h--~-
1· /J<i - +l 
Figura 34-18 (a) A semente 0 1 está a uma distância p 1 de um 
conjunto de duas lentes separadas por uma distância L. A seta 
é usada para indicar a orientação da semente. (b) A imagem 1
1 
produzida pela lente 1. (e) A imagem 11 se comporta como um 
objeto 0 2 para a lente 2, que produz a imagem final 1
2
• 
) 
. . >AJ~TJ: _li -
IMAGI NS 5& 
·i lt t1ll' 1. (\)1110 ll llhil'lll< >, l'stn 11111is 111'11st11d11 
. ,n11i.11nll~ ' . 
lf , , Jlll' ll lllllllll !'lll'.ll, pndl'lllllS Hllll'l'l{llll' lllll' li llllll 
J I h:nll - l • . 1 l . )thl/Hlll !)l.'la ll'llll' 2 l.' ll'lll, 111\ll' t lldn l' 1u\o CSIII 
l!l.'lll I pt l . 
1 X l ' lll ;, • 1 I) o l 'lll 
Assin,, 1 IXt·n1. 
• . 11 t·idl1 da ll·ntc qnl' <>,: os n:snltados ll\lllll'l'tl'OS do ,11ci-n l • • 
'•'[' co1n11at í \li' IS l.'()lll l.'SSI\S COIH: htl-Úl.'S. dcvc1n s~ . . • . 
De acordo co1n a r•,g. 34-18c, a d1st,n11:1a 11, entre o 
l .• 1 1 () e a lente 2 ó dada por o ljl l ' 
fl,::: / , -j li11 = lO l'lll t 8,0 l.'lll l8 Clll. 
() sinul positivo t·o11fi111 111 nossas con<.·lusoe1-. a i,nai•crn 11 
produ,.idn pcln Junte 2 e I cal, i11v<.·111da e cstfi <lo lado d1 
reito dn lente 2, co1110 n1ostra a l1ig. 14 18,·. Sendo assim, 
n i1n11gc111 podc,·in st·r vista cn1 u111u tela situada 18 cm à 
direita da lente 2. 
Ncs~e caso. de acordo con1 a Eq. 34·9, agoru aplicada à 
lente 2. te1nos: 
1 34-8 Instrumentos Óticos 
o olho hun1ano é um órgão extren1ru11entc versátil, n1as seu <lesen1penho pode ser 
melhorado sob vários aspectos con1 o auxílio de insttun1entos óticos como óculos, 
nücroscópios e telescópios. Algu11s desses instrnn1cntos são sensíveis a radiações 
eletro,nagnéticas fora da faixa da luz visível; as câmaras de infravcr1nelho dos saté-
lites e os n:icroscópios de raios X são apenas dois excn1plos. 
As equações dos espell1os e lentes apresentadas neste livro não se aplicam aos 
instru1nentos óticos 1nais sofisticados, a 11ão ser co1110 aproxilnações grosseiras. 
As lentes de n1uitos instrumentos, co1110 os 111icroscópios usados nos laboratórios, 
não podem ser consideradas "delgadas". Alén1 disso, a 1naioria dos instru,nentos 
óticos comerciais utiliza lentes compostas, isto é, feitas de vários componentes, 
cujas superfícies raramente são esféricas. Va1nos agora discutir três instrumentos 
óticos, supondo, para simplificar as análises, que as equações para lentes delga-
das são válidas. 
Lente de Aumento Simples 
O olho humano normal só é capaz de focalizar uma ilnagem de um objeto na retina 
(situada no fundo do olho) se a distância entre o objeto e o olho for 1naior que a de 
um ponto conhecido como ponto próximo, representado pelo símbolo PP. Quando 
o objeto está a uma distância 1nenor que a do ponto próximo, a imagem na retina 
se torna indistinta. A posição do ponto próxi1no normalmente varia com a idade. 
Todos nós conhecemos pessoas de meia idade que ainda não co1neçara1n a usar 
óculos mas precisam esticar o braço para conseguir ler o jornal; isso significa que 
o ponto próximo dessas pessoas começou a se afastar. Para descobrir onde está 
seu ponto próximo, tire os óculos ou lentes de contato, se for necessário, feche utn 
~os olhos e aproxime esta página do olho aberto até as letras ficarem indistintas. 
!~es~a seção, vamos supor que o ponto próximo está a 25 c1n do olho, uma distância 
hge1ramente maior que o valor típico pru·a u1n adulto jove111. 
A Fig. 34-19a mostra um objeto O colocado no ponto próximo PP de um olho 
~umano. O tamanho da image1n produzida na retina depende do ângulo O que o ob-
Jeto ocupa no campo de visão. Aproxin1ando o objeto do olho, como na Fig. 34-19b, 
~umentamos o ângulo e, po1ianto, a capacidade de distinguir detalhes do objeto. En-
re~anto'. \!Orno o objeto agora está a u1na distância n1enor que o ponto próximo, não 
est ;ais e,_nfoco, ou se~a, não pode ser visto c~m nitidez. . 
um possivel tomar a 1111age1n novamente nítida ohservundo o obJeto através de 
ma~ lente_ convergente, posicionada de tal fortna que o objeto esteja ligeiramente 
te 1,1gs prlóàxi~o do olho que o ponto focal F1 da lente, que está a u1na distfincia da len-ua · d1st~ · fi image . ancia ocalf (Fig. 34-19c). O que o observador enxerga nesse caso é a 
do olhm vutual do objeto produzida pela lente. Como essa imagc1n está 1nais distante 
0 que o ponto próximo, pode ser vista co1n boa nitidez . 
•• 
/ 
56 CAPÍTULO 34 
Figura 34-19 (a) Um objeto O de 
altura h, colocado no ponto próximo 
de u1n olho humano, ocupa um ângulo 
() no campo de visão. (b) O objeto foi 
aproximado para aumentar o ângulo, 
mas agora o observador não consegue 
focalizá-lo. (e) Uma lente convergente 
é colocada entre o objeto e o olho, com 
o objeto um pouco mais próximo do 
olho que o ponto focal F 1 da lente. A 
imagem produzida pela lente agora 
está suficientemente distante para ser 
focalizada pelo olho e ocupa no campo 
de visão um ângulo ()' maior que o 
ângulo () do item (a). 
. , ---·-··-
o 
h o 
25 cm 
(a) 
o 
h 
(b) 
I 
1 1-I 
(e) 
Além disso, o ângulo (J' ocupado pela imagem virtual é maior que o maior 
ângulo e que o objeto sozinho pode ocupar e ser visto com nitidez. A ampliação 
angular m6 ( que não deve ser confundida com a ampliação lateral m) do objeto é 
dada por 
n1 0 = 8' /8. 
Em palavras, a ampliação angular de uma lente de aumento simples é definida como 
a razão entre o ângulo ocupado pela imagem produzida pela lente e o ângulo ocupado 
pelo objeto quando o objeto se encontra no ponto próximo do observador. 
De acordo com a Fig. 34-19, supondo que o objeto O se encontra no ponto fo· 
cal da lente e supondo que os ângulos são suficientemente pequenos para que tan 
e = e e tan (J ' = ()'' temos: 
O= li/25 cm e O'= h/f 
Nesse caso, 
25 cm 
,nu= 
f 
(lente de aumento simples). (34-12) 
::-.:i, 'illlfl -·i'I 
• 
Microscópio Composto 
i(f 
34
.20 mostra uma Vl'J't:1o cll' 11111 1,,1t1 01il11pin e 1111111111110 qtu Ilha 1, 1111•.., dl 1 
A f e· 
0 
instruincnto é lor1narlo po1 1111111 ohj,•Jtll(( (a ll•flh 111ai i, p11,x1111H d1111l1Jl lo} 
gad~'·, ci·a ""ocal rh e uma or11/or (a le11ll' 1t1HÍ'I IHOXll1111 do r,1110) d, il1hlill1< ,u lo 
de d1stan 1' Jo ' 
1 Esse tipo de Íll'>lru1ncnto <- usado pur11 ohlll'J viu 111•q111 ·1111h ohJtloh q111 1~l'llao 
cal '°' · b' . :10 próximos da o ~ct,va. 
,nUI d /. J J • I' . 
0 objeto O a ser observa o ç co ocac o u,n po111 o 11111th, JHluult· q111· o 1111111c1ro 
to focal da objetiva, suficic11lc1ncnlc r,r6xin10 de f ,', pura qlll' H di1,tí111t· ia JJ c,1111· 
pon d · l A 1' ' · bjeto e a lente possa ser toma a co1no ar,rox1111ac 111111•111c/.,1,, , 11,IH11e1n cnlre a i, 
~e~tes é ajustada para que a imi.gc,n real, aun1cnl11d;i e i11vc1 lida /, produ1,i<lu pela 
objetiva. fique um pouco mais próxirna da ocular que o pri1ncíro po11lo focal , /•j'. 
Coino O cornprimento dn tubo, s, da l'<'ig. '34 20 é nor•nalrncntc 11111ito 1r1aior que};,,,, 
podemos tomar a distP.ncia i entre a objetiva e a itr1agc111 / conto i1~ual a .~. 
De acordo coir, a Eq. 34-6, e usando as aproxi,naçílcli já rncncionadas para JJ e 
i. a ampliação l.ateral da objetiva é dada por 
• 
l s 
(34-13) m = --= -
P /oh · 
Como a distância entre a imagem I e a ocular é ligeiramcnlc menor que a distância 
focal, a ocular se comporta como u,na lente de aurnento simples, produzindo uma 
imagem virtual, aumentada e invertida,/', que é a Ílnagem observada pelo operador 
do instrumento. A ampliação lateral total conseguida pelo instrumento é o produto 
da amplificação m produzida pela objetiva, dada pela Bq. 34- 13, pela a,nplíficação 
angular ,n8 produzida pela ocular, dada pela Bq. 34-12. Assim, Lemos: 
s 25 crn 
M = mm0 = ----/o1, foc 
Telescópio Refrator 
( m ícroHcópío ). (34-14) 
Existem vários tipos de telescópios. O tipo que va1nos de:icrever é o telescópio re-
frator simples, constituído por uma objetiva e uma ocular; ambas estão representa-
das na Fig. 34-21 como lentes simples, embora na prática, co1no também acontece 
com a maioria dos mjcroscópios, cada lente seja na verdade um sistema complexo, 
composto por várias superfícies refratoras. 
A disposição das lentes nos telescópios e microscópios é semelhante, mas os 
telescópios são construídos com o objetivo de observar grandes objetos, como galá-
xias, estrelas e planetas, a grandes distâncias, enquanto os microscópios são proje-
tados para fazer exatamente o oposto. Essa diferença exige queno telescópio da Fig. 
34-21 o segundo ponto focal da objetiva, F2, coincida com o primeiro ponto focal 
da ocular, F/, enquanto no microscópio da Fig. 34-20 esses pontos estão separados 
por uma distância igual a s, o comprimento <lo tubo. 
. . Na Fig. 34-21a, raios paralelos provenientes de um objeto distante chega1n à ob-
Je.ttva fazendo um ângulo ()
0
b com o eixo do telescópio e formando uma imagem real 
e invertida no ponto focal comu1n F2, F;'. Essa irnagcm I se comporta corno um objeto 
()cuia, 
{)hjl"IIVa 
--------------==- ... 
l i • e: •"" ••""" r,11,l lllllil lflfil).:C'III vitlll,il cli,1,11111' 
Raio, 
pai ,dt·lo~ 
.. . PARTE 4 
1114AGf NS 57 
Figura 34-20 Diagrama esquemático 
de um microscópio composto ( o 
desenho não está em escala). A objetiva 
produz uma imagem real I do objeto O 
ligeiramente mais próxima da ocular 
que o ponto focal F/. A imagem I se 
co1nporta como um objeto para a ocular, 
que produz uma imagem final virtual r. 
vista pelo observador. A objetiva tem 
u1na distâni;ia focalf,,b; a ocular te1n uma 
distânc.;ia focal/""; s é o comprimento do 
tubo. 
R,\\\'-' 
l'\\,llt•\\\., 
I'" ,, ,·nit•nt~·~ 
d\' ,,bit'\\'-' 
l 
l'.n~\ ,\ in\,~"-'ll\ l ~,' Raio, 
p.1ralrlos 
----
9,,h o,. 
--- h' - J -.,. -
,tí,t,\\\t<', 1 
\••' 1--- (~, •I• .foc--1 (b) 
,, '\ 
Fh.o 
• 
,. 1-
r , -
- 1 
Figura 34-22 lln11..'spclho csfc1ico 
l'lincaYn f1..,nna un,a 1n1agc1n p1,ntunl 
r1..'al I rctlct1nd1.., os r.u1..1s hnninosos 
pr\,, 1..'1licntcs de uni ob.1cto p1,11t uai t) 
Figura 34-21 (a) Diagramp esquemático de um telescópio refr~tor. ~ objetiva produz 
tuna itnane1n real 1 de wna fonte luminosa distante (o objeto), CUJO~ raios chega_m tá 
~ . . (N fi a das extremidades do obJeto es aproxi1uadan,ente paralelos q obJettva. a 1gura, um . F.' 
no eixo central.) A iinagem l. que se forma no local onde estão os pontos fo~a1s F2
1
e " . 
· 1 d ma imagem final v1rtu31 f a um, se con1porta con10 urn obJeto para a ocu ar, que pro uz u 
gn,ude distância do observador. A objetiva tem uma distância focalfoo; ª ocular tem uma 
distàncin foca.l/oc· (b) A ima_gem 1 tem uina al~ra h' e ocupa um ângulo fJob do ponto de 
vista da objetiva e um ângulo f)oc do ponto de vtsta da ocular. 
para a ocular, através da qual o operador observa uma imagem_ virtual e inv:rt!da, ' 
Os raios que define1n a imagem fazem um ângulo eoc com o eixo do telescop10. 
A an1pliação angular nz8 do telescópio é igual à razão fJ,jfJob· De acordo, co ,1 
a Fig. 34-2lb, para raios próximos do eixo central, podemos escrever fJob = h/fob e 
Oo: :=:::: li'!f oc, o que nos dá 
m 8 = - Íob (telescópio), (34-1:) 
Íoc 
onde o sinal negativo indica que a imagem I' é invertida. Em palavras, a amplific, -
ção angular de u1n telescópio é igual à razão entre o ângulo ocupado pela image1 1 
que o telescópio produz e o ângulo ocupado pelo objeto distante ao ser observado 
sen1 o aU,\'.ílio do telescópio. 
A ampliação lateral é apenas um dos parâmetros de projeto dos telescópios usa-
dos en1 astronon1ia. Um bom telescópio precisa ter um alto poder de captação de luz., 
que é o parâmetro que determina o brilho da imagem. Esse parâmetro é especialmente 
in1portante quando o telescópio se destina a examinar objetos de baixa luminosidade, 
con10 galáxias distantes. O poder de captação de luz é diretamente proporcional ao di-
fu11etro da objetiva. Outro parâmetro importante é a resolução, que mede a capacidade 
do telescópio de distinguir objetos muito próximos. O campo de vista também é um 
parfu11etro importante. U1n telescópio construído com o objetivo de estudar galáxias 
(que ocupam um pequeno campo de vista) é muito diferente de um telescópio cuja fi-
nalidade é rastrear meteoritos (que varrem um grande campo de vista). 
Os projetistas de telescópios também devem levar em conta as diferenças entre 
as lentes reais e as lentes delgadas ideais que estudamos neste capítulo. Uma lente 
real con1 superfícies esféricas não forma imagens nítidas, um fenômeno conhecido 
con10 aberração esférica. Além disso, como o índice de refração das lentes varia 
con1 o con1primento de onda, uma lente real não focaliza todas as cores no mesmo 
ponto, un1 fenôn1eno que recebe o nome de aberração cromática. 
Esta breve discussão cobriu apenas uma pequena parte dos parâmetros de projeto 
dos telescópios usados em astronomia; existem muitos outros parâmetros envolvidos . 
1-\ n1esn1a observação se aplica a outros instrumentos óticos sofisticados. 
34-9 Três Demonstrações 
Fórn1ula dos Espelhos Esféricos (Equação 34-4) 
A Fig. 34-22 n1ostra um objt!to pontual O situado no eixo central de um espelho es-
feri1..'t) côncavo. a un1a distância 1naior do espelho que o centro de curvatura C. Um 
. eniente de O que faz um ângulo a com o eixo central intercepta o eixo no 
raio pr;~epois de ser refletido pelo espelho no ponto a. Um raio que deixa o ponto 
pontod. eção do eixo é refletido na mesma direção e também passa pela ponto / . As-
~ na 
1
: a imagem de O; trata-se de uma imagem real, já que a luz realmente passa 
snnl ' onto. Vamos determinar a distância i da imagem. 
pe o p d • • A 1 d 'A 1 De acordo com um teorema a tngonometna, o angu o externo e um tnangu o 
é . ual à soma dos dois ângulos internos opostos. Aplicando o teorema aos triângu-1;; OaC e Oal da Fig. 34-22, ,temos: 
/3 = a + e e y = a + 2e. 
Eliminando e nas duas equações, obtemos: 
a+ y = 2/3. (34-16) 
os ângulos a, f3 e y podem ser escritos, em radianos, como as seguintes razões: 
e 
- -ac ac 
a= =-
cO p' 
-ac 
/3 = ac 
cC 
ac 
y= - -cl . ' l 
-ac 
' r 
(34-17) 
onde o símbolo acima das letras significa "arco". Apenas a equação para /3 é exata, 
já que o centro de curvatura de ác é o ponto C. Entretanto, as equações para a e y são 
aproximadamente corretas se os â'gulos forem pequenos ( ou seja, se os raios não se 
afastarem muito do eixo central). 1Substituindo a Eq. 34-17 na Eq. 34-16, usando a 
Eq. 34-3 para substituir r por 2f e ~ancelando ác, obtemos a Eq. 34-4, a relação que 
queríamos demonstrar. 
Fórmula das Superfícies Refratoras (Equação 34-8) 
O raio proveniente do objeto pontual O da Fig. 34-23 que incide no ponto a de uma 
superfície refratara esférica é refratado de acordo com a Eq. 33-40, 
n1 sen 91 = n2 sen 92• 
Se a é pequeno, 01 e 02 também são pequenos e os senos dos ângulos podem ser 
substituídos pelos próprios ângulos. Nesse caso, a equação se toma 
(34-18) 
Usamos novamente o fato de que o ângulo externo de um triângulo é igual à soma 
dos dois ângulos internos opostos. Aplicando esse teorema aos triângulos COa e 
ICa, obtemos: 
e /3 = fh. + 'Y· 
Usando as Eqs. 34-19 para eliminar 81 e 82 da Eq. 34-18, obtemos: 
n1a + n2y = (n2 - ni)/3. 
Medidos em radianos, os ângulos a, f3 e 'Y são dados por 
- -
a = ac . /3 = ac ·, ac ' 'Y = .. p r t 
(34-19) 
(34-20) 
(34-21) 
~penas ª segunda dessas equações é exata, já que o centro de curvatura do arco ac â: P~nto C. Entretanto, as equações para a e 'Y são aproximadamente corretas se os 
tra~; ~:ior~~ pequenos (ou seja, se os raios não se afastarem muito do eixo cen-
quer' stituindo as Eqs. 34-21 na Eq. 34-20, obtemos a Eq. 34-8, a relação que 
iamos demonstrar. 
. PARTE -4 
IMAGENS 59 
1 
o 
r- r '"I 
1- p -..j- i - --- -i 
Figura 34-23 Imagem pontual real 
I de u1n objeto pontual O formada por 
refração em uma interface esférica 
convexa. 
60 CAPÍTULO 34 
I 
'a,, 
',a' I 
I 
' I ' I ' 1 Eixo ' O' r' C' C" e" 
Vidro 
n 
Ar 
l~J,'t r'-J j.- r,, :1· L 
(a) 
Fórmulas das Lentes Delgadas (Equações 34-9 e 34-1 O) 
O 1nétodo que v:unos usar para clernonstrar as [~~JS. 1,l 9 e ~4- l <1 ~cr:i c.: 011 51clcrar cacJ 
superfície da lente co1no um:.i superfície rclratora 111d1·pcndcntc e usa, ít 1r11agc1n fo, 
111ada peia priineira superfície como objeto para a •,cgunda. 
Con1eçamos com a "lente" de vidro espessa de compri1nento I da f ig. 34-24c. 
cujas superfícies refrataras esquerda e direita possuem raios r' e,", rcspcc1iv,1mcn1 
Um objeto pontual O' é colocado no eixocentral, nas proximidades da superfície , 1 
esquerda, como mostra a figura. Um raio proveniente de O' ao longo do eixo ccntr 1 
não sofre nenhun1 desvio ao entrar ou sair da lente. 
Um segundo raio proveniente de O', que faz um ângulo a com o eixo central. ir -
tercepta a superfície esquerda da lente no ponto a', é refratado e intercepta a superfíc • 
direita da lente no ponto a". O raio é novamente refratado e intercepta o eixo centr 1 
no ponto / ", que, por estar na interseção de dois raios provenientes de O', pode s r 
considerado a imagem de O', produzida após a refração nas duas superfícies. 
A Fig. 34-24b mostra que a primeir:i superfície (a superfície da esquerda) tan -
bém forma uma imagem virtual de O' no ponto / '. Para determinar a localização e! · 
!' , usamos a Eq. 34-8, 
,i1 n2 n2 - n1 - + = --=;...__;.. . . 
p L r 
Fazendo n1 = 1, já que o raio incidente se propaga no ar, e n2 = n, onde n é o índíc ' 
de refração do vidro de que é feita a lente, e lembrando que a distância da image1 1 
é negativa (ou seja, que i = -i' na Fig. 34-24b), temos: 
1 n n - 1 
---=--- (34-22 
p' i' r' 
Na Eq. 34-22, i' é um número positi,,o, já que o sinal negativo que caracteriza um , 
imagem virtual já foi introduzido explicitamente. 
A Fig. 34-24c mostra novamente a segunda superfície. Se um observador loc; . 
lizado no ponto a" não conhecesse a existência da primeira superfícíe, teria a irr -
pre~!ão de que a luz que chega a a" se origina no ponto / ' da Fig. 34-24b e que 1 
reg1ao à esq~erda.da superfí~ie é uma continuação do bloco de vidro, como na Fig. 
34-24c. Assim, a imagem (virtual)/' formada pela primeira superfície se comporta 
JII 
i"--j 
/ ' ---------
1 
1 
------ ' ' ' ' 0' ,;' C' 
1 n1 = 1,0 
: AJ· -...V.;;,;id:.;.:ro:._:.:_n.z = n 
.. ,. ___ i'-----~-P_'~..i- r'-1 ---
' : (0 
I 
'a li 
Figura 34-24 (a) Dois raios prc.,venientes de u1n 
objeto pontual O' forma,n uma i,nagem real f' 
depois de serem refratados pelas duas superfícies 
esféricas de uma lente. O objeto está diante de 
u1na superfície convexa do lado esquerdo da 
1 
1 
1 
1 
r 
1 
~ 
e' 
I 
I 
I 
I 
I 
C" c11 I" 
lente e diante de un1a superfície côncava do lado 
direito. O raio que passa pelos pontos a' e a" está. 
na realidade, 1nais próxi1no do eixo central do que 
s~gere o desenho. (b) O lado esquerdo e (e) o lado 
d1re1lo da lente da parte (a). vistos separadamente. 
1~- r11 - ~,- - ili .-j _________ ,,11 
-- i' ----·--,-'-------------...1 ,-------L-----~ 
( r) 
l 
PARTE 4 . 
IMAGENS 61 
J11 obieto real ()" para a segunda ~upcrftl'tl'. \ disttinc ,a entre esse obieto e a corno u J • J 
da superfície e dada por 
5egun • 
f) ' = i' + J • (34-23) 
para aplicar a Eq. 34-8 à segu11da super1'1cie, prccisan1os fazer 11 1 = 11 e 112 = 1, 
j.í que O percurso do r~o tficucio) l)Ue vai de O" a a" é feito total1nente no vidro. 
combinando a Eq. 34-S co111 a Eq. 34-23. obte111os: 
11 l l - 11 
i' + L + 7 == r" (34-24) 
vamos agora supor que a espess11ra L. da "lente" da Fig. 34-24a seja tão pequena 
que podemos desprezá-la na presença das outras grmt<iezas li11em·es tcomo p', i' , p" , 
:".,.,e,-"). No re$cante da demonstração. vru11os adc1tar esta aproxi11zação da /ente 
delgada. Fazendo L = O na Eq. 34-24 e colocando o sinal negativo em evidência 110 
lado direito Ja equação, temos: 
11 1 11-l 
-+- ==----., .,, ,, . 
1 1 r (34-25) 
Somando as Eqs. 34-22 e 34-25, obten1os: 
1 1 ( 1 - + - = (11 - 1) - -
p' i" r' ~, ). 
Finalmente. chamando a distância entre o objeto e a primeira superfície simplesmente 
de p e a distância entre a imagem e a segunda superfície simplesn1ente de i, temos: 
_!_ + ~ = (11 - 1) (_!___, - 1~' ) 
p 1 ,. • (34-26) 
Com pequenas mudanças de notação, a Eq. 34-26 pode ser transformada nas Eqs. 
34-9 e 34-10, as relações que queríamos demonstrar. 
REVIS:ÃO E RESUMO 1 1 
Imagens Reais e Virtuais Uma i111age111 é uma representação 
de um objeto através da luz. Uma imagem formada por raios lumi-
nosos que convergem para uma superfície é chamada de i111age111 
real: uma imagem fonnada pelo prolongamento para trás de raios 
luminosos divergentes é chamada de i11zagenz virtual. 
Formação de uma Imagem Espelhos esféricos. supe,fícies 
esféricas refrataras e lentes delgadas podem formar i1nagens de 
unia fonte luminosa, o objeto, redirecionando os raios provenien-
tes da fonte. A imagem é for1nada no ponto onde os raios redi-
recionados se interceptam (formando uma imagem real) ou no 
ponto ondi:: os prolongamentos para trás dos raios redireciona-
elos se intercepta1n (for1nando uma imagem virtual). Para raios 
próximos do eixo central de un1 espelho esférico, superfície es-
férica retratora ou lente delgada. te1nos as seguintes relações en-
tre a distância cio objetO. JJ (que é sernpre positiva) e a distància 
da in1age111. i (que é positiva para imagens reais e negativa para 
imagens virtuais): 
1· Espelho Esférico: 
1 l 1 2 -+- = - = -
p i f r' 
em que fé a distância focal do espelho e ré o raio de cur, atura do 
espelho. O espelho plano é um caso especial no qual r - 00 e. por-
' ' -
tanto,p = - i. As imagens reais se formam do lado do espelho em 
que se encontra a imagem e as imagens virtuais do lado oposto. 
2. Superfície Refratora Esférica: 
~ + 112 = 112 - n1 
• p I r 
(superfície única), (34-8) 
em que n, é o índice de refração do meio onde se encontra o objeto, 
112 é o índice de refração do meio situado do outro lado da superfície 
refratora e ré o rruo de curvatura da superfície refratora. Quando o ob-
jeto se encontra diante de uma superfície convexa, o raio ré positivo; 
quando se encontra diante de uma superfície côncava, ré negativo. As 
imagens virtuais se formam do lado da superfície refratora em que se 
encontra o objeto e as imagens reais se fonna1n do lado oposto. 
3. Lente Delgada: 
...!_ + ~ = J_ = (11 - 1) (l.. -l..). 
JJ / .f 1'1 1'2 
(34-9,34-10) 
en1 que J é a distância focal da lente, 11 é o índice de refração do mate-
rial da lente e r1 e r1 são os raios de curvatura dos dois lados da lente, 
que são superfícies esfé1icas. O raio de curvatura de uma superfície 
conve:-..a voltada para o objeto é considerado positivo; o raio de cur-
, ,1tura de un1a superfície côncava voltada para o objeto é considerado 
negaltvo. As i1nagcns virtuais se formam do lado da lente em que se 
~ 
encontra a in1age1n e a!; i1nagens reais do lado oposto. 
1 
6 2 CAPÍTULO 34 
Ampliação Lateral A a,npliaçcio laf<'ral, 111, produzida por u1n 
espelho esférico ou tuna lente <leigada é dada por 
. 
I 
Il i =- - . 
p 
O valor absoluto de 111 é dado por 
", lnil = -" . 
(34-6) 
(34-5) 
em que h e h' são as alturas (n1edidas perpendicularmente ao eixo 
central) do objeto e da image1n, respectiva1nente. 
Instrumentos Óticos Três inst111mentos óticos que melhoram 
a visão humana são: 
1. A lente de au111e11to si111ples, que produz uma a,npliação angular 
,n0 dada por 
25 cm (34-12) 
f • 
e1n que.fé a distúnc1n focal dn ll ntt:. de nurncnto. A d1 tunc1n 
25 cm é um valor convc11c1onal, lig1.:1r.i1ncn1c n1011Jr que o pon• 
próximo de um adulto jnvcm _ 
2. O ,nicrosc6JJio co111JJos10, que produ1 uma a111phaçuo lateraJ. 
total M dada por 
s 25 cm 
M = ,nrn0 = - -
Íob /. .._, 
(34-1 4, 
em que rn é a ampliação lateral produzida ~ela ohjcliva, "'o é a 
ampliação angular produzida pela oc~lar, s e ? c_ompnmento dri 
tubo e Íob e foc são as distâncias focais da obJet1va e da ocul ,r 
respectivamente. 
3. O telescópio refrator, que produz uma arnpliação angular n1 
dada por 
Íob mo= - . 
Íoc 
(34-1 i) 
PERGUN_TAS . -~ 1 
1 A Fig. 34-25 mostra um peixe e um banhista. (a) O banhista vê 
o peixe mais próximo do ponto a ou do ponto b? (b) O-Peixe vê a 
cabeça do banhista mais próxima do ponto e ou do ponto d? 
Figura 34-25 Pergunta 1. 
• a ~ -b 
., 
( 
2 Na Fig. 34-26, o boneco O se encontra diante de um espelho 
esférico montado no interior da região tracejada: o eixo central do 
espelho está indicado na figura. Os quatro bonecos 11 ~ /4 mostram 
a localizaçãoe orientação de possíveis imagens produzidas pelo es-
pelho. (As alturas e distâncias dos bonecos não foram d~senhadas 
em escala.) (a) Quais dos bonecos não podem representar imagens? 
Das imagens possíveis, determine (b) as que podem se~ produzidas 
por um espelho côncavo; (c) as que podem ser produzidas por um 
espelho convexo; (d) as que são virtuais; (e) as que envolvem uma 
ampliação negativa. 
Figura 34-26 Perguntas 2 e I O. 
1 
1 
1 
~- - J 
/ I 
/ I ' 
I \ / 
I xe ,~, 
\ 
/ 
----~~---~----~~,~~,~,---) 
• a ; , ,' ' l 
\ I 
'Ir---,.(~,----, --- ~t----
/ \ I \ I 
I e 
I \ I b 
' ' Figura 34-27 Pergunta 3. , \ 
4 Um pinguim caminha ao longo do eixo central de um espelro 
côncavo, do ponto focal até uma grande distância do espelho. ( l) 
Qual é o movimento corr~spondente da imagem? (b) A altura ua 
imagem aumenta continuamente, diminui continuamente ou varia 
de uma forma mais complicada? 
5 Quando um tiranossauro persegue um jipe no filme Jurassic Park, 
vemos uma imagem refletida do tiranossauro no espelho lateral do jipe, 
onde está escrito ( o que, nas circunstâncias, pode ser considerado uma 
piada de humor negro): "Os objetos vistos neste espelho estão mais 
próximos do que parecem". O espelho é plano, convexo ou côncavo? 
6 Um objeto é colocado no centro de um espelho côncavo e deslo-
cado ao longo do eixo central até uma distância de 5,0 m do espelho. 
Durante o movimento, a distância lil entre o espelho e a imagem do 
objeto é medida. O processo é repetido para um espelho convexc 
e um espelho plano. A Fig. 34-28 mostra o resultado em função df 
distância p do objeto. Determine a correspondência entre as curva! 
e o tipo de espelho. (A curva 1 tem duas partes.) 
l 1 
3 A Fig. 34-27 é uma vista de cin1a de um labiiinto de espelhos 
feito de triângulos equiláteros. Todas as paredes do labirinto estão 
cobertas por espelhos. Se você est,i na entrada (ponto x), (a) qurus 
das pessoas a, b e e você pode ver nos "corredores virtuais" que se 
estende1n à sua frente? (b) Quantas vezes essas pessoas são, is tas? 
(e) O que existe no final de cada "corredor"? Figura 34-28 Perguntas 6 e 8. I 
1 
A tabela ~ostra seis modos possí~eis de combinar lentes con-
vergentes e d1ve~gentes em um arr~nJo como o da Fig. 34-29. (Os 
ntos F, e F2 sao os pontos focats das lentes I e 2.) Um obieto po dº A • à J se encontra a uma 1stanc1_a p, _ esquerda da lente 1, como na Fig. 
34
_1g. (a) Para que c~mb1naçoes podemos determinar, sem fazer 
,e
11
1,11111 cálc11/o, se a imagem final (produzida pela lente 2) está a 
:squerda ou à_ direit~ ela lente 2 e se tem a mesma orientação que 0 
objeto ou a on~nta~ao op?sta? (b) Para estas combinações "fáceis", 
indique a locahzaçao da unagem como "à esquerda" ou "à direita" 
e a orientação como "a mesma" ou "invertida". 
Lente 1 Lente 2 
figura 34-29 Pergunta 7. 
Modo Lente 1 Lente2 
1 Convergente Convergente Pi< 1f1I 
2 Convergente Convergente Pi > lfil 
3 Divergente Convergente Pt < 1f1I 
4 Divergente Convergente P1 > 1f1I 
5 Divergente Divergente P1 < lf1I 
6 Divergente Divergente P1 > 1f1I 
8 Um objeto é colocado no centro de uma lente convergente e des-
locado ao longo do eixo central até un1a distância de 5,0 m do espe-
IMAGENS 63 
l~~-Durante? rnovimento, a distância lil cntr e a lente e a irnagcrn do 
o ~e~o é medida. O processo é repetido pura u1na lente divt:rgcntc 
qua;s ~as curvas da Fig. 34-28 n1oslran1 o resultado cnt funçao da 
d1stanc1a p do objeto para essas lentes? (A curva l tem duas parte~; 
a curva 3 é uma linha reta). 
9 A ~ig. 34-30 mostra quatro lentes delgadas, feitas do 1ncs1no 
matenal, co1n lados que são planos ou têrn u1n raio de curvatura de 
1 O cm em módulo. Sem fazer nenhum cálculo, coloque as lentes na 
ordem do módulo da distância focal , corncçando pela maior. 
(a) (b) (e) (d) 
Figura 34-30 Pergunta 9. 
1 O Na Fig. 34-26, o boneco O está em frente de u1na lente delgada, 
simétrica, n1ontada no interior da região tracejada; o eixo central da 
lente está indicado na figura. Os quatro bonecos / 1 a /4 mostrarn a 
localização e orientação de possíveis imagens produzidas pela len-
te. (As alturas e distâncias dos bonecos não foram desenhadas em 
escala.) (a) Quais dos bonecos não podem reP,resentar imagens? Das 
imagens possíveis, determine (b) as que pode1n ser produzidas por 
uma lente convergente; (e) as que podem ser produzidas por uma 
lente divergente; (d) as que são virtuais; (e) as que envolve1n tuna 
ampliação negativa. 
PROBLEMAS 1 1 1 
• - - O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema 
-:.$ ; informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker, LTC, Rio de Janeiro, 2008. 
Seção 34-3 Espelhos Planos 
• 1 Você aponta u1na cfunara para a imagem de um beija-flor em 
un1 espelho plano. A câmara está a 4,30 m do espelho. O passari-
nho está ao nível da câmara, 5,00 m à direita e a 3,30 1n do espelho. 
Qual é a distância entre a câmara e a posição aparente da imagem 
do passarinho no espelho? 
•2 LTn1a mariposa está ao nível dos seus olhos, a 10 cm de dis-
• • tanc1:t de u1n espelho plano: você se encontra atrás da mariposa, a 
30 cm do espelho. Qual é a distância entre os seus olhos e a posição 
aparente da Ílnage1n da 1nariposa no espelho? 
• •J Na Fig. 34-31, un1a fonte luminosa pontual e isotrópica Sé 
posicionada a un1a distância de urna tela de observação A e a in-
tensidade lun1inosa /p no ponto P (na rncsma altura que S) é n1cdi-
da E · . · n1 seguida. urn espelho plano A-1 é i.:olocaJo atra~ de S. a un1a 
distância d. De quantas vc;,c-. aurncntu u 1ntcn~1daJc lun11no:.à /, 
quando O espelho é 1ntr0Ju11Jo'' 
J\ I \ 
• 
\ / ' 
Figura 34-31 Prnblerna J. .. I .... J -
••4 A Fig. 34-32 mostra uma vista de topo de um corredor com um 
espelho plano M montado em uma das extremidades. Um ladrão B 
se esgueira por um corredor em direção ao centro do espelho. Se 
d = 3,0 m, a que distância o ladrão está do espelho no momento em 
que é avistado pelo vigia S? 
r-c1-+- c1-4 
J\I 1 
t 
1 
1 
1 
l 
1 
t 
• 
B 
Figura 3 4-32 Problcn1a 4. 
1 
1 
l 
1 
l 
• s 
T 
ti 
1 
•••5 ,\ l•tg. 1-I .111110-.trLl un1,1 larnp,ldn pendurada a unla uistftnc1u 
d, 1-iO c111 .,c:1n,1 d., -.upcrl 1c1c da agu., de tuna piscina nn qual 
,1 pr ui 11nd1d,1dc d,1 ,,gu.1 e d, !110 L0 n1. O fundo da piscina e un1 
l'sp1,;lhc1. \ qul' J1s1,111c1,1 J,, ,upL·rfrLtC do cspL·lho L·-.ta a 11nagcn1 da 
l,u11p.,J.1') ( \11~1 ,1t10: ,uplinha tJUL' os ,Ltios nao se dcsv1a1n ,nnito 
dL un1.1 r1.:l.1 , e1 llL ti pa-.-.,111dn pela l;i1np,1dL1 e use .1 apro:\1n1aç:ío, 
, ,1i J, p.11.: peque, us 11ngulos, Jc que scn O tan O ""O.) 
1 
natalia
Highlight
natalia
Highlight
natalia
Highlight
1 
64 CAPÍTULO 34 
Figura 34-33 Problema 5. 
Seção 34-5 Imagens Produzidas por Espelhos Esféricos 
•6 Um objeto é deslocado ao longo do eixo central de um espelho 
esférico enquanto a ampliação lateral ,n é medida. A Fig. 34-34 mos-
tra o valor de nz em função da distância p do objeto no intervalo de 
Po = 2,0 c1n a Pb = 8,0 cm. Qual é a ampliação do objeto quando 
está a 14,0 cm do espeU10? 
Figura 34-34 Problema 6. 
o .____,___.__.!...._.....L._..!.---l 
Po 
jJ (cm) 
•7 Um espelho de barbear côncavo, com um raio de curvatura de 
35,0 cm, é posicionado de tal forma que a imagem (não invertida) 
do rosto de um homem é 2,50 maior que o original. A que distância 
do homem está o espelho? 
•8 Um objeto é colocado no centro de um espelho esférico e deslo-
cado ao longo d? eixo central até uma distância de 70 cm do espelho. 
D~rant: o m~v1ment?, a distância i entre o espelho e a imagem do 
':bJe~o e med1~a. A Fig. 34-5 mostra o valor dei em função da dis-
tan~1a p do obJeto até uma distância p, = 40 cm. Qual é a distância 
da imagem quando o objeto está a 70 cm do espelho? 
400 T 
- 1 L - 1 6 o u 
~ _?_J 'N J 
-400 l 
Figura 34-35 Problema 8. p (cm) 
•'l ,1 16 L- 1111•//u,.1 c,1/rr1ro1, IJn111hjc111 (J c~ti ohrc o eixo cenir ' 
de u1n espelho esférico. Para cada prohlc111,1, a ·r uhcla 34 3 motr 
distância do objeto p (c1n cL·ntí1netro ,J n tipo de e rclho e n d1 l.i 
eia (e1n centímetros, co1n o sinal apropn,1doJ cn1rc o p, ,nto focal e 
espelho. Determine (a) o raio de curv..itura r do espelho linclurn 
o sinal); (b) a distância da imagem i; (e) a ampl i:ição la1eral 111 . 1) 
termine ta1nbém se a iinagem é (dJ real (RJ ou virtu,,1 IVJ, teJ ,;e 
invertida (1) ou não invertida (Nl) e ([) se está do mesmo lado Cl\ 
do espelho que o objeto ou do lado oposto (OJ. 
• • 17 a 29 Mais es11elhos. Um objeto O está ~obre o eixo ccntr 
de um espelho esférico ou plano. Para cada problema. a Tabc 
34-4 mostra (a) o tipo de espelho, (b) a distância focal 1: (e) o ra 
de curvatura r, (d) a distância do objeto p, (e) a distância da imagc 
i e (t) a ampliação lateral ,n. (Todas as distâncias estão em centím 
tros.) A tabela também mostra (g) se a imagem é real (R) ou vírtu 
(V), (h) se a image1n é invertida (1) ou não invertida (NI) e (i) se 
imagem está do mesmo lado do espelho que o objeto O (M) ou t 
lado oposto (0). Determine os dados que faltam. Nos casos em q 
está faltando apenas um sinal, determine o sinal. 
••30 A Fig. 34-36 mostra a ampliação lateral rn em função ( 
distância p entre um objeto e um espelho esférico quando o obje 
é deslocado ao longo do eixo central do espelho. A escala do ei) 
horizontal é definida por Ps = 10,0 cm. Qual é a ampliação do o 
jeto quanto se encontra a 21 cm do espelho? 
1 
' '- i'-,... r--.... 
~ 0,5 
o P, 
p (cm) 
Figura 34-36 Problema 30. 
••31. (a)_ Um ponto lu1ninoso está se movendo com velocidade v 
edm ~ireçao a um espelho esférico de raio de curvatura r ao long1 
o eixo central do es Ih M . · 
d 
pe ~· ostre que a imagem do ponto está s, 
moven o com uma velocidade dada por 
Vt = - ( 
r )2 
2p - r Vo, 
Problemas 9 a 16: Espelhos Esféricos. As expiicaçoes est -_
~~..:....:~:.::...=::=:.::::::~~~~~~:!_~~a~o~n~o~te~x~t~o~. ~~~~ 
(a) (b) (c) (d) -(e) (f) 
l /NI Lado 
p Espelho ,. 
- -
. 
I 111 RI\' 
9 +18 Côncavo, 12 
10 +15 Côncavo, 10 
11 +8,0 Convexo, 10 
12 +24 Côncavo,36 
13 +12 Côncavo, 18 
14 +22 Convexo,35 
15 i 10 Convexo. 8,0 
16 +17 Convexo, 14 
' ' ......... 
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• • 
l 
) 
) 
'o 
'º , 
;e 
• 
IMAGENS 65 
•;-.._.,., ------
. Tabela '34-4' •·. · 
. -~--·.-r·· - , , , '. ,' . . ' 
. . .. i,. . .. •. 4 / ..... -. ·-· -- . -- ·~-
Problemas 17 !. 29: M ais Espelhos. As explicações estão no texto. - --
(a) (b) (e) (e.) (e) (f) (g) (h) (i) 
11po f ,. . R /V !' 1 111 1/NI L,1.do 
17 Côncavo 20 + LO 
18 +24 0,50 I 
19 - 40 - 10 
20 +40 - 0,70 
21 +20 +3fJ 
22 20 +0,10 
23 30 +0.20 
24 +60 -0,SO 
25 +30 0,40 I 
26 20 + 60 Mesmo 
27 - 30 -15 
28 +10 +1,0 
29 Convexo 40 4,0 
em que p é a distância instantânea entre o ponto luminoso e o es- --1•-----""::---.... 
pelho. Suponha agora que o espelho é côncavo, com um raio de 
curvatura r = 15 cm, e que v0 = 5,0 cm/s. Determine a velocidade 
da imagem v, (b) para p = 30 cm (bem mais longe do espelho que 
o ponto focal), (c) p = 8,0 cm (ligeiramente mais longe do espelho 
que o ponto focal) e (d) p = 10 mm (muito perto do espelho). Figura 34-37 Problema 39. 
Seção 34-6 Refração em Interfaces Esféricas 
••32 a 38 Superfícies refrataras esféricas. Um objeto O está so-
bre o eixo central de urna superfície refratora esférica. Para cada 
problema, a Tabela 34-5 mostra o índice de refração n1 do meio em 
que se encontra o objeto, (a) o índice de refração n.i do outro lado 
da superfície refratora, (b) a distância do objeto p, (c) o raio de cur-
vatura r da superfície e (d) a distância da imagem i. Determine os 
dados que faltam, incluindo (e) se a imagem é real (R) ou virtual 
(V) e (f) se a imagem fica do 1nesmo lado da superfície que o objeto 
O (M) ou do lado oposto (0). 
' •39 Na Fig. 34-37, um feixe de raios luminosos paralelos produzi-
do por um laser incide em uma esfera maciça transparente de índice 
de refração n. (a) Se uma image1n pontual é produzida na superfície 
posterior da esfera, qual é o índice de refração da esfera? (b) Exis-
~e algum valor do índice de refração para o qual é produzida uma 
imagem pontual no centro da esfera? Se a resposta for afirmativa, 
qual é esse valor? 
-
• •40 Uma esfera de vidro de raio R = 5,0 tem um índice de refração 
n = 1,6. Um peso de papel de altura h = 3,0 cm é fabricado cor-
tando a esfera ao longo de um plano situado a 2,0 cm do centro da 
esfera. O peso de papel é colocado sobre uma mesa e visto de cima 
por um observador situado a uma distância d = 8,0 cm da superfí-
cie da mesa (Fig. 34-38). Quando vista através do peso de papel, a 
que distância a superfície da mesa parece estar do observador? 
~---------
Observador 1 
Figura 34-38 Problema 40. 
1 
1 
1 
1 d 
1 
Tabela 34- 5 
Problemas 32 a 38: Refração em Superfícies Esféricas. A s explicações estão no texto. -
(a) (b) (e) (d) (e) 
(f) 
. R/V Lado 
111 112 p r 
l 
--
32 1,0 1,5 +10 +30 
33 1,0 1,5 +10 
-13 
34 1,5 +100 - 30 +600 
35 1,5 1.0 +70 +30 
36 1.5 1,0 - 30 
-7,5 
37 1.5 1,0 +10 
-6,0 
38 1,0 1,5 +30 +600 
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• 
66 CAPÍTULO 34 
Seção 3 4_7 Lentes Delgadas 
•41 Uma lente é f.!ita de vidro co1n índice de refração 1,5. Um 
dos lados é plan-> e o outro convexo, com utn rai1> de curvatl~ra d~ 
20 cm. (a) Dt>ter1nine a distância focal d~ len~e. (b). Se utn ~bJeto e 
colocado a 40 c1n da lente, qual é a localizaçao da imagem. 
•42 u,n objeto é colocado no centro de uma lente delgada e ~esl~-
cado ao longo do eixo central. Durante o movimento, a ampl~açao 
lateral 111 é medida. A Fig. 34-39 mostra o resultado en1 funçao da 
distância p do objeto até p, = 20,0 cm. Determine a a1npliação la-
teral para p = 35,0 cm. 
1 1, , , 
" ......... 1:: 0,5 
: 
f 
o P, 
p (cm) 
Figura 34-39 Problema 42. 
•43 Uma câmara de cinema com uma lente (única) de distância 
focal 75 mm é usada para filmar uma pessoa de 1,80 m de altura 
a uma distância de 27 m. Qual é a altura da imagem da pessoa no 
filme? 
•44 Um objeto é colocado no centro de uma lente delgada e des-
locado ao longo do eixo central. Durante o movimento, a distância 
i entre a lente e a imagem do objeto é medida. A Fig. 34-40 mostra 
o resultado em função da distância p do objeto até p, = 60 cm. De-
termine a distância da imagem para p = 100 cm. 
400 1 
\ 
""' '" 8 u o o ' j -
Figura 34-40 Problema 44. 
-400 
p (cm) 
•45 Você produz uma imagem do Sol em uma tela usando uma lente 
delgada com uma distância focal de 20,0 cm. Qual é o diâmetro da 
imagem? (Os dados a respeito do Sol estão no Apêndice C.) 
46 u,n objeto é colocado no lCnlro dL un~:, l~ntc dclg.ula e de 
do ao longo do eixo ccnt1 ai ate uma <.hi.l,1111.:1a de 70 cn1 d I ler ca . l t 
Durante O ,novi,ncnto, a di i. tânçia, cntn; ,, lente e a 111~1gc,n to~ 
to é medida. A Fig. 34-41 1noslr:.1 o I c..,u ltado cm I unça,~ d,1 d1 tan 
p do objeto até p, = 40 cm. Dctcr1n1nc a di , tância da ,magcrn p 
p = 70 cm. 
o p (cm ) 
l 
/1, 
""' -8 v -}0 ._, 
·~ 
-20 l l 
Figura 34-41 Problema 46. 
•47 Uma lente biconvexa é feita de vidro com índice de refra1 
1,5. uma das superfícies tem um raio de curvatura duas vez~s ma 
que a outra e a distância focal da lente é 60 mm. Determme (a 
menor raio de curvatura; (b) o maior raio de curvatura. 
•48 Um objeto é colocado no centro de uma h~nte delgada e ~es 
cado ao longo do eixo central. Durante o movimento, a amp~a( 
lateral m é medida. A Fig. 34-42 mostra o resultado em funçao 
distância p do objeto até p, = 8,0 cm. Detemúne a ampliação late 
do objeto parap = 14,0 cm. 
6 
' / 4 
2 
~ 
./ 
o P, 
p (cm) 
Figura 34-42 Problema 48. 
•49 Uma trlilsparência iluminada é mantida a 44 cm de uma te 
A que distância da transparência deve ser colocada uma lente c, 
uma distância focal de11 cm para que uma imagem da transpari 
eia se forme na tela? 
••50 a 57 Lentes delgadas. Um objeto O está sobre o eixo cenl 
de uma lente delgada simétrica. Para cada problema, a Tabela 3, 
mostra a distância do objeto p (em centímetros), o tipo de lente 
Problemas 50 a 57: Lentes Delgadas. As e~p!icações estão no texto. 
-- -(a) (b) (c) (d) (e) 
Lente • R/V p L rn I/NI Lado 
50 +16 C,4,0 
51 +12 C, 16 
52 +25 C,35 
53 +8,0 D, 12 
54 +10 D,6,0 
55 +22 D,14 
56 +12 D.31 
57 +45 C.20 
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. vergente e D significa divergente) e a distância (em 
signJfica con com O sinal apropriado) entre um dos pontos focais 
cenú01etro0s;terrnine (a) a distância da imagem i e (b) a ampliação a lente. · · · D · b ' ( ) e do objeto, incluindo os s1na1s. etenrune tam ern c se a 
Jater~;'é real (R) ou virtual (V), (li) se é invertida (I) ou niío inver-
unag ... 11) (e) se está do tTl~srno lado da lente que o objeto O (M) tida (1, e 
u do lado oposto (O). 
0 
8 67 Lentes con1 ;·aios dados. Um objeto O está sobre o eixo •• 5 a 
aJ de uma lente delgada. Para cada problema, a Tafoela 34-7 
cenir b' ' d' d f - d 1 a distância do o ~eto p, o 1n ice e re raçao n a ente, o 
ir1ustra . 6 . d b" . . da superfície da lente mais pr xuna o o ~eto e o rato r2 da 
raio r, · d' d b' (T d d' A • rfície da lente mais 1stante o o ~eto. o as as 1stanc1as es-
s~pe ,n centímetros.) Determine (a) a distância da imagem i e (b) a 
tao e ' b' · 1 · d · al D · bé Jiação lateral tn do o ~eto, 1nc u1n o o s1n . eterrrune tam m :'ic) se a imagem é real (R) ou virtual (V), ( d) se é invertida (I) ou 
não invertida (NI) e (e) se está do mesrr10 lado da lente que o objeto 
0 (M) ou do lado oposto (0). 
••68 Na Fig. 34-43, uma imagem real invertida Ide um objeto O é 
fonnada por uma lente (que não aparece na figura); a distância entre 
0 objeto e a imagem, medida ao longo do eixo central da lente, é 
d= 40,0 cm. A imagem tem metade do tamanho do objeto. (a) Que 
PARTE 4 ~ 
IMAGENS 67 
tipo de lente é capaz de produzir a i1nagcm? (b) A que dii,tánc,~ 
do objeto deve ser colocada a lente? (e) Qual deve ~cr a distância 
focal da lente? 
o 
Lente 
Eíx,, 
Figura 3 4- 43 Problema 68. 
• •69 a 79 Mais lentes. Um objeto O está sobre o eixo central de 
uma lente delgada simétrica. Para cada problema, a Tabela 34-8 
mostra (a) o tipo de lente, convergente (C) ou divergente (D), (b) 
a distância focal!, (c) a distância do objeto p, (d) a distância da 
imagem i e (e) a ampliação lateral m. (Todas as distâncias estão 
em centímetros.) A tabela também mostra (f) se a imagem é real 
(R) ou virtual (V), (g) se é invertida (I) ou não invertida (1'11) e (h) 
se está do mesmo lado da lente que o objeto O (M) ou está do lado 
oposto (O). Determine os dados que faltam, incluindo o valor de m 
nos casos em que apenas uma desigualdade é fornecida. Nos casos 
em que está faltando apenas um sinal, determine o sinal. 
Tab~la 34-7 1 
Problemas 58 a 67: Lentes com Raios Dados. As explicações estão no texto. -
(a) (b) (c) (d) (e) 
p n r1 Tz • l m R/V I/NI Lado 
58 +29 1,65 +35 00 
( 59 +75 1,55 +30 -42 
60 +6.0 1,70 +10 -12 
61 +24 1,50 -15 -25 
62 +10 1,50 +30 -30 
63 +35 1,70 +42 +33 
64 +10 1,50 -30 -60 
65 +10 1,50 -30 +30 
66 +18 1,60 -27 +24 
67 +60 1,50 +35 -35 
Tabe la 3 4-8 
' 
Problemas 69 a 79: Mais Lentes. As explicações estão no texto. 
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 
f • Tipo p l m R/V 1/NI Lado 
69 +10 +5,0 
70 20 +8,0 <1,0 NI 
71 +16 +0,25 
72 +16 -025 , 
73 +10 -0,50 
74 e 10 +20 
75 10 +5,0 <1,0 Mesmo 
76 10 +5,0 >1,0 
77 +16 + 1,25 
78 +10 0,50 Nl 
79 20 +8,0 >1.0 
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68 CAPITULO 34 
I I N 1 1 , i 1 1 1 O h, llll'~ li ( I I e, ••80 D 87 \ 1,1, llltl' d , lll/\ 11/1 \ d g. • 
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\ 11.'llll' 1 ,:,l,l 11.1 ieg1.1n ni.1i, p111\tlll,t lh. () il Ulll,I d1 ,t,1flLl,l /'1 11 
l,t ,.:ll' , \ l.:nh' 2 c,1,111,1 n:g1,1o n1ai, at ,1, tada de() a 11111.i d,,1anlt,1 
d J.i l.:nte 1. p,1r,1 cada problc111a, a Tabela 14 9 1no,1 ra unia 1,;om-
hín iç::Íll utlCíCllll' de IClllC\ C a d1lerentC\ V,alnr~S da, dl~lallLlaS, qUC 
, -0 dada, c1n ccntín1ctro~. O tipo de lente e 1nd1Lado po C par.i un1a ., . 
lcnll con, crgcntc e D para un1a lente divergente: o nun1cro que se 
,egue a e ou D é a distância entre a lente e u1n _do'i ponto~ roca,, (n 
sinal apropriado para a distância focal não e~ta 1nd1~ado). 
Oetennine (a) a distância i 2 da ín1agcm produ1.1da pela lente 2 
(a image1n final produzida pelo :.istema) e (b)_ a ampli~ção lateral 
total A1 do sistema. incluindo o sinal. Determine tambem (c) se a 
imagem final é real (R) ou virtual (V), (d) se é invertida (1) ou não 
invertida (NI) e (e) se está do 111es1110 lado da lente que o objeto O 
(M) ou está do lado oposto (0). 
.. --, 
I l 1 
1 1 
1 1 
1 
1 ~--
.---, 
: 2 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 ~--
l-d--1 
Figura 34-44 Problemas 80 a 87. 
Seção 34-8 Instrumentos Óticos 
•88 Se a ampliação angular de um telescópio astronômico é 36 e o 
diâmetro da objetiva é 75 mm, qual é o diâmetro mínitno da ocular 
necessária para coletar toda a luz que entra na objetiva proveniente 
de uma fonte pontual distante situada no eixo do microscópio? 
•89 Em um microscópio do tipo que aparece na Fig. 34-20, a distân-
cia focal da objetiva é 4,00 cm e a da ocular é 8,00 cm. A distância 
entre as lentes é 25,0 cm. (a) Qual é o comprimento do tubo, s? (b) 
Se a imagem Ida Fig. 34-20 está ligeiramente à direita do ponto 
focal Fi', a que distância da objetiva está o objeto? Determine tam-
bém (c) a ampliação lateral m da objetiva, (d) a ampliação angular 
m
0 
da ocular e (e) a amplificação total M do microscópio. 
• •90 A Fig. 34-45a mostra a estrutura básica de uma câmara fo-
tográfica. A posição da lente pode ser ajustada de 1nodo a produzir 
uma imagem no filme situado na parte postet'ior da câmara. Em 
uma certa câmara, com a distância i entre a lente e o filme ajus-
tada para/= 5,0 cm, raios luminosos paralelos provenientes de 
um objeto O muito distante convergem para formar uma imagem 
pontual no filme, como mostra a figura. O objeto é colocado mais 
pcrt11 ti, 1..,1111 11 1 .i t1111 dt t 111 t / ' 100 ...... 
,1 lt:rtlc e,, 1111111: f 11u tida P ir qu n.:1
1 gcrn 
~e.:, , lor1111d,1 110 1tl111c 111' 4 ~/,) ( ) Q nn1r 
t entre li lente e" hl111c (hl !.)uai é ,1 vrui D(,.:o 
situuç.ui .i11te1111r 1 
-
. 
J 
• - l-1hnc 
J 
( ll) 
o 
I 
f--p-+----i · I 
(b} 
Figura 34-45 Problema 90. 
••91 A Fig. 34-46a mostra a estrutura básica do olho humanc 
luz é refratada pela córnea para o interior do olho e refratada 
vamente pelo cristalino, cuja forma (e, portanto, distância foca 
controlada por músculos. Para fins de análise, podemos substitu 
córnea e o cristalino por uma única lente delgada equivalente (1 
34-46b). O olho "normal" é capaz de focalizar raios luminosos 
ralelos provenientes de um objeto distante O em um ponto da ret 
situada no fundo do olho, onde começa o processamento do s 
visual. Quando o objeto se aproxima do olho, os músculos de, 
mudar a forma do cristalino para que os raios formem uma ima1 
invertida do objeto na retina (Fig. 34-46c). (a) Suponha que, no e 
de um objeto distante, como nas Figs. 34-46a e 34-46b, a distâi 
focal f da lente equivalente do olho é 2,50 cm. Para um obje 
uma distância p = 40,0 cm do olho, qual deve ser a distância f 
f' da lente equivalente para que o objeto seja visto com nitidez' 
Os músculos do olho devem aumentar ou diminuir a curvatur 
cristalino para que a distância focal se tome f'? 
Tabela 34-9 
Problemas 80 a 87:Sistemas de Duas Lentes. As explicações estão no texto. 
-
(a) (b) (c) (d) (e) 
Pi Lente 1 d Lente2 
. 
l2 M R/V I /NI Lado 
80 +10 e, 15 10 C,8,0 
81 +12 C,8,0 32 C,6,0 
82 +8,0 D,6,0 12 C,6,0 
83 +20 C,9,0 8,0 C,5,0 
84 +15 C.12 67 C,10 
85 +4,0 C,6,0 8,0 D,6,0 
86 +12 C,8,0 30 D,8,0 
87 +20 D,12 10 D,8,0 
Cristalinú 
Retina 
~rú~culo 
Córnea 
Lente equivalente Retina 
LUZ de 
uni objeto 
distante ( a) 
o 
I .. 
I 
f-P - •""'*-1•-i-j 
(e) 
Figura 34-46 Problema 91. 
: • I 
? 
1--J-l 
(b) 
••92 Um objeto se encontra a 10,0 mm da objetiva de um micros-
cópio composto. A distância entre as lentes é 300 mm e a imagem 
intermediária se forma a 50,0 mm da ocular. Qual é a ampliação 
total do instrumento? 
••93 Uma pessoa cotn um ponto próxiino PP de 25 cm observa 
um dedal através de uma lente de aumento simples com uma dis-
tância focal de 10 cm, mantendo a lente perto do olho. Determine a 
ampliação angular do dedal quando é posicionado de tal forma que 
a imagem aparece (a) em PP; (b) no infinito. 
Problemas Adicionais 
94 Um objeto é colocado no centro de um espelho esférico e des-
locado ao longo do eixo central até uma distância de 70 cm do espe-
lho. Durante o movilnento, a distância i entre o espelho e a imagem 
do objeto é 1nedida. A Fig. 34-47 mostra o valor dei em função da 
distância p do objeto até uma distância p, = 40 cm. Qual é a dis-
tância da imagem quando o objeto está a 70 cm do espelho? 
O p (cm) 
~ 
E 
u -10 
~ ·~ 
-20 
Figura 34-47 Problema 94. 
.... PARTE 4 ., 
IMAGE.MS 69 
95 a 100 Siste111as de tre!.\ lellf('\ Na Piv. 14 48, o hnncc1, () <t• 
objeto) está sobre o eixo central comurn eh .. tré~, lentes dclgada<, 1-
1nétricas, que estão 1nontadas na~ rcgiõc., limitada<, por linha tracCa 
jadas. A lente 1 está montada na região rnai~ pr6xi1na de (J a uma 
distância p1 do boneco. A lente 2 está montada na regra<> do mcí,,, 
a uma distância d12 da lente 1. A lent<> 3 está montada na região 
mais afastada de O, a uma distância d23 da lente 2. ('ada prohlcma 
da Tabela 34-10 se refere u1na combinação diferente de lente~ e a 
valores diferentes das distâncias, que são dadas em centímetroc;. O 
tipo de lente é indicado como C no caso de uma lente' convergente 
e como D no caso de uma lente divergente; o número que se segue 
a C ou D é a distância entre a lente e um dos pontos focais <o sinal 
da distância focal não está indicado). 
Determine (a) a distância i3 entre o objeto e imagem produzida 
pela lente 3 (a imagem final produzida pelo sistema) e (b) a amplia-
ção lateral total M do sistema, incluindo o sinal. Determine também 
(c) se a imagem final é real (R) ou virtual (V), (d) se é invertida (1) 
ou não invertida (NI) e (e) se está do mesn10 lado da lente que o 
objeto O (M) ou está do lado oposto (0). 
.---, 
1 3 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 ~--
o 1 1 1 1 
1 1 1 1 
L-- L--
f-cti2+ '43-1 
Figura 34-48 Problemas 95 a 100. 
101 A expressão 1/p + Ili = 1/f é chamada de fonna gaussiana 
da equação das lentes delgadas. Outra forma da expressão, a forma 
newtoniana, é obtida considerando como variáveis a distância x do 
objeto ao primeiro ponto focal e a distância x' do segundo ponto fo-
cal à imagem. Mostre que xx' f 2 é a forma newtoniana da equação 
das lentes delgadas. 
102 A Fig. 34-49a é uma vista de topo de dois espelhos planos 
verticais com um objeto O entre eles. Quando um observador olha 
para os espelhos, vê imagens múltiplas do objeto. Para determinar 
as posições dessas imagens, desenhe o reflexo em cada espelho 
na região entre os espelhos, como foi feito para o espelho da es-
querda na Fig. 34-49b. E1n seguida, desenhe o reflexo do refle-
xo. Continue da mesma forma do lado esquerdo e do lado direito 
até que os reflexos se superponham dos dois lados dos espelhos. 
Quando isso acontecer, basta contar o número de imagens de O. 
Determine o nú1nero de imagens formadas (a) para O = 90º; (b) 
para e = 45º; (c) O = 60º. Para e·= 120º, determine (d) o me-
nor e (e) o maior número de imagens que podem ser observadas, 
Tabela 34-1 o 
Problemas 95 a 100: Sistemas de Três Lentes. As explicações estão no texto. 
(a) (b) (e) (d) (e) 
P1 Lente 1 d ;2 Lente 2 d23 Lente 3 
. lvl R/V 1/NJ Lado l .1 
95 + 12 C,8,0 28 C,6,0 8,0 C,6,0 
96 +4,0 D,6,0 9,6 C,6,0 14 C,4,0 
97 + 18 C,6.0 15 C,3,0 11 C,3,0 
98 +2,0 e 6,o 15 C,6,0 19 C,5,0 
99 +8,0 D,8,0 8,0 º· lt, 5.1 C,8,0 
100 +4,0 C,6,0 8,0 0,4,0 5,7 D,12 
/ 
· / 
1 
1 
1 
70 G,\Pll ULO ::l,1 
J.:p.:nJl•nd,1 Jl, p,111111 dl', 1,1.1 d11 nh,, 1 ,11d111 e d I p11,t\Út1 d11 •>h 
!Chl (). ( l l l',líll l',1J.1 ,111111,.,1\I, 1nd1,111l ,IS""'ª\"", C 11111'1111ç,1c~ 
Jl• (11J,1, ,t, 1111,tgl' II, dl• () l'tll 11111 dl',l'llhn <.'llll'lh,t1tl<.' ,111 tl,1 J 1g. 
'4 4q/,, 
~o 
(a) 
Figura 34-49 Problema 102. 
103 Duas lentes delgadas de distâncias focais J. eh. estão em con-
tato. Mostre que são equivalentes a uma única lente delgada com 
uma distância focalf = JJ'/(J. + f 2). 
104 Dois espelhos planos paralelos estão separados por uma dis-
tância de 40 cm. Um objeto é colocado a 10 cm de u,n dos espelhos. 
Detemúne (a) a menor; (b) a segunda menor; (c) a terceira menor 
(ocorre duas vezes) e (d) a quarta menor distância entre o objeto e 
sua imagem. 
105 Na Fig. 34-50, uma caixa se encontra sobre o ei;,o central da 
lente convergente delgada, em algum ponto à esquerda da lente. A 
imagem Im da caixa, produzida pelo espelho plano, está 4,00 cm à 
direita do espelho. A distância entre a lente e o espelho é 10,0 cm 
e a distância focal da lente é 2,00 cm. (a) Qual é a distância entre 
a caixa e a lente? A luz refletida pelo espelho atravessa novamente 
a lente e produz uma imagem final da caixa. (b) Qual é a distância 
entre a lente e a imagem final? 
I,. 
Figura 34-50 Problema 105. 
106 Na Fig. 34-51, um objeto é colocado na frente de uma lente 
convergente, a uma distância igual a duas vezes a distância focal 
f. da lente. Do outro lado da lente está um espelho côncavo de dis-
tância focalJ;, separado da lente por uma distância 2(!. + J;). A luz 
proveniente do objeto atravessa a lente da esquerda para a direita, é 
refletida pelo espelho, atravessa a lente da direita para a esquerda e 
forma uma imagem final do objeto. Determine (a) a distância entre 
a lente e a imagem final; (b) a ampliação lateral total M do objeto. 
Determine também (c) se a imagem é real ou virtual (se é virtual. 
só pode ser vista olhando para o espelho através da lente); (d) se 
a image1n está à esquerda ou à direita da lente; (e) se a imagem é 
invertida ou não invertida. 
o 
/--2Ji ·I· 2(/i + h)--, 
Figura 34-51 Problema 106. 
107 t Ili t 1110 d lt r // 
\ lc111c lorn, 1 u,n 1111 
d.1 1111) CU ll IIIIJ Ili li 
l)CICI llllllC r lJ I UI I O 1 
a 1no l ,1.: 1 lente A n10 
1r.1l da lente 2, que tu111hén1 fom1 ur 
J1,1â11.:ia d - ::!O ena tl:i ,nosca rn 
(c) /. e (d) p 
1 Oª Você' fnhrico us lcn1c que ap tre cm n F 1 
de disco~ plano, tlc vidr(l (// - 1.5) u ando urna ~vou- ,ap.11 
produzir um raio de curv.itur,1 de 40 cm ou 60 cm í: m 
na qual é ncce,,ário apcn.1s um ra1t1 tle cun.itura ~oce C.'><:011 
raio de 4-0 cm Em -,egu1d.1. u a as lentes, uma por uma. parai 
u1na imagem do Sol Determine (al :.a lhs.t.inc1a focal/ e (b 
de imagem (real ou virtual) da lente biconvexa 1, (c)/e (d) o t 
de imagem d:i lente p/a110-co11rera 2; (eJ f e ti) o upo de 1mag 
da lente cô11cavo-co11,·l ra 3: (g)J e (hl o tipo de imagem tia le 
bicôncava 4; (i)/ e (j) o tipo de imagem da lente plano-côncav < 
(k) f e (1) o tipo de imagem da lente co111·exo-L âncava 6 
(1) (2) 
(4) (5) (6) 
Figura 34-52 Problema 108. 
109 Na Fig. 34-53, um observador, situado no ponto P. olha p -a 
um peixe através da parede de vidro de um aquário. O observaL ir 
está na mesma horizontal que o peixe; o índice de refração do víc. 11 
é 8/5 e o da água é 4/3. As distâncias são d1 = 8,0 cm. d,, = 3.0 l m 
e d3 = 6,8 cm. (a) Do ponto de vista do peixe. a que di;tância r 1-
rece estar o observador? (Sugestão: o observador é o objeto. A l 11 
proveniente do objetopassa pela superfície externa da parede cto 
aquário, que se comporta como uma superfície refratora. Detenni-
ne a imagem produzida por essa superfície. Em seguida, trate essa 
imagem como um objeto cuja luz passa pela superfície interna da 
parede do aquário, que se comporta como outra superfície refrato-
ra. Determine a distância da imagem produzida por essa superfície, 
que é a resposta pedida.) (b) Do ponto de vista do observador, a que 
distância parece estar o peixe? 
1 
1 
d2 • 
d1--r--t-ds-: 
'p 
~------
Observador 
Figura 34-53 Problema 109. 
1 
1 
1 
- ----~ 
Parede 
110 Um peixe dourado em um aquário esférico de raio Restá na 
mesma horizontal que o centro C do aquário, a uma distância R/2 do 
vidro (Fig. 34-54). Que ampliação do peixe é produzida pela água 
do aquário para um observador alinhado com o peixe e o centro do 
t. . t·nin o peixe 111ais p, 6x i1110 do observador que o centro do 
•11111,,nu, ' , o'/() (nelice dt: 1clraçao da (iguu é 1 ,11. IJe1,prczc o efeito da 
•11jllilrl t. . ,. 1 ' 
1 
de vidro do aq11.1ru,. ,.,upon 111 que o ohHervaclor CHlá olhando 
·tfCl C r: , 0 peixe con1 u1n s6 olho. (S11>:<'.Vlr7o: a l!q. 14 5 se aplica a este 
p,tr,t m•is não a J!q. 14 r,, (! preciso f'azcr u1n diagra,na de raios da 
e'"º· • '. •
1
, .. 10 e supor que oi; n,ioi. cstao pr6xi1nos da linha de visada do ,JIU, ,• , • 
nh~crvador, ou s~JU, que lazc1n u,n t\ngulo pequeno co1n a reta que 
liga O olho do observador ac, centro do aquário.) 
-----1---• e (; 
1 
.. B. -
2 
1· ll 
figura 34-54 Problema 11 O. 
111 A f.,g. 34-55 1noslra um ex11ansor de feixe, constituído por 
duas icntcs convergentes coaxiais de distâncias focais li e fi sepa-
radas por uma distância d = li + J2• O dispositivo pode expandir 
0 feixe de u,n laser mantendo ao 1nes1no tempo os raios do feixe 
paralelos ao eixo central das lentes. Suponha que um feixe lumino-
so uniforme de largura W, = 2.5 1n1n e intensidade /1 = 9,0 kW /m'
1 
incide c,n um expansor de feixe para o qual J, = 12,5 cm e fi = 
30,0 cn1. Determine o valor (a) de W1e (b) de 11 para o feixe na saída 
PARTE _4 ,_ .. 
IMAGEIIS 71 
\d -
2 
1 • 
• liV. i~ 
t 
' Figura 34-55 Problema 111. , 
112 Você olha para baixo, em direção a uma moeda que está no 
fundo de uma piscina de profundidade d e índice de refração n (Fig. 
34-56). Como você observa a moeda com dois olhos, que inter-
ceptam raios luminosos diferentes provenientes da moeda, tem a 
impressão de que a moeda se encontra no lugar onde os prolonga-
mentos dos raios interceptados se cruzam, a uma profundidade d. 
* d. Supondo que os raios da Fig. 34-56 não se desviam muito da 
vertical, mostre que d
0 
= d/n. (Sugestão: use a aproximação, válida 
para ângulos pequenos, de que sen 8 = tan 8 = 8.) 
Para o Para o 
olho olho 
esquerdo Ar 
\ t I n 
\ d.. ' 
\. I \ I 
d 
do c>.pansor. (c) Que valor de d é necessário se a lente 1 é substituída 
por uma lente divergente de distância focal li = -26.0 c,n? Figura 34-56 Problema 112. 
\ 
CAPÍTULO 
Figura 35- 1 O azul da superfície 
supe1 ior da asa da borboleta 
Alorpho se deve à inlerferência 
ótica e n1uda de tonahd .. 1de de 
acordo con1 o ponto de vista do 
obser,ador (Phi/ippt· Colv111hil 
Photo Di 1·c//Gctt, /11111gc.,) 
O QUE É FÍSICA? -
Um dos principais objetivos da física é co,nprccndcr a nalurc1a da 1 , 
um objetivo difícil de atingir porque a luz é um fenómeno cxtrc1na1ncntc co,nplc 11 
Entretanto, graças exatamente a essa complexidade, a Ju, oferece 1r1u1tas oporlu 11 
dades para aplicações práticas, algumas das quais envolvem a íntcrlcréncia de on, .i 
luminosas, também conhecida como interferência ótica. 
Muitas cores da natureza se devem à ínte1ferência óuca. Assi,n, por cxcmr o 
as asas de uma borboleta Morpho são castanhas e sem graça, co1no pode srr vist{I ia 
superfície inferior da asa, mas na superfície superior o castanho é sub-.utuído por m 
azul-brilhante devido à interferência da luz (Fig. 35-1 ). Além disso, a cor é variá, ·I. 
a asa pode ser vista com vários tons de azul, dependendo do ângulo de observaç o 
Urna mudança de cor semelhante é usada nas tintas de muitas cédulas para dific ,1. 
taro trabalho dos falsários, cujas copiadoras podem reproduzir as cores apenas !e 
um ponto de vista e, portanto, não podem duplicar o efeito da mudança de cor c, m 
o ângulo de observação. 
Para compreender os fenô1nenos básicos responsáveis pela interferência óli a. 
devemos abandonar a simplicidade da ótica geométrica (na qual a luz é descrita I or 
raios lu1ninosos) e voltar à natureza ondulatória da luz. 
35-2 A Luz como uma Onda 
A primeira pessoa a apresentar uma teoria ondulatória convincente para a luz fo i o 
físico holandês Christian Huygens, em 1678. Embora muito menos completa que a 
teoria eletromagnética de Maxwell, fo1mulada mais tarde, a teoria de 1-luygens Lia 
matematicamente mais simples e permanece útil até hoje. Suas grandes vantagen1 
são explicar as leis da reflexão e refração em termos de ondas e atribuir um signi fi· 
cado físico ao índice de refração. 
A teoria ondulató1ia de Huygens utiliza uma construção geométrica que per1ni te 
prever onde estará uma dada frente de onda e1n qualquer instante futuro se conhe· 
cermos a posição atual. Essa construção se baseia no princípio de 1-luygens, que 
diz o seguinte: 
·rodos os pontos de uma frente de onda se comporta1n co1no fontes pontuais de ondas 
secundáiias. Depois de um intervalo dt le1npo t, a nova posição da frenlc de onda é dada 
por un1a superfície tangente a essas ondas secundárias. 
Veja1nos um exemplo sin1ples. Do lado esquerdo da Fig. 35-2, a localização atual d3 
frente de onda de urna onda plana viajando para a direita no espaço livre (vácuo) está 
representada pelo plano ab, perpendicular à página. Onde estará a frente de onda depois 
de transcorrido u1n intervalo de tempo õ.t? Fazemos co1n que vários ponto~ <lo plano 
ab (indicados na figura) se co1nporte1n como fontes pontuais de ondas secund,iria1 
que são en1itidas no instante t = O. Depois de um intervalo de te1npo õ.t, o raio dcssa1 
on<.Ja.., esféricas é e !::..t, onde e é a velocidade da luz no vácuo. O plano tangcnlt a essn1 
esferas no instante !1t é o plano ele. O plano ,te, que corresponde à frenle de onda da 
onda plana no instante D.t, e paraltlo ao plano aba lllna distância e t::..t. 
A Lei da Refração 
\ ,uno, .. igora usar_ o prtnl' t pio de l I~ygcnli ~1:u a dcdu,11 a ll·t da I cf 1 :1~ ao J .q 1 \ 10 
(lei Jt.' Snell) . 1-\ Fig. 35.3 111oslra _ircli cslag1os .da rc I ra~ao de v:í1 ia, f rl'nll'S I IL und., 
rin tuna interlacc plana <lo_a,1 (n~e1~ 1) con1 <) vidro (111c10 2). I!scolhcn1os ,uh,trar,a 
nicnie frentes Je ond~ do 1e1xe 1nc1dente scp~radas por u111a distünc,a ,\ ,. 0 co,np, 1 
nielll\) Je onda no 1ne10 1. Chan1ando a veloc1dadl' da luz no ar de 1,1 e a velocidade 
J.i luz no ,·idro de 1'2, vamos supor que v2 < v,, o que corresponde a situaçao real. 
o ângulo 81 da Fig. 35-3a é o ângulo entre a frente de onda e o plano da interface; 
i:~~e ângulo é igual ao ângulo entre a 11or111al à frente de onda (isto é, o raio incjdcnlc) 
e a 110r,nal ao plano da interface; assim, 81 é o ângulo de incidência. 
Quando a onda se c1proxima do vidro, u1na onda secundária de Huygens co1n a 
orige,n no ponto e ~e expande até chegar ao vidro no ponto e, a uma distância ,\ 
1 
do 
ponto e. O tempo necessário para a expansão é essa distância dividida pela veloci-
dade da onda secundária, À ,lv,. No mesmo intervalo de tempo, uma onda secundária 
de Huyger.:; com a origem no ponto h se expande com u1na velocidade diferente, v
2
, 
e com 1!1n co1nprimento onda diferente, À. 2• Assi,n, esse intervalo de teinpo também 
deve ser igual a À2/v2. Igualando os dois tempos de percurso, obtemos a relação 
Àt - V1 --
' V2 (35-1) 
que mostra que os comprimentos de onda da luz em dois meios diferentes são pro-
porcionais à velocidade da luz nesses meios. 
De acordo com o princípio de Huygens, a frente de onda da onda refratada é 
tangente a um arco de raío À2com o centro em li, no ponto g, digamos. A frente de 
onda da onda refratada também é tangente a um arco de raio ,\ 1 com o centro em 
e, no ponto e, digamos. Assim, a frente de onda da onda refratada tem a orientação 
mostrada na figura. Observe que 82, o ângulo entre a frente de onda da onda refrata-
da e a superfície, é também o ângulo de refração. 
Para os triângulos retângulos hce e hcg da Fig. 35.3b, podemos escrever 
sen 01 = 
À1 
(para o triângulo hce) 
hc 
e sen 02 = 
À2 
(para o triângulo hcg). 
hc 
Dividindo a primeira dessas equações pela segunda e usando a Eq. 35-1, obtemos: 
A refração ocorre na 
superfície e faz a onda 
mudar de direção. 
Onda incidente 
' 
Ar 
Vidro 
sen 01 A1 Vi __;;.. = - • 
. (a) (b) 
(35-2) 
Figura 35-3 A refração de uma onda plana em uma interface ar-vidro, de acordo 
~ rn ° Princípio de Huygens O comprimento de onda no vidro é menor que no ar. Para 
SU}lpl:c ' ~ 
uucar o desenho não é mostrada a onda refletida. As partes (a)<' (e) mostram tres estági • 
os sucessivos da refração. 
INíERFER(NCIA 73 
Frenl< de onda 
em f- O 
/, d 
(l , 
Frcnt<' <le 
onrl,t crn 
1 = ,j/ 
Figura 35-2 A propagação de uma 
onda plana no vácuo, de acordo com o 
princípio de Huygens. 
Onda refratada 
(e) 
74 CAPÍTULO 35 
<l r. · 'nd,·ce de refração II para cada meio c0rno a razão entre a Podemos e,1n1r u1n 1 • 
velocidade da luz no vácuo e a velocidade da luz no meio. Assim, 
e 
li = -
I ' 
(indic1; de rclra~·,10) . 
Em particular. para nossos dois meios, temos: 
e e 
11 1 = - e n2 = 
Vt V2 
Combinando as Eqs. 35-2 e 35-4, obtemos: 
sen 81 
sen 82 
ou n1 sen e, = 11, sen 82 
como foi visto no Capítulo 33. 
(lei da refração) 
(35-4) 
(35 S) 
(35-f 
" TESTE 1 .... 
A fioura mostra um raio de luz monocromática atravessando um matenal 1rnc1al a, matt 
riais"\ntermediários b e e e, novamente, o material a. Coloque os materiais na ordem d 
velocidade com que a luz se propaga no interior, começando pela maior. 
a a 
Comprimento de Onda e Índice de Refração 
Como vimos, o comprimento de onda da luz varia quando a velocidade da luz var a, 
como acontece quando a luz atravessa a interface que separa dois meios diferentes. 
Vimos também que a velocidade da luz em um meio depende do índice de refração 
do meio (Eq. 35-3). Assim, o comprimento de onda da luz em qualquer meio de-
pende do índice de refração do meio. Suponha que uma certa luz monocromática 
tem um comprimento de onda À e uma velocidade e no vácuo e um comprimento 
de onda À11 e u1na velocidade vem um meio cujo índice de refração é n. A Eq. 35-1 
pode ser escrita na forma 
V 
Àn = À -. 
e 
Usando a Eq. 35-3 para substituir v/c por 1/n, obtemos: 
À 
À,,=-. 
li 
(35-7) 
(35-8) 
A Eq. 35-8 relaciona o co1nprimento de onda da luz em qualquer meio ao compri-
mento de onda no vácuo; quanto maior o índice de refração do meio, menor o com-
pr1n1ento de onda nes::,t: 111eio. 
Con10 se comporta a frequência da luz? Seja!,, a frequ~11cia da luz em um meio 
cujo indice de refração é n. De acordo com a relação geral expressa pela Eq. 16-13 
( v = A/), podcn1os escrever 
V 
,;, = -
,\,, 
r . li cl 11 l ,. -- = -.\ /11 .\ 
qui: f i: a frequi:nc1a Ja lul lll' vácuo. 1\ ssin1, c111bora a , cloc1<l,\dc e o co111p11-~,11 . . . 
nit?Oll1 dl' ünda Ja lu1 seJan1 d1 tercntes no n1c10 e no vácuo, a .ti·equc11 L 1a ela tu:. e a 
Ili l 11l1 ,nci<> e 110 ,·acuo. Tllt'' < • 
(l tato de que o co1npn111e11to de onda da luz depende do índice de refração (Eq. 
,~-8) ~ in1portante em certas ~ituaçôes que envolve111 a interferência de ondas lumi-
~1:1sas. Assin1. por exen1plo. na Fig. 35-4, as ondas ,ios raios (i5to é, as ondas repre-
"·ntadas pelos raios) estão inicial111ente e1n fase no ar (11 = 1) e possue111 o n1esmo 
~limprimento de ond:1 À. Uma da~ ondas atravessa o meio l de índice de refração 11 1 e 
ll101primento L: a outra atravessa o 111eio 2 de índice de refração 112 e mesmo compri-
mento L. Quando as ondas deixam os dois 1neios, voltam a ter o mesmo comprimento 
de onda. o compri1nento de onda À no ar Entretanto, como o comprimento de onda 
nos dois meios era diferente, as duas ondas podem não estar mais em fase. 
j A diferença de fase entre duas ondas luminosas pode variar se as ondas atravessarem 
materiais com diferentes índices de refração. 
Como veremos em seguida, a variação da diferença de fase determina de que f orn1a 
as ondas luminosas interferem ao atingirem um ponto comum. 
Para calcular a diferença de fase em termos de comp1imentos de onda, primeiro 
contamos o número de comprimentos de onda N1 no comprimento L do meio 1. De 
acordo com a Eq. 35-8, o comprimento de onda no meio 1 é Àni = Aln1• Assim, 
L Ln1 M= . (35-9) 
À111 À 
Em seguida, contamos o número de comprimentos de onda N2 no comprimento L do 
meio 2, onde o comprimento de onda é Àn2 = A/71i: 
• (35-10) 
Para calcular a diferença de fase entre as duas ondas, basta determinar o módulo da 
diferença entre N 1 e N2• Supondo n2 > 121, temos: 
Ln2 Ln1 L N2 - N1 = - = - (n2 - n1). À À À 
(35-11) 
Suponhamos que a Eq. 35-11 revele q_ue a diferença de fase entre as duas ondas 
é 45,6 comprimentos de onda. Isso equivale a tomar as ondas inicialmente em fase e 
deslocar uma delas de 45,6 comprimentos de onda. Acontece que um deslocamento 
de um número inteiro de comprimentos de onda (como 45, por exemplo) deixa as 
ondas novamente em fase. Assim, a única coisa que importa é a fração decimal (0,6, 
no caso). Uma diferença de fase de 45,6 comprimentos de onda equivale a uma di-
ferença de fase efetiva ·de 0,6 comprimento de onda. 
Uma diferença de fase de 0,5 comprimento de onda deixa as ondas com fases 
opostas. Ao se combinarem, essas ondas sofrem uma interferência destrutiva e o ponto 
em que as duas ondas se superpõem fica escuro. Se, por outro lado, a diferença de 
fase é 0,0 ou 1,0 comprimento de onda, a interferência é construtiva e o ponto fica 
claro. A diferença de fase do nosso exemplo, 0,6 comprimento de onda. corresponde 
ª uma situação intermediária, porém mais próxima da interferência destrutiva, de 
Inodo que o ponto fica fracamente iluminado. 
Podemos tambén1 expressar a diferença de fase em termos de radianos ou graus, 
como fizemos anteriormente. Uma diferença de fase de um comprimento de onda 
eq. 
uivale a 21r rad ou 360º. 
PAR~E 4 º' 
1 ERfERE 
A u,f ,onça do índ 
rolrai;c_io pro"J1i2 um 
do la o ont,o o d , 
, 
~ I • 
d 
Figura 35-4 Du,1, onJa luminosas 
atravessam do,, meto~ com <li ferente 
índices de refração. 
• 
75 
A 
76 CAPÍTULO 35 
• 
, . 
supranumeranos 
Figura 35-5 O arco-íris primário e os 
arcos supranumerários são causados por 
interferência construtiva. 
TESTE 2 
\sondas hunínosu, Jo, 1,110\ da Fig 15.4 lc1n o ITI(\1110 co1npr11ncnto de ond.i e a 1ne m 
a1npli ll11 .. ll.• e estao 1111l.1ahncntc c1n lt1\t: (a) Se o 1nal<:11ul dr ci111u co1np11rta 7,r,n compr 
n1en10, de onda e o 1natcnal de baixo co1nport·1 5, 50 ro1nprin1cntos de onda, 4u,il é o ma 
leria! con1111a1ür índicL dL· rcíraçao'' (h) Se os raios luminosoc; forem ligeiramente convcr 
gentes. de n1odo a que as ondas se cncon1re1n cm umu tela di<,tantc. a in1crlcr~ncia produ11r 
u111 ponto 111uitu claro. un1 ponto claro, um ponto escuro ou um ponto muito escuro? 
O Arco-íris e a Interferência Ótica 
Na Seção 33-8, vitnos que as cores da luz solar podem se separar ao atravessarem go1 s 
de chuva, for1nando um arco-ír1s. Discutimos apenas a situação simplificada em q1 e 
u1n único raio de luz branca penetrava em uma gota. Na verdade, as ondas lurrúnos \ 
penetram e1n toda a superfície da gota que está voltada para o Sol. Não vamos discu r 
os detalhes da trajetória dessas ondas, mas é fácil compreender que diferentes part s 
da onda incidente descrevem trajetórias diferentes no interior da gota. Isso signifi a 
que as ondas saem da gota com fases diferentes. Para alguns ângulos de saída, a 1 2 
está em fase e acontece uma interferência construtiva. O arco-íris é o resultado des a 
interferência construtiva.Por exemplo: o vermelho do arco-úis aparece porque as e 1-
das de luz vermelha do arco-íris saem em fase das gotas de chuva na direção da qt d 
você está observando essa parte do arco-úis. As ondas de luz vermeliia que saem d s 
gotas em outras direções têm fases diferentes e a intensidade total é muito menor, e 
modo que a luz ve1melha não é observada nessas direções. 
Se você observar atentamente um arco-íris, talvez consiga ver arcos colorid s 
mais fracos, conhecidos como arcos supranumerários (Fig. 35-5). Como os are s 
principais do arco-úis, os arcos supranumerários são causados por ondas que sa€ n 
das gotas aproximadamente em fase, produzindo uma interferência construtiva. E n 
circunstâncias especiais, é possível ver arcos supranumerários ainda mais fracos n s 
vizinhanças de um arco-íris secundário. Os arco-úis são exemplos naturais de intL ·. 
ferência ótica e uma prova de que a luz é um fenômeno ondulatório. -::. -
Diferença de fase de duas ondas devido a uma difere11ça de índices de refração 
Na Fig. 35-4, as duas ondas luminosas representadas por 
raios têm um comprimento de onda de 550,0 nm antes de 
penetrar nos meios 1 e 2. As ondas têm a mesma amplitude 
e estão inicialmente em fase. Suponha que o meio 1 seja o 
próprio ar e que o meio 2 seja um plástico transparente com 
índice de refração 1,600 e uma espessura de 2,600 µ.,m. 
(a) Qual é a diferença de fase entre as duas ondas emergen-
tes em comprimentos de onda, radianos e graus? Qual é a 
diferença de fase efetiva (em comprimentos de onda)? 
IDEIA -CHAVE 
A diferença de fase entre duas ondas luminosas pode mudar 
se as ondas atravessarem meios diferentes, com diferentes 
índices de refração. Isso acontece porque os compritnentos 
de onda são diferentes em meios diferentes. Podemos cal-
cular a rnudança da diferença de fase contando o número 
de comprimentos de onda em cada meio e calculando a 
diferença entre os dois números. 
Cálculos Quando as distâncias percorridas pelas ondas nos 
dois meios são iguais, o resultado é dado pela Eq. 35-11. 
De acordo com o enunciado, n1 = 1,000 (índice de refração 
do ar), n2 = 1,600, L = 2,600 µ.,m e À = 550,0 nm. Nesse 
caso, de acordo com a Eq. 35-11, temos: 
L 
N2 - N1 = A (n2 - n1) 
2,600 X 10-6 m 
= 5,SOO X 10_7 m (1,600 - 1,000) 
= 2,84. (Resposta) 
Assi1n, a diferença de fase entre as ondas emergentes é 
2,84 comprimentos de onda. Como 1,0 comprimento de 
onda equivale a 21r rad e 360°, é fácil mostrar que essa di-
ferença de fase equivale a 
d1 ferença de fase = 17,8 rad :::::: l 020º. (Resposta) 
1\ diferença de fase efetiva é a parte decimal da di-
INTERFER~NCIA 77 
ferença de fase real expressa en1 co1n1Jrbne1ztos de oncla. 
Assim, temos: 
diferença de fase efetiva = 0,84 comprimento de onda 
(Resposta) 
É fácil mostrar que essa diferença de fase equivale a 5,3 
rad e a aproximadamente 300°. Cuidado: a diferença de 
fase efetiva não é igual à parte decimal da diferença de fase 
real expressa em radianos ou em graus; se a diferença de 
fase real é 17 ,8 rad, como neste exe111plo, a diferença de 
fase efetiva não é 0,8 rad e sim 5,3 rad. 
(b) Se os raios luminosos se ::ncontrassem em uma tela 
distante, produziria1n um ponto claro ou escuro? 
~aciocfnio Precisamos con1parar a diferença de fase efe-
tiva ?ªs ondas co1n a diferença de fa'ic que corrt!sponde 
aos t1~os extremos de interferência. No caso que estamos 
examinando, a diferença de fase efetiva (0,84 compri-
mento de onda) está entre 0,5 compri1nento de onda (que 
corresponde a uma interferência destrutiva e, portanto, a 
um ponto escuro na tela) e 1,0 comprimento de onda (que 
corresponde a uma interferência construtiva e, portanto, 
a um ponto claro na tela), mas está mais próxima de 1,0 
comprimento de onda. Isso significa que a interferência 
está mais próxima de ser construtiva do que de ser des-
trutiva e, portanto, será produzido na tela um ponto rela-
tivamente claro. 
35-3 Difração 
Na próxima seção vamos discutir o experimento que provou gue a luz é uma onda. 
Para compreender o experimento, precisamos conhecer o conceito de difração de 
urna onda, que será discutido com mais detalhes no Capítulo 36. O que acontece é o 
seguinte: quando uma onda encontra um obstáculo que possui uma abertura de dimen-
sões comparáveis ao comprimento de onda, a parte da onda que passa pela abertura 
se alarga (é difratada) na região que fica do outro lado do obstáculo. Esse alarga-
mento ocorre de acordo com o princípio de Huygens (Fig. 35-2). A difração não está 
limitada apenas às ondas lu1ninosas, mas pode ocorrer com ondas de todos os tipos; 
a Fig. 35-6 mostra a difração de ondas na superfície de um tanque com água. 
A Fig. 35. 7 a mostra a situação esquematicamente para uma onda plana inciden-
te de comprimento de onda À encontrando uma fenda de largura a = 6,0A em um 
anteparo perpendicular ao plano do papel. Depois de atravessar a fenda, a onda se 
alarga. As Figs. 35-7b (onde a= 3,0AJ e 35-7c (onde a = 1,5A) ilustram a principal 
propriedade da difração: quanto mais estreita a fenda, maior a difração. 
A difração constitui uma limitação para a ótica geométrica, na qual as ondas ele-
tromagnéticas são representadas por raios. Quando tentamos formar um raio fazendo 
passar a luz por uma fenda estreita ou por uma série de fendas estreitas, a difração 
frustra nossos esforços, fazendo a luz se espalhar. Na verdade, quanto mais reduzi-
Onda 
incidente 
~ f-il 
T 
a 
.i 
(6,0Ã.) 
Um feixe luminoso que passa 
por uma fenda sofre um 
alargamento (é difratado). 
Onda 
difratada 
) )~ 
(a) Anteparo (b) 
• .i 
a 
T 
(3,0Ã) 
~ioura 35-7 Difração de uma onda. Para u1n dado comprimento de onda À., quanto menor 
ª largura a da fenda mais pronunciada é a difração. As figuras mostram os casos em que 
:~:g.ura da fenda é' (a) a = 6,0A, (b) a = 3,0A e (e) a = 1,5A. Nos três casos, a fenda e o 
Paro se estendem perpendiculannente para dentro e para fora do papel. 
Figura 35-6 Difração de ondas na 
água de um tanque. As ondas são 
produzidas do lado esquerdo e passam 
por uma abertura estreita para chegar ao 
lado direito. (Runk Schoenberger/Grant 
Heilman Photography) 
(e) 
.i a 
T 
(l ,5Â.) 
/ 
/ 78 CAPÍTULO 35 
1 1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
Onda 
incidente 
n 
mos a la•·gura da fenda (na esperança de produ,11 u111 fei xe mais estreito), n1aior é, 
alarga,nento causado pela d1fraçf10. Assim, a ótica gco1nétr1ca só é váliua quando a 
fendas ou outras aberturas que a luz atravessa não têm ditncnsões da mesma ordem 
ou menores que o co,npri ,nento de onda da luz. 
35-4 O Experimento de Voung 
Em 1801, Thomas Y oung provou experimentalmente que a luz é uma onda, ao con. 
trário do qne pensava111 1nuitos cientistas da época. O que o cientista fez foi demon . 
Irar que a luz sofre interferência, como as ondas do mar, as ondas sonoras e todos J 
outros tipos de ondas. Além disso, conseguiu medir o comprimento de onda méd o 
da luz solar o valor obtido, 570 nm, está surpreendentemente próximo do valor at J. 
almente aceito, 555 nm. Vamos agora discutir o experimento de Young como um 
exemplo de interferência de ondas luminosas. 
A Fig. 35-8 mostra a configuração usada no experimento de Young. A luz de una 
fonte monocromática distante iiumina a fenda .'>0 do anteparo A. A luz difratada p la 
fenda se espalha e é usada para iluminar as fe11das S1 e S2 do anteparo B. Uma nova j. 
fração ocorre quando a luz atravessa essas fendas e duas ondas esféricas se propagr 11 
simultaneamente no espaço à direita do anteparo B, interferindo uma com a outra. 
O "instantâneo" da Fig. 35-8 mostra a interferência das duas ondas esféric s. 
Não podemos, porém, observar a interferência a não ser se uma tela de observaç o 
Ç for usada para interceptar a luz. Nesse caso, os pontos em que as ondas se ref r-
çam formam listas iluminadas, denominadas/ranjas claras, ao longo da tela (na t· 
reção perpendicular ao papel na Fig. 35-8). Os pontos em que as ondas se cancel n 
formam listas sem iluminação. denominadas franjasescuras. O conjunto de fran. ts 
claras e escuras que aparece na tela é chamado figura de interferência. A Fig. 3.: 9 
Máx 
Máx 
Máx 
Máx 
Máx 
Máx 
Máx 
Máx 
Má>.. 
- Máx 
Máx 
l\.láx 
/ 1 l\.fáx 
e 
As ondas que 
passam pelas duas 
fendas se superpõem 
e formam uma figura 
de interferência. 
Figura 35-8 No e.xper1n1ento de interferência de ,, oung. a luz 1nonocro1nática incidente 
é difratada pelJ fenda S11• que se Lo1nporta c0n10 uma fonte lun11nosa pontual, e1nitindo 
frentes de onda se1nicin.:ularcs. Quando u lu, rhega ao anteparo 8, é difratada pelas fendas 
S1 e S2, que ,e cornpo1ta1n como duns ,·ontcs lu,ninosas pontuais. As ondas lun11nosas 
que deixam ,ts fendas S, e S, se co,nbinan1 e sol'rc1n interlcr~ncia, lor111anuo u,n padrão 
Figura 35-9 Fotografia da figura 
de interferência produzida por u1n 
arranJo como o da Fig 35-8, ,nas 
com fendas curtas. (A fotografia é 
unia vista frontal de parte da tela 
de interfcrJnL1a, con1postu uc 1náxin1os e 1ni11in1os, n.1 tela dt ohser\açüo C. A ilustração 
é .ipenas u,na seção reta; as telas, as fenu:.is e .1 l1gu1a de 1ntcrfcrênc1:.i s1. cslende1n para 
dcntr'-' e p.1r,1 ti)ra do p.ipcl. Entie os anteparos B t C. dS frentes de onda se1nici1culares 
1.:0111 i.:enlro en1 S n1osttan1 as nnd.is que c:xisti11n1n se .apena., a lenda ~' est,, esse 
descoberta; ;_io; hent1.;s de onda sen1ic1rLul.ires con1 centro em S1 n1ostram as ond,1s qul! 
cx1sl1rian1 .,, apenas I fcnd.1 S1 ~1>tives e dec;,cohcrt..i. 
C.) Os 1naximos e m1nimos de 
intensidade são cha1nados de J1·a11jt1~ 
lfe i111e1j'erê11cia porque le111bram 
as f1anjas decorativas usadas en, 
colchas e tapetes . (Jearl l\'alker) 
' 
, "otografia de parte da figura de interferência que seria vista por um observador 
eurnai, B l e . . . d entre o anteparo e a te a no an·allJO da Fig. 35-8. 
situa o 
A Localização das Franjas 
Sabemos que as ondas luminosas produzem franjas em um experiniento de inte,fe-
rência de dupla fenda de You,ig, como é chamado, mas o que dete11nina a localização 
das {ranjas? Para responder a essa pergunta, vamos usar o arranjo experimental da Fig. 
'.\'i-lOa. Uina onda plana de luz 1nonocromática incide em duas fendas S1 e S2 do anteparo 
8~ ao atravessar as fendas, a luz é difratada, produzindo uma figura de interferência na 
teia e. Traçamos, como referência, um eixo central perpendicular à tela, passando pelo 
ponto médio da~ duas fendas. Em segui?ª• escolhemos um ponto arbitrário P da tela; o 
ânoulo entre o eixo central e a reta que liga o ponto P ao ponto 1nédio das duas fendas é 
ch::mado de 8. O ponto Pé o P<'i1to de encontro da onda associada ao raio r 1, que parte 
da fenda de baixo, com a onda associada ao raio r2, que parte da fenda de cima. 
As ondas estão em fase ao chegarem às duas fendas, já que pertencem à mesma 
onda incidente. Depqis de passar pelas fendas, porém, as 01,1das percorrem distân-
cias diferentes para chegar ao ponto P. Encontramos uma situação semelhante na 
Seção17-5 do Volume 2, quando estudamos as ondas sonoras, e concluímos que 
"' • A diferença de fase entre duas ondas pode mudar se as ondas percorrerem distâncias diferentes. 
A mudança da diferença de fase ocorre devido à diferença de percurso !l.L entre as 
duas ondas. Considere duas ondas que se encontram inicialmente em fase e percor-
rem caminhos diferentes tais que a diferença entre as distâncias percorridas é !l.L ao 
se encontrarem no mesmo ponto. Se !l.L é zero ou um número inteiro de comprimen-
tos de onda, as ondas chegan1 ao ponto comum exatamente em fase e a interferência 
nesse ponto é const1utiva. Quando isso acontece para as ondas associadas aos raios 
r1 e r2 da Fig. 35-1 O, o ponto P está no centro da franja clara. Por outro lado, quando 
11L é um múltiplo ímpar de metade do comprimento de onda, as ondas chegam ao 
ponto comum com uma diferença de fase ,de exatamente meio comprimento de onda 
e a interferência é destrutiva. Nesse caso, o ponto P está no centro da franja escura. 
(Naturalmente, temos também situações intermediárias em que a iluminação do ponto 
Pé menos intensa que no primeiro caso, mas não chega ser nula.) Assim, 
Onda 
incidente 
,._ ___ D ---.i 
p 
" 
B e 
T 
)' s9 • 
l d 
A interferência 
é causada pela 
diferença !!,.L 
entre 
\ 
e' '1 e '2· \ 
\ 
eh 
Diferença das distâncias, llL 
PARTE 4 
INT[RFE.HlNCIA 79 
Figura 35-1 O (a) Os raios luminosos 
que partem das fendas S 1 e S2 ( que se 
estendem para dentro e para fora do 
papel) se combinam em P, um ponto 
arbitrário da tela C situado a uma 
distância y do eixo central. O ângulo () 
pode ser usado para definir a localização 
de P. (b) Para D~ d, podemos supor 
que os raios r1 e r2 são aproximadamente 
paralelos e faze1n um ângulo () co1n o 
eixo central. 
80 C1\PIT U LO 35 
• 
1\ p11siç-.11111,11cl.i d11 lc11t111 dt• 11111 t lr,11111 cl 1r I tJll i.: ur I pckl r 
at 1.1, L'" d11 .111 t' 1111 li L1 11 t1 C' 11 1,1111 <.: 111 rcsp1111dc111c e n e, <1 Ct.: ntr d I' 1 
preci ... o conhL'Ll'I a 1L·l 11~·.1n l'llltC' li L' ~/ . < on1c~ 111H> rx r d ·I rrn,11 r un 
longo <lo pcrcur,o <lo 1.1io , , tal que ,1 di<il ,111L i., de /, 1 / ' J,t 1 •u I d1 t1:1nc1a 
a P (f'ig. J5- 1 C)a) Nes,c ca,o. a dill.: rcnça 11. cnt,e ,ts dr r,inc, 1 per 1rr1d 
doic; raios é igual ;, d1c,,tfincia entre S, e />. 
A C\.JJressão n1alt>111átil'a da relação entre e<;-..i di t.inL Ílt e li é compile d 
se torna 111uito 111ais si111ple" ,e a di•,lância D L'nlre as fcn<l,1o; e., 1cl.1 for n1u110 m 1 
que a clistânC'1a c/ entre as fendas. Nes:-.c ca,o. poden1tls c,,upt>r que os raio r e 
são apro:xin1ada1nente paralelos e f a1c1n o 1nesn10 ,1ngu lo O c11m o ci xo central (f 1 
35- lOb). Podemos tatnbém supor que o triângulo formado por S
1
, !:>'2 e/, é u,n tná 
gulo retângulo e que o ângulo interno desc;e triângulo no vértice S2 t: li . Nesse ca 
sen (} = ó.IJd e, portanto. 
ü.L = ri scn O (difcrençi! rlc pcr.:ur.;o ). (35-1 :! 
No caso de uma fra11ja clara, M é igual a zero ou a um número inteiro de comp · 
mentos de onda. De acordo com a Eq. 35-12, essa condição pode ser expressa a 
fonna 
ou 
!:lL = d sen (J = (número inteiro)(.A), (35-J J 
d sen fJ = ni.A, param = O, 1, 2, ... (máximo;, franj:,.:; claras). (35-14 
No caso de uma frrutja escura, í:lL é um múltiplo ímpar de metade do comprimer o 
de onda. De acordo com a Eq. 35-12, essa condição pode ser expressa na forma 
!:lL = dsen8 = (númeroímpar)(~A), (35-1 ) 
ou 
d sen8 = (m + !)A, param = O, 1, 2, . . . (rrúnimos; franjas escuras). (35-lt 
As Eqs. 35-14 e 35-16 podem ser usadas para determinar as posições (} das frr 1· 
jas claras e escuras; além disso, os valores de m podem ser usados para identificar ts 
diferentes franjas. Param = O, a Eq. 35-14 nos diz que existe uma franja clara t n 
8 = O, ou seja, no eixo central. Esse máximo central é o ponto no qual tll, = O. 
Param = 2, por exemplo, a Eq. 35-14-nos diz que existem franjas claras pél ·a 
valores de (} tais que 
• 
acima e abaixo ,io eixo central. A diferença das distâncias percorridas pelos raios ,
1 
e r2 até esse ponto é tll, = 2À e a diferença de fase é de dois comprimentos de onda. 
Essas franjas são chamadas de franjas claràs de segunda ordem ou máximos laterais 
de segunda ordem (a posição das franjas claras de primeira ordem pode ser obtida 
fazendo m = 1 na Eq. 35.14). 
Param= 1, a Eq. 35-16 nos diz que existem franjas escuras em valores de 8 
tais que 
(} -1 1,5À = sen 
d 
acima e abaixo do eixo central. A diferença das distâncias percorridas pelos raios 
r1 e r2 até esse ponto é ôL = 1,5À e a diferença de fase é de 1,5À. Estas franjas são 
chamadas de franjas escuras de segunda ordem ou mínimos de segunda orde,n (a 
posição das franjas escuras de primeira ordem pode ser obtida fazendo m = O na 
Eq. 35.16). 
PARTE' 4 
INTERFERttlCIA 81 
;\s Eqs. J5 14 e J5- I (1 foran1 obtidas supondo que D » e/. Entretanto, elas !atn-
sl' ·iplicatn Sl' colOL'an11os tuna lente convergente entre as lendas e aproxi1nar1nos 
liL'111 • ' t 1 · ~ . D . . 1 ~d. ~ . 1· 
1 1
,1s rcnuas :ttl: que a l 1stanc1a ScJa 1gua ,, 1stanc1a ocal da lente. íNesse ·1ll':ll• • 
· ... ) uitL'ntos que a tela se encontra no 11la11ofocal da lente.) Un1a das propriedades 
L,ISl • < d d . . tentes convergentes l: a e que to os os raios paralelos são focalizados em um 
d,IS f' l ~ , , . 11<1 1,onto do plano oca . f\ss1n1, os raios que chega,n ao n1esmo ponto da tela ntt'SI • 
• 1•1 s·i·ru,v·iio cran1 paralelos quando de1xaran1 as fe11das (e, nesse caso, estamos llt'S • • ~ 
filiando de t1111 paralelis1no ~xa~o .e .não aproxi1nado, co1no no caso em que D ~ cl). 
Esses raios são con10 os raios 1111c1aln1ente paralelos da Fig. 34-14a, que são con-
ci:-nrrados em un1 ponto (o ponto focal) por un1a lente. 
' TESTE 3 
Na Fig. JS-1 Oa. qual t n valor de t::..L (e1n nún1ero de co1nprbn entos de onda) e qual é a 
Jifcicnça Jc fase (en1 ~on1priinentos de onda) entre os dois raios se o ponto P corresponde 
(a) a 11111111:ixilno lateral de terceira orden1 e (b) a um mínin10 de terceira ordem? 
Exemplo I' ' .' ' ,- ·::·:-.~·~ , 
. · . . j., . ' . .-.~~. 
Figura de interferência de dupla fenda 
Qual é a distância na tela C da Fig. 35-1 Oa e11tre dois máxi-
mos vizinhos perto do centro da figura de interferência? O 
co1nprin1ento de onda À da luz é 546 nm, a distância entre as 
fendas d é O, 12 m1n e a distância D entre as fendas e a tela 
é 55 cm. Suponha que o ângulo() da Fig. 35-10 é suficien-
temente pequeno para que sejam válidas as aproxilnações 
sen () = tan O = (), onde () está expresso em radianos. 
IDEIAS-CHAVE 
(1) Em primeiro lugar, escolhemos um máximo com um 
valor pequeno de 111 para ter1nos certeza de que está nas 
proximidades do centro. De acordo com a Fig. 35-1 Oa, a 
distância vertical .v,,, entre um 1náximo secundário e o cen-
tro da figura de interferência está relacio11ada ao ângulo () 
correspondente ao mesmo ponto através da equação 
t (J () 
Y,11 
an = = D . 
(2) De acordo com a Eq. 35-14, este ângulo () para o má-
ximo de orden1 111 é dado por 
seno= o= l11À ti . 
Cálculos Igualando as duas expressões e explicitando Ym• 
temos: 
y,,, = 
m,\D 
d 
(35-17) 
Fazendo o mesmo para o máximo de ordem 1n + 1, ob-
temos: 
(m + l)AD 
Y,11 +1 = d (35-18) 
Para obter a distância entre esses máximos vizinhos, basta 
subtrair a Eq. 35-17 da Eq. 35-18: 
AD 
6.y = Y,11+1 - y,,, = d 
_ (546 X 10-9 m)(55 X 10- 2 m) 
0,12 X 10-3 m 
= 2,50 X 10- 3 m = 2,5 mm. (Resposta) 
Este resultado mostra que, para d e () pequenos, a distância 
entre as franjas de interferência é independente de m, ou 
seja, o espaçamento das franjas é constante. 
Exemplo 
Figura de interferência de dupla fenda com plástico em uma das fendas 
Uma figura de interferência é produzidri en1 um experi1nen-
to d~ dupla fenda co1no o da Fig. 3 5-1 O. A luz é monocro-
rática, con1 u1n con1pri1ne11to de onda de 600 nm. Uma 
olha de plástico transparente cujo índil.'e de refração é 
n == 1 50 , , e colocada e1n un1a das fendas, fazendo co1n que 
a figura de inte1ferência se desloque em relação à figura 
original. A Fig. 35-1 la 1nostra as posições originais do 
1náximo central (,n = 0) e das franjas claras de primeira 
ordem (111 = 1) acima e abaixo do máximo central. O ob-
jetivo do plástico é deslocar a figt1ra de interferência para 
' 
r 
82 CAPÍTULO 35 
cin1a, fazendo corn que a franja clara de pritneira ordem 
fique no centro da tela. O plástico deve ser colocado na 
fenda superior (co1no está n1ostrado arbitrariamente na Fig. 
35-11 b) ou na fenda inferior? Qual deve ser a espessura L 
da folha de plástico? 
IDEIA ~CHAVE 
A interferência em um ponto da tela depende da diferença 
de fase entre as ondas provenientes das duas fendas. As 
ondas estão e1n fase ao chegarem à$ fendas, mas a rela-
ção entre as fases das duas ondas pode mudar no trajeto 
até a tela (1) por causa da diferença entre as distâncias 
percorridas pelas duas ondas e (2) por causa da diferença 
do nú1nero de comprimencos de onda das duas ondas em 
parte dei trajeto até a t~ta, caso uma das fendas seja cober-
ta co1n plástico. 
Diferença de percurso A Fig. 35-1 la mostra os raios , 1 
e r2 ao longo dos quais as ondas provenientes das duas 
fendas se propagam para chegar à franja clara inferior de 
primeira ordem. As ondas chegam às fendas em fase e 
chegam à franja com uma diferença de fase de exatamen-
te 1 comprimento de onda. Par~ não nos esquecermos 
desta característica importante da franja, vamos chamá-la 
de franja lÀ. A diferença de fase se deve à diferença das 
distâncias percorridas pelos dois raios, que, neste caso, é 
r 2 - r 1 = À. 
A Fig. 35-11 b mostra a franja lA deslocada para o 
centro da tela depois que a folha de plástico é colocada 
em uma das fendas (ainda não sabemos se a folha deve 
ser colocada na fenda de cima ou na fenda de baixo). A 
figura mostra também as novas direções dos raios r1 e 
r
2
• A diferença de fase entre os dois raios ainda deve ser 
igual a A (já que ainda produzem a franja lA), mas agora 
a diferença de comprimento dos dois percursos é zero, 
como se pode ver pela geometria da Fig. 35-1 lb. Assim, 
a diferença de fase é causada unicamente pela presença 
da folha de plástico. 
Comprimento de onda no plástico O comprimento de 
onda da luz À, em um material de índice de refração n é 
dado pela Eq. 35-8 (À,, = Âln). Isso significa que o com-
primento de onda da luz é menor no plástico (n = 1,40) 
que no ar (,z = 1,00). Assirn, a luz que passa pelo plástico 
apresenta 1nais oscilaçoes que a lu1. que passa pelo nr e o 
compri1nento de onda a mais para o raio 2 pode ser o ht1-
do colocando o plástico na fenda de cima. co,no na I·ig. 
35-1 lb. 
Espessura Para calcular a espessura Lda folha de plásti -
co, observamos que as ondas, que estão inirialmente em 
fase, percorrem distâncias iguais, L, em diferentes ma-
teriais (plástico e ar). Como conhecemos a diferença de 
fase e estamos interessados em determinar o valor de L. 
usamos a Eq. 35-11, 
L N
2 
- N
1 
= - (n2 - n1). (35-19) 
À 
Como a diferença de fase deve ser de urrt comprimento de 
onda, sabemos que N2 - N1 = 1. Sabemos também que 
n
2 
= 1,50, n1 = 1,00 e À = 600 X 10-
9 m. Explicitando 
L na Eq. 35-19 e substituindo os valores conhecidos, ob-
temos: 
A(/\/2 - N1) L - -- -
(600 X 10- 9 m)(l) 
1,50 - 1,00 n2 - 111 
= 1,2 X 10- 6 m. (Resposta) 
(a) 
A diferença dos índices de 
refração produz uma diferença 
de fase entre os raios que 
desloca para cima a franja 1 À. 
m=l 
1n= O 
m=l 
Franja 1 A 
Franja 1 ). 
(b) 
Figura 35-11 (a) Arranjo para um experimento de dupla 
fenda (o desenho não está em escala). As posições de três 
franjas claras estão indicadas. (b) Uma folha de plástico é 
colocada na fenda de cima. O objetivo é fazer com que a franja 
lÀ seja deslocada para o centro da tela. 
35-5 Coerência 
Para que uma figura de inte1ferê11cia apareça na tela C da Fig. 35-8, é preciso que 3 
diferença de fase entre as ondas que chegam a um ponto qualquer P da tela não va· 
rie com o tempo. É o que acontece no caso da Fig. 35-8, já que os raios que passaJ11 
pelas fendas S1 e S2 fazem parte de n1esma onda, a que ilumina o anteparo B. CoJ11° 
a diferença de fase permanece constante em todos os pontos do espaço, dizemos qoe 
os raios que saem das fendas S1 e S2 são totalmente coerentes. 
luz solar é parcialn1cnlc cocrc'.1tc. ou seja, a di fe rcn(,'.a de fase entre ru10.., :-.o-
A t•rceptaoos en1 dois pontos diferentes e constante apenas se os pontos e\ti-
!Jre~ ,n t: . • . . 
, nuito pru'dtnos. Quantia olhan1os tlc perto unia unha ilu1n1nada dirctan1ente 
, ert ,n , . d . 1· A • , 
S I yen1ús un1a tigura e inter erenc1a que e chan1ada de SJJeckle (tnancha, en1 lt:lO O • 
l ,,Jês) porque a unha parece estar coberta de rnanchas. Esse efeito acontece porque 
,n= das lurninosas espalhadas po,. pontos próxitnos da unha são suficienten1ente 
l' on . . . e A • A e d 
· it.,., para que haJa 1nter1erenc1a. s 1en as em um experimento de dupla fenda coe rei .. · . . . . . • 
.,111 "'stão muito mais distantes;se forem 1lun11nadas com luz solar os ,aios na por.. · .. · _ . . • 
. da das duas fendas serao incoerentes. P,u·a obter raros coerentes, é preciso fazer 
S,ll . . , . ç 
, luz solar passar pnme1ro por uma u111ca ienda, co1no na Fig. 35-8; coino a fenda é 
:streita. a luz que a atravessa é coerente. Além disso, a f euda faz coin que a luz co-
rente seja difratada, espaJhru1do-a o suficiente para que as duas fendas usadas para 
eroduzir a figura de interferência sejam ilutninadas. -::lua: 
p Quando. em vez de fendas, usamos duas fontes lu1ninosas independentes, con10 
fios incandescentes, a diferença de fase entre as ondas associadas aos dois raios varia 
rapidamente com o tempo e de forma aleat61ia. (Isso acontece porque a luz emitida 
pelos dois fios é produzida ~~r um grande número de átomc>s, que se comportam de 
forma independente e aleator1~, en1 uma escala de tempo extremamente curta, da or-
dem de nanossegundos.) Err1 consequência, em qualquer ponto da tela de observação, 
a interferência entre as 0ndas associadas aos dois raios varia de construtiva em um 
dado rr10n1ento pru·a déstrutiva no momento seguinte. Como o olho (e os detectores 
óticos 1nais comuns) não consegue acompanhar essas rápidas mudanças, nenhuma 
figura de interferência é observada; as franjas não são observadas e a iluminação da 
tela parece uniforme. 
O que foi dito no parágrafo anterior não se aplica se as duas fontes luminosas 
torem lasers. Os átomos de um laser emitem luz de forma sincronizada, o que toma 
a luz coerente. Além disso, a luz é quase 1nonocron1ática, é emitida co1no um feixe 
fino e pode ser focalizada por uma lente em uma região pouco maior que um com-
primento de onda. 
35-6 Intensidade das Franjas de Interferência 
As Eqs. 35-14 e 35-16 per1nitem determinar a localização dos máximos e mínimos 
de interferência que vão aparecer na tela C da Fig. 35-1 Oa em função do ângulo 8 
definido na mesma figura. Vamos agora obter uma expressão para a i11tensidade I 
das franjas em função do ângulo 8. 
As ondas luminosas estão em fase quando deixam as fendas, mas vrunos supor 
que não estão em fase ao chegarem ao ponto P. Nesse caso, as componentes do campo 
elétrico das duas ondas que chegam ao ponto P da Fig. 35-lOa são dadas por 
E1 = E0 sen wl 
E2 = E0 sen(wt + e/>), 
(35-20) 
(35-21) 
onde w é a frequência angular das ondas e <f> é a constante de fase da onda 2. Obser-
ve que as duas ondas tê1n a 1nesrna amplitude E0 e uma diferença de fase <f>. Co1no a 
diferença de fase é constante. as ondas são coerentes. Va1nos mostrar daqui a pouco 
yue as ondas se combina1n no ponto P para produzir uma ilu111inação de intensida-
de l dada por 
unde 
</> = 
21rtl 
À 
(35-21 ) 
s1:n fJ (3.5-23) 
:a Eq. 3~-22, /0 é a intensidade da luz que chega à tela quando unia dus fendas e~t:í 
rnporanamentc cobe11a. Va,nos supo1 que as fendas ~ão tão estreitas e111 coinpa-
- , PART 
U~TERFlRtNCIA 83 
S4 CAPÍTULO 35 
d e ... 1·ntcnsid·1dc da lu, quand<> umé.l <las f cndil - i nento de on a qu " · • raçao com o co1npr, ·r toda a rcg,:-10 de intcn·~sc na tcl,1. , · ente un11or1ne em • . 
está coberta e pratlcam . como a intensidade J da 1igurêl de 1nlcr 
E 35 22 e 35-23 que most1 am . _ As qs. -
4 
' d F.. 35_10 contêm necessariamente 1nlormaç
1>e 
ferê11cia varia com o angulo 8 ª . ig. , · . mos de intensidade. Vej.imos como é 
a respeito da localização dos máximos e m1n1 
possível e~trair essaEs in3fo5rm2;çi;:os que os rnáximos de intensida<Je ocorrem pard 
Exa1n1nando a q. - , 
l 
_ O l 2 (35-24) 
2
</> = n1'1T, param - , , , · · · · 
Substituindo este resultado na Eq. 35-23, obtemos: 
2'1Td 
2ni '1T = ,\ sen e, para m = O, 1, 2, . . · 
d sen () = niÀ, param = O, 1, 2, · · · (máximos), 
(35-25) 
ou 
que é exatameiite a Eq. 35-14, a expressão que deduzimos anteriormente para a o-
calização dos máximos. 
Os mínimos da figura de interferência ocorrem para 
~</> = (m + !)'1T, param= O, 1, 2, .... 
Substituindo este resultado na Eq. 35-23, obÍemos 
(35--6) 
d senfJ = (n1 + ; )A, para ,n = O, 1, 2, . . . (mínimos), (35-_ 7) 
que é igual~ Eq. 35-16, a expressão que deduzimos anteriormente para a local1 ·a-
ção dos mínimos. _ 
A Fig. 35-12, que é um gráfico da Eq. 35-22, mostra a intensidade da luz na 
tela em função da diferença de fase </> entre as duas ondas que chegam à tela. A li-
nha cheia horizontal corresponde a /0 , a intensidade (uniforme) que aparece na ~la 
quando uma das fendas é coberta. Observe que, de acordo com a Eq. 35-22 e o l ·á-
fico, a intensidade I varia desde zero, no centro dos espaços entre as franjas, até lo, 
no centro das franjas. 
Se as ondas provenientes das duas f9ntes (fendas) ft)ssem incoerentes, não 1a-
veria uma relação de fase constante entre as ondas e a intensidade teria um vt or 
uniforme 2/0 em toda a tela; a linha tracejada horizontal da Fig. 35-12 correspo1 de 
a esse valor. 
A interferência não cria nem destrói a energia luminosa, mas simplesmente re· 
distribui essa energia ao longo da tela. A intensidade média na tela é 2/0, sejam as 
fontes coerentes ou não. Este fato é comprovado pela Eq. 35-22; quando substituímos 
o cosseno ao quadrado pelo valor médio da função, que é 1/2, obtemos / méd = 210. 
Intensidade 
na tela 
- -- --- --- -- -- - -,..++,~~ -- - -- -- - .... _._ 
5,r 4n 3n 2,r ,r o 2,r 3n 4,r 
2 ) o 1 2 
410 (duas fontes coerentes) 
_[2~o (duas fontes incoerentes! 
lo (uma fonte) 
111, para os m áximos 
9 1 O O - 1 2 · · - n1, para os m1n11n os 
2 ,5 2 1,5 l O ,5 O O, 5 l 1,5 2 2 ,5 t:.L/ )., 
Figura ~35~ 12 Gráfico da Eq. 35-22, mostrando a intensidade de tuna figura de 
1nterferenc1a de du~la fenda ~m função da diferença de fase entre as ondas provenientes 
das duas fendas. /0 e a 1ntcns1dade (uniforme) que seria observada na tela se uma das 
fe~d~s fosse coberta. A intensidade média da figura de inte1f erência é 2/
0 
e a intensidade 
,naxuna (para luz coerente) é 4/0 • 
mor1straç o das Eqt1açoe 35-22 e 35 23 
11111,,n.H •1,,.. ,,111pt,111. 11,,..,.., d, 1 ,..-.,11,p, 1,.. Jt 111c 1J I I c I , d.11 l,1 1 e l,, s J q ~ 1S 211 \ "'º' l \ - ,1 rt."•PC'lll\:lllh.'Jl(('. llS,tllll11 O lll l'l1ld11 dPs r., lllt:S, d11o,,..11t1d11111 Scç,1(.1 li} 11 
l"I -
11
, ,.., 11a. ,1, ,,nd.i, c,Hn ,..,..l111p,,nen11:, 1~1 e I 2 s,1n 1cp1c cnt.1d:t!. 11111 f,1 t111..:s de 
· 1111 , f ,..1uc ~11.1n1 .:111 1 ... ,, no 11.1 n1 igcn1 con1 ,clnc1dadc 1n•
1 ul,1r 111. ()s v.il,11c 
111p 1 l l l - _ • _ e f e: E cn1 qu.dqu,·1 1n,:.1nh.: ,.,o ,Is pro1c':i·ues d1)s t ,1so1 ci; c01 rc'>pondcntcs no cix11 
•nl \ l·i!l ,) J 'ti 11\llSll,\ t)', ta,o:e, C \U.\'i f11l1fCL'ÔCS Cll1 lllll in,,;t,1lllC dL lClllJ1ll 
,crt1l" • · 
rvitr.in,.., t. De ., ... orJ ... , ... ·on~ .,, Eq~. 35-20 e ~5-2 1. o angulo de rotai;[tcl do tastir de 
e wt ,... 0 Jngulo de rotaçao do laso1 de E_ e c1Jt + <J> (o IJ')Or de E2 e,1.1 .1<l1antauo 
de uni Jng.u ll, <f> en1 relação ao fa,or de E,). Q11ando os t asore') gi1an1. ,1s projeções 
Jo, r.,sl,rcs no er,o , ei-t1cal , ar1an1 com o tempv na 1ne51na f orn1a que as funções 
enl,iJai, das Eqs. 35-20 e 35-2 l. 
Para co1nb1nar as co1nponentes do ca1npo E, e E1 en1 un1 ponto P qualquer da 
f•~- 35-1 O. somamos \ eto1ialme11te os fasores, co,no na Fig. 35-13b. O módulo da 
,ü~a vetorial é a an1plitude E.: da onda resultante no ponto P; essa onda tem uma 
certa constante de fase f3. Para detenninar a amplitude E na Fig. 35-13b, observa-
n1os em pri1neiro lugar que os dois ângulos assinalados como {3 são iguais porque 
,ão opostos a lados oe mesmu comprimento de ttm triângulo. De acordo com um 
r~orema (válido pc1r:1 qualquer triângulo), segunde, o qual um ângulo externo(</>, na 
Fig. 35-13b) é igual à soma dos dois ângulos internos opostos (/3 e /3, neste caso). 
remos f3 = (/>/2. Assim, 
E = 2(E0 cos /3) 
= 2E0 cos ~ <f,. -
Elevando ao quadrado os dois membros da equação, obtemos: 
E 2 = 4Eã cos2 t<J>. 
(35-28) 
(35-29) 
De acordo com a Eq. 33-24, a intensidade de uma onda eletromagnética é 
proporcional ao quadrado daamplitude. Nesse caso, as ondas que estamos combi-
nando na Fig. 35-13b, ambas de amplitude E0, têm uma intensidade 10 que é pro-
porcional a EJ, e a onda resultante, de amplitude E, tem uma intensidade 1 que é 
proporcional a E2. Assim, 
I E2 ----
lo Eõ. 
Substituindo a Eq. 35-29 nesta equação e explicitando a intensidade J, obtemos: 
I = 410 cos2 t<J>, 
que é a Eq. 35-22, uma das equações que nos propusemos a demonstrar. 
Resta demonstrar a Eq. 35-23, que relaciona a diferença de fase</> entre as ondas 
que chegam a um ponto P qualquer da tela de observação da Fig. 35-10 ao ângulo 8 
usado para indicar a localização do ponto. 
A diferença de fase <f> na Eq. 35-21 está associada à diferença de percurso que 
corresponde ao segmento S
1
b na Fig. 35-lOb. Se S,b = A/2, </> = 1r; se S,b = À, 
cf, = 21r e assim por diante. Isso sugere que 
diferença _ 21r diferença entre) 
de fase - À as distâncias · 
(35-30) 
Como a diferença de percurso S,b na Fig. 35-lOb é igual a d sen 8, a Eq. 35-30 se 
toma 
21rd 
<f> = A sen8, 
que é a Eq. 35-23, a outra equação que nos propusemos a demonstrar. 
I 
1 
I 
1:., 
(a Fasore que repr 
ondas podem ser om 
pnra obter a onda r 
l ___ _ 
{b) 
Figura 35-13 {a) Fasc,re~ 
representando. no instante t. as 
componentes do campo elétrico dadas 
pelas Eqs. 35-20 e 35-21 Os dois 
fasores têm módulo E0 e giram no 
sentido anti-horário com velocidade 
angular w. A diferença de fase é </J. (b) 
A soma vetorial dos dois f asores fornece 
o fasor que representa a onda resultante. 
de amplitude E e constante de fase {3. 
1 
1 1 
1 
86 CAPÍTULO 35 
Combinações de Mais de Duas Ondas 
Caso seja necessário calcular a resultante de três ou rnai c; ondas :-.enoidais, hast~1 ta. 
zer o seguinte: 
1. Desenhe uma série de fasores para representar as ondas a serem combinadas. Ca<la 
fasor deve começar onde o anterior termina, fazendo com este um ângulo igual ~ 
difere11ça de fase entre as ondas correspondentes. 
2. Deternune o fasor soma ligando a origem à extremidade do último fasor. O me,. 
dulo do fasor soma corresponde à amplitude máxima da onda resultante. O ángu. 
lo entre o fasor sotna e o primeiro fasor corresponde à diferença de fase entre O\ 
dois fnsores. A projeção do fasor soma no eixo vertical corresponde à amplitude 
instantânea da onda resultante. 
Quatro pares de ondas luminosas chegam, sucessivamente, ao mesmo ponto de uma tela d, 
observação. As ondas tê1n o mesmo comprimento de onda No ponto de chegada, as dua 
amplitudes e a diferença de fase são: (a) 2E0, 6E0 e 1r rad; (b) 3E0, 5E0 e 1t rad; (e) 9Eo, ?E 
e 31t rad; (d) 2E
0
, 2E
0 
e O rad. Coloque os pares de ondas na ordem da intensidade da lu 
no ponto de chegada, começando pela maior. (Sugestão: desenhe os fasores.) 
, . - ~ 
• • ' ' • 1 ~ 
·' ExeQ1plo : . , 
Combinação de três ondas luminosas usando fasores 
Três ondas lu1ninosas se combinam em um ponto no qual 
as componentes do campo elétrico das três ondas são 
E1 = E0 senwt, 
E2 = E0 sen(wt + 60º) , 
E 3 = E0 sen(wl - 30º). 
Determine a componente do campo elétrico resultante, 
E(t), no mesmo ponto. 
1 DE, IA CHAVE'·,.-. • ... ,-, .. -'·~--''"i.'01' - • • - ,• • ' • • :,~·.· '. 1 ,. 1 ! .- - "' ,_,_. ... ''.• - •3!ifr. 
A onda resultante é 
E(t) = E1(t) + E2(t) + E3(t). 
Podemos usar o método dos fasores para calcular a soma 
e estamos livres para representar os fasores em qualquer 
instante de tempo t. 
Cálculos Para facilitar a tarefa, escolhemos o instante t = 
(J, o que nos leva a uma construção co1no a que aparece 
na Fig. 35-14. Podemos somar os três fasores usando uma 
calculadora científica ou somando as con1ponentes. Para 
aplicar o método das compone11tes, escrevemos primeiro 
a soma das componentes horizontais: 
L E1, = E0 CClS O + E0 cos 60º + E0 C<)s(-30º ) = 2,37 E0. 
A so1na das componentes verticais, que é o valor de E em 
t = O, é dada por 
L E,.= E0 sen O+ E0 scn60º + E0 sen(-30' ) = U,366E0. 
A onda resultante E(t) te1n un1a an1plitude ER dada por 
-
Fasores que representam 
ondas podem ser somados 
para obter a onda resultante. 
E 
f3 Eo 
Figura 35-14 Três fasores, representando ondas de 
amplitudes iguais E0 e constantes de fase Oº, 60° e - 30º, 
mostrados no instante t = O. Os fasores se combinam para 
formar um fasor resultante de módulo ER e constante de fase /3 . 
ER = V(2,37Eo)2 + (0,366E0) 2 = 2,4E0, 
e um ângulo de fase {3 em relação ao fasor E1 dado por 
(.). = tan-1 ( 0,366Eo ) = º 
/J 2,37 E
0 
8•8 . 
Podemos agora escrever, para a onda resultante E(t), 
E = ERsen(wt + {3) 
= 2,4E0sen(wt + 8,8º) . (Resposta) 
, 
E preciso tomar ct1idado para interpretar corretamente o 
ângulo {3 na Fig. 35-14: trata-se do ângulo entre ER e E1, 
que se mantém constante quando os quatro fasores giram 
como um todo em tomo da origem. O ângulo entre ER e o 
eixo horizontal só é igual a {3 no instante t = O. 
35
_7 Interferência em Filmes Finos 
, 
1
ue ven1o:-. quanJo il luz sohu· 1ncide e1n un1a bolha de sabão ou en1 u,na mancha \, ..:ort-. l . l' ~ . d d l . . ., . 
.. -
10 
causadas pela inter erenc1a as on as u1runosas refletidas pelas super( 1c1es 
d> lllt~ll S, 
e . . ., po:-.terior de u1n filn1e fino transparente. A espessura do fihne é tipicamente 
u11~no1 .. . 
' ,,.,
11
,a orde1n de grandeza que o cuinpnmento de onda da luz (visível) envolvida. 
J,I tll d A • d l ' • 
1 
. ,..,. espessuras estroen1 a coerenc1a a uz necessar1a J)ara produzir as cores.) 
( :\ ;11,1, '-, · ' 
A Fig. 35-15 1nostra un1 filme fino transparente de espessura unifor1ne L e índice 
Je refração 11
1
, ilumin~~o por raios de luz de comprit~ento de 011d~ ,\ emitidos por 
unia fonte distante. Inic1~lmente, vamos s~p.or que ex~ste ar dos dois lados do filme 
e. portanto, 11 1 == n3 n_a Fig. 35-15. Par~ fac1l1tar a <'l:nál1se, vamos supor també1n que 
0
, raios lun1inosos sao quase perpe11d1culares ao í1lme (8 = 0). Queremos saber se 
0 
filnte pareLC claro ou escuro a um observador que recebe os raios refletidos qua-
,e perpendicularmente ao filme. (Se o filme está sendo iluminado pela fonte, como 
pode parecer escuro? você verá.) 
A luz, representada pelo raio i, que incide no ponto a da superfície anterior do 
fihne. é parcialmer.le refletida e parcialmente refratada. O raio refletido r 1 é intercep-
tado pelo olho elo observador. O raio refrataào ,1travessa o filme e chega ao ponto b 
da superfícir. posterior, onde também é parcialn1ente refletido e parcialmente refra-
tado. A l!.iz refletida no ponto b toma a atravessar o filme e chega ao ponto e, onde, 
,naís uma vez. é parcialmente refletiàa e parcialmente refratada. A luz re;ratada em 
e. representada pelo raio r2, tainbém é interceptada pelo olho do observador. 
Se os raios luminosos r1 e r 2 chegam en1 fase ao olho do observador, produzem 
um máximo <le interferência e a região ac do filme parece clara ao observador. Se os 
mesmos raios chegam co1n fases opostas, produzem um mínimo de interferência e a 
região ac parece escura ao observador, enzbora esteja ilunzinada. Se a diferença de 
fase é inte1mediária, a interferência é parcial e o brilho é intermediário. 
O aspecto que o filme possui aos oll1os do observador depende, portanto, da di-
ferença de fase entre as ondas dos raios r1 e r2• Os dois raios têm origem no mes1no 
raio incidente i, mas o caminl10 perconido pelo raio r 2 envolve duas passagens pelo 
interior do filme (de a para b e de b para e), enquanto o raio r1 não chega a penetrar 
no filme. Como o ângulo 8 é praticamente zero, a diferença de percurso entre os 
raios r
1 
e r
2 
é aproximadamente igual a 2L. Entretanto, para determinar a diferença 
de fase entre as duas ondas, não basta calcular o nú1nero de comprimentos de onda 
À que existem em uma distância 2L. Isso acontece por duas razões: (1) a diferença 
de percurso ocorre em um meio que não é o ar: (2) o processo envolve reflexões, que 
podem mudar a fase das ondas. 
A diferença de fase entre duas ondas pode mudar se uma das ondas for refletida ou se 
ambas foremrefletidas. 
Antes de continuar nosso estudo da interferência em filmes fjnos, precisamos discutir 
as mudanças de fase causadas por reflexões. 
INTERrERtNCIA 87 
A interferência depende 
das reflexões e das 
distâncias percorridas. 
Figura 35-15 Ondas Jun1inosas. representadas pelo raio i, incidem em u1n 
fihne de espessura L e índice de refração 112• Os raios r1 e r2 representa1n 
ondas ret1etidas pela superfície anterior e pela superfície posterior do 
filme. rcspectiva1nente. (Os três raios são na verdade quase perpendiculares 
ao l11mc.) A interferéncia <los raios r1 e r2 depende da diferença de fase 
entre eles. O índice de retração 11 1 do meio à esquerda pode ser diferente 
dv 1ndice de refração 111 do meio à direita, mas, no momento, estamos 
a~su1nindo que o fihne esta nnerso no ar, caso em que 
111 = 11, = 1,0 < l/2. 
88 CAPÍTULO 35 
' 
Mudanças de Fase Causadas por Reflexões 
As refrações em interfaces jan1ais causam mudanças de fase; no caso das reílexões, pc}. 
rém, pode haver ou não mudança de fase, dependendo dos valores relati vos dos índiee 
de refração dos dois lados da interface. A Fig. 35-16 mostra o que acontece quando a 
reflexão causa uma mudança de fase, usando co1no exemplo pulsos que passam de unia 
corda mais densa (na qual a velocidade de propagação dos pulsos é menor) para unia 
corda menos densa (na qual a velocidade de propagação dos pulsos é maior). 
Quando um pulso que está se propagando na corda mais densa da Fig. 35-16ci 
chega à interface com a corda menos densa, o pulso é parcialmente transmitido e 
parcialmente refletido. Para 1a luz, esta situação corresponde ao caso em que a onda 
incidente passa de um meio em que o índice de refração é maior para um meio elll 
que o índice de refração é 111tenor (lembre-se de que quanto maior o índice de refra. 
ção do meio, menor a velocJdade de propagação da luz). Nesse caso, a onda que é 
refletida na interface não sofre uma mudança de fase. 
Quando \Impulso que está se propagando na corda menos densa da Fig. 35-l 6b 
chega à interface com a corda mais densa, o pulso também é parcialmente transmj. 
tido e parcialmente refletido. Neste caso, porém, a onda refletida na interface sofre 
uma inversão de fase. No caso de uma onda senoidal, a inversão corresponde a uma 
mudança de fase de '1T rad, ou seja, meio comprimento de onda. Para a luz, esta si. 
tuação corresponde ao caso em que a onda incidente passa de um meio em qu" 0 
índice de refração é roedor (e, portanto, a velocidade é maior) para um meio em < ue 
o índ~ce de r~fração é rrraior (e, portanto, a velocidade é menor). Nesse caso, a o da 
reflet1da'na interface sofre uma mudança de fase de '1T rad, ou seja, meio com ri-
mento de onda. 
1 , Podemos expressar esses resultados para a luz em termos do índice de refra ão 
do meio no qual a luz é refletida: 
1 
Reflexão 
Em um meio com n menor 
Em um meio com n maior 
Mudança de fase 
o 
0,5À 
Essas conclusões podem ser resumidas na expressão mnemônica "maior signi1 ca 
meio". - · 
Equações para a Interferência em Filmes Finos 
Ne~te capítulo vimos que a diferença de fase entre duas ondas pode mudar devido 
a tres causas: 
1. reflexão das ondas 
2. diferença de percurso entre as ondas 
3. propagação das ondas em meios com diferentes índices de refração. 
• 
-t> 
a:b;ca~oa:te,...s -...=z::d.J\ 
1 
/" Inte1face 
<1- ' I> .A.. A._ __ 
-t> 
_An __ te_s~....J/\ __ _,,,,,~,=11=·=·~11= .. =·= .. 
-t> 
_Depois vr---·~-A. "1 li. ' li • 
<J--
(a) (b) 
Fi~ura 35-16 A fase muda quando um pulso é refletido na interface de duas cordas 
esticadas de densidades li~ea~es diferentes. A velocidade das ondas é menor na corda 
menos densa. (a) O pulso 1nc1dente está na corda mais densa. (b) o pulso incidente está 
na corda menos densa. Apenas neste caso a onda incidente e a onda refletida têm fases 
opostas. 
1 
1 
1 
1 
90 CAPÍTULO 35 
Figura 35- 18 Reflexo da luz e1n u1na 
película vertical de água co1n sabão 
sustentada por u1na argola metálica. 
A parte de cin1a é tão fina que a luz 
refletida sofre interferência destrutiva, 
o que torna o fih11e escuro. Franjas 
de interferência coloridas decoram o 
resto do fihne. Aos poucos, a força 
de gravidade faz com que o líquido 
escon·a para baixo, tornando o fihne 
espesso de1nais para que o fenômeno 
seja observado com clareza. (Richard 
Meg11a!Funda111ental Photographs) 
. TESTE 5 
Se a espessura/, do fi l111e é conhecida, as Eq:-.. 1<i-36 e 3') 1i7 podi::111 ser usad 
para detenninar os co1npri1nentos de onda para oi,, quais o fihnL pJrLcc claro e cscur, 
respectivamente; a cada valor de ,,, corresponde u1n co1nprimcnlo de onda <lil crcnlt 
No caso de co1nprii11entos de onda inter1nediários, a quantida<!" dL lu/ rcílctida f>el 
fihne também é inter1nediária. Se o comprimento de onda À é conhecido, as Eq 
35-36 e 35-37 podem ser usadas para deter1ninar as espessuras para as quais o fi lrr 
parece claro ou escuro, respectivamente. No caso de espessuras intermediárias. 
quantidade de luz refletida pelo fil1ne também é intermediária. 
Espessura do Filme Muito Menor que A 
Uma situação especial é aquela em que o filme é tão fino que L é muito menor qut 
A. Nesse caso, a diferença 2L entre as distâncias percorridas pelos dois raios pode se1 
desprezada e, portanto, a diferença de fase entre r 1 e r2 se deve apenas às reflexõe, 
Se a espessura do filme da Fig. 35-17, no qual as reflexões produzem uma diferença 
de fase de meio comprimento de onda, é muito menor que o comprimento de ondi 
da luz incider1te, r 1 e r2 têm fases opostas e o filme parece escuro. Essa situação e,. 
pecial corresponde a m = O na Eq. 35-37. Vamos considerar qualquer espessura L .... 
O,lA como a menor das espessuras especificadas pela Eq. 35-37 para tomar escu100 
fi lme da Fig. 35-17. (Qualquer dessas espessuras corresponde a 111 = O.) A segu 1da 
r 
menor espessura que toma o filme escuro é a que corresponde a ni = 1. 
A Fig. 35-18 mostra um filme de sabão vertical cuja espessura aumenta de e ma 
para baixo porque a gravidade faz o s·abão escorrer. O filme está sendo iluminado e om 
luz branca; mesmo assi1n, a parte superior é tão fina que o filme parece escuro 'lo 
centro, onde a espessura do filme é um pouco maior, vemos franjas, ou faixas, l llja 
cor depende do comprimento de onda para o qual a luz refletida sofre interferê1 eia 
construtiva para uma determinada espessura. Na parte inferior do filme, que é a1 ,da 
mais espessa, as frartjas se tornam cada vez mais estreitas até desaparecerern. 
A figura 1nostra quatro situações nas quais a luz é refletida perpendicular-
mente por u1n filme fino de espessura L, com os índices de refração indica-
dos. (a) E1n que situações as reflexões nas interfaces do filme produzem uma 
diferença de fase nula entre os dois raios refletidos? (b) Em que situações os 
fi lmes fican1 escuros se a diferença 2L entre as distâncias percorridas pelos 
dois raios produz uma diferença de fase de meio comprimento de onda? 
! 
L 
T 
(l ) 
1,5 1,5 
1,4 1,3 
1,3 l,4 
(2) 
1,4 1,3 
1,3 1,4 , 
1.5] 
-
1,5 
(3) (4) 
· . Ex em p I o · . · . · , · _. . .. .. ;, ·1:, Fí 
. . . · , 1 l ' . . . . . 
Interferência em um filme fino de água no-ar 
Um feixe de luz branca, com intensidade constante na faixa 
de co1nprimentos de onda da luz visível (400- 690 nm), in-
cide perpendicular1nente em um filme de água corn índice 
de refração 112 = 1,33 e espessura L = 320 nm, suspenso 
no ar. Para que co1nprimento de onda À a luz refletida pelo 
filn1e se aprese11ta n1ais intensa a um observador? 
. IDEIA -CHAVE .... · .. " _. 
A luz re t1etida pelo fil1ne é 111ais intensa para compri1nen-
tos de onda A tais qt1e os raios ret1etidos estejan1 e1n fase. 
A equação que relaciona esses co111pri1nentos de onda A à 
espessura L e ao ínclicc de refração 112 do filine pode ser a 
Eq. 35-36 ou a Eq. 35-37, depende11do das dife renças de 
fase JJI'Olluzidas pelas reflexões nas diferentes interfaces. 
Cálculos Em geral, para determinar qt1al das duas equações 
deveser usada, é necessário preparar uma tabela como a 
Tabela 35-1. Neste caso, porém, como existe ar dos dois 
lados do filme de água, a situação é idêntica à da Fig. 
35-17 e, portanto, a tabela é exatamente igual à Tabela 
35-1. De acordo com a Tabela 35-1, os raios refletidos 
estão em fase ( e, portanto, a intensidade da luz refletida 
é 1náxi1na) para 
número ímpar A 
2L= x -
2 112 , 
o que leva à Eq. 35-36: 
À 
2L = (n1 + t)-
n, -
1 
•111nlk) \ l' sub..,tit111ntk) L e 11 , po, ..,eus valo1 cs. tc-1 ,p ll , 
llll'' 
\ l 
til + ' 
(2)( l .33)(>2011111) 
Ili + ~ 
X5 l nn, 
Ili + ; . 
r 1 111 -= O. esta et1uaçãc1 no" Já A = 1700 11111 , que ,11, 
11 11 l ref•ião do infra, ern1elho. Para 111 = 1. obten1os e, '" 4 :::-
INTERFERtNCIA 9 1 
,\ = 567 11111 , que t·n11esp11ndt.: .i 11111 1 cor .i1rH.1r lo v 1 
Jeada, na 1cgiã<, cen t1,1 l Jo e~pel:110 cl.i luí' v, ívcl 1>ar 
111 - 2. ,\ = JJ() 11111. que cst,1 n,, 1eg1.iu do ultr,,viol ta 
1\ ss i111 n co1npri 111c nto de o nd,1 p,11,, o qu,il ,, ltt7 v,c;ta pelo 
ohservac.101 é n1ais intensa é 
,\ = 567 11111 . ( Ile post 1) 
• • • ~ - .: ,- .... .,,r_,· ""_ I '":.f::7.•f";. • """"•+~~ """°•~, - ~,Ç\' . 
Exemplo . ---.;~ ~-.,,-_.·,,.,,,,,,.,,,,-r ',•,'~·'' ",.,;iit',-l.',',;,:1•',r;,.,·_, ' ' -· - . - ·~ .. . ... . ' ... -. - . - . . .. _..,. -~ - ---.... 
Interferência no revestirnento de uma lente de vidro 
tinia das superfícies de u1na lente de vidro é revestida com 
0111 fil111e tino de tluoreto de 1nagnésio (MgF2) para redu-
zir a retlexão da luL ( Fig. 35-19). O índice de refração do 
MgF~ é 1.38; o do vijro é 1,50 Quai é a menor espessu-
ri do revestin1entJ capaz de eli1ninar (por i11te1fcrência) 
O'. retlexos no ..:entro do espectro da luz visível (1' = 550 
nml? Supor.na que a luz incide perpendicularmente à su-
perfície Ja lente. 
A reflexão será eliminada se a espessura L do filme for tal 
que as ondas lurninosas refletidas pelas duas interfaces do 
filme tenharn fases opostas. A equação que relaciona L ao 
comprimento de onda,\ e ao índice de refração 112 do filme 
é a Eq. 35-36 ou a Eq. 35-37, dependendo de como a fase 
da onda refletida rnuda nas inte1faces. 
Cálculos Para determinar qual das duas equações deve ser 
usada. preparamos urna tabela co1no a Tabela 35-1. Na 
primeira interface, a luz incidente está se propagando no 
ar, que tem um índice de refração menor que o do MgF: 
(material de que é feito o filme). Assim, colocamos 0.5 
comprimento de onda na coluna r 1 para indicar que o raio 
r, sofre un1 deslocamento de fase de 0,5A ao ser refletido. 
Na segunda interface, a luz incidente está se propagando 
no MgF
2
• que te,n um índice de refração menor que o do 
vidro que fica do outro lado da interface. Assim, também 
colocamos 0.5 Ct)Inprirnento de onda na coluna r1. 
Como as duas reflexões produzem uma mudança de 
fase de 111eio co1nprin1ento de onda, elas tendem a colocar 
r, e r2 en1 fase. Corno queren1os que as onda·~ estejan1fora 
de fase, a diferença entre as distâncias percorridas pel~s 
dois raios deve ser igual a u111 nli111ero ítnpar de cornr,r1-
"' 
mentos de onda: 
,\r 
111 = 1,00 
\lgF:i 
li:! = 1.:1~ 
b 
\'iclro 
111 = l.!"10 
n~ Como as duas reflexões 
- L ~ introduzem um deslocamento 
de fase de tJ2, a interferência 
depende apenas da diferença 
entre r1 e r2. 
Figura 35-·19 Reflexões indesejáveis em tuna superfície de 
vidro podem ser suprin1idas (para um dado comprimento de 
onda) revestindo o vidro com um filme fino transparente de 
fluoreto de magnésio de espessura apropriada. 
, , 
numero 1mpar 
2L = ----~- ;<. -
2 
À 
/1, -
Isso significa que devemos usar a Eq. 35-36. Explic1ca11do 
L, obtemos uma equação que nos dá a espessura necessá-
ria para eliminar as reflexões da superfície da lente e do 
revestimento: 
À 
L=(111+{) , para,11=0.l,2, ... 
- 211, 
(35-38) 
Como queremos que o fil1ne tenha a menor espessura pos-
sível, ou seja. o menor valor de L. fazemos 111 = O na Eq. 
35-38. o que nos dá 
I =--
411, -
")50 nm 
---- = 99,6 11111. 
(4)(1.38) 
1 
1 
1 
1 
1 
92 CAPÍTULO 35 
~ , e·.- .• 
:\ • 1 • ·, I.; Exemplo . .. ____ t 
Interferência em uma cunha de ar 
A Fig. 35-20a n1ostra un1 bloco de plástico transparente 
com uma fina cunha de ar do lado direito. (A espessura 
da cunha está exagerada na figura.) Um feixe de luz ver-
melha, de comprimento de onda À = 632,8 nm, incide 
verticaJmente no bloco ( ou seja, com um ângulo de inci':.. 
dência de 0°), de cima para baixo. Parte da luz que penetra 
no plástico é refletida para cima nas superfícies superior 
e inferior da cunha, que se comporta como um filn1e fino 
(de ar) com uma espessura que varia de n1odo uniforme 
e gradual de LE, do lado esquerdo, até L0 , do lado\direito. 
(As camadas de plástico acima e abaixo da cunha de ar são 
espessas demais para se comportar como filmes finos.) Um 
observador que olha para o bloco de cima vê uma figura 
de interferência formada por seis franjas escuras e cinco 
franjas vermelhas. Qual é a variação de espessura M ( = 
LE - L0 ) ao longo da cunha? 
( l) A intensidade da luz refletida em qualquer ponto ao lon-
go da cunha depende da interferência das ondas refletidas 
nas interfaces superior e inferior da cunha. (2) A variação 
de intensidade da luz ao longo da cunha, que forma uma 
série de franjas claras e escuras, se deve à variação de es-
pessura da cunha. Em alguns trechos, as ondas refletidas 
estão em fase e a intensidade é elevada; em outros, as ondas 
refletidas estão fora de fase e a intensidade é pequena. 
Organizando as reflexões Como o observador vê um nú-
mero maior de franjas escuras, podemos supor que são pro-
duzidas franjas escuras nas duas extremidades da cunha, 
como na Fig. 35-20b. 
Podemos representar a reflexão da luz nas interfaces 
superior e inferior da cunha, em um ponto qualquer, como 
na Fig. 35-20c, onde L é a espessura da cunha nesse pon-
to. Vamos aplicar este modelo à extremidade esquerda da 
cunha, onde as reflexões produzem uma franja escura. 
No caso de uma franja escura, os raios r 1 e r2 da Fig. 
35-20e estão fora de fase. Além disso, a equação que re-
laciona a espessura L do filme ao comprimento onda À da 
luz e ao índice de refração 112 do filme é a Eq. 35-36 ou a 
Eq. 35-37, dependendo das n1udanças de fase causadas pe-
las reflexões. Para determinar qual das duas equações está 
associada a uma franja escura na extremidade esquerda da 
cunha, basta construir urna tabela como a Tabela 35-1, que 
é 1nostrada na Fig. 35-20e. 
Na interface superior da cunha, a lu1. incidente está sç 
propagando no phistico, que possui u1n índice de refração 
1naior que o do ar que est,i abaixo da interface. AssiJn, co-
locamos O na coluna r 1 da tabela. Na interface i11ferior da 
cunha, a luz incidente está se propagando no ar, que possui 
um índice de refração menor que o do plástico que está 
abaito da interface. Assim, colocamos 0,5 comprimento de 
' onda na coluna I\ da tabela. Concluímos, portanto, que as .. 
refletões tendem a colocar os raios r 1 e r2 fora de fa~e. 
Reflexões na extremidade esquerda (Fig. 35-20d) Como 
sabe/nos que as ondas estão fora de fase na extremidade 
esquerda da cunha, a diferença 2L entre as distâncias per-
corridas pelos raios na extremidade esquerda da cunha é 
dada por 
À 
2L = número inteiro X - , 
que leva à Eq. 35-37: 
1 À 
2L = m , para tn = O, 1, 2, .... 
n2 
(35-39) 
Reflexões na extremidade direita (Fig. 35-20f)A Eq. 
35-39 vale não só para a extremidade esquerda da cunha, 
1mas também para qualquer ponto ao longo da cunha em 
que é observada uma franja escura, incluindo a extremi-
dade direita, com um valor diferente de tn para cada fran-
ja. O menor valor de m está associado à menor espessura 
para a qual é observada uma franja escura. Valores cada 
vez maiores de m estão associados a espessuras cada vez · 
maiores da cunha para as quais é observada uma franja es-
cura. Seja me o valor de m na extremidade esquerda. Nesse 
caso, o valor na extremidade direita deve ser 1ne + 5, já 
que, deacordo com a Fig. 35-20b, existem cinco franjas 
escuras (além da primeira) entre a extremidade esquerda 
e a extremidade direita. 
Diferença de espessura Estamos interessados em deter-
minar a variação de espessura M da cunha, da extremida-
de esquerda à extremidade direita. Para isso, precisamos 
resolver a Eq. 35-39 duas vezes: uma para obter a espes-
sura do lado esquerdo, LE, e outra para obter a espessura 
do lado direito, L0 • 
À 
L1 = (m1c) , 
2112 
(35-40) 
Para determinar til, basta subtrair LE de L0 e substituir 
À e 112 por seus valores (como a cunha é feita de ar, n1 = 
1,00): . 
!J.J, = TJ,, - J., 
(111, ·!- 5),\ 1111 À 5 A - =-
211, 2,,, ") ll, -- . 
= 1,58 . 10 "111. (Resposta) 
\ "'·' l ,lt l' l-:tl 
( a) 
\í,1.1 eh.: ci1na 
( /,) 
Esta franja escura se deve a 
interferência destrutiva, que 
acontece quando os raios 
refletidos têm fases opostas. 
1 
~l11rl,111ç,t, 
r., 
111 ( pl,"llCO 
índicl' m,,ior) 
1, l .--------' j 
1 ------- '1 /1 
,,,, + 2 111, + 1 
clt f .,,e. 
o -,u...,._ 
, 1., ii;"°(.ir índice 1ncnor) 
A diferença entre 
r1 e r2 é 2LE. 
11.~,;. 11 1 pl.i,lico ----
(d) 
Como a diferença 
de fase causada 
pelas reflexões é 
O,SÀ, as reflexões 
deixam os raios 
com fases opostas. 
Queremos que as ondas 
refletidas tenham fases 
opostas. As ondas já têm 
fases opostas por causa das 
reflexões. Não queremos 
que a diferença de percurso 
mude a situação. Assim, 
2L = (inteiro))Jn2. 
( 1') Tabela para a Interferência 
Mudanças 
,, 
de fase o 
Diferença 
de percurso 2L 
'2 
O,SÀ 
INTERFERÊNCIA 93 
'• 
I 
'" -
(e) li 
.......___ Aqui, também, a franja 
escura revela que os raios 
refletidos têm fases opostas. 
(/) 
Aqui, a 
diferença entre 
r1 e r2 é 2Lo, 
maior que 2LE. 
Aqui também as reflexões 
deixam os raios com fases 
opostas. Assim, a diferença 
de percurso deve ser 
2L = (inteiro)iJn2, mas com 
um valor maior de L. 
Agura 35-20 (a) A luz vcrrnclha íni:u.le cn1 un1 bloco de pl:i-.tico transparente co,11 un1a tina cunha de ar. A cspes .. ura 
da l:Unha é L, do lado esquerdo e L" do lado d1rc1to (/,) O bloco visto de cin1a: u1na figura de interferência fonnada por 
~e,s franjas escura\ e cinco r, an.1:1, \'Cr1nclha, aparc<.:c na região da cunha. (e) Rcprc'>cntação do raio incidente, ,. do, raio, 
reílcltdo,, r
1 
e, , e Ja c,pc,,ura L cn1 uni ponto qualquer da cunha. (cf) Raio, rc11ct1do, na C'\lrcn11dade csqucrd,1 da cunha 
(e) Tabcl,1 pa1 .1 a intcrlcrl'.!ncia de urna cunh.i de ar (j) Raio-. rcllctidos na C:\trcn11dadc drrclta da cunha. 
\ 
94 CJ\PITULO 35 
l ~rclltt1 t 1110 \ t 1 ,\! 
.,, 
d, ,, ·-• -- n,~,\ o t ,,,, 
A interferência 
observada 
depende da 
T diferença de 
percurso e do 
índice de 
refração do 
material inserido. 
Figura 35-21 lntcrf erômetro de 
Michelson, mostrando o caminho 
seguido pela luz que parte de um ponto 
P de un1a fonte S. O espelho M divide 
a luz em dois raios, que são refletidos 
pelos espelhos M, e M 2 de volta 
para Me daí para o telescópio T. No 
telescópio, o observador vê uma figura 
de interferência. 
35-8 O l11terferô111etro de Michelson 
O i11tcrfcrô111ctru e u,n dispn, iti, r1 lfUC pl,dC ,1,.·r U'-,tlh, p.,rn n,cthr co111pr1n1c1 
l)ll , ar1a, oe, de ct1n1pr111tl'lllt1 c.: <1111 gr,1ndc prl·ci ... J o ,1tr,1, f <IC fr,,nJn ,lc 1ntcrfc 
c1.1 \ ' an10, Jc.,c1c~er ll ntl'><.lcl<, de inh: rll·rê1111ctrc1 pro1cl1tth1 e cc1n trutdo P r 
t>.ltchcl,on c111 1881 
Con,1dcrc a luz llllc dc1\.a l) ponto P <lc u,na lc1ntc 1i-1,1cr<,scópica ,5 n.1 l·1g. ~5 21 
e encontra o ,livi.,,,r clr fc1,c ,\./. D1v1,or de lcixc é un1 l',pclho c1uc transn1itc n1 c.: J. 
de da tu, incidente e çcllete a c.1utra n1ctadc Na ligur,,. ~upu,cn1os. pt1r con, cn1 n. 
eia, que a espessura do espelho pode ,cr dc, prc,ada Em ,\/1 , t luz , e di, ide t.·111 d Ih 
raios: u111 é transn11tidb cn1 direção ao c,pclho A,/1 e o outro é rcflctidt) cn1 <lircçã a 
Af 2. As ondas são totah11entc relletidas pelos espelhos ft,,/1 e ,'Ir/ e ,e dirigc111 p.,r o 
espelho /vi, através do qual chcgan1 ao olho do observador dcpoi, de p.1,sarcm r> 1,) 
telescópio T. O que o observador vê é uma série de franjas de interferência qu<.: "-1! 
parece1n com as listas de u;na zebra. 
A diferença das distâncias percorridas pelas duas onda.s é 2c/~ - 2cl, ; qualq 1.r 
coisa que altere essa dif ercnça modifica a figura de interferência vista pelo ob r-
vador. Assim, por exen1plo, se o espelho M 2 é deslocado de uma distância igu. a 
')J2, a diferença das distâncias varia de À e a figura de interferência sofre um de, ). 
camento de u111a franja ( como se cada lista preta de un1a zebra se deslocac;se pai a 
posição da lista preta n1ais próxima). Por outro lado, se o espel110 /v/2 é deslocado ,~ 
uma distância igual a ')J4, a figura de interferência sofre um deslocamento de m ia 
franja (como se cada listra preta da uma zebra se deslocasse para a posição da h ta 
branca mais próxima). 
A modificação da figura de interferência também pode ser causada pela intrOl u-
ção de uma substância transparente no caminl10 de um dos raios. Assim, por exe n-
plo, se um bloco de material transparente de espessura L e índice de refração é 
colocado na frente do espelho M 1, o nún1ero de con1primentos de onda percorrit )S 
dentro do material é, de acordo com a Eq. 35-9, 
• 
N = 2L = 2L11 
,11 A \ • 
li /\ 
(35- l) 
O número de comprimentos de onda na 1nesma espessura 2L antes que o bloco f, '\· 
se introduzido era 
1 N = 2L 
u A . (35-42) 
Assim, quando o bloco é introduzido, a luz que volta ao espelho M f · - d f · . , so re uma , a-
r1açao e ase ad1c1onal (e1n termos de comprimentos de onda) dada por 
2Ltz 2L 2L 
N,,, - Na = A - A = A (11 - 1). (35-43) 
Para cada variação de fase de um comprimento de onda a fioura de· t " ... · ' d 1 d d , ' i:, 1n er.leren· 
eia e es oca a e um_a franja; A~sim, observando de quantas franjas foi o deslo· 
camento da figura de 1nterferenc1a quando o bloco foi introd . d b . . 
N - N por ess l E 35 uz1 o e su st1tu1ndo "' ª d eva or .na q. -43, é possível deter1ninar a espessura L do bloco 
em termos e À. ' 
Usando essa técnica, é possível medir a es essura d . 
te~mos de comprimentos de onda da luz. Na ép~ca de M:~bietos trans~~rentes en1 
pr1mento, o metro, tinha sido definido . e s?n, o padt ao de co1n· 
ci~ entre duas marcas de uma batTa dep:e~: ;~::~~:t=~~ac1onal, co1~0 a distâ~· 
M1chelson conseguiu n1ostrar, usando seu interfer"' Sevres, perto de Paris. 
equivalente a 1.553.163,5 compri1nentos de d don1letro, que o tnetro padrão era 
· ·d ' on a a uz ver1nelha mo , · 
e1n1t1 a por uma fonte lutllÍtlosa de cád . p , . _ nocron1at1ca 
chelson recebeu o Prêmio Nobel de fís:~o~tn o; ;ssa rned1çao altan1ente precisa, Mi· 
para que a barra do inetro fosse aband d 07. St:,tt trabalho estabeleceu a base 
ona a con10 padrao ( em 1961) e substituída por 
\ 
1 
'. 1 
INTERFERÊNCIA 05 
11111., 110 , ., dctini','Ül) J o 1n~tro_cn1 '.ern1os Jo con1pr11nenlo <lc on<la <la lu1.. Ein 1983 
l \ l nl\lS o no\ o pa<lratl nao 101 cons1<leraJo "Ili ticientc111enlc prcc ,so p,,ra ·1tcn<lcr 
l1llll l • • " • ' 
.i, l'\ t~~nc1a, c,1da vc, n1a1orc, <la c1enc1a e <la tccnolog1a e o nlctro foi rc<lchni<lo 
lllH.'lllC de,ta ,e, con1 base cn1 un1 valor arb1t1ado tJara a vcloc,dade <la luz llll\ , • • 
0 Princípio de Huygens f\ propagação e1n três dimensões de 
J.1• con10 a lu1 poJc n1t11ta, vc1cs ser descri la pelo pri11cí1>io de llíl • ' 
' ' ""~' 11 ,. ,cgun<lo o qual lodos os pontos de un1a frente de onda se 
,.oniporta1n con10 f ontcs pontuais para ondas secundárias. Depois 
de 111u intervalo <le 1c111po ,. a nova posição da frente de onda é dada 
l\lT 11111.i , upcrf1 cie tangente às ondas secundárias. 1 
.\ lei lia refração pode ser deduzida a partir do princípio de 
Hu, la!cn, ,e supusern1os que o índice de refração de qualquer meio 
,.. d;tdo por 11 = clv. onde " é a velocidade da luz no meio e e é a 
, clocidade de luz no v,icuo. 
, 
Comprimento de Onda e lndice d e Refração O co111JJri111e11-
,11 de 0 1u/a ,\11 da luzem um tneio depende do índice de refração n 
Jo 1ne10: 
A 
A,, = -. 
li 
(35-8) 
onde ,\ I.! o co1nprimento de 9nda da luz no vácuo. Por causa d~s-
, a dependência. a Jiferença de fase entre duas ondas pode variar 
,e as ondas se propagarem c1n 1neios com di ferentes índices de 
1cl ração. 
o Experimento de Voung No experimento de interferência 
de \ 'oung, a luz que passa por uma fenda em um anteparo incide e1n 
<lua, fendas en1 u1n segundo anteparo. A luz que passa pelas fendas 
do segundo anteparo se espalha na região do outro l~do do anteparo 
e as duas ondas interfere1n uma com a outra. produzindo uma figura 
de interferência en1 uma tela de observação. 
,\ intensidade da luz cn1 qualquer ponto da tela de observação 
depende da dif crença entre as distâncias percorri~as pelos_ raios ~e 
luz entre as fendas e o ponto considerado. Se a diferença e um nu-
111cro in1eiro de cornprin1entos de onda, as ondas interferem cons-
. · · ' ., · Se a diferença é tru1iva1nentc e a 1ntcns1dade luminosa e 1nax1ma. . 
urn nú111cro í1np.1r de rneios comprimentos d~ onda, as_ ~ndas 1n-
lcrf erc1n <lestrutivan1ente e a intensidade lun11nosa é 1n1n1m~. Em 
1cnnos rnatcn1._íticos. as condições para que a intensidade luminosa 
. , . ,. -
scJa 111ax11na e n11n11na sao 
' 
<l scn O= 111A. parc1 ,,, = O, l, 2 •... 
(nu,,,n1n,. fran.ja, cl,1ra\), 
d ,cn O 
(35-14) 
(lll + i )A, para 111 = O, 1. 2, .. · 
(nun1n1u,: lranJ:I' escura-.). (35-16) 
• 1 · osos , un1a perpendicular c1n que o e o fl ngulo entre os raios u1n1n · t: . 
·d· t das fcn<l·1s e e/ é a d1s-,1 tela pa,, an<lo por u,n ponto cqu1 1stan e · • 
tanc1a entre as t cnJa,. 
1 
Coerê ncia Para que duas onda., lumino'>as intcrhr,un um,, com ., 
outra de fonna perceptível. a diferença de ta,e entre a, onJ,1, l.lc,e 
per1nanecer constante com o tempo. ou seJa. ª" onl.la, de, cn1 er 
coerentes. Quando duas ondas coerentes se comb1nam, a inten,1d.tJc 
resultante pode ser calculada pelo método dos ra~ore .... 
Intensidade das Franjas de Interferê ncia No e'\perimen-
to de inte1ferência de Young, duas ondas ·de intensidade /
0 
pro<lu-
zen1 na tela de observação uma onda resultante cuja 1nten,idade I 
é dada por 
2nd 
I = 4!0 cos2 i cf,, cm que q> = sen 8. 
A 
( ., - ")J ..," '11) .. ,"-.... -.. , .. --... 
As Eqs. 35- 14 e 35-16. usadas para calcular as posições dos n1a:\i-
mos e mínin1os da figura de interferência, podem ser detnonstradas 
a partir das Eqs. 35-22 e 35-23. 
Inte rfe rência e m Filmes Finos Quando a luz incide en1 um fil-
me fino transparente, as ondas refletidas pelas superfícies anterior e 
posterior do fi ln1e interferem un1a com a outra. Quando o filn1e está 
suspenso no ar e a incidência é quase perpendicular, as condições 
para que a intensidade da luz refletida seja máxima e mínin1a são 
1 À 
2L = (111 + :;)-. para 111 = O. l. 2, ... 
- "2 
(m,íximos; filme ::laro no ar). (35-36) 
A 
2L = 111 -. para n, = O, 1, 2, ... 
"2 
(n1ínin1os; filme cscunl no ar). (35-37) 
em que 112 é o índice de refração do filme. L é a espessura do filme 
e À é o comprimento de onda da luz no ar. 
Quando a luz incidente na interface de dois n1eios com di feren-
tes índices de refração se encontra inicialmente no 1neio e,n que o 
índice de refração é menor, a reflexão produz uma mudança de fase 
de 7r rad, ou meio comprimento de onda. na onda refletida. Quando 
a luz se encontra inicialmente no 1neio em que índice de refração e 
1naior. a fase não é modificada pela reflexão . 
o lnte rfe rômetro de Michelson No i111er/ert>,11etro de A.-licliel-
son un1a onda luminosa é dividida em dois fei,es que. depois de per-
co,;erem caminhos diferentes, são reco1nbinados para produLtr u1na 
figura de interferência. Quando a distância percorrida por t11~1 do-. 
feixes varia, é possível 1nedir essa variação con1 grande prcc1,ao en1 
tennos de coinprimcntos de onda da luz. bastand~ par .. ~ 1s~o contar o 
nún1ero de franjas de que se desloca a figur<~ de 1ntcrlercnc1a. 
96 CAPÍTULO 35 
. 
1 PERGUNTAS 
1 •\ distância entre as franjas de uma figura de interferência de 
duas l~ndas aumenta, diminui ou permanece constante (a) quando 
a dist,incia entre as fendas aumenta; (b) quando a cor da luz muda 
de , ·cn11clho para azul; (c) quando todo o equipan1ento experimen-
tal é i1ncrso en1 água? (d) Nos máximos laterais, se as fendas são 
Hun1inadas con1 luz branca, o pico mais próxin10 do máximo central 
é o pico da co1nponente ve,melha ou o pico da componente azul? 
2 Quando passa1nos de un1a franja clara de uma figura de interfe-
rência de duas fendas para a franja clara seguinte, afastando-nos 
do_cen~ro, (a) a diferença tiL entre as distâncias percorridas pelos 
dois raios aumenta ou diminui? (b) Qual é o valor da variação em 
con1prin1entos de onda À? \ 
3 A Fig. 35-22 mostra dois raios luminosos que estão inicialmen-
te ~n1_ fas_e e _se refleten1 em várias superfícies de vidro. Despreze 
a hge1ra 1nchnação do raio da direita. (a) Qual é a diferença entre 
as distâncias percorridas pelos dois raios? (b) Qual deve ser a dife-
r:ença, en1 compri1nentos de onda À, para que os raios estejam e1n 
l~se no final do processo? (c) Qual é o menor valor de d para qu'e a 
diferença de fase do item (b) seja possível? 
Figura 35-22 Pergunta 3. 
~d • I • d-.! 
1 
1 
T 
d 
l 
4 Na Fig. 35-23, três pulsos luminosos de mesmo comprimento de 
onda, a, b e e, atravessam blocos de plásticos de mesmo compri-
1nento cujos índices de refração são dados. Coloque os pulsos na 
ordem do te1npo que levam para atravessar os blocos, começando 
pelo mais lento. 
1 .... 
a 
l k 1 1 
\ b 
- ~ 1 hh 
e 
f 
/ Fra1~.1 
ccntral 
1 
1 
1 
1 
1 
1 .L............:~ ~_.!...~~ L-x 
j I 2 3 ·1 
(a) 
~igura 35-24 Pergunta 6. 
1 
(b) ( <) ( d ) 
I 
' n1os a trajetória 1, a interferência produz um máximo ao longo da 
trajetória, um mínimo ao longo da trajetória ou mínimos e máxirr \ 
se alternam? Responda à mesma pergunta (b) para a traJctória 2: ·) 
para a trajetória 3. 
1 3 
S1 Si 
- - - ---e--- ------ - - -----~~~-------
Início Início 
2 
Figura 35-25 Pergunta 7. 
8 A Fig. 35-26 mostra dois raios luminosos, com um comprime, o 
de onda de 600 nm, que são refletidos por superfícies de vidro ·-
paradas por uma distância de 150 nm. Os raios estão inicialme1 e 
em fase. (a) Qual é a diferença entre as distâncias percorridas pel is 
dois raios? (b) Ao retomarem à região que fica do lado esquer o 
das superfícies de vidro, as fases dos dois raios são iguais: opos ,s 
ou nem uma coisa nem outra? 
... jii 
Figura 35-26 Pergunta 8. 
1 
1 
i-150 nm-
1 ' 
Figura 35-23 Pergunta 4. • 9 Uma onda luminosa se propaga em uma nanoestrutura co,n 
5 Existe um máximo de interferência, um mínimo de interfe1ência, 1500 nm de comprimento. Quando um pico da onda está em urna das 
um estado intermediário próximv de um máximo ou um estado in- extremidades da nanoestrutura, existe um pico ou um vale na outra 
tennediário próximo de um mínimo no ponto P da Fig. 35-10 se a extremidade se O cómprimento de onda é (a) 500 nm; (b) 1000 nm? 
diferença entre as distâncias percorridas pelos dois raios é (a) 2,2A; 1 O A Fig. 35-27a mostra uma vista de perfil de um filme fino vertical 
(b) 3,5A; (c) 1,8A; (d) 1,0A? Para cada situação, determine o valor cuja largura de cima para baixo aumenta porque a gravidade faz o filme 
de ,n associado ao máximo ou mínimo envolvido. escorrer. A Fig. 35-27b mostra o filme visto de frente, com as qua1JO 
6 A Fig. 35-24a mostra a intensidade I em função da posição x na franjas c!aras q_ue aparecem quando o filme é iluminado por um feixe 
tela de observação para a parte central de uma figura de interferên- - perpendicular de_ l~z vermelh~. Os pontos indicados por letras cor-
eia de dupla fenda. As outras partes da figura mostram diagramas respondem à posiç~o d~s franJas claras. Em termos do comprimento 
fasoriais das componentes de campo elétrico das ondas que chegam de onda da luz no intenor do filme, qual é a diferença de espessura 
à tela depois de passar pelas duas fendas(como na Fig, 35:13a). do filme (a) entre os pontos a e b; (b) entre os pontos b e d? 
Associe três dos pontos nu1nerados da Fig. 35-240 aos três diagra-
tnas fasoriais das Figs. 35-24b, 35-24c e 35-24d. 
7 A Fig. 35-25 mostra duas fontes, S1 e S2, que emitem ondas de 
rádio de compri1nento de onda À em todas as direções. As fontes 
estão exata1nente etn fase, separadas por u1na distância igual a l,5À. 
A reta vertical é a mediatriz do segmento de reta que liga as duas 
fontes. (a) Se con1eçamos no ponto indicado na figura e percorre- Figura 35-27 Pergu11ta 10. 
a 
b 
e 
d 
(a) 
----
----
----
(b) 
1 
\ 1 ti! , 'i 2~ 1n11,t1.1 quall o ,,tuaçoc, na, quais a tu, incide 1 ~ 
1
,..
11
d,:u1,11111enh.' 1.'tll un1 ltlinc hno Jc largur.1 L situado entre 
1" 11 1·11 l) ,u ·u, e'>oc,sa, feitas <le 1natcriai~ dtícrcntcs. Os 1nd1-1.1,-.1, 1111 • ~ - • -
r 1 •Ir 1,- 10 ,ão dauo,. E1n que ,11u.1çoc'> a cond1çao par,1 que a e .. , t l" r\; , ,: t. . • • .. 
J ·iJl' Ja onJ,1 rcllct1Ja se.ia 1náx11na (ou se.ia. para que o hhne in tc.'n,1 • . 
•• 1 ,.11r1.))c uaJa pela Eq. 35-36? p.11~\· ~ • 
11.fTERfER(NCIA 07 
1"" 1\ Fig l')-2CJ 1110,tr,1 ,t p,1ss,1ge111 de u,n ra,r, d lu, pcrpcnd, 
cular (1nostrado co1n uni.1 pcqucn.1 incltn.r'i 11) para ton1 r a fi ur 
n1ais (Iara) por un1 fihnL fino ,uspcn,;o no 1r. (,11 rJ r un r sofr um.i 
1nudança de fa~e por reflexão? (b> Qual é .1 rnud.inç,1 Jc: fase por 
reflexão Jo raio, 1, c1n comprimentos de onda 1 (c1 Se c1 e JlCS um 
do filme é l. qual é a d1íerença de percurso entre os r,1in<., e r? 
. 1 PROBLEMAS 
, - O numero de pontos indica o grau de dificuldade do problema 
~ lnfonnações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jean Walker, LTC, Rio de Janeiro, 2008. 
Seção 35-2 A luz como uma Onda 
1 Na Fig. 35-30, a onda luminosa representada pelo raio r1 é refleti-
da urna vez em um espelho, enquanto a onda representada pelo raio r
2 
é refletida duas vezes no 1nesmo espelho e uma vez em um pequeno 
espelho situado a uma distância L do espelho principal. (Despreze 
a pequena inclinação dos raios.) As ondas têm um comprimento 
de onda de 620 nm e estão inicialmente em fase. (a) Determine o 
' 1nenor valor de L para que as ondas finais estejam em oposição de 
fase; (b) determine qual deve ser o acréscimo de La partir do valor 
calculado no item (a) para que as ondas finais fiquem novamente 
em oposição de fase. 
Figura 35-30 Proble1nas 1 e 2. 
1
-,---L ---i r2 ~ 
2 Na Fig. 35-30, a onda luminosa representada pelo raio r1 é re-
fletida unia vez em um espelho, enquanto a onda representada pelo 
raio '2 é refletida duas vezes no mesmo espelho e uma vez em um 
pequeno espelho situado a uma distância L do espelho principal. 
(Despreze a pequena inclinação dos raios.) As ondas têm um com-
primento de onda A e estão inicialmente em oposição de fase. De-
tennine (a) o menor; (b) o segundo menor e (c) o terceiro menor 
valor de UA para que as ondas finais estejam em fase. 
•3 Na Fig. 35-4, suponha que duas ondas com um comprimento de 
onda de 400 n1n, que se propaga1n no ar, estão inicialmente e1n fase. 
Uma atravessa uma placa de vidro co1n um índice de refração n, = 
!·6? e espessura l; a outra atravessa uma placa de plástico co1n um 
indice de refração 112 = J ,50 e a mes1na espessura. (a) Qual é o menor 
\alorde L para a qual as ondas deixam as placas com uma diferença 
de fase de 5,65 rad? (b) Se as ondas chegam ao 1nesmo ponto com 
ª mesma an1plitude, a interferência é construtiva, destrutiva, n1ais 
Próxima de construtiva ou 1nais próxin1a de destrutiva? 
•4 N F. ª ig. 35-3 la, u1n raio luminoso que estava se propagando no 
lllateriaJ 1 · . .• A JOº o · ~ofri 1nc1~c c1n un1a interface com um angulo de . , ~esv10 
rc~ do pelo raio devido à refração depende, em parte, do 1nJ1ce de 
ração "2 do material 2. A Fig. 35-3 lb mostra o ângulo de refra-
ção 82 em função de n2• A escala do eixo horizontal é definida por 
110 = 1,30 e nb = 1,90. Qual é a velocidade da luz no material 1? 
30° 
20° L--'--'---=---1-...:.._---1 __ n? 
n,, -
(a) (b) 
Figura 35-31 Problema 4. 
•5 Qual é a diferença, em metros por segundo, entre a velocidade 
da luz na safira e a velocidade da luz no diamante? (Sugestão: con-
sulte a Tabela 33-1.) 
•6 O comprimento de onda da luz amarela do sódio no ar é 589 nm. 
(a) Qual é a frequência da luz? (b) Qual é o comprimento de onda da 
luz em um vidro com um índice de refração de 1,52? (c) Use os resul-
tados dos itens (a) e (b) para calcular a velocidade da luz no vidro. 
• 7 A velocidade da luz amarela (produzida por uma lâmpada de 
sódio) em um certo líquido é 1,92 x 108 m/s. Qual é o índice de re-
fração do líquido para essa luz? 
•8 Na Fig. 35-32, dois pulsos luminosos atravessam placas de plás-
tico de espessura L ou 2L e índices de refração n1 = 1,55, n2 = 1, 70, 
n3 = 1,60, 114 = 1,45, n5 = 1,59, n6 = 1,65 e 111 = 1,50. (a) Qual dos 
dois pulsos chega primeiro à outra extremidade das placas? (b) A 
diferença entre os ten1pos de trânsito dos dois pulsos é igual a que 
múltiplo de Uc? 
Pulso 
111 li? ll :J li t 
2 • 
Pulso 
n5 116 n; l 
. 
Figura 35-32 Problema 8. 
1 
natalia
Highlight
natalia
Highlight
natalia
Highlight
natalia
Highlight
natalia
Highlight
natalia
Highlight
98 CAPÍTULO 35 
••9 Na Fig. 35-4. suponha que as duas onda,; lununosas. CUJO con1-
pri1ncnto de onda no ar é 620 nn1, tcnhan1 inicialmente u1na dif cren-
ça de fase de 1r rad. Os índi.:J~ de refração dos materiais são 111 = 
1,45 e 111 = 1,65. Determine (a) o menor e (b) o segundo n1cnor va-
lor de L para o qual as duas ondas estão exatamente en1 fase depois 
de atravessar os dois materiais. 
•• 1 O Na Fig. 35-33. utn raio luminoso incide con1 um ângulo e 1 = 
50° em urna série de cinco placas transparentes com interfaces para-
lelas. Para as placas 1 e 3, L, = 20 µ.n1. ~ = 25 µ.m. 111 = 1,6 e"~ = 
1,45. (a) Com que ângulo a luz volta para o ar depois de passar pelas 
placas? (b) Quando ten1po a luz leva para c1travessar a placa 3? 
Ar 
I-Li-1 I-Ls--1 
Figura 35-33 Problema 10. 
Ar 
•• 11 Suponha que o comprimento de onda no ar das duas ondas da 
Fig. 35-4 seja À = 500 nm. Determine o múltiplo de À que expressa 
a diferença de fase entre as ondas depois de atravessar os dois ma-
teriais (a) se 111 = 1,50, 112 = 1,60 e L = 8,50 µ.m; (b) se 111 = 1,62, 
112 = 1,72 e L = 8,50 µ.m; (c) se 111 = 1,59, 112 = 1,79 e L = 3,25 µ.01. 
(d) Suponha que, nas três situações, os dois raios se encontram no 
mesmo ponto e com a mesma amplitude depois de atravessar os 
materiais. Coloque as situações na ordem da intensidade da onda 
total, começando pela maior. 
••12 Na Fig. 35-34, dois raios luminosos percorrem diferentes 
trajetos sofrendo reflexões em espelhos planos. As ondas têm um 
comprimento de onda de 420,0 nm e estão inicialmente em fase. 
Determine (a) o primeiro e (b) o segundo menor valor de L para 
o qual as ondas estão com fases opostas ao saírem da região onde 
estão os espelhos. 
• 
Figura 35-34 Problemas 12 e 98. 
L 
J __ _ 
~L-.i 
1 1 
•• 13 Duas ondas luminosas no ar, de comprimento de onda 600,0 
nm, estão inicialmente em fase. As ondas passam por camadas de 
plástico, como na Fig. 35-35, com L1 = 4,00 µ.m, Li = 3,50 µ.m. 
111 = 1,40 e n1 = 1,60. (a) Qual é a diferença de fase, em compri-
mentos de onda, quando as ondas saem dos dois blocos? (b) Se as 
ondas são superpostas em uma tela, com a mesma amplitude, a in-
terferência é construtiva, destrutiva, mais próxima de construtiva 
ou mais próxima de destrutiva? 
~' 
1 
,_ 
Figura 35-35 Problema 13. 
Seção 35-4 O Experimento de Young 
• 14 Em um experimento de dupla fenda, a distância entre as f en, 1., 
é 100 vezes maior que o comprimento de onda usado para ilum1 J· 
las. (a) Qual é a separação angular em radianos entre o má.xi 10 
central e o máximo mais próximo? (b) Qual é a distância entre e~ <!) 
máximos em uma tela situada a 50,0 cm das fendas? 
• 15 Um sistema de dupla fenda produz franjas de interferência p ra 
a luz do sódio (À = 589 nm) com umaseparação angular de 3,5(. x 
10-3 rad. Para que comprimento de onda a separação angula é 
10,0% maior? 
• 16 Um sistema de dupla fenda produz franjas de interferência p ra 
a luz do sóJio (A = 589 nm) separadas por 0,200. Qual é a separaç io 
' das franjas quando o siste,na é imerso em água (n = 1,33)? 
• 17 Na Fig. 35-36, duas fontes pontuais de radiofrequência S 1 (! ;;:, 
separadas por uma distância d = 2,0 m, estão irradiando em f ~ 
com A = 0,50 m. Um detector descreve uma longa trajetória ciri. .J· 
lar em tomo das fontes, em um plano que passa por elas. Quan os 
máximos são detectados? 
-
Figura 35-36 Problemas 17 e 22. 
•18 No experimento de dupla fenda da Fig. 35-10, o ângulo e é 20'. 
a distância entre as fendas é 4,24 µ.m e o comprimento de onda é 
À = 500 nm. (a) Que múltiplo de À corresponde à diferença de fase 
entre as ondas associadas aos raios r1 e r2 ao chegarem ao ponto 
P da tela distante? (b) Qual é a diferença de fase em radianos? (e) 
Determine a posição do ponto P, indicando o máximo ou mínimo 
em que se encontra o ponto ou o máximo e o mínimo entre os quais 
se encontra o ponto. 
• 19 Suponha que o experimento de Y oung seja realizado com uma 
luz verde-azulada c.om um comprimento de onda de 500 nm. Adis· 
tância entre as fendas é 1,20 mm e a tela de observação está a 5,40 m 
de distância d~s fendas. A que distância estão as franjas claras si· 
tuadas perto do centro da figura de difração? 
•20 Uma luz verde monocromática com um comprimento de onda 
de 550 nm é usada para iluminar duas fendas estreitas paralelas se· 
paradas por uma distância de 7 ,70 µ.m. Calcule o desvio angular 
(9 na Fig. 35-10) da franja clara de terceira ordem (m = 3) (a) em 
radianos e (b) em graus. 
••21 Em um experimento de dupla fenda. a distância entre as feo· 
das é 5,0 1nm e as fendas estão a 1,0 m de distância da tela. Duas 
figuras de intcrf erência são vistas na tela, uma produzida por uma 
luz com um comprimento de onda de 480 nm e outra por uma JUZ 
com uni comprimento de onda de 600 nm. Qual é a distância na tela 
entre as franjas claras de terceira orde1n (m = 3) das duas figllfílS 
de interferência? 
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1122 
N,t f 1g. 35-3ô. dua, !ontcs ~ontuais isotrópica,, S1 e S,, e1ni-
nd l ' lununo,a, e,n fase CUJO compnn1cnto de onda é ,\. As (01l1 ' ••• 
,,.1-1l1 sobre o c1,o x. separadas por uma d1stanc1a d e un1 ~111r,~'' • 
l ·tor Je Juz é deslocado ao longo Je uma circunferência, de raio 
d lt• d' • . . . , in·uor que a 1stanc1a entre a, lontcs, CUJO centro está no pon-
n1u1ll• • . ,Jio Ja reta que liga as fontes. São detectados 30 pontos de 
(ll 111, 
n,id·ide zero. entre os quais dois sobre o eixo x, u111 à esquerda 10ll ' , 
lrl
) à direita das f ontc~. Qual e o valor de d/À? 
l ou 
,,3 :-.Ja Fie.. 35-37, as fontes A e B en1iten1 ondas de rádio de ••s. • ..... 
ltin!!ll alcance com u111 co1nprin1ento de onda de 400 n1, com a fase 
01 
~oda cn1itída pela fonte A adiantada de 90" en1 relação à onde 
niitida pela fonte B. A diferença entre a distância r,., da fonte A ao 
e • . e 
dct~ctor D e a distancia, 11 da 1onte B ao detector D é 100 n1. Qual 
, diferença de fase entre as ondas no ponto D? 
' .. 
,1 B 
Figura 35-37 Problen1a 23. 
.. 24 Na Fig. 35-38, duas fontes pontuais isotrópicas, S1 e S2, en1i-
1tm luz em fase com con1primcnto de onda À e a mesma ainplitude. 
\s fontes. separadas por uma distância 2d = 6,00À, estão em uma 
rda paralela ao eixo x. O eixo x está em uma tela de observação situ-
dJ a uma distância D = 20,0A das fontes, co1n a origem equidistante 
JJs fonte!>. A figura 1nostra dois raios que chegam ao n1es1no ponto 
I' da tela. situado a uma distância Xp da origem. (a) Para que valor 
de \pOS raios apresentam a n1enor diferença de fase possível? (b} 
Para que múltiplo de À a diferença de fase é a n1enor possível? (c) 
ParJ que valor de .\p os raios apresentam a maior diferença de fase 
JXP,s1vel? (d) Para que 1núltiplo de À a diferença de fase é a maior 
po~s1vel? (e) Qual é a diferença de fase para xr = 6,00A? (t) Para 
, = 6,00À. a intensidade da luz no ponto Pé máxima, mínima, mais 
proxima de máxima ou 1nais prôxima de mínima? 
o p X 
r---d-+-d -1 
Figura 35-38 Problema 24. 
25 Na Fig. 35-39, duas fontes pontuais J.!>Otrópicas. S1 e S,, es-
tao no eixo y, separada, por un1a distância de 2,70 µ.m , e emitem 
cm fase con1 un1 conipri1ncnto de onda de 900 nm. Un1 detector de 
lu colocado no ponto P. situado no eixo t, a u,na dh,tância \p 
d1 ngem. Qual é O ,na,or valor de \1 para o qual a luz detectada é 
11nuna de, 1dn a u1na 1nterleréncia dc1:,truti\'a'! 
\ 
1 
·- .. PARTE A . '1 
INTERFER~NCIA 99 
••26 A luz solar e usada cn, um cxperin1cnto de tlupl,t lend,, . O 
n1a'\i1no de quarta ordem para um co1nprnncnlo de onda de 450 nrn 
é observado para u1n ângulo O = 90 ' A,sirn, e,t,í 110 limite p,1r.i 
ser excluído da figura de 1nterfcrênc1a, Já que O não pode ser maior 
que 90'' na Eq. 35-1 +. (a) Que faixa de co1npri1nentos; de onda den-
tro Jo espectro da luz visível (400 n1n a 700 nm) não está prc.,entc 
nos 1náximos de terceira ordem? Para eliminar toda a luL vi.,ível do 
máximo de quarta orde1n (b) a distância entre as fenda, deve ser 
aun1entada ou reduzida? (c) Qual é a menor variação nccess.íria da 
distância entre as fendas? 
•••27 Quando uma das fendas de un1 sistema de dupla fenda é co-
berto co,n u1na placa fina de n1ica (11 = 1,58). o ponto central da tela 
de observação passa a ser ocupado pela sétima franja latc.-al clara 
(111 = 7) da antiga figura de interferência. Se À = 550 nm. qual é a 
espessura da placa Je ,nica? 
•••28 A Fig. 35-39 1nostra duas fontes luminosas isotrópicas, S1 e 
S2, que emitem e1n fase co1n um comprimento de onda de 400 nm e 
mesma amplitude. Um detector P é colocado no eixo x, que passa 
pela fonte S1• A diferença de fase e/> entre os raios provenientes das 
duas fontes é medida entre x = O ex = +co; os resultados entre O e 
x, = 10 X 10-1 n1 aparecem na Fig. 35-40. Qual é o maior valor de 
x para o qual os raios chegam ao detector P com fases opostas? 
T 
o 
X (10-? m) 
Figura 35-40 Problema 28. 
Seção 35-6 Intensidade das Franjas de Interferência 
•29 Duas ondas de mesma frequência têm amplitudes 1,00 e 2,00. 
As ondas interferem em un1 ponto no qual a diferença de fase é 
60,0°. Qual é a amplitude resultante? 
•30 Determine a soma y das seguintes funções: 
y1 = lOsen wr e Y2 = 8,0 scn(wt + 30º). 
••31 So1ne as funções y1 = 10 sen wt, y2 = 15 sen(wt + 300) e 
v, = 5,0 sen(wt - 45º) usando o n1étodo dos fasores . . . 
••32 No experimento de dupla fenda da Fig. 35-10, os campos 
elétricos das ondas que chegam ao ponto P são dados por 
E1 = (2,00 µVim) scn[(l.26 x 10
15)t] 
E2 = (2.00 µY/n1) scn[(l,26 x 10
15)t + 39.6 rad]. 
onde o tempo testá em segundos (a) Qual é o módulo do crunpo 
elétrico resultante no ponto P? (b) Qual é a razão entre a intensidade 
/
1 
no ponto P e a intensidade /«,, no centro da figura de interf erên-
cia? (c) Dctcr1nine a posição d0 ponto P na figura de interferência, 
1nd1cando o 1ná,11no ou 1n1nimo no qual está o ponto ou o máxi1no e 
o n11n1mo entre o, quais esta o ponto. Em un1 diagrama fa,orial dos 
carnpos ch!tnco,, (J) co1n que velocidade angular os fasorcs giram 
c,11 torno da ongcn1 e (C) qual e o üngulo entre os fasorcs'7 
••->-, rrc-. untlu, ch:tromagnclll:t.., pa-.,an1 po1 un1 ponto P situado 
no ci\o , A, onJ.,, c-.tão pnlan,ada, paralelan1cntc ,,o e1 ,o v c ,ts 
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100 CAPÍTULO 35 
• 
an1ptitudc, do, ca1npo, elétrico., são dadas pelas funçi,c a cgu,r. 
Dctcnninc a onda rc~uhantc no ponto P. 
/;1 - (10,0 µVim) ,cn((2,0 X 10
14 rad ls)tJ 
E
2 
= (5,00 µVlm)scnl(2,0 X 1011 rad ls)t + 45.(J J 
E) (5.00 µVim} scnl(2.0 X 101~ radlc;)f - 45,0 J 
•• 34 No experimento de dupla fenda da Fig. 35-1 O. a tela de ob-
servação ec;tá a uma distância D = 4,00 m, o pontoP e~tá a uma 
distância )' = 20,5 cm do centro da figura de interf erénc1a, a dis-
tância entre as fendas é d = 4,50 µ.m e o comprimento de onda é 
>.. =580 nm. (a) Detennine a posição do ponto P na figura de inter-
' f crência, indicando o máximo ou mínimo em que está o ponto ou o 
máximo e o mínimo entre os quais está o ponto. (b) Calcule a razão 
entre a intensidade Ir no ponto P e a intensidade/"" no centro da 
figura de interferência. 
Seção 35-7 Interferência em Filmes Finos 
•35 Deseja-se revestir uma placa de vidro (n = 1,50) com um fil-
me de material transparente (n = J ,25) para que a reflexão de uma 
luz com um comprimento de onda de 600 nm seja eliminada por 
interferência. Qual é a menor espessura possível do filme? 
•36 Uma película de sabão (n = 1,40) com 600 nm de espessura é 
iluminada perpendiculannente com luz branca. Para quantos com-
primentos de onda diferentes na faixa de 300 a 700 nm a luz refle-
tida apresenta (a) interferência construtiva total e (b) interferência 
destrutiva total? 
.37 Os diamantes de imitação usados em bíjuteria são feitos de 
vidro com índice de refração 1,50. Para que reflitam melhor a luz, 
costuma-se revesti-los com uma camada de monóxido de silício de 
índice de refração 2,00. Determine a menor espessura da camada 
de monóxido de silício para que uma onda de comprimento de onda 
560 nm e incidência perpendicular sofra interferência construtiva 
ao ser refletida pelas duas superfícies da camada. 
•38 Um feixe de luz branca incide perpendiculannente, de cima 
para baixo, em um filme fino horizontal colocado entre placas es-
pessas de dois materiais. Os índices de refração são 1,80 para o 
material de cima, 1,70 para o filme fino e 1,50 para o material de 
baixo. A espessura do filme é 5,00 X 10-7 m. Dos comprimentos 
de onda da luz visível (400 a 700 nm) que resultam em interferên-
cia construtiva para um observador situado acima do filme, qual é 
(a) o maior e (hJ o menor comprimento de onda,:, () m r1 
filme são ::iqucc,cJns, o quclfuz .i e pc sura do filme umen r 
,ntcrfcrénc1a conc;trutiva passa a ocorrer para um compnm n 
onda maior ou menor! 
.39 Uma onda luminosa de comprimento de onda 624 nm inad 
pcndícularmcntc cm uma película de sabão ( com n = 1.33) u pe 
no ar. Quais são as duas menores e ~ suras. do_ filme~ as?q 
as ondas rctleúdas pelo filme sofrem interferenc,a constru11, a . 
•• 40 Um filme fino de acetona < 11 = l ,25 J e tá sobre. u~a P 
espessa de vidro (n = J ,50). Um feixe de luz bra~c~ 1nc1de 9er 
pendiculannente ao filme. Nas reflexões, a 1ntcrf~renc1a des 
acontece para 600 nm e a interferência construuva para 700 r. 
Detennine a espessura do filme de acetona. 
••41 a 52 Reflexão em filmes finos. Na Fig 35-41. a luz ir · 
perpendicularmente em um filme fino de um ma!e~al 2 que est e: 
tre placas (espessas) dos materiais 1 e 3 (Os rruos foram dese t 
dos com uma pequena inclinação apenas para tomar a figura 
clara.) As ondas representadas pelos raios r 1 e r 2 interfe~em d II 
(onna que a intensidade da onda resultante pode ser máxima C h 
ou mínima (mín). Para esta situação, os dados da Tabela 35 2 
referem aos índices de refração n1, 11,z e n3 , ao tipo de interferé cü. 
~ . 
à t>spessura L do filme fino em nanometros e ao compnmen > 
onda>.. em nanômetros da luz incidente, medido no ar. Nos pr ol! 
mas em que não é dado o comprimento de onda À, pede-se o al 
de>.. que está na faixa da luz visível; nos problemas em que r 1o 
dada a espessura L, pede-se a segunda menor espessura ou a ter e· 
menor espessura, de acordo com a indicação da tabela_ 
. . 
I 
Figura 35-41 Problemas 41 a 52. 
.__, _ 
••53 A reflexão de um feixe de luz branca que incide perpenclic Jlz 
mente em uma película uniforme de sabão suspensa no ar apre ~ri: 
um máximo de interferência em 600 nm e o mínimo mais pró 5 
está em 450 nm. Se o índice de refração da película é n = 1,33. qu:. 
é a sua espessura? 
Tabela 35-2 
Problemas 41 a 52: Reflexão em Filmes Finos. As explicações estão no texto. 
n1 n2 n3 Ttpo L 
41 1,68 1,59 1,50 , Illln 2º 342 
42 1,55 1,60 1,33 máx 285 
43 1,60 1,40 1,80 , nun 200 
44 1,50 1,34 1,42 máx 2º 587 
45 1,55 1,60 1,33 máx 30 612 
46 1,68 1,59 1,50 , 415 nun 
47 1,50 1,34 1,42 ' nun 380 
48 1,60 1,40 1,80 máx 20 632 
49 1.32 1,75 1.39 máx 30 382 
50 1,40 1,46 1,75 , 2.11 m1n 482 
51 1,40 1,46 1,75 , 210 m1n 
52 1.32 1,75 1,39 rnáx 325 
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•• 54 Unia onda plana de luz monocromática incide nomialmente 
(n, uni tihne ~ino de ôleo de c~pC~\ura unifom1e que cobre un,a pia-
\.•' Je, iJro. E Pº""'' 1:I f a1er variar continuatnente o comprimento 
Je ond,, da fonte lu1111no,a Un1a interferência destrutiva da luz rc-
tlruJ,1 e ob,en .1da para comprimentos de onda de 500 e 700 nm e 
parJ nenhun1 outro con1pri1nento de onda dentro deste intervalo. Se 
0 ,nJu.:e de refração do óleo é 1,30 e o do vidro é 1,50, determine a 
i,:,pe,;,ur,1 do filn1c de óleo. 
,,55 Urn petroleiro avariado derrarna querosene (11 = 1,20) no gol-
lo Per.,ico. criando u,na grande mancha na superfície da água (11 = 
1.30) (a) Se você está sobrevoando a 1nancha en1 um avião. com o 
Sol a prno. em uma região onde a espessura da mancha é 460 nm. e 
olha diretan1ente para baixo. para que comprimento(s} de onda da 
luz vísí,el a reflexão é mais forte por causa da interferência cons-
trutiva., (b) Se você tnergulhou para observar a mancha de baixo. 
para que comprimento(s) de onda da luz visível a intensidade da 
luz transmitida é rnáxima? 
,,56 Um filtne fino com uma espessura de 272.7. suspenso no ar. 
e 1lum1nado por um feixe de luz branca. O feixe é perpendicular ao 
lilme e contén1 todos os comprimentos de onda do espectro visível. 
Na luz refletida pelo filme. a luz com um co1nprimento de onda de 
600.0 nrn ~of re interferência construtiva. Para que comprimento de 
onda a luz refletida ,ofre interferência destrutiva? (Sugestão: faça 
urna hipótese razo,ível a respeito do índice de refração do filme.) 
,,57 a 68 Tra11s111issâo e111fibnesji11os. Na Fig. 35-42, a luz incide 
perpendiculannente em um filme fino de um material 2 que está entre 
placas (espessas) dos materiais I e 3. (Os raios foram desenhados com 
unta pequena inclinação apenas para tomar a figura mais clara.) Parte 
da luz que penetra no material 2 chega ao material 3 na forma do raio 
r, (a luz que não é refletida pelo material 2) e parte chega ao mate-
nal 3 na forma do raio r4 (a luz que é refletida duas vezes no interior 
Jo n1aterial 2). As ondas representadas pelos raios r3 e r4 interferem 
Je tal fonna que a intensidade da onda resultante pode ser máxima 
(n1áx) ou rnínitna (1nín). Para esta situação, os dados da Tabela 35-3 
,e referen1 aos índices de refração 111, n2 e 113, ao tipo de interferên-
cia. a espessura L do filme fino em nanômetros e ao comprimento de 
onda A en1 nanômetros da luz incidente. medido no ar. Nos proble1nas 
cn1 que não J dado o comprimento de onda À, pede-se o valor de À 
que está na faixa da luz visível; nos problemas em que não é dada a 
l!spessura L. pede-se a segunda menor espessura ou a terceira menor 
c,pcssurJ, de acordo com a indicação da tabela. 
INTERFERÊNCIA 101 
1 1 r 
1 
, 
Figura 35-42 Problemas 57 a 68. 
••69 Na Fig. 35-43. urn feixe lun1inoso com um compnmento c.h.: 
onda de 630 nm incide perpendicularmente cm um filme fino cm 
forma de cunha com um índice de refração de 1.50. Um observador 
situado do outro lado do filme observa LO franjas claras e 9 franjas 
escuras. Qual é a variação total de espessura do filn1e'? 
Lu, t1lc1dcn1c 
... -~-· . . •. 
t • • • . ' ~ ' , ;.. :t, 
Figura 35-43 Problen1a 69. 
••70 Na Fig. 35-44. u1n feixe de luz com um co,nprimento de 
onda de 620 nm incide perpendicularmente na placa superior de 
um par de placas de vidro que estão e1n contato na extremidade es-
querda. Oar entre as placas se comporta co,no um filme fino e um 
observador situado acima das placas vê uma figura de interferência. 
Inicialmente. existem uma franja escura na extre1nidade esquerda. 
un1a franja clara na extremidade direita e nove franjas escuras fora 
das extremidades. Quando as placas são aproximadas a uma taxa 
constante, a franja do lado direito muda de clara para escura a cada 
15,0 s. (a) A que taxa a distância entre as extremidades das placas 
na extretnidade direita está variando? (b) Qual é o valor da variação 
no momento em que existem franjas escuras nas duas extremidades 
e cinco franjas escuras fora das extre1nidades? 
Luz incidente 
! ! ! ! ! 
Figura 35-44 Problemas 70 a 74. 
Tabela 35-3 
Problemas 57 a 68: Transmissão em Filmes Finos. As explicações estão no texto. 
111 11, tl3 Tipo L À -
57 1.s~ 1,60 1.33 
, 
mrn 285 
58 1.32 1.75 1.39 0\10 
Jll • 382 
59 1.68 1.59 1.50 OláX 415 
60 l .iO 1.14 l,42 OlaX 380 
61 1.32 1,75 1.39 1nín 325 
62 1 ,68 1.59 l.'iO llláX 211 l42 
63 1.40 1,46 1.75 n1áx 
')ll 482 -
64 1.40 1.46 1,75 n1a, 210 
65 1.60 1,40 L,80 nlln 
,11 t ... , - )_,_ 
66 l ,llO 1.40 1.80 Ola\ 200 
J .34 1 ,42 
. ,u 'l87 (l7 1.so nun -
68 1.55 1.bO 1 •. 13 111111 
lll 612 • 
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102 CAPÍTULO 35 
••71 Na Fig. 35-44. dua, lâm1nns de nucroscóp10 c'>tào cn, con-
tato cm u1na da, cxtrcn1idades e separada., na outra. Quando uma 
luz con1 un1 cornpri1nento de onda de 500 nn1 incide verticalmen-
te na lâ1n1na superior. urn observador situado acima das lâminas 
vê uma figura de interf erêncía na qual as franjas escuras estão 
separadas por un,a distância de 1,2 mn1. Qual é o ângulo entre as 
lâminas? 
••72 Na Fig. 35-44, um feixe de luz monocromática incide per-
pcndiculannente cm duas placas de vidro mantidas em contato em 
urna das extremidades para criar uma cunha de ar. Um observador 
que olha para baixo através da placa superior vê 4001 franjas escu-
ras. Quando o ar entre as placas é removido, apenas 4000 franjas 
são vistas. Use esses dados para calcular o índice de refraç~o do ar 
com seis algarismos signifii:ativos. 
•• 73 Na Fig. 35-44, uma fonte luminosa com um comprimento de 
onda de 683 nm ilurl1ina perpendicularmente duas placas de vidro 
de 120 mm de C<'1nprimento que se tocam na extremidade esquer-
da e estão separadas por uma distância de 48,0 µ.m na extremidade 
direita. O ar entre as placas se comporta como um filme fino. Quan-
tas franjas claras são vistas por um observador que olha para baixo 
através da placa superior? 
(a) 
Lu, 
111c1dcn11· 
\'idro 
Vidro 
•• 7 4 Duas placas retangulares de vidro (11 = l ,60) estão em contato 
em uma das extremidades e separadas na outra extremidade (Fig. 
35-44 ). Um feixe de luz com um comprimento de onda de 600 nm 
incide perpendicularmente à placa superior. O ar entre as placas se 
comporta como um filme fino. Um observador que olha para baixo Figura 35- 45 Problemas 75 a 77. (Cortesia de Bausch & Lo, hJ 
através da placa superior vê nove franjas escuras e oito franjas cla-
ras. Quantas franjas escuras são vistas se a distância máxima entre ' 
as placas aumenta de 600 nm? 
o ,, 
I (s) 
Figura 35-46 Problema 78. 
••75 A Fig. 35-45a mostra uma lente com raio de curvatura R 
pousada em uma placa de vidro e iluminada de cima por uma luz 
de comprimento de onda A. A Fig. 35-45b (uma fotografia tirada 
de um ponto acima da lente) revela a existência de franjas de in-
terferência circulares (os chamados anéis de Neivto11) associadas à 
espessura variável d do filme de ar que existe entre a lente e a placa. 
Determine os raios r dos anéis que correspondem aos máximos de Seção 35-8 O lnterferômetro de Michelson 
interferência, supondo que r/R ~ 1. •79 Se o espelho M,. de um interferômetro de Michelson (fig . 
• ;76 Em um exptrimento com anéis de Ne\vton (veja o Problema 35-21) é deslocado de 0,233 mm, a figura de interferência se d "S· 
75), o raio de curvatura R da lente é 5,0 m e o diâmetro da lente é loca de 792 franjas claras. Qual é o comprimento de onda da 1uz 
20 mm. (a) Quantos anéis claros são fonnados? Suponha que A = responsável pela figura de interferência? 
589 nm. (b) Quantos anéis claros são fonnados quando o conjunto •80 Um filme fino com um índice de refração n = 1,40 é colocado 
é imerso em água (n = 1,33)? em um dos braços de um interferômetro de Michelson, perpendicu· 
••11 Um experimento com anéis de Newton é usado para de- lannente à trajetória da luz. Se a introdução do filme faz com que 
terminar o raio de curvatura de uma lente (veja a Fig. 35-45 e o a figura de interferência produzida por uma luz com um compri· 
Problema 75). Os raios dos anéis claros de ordem 11 e n + 20 são mento de onda de 589 nm se desloque de 7,0 franjas claras, qual é 
0, 162 e 0,368, respectivamente, para um comprimento de onda da a espessura do filme? 
luz de 546 nm. Calcule o raio de curvatura da superfície inferior ••81 Uma câmara selada contendo ar à pressão atmosiérica. com 
da lente. - 5,0 cm de comprimento e janelas de vidro, é colocada em um do) 
•••78 Um filme fino de um líquido é ma11tido em um disco ho- braços de um interferômetro de Michelson, como na Fig. 35-47. 
rizontal, com ar dos dois lados do filn1e. Um feixe de luz com um (As janelas de vidro da câmara têm uma espessura tão pequena que 
comprimento de onda de 550 nm incide perpendicularmente ao fil- sua influência podt' ser desprezada.) Uma luz de comprimento de 
me e a intensidade J da reflexão é medida. A Fig. 35-46 mostra a onda À = 500 nm é usada. Quando a câmara é evacuada, as franjas 
intensidade / em função do tempo t; a escala do eixo horizontal é claras se deslocam 60 posições. A partir desses dados, determine o 
definida por t, = 20,0 s. A intensidade muda por causa da evapo- índice de refração do ar à pressão atmosférica com seis algarismos 
ração nas duas superfícies do filme. Suponha que o filme é plano, significativos. 
que as duas superfícies do filme são paralelas e que o filme tem um ••82 O elemento sódio pode emitir luz de dois comprimentos de 
raio de 1,80 cm e urn índice de refração de 1,40. Suponha também onda, À1 = 589,10 nm e À2 = 589,59 nm. A luz do sódio é usada 
que o volume do filme diminui a un1a taxa constante. Dctern1ine em un1 interferômetro de Michelson (Fig. 35-21 ). Qual deve ser o 
essa taxa. deslocamento do espelho M2 para que o deslocamento da figura de 
natalia
Highlight
natalia
Highlight
figura 35-47 Proble1na 81. 
1 ""'' 
l'.1r;1 .1 ho111l,-1 
rlc , .1c11u 
,nkrt~r~nci,1 produzida por um dos comprirncnto, de onda .,ej..: <lc 
1 (1() rr.inJ,l a m.1i, que o <le,locamento da figura de figura de i'ltcr-
fcrcn, 1,1 produzida pelo outro compnmento de onda? 
Problemas Adicionais 
63 D01, r.110, tu,nino,o,. 1nicia! ,11ente em fa<.e e com un1 compn-
mcn111 de onda <le 500 nm. percor. en1 diferente, trajetória, sofrendo 
n:llc,t1<:' cm espelho-. plano" como mostra a Fig. 35-48. e A, rcíle-
\1·,e, n:io protluzen1 1nudar,ças de fase.) (a) Qual é o 1nenor valor 
Je d pJra o qual os rai<', têm fa..,es opostas ao deixarcn1 a região? 
(Ignore a ligeir.i inclinação da trajetóna do raio 2l. (b) Repita o 
prohlcn1.1 suponde que o ..,isten1a está imer,o cn1 un1a solu;ão de 
prot.?ína, com t:m índice de refração de 1.38. 
Figura 35-48 Problema 83. 
~-d- - - d-·' 
1 f 
1 1 
/ 1 -.-~ . 
1 R.110 1 
d 
1 
-!-
1 
d 
1 
-'-
84 Na Fig. 35-49, duas fontes pontuais isotrópicas S1 e S2 emJtem luz 
em fa.o;e com a 1nesma ampJitude e comprimento de onda A. As fon-
re~ estão no eixo.\, ,eparadas por uma distância d= 6,00A. Uma tela 
de ob.;.ervação paralela ao plano y;:: está situada a uma distância D = 
20.0A de s~. A figura mostra dois raio"> chegando ao ponto P da tela, 
rtuado a un1a altura Yr· (a) Para que valor de )'p os raios aprcsentan1 
a menor diferença de fase possível? (b) Que múltiplo de A representa 
a menor diferença de fase possível? (c) Para que valor de YP os raios 
apresentama n1aior Jiferença de fase possível? Que múltiplo de A 
representa (d) a maior diferença de fase possível e (e) a diferença de 
fase para y,, = d? ( t) Para v,. = cl. a intensidade no ponto Pé máxima, 
mínima. mais pró,ima do n1áximo ou mais próxin1a do mínimo? 
Rgura 35-49 Problen1a 84. 
) 
Tc:la -...._ 
/J 
' 1 
85 1 111 e 11en111 nto d <'.lupl ~ nd 
do ódio IA 58<i 11n1) com u1111 
!111 CClllf( I d t hflllll d lll(Crf r O 1 1 
Ir 11111L,; cl ,r., e o cq111p un nto for 1m r o m '!i"'"• 
rc:lr.iç.,n e 1,33/ 
86 N 1 1 1g 3'i 'illa, ., ond 1 1 11 n 1 1 
e, 1l111cn1c cn1 losc c: 1c111 ,, ,nc 1110 con,pnmcnto d 
r,.110 2 ,1tr.1, c;,111111111.11c r1o1l <le C.t•1npra111 nto I e índr d r fr 
1 
101 
( ) 
11 . o~ r.uns •,an re llc:11d11 po, cr.pclho p r, 111n ponto comuni f' 1 
tu,,l.111 cn1 u111.1 tcl,1. Snponh.i que e (lO 1vcl ~ 1 r 11 v an r d 11 
1,0 até 11 2,5. S11ponh,1 1.11nl .:111 «111c, de 11 1 o II n 1 «; 
a 1ntc11~1<l.1,Je I d,1 tu, 011 ponto/', .,nu cu1n II da fonoa 1nJ11. d n 
fig 35-SOh. Para tiue , .tlnrcs de 11 111 11Qrc que 1 ,4 a 1ntcn 1d d 
I (,tl é 1na,i1n,1 e <h> é zero?!..:) Que rnultaplo Jc A corre pond 
dileren~a Je f.1,e entre o.., r,11os no póntn /> r,ar, ,1 2 O' 
I 
1~ I ~ 
' 
t ,J,l 
R: ,io ~ n 
:> 
. , . 
1in 2 
1 
( a) ( b ) 
Figura 35-50 Problemas 86 L 87. 
87 Na Fig 35-50a, J-. onda.., ª"'oci.,da.., ao, r .iio, 1 c 2 c~1ão 101-
cialmentc cn1 f .1,c e têrn o n1c.,n10 comprin1ento de on<ln A no ,ir. O 
raio 2 atravc,,a u1n material de con1pri1ncnto l e 1n<l11.:c de reira-
ção 11 . Os raios o,ão refletido, por c.,pclho-; p,tra u111 ponto con1urn 
P. situado crn uma tela. Supunha que ,eja pu,,í, cl r.1,er L , .,nar 
de O a 2400 nn1. Suponha 1.1mbé1n que de L = O .,te L = 900 11111. 
a in1eno,1dade l da luz no ponto P, ane c.:on1 !~ da f onna 1ndic.1d.1 na 
Fig. 35-51. Para que valore., de L m.uorc, que 900 nm a 1ntensit.la-
de 1 (a) é m:.íxima e (b) é zero? (e) Que 1núltiplo de ,\ c.:urrc,ponde 
a diferença de fao,e entre os raio., no ponto P para L = 1200 n1n ! 
I 
(} I 
Figura 35-51 Problema 87. l . ( 11111) 
88 Uma onda luminosa corra u1n con1primenlo de onda de 700,0 nn1 
percorre u,na distância <le 2000 0111 no ar. Se a n1esma di,tftncia é 
percorrida cm un1 n1aterial cujo índice de refração é 1,400, qual é o 
de.,locamcnto de fase, em grau..,, inlroduLido pelo 1nater1aJ? Calcule 
(a) o deslocamento total e (b) o deslocamento equ1valcnte co111 u111 
valor menor que 360º. 
89 Na Fig. 35-52, urn transmissor de m1c.ro-onda, \lluado a urna 
altura a acin1a do nível da água de un1 lago tran..,mitc tnicro-onda.., 
de compri,nento de onda A cn1 direção a u1n receptor n,1 m,1rgcn1 
oposta. situado a uma altura .\ acima do n1vel da agua. A, micro-
onda, que se rcflete1n na superfície do lago 1ntcrfcrcn1 con1 ,1.., ma-
cro-ondas que .,e propagan1 tliretamente at.-avés tio ar Supondo que 
a largura D tio lago é 1nuilo maior que a e \" e que A - "· para que 
valore~ de \ o sinal que chega ao receptor tcn1 a 111a1or intcns1datlc 
104 CAPÍTULO 35 
possível? (Sugestão: verifique se a reflexão resulta em uma mu-
dança de fase.) 
1 f a 
:e 
li !1 
D 
Figura 35-52 Problema 89. 
Lirq do líquido, com cJ, cm comprimentos de ond~ e a escala do , 
horizontal definida por L, = 40,00 µm. Determine (a) o índ1t 1 
refração do plástico; (b) o índice de refração do líquido. 
' 
1 . 
1 1 
1 1 
1 
11 
I 1 
Luq 
1 -e. 20 
l " - Plástico I 90 Na Fig. 35-53, duas fontes pontuais isotrópicas S, e S2 etnitem 
luz com un1 comprimento de onda A = 400 nm. A fonte S, está si-
tuada no ponto y = 0,640 nn1; a fonte S2 está situada no ponto )' = 
-640 nm. A onda produzida por S2 chega ao ponto P1 (situado em 
x = 720 nm) adiantada de 0,6001r md em relação à onda produzida 
por s,. (a) Que múltiplo de A corresponde à diferença de fase entre 1 
as ondas produzidas pelas duas fontes no ponto P2, situado em y = 
0,7201nm? (O desenho não está em escala.) (b) Se as ondas chegam 
a P1 con1 intensidades iguais, a interferência é construtiva, destruti-
va, n1ais próxitna de construtiva ou mais próxima de destrutiva? 
(a) 
Figura 35- 55 Problema 92. 
o 
Ltrq (µ,n) 
(b) 
93 Se a distância entre o primeiro e o décimo 1nínimo de un I h 
gum de interferência de dupla fenda é 18,0 mm, a distância I Hrc 
as fendas é O, 150 mm e a tela está a 50,0 cm das fendas, qu:r r 1 
comprimento de onda da luz? 
)' 
P., 
• 
---+-----x 
Figura 35-53 Problema 90. 
91 :: , ; Ondas oceânicas, com uma velocidade de 4,0 1n/s, se 
aproximan1 da praia fazendo um ângulo 81 = 300 con1 a normal, 
conto se vê na vista de cima da Fig. 35-54. A profundidade da água 
muda bruscamente a uma certa distância da praia, fazendo a velo-
cidade das ondas diminuir para 3,0 m/s. (a) Qual é o ângulo 8
2 
en-
tre a direção das ondas e a normal perto da praia? (Suponha que a 
lei de refração seja a mesma que para a luz.) (b) Explique por que 
quase sempre as ondas incidem perpendiculatmente à praia, ,nesmo 
quando se aproximam da costa fazendo un1 ângulo relativamente 
grande con1 a normal. 
1) • r:ua 
Figura 35-54 Problema 91. 
92 A Fig. 35-55e1 n1ostra dois r.iios lun,;nosos, con1 un1 compri-
ntento de onda no ar de 400 nn1, que estão inic1aln1cntc en1 fase 
e114lH1nto se propagarn para cima cm u111 bloco de plástico. O raio 
r, atr,1vc,sa o pl.1,t1co e cheg,1 ao ar. Antes de chegar ao ar. o raio 
ri pa,,u por u111 liquido contido cn1 un1u cavidade <lo phi,cico. A 
altura l.1,~ do lfqu1do e inic,ahucncc 40,0 µrn. 1na, o líquido con1cça 
,1 evaporar ScJa t/J a <l1 tcren~·a de l.1,e entre o, raio, ,., e , , ao chc-
garc,11 ao ar. A Fig. 15-S'.'i/, n10,1r.1 o vnlor<lc 4, c1n funç·Jo da al1ur,1 
94 A Fig. 35-56 mostra uma fibra ótica na qual um núcleo ce tr.11 
de plástico, co1n um índice de refração 111 = 1,58, é envolvid. p11: 
um revestimento de plástico com um índice de refração 112 = 53 
Os raios lu1ninosos se propagam ao longo de diferentes trajet, 1J.1 
no núcleo central, o que leva a diferentes tempos de percurso. '\-0 
faz com que um pulso de luz inicialmente estreito se alargu a1, 
trafegar pela fibra, o que reduz a qualidade do sinal. Considt e J 
luz que se propaga ao longo do eixo central e a luz que é reílL · ,dJ 
repetidamente com o ângulo crítico na interface entre o núclet r o 
revestimento. Qual é a diferença entre os te1npos de percurso , ·ara 
uma fibra ótica com 300 1n de comprimento? 
-
--"• -------------~ ..___.. 
Figura 35-56 Problema 94. 
95 Duas fendas paralelas são iluminadas com uma luz monocromi· 
tica cujo comprimento de onda é 500 nm. Uina figura de interferio· 
eia aparece em uma tela situada a uma certa distância das fendas e i 
quarta franja escura está a 1,68 cm da franja clara central. (a) Qual 
é a diferença de percurso correspondente à quarta franja escura? (b) 
Qual é a distância na tela entre a franja clara central e a primeira 
franja clara de cada lado da franja central? (Sugestcio: os ângu)()) 
da quarta franja escura e da primeira franja clara são tão pequen~ 
que tan 8 ::::. sen O.) 
96 A lente de lnna câmara, cu.10 índice de refração é rnaior qu( 
1,30, é revestida com urn filme fino transparente com un1 índice <k 
rcf ração de 1,25 para eliminar por interferência a reflexão de Jut 
com compritnento de onda A que incide perpendicularmente na len-
te. Que múltiplo de A corresponde à espessura mínin1a de um fi)nl( 
que atende a i•stas especificações? 
97 Uma luz de comprirnento de onda ,\ é us.1da cm un, 1ntcrtcrõ-
n1etro de t>. lichclson. Scju \aposição do espelho n1l'lvcl, con1 \ ==O 
no ponto cn1 que os braços h:111 co1npri1ncnto" iguais E,crcva un1J 
c\prc,,ào para a intensidade da h1, oh,crvnda cn1 lun\."àO de, , cha· 
1n.1ndn de t., a intcn,1<ladc nta\in1a. 
• 
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8 í:rn Jlll' c,~nn1cnto,, dois raios lurnino,o" pcn:orrcm difcrcn-
9 :1 \.h\n,1, ,otrcndo rcftcxõe<, c1n espelhos plano.,, corno na Fig. 
lf.l • . 1 2 - . . l 
• .__ 1~ \;o primeiro c,pcnmcnto. os raio, e c.,tao 1n1c1a menteia.,i: e tém um comprimento de onda de 620,0 nm. No egundo 
~~nmcnto, os raios l e 2 estão inicialmente cm f asc e tên1 um 
• nnmento de onda de 496,0 nm. QuaJ é o menor valor da dis-co1n1- _ 
·,a L para que as ondas de 620,0 nm deixem a reg1ao cm f a,e e 
10\. d' ·- r: ? a., t,ndas de 496,0 nm e1xcm a regtao com ,ases opostas. 
99 ,\ fig. 35-57 mostra um jogo de ftiperama que foi lançado no 
rc,a~ Quatro pistolas de laser são apontadas para o centro de um 
conjunto de placas de plástico, onde se encontra o alvo, um tatu de 
t,.llTI). Os índices de refração das placas são n1 = 1,55, 112 = 1,70, 
11 = J.45. 11, = 1,60, "~ = 1,45, 116 = 1,61, n7 = 1,59, 118 = 1,70 e 
n = t .60. A es~sura das camadas é 2,00 mm ou 4,00 mm, como 
mo,lfJ 3 figura. Determine o tempo que a luz leva para chegar à re-
cião central para um disparo (a) da pistola l; (b) da pistola 2; (e) da 
4 
3 
Figura 35-57 Problema 99 . 
1 
INTERFERUlCIA 10s 
pistola J; (dl do pt tola 4. (e) Se ns lJUatr(l p1,;tol forent dt pJ.r..wa:-
-.in1ultnnca1ncntc. que d1c.paro ~rá n pn1nc,ro a 011n,g1r o I\O 
100 Um llhnc fino <-u<.pcn o no ur tem 0.410 ,,m d e,~ uru e ~ 
iluminado com luz br.mca que 1nc1dc pcrpcntl,eulamu:nte na upcr-
fície do filme. O índice de rcfraçüo do filn1c é 1.50. Parn t1uc con1-
prin1cnto de onda a luz, i<-ível que~ rctlet1da ~1.i, Ju.1 ,upcrf1c1es 
do filme sof rc interf crência constru11, a? 
l 01 Dctemunc a di-.tânc1a entre a.-. fendas cm un1 ,1 tcmJ de lcnJ.1 
dupla que produz f ranJas de interferência scpJrndJ por O.OIS rali 
cm uma tela distante quando a luz tem um comprimento de ond., 
,\ = 589 nm. 
102 Em um diagrama f asoriaJ das ond~ que se combinillll cm un1 
ponto qualquer da tela de observação do expenmento de dupla fenda 
da Fig. 35-10, o fasor da onda resultante gira de 60.0') cm 2.50 
10-16 s. QuaJ é o comprimento de onda da luz? 
-
-
1 ---, 
1 -----,r: 
;I 
-- j 
1 . 1 
106 
CAPÍTULO 
Figura 36-1 Esta figura c.Jc 
<.11fra;;ão .ipareccu e1n um~1 leia c.Jc 
Ob\ervaç.'.io quanc.Jo a luz que h3\ i;:i 
passaJ., por uma fenda ,enicnl 
c~treita chegou a tela. A c.J1fração 
lez c0n1 que o feixe lu1n,noso 
e alarg:.i se perpenc.J1culL1m1enlt: 
à maior <.luncns5o da fenda. 
produzínJ,1 uma figur.i tle 
interferência c11nsli1uíc.Ja púr 
uni ,n:íximo central e maximos 
secundários ! ou laterais) 
1nenos 1ntcn~l1::., separados rx1r 
1nínimos. 1 Ke11 Ke1\'/Fu11tla111c!1/lul 
~ 
Phorngraphs J 
N 
• 
O QUE É FÍSICA? -
Un1 do, objetivo, da física no estudo da luz é compreender e utilizar a <l,. 
fração ,ofrida pela luz ao atravessar uma fenda estreita ou (como veremos a seguir· 
:io pa,,ar pela borda de um obstáculo. Já n1encionamos esse fenômeno no Capítult, 
35, quando di,semo, que u1n feixe lun1inoso se alarga ao passar por fendas no expe. 
rimento de \' oung. Acontece que a difração causada por uma fenda é um fenô1ncno 
n,ai~ con1plexo que u1n sin1ples alargamento, p~is a luz também interfere con,1g0 
n1esma. produzindo uma figura de interferência. E graças a co1nplicações co1no C\\J 
que a luz pode ser usada en1 1nuitas aplicações. Embora a difração da luz ao atra. 
, essar u1na fenda ou passar por u1n obstáculo possa parecer uma questão puramente 
acadêmica. muitos cientistas e engenheiros ganham a vida usando esse fenôn1eno. 
para o qual exi,te um número incontável de aplicações. 
Antes de discutir algumas dessas aplicações, van1os exa1ninar a relação entre a 
difração e a natureza ondulatória da luz. 
36-2 Difração e a Teoria Ondu.latória da Luz 
No Capitulo 35 definimos difração, sem muito rigor. como o alargamento sof ndn 
por um feixe lu1ninoso ao passar por uma fenda estreita. Algo mais acontece, po-
rém. já que a difração, alé,n de alargar um feixe luminoso, produz uma figura de 
interferência conhecida con10 figura de difração. Quando a luz 1nonocron1ática de 
uma fonte distante (ou de um Jaser) passa por uma fenda estreita e é interceptada 
por uma tela de observação, aparece na tela u111a figura de difração como a n1ostra· 
da na Fig. 36-1. A figura é formada por um máximo central largo e intenso (1nu1tu 
claro) e uma ;;érie de máximos mais estreitos e menos intensos (que são chan1at10, 
de m~1n1os secundários ou laterais) dos dois lados do m,íximo central. Os 1náx1· 
n1os ~ão separados por inínimos. A luz também chega a essas regiões, mas as ondas 
luminosa., se cancelam mutuamente. 
Uma figura como essa não pode ser explicada pela ótica geométrica: se a luz via· 
jasse em linha reta, na f onna de raios, a fenda permitiria que alguns raios passassem 
e produz1,sem na tela uma i,nagem nítida da fenda, de cor clara, em lugar da série 
de f ranJa'> claras e escuras que ve1nos na Fig. 36- J. Con10 no Capítulo 35. somos 
forçados a concluir que a ótica geométrica é apenas uma aproximação. 
A difração da luz não está limitada a situações em que a luz passa por uma aber· 
tura e~treita. como uma fenda ou um orifício; ela também acontece quando a luz en· 
contra um ob.,táculo. como as bordas da lâmina de barbear da Fig. 36-2. Observe 3~ 
linha:- de n1á\ima e mínima iluminação, aproximadamente paralelas tanto às bordas 
externas con10 às bordas internas. Quando a luz passa, digamos, pela borda vertical 
<la e,querda. é espalhada para a direita e para a esquerda e sofre interferência. pro· 
<luzindo franjas claras e escuras ao longo da borda. A extremidade direita da figurJ 
de interferência está, na verdade, em uma região que ficaria na sombra da lâmina ~e: 
a ótica geométrica prevalecesse. 
Encontran,os u1n e,en1plo simples de difração quando olhamos para u,n céu 
se1n nuven, e vemo:- pequenos pontos e filamentos flutuando diante dos olhos. Ess3~ 
1110,ca.l \'o/ante.,. como são chan1adas, aparecem quando a luz passa por pequeno~ 
depósitos opacos existentes no humor vítreo, a substância gelatinosa que ocupa J 
.. 
. rte do gloho ocular. O que vemo, quundu uma mosca v,,lante se encontra 
n1aior pa campo visual é a figura de dilraç:io produ11dJ por um desses depósitos. 
em nosso - · -1 • r - r f 11 d ando olhamos para o ceu alravcs uc u,n or, 1<.:1<1 c1lo cm uma e, 1a opaca, e 
Qu tornar a luz que chega ao olho uma, nda aprt,ximadamcntc plana, podemos 
modoª , · ' · d t· d d't· - -::!& •
1 
amentc os max1mos e m1n1mos a 1gura e I raçao. 
\er <.: ar . d 1 • . . 1 , d A difração é um efeito on u ator10. ou scJa. acontece porque a ui e uma on a 
também e observada cm outro-. tipos <lc onda. Quando vncê fala para uma mui-
e_ _ por exemplo .... ua voz pode não ser ouvida porque as ondas sonoras sofrem 
udao. . d d ui fração ao passarem pela abertura estreita <.la boca. espalhando-se e re uz1n o 
uma h . . d , f P b 
ns-1dade do som que c ega aos ouvintes si tua os a sua rente. ara com ater a 1 1nte -
difração. você pode us~r um megafu~e. Nesse ca')O, as ondas sonoras emergem de 
abertura muito maior na extren11dade do megafone. lsso fa, com que as ondas 
~::spalhem menos e o som chegue aos ouvintes com maior intensidade. --::,tt = 
o Ponto Claro de Fresnel 
0 
fenômeno da difração é expl icado facilmente pela teoria ondulatória da luz. Essa 
teoria. porém, proposta originalmente por Huygens no fi nal do século XVII e usa-
da 123 anos mais tarde por Young para explicar o fenômeno na interferência nos 
experimentos de dupla fenda, levou n1uito tempo para ser aceita pela maioria dos 
cientistas, provavelmente porque não estava de acordo com a teoria de Ne\vton de 
que a luz era feita de partículas. 
A teoria de Ne\vton do1ninava os círculos científicos franceses no início do século 
XIX. época em que Augustin Fresnel era uni jovem engenheiro 1nilitar. Fresnel, que 
acreditava na teoria ondulatória da luz, submeteu um artigo à Academia Francesa 
de Ciências no qual descrevia seus experimentos com a luz e os explicava usando a 
teoria ondulatória. 
Em 1819. a Acade1nia, dominada por partidários de Ne\vton e disposta a provar 
que a teoria ondulatória estava errada, promoveu um concurso no qual seria premia-
do o melhor trabalho sobre difração. O vencedor foi Fresnel. Os ne,vton1anos.po-
rém, não se deixaram convencer nen1 se calaran,. Um deles. S. D. Poisson. chamou 
atenção para o "estranho fato" de que, se a teoria de Fresnel estivesse correta, as 
ondas lu1ninosas convergiriam para a sombra de uma esfera ao passarem pela borda 
do objeto, produzindo um ponto luminoso no centro da so1nbra. A co1nis')ão julga-
dora realizou um teste e descobriu (Fig. 36-3) que o JJOnto claro ele Fresnel. co1110 é 
hoje chamado, realmente existia! Nada melhor para convencer os incrédulos de que 
uma teoria está correta que a verificação experimental de uma previsão inesperada 
e al"}jlrentemente absurda. ---
36-3 Difração por Uma Fenda: Posições dos Mínimos 
Vamos agora estudar a figura produzida por ondas luminosas plana-. de con1pnmento 
de onda A ao serern difratadas por um anteparo B co1n uma fenda e~treita e con1pri-
1ª de l~rgura a, como a que aparece na Fig. 36-4. (Na figura, a di1nensào 1naior da 
enda e perpendicular ao papel e as frentes de onda da luz incidente são paralelas 
ª~ anteparo B.) Quando a luz difratada chega à tela de observação C, ondas prll\ c-
n~e~tes de diferentes pontos da fenda sofren1 interferência e pro<luzen, na te!., un1a 
'>ene de franjas claras e escuras (máximos e mínimos de interferência). Para <lete1 
minar a posição d fr · · 
P 
as anJas, vamos usar um metodo se1nelhantc .,o lJUe en1prcg.lmo" 
ara determinar a po · · - d f · d · r ~ · <l ' <l · de d s1çao as ranJas e 1nter, erenc1a pro u11 as no c,pcr1n,cntl1 
q 
upJa fenda. No caso da difração, as diticuldadcs matcmallcas são bc111 n,:.tillr1.:s 
ue no caso d d 1 r Ira a up a 1enda. de 1nodo que obteren1os ,1pcna .... un1a e,pre .... são para a, 
nJas e<;curas. 
do Antes, porém, podemos justificar a franja clara central da Fig. 36-1 ob .... cn .in-
que as d • . . ""r on ~ secundarias de Huygens pro, en1ente, de bor<l,1s opl),t,,s u., fenda 
, ... correm a . . ~ . . 
prox1madamente u mesma d1-.tanc1.1 para chegar ao centr\l da hguru e, 
-_ PARTE. A -~·· 
OIFRAÇAO 107 
Figura 36-2 í1gura ue d1fr.ição 
produL1da por un1:.i lfimina de h:trbear 
iluminada con1 luz mon,xromalic..:a. 
Ob'>crvc as linhas :.iltemaJ;imente clar..LS 
e e .... c:ura'> paralelas às hordJs da lâmina. 
( Ke11 Kar!F1111e/a,11ental Phozographr) -
Figura 36-3 Folografi:.i d;.i figura 
de d1fr.içào proJuzic..la por un1 
J,,co Ob,cn e o, anéi" de J1fraçJo 
conccntrico, e o ponto claro Jc 
Frcsnel no ccntro. E..,tc cxperin1cnto é 
praticarncntc igual ao 4uc fn1 realizado 
pela co1nis~ãl, julg,u..lllrJ para 1c-;1ar a 
teoria Jc Frc,ncl. pois tãnto a e fera 
usac..la pela cnmis,ão cnn,o o disco us.ido 
para obter c,ta l l,lll pt,-.suem uma ">CÇao 
reta corn u1n,1 horJa cin .. ular. ()ear/ 
\\'alkerl 
1 
1 
1 
1 
108 CAPITULO 30 
Figuro 36-4 (),.. r,110 provcn1cnt da 
e LrcnHdi!dC upcnur de du regaôc'i 
d largurJ a/2 oírc111 ,nu:rfcr ncu, 
úe trul1\ no rontu f' da leia de 
ob rva 10 e 
.L 
Difacnça de 
percurso 
Esta diferença de 
percurso faz com 
que as ondas 
fiquem defasadas, 
o que causa 
,nterterenc1a 
Fígura 36-5 Para D )> a, podemos 
. -supor que os raios r, e r2 sao 
aproximad:.unente parJ.Jelos e fazem um 
ângulo O com o eixo central 
t inda 
1na,Jc:111e 
a 
1 
1 
1 
a 12 
- /l 
l111rrlcr, 11, ,.a 
dMlíllll\.1 
I ela ,le 
'.,.~ r,,11; '" 
'~ 
Estes dois raios se 
cancelam mutuamente 
em P1• O mesmo 
acontece com todos os 
outros pares de raios. 
r>0nan10, e t:-in cm fase nessa região Quanto as outras franjac; claras, podemoc. dizer 
apenas tJUC se encontram a 1ncio caminho dac; franjas e<,curac; mais próxima<,. 
f',,ra dctcnninar a po\ tç:So das lranj.i, c<,curas, recorremos a um artifício en-
genho u, que consiste cm d1v1d1r cm pares todo'í º" raio., que pas'íam pela f encla e 
descobrir as condiçõc<- p,lTa que a.-.. ondas secundárias associadas aos raios de cada 
par se cancelem rnutuamentc. u~amo1.. essa estratégia na Fig. 36-4 para determinar a 
pc,siçiío da primeira franja c,cura (ponto P 1) . Em primeiro lugar, dividimos mental-
mente a lenda cm duas re~iões de mesma largura a/2. Em seguida, estendemos até 
P, um raio luminoso r, proveniente da extremidade superior da região de cima e um 
raio luminoso , 2 proveniente da extremidade superior ela região de baixo. Traçamo• 
também um eixo central que passa pelo centro ela fenda e é perpendicular à tela C; 
a posição do ponto P, pode ser definida através do ângulo 8 entre a reta que hga o 
centro da fenda ao ponto P, e o eixo central. 
As ondas secundárias associadas aos raios , 1 e , 2 estão em fase ao saírem da 
fenda porque pertencem a mesma frente de onda, mas, para produzirem a primeira 
franja escura, devem estar defasadas de A/2 ao chegarem ao ponto P1• Essa diferença 
de fase se deve à diferença de percurso; a distância é maior para o raio r2 que para o 
raio , ,. Para detenninar a diferença, escolhemos um ponto b da trajetória do raio,~ 
LaJ que a distância de b a P1 seja igual à distância total percorrida pelo raio , 1• Nesse 
caso, a diferença entre as distâncias percorridas pelos dois raios é igual à distância 
entre b e o centro da fenda. 
Quando a tela de observação C está próxima da tela B, como na Fig. 36-4, a fi. 
gura de difração que aparece na tela C é difícil de descrever matematicamente. Os 
cálculos se tomam muito mais simples quando a distância D entre a tela C e a tela B 
é muito maior que a largura a da fenda. Nesse caso, podemos supor que , 1 e r1 são 
aproximadamente paralelos e fazem um ângulo 8 com o eixo central (Fig. 36-5). Po-
demos também supor que o triângulo fonnado pelo ponto b, pela extremidade supe· 
rior da fenda e pelo centro da fenda é um triângulo retângulo e que um dos ângulos 
internos do triângulo é 8. A diferença entre as distâncias percorridas pelos raios r 
e r2 <que, nesta aproximação, continua a ser a distância entre o centro da fenda e 0 
ponto b) é igual a (a/2) sen 8. 
Podemos repetir essa análise para qualquer outro par de raios que se originem elll 
pontos correspondentes das dua.s regiões (nos pontos médios das regiões, por exern· 
pio) e tenninem no ponto P •. Para todos esses raios, a diferença entre as distâncias 
percorridas é (a/2) sen 8. Fazendo essa diferença igual a A/2 (a condição para que 0 
ponto P, pertença à primeira franja escura), temos: 
a À 
-sen8 = -2 2· 
0 
qui: nos dá 
u scn fJ Cprimcir111nin1n1r,) (3(,-1) 
comprimento de ,,nda A e a largura da (cnd:, a, a &4. 36 1 permite calcul.,r 
OJLlO" o . . b . . ll fJ corre•pondcntc a pr1me1ra franJ .. escura, ..1c1ma e (por c,1metria) a a1xrJ 
o anJ.!U e 
Ju ,ixo l entrai. . ()b.,crve que, se começarmos com a ,,;, A e tornarmos a fenda cada vc1 mais cs-
,.1 n
1
antenclo o comprimento de onda constante o ângulo para o qu,tl aparece a 
1rc1 J. d·r - ( eira tranJa escura se tom.irá cada vc1 maior; cm outra<. palavras a I raçao cs-
p~l;amcnto da lu1.J é ,na,r,r p.ira fendas mai'> estreitar. Quandr, a largura da f cnda é 
P·uJI ,
10 
comprimento de onda (ou !>CJa, quando a = AJ, o ângulo corrc,pondcnle a 
,g o e - · f · d J · • rimeira tranja e'>cura é 9 ·•. orno sao ac, primeira<, ranJas cscur.:1'> que e 1mi~m 
~ !ranja clara central, ís<,O c,ígnif1ca que, nessa<, condições, toda a tela de observação 
é ,luminacla. 
A poc.içào da segunda franja c<,cura pode ,cr detennínada da mesma forma, ex-
ceto pelo fato de que, agora, dividimos a fenda cm quafr() reg1õe~ de me<,ma largura 
a/4 como na Fig. 36-6a. Em seguida, traçamo<:, raios r1, r_, r e r da extremidade 
superior de cada uma de"sa.."> regiõe!» até o ponto P1, onde está localizada a segunda 
franJa e:icura acima do eixo central. Para que essa franja seja produzida, é preciso 
que a, diferenças entre as distâncias percorridas pelos raios r1 e ,_. r * e r3 e r3 e ,,. 
-eJarn iguais a A/2. 
Para D -P a, podemos supor que os quatro raios !,ão aproximadamente paralelos 
e l.1Zem um ângulo(:) com o eixo central. Para detenninar as diferença entre as dis-
Gncias percorridas, traçamos perpendiculares que vão da extremidade superior de 
cada região até o raio mais pr6x.imo, como