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Unidade_1_Carga_Axial

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Resistência dos Materiais I 
Engenharia Mecânica 
Prof.: Eduardo de Castro Barbalho 
 
Universidade Newton Paiva 
Carga Axial 
eduardo.barbalho@newtonpaiva.br 
O diagrama 
Tensão x Deformação 
Convencional ou de 
Engenharia 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Definção 
 Tração 
 
Quando um corpo é submetido a ação de duas forças de mesma 
intensidade, mesma direção, sentidos contrários e que tendem a 
alongá-lo denomina-se por Tração. 
 
 Compressão 
 
Quando um corpo é submetido a ação de duas forças de mesma 
intensidade, mesma direção, sentidos contrários e que tendem a 
alongá-lo denomina-se por Compressão. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Ductilidade, Tenacidade e Fragilidade 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Resistência dos Materiais 
Materiais Dúcteis 
• Material que possui boa deformação elástica e grande deformação plástica. 
• Material que possa ser submetido a grandes deformações plásticas antes de sofrer ruptura. 
• A deformação plástica continua até uma redução na área para posterior ruptura. Essa diminuição localizada da 
seção transversal é muito acentuada. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
O comportamento da tensão–deformação de materiais dúcteis, tenazes e 
frágeis submetidos à Tração 
Resistência dos Materiais 
O comportamento da tensão–deformação de materiais dúcteis, tenazes e 
frágeis submetidos à Tração 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Materiais Tenazes 
• Material que possui média deformação elástica e média deformação plástica. 
• Material que possa ser submetido a médias deformações plásticas antes de sofrer ruptura. 
• A deformação plástica continua até uma redução na área para posterior ruptura. No entanto, essa diminuição 
localizada da seção transversal não é tão acentuada quanto nos materiais dúcteis 
Resistência dos Materiais 
Materiais frágeis 
• Caracterizados por apresentarem baixa deformação elástica e ausência de deformação plástica. 
• Materiais que exibem pouco ou nenhum escoamento antes da falha são denominados materiais frágeis. 
• não ocorre deformação plástica, requerendo menos energia que a fratura dúctil que consome energia para o 
movimento de discordâncias e imperfeições no material. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
O comportamento da tensão–deformação de materiais dúcteis, tenazes e 
frágeis submetidos à Tração 
Fundamentos do cálculo da Tensão Normal 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
 A força e o momento agem em um ponto 
específico da área seccionada de um corpo. 
 O material é contínuo, ou seja, possui 
distribuição uniforme de matéria. 
 O material é coeso, ou seja, sem trincas ou 
separações. 
 Nesta análise, vamos considerar apenas o 
efeito desencadeado pela resultante das forças 
e analisar os efeitos da componente normal à 
área da seção transversal. 
Resistência dos Materiais 
 Substituiremos a força resultante por três componentes 
ΔFx, ΔFy, ΔFz; 
 
 As componentes da pequena força ΔF age sobre uma 
pequena área ΔA; Por hora,a nossa análise se deterá 
na força perpendicular (Normal) à área da seção 
trensversal 
 
 Se ΔA tende a zero o mesmo ocorrerá com ΔF. 
 
 Por hora, a nossa análise se deterá na força 
perpendicular (Normal) à área da seção transversal; 
 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Fundamentos do cálculo da Tensão Normal 
Resistência dos Materiais 
 Tensão Normal 
 É o quociente entre a força e a seção transversal do 
componente submetido à solicitação, quando essa força é 
perpendicular à referida área. Ou seja, a força faz com o plano da 
seção transversal um ângulo de 90°. De uma outra forma, é a força 
por unidade de área que age perpendicurlamente a ΔA. Esse 
fenômeno físico é definido como Tensão Normal. 
 Definição de Tensão 
 
 É o quociente da intensidade de força interna sobre um 
plano específico ou área que passa por um ponto. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 Tensão normal média em uma barra prismática com carga axial 
 
 Considerações 
 
• Barra prismática => possui seção transversal constante 
ao longo do comprimento longitudinal. 
• A barra prismática deve permanecer reta. 
• A seção deve continuar plana durante a aplicação da 
força 
• A força deve atuar no eixo do centroide para a 
deformação ser uniforme 
• Os materiais são homogêneos (pois possuem as 
mesmas propriedades físicas e mecânicas) e isotrópicos 
(tem a mesma propriedade em todas as direções. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Onde: 
 
ζ = Tensão Normal Média (MPa) 
 
F= Força normal interna resultante (N) 
 
A= Área da seção transversal da barra prismática 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Resistência dos Materiais 
Diagrama tensão x deformação convencional 
 
 
 
 
ii A
F
A
N

•A tensão nominal, ou tensão de engenharia, é determinada pela divisão da carga aplicada F pela 
área original da seção transversal do corpo de prova, Ai. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
(mm²); al transversseção da inicial Area 
(N); Externa Normal Carga ou 
(MPa); Média Normal Tensãoou 
 Engenhria de Tensãoou Nominal Tensão 
:



iA
FN
Onde

 A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determine a tensão normal média 
máxima na barra quando ela é submetida à carga mostrada. 
Exercício de Aprendizagem: 1 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Por inspeção, as forças internas axiais são constantes, mas têm valores diferentes. 
Graficamente, o diagrama da força normal é como mostrado abaixo: 
Exercício de Aprendizagem: 1 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Por inspeção, a maior carga é na região BC, onde: 
N. 10³ x 30 kN 30 BCP
Visto que a área da seção transversal da barra é constante, a maior tensão normal média é: 
(Resposta) MPa 7143,85
²1035
1030 3




mm
N
A
PBC
BC
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
A peça fundida mostrada é feita de aço Inoxidável, cujo peso 
específico é Ɣ= 80kN/m³. Determine a tensão de compressão 
média que age nos pontos A e B. 
Exercício de Aprendizagem: 2 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Desenhando um diagrama de corpo livre do segmento superior, a força 
axial interna P nesta seção é a mesma para ambos os pontos. 
Nota:1m³ = 1 x 109 mm³. 
0²²200800
³101
³1080
0
 ;0
9
aço











 
mmmm
mm
N
P
WP
Fz

A tensão de compreensão média em A e em B torna-se: 





²²200
4772,8042
² mm
N
r
P
A
P




Solução: 
(Resposta) 4kN/m²60,064MPaN/mm 064,0 2 
N8,0424772kN 4772,8042 P
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Resistência dos Materiais 
 Deformação: 
 
Quando corpos materiais são 
submetidos a cargas, como resultado, 
os pontos no corpo material sofrerão 
deslocamentos ou mudanças de posição. 
Ou seja, sempre que uma força é 
aplicada a um corpo, esta tende a 
mudar a forma e o tamanho dele. Essas 
mudanças são denominadas 
deformações. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
•A deformação nominal, ou deformação de engenharia, 
é determinada pela divisão da variação, δ, no 
comprimento de referência do corpo de prova, pelo 
comprimento de referência original do corpo de prova, Li. 
Unidades 
A deformaçãonormal é uma quantidade adimensional, visto que é uma razão entre dois comprimentos. 
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
iii
if
LL
L
L
LL
s
ss 
 







'
méd
 
  if LL
ss




1
1' +ε reta se alonga 
 -ε reta se contrai 
(mm); Final oCompriment
(mm); Inicial oCompriment 
(mm); ocompriment do Variação 
 Unitária;Deformaçãoou Média Normal Deformaçãoou 
 Engenhria de Deformaçãoou Nominal Deformação 
:
méd




f
i
L
L
L
Onde


Se a deformação normal for conhecida, então o 
comprimento final é: 
Ductilidade em termos de Deformação Percentual 
Corresponde à variação total do comprimento do material devido à deformação plástica. 
Resistência dos Materiais 
100
)(
% x
L
LL
i
if
oAlongament


Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
(mm); Final oCompriment
(mm); Inicial oCompriment 
;Percentual Média Normal Deformação 
:
%



f
i
L
L
Onde

Resistência dos Materiais 
Componentes Cartesianas da deformação 
 
 Considerar que as dimensões do elemento infinitesimal são muito pequenas; 
 Que o elemento infinitesimal é um cubo que, após deformado se assemelhará a um paralelepípedo; 
 A deformação normal muda os comprimentos dos lados do elemento retangular; 
 A deformação por cisalhamento muda os ângulos de cada lado; 
 Pela equação em relação aos segmentos de reta Δx, Δy, Δz, os comprimentos 
aproximados dos lados do paralelepípedo são: 
 
 
 
  ss  1'
  x1   y1   z1
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
2/131040 zz

A haste delgada cria uma 
deformação normal na haste 
de , onde z é dado 
em metros. Determine (a) o 
deslocamento da extremidade B 
devido ao aumento de temperatura e 
(b) a deformação normal média na 
haste. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Solução: 
Parte (a) 
 
Visto que a deformação normal é dada em 
cada ponto ao longo da haste, terá um 
comprimento deformado de: 
  dzzLfz 2/1310401' 
A soma total desses segmentos ao longo do 
eixo dá como resultado o comprimento 
deformado da haste, isto é: 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
A parcela da equação é o comprimento inicial Li . E a parcela da equação é o 
comprimento da barra ΔLz. A somatória de ambas parcelas totalizará o comprimento final ao longo da direção z. 
(Resposta) mm39,2m00239,02,020239,0  BL
dz
2,0
0
 dzz

2,0
0
2/131040
Portanto, o deslocamento da extremidade da haste é: 
Parte (b) 
Considerando que a haste tem um comprimento orginal de 200 mm e há uma mudança no comprimento de 
2,39 mm 
(Resposta) mm/mm 0119,0
200
39,2'
méd 







Li
L
Li
LiL
s
ss Bf
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 Uma chapa é deformada até a forma 
representada pelas linhas tracejadas mostradas na figura 
ao lado. Se, nessa forma deformada, as retas horizontais 
na chapa permanecerem horizontais e seus comprimentos 
não mudarem, determine a deformação normal ao longo do 
lado AB. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Solução: 
Parte (a) 
A reta AB, coincidente com o eixo y, torna-se a reta AB’ 
após a deformação. Logo, o comprimento da reta é: 
  mm 018,24832250 22' ABL
Portanto, a deformação normal média para AB é: 
 
   
mm/mm 1093,7
250
250018,248' 3
méd





AB
ABAB
AB
NOTA: O sinal negativo indica que a deformação causa uma contração de AB. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Escoamento 
Um pequeno aumento na tensão acima do limite de elasticidade 
resultará na deformação permanentemente do material. 
Esse fenômeno é nitidamente observado em alguns metais de 
natureza dúctil, como aços de baixo teor de carbono. 
Caracteriza-se por um grande alongamento sem acréscimo de 
carga. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
*Não ocorre escoamento propriamente dito. 
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA 
 Precede à deformação plástica 
 É reversível 
 Desaparece quando a tensão é removida 
 É proporcional à tensão aplicada (obedece a lei de 
Hooke) 
• No Comportamento elástico a tensão é proporcional à 
deformação e o material é linearmente elástico. 
Resistência dos Materiais 
DEFORMAÇÃO PLÁSTICA 
 Inicia-se no Escoamento 
 É irreversível 
 Não apresenta mais o comportamento 
Linear Elástico 
 Portanto, não há mais proporcionalidade 
entre a deformação e a Tensão Normal. 
Elástica Plástica 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Lei de Hooke 
 
 
 
 
 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
•A lei de Hooke define a relação linear entre tensão e deformação dentro da região elástica; 
•O Módulo de Elasticidade E pode ser usado somente se o material tiver relação linear–elástica. 
Onde: 
σ = Tensão Normal Média (MPa) 
E = Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young ou 
Módulo de Rigidez (GPa) 
ε = Deformação Unitária 


E
Fórmula Geral 
Resistência dos Materiais 
Lei de Hooke 
 
 
 
 
 
e
e
E



Onde: 
E = Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young ou 
Módulo de Rigidez (GPa) 
σLp = Tensão do Limite de Proporcionalidade (MPa); 
σe = Tensão de Escoamento (MPa); 
εLp = Deformação do Limite de Proporcionalidade 
εe = Deformação de Escoamento 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Lp
Lp
E



Materiais de comportamento Dúctil 
Materiais de comportamento Tenaz 
Fragilidade, Ductilidade e Tenacidade 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 Módulo de Resiliência 
Quando a tensão atinge o limite de 
proporcionalidade, a densidade da energia de 
deformação é denominada Módulo de 
Resiliência, Ur. 
 
Corresponde à capacidade do material de 
absorver energia quando este é deformado 
elasticamente. 
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
2
²
2
²
2
 





E
E
U r
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Fórmula Geral 
Onde: 
Ur = Módulo de Resiliência (MJ/m³); 
E = Módulo de Elasticidade ou Módulo de 
Young ou Módulo de Rigidez (MPa) 
σ = Tensão Normal (MPa); 
ε = Deformação Unitária 
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
2
ee
rU
 

E
U er


2
2
2
2
e
r
E
U


2
plpl
rU
 

E
U
pl
r


2
2
2
2
pl
r
E
U


Materiais Dúcteis 
Materiais Tenazes 
Onde: 
Ur = Módulo de Resiliência (MJ/m³); 
E = Módulo de Elasticidade ou Módulo de 
Young ou Módulo de Rigidez (MPa) 
σLp = Tensão do Limite de Proporcionalidade 
(MPa); 
σe = Tensão de Escoamento (MPa); 
εLp = Deformação do Limite de 
Proporcionalidade 
εe = Deformação de Escoamento 
Resistência dos Materiais 
Módulo de tenacidade 
 
•Módulo de tenacidade, Ut, representa a área inteira sob 
o diagrama tensão-deformação. 
 
•Indica a densidade de energia de deformação do 
material um pouco antes da ruptura ou corresponde à 
capacidade do material de absorver energia até sua 
ruptura. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
rup
rLp
trup
rLp
t UU 








 





 

2
ou 
2
Materiais Dúcteis 
Materiais Tenazes 
Onde: 
Ut = Módulo de Tenacidade (MJ/m³); 
σLp = Tensão do Limite de Proporcionalidade 
(MPa);σe = Tensão de Escoamento (MPa); 
σ u = Tensão Última (MPa); 
σ r = Tensão Limite de Resistência (MPa); 
σ rup = Tensão de Ruptura (MPa); 
εrup = Deformação de Ruptura 
rup
re
trup
re
t UU 








 





 

2
ou 
2
Materiais Frágeis 
ruputruprt UU  
3
2
ou 
3
2
Resistência dos Materiais 
 A Resistência à Tração de um material depende de sua capacidade de suportar uma carga sem 
deformação excessiva ou ruptura. 
 
 
 Essa propriedade é inerente ao próprio material e é determinada por métodos experimentais pelo 
ensaio de Tração ou Compressão. 
 
 
 É medida quando o material é submetido à uma carga ou força de tração, paulatinamente 
crescente, que promove uma deformação progressiva de aumento de comprimento. 
RESISTÊNCIA À TRAÇÃO 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
É calculada dividindo-se a carga máxima 
suportada pelo material pela área de seção 
reta inicial; 
RESISTÊNCIA À TRAÇÃO (N/mm2 = MPa) 
Limite de Resistência 
 Quando o escoamento tiver terminado, pode-se aplicar 
uma carga adicional ao corpo de prova, o que resulta 
em uma curva que cresce continuamente, mas torna-
se mais achatada até atingir uma tensão máxima 
denominada limite de resistência. 
 Corresponde à tensão máxima aplicada ao material 
antes da ruptura; 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
No diagrama Tensão x Deformação Convencional o 
limite de ruptura é geralmente inferior ao limite de 
resistência em virtude de que a área da seção reta 
para um material dúctil reduz-se antes da ruptura. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Tensão de Ruptura (N/mm2 = MPa) 
Resistência dos Materiais 
 
•Estricção 
No limite de resistência, a área da seção 
transversal começa a 
diminuir em uma região localizada do corpo 
de prova. 
O corpo de prova quebra quando atinge a 
tensão de ruptura. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Mecanismo da fratura dúctil 
Resistência dos Materiais 
a- formação do pescoço; 
b- formação de cavidades; 
c- coalescimento das cavidades para 
promover uma trinca ou fissura; 
d- formação e propagação da trinca em um 
ângulo de 45 graus em relação à tensão 
aplicada; 
e- rompimento do material por propagação da 
trinca; 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Ductilidade expressa como estricção 
Resistência dos Materiais 
100
)(
% x
A
AA
Estricção
i
if 

Onde: 
 
Af = Área Final 
Ai = Área Inicial 
 
 Corresponde à redução na área da seção reta do corpo, imediatamente antes da 
ruptura; 
 Os materiais dúcteis sofrem grande redução na área da seção reta antes da ruptura; 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Endurecimento por deformação 
•Se um corpo de prova de material dúctil for 
carregado na região plástica e, então, 
descarregado, a deformação elástica é 
recuperada. 
•Entretanto, a deformação plástica permanece, 
e o resultado é que o material fica submetido 
a uma deformação permanente. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
 O diagrama tensão-deformação para uma liga 
de alumínio utilizada na fabricação de peças de 
aeronaves é mostrado ao lado. Se um corpo de prova 
desse material for submetido à tensão de tração de 600 
MPa, determine a deformação permanente no corpo de 
prova quando a carga é retirada. Calcule também o 
módulo de resiliência antes e depois da aplicação da 
carga. 
Exemplo 1 
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Solução: 
Quando o corpo de prova é submetido à carga, a deformação é 
aproximadamente 0,023 mm/mm. 
a) Cálculo do Módulo de Elasticidade E 
A inclinação da reta OA é o módulo de elasticidade, isto é, 
 
 
b) Cálculo da deformação Elástica recuperada 
Pelo triângulo CBD, temos que: 
mm/mm 008,0100,75
10600 9
6


 CD
CDCD
BD
E
GPa 0,75
006,0
450
E
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
c) Cálculo da deformação permanente 
 Essa deformação representa a quantidade de deformação elástica recuperada. Assim, a deformação 
permanente é: 
 
  (Resposta) MJ/m 40,2
2
008,0600
2
(Resposta) MJ/m 35,1
2
006,0450
2
3
3










lplp
fimr
lplp
inícior
U
U


(Resposta) mm/mm 0150,0008,0023,0 OC
d) Cálculo dos módulos de resiliência no início e no fim 
Note que no 
sistema SI, o 
trabalho é medido 
em joules, onde 1 
J = 1 N • m. 
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
• Coeficiente de Poisson, ʋ, estabelece que dentro da faixa elástica, a razão 
entre essas deformações é uma constante, já que estas são proporcionais. 
 
 
long
lat


v O coeficiente de Poisson é adimensional. 
Valores do coeficiente de Poisson compreende o 
intervalo de 0 ≤ ʋ ≤ 0,5. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
•A expressão tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal 
(deformação positiva) provoca contração lateral (deformação negativa) e vice-
versa. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
 Uma barra de aço A-36 tem as dimensões mostradas abaixo. Se uma força axial P = 80 kN for aplicada 
à barra, determine a mudança em seu comprimento e a mudança nas dimensões da área de sua seção 
transversal após a aplicação da carga. O material comporta-se elasticamente. 
Exemplo 2 
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Solução: 
 
A tensão normal na barra é: 
mm/mm 100,8
²/0,200000
²/0,16 5
aço

mmN
mmN
E
z
z


MPa
mm
N
A
P
z 0,16
²50100
1080 3




Da tabela para o aço A-36: 
 
=> Eaço = 200 GPa = 200000MPa = 200000 N/mm² 
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
O alongamento axial da barra é, portanto: 
As deformações de contração em ambas as direções x e y são 
m/m 6,25/0000256,0100,832,0 5aço  
 mmmmv zyx
 m12012,01500100,8 5z  
 mmmmLzz
Assim, as mudanças nas dimensões da seção transversal são: 
 m28,105,010106,25
 m56,21,010106,25
66
66






yyy
xxx
L
L
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Tensão Normal Admissível e Coeficiente de Segurança 
 
Ks
e
adm

 
Ks
r
adm

 OU OU 
Ks
u
adm

 
•São muitos fatores desconhecidos que influenciam na tensão real de um elemento. 
 
•O fator de segurança é um método para especificação da carga admissível para o projeto ou análise de um 
elemento. 
 
•A Tensão Admissível (ζadm) é a razão as Tensões de Escoamento (ζe) ou de Resistência (ζr) sobre o 
coeficiente de segurança (Ks). 
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Tensão Normal Admissível 
Ks
e
adm

 
Onde: 
 
ζadm = Tensão Normal Adimissível 
ζe = Tensão de Escoamento 
Ks = Coeficiente de segurança (Ks). 
Quando usar a Tensão de escoamento para calcular a Tensão Normal Admissível? 
 
Usa-se a tensão de escoamento para cálculo da tensão normal admissível quando o material for dúctil (tipo 
alumínio, cobre, latão etc) ou quando for um aço ao carbono normalizado ou recozido com teores de carbono 
variando de 0,008% C a 0,40%C (tipo SAE 1010, SAE 1020, SAE 1030, SAE 1040). 
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Tensão Normal Admissível 
KsKs
ru
adm

 
Onde: 
 
ζadm = Tensão Normal Adimissível 
ζe = Tensão de Escoamento 
Ks = Coeficiente de segurança (Ks). 
Quando usar o Limite de Resistência ou a Tensão Última para calcular a Tensão Normal Admissível? 
 
Usa-se o Limite de Resistência ou a TensãoÚltima para cálculo da Tensão Normal Admissível quando o 
material for frágil (tipo Ferro Fundido, vidro etc) ou quando for um aço ao carbono normalizado/recozido com 
teores de carbono acima de 0,40%C (tipo SAE 1045, SAE 1050, SAE 1060, SAE 1070) ou quando for um 
aço carbono ou aço liga temperado e revenido . 
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
•O uso deste tipo de diagrama 
(Convencional) é maior já que a 
maioria dos projetos de engenharia 
é feita dentro da faixa elástica. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Diagrama 
tensão–deformação real 
• Os valores da tensão e da deformação 
calculados por essas medições são 
denominados tensão real e deformação 
real. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Princípio de Saint-Venant 
O princípio Saint-Venant afirma que a deformação e tensão localizadas nas regiões de aplicação de carga ou 
nos apoios tendem a “nivelar-se” a uma distância suficientemente afastada dessas regiões. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 Considerando um corpo de material com Módulo de Elasticidade constante e área da seção 
transversal constante, resultante axial interna constante e, utilizando a lei Hooke e as definições de 
tensão e deformação, somos capazes de determinar a deformação elástica de um elemento submetido a 
cargas axiais. 
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial – Equações de Dimensionamento 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial – Equações de Dimensionamento 
 
A
F

E
ε


Li
L
ε


Conforme visto no capítulo 2, a deformação 
normal linear é dada pelas seguintes equações 
Levando 2 em 1 temos: 
E
L
L
i


Como visto no capítulo 3 a tensão normal é 
dada pela seguinte equação. 
Levando 4 em 3 temos: 
EA
LF
L
i



1 2 
3 
4 
5 
ΔL = Deslocamento de um ponto na barra relativo 
a outro; 
Li = Distância Inicial; 
F = Força Axial Interna na Seção; 
A = Área da Seção Transversal da Barra; 
E = Módulo de Elasticidade Transversal; 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 Pode haver situações na engenharia que somente a resultante interna axial varia em função 
do comprimento do corpo e as demais condições de contorno mantenham-se constantes. 
 
 Se somente a força variar em função do comprimento, o deslocamento total será a 
somatória de todos os pequenos dδLz, ao longo de todo o comprimento. 
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial – Equações de Dimensionamento 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial – Equações de Dimensionamento 
 


L
z
EA
dzF
L
0
Δdz = Variação do comprimento infinitesimal em 
função da aplicação da força; 
ΔLz = Deslocamento total da barra em função 
da força axial 
Li = Comprimento inicial da barran; 
Fz = Força Axial Interna na Seção 
A = Área da Seção Transversal da Barra;n 
 E = Módulo de Elasticidade Longitudinal; 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 Pode haver situações na engenharia que tanto a resultante interna axial quanto a área da 
seção transversal podem variar em função do comprimento do corpo e as demais condições 
de contorno mantenham-se constantes. 
 
 Se tanto a força quanto a área da seção transversal variarem em função do comprimento, o 
deslocamento total será a somatória de todos os pequenos dδLz, ao longo de todo o 
comprimento. 
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial – Equações de Dimensionamento 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial 
 


L
z
z
EA
dzF
L
0
Δdz = Variação do comprimento 
infinitesimal em função da aplicação da 
força; 
ΔLz = Variação total do comprimento em 
função da força; 
L = Comprimento Inicial da barra 
Fz = Força Axial Interna na Seção 
Transversal da barra 
Az = Área da Seção Transversal da Barra 
E = Módulo de Elasticidade Longitudinal 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Convenção de sinais 
 
 Força e deslocamento são positivos se provocarem tração; 
 Força e deslocamentos são negativos se provocarem compressão. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Exercício de aprendizagem 1 
Para uma barra cilíndrica de aço com Módulo de Elasticidade Longitudinal de 210 GPa, o comprimento 
é 600mm, o esforço de tração é de 80 kN, a tensão de escoamento é 210 MPa e o coeficiente de 
segurança é 3. 
Pede-se: 
a) Dimensionar a barra; 
b) O valor do alongamento; 
c) O valor da deformação linear normal unitária 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Solução: 
a) Cálculo da tensão Admissível 
MPa
Ks
admadm
e
adm 70
3
210
 


b) Cálculo do diâmetro da barra 
mmdd
F
d
Fd
F
A
A
F
admadm
adm
adm
1,38
70
³10804
4
4
²














 mmLL
Ed
LF
L
E
d
LF
L
EA
LF
L
iii
200,0
³10210²1,38
600³10804
²
4
4
²

















c) Cálculo alongamento 
d) Cálculo da deformação unitária 
MPa
Li
L
10333,3
600
200,0 4

 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Exercício de aprendizagem 2 
Dimensionar uma barra cilíndrica de aço com Módulo de Elasticidade Longitudinal de 210 GPa, o 
comprimento é 800mm, submetida a um esforço de tração é de 50 kN, para que o alongamento máximo 
seja de 0,4 mm. 
mmdd
EL
LF
d
E
d
LF
L
EA
LF
L
iii
623,24
³102104,0
800³105044
²
4
²















Solução: 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Exercício de aprendizagem 3 
Calcular a deformação unitária de uma barra cilíndrica de aço com Módulo de Elasticidade Longitudinal 
de 210 GPa, submetida a um esforço de tração de 50 kN, sabendo-se que seu diâmetro é 30 mm. 
MPa
d
F
d
F
A
F
7344303,70
²30
³10504
²
4
4
²

















Solução: 
a) Cálculo da Tensão b) Cálculo da deformação 
1036836,3
³10210
7344303,70
4







E
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Exercício de aprendizagem 4 
Uma barra cilíndrica de aço com Módulo de Elasticidade Longitudinal de 210 GPa, tem comprimento de 
800 mm e sofre um encurtamento de 0,8 mm. Calcular o valor da força de compressão, sabendo-se que 
o volume da barra é de 640 cm³. 
²800
800
³10640
mmA
A
Li
V
ALiAV




Solução: 
a) Cálculo da área b) Cálculo da força 
kNFNF
F
Li
EAL
F
EA
LF
L
i
168168000
800
³102108008,0










Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Exercício de aprendizagem 5 
Uma barra cilíndrica oca de aço com Módulo de Elasticidade Longitudinal de 210 GPa, tem 
comprimento de 3000 mm é submetida a um esforço de compressão de 60 kN. Dimensionar o cilindro 
sabendo-se que seu encurtamento foi de 1 mm e que di = 2/5 de. 
²142857,857
³102101
3000³1060
mmAA
EL
LF
A
EA
LF
L
ii










a) Cálculo da área 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
b) Cálculo dos diâmetros 
    
 
mmD
Logo
mmD
D
A
D
DADDA
DDADDA
i
e
ee
eee
eeie
24,15
,
1,3875,0
142857,8574
75,0
4
²75,0
4
²25,0²
4
²5,0²
4
²²
4














Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Exercício de aprendizagem 6 
Uma barra cilíndrica oca de aço com Módulo de Elasticidade Longitudinal de 210 GPa, tem comprimento de 
1200 mm, possui diâmetro interno de 60 mm e diâmetro externo igual a 100 mm, é submetida a um esforço 
de compressão de 120 kN. Calcular o encurtamento e a tensão de trabalho atuante. 
   
 
mmLL
EDD
LF
L
EDD
LF
L
EA
LF
L
ie
i
ie
ii
13642,0
³10210²60²100
41200³10120
²²
4
²²
4
















a) Cálculo do encurtamento Solução: 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
b) Cálculo da Tensão Normal 
   
 
MPa
DD
F
DD
F
A
F
ie
ie
873,23
²60²100
³101204
²²
4
²²
4

















Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Exemplo 4.1 do Livro resistência dos Materiais – 7Ed. Hibbeler 
O navio é impulsionado na água pelo eixo de uma hélice de aço 
A-36 com 8 m de comprimento medido desde a hélice até o 
mancal de encosto D no motor. Se o eixo tiver diâmetro externo 
de 400 mm e espessura de parede de 50 mm, determine a 
quantidade de contração axial do eixo quando a hélice exercer 
uma força de 5 kN sobre o eixo Os apoios B e C são mancais de 
deslizamento. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
b) Cálculo do encurtamento 
   
 
mmLL
EDD
LF
L
EDD
LF
L
EA
LF
L
ie
i
ie
ii
10363783,3
³10200²300²400
48000³105
²²
4
²²
4
3















a) Cálculo do diâmetro interno 
    mmDDeDD iiei 3005024002 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Exemplo 4.4 do Livro resistência dos Materiais – 7Ed. Hibbeler 
O eixo de cobre está sujeito às cargas axiais mostradas na figura. Determine o deslocamento da 
extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de cada segmento forem: 
 dAB=20 mm; 
dBC=25 mm; 
dCD=12 mm; 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
a) Cálculo do deslocamento de AB 
kNNNkN
oFx
40040 


mmL
mmNmm
mmN
L
ED
LN
L
E
D
LN
L
EA
LF
L
BA
BA
AB
AB
BA
AB
AB
BA
AB
i
BA
020115,2
²/³10126²²20
2000³10404
²
4
4
²
/
/
/
//




















Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
b) Cálculo do deslocamento de BC 
kNNNkNkNkN
oFx
100252540 


mmL
mmNmm
mmN
L
ED
LN
L
E
D
LN
L
EA
LF
L
CB
CB
BC
BC
CB
BC
BC
CB
BC
i
CB
6063045,0
²/³10126²²25
3750³10104
²
4
4
²
/
/
/
//




















Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
c) Cálculo do deslocamento de CD 
kNNNkN
oFx
30030 


mmL
mmNmm
mmN
L
ED
LN
L
E
D
LN
L
EA
LF
L
CD
CD
CD
CD
CD
CD
CD
CD
CD
i
CD
26306028,5
²/³10126²²12
2500³10304
²
4
4
²
/
/
/
//




















d) Cálculo do deslocamento A em relação a D 
Resposta)(mm 84835,3
2630603,56063045,0020115,2
/
/
////



DA
DA
CDCBBADA



Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Exemplo 4.2 do Livro resistência dos Materiais – 7Ed. Hibbeler 
 
O conjunto é composto por um tubo de alumínio AB com área de seção transversal de 400 mm2. Uma 
barra de aço com 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo. Se uma 
carga de tração de 80 kN for aplicada à barra, determine o deslocamento da extremidade C da barra 
em relação à sua posição original. (Eaço = 200 GPa, Eal = 70 GPa ) 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 






 mm 143,1143,1
³1070400
400³1080
mm
EA
LP
B
b) Cálculo do deslocamento da extremidade B em relação à extremidade fixa A. 







 mm 056,3
³10200
4
²10
6001080 3
/ 

EA
LP
BC
Solução: 
a) Cálculo o deslocamento da extremidade C em relação à extremidade B. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
c) Cáculo do deslocamento de C em relação à sua posição original 
 
Visto que ambos os deslocamentos são para direita, o deslocamento resultante de C em relação à 
extremidade fixa A é a soma do deslocamento de B em relação a A e de C em relação a B 
Resposta)(mm 199,4
143,1056,3
//



C
C
BCABC



Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Deformação elástica de uma barra prismática ou de uma barra circular 
submetida a ação do próprio Peso 
EA
dyP
L



A deformação a que o pequeno elemento diferencial está 
submetido é dado por: 
Onde: 
ΔL= alongamento a que o pequeno elemento diferencial está sofrendo 
P= peso abaixo do pequeno elemento diferencial; 
dy= Espessura do pequeno elemento diferencial 
A = Área da seção transversal do pequeno elemento diferencial 
E= Módulo de elasticidade longitudinal 
1 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
yAV 
Onde: 
V= volume do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial. 
ɤ= Peso específico do material. 
P= Peso do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial 
VP
Onde: 
V= volume do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial. 
A = Área da seção transversal do pequeno elemento diferencial 
y= Comprimento do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial 
2 
3 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Levando a equação 2 em 3 temos: 






































EA
LLA
L
EA
LA
L
y
EA
A
L
dyy
EA
A
L
EA
dyyA
L
L
L
L
2
2
²
2
²
0
0
0





 yAP 4 
Levando a equação 4 em 1 temos: 
EA
dyyA
L




 Integrando a equação 5 teremos o 
alongamento total no corpo em função do peso 
próprio: 
5 







E
L
L
EA
LP
L
2
²
2

6 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Deformação elástica de um cone submetido a ação do próprio Peso 
EA
dyP
L



A deformação a que o pequeno elemento diferencial está 
submetido é dado por: 
Onde: 
ΔL= alongamento a que o pequeno elemento está sofrendo 
P= peso abaixo do pequeno elemento diferencial; 
dy= Espessura do pequeno elemento diferencial 
A = Área da seção transversal do pequeno elemento diferencial 
E= Módulo de elasticidade longitudinal 
1 
O pequeno elemento está submetido às seguintes 
forças. 
ΣFy=0 +↑ -↓ 
P-P’=0=> P=P’ 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
yAV 
3
1
Onde: 
V= volume do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial. 
ɤ= Peso específico do material. 
P= Peso do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial 
VP
Onde: 
V= volume do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial. 
A = Área da seção transversal do pequeno elemento diferencial 
y= Comprimento do corpo que está abaixo do pequeno elemento diferencial 
2 
3 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Levando a equação 2 em 3 temos: 






































EA
LLA
L
EA
LA
L
y
EA
A
L
dyy
EA
A
L
EA
dyyA
L
L
L
L
6
6
²
2
²
3
3
3
0
0
0




 yAP
3
1
4 
Levando a equação 4 em 1 temos: 
EA
dyyA
L



3

 Integrando a equação 5 teremos o 
alongamento total no corpo em função do peso 
próprio: 
5 







E
L
L
EA
LP
L
6
²
6

6 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Outra forma de se determinar o alongamento em um cone em função do próprio peso é o seguinte. 
O raio x do cone em função de y é determinado por 
cálculo proporcional. Isto é: 
y
L
r
x
L
r
y
x oo  ;
  2
2
2
2 y
L
r
xyA o

 
A área de seção transversal também é função da 
posição y. Temos: 
1 
2 
O pequeno elemento está 
submetido às seguintes 
forças. 
ΣFy=0 +↑ -↓ 
P-P’=0=> 
P=P’ 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Visto que P , a força interna no pequeno elemento diferencial torna-se: 
VP





 
 y
L
yr
VyxVyAV o
2
2
2 ²
3
1
3
1
3
1 

Visto que V , o volume do pequeno elemento diferencial do cone torna-se: 
3
2
2
3
y
L
r
V o 




Logo, levando 3 em 4 temos que o peso P do pequeno elemento diferencial do cone torna-se: 





 3
2
2
3
y
L
r
P o
3 
4 
5 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
EA
dyP
L



 A deformação a que o 
pequeno elemento diferencial está 
submetido é dado por: 
6 
  




















2
²
33
3
00
0
y
E
Ldyy
E
L
dy
E
y
L
LL
L

Levando a equação 5 em 6 temos: 

























 










dy
Eyr
L
y
L
r
L
E
L
yr
dyy
L
r
L
o
o
o
o
²3
²
3
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2






 Integrando a equação 7 teremos o 
alongamento total no corpo em função do peso 
próprio: 
8 






E
L
L
EA
LP
L
6
²
6

dy
E
y
L 








3

7 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Exercício de Aprendizagem 
A barra cilíndrica ilustrada está submetida somente à ação do próprio peso. 
Dados: 
 
L = 900 mm; 
d = 100 mm; 
Aço SAE 1020 LQ; 
E = 210 GPa; 
Ɣ = 78500 N/m³; 
α = 1,167 x 10-5/ ̊C; 
Determine: 
 
a) A Tensão Normal na face AB; 
b) A Tensão Normal na face CD; 
c) O Alongamento total da barra; 
d) A deformação normal linear da 
barra; 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
a) Cálculo da Tensão Normal na face AA 
Solução 
,
0
Logo
NF
Mas
A
F
AA
AA
AA


MPaAA 0
b) Cálculo da Tensão Normal na face BB 
 
Na face BB a única carga que atua é o próprio peso da 
Barra. Então, 






 mmmmN
L
A
LA
A
P
A
F
BB
BB
BB
BBBB
BB
900³/1078500
9




MPaBB 07065,0
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
c) Cálculo do deslocamento ΔL 
Solução 
d) Cálculo da Deformação Linear Normal na direção y é: 















²/³102102
900³/1078500
2
2
²
9
mmN
mmmmN
E
L
L
E
L
L
L
y
i
y
i
i
y
i
y






10682,1
7y

















²/³102102
²²900³/1078500
2
²
2
2
9
/
/
/
/
mmN
mmmmN
L
E
L
L
EA
LLA
L
EA
LP
L
BA
BA
BA
BA


mmL BA 10514,1
4
/

Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Exercício de Aprendizagem 
A barra cilíndrica ilustrada está submetida à ação do próprio peso e à carga externa F = 50 kN. 
Dados: 
 
F= 50 kN 
L = 800 mm; 
d = 100 mm; 
Aço SAE 1020 LQ; 
E = 210 GPa; 
Ɣ = 78500 N/m³; 
α = 1,167 x 10-5/ ̊C; 
Determine: 
 
a) A Tensão Normal na face AB; 
b) A Tensão Normal na face CD; 
c) O Alongamento total da barra; 
d) A deformação normal linear da 
barra; 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
a) Cálculo da Tensão Normal na face AA 
Solução 











²²100
³10504
²
4
4
²
mm
N
d
F
d
F
A
F
AA
AA
AAAA
AA
AAAA






MPaAA 3662,6
b) Cálculo da Tensão Normal na face BB 
 
Na face BB a única carga que atua é o próprio peso da 
Barra. Então, 
 
 







80010785003662,6
²
4
9
BB
AABBBB
BBBB
LL
d
F
A
P
A
F
A
FF
AA
AABBAA





MPaBB 428998,6
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
c) Cálculo do deslocamento ΔL 





































































³102102
²8001078500
³10210²100
800³10504
2
²
²
4
2²
4
2
4
²
9
/
/
/
/
/






BA
iiAA
BA
iiiAA
BA
iiAA
BA
PFBA
L
E
L
Ed
LF
L
EA
LLA
Ed
LF
L
EA
LP
E
d
LF
L
LLL
mmL BA 1043718018,2
2
/

d) Cálculo da Deformação Linear Normal na 
direção y é: 







800
1043718018,2
2
y
i
y
L
L


100464751,3
5y
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Exercício de Aprendizagem 
A barra cilíndrica ilustrada, possui um rebaixo e está submetida à ação do próprio peso e à carga 
externa F = 100 kN. 
Dados: 
 
F= 100 kN 
L1 = 700 mm; 
L2 = 900 mm; 
d1 = 90 mm; 
d2 = 120 mm; 
Aço SAE 1020 LQ; 
E = 210 GPa; 
Ɣ = 78500 N/m³; 
α = 1,167 x 10-5/ ̊C; 
Determine: 
 
a) A Tensão Normal na face AA; 
b) A Tensão Normal na face BB; 
c) A Tensão Normal na face CC; 
d) O Alongamento do corpo 1 da 
barra; 
e) O Alongamento do corpo 2 da 
barra; 
f) O Alongamento total; 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
a) Cálculo da Tensão Normal na face 
AA 
Solução 











²²90
³101004
²
4
4
²
mm
N
d
F
d
F
A
F
AA
AA
AAAA
AA
AAAA






MPaAA 719,15
b) Cálculo da Tensão Normal na face BB 































²120
7001078500²90
²120
³101004
²
²
²
4
4
²
4
²
²
4
²
4
²
4
9
2
11
22
1
1
2
1
22
















BB
BBBB
BBBB
BBBB
d
Ld
d
F
d
L
d
d
F
A
LA
d
F
L
d
F
A
P
A
F
A
FF
AAAA
BB
AAAAAA
BBBB
AA
BB
BBAA
MPaBB 87285,8
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
c) Cálculo da Tensão Normal na face CC 





























9001078500
²120
7001078500²90
²120
³101004
²
²
²
4
4
²
4
²
²
4
4
²
9
9
2
2
11
2
2
2
1
1
2
21
2
2121














BB
BBBB
BBBBBB
L
d
Ld
d
F
L
d
L
d
d
F
A
LA
A
LA
d
F
A
P
A
P
A
F
A
PPF
AAAA
CC
CC
CC
AAAA
CCCCCC
AA
CC
AA
MPacC 9435,8
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
d) Cálculo do deslocamento ΔL 


































































³102102
²7001078500
³10210²90
700³101004
2
²
²
4
2²
4
2
4
²
9
/
1
/
11
1
1
/
11
1
1
/1/






BA
iiAA
BA
AA
AAAA
BA
AA
AA
BAPFBA
L
E
L
Ed
LF
L
EA
LLA
Ed
LF
L
EA
LP
E
d
LF
LLLL
mmL BA 102488272,5
2
/

Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
e) Cálculo do deslocamento ΔL 
 
   
  























































































































































³102102
²9001078500
³10210²120
9001078500700
4
²90
³101004
2
²
²
4
²
4
2
²
²
4
2²
4
2
4
²
2
9
9
/
2
2
21
1
/
2
2
21
/
22
2
21
/
22
2
21
/
2221
/2/











CB
AA
CB
AAAA
CB
CC
CCAA
CB
CC
AA
CB
CCCC
AA
CBPFCB
L
E
L
Ed
LL
d
F
L
E
L
Ed
LLAF
L
EA
LLA
Ed
LPF
L
EA
LP
E
d
LPF
L
EA
LP
EA
LPF
LLLL
mmL BA 108177896,3
2
/

Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
f) Cálculo do deslocamento ΔLf 


 mmmmL
LLL
f
CBBAf
108177896,3102488272,5
22
//
mmLf 100666167,9
2
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Vigas Estaticamente Determinadas ou Vigas Isostáticas 
•A barra é Estaticamente Determinada ou Isostática quando as equações de 
equilíbrio são suficientes para determinar as reações, ou seja, o número de 
equações da Estática é igual ao número de Restrições. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Vigas Estaticamente Determinadas ou Isostáticas Exemplos 
Viga bi apoiada com um apoio fixo e um apoio 
móvel. 
Viga engastada. 
Restrições = 3 
Equações da estática = 3 
Grau de Indeterminação = 0 
Restrições = 3 
Equações da Estática = 3 
Grau de Indeterminação = 0 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
•A barra é Estaticamente Indeterminada ou Hiperestática quando as 
equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as reações, ou seja, 
o número de equações da Estática é menor que o número de Restrições. 
Vigas Estaticamente Indeterminadas ou Vigas Hiperestáticas 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Vigas Estaticamente Indeterminadas ou Vigas Hiperestáticas 
Exemplos 
Viga bi apoiada com dois apoios fixos Viga engastada e com um apoio fixo. 
Restrições = 4 
Equações da estática = 3 
Grau de Indeterminação = 1 
Restrições = 5 
Equações da Estática = 3 
Grau de Indeterminação = 2 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
•A barra é Hipoestática quando as equações de equilíbrio são mais que 
suficientes para determinar as reações, ou seja, o número de equações da 
Estática é maior que o número de Restrições. 
Vigas Hipoestáticas 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Vigas Hipoestáticas - Exemplo 
Viga bi apoiada com dois apoios móveis 
 Neste caso o número de 
Equações da Estática é maior do 
que o número de Restrições. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 Já sabemos que, quando a barra é Estatisticamente Indeterminada, não se consegue 
determinar os valores das Restrições somente com as Equações da Estática. Alguns métodos são 
aplicados para solucionar o problema. Vamos estudar dois métodos. 
xAB /
 A equação que indica as condições para o deslocamento é denomindada Condição de 
Compatibilidade ou Condição Cinemática 
Primeiro método: Condição de Compatibilidade ou Condição Cinemática 
 ;0
;0
;0






z
y
x
M
F
F
 Além das Equações da Estática, para solucionar, necessita-se analisar as condições do 
deslocamento (Alongamento e Encurtamento). 
Onde: 
x pode ser = 0 ou ≠ 0 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 Primeiro método: Condição de Compatibilidade ou Condição Cinemática 
 
 Considerando que o deslocamento (δ) seja zero e considerando que a Área (A) e que o Módulo 
de Elasticidade Longitudinal (E) são constantes, podemos resolver essas duas equações para as 
reações da seguinte forma: 
(1)
 0
 ;0
BA
BA
x
FF
PFF
F


 
)2(0/ AB
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
)5(
.
L
LP
F CBA 













CBBACA
CBBACA
CBBACA
ABAB
LFLF
EA
LF
EA
LF
EA
LF
EA
LF
// 0 
)4(
.)(
,
L
LP
FP
L
LLF
P
L
LF
L
LF
PF
L
LF
Logo
AC
B
AC
CBACB
AC
ACB
AC
CBB
B
AC
CBB








Portanto, fazendo o raciocínio 
inverso, temos: 
NOTA: Se o delocamento não for nulo, 
essas fórmulas para FA e FB não valem!!! 
 Se realmente o deslocamento for nulo, AE for constante e estiver dentro do comportamento 
linear elástico, essa equação, em termos de uma relação carga-deslocamento, pode ser expressa: 
)3(
AC
CBB
A
L
LF
F

 )3(
CB
ACA
B
L
LF
F


Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 A haste de aço tem diâmetro de 5 mm e está 
presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há 
uma folga de 1 mm entre a parede B’ e a haste. 
Determine as reações em A e B’ se a haste for 
submetida a uma força axial P = 20 kN. Despreze o 
tamanho do colar em C. (Eaço = 200 GPa). 
Exemplo 4.5 do Livro Resistência dos Materiais – 7 Ed. - Hibbeler 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
   
   
   
 





 



































400
800
400
³10200
4
²5
400800³10200
4
²5
800400³10200
4
²5
4
²
1
B
A
AB
BA
CBBACA
F
F
FF
FF
LFLFE
d



A condição de compatibilidade para a 
haste é: mm 1/ AB
Usando a relação carga-deslocamento, 
Solução: O equilíbrio da haste exige: (1) 01020 ;0
3   BAx FFF
   





















E
d
LFLF
E
d
LF
E
d
LF
EA
LF
EA
LF
CBBACA
CBBACA
CBBACA
AB
4
²
1
4
²
4
²
1
1/



4770425,98172  BA FF
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Solução: Substituindo 2 em 1 temos: 
 



3
5229575,10182
4770425,9817200003
200004770425,98172
B
B
BB
F
F
FF
NF
Logo
NF
A
B
8256808,16605
,
17431917,3394


Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 O parafuso de liga de alumínio 2014-T6 e é apertado de modo a comprimir um tubo 
cilíndrico de liga de magnésio Am 1004-T61. O tubo tem raio externo de 10 mm, e consideramos 
que o raio interno do tubo e o raio do parafuso são ambos 5 mm. As arruelas nas partes superior e 
inferior do tubo são consideradas rígidas e têm espessura desprezível. Inicialmente, a porca é 
apertada levemente a mão; depois é apertada mais meia-volta com uma chave de boca sextavada. 
Se o parafuso tiver 25 fios por polegada, determine a tensão no parafuso. Dados: 1” = 25,4 mm; 
Ep = 75 GPa; Et = 45 GPa; 
Exemplo 4.8 do Livro Resistência dos Materiais – 7 Ed. - Hibbeler 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Exemplo 4.8 do Livro Resistência dos Materiais – 7 Ed. - Hibbeler 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Exemplo 4.8 do Livro Resistência dos Materiais – 7 Ed. - Hibbeler 
Solução: 
a) Cálculo do passo da rosca e do aperto 
executado 
 
 O passo de uma rosca é a distância 
entre dois filetes consecutivos tomados em 
pontos homólogos. O passo para uma rosca com 
20 fpp é obtido pela equação: 




fpp
P
N
P
fpp
25
4,25"1
"1
b) Cálculo do deslocamento inicial 
 
 Meia volta do parafuso em torno do 
próprio eixo equivale a meio passo. 
 E esse valor equivale ao 
deslocamento do ponto B (posição da porca) 
em relação ao ponto A (cabeça do parafuso). 

2
016,1
/
mm
ABmmP 016,1 mmAB 508,0/ 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
  ;0yF
   pt  508,0c) Análise das forças na direção y 
 
Na direção y o equilíbrio exige: 
d) Análise da Condição de compatibilidade 
Quando a porca é apertada, o tubo encurta e o parafuso alonga. 
(1) 0 tptp FFFF 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 
 
   












 









 








5
9
5
050382,448855
5
9
0100765,89771
5
9
60
³104575508,0
60³1075²5
60³1045510
60
³1045510508,0
³1075²5
60
508,0
³1045510
60
508,0 
2222
22
p
t
p
t
p
t
p
t
pt
pt
F
F
F
F
F
F
F
F
FF





 
9
5050382,448855
2
5
9050382,448855
t
p
p
t
F
F
ou
F
F




Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
e) Substituindo 2 em 1 temos: 





55555555555,1
7833758,49872
7833758,4987255555555555,1
055555555555,07833758,49872
0
9
5050382,448855
t
t
tt
t
t
F
F
FF
F
F
kNFF
NF
pt
t
061,32
0750274,32061


Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
e) Cálculo das tensões no parafuso e no tubo 



²²5
0750274,32061
mm
N
A
F
b
b
b


 



22 510
0750274,32061


t
t
t
A
F
(Resposta) MPa 214,408N/mm 214,408 2 b
(Resposta) MPa 071,136N/mm 071,136 2 t
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 Segundo Método: Método de Análise de Forças ou Método de Análise de Flexibilidade 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 Segundo Método: Método de Análise de Forças ou Método de Análise de Flexibilidade 
 Nesse método, para escrever a equação de compatibilidade, escolheremos qualquer um dos apoios 
como sendo redundante; 
 
 Redundante nesse caso, significa que não há necessidade do mesmo para manter a barra em 
equilíbrio estático; 
 
 Logo, imaginando a retirada do apoio considerado redundante, a barra torna-se Estaticamente 
Determinável; 
 
 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 Segundo Método: Método de Análise de Forças ou Método de Análise de Flexibilidade 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 A haste de aço A-36 tem diâmetro de 
5 mm. Está presa à parede fixa em A e, antes 
de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre 
a parede em B’ e a haste. Determine as 
reações em A e B’. 
Exemplo 4.9 do Livro Resistência dos Materiais – 7 Ed. - Hibbeler 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
(1) 1 BP  







²
³10200²²5
400³1020
 
mm
N
mm
mmN
EA
LP AC
P


Solução: 


 1mm 80371832715,2
 1 
mmB
PB


a) Análise de flexibilidade 
b) Cálculo do deslocamento 
provocado pela força P 
mm 80371832715,2 P
c) Cálculo do deslocamento provocado pela 
força FB 
mmB 80371832715,1
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 














mm
mm
N
mmmm
F
mm
N
mm
mmF
mm
EA
LF
B
B
ABB
B
1200
²
³10200²
4
²5
80371832715,1
²
³10200²
4
²5
1200
80371832715,1
 



d) Cálculo de FB 
kNF
NF
B
B
394,3
17431918,3394


Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
017431918,3394³1020 ;0   NNFF Ax
Pelo diagrama de corpo livre, 
e) Cálculo de FA 
(Resposta) 16,605kNN05,8256808166 AF
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Todos os corpos se expandem ou se contraem em função do aumento ou da redução da temperatura; 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 Os objetos metálicos variam de volume 
mais facilmente; 
 Engenheiros e projetistas escolhem com 
cuidado seus materiais de trabalho, 
levando em conta os efeitos da dilatação 
térmica; 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
2- As pontes precisam de vãos entre as 
placas de concreto (juntas de dilatação), para 
evitar rachaduras em sua estrutura. 
1- Os trilhos de algumas ferrovias também 
apresentam espaçamentos para que não surjam 
rupturas nas linhas férreas. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
4- Falha de projeto do tabuleiro do viaduto 
por falta de junta de dilatação ou variação e 
temperatura acima do esperado. 
3- Falha no projeto da junta de dilatação ou 
acidente que gerou uma variação de 
temperatura acima do esperado pelos 
engenheiros e projetistas. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 A magnitude com que um corpo varia de comprimento, dilatando-se ou contraindo-se, depende de 
duas condições: 
 a) do estado físico do mesmo; b) do material de que ele é constituído. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 Os corpos em estado sólido, possuem forma bem definida, e o volume sofre variações 
infinitesimais, pois suas partículas formam uma rede cristalina, com posições bem determinadas. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCOrR7IbDs8gCFQIUkAodhKgLNA&url=http%3A%2F%2Festagionaobra.blogspot.com%2F2013%2F03%2Fhoje-na-aula_2926.html&bvm=bv.104615367,d.Y2I&psig=AFQjCNHGMNfNZ4mA02oI-GELsalIrRsbuA&ust=1444415956100290
 Mas o controle de tal fenômeno também 
proporciona aplicações práticas interessantes, tais 
como: 
 na fixação de chapas com rebites; 
 na fabricação de termômetros; 
 na vedação eficiente de blocos de motores de 
automóveis. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 
 Com a variação na temperatura de um sólido, as 
partículas que o constituem vibram, menos ou mais, em 
torno de sua posição de equilíbrio. 
 
 Nessa rede, as partículas não apresentam 
movimento de translação, mas vibram em torno de suas 
posições de equilíbrio. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 
 Uma mudança na 
temperatura pode provocar alterações 
nas dimensões de um material. 
 A dilatação linear de uma 
barra é proporcional à sua 
temperatura e ao seu comprimento 
inicial. 
 
 1 iL LT 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
Coeficiente de Dilatação Térmica 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
2 Dilatação superficial dos sólidos 
Dilatação superficial 
 É a variação da área da superfície de um corpo em função da variação da temperatura. 
 São as dilatações e contrações em mais de uma dimensão. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
3 Dilatação volumétrica dos sólidos 
 A dilatação afeta todas as dimensões de um corpo. 
 A variação no volume é proporcional à variação de temperatura (t) e ao volume inicial (V0) do 
corpo. 
 A constante de proporcionalidade é o coeficiente de dilatação volumétrica. 
Dilatação Volumétrica 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 1 iL LT 
 Como vimos, se o material for homogêneo e isotrópico, o deslocamento linear em função da 
variação da temperature é expresso pela seguinte equação: 
= coeficiente linear de expansão térmica, 
propriedade do material 
= variação na temperatura do elemento 
= comprimento inicial do elemento 
=variação no comprimento do elemento 

T
iL
L
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 :que temos1 equaçãoDa i
i
T LT
L


iLT
E
 
: temos3 com 2 Igualando

 2 Então, iLT 
 Mas,
i
T
L

 
 3 Mas,
E

 
  4 Logo, iLTE 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
 Uma barra rígida está presa à parte superior de três postes 
feitos de aço A-36 e alumínio 2014-T6. Cada um dos postes tem 
comprimento de 250 mm quando não há nenhuma carga aplicada à 
barra e a temperatura é de T1 = 20°C. Determine a força suportada 
por cada poste se a barra for submetida a um carregamento 
distribuído uniformemente de 150 kN/m e a temperatura aumentar 
até T2 = 80°C. 
Exemplo 4.12 do Livro Resistência dos Materiais – 7 Ed. - Hibbeler 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
(1) 010902 ;0 3alaço   FFFy
a) Cálculo de P 
Solução 
b) Diagrama de corpo livre 


m 0,6kN/m 150P
LwP
kN 90 P 
NOTA: 
Trata-se de um Sistema indeterminado. 
A viga é hiperestática pois temos mais restrições do 
equações da estática para solucionar o problema. 
c) Somatória das forças na direção y 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
  (2) alaço  
A parte superior de cada poste sofre o mesmo 
deslocamento. Em consequência, 
d) Condição de Compatibilidade 
     
     
FT
FT
alalal
açoaçoaço
 
 




 A posição final da parte superior de cada poste é 
igual ao deslocamento causado pelo aumento da 
temperatura e a força de compressão axial interna. 
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
       
FTFT alaçoaçoaço
 
e) Cálculo da FAço 
 
 
(3) 216,1³109,165 
³101,73
4
²30
250
25020801023
³10200
4
²40
250
 25020801012
alaço
al6
aço6
FF
F
F















f) Cálculo de Faço e FAl 
 kN 123al F
Aplicando a equação 2, temos Resolvendo equações 1 
e 3 simultâneamente, 


³1090216,1³109,165
 ³10902
alal
alaço
FF
FF
 kN 4,16
,
aço F
Logo
Unidade 1: Carga Axial – Tração e Compressão 
Resistência dos Materiais 
“Sonhos não morrem... 
Apenas adomercem na alma da gente.” 
 
 Chico Xavier 
“Se um dia a sorte foi alheia ao teu sustento... 
É porque não houve harmonia entre ação e pensamento.” 
 
 Renato Russo 
Mensagem 
Resistência dos Materiais 
Obrigado! 
Resistência dos Materiais

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