Conceitos fundamentais de análise estrutural

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS
Faculdade de Engenharia: Curso de Engenharia Civil
Prof. Me. André Felipe Ap. de Mello
Teoria das Estruturas I
Aula 1: Conceitos fundamentais da análise 
estrutural 
1.1 Introdução
1.2 Elementos estruturais básicos
1.3 Cargas de projeto
1.4 Idealização de estruturas
1.5 Forças externas e internas
1.6 Apoios
1.7 Equações de equilíbrio
1.8 Equações de condição
1.9 Classificação das estruturas
1.10 Exercícios propostos
O engenheiro envolvido no projeto de prédios, pontes e outras estruturas, é
obrigado a tomar muitas decisões técnicas sobre sistemas estruturais. Essas decisões
incluem: (1) selecionar uma forma estrutural eficiente, econômica e atraente; (2)
avaliar sua segurança, ou seja, sua resistência e rigidez; e (3) planejar sua edificação
sob cargas de construção temporárias.
Para projetar uma estrutura, é necessário pôr em prática uma análise estrutural que
estabelece as forças internas e deslocamentos em todos os pontos, produzidos pelas
cargas de projeto. Os projetistas determinam as forças internas nos membros
importantes para dimensionar tanto os membros como as ligações entre eles. Além
disso, avaliam os deslocamentos para garantir uma estrutura resistente — que não
apresente deslocamento ou vibração excessivos sob carga de modo que sua função
seja prejudicada.
INTRODUÇÃO1.1
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 2]
O projeto estrutural é composto basicamente por cinco etapas:
1. Fase de planejamento: envolve a definição dos requisitos funcionais da
estrutura proposta, o arranjo geral e dimensões, a consideração dos
possíveis tipos de estrutura e materiais a serem utilizados.
2. Projeto estrutural preliminar: as dimensões dos vários elementos do
sistema estrutural são estimadas com base numa análise aproximada,
na experiência do engenheiro e nas exigências normativas.
3. Estimativa de cargas: determinação de todas as cargas que podem ser
esperadas para agir sobre a estrutura.
INTRODUÇÃO1.1
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 3]
4. Análise estrutural: os valores de carregamento são utilizados para
realizar uma análise da estrutura, com a finalidade de determinar
tensões resultantes nos elementos e os deslocamentos nos vários
pontos da estrutura.
5. Verificações de segurança e em serviço: os resultados da análise são
usados para determinar se a estrutura satisfaz ou não os requisitos de
segurança e serviço das normas de projeto. Em caso positivo, o projeto
é finalizado e encaminhado para a fase de construção.
6. Projeto estrutural revisado: se os requisitos não forem satisfeitos, as
dimensões dos elementos são revisadas e as fases de 3 a 5 são
repetidas até que eles sejam satisfeitos.
INTRODUÇÃO1.1
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 4]
Tirantes, cabos de suspensão: barras axialmente carregadas em tração
Como todas as seções transversais das barras axialmente carregadas são
tracionadas de modo uniforme, o material é usado com máxima eficiência.
A capacidade de tensionar membros é uma função direta da resistência à
tração do material.
ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS1.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 5]
Colunas: barras axialmente carregadas em compressão
A capacidade de uma barra em compressão é uma função de seu índice de
esbeltez ( ). Se é grande, a barra é esbelta e falhará por flambagem,
tendo uma capacidade de carga reduzida. Se é pequeno, o membro é
compacto e sua capacidade para carga axial é alta.
ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS1.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 6]
A capacidade de uma coluna esbelta também
depende da contenção fornecida em suas
extremidades. Uma coluna apoiada em ambas
as extremidades suporta uma carga 4 vezes
maior que uma engastada com outra
extremidade livre.
Vigas: cisalhamento e momento de flexão criados por cargas
As vigas são membros delgados carregados perpendicularmente ao seu
eixo longitudinal. Quando a carga é aplicada, a viga se deforma em uma
curva suave. Em uma seção típica de uma viga, desenvolvem-se forças
internas de cisalhamento (V) e momento fletor (M).
A não ser em vigas curtas e extremamente carregadas, as tensões de
cisalhamento (τ) produzidas por V são relativamente pequenas mas as
tensões normais de flexão longitudinais produzidas por M são grandes.
ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS1.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 7]
Vigas: cisalhamento e momento de flexão criados por cargas
Se a viga tem comportamento elástico, as tensões normais de flexão em
uma seção transversal variam linearmente a partir de um eixo horizontal,
passando pelo centroide da seção transversal. As tensões de flexão são
diretamente proporcionais ao momento fletor e variam em amplitude ao
longo do eixo da viga.
ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS1.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 8]
Treliças planas: todos os membros axialmente carregados
Treliça é um elemento estrutural composto de barras delgadas cujas
extremidades são supostamente conectadas por articulações sem atrito. Se
treliças de nós articulados são carregadas apenas nos nós, desenvolve-se
um carregamento axial em todas as barras. Assim, o material é usado com
máxima eficiência. Normalmente, as barras da treliça são montadas em
padrão triangular, a configuração geométrica estável mais simples
ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS1.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 9]
Treliças planas: todos os membros axialmente carregados
O comportamento de uma treliça é semelhante ao de uma viga, pois a alma
sólida (que transmite o cisalhamento) é substituída por uma série de barras
verticais e diagonais. Eliminando a alma sólida, o projetista pode reduzir
significativamente o próprio peso da treliça.
Embora a maioria das ligações de treliça, na prática, sejam rígidas, uma
análise da treliça baseada na suposição de ligações articuladas produz um
resultado aceitável.
ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS1.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 10]
Arcos: membros curvos fortemente solicitados em compressão direta
Normalmente, os arcos são solicitados em compressão sob seu peso
próprio. Para estar em compressão pura, um estado de tensão eficiente, o
arco deve ser projetado de modo que a resultante das forças internas de
cada seção passe pelo centroide. Para determinado vão e elevação, existe
somente uma forma de arco na qual a solicitação direta ocorrerá para um
sistema de forças em particular. Para outras condições de carga,
desenvolvem-se momentos fletores que podem produzir grandes
deslocamentos em arcos delgados.
ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS1.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 11]
Pórticos rígidos: solicitados por carga axial e momento
As barras de um pórtico rígido, que normalmente suportam carga axial e
momento, são chamadas de vigas-pilares. Para que uma ligação seja
rígida, o ângulo entre as barras vinculadas a essa ligação não deve mudar
quando carregado. Em estruturas de concreto armado, as ligações rígidas
são simples de construir, devido à natureza do concreto.
ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS1.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 12]
Placas ou lajes: carga transmitida por flexão
As placas são elementos planos cuja profundidade (ou
espessura) é pequena, comparada ao comprimento e à
largura. Normalmente, elas são usadas como pisos em
prédios e pontes ou como paredes de tanques de
armazenamento.
O comportamento de uma placa depende da posição
dos apoios ao longo das bordas. Se placas retangulares
são apoiadas em bordas opostas, elas se flexionam em
curvatura única. Se os apoios são contínuos em torno das
bordas, ocorre flexão de curvatura dupla.
ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS1.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 13]
Placas ou lajes: carga transmitida por flexão
Como as chapas são flexíveis, por causa da pequena espessura, a distância
que podem vencersem se deformar excessivamente é relativamente
pequena. Por exemplo, as lajes de concreto armado podem abranger
aproximadamente de 3,6 a 4,8 metros. Se os vãos são grandes, normalmente
as lajes são apoiadas em vigas ou reforçadas pela adição de nervuras.
ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS1.2
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 14]
Cargas permanentes
A carga associada ao peso da estrutura e seus componentes permanentes
(pisos, tetos, tubulações e outros) é chamada carga permanente. Como o
peso próprio deve ser usado nos cálculos para dimensionar as barras, mas
não é conhecido precisamente até que as barras sejam dimensionadas, sua
magnitude deve ser estimada inicialmente. Depois que as barras são
dimensionadas e os detalhes arquitetônicos finalizados, o peso próprio pode
ser calculado mais precisamente. Se o valor calculado do peso próprio é
aproximadamente igual (ou ligeiramente menor) à estimativa inicial, a
análise está concluída. Mas, se existe uma grande diferença entre os valores
estimados e calculados do peso próprio, o projetista deve revisar os cálculos.
CARGAS DE PROJETO1.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 15]
Pesos próprios típicos para projeto
CARGAS DE PROJETO1.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 16]
Material Peso específico (kN/m3)
Lajotas cerâmicas 18
Argamassa de cal, cimento e areia 19
Argamassa de cimento e areia 21
Concreto simples 24
Concreto armado 25
Madeira (pinho, cedro) 5
Madeira (angico, cabriuva, ipê róseo) 10
Aço 78,5
Fonte: ABNT NBR 6120 (1980)
Cargas acidentais ou sobrecargas
As cargas que podem atuar ou não sobre uma estrutura são classificadas
como sobrecargas. As sobrecargas incluem o peso das pessoas, mobiliário,
máquinas e outros equipamentos. Podem variar com o passar do tempo,
particularmente se a ocupação do prédio muda. As sobrecargas
especificadas pelos códigos para vários tipos de prédios representam uma
estimativa conservadora da carga máxima que provavelmente será
produzida pelo uso pretendido e pela ocupação do prédio.
CARGAS DE PROJETO1.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 17]
Sobrecargas de projeto típicas para piso
CARGAS DE PROJETO1.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 18]
Local Sobrecarga (kN/m2)
Bibliotecas
Sala de leitura 2,5
Sala para depósito de livros 4,0
Bancos
Escritórios e banheiros 2,0
Salas de diretoria e de gerência 1,5
Edifícios 
residenciais
Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro 1,5
Despensa, área de serviço e lavanderia 2,0
Escritórios Salas de uso geral e banheiro 2,0
Forros Sem acesso a pessoas 0,5
Fonte: ABNT NBR 6120 (1980)
CARGAS DE PROJETO1.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 19]
Áreas de influência
Cargas de vento
As cargas de vento são produzidas pelo fluxo do vento em torno de uma
estrutura. As magnitudes desse carregamento dependem da localização
geográfica, obstruções no terreno circundante, tais como edifícios
próximos, e da geometria e das características vibracionais da própria
estrutura.
A norma brasileira que trata das ações do vento nas estruturas é a NBR
6123 da ABNT.
CARGAS DE PROJETO1.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 20]
Cargas de vento
CARGAS DE PROJETO1.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 21]
Gráfico das isopletas de velocidade básica do vento no Brasil, em m/s
Cargas de terremoto
Um terremoto é uma ondulação súbita de uma porção
da superfície da terra. Embora a superfície do solo se
mova em ambas as direções horizontal e vertical
durante um tremor de terra, a magnitude da
componente vertical do movimento do solo é
geralmente pequena e não tem efeito significativo
sobre a maioria das estruturas. É a componente
horizontal deste movimento que provoca danos
estruturais e que deve ser considerada em projetos de
estruturas localizadas em áreas sujeitas a terremotos.
CARGAS DE PROJETO1.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 22]
Movimento do solo
Pressão hidrostática e de solo
Estruturas utilizadas para armazenas água, como
barragens e reservatórios, devem ser projetadas para
resistir á pressão hidrostática.
Estruturas subterrâneas, paredes, pisos de porão e
muros de contenção dever ser projetados para resistir à
pressão do solo.
CARGAS DE PROJETO1.3
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 23]
Para regiões de estrutura abaixo do lençol freático, deve ser considerado o
efeito combinado da pressão hidrostática e da pressão do solo.
Antes que uma estrutura possa ser analisada, o projetista deve criar um
modelo físico simplificado da estrutura e de seus apoios, assim como das
cargas aplicadas. Normalmente, esse modelo é representado por um
desenho feito com linhas simples.
IDEALIZAÇÃO DE ESTRUTURAS1.4
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 24]
Embora alguma restrição rotacional obviamente se desenvolva na base das
colunas, normalmente os projetistas a desprezam e presumem que os
apoios reais podem ser representados por articulações fixas. Essa
suposição é feita pelos seguintes motivos:
1. O projetista não dispõe de nenhum procedimento simples para avaliar a
restrição rotacional;
2. A restrição rotacional é modesta, devido à deformação de flexão da
placa, ao alongamento dos parafusos e aos pequenos movimentos
laterais da parede.
3. Por fim, a suposição de uma articulação fixa na base é conservadora
(restrições de qualquer tipo tornam a estrutura mais rígida).
IDEALIZAÇÃO DE ESTRUTURAS1.4
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 25]
Forças externas
São as ações de outros corpos sobre a estrutura em consideração. É
conveniente classifica-las em forças aplicadas e forças de reação.
As forças aplicadas, ou cargas, apresentam uma tendência de mover a
estrutura e geralmente são conhecidas na análise.
As forças de reação são exercidas pelos apoios sobre a estrutura e
apresentam a tendência de evitar seu movimento e mantê-la em equilíbrio.
Estas são geralmente desconhecidas e determinadas na análise.
FORÇAS EXTERNAS E INTERNAS1.5
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 26]
Forças externas
• Força concentrada
FORÇAS EXTERNAS E INTERNAS1.5
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 27]
௫
௬
• Momento concentrado
Forças externas
• Força distribuída (w ou q)
FORÇAS EXTERNAS E INTERNAS1.5
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 28]
A resultante (FR) da carga distribuída é dada pela área abaixo da linha que
define o carregamento, e atua no centroide ( ) dessa área. Nesse caso:
ோ
ଵ ଶ ଵ ଶ
ଵ ଶ
Forças internas
São as forças e momentos exercidos sobre um elemento ou região da
estrutura pelo resto desta estrutura. Estas forças se desenvolvem dentro da
estrutura e mantém suas várias partes unidas.
As forças internas sempre ocorrem em pares iguais, porém opostos, pois
cada elemento ou parte exerce forças no restante da estrutura, as mesmas
forças que atuam nela, mas em direções opostas, de acordo com a terceira
lei de Newton.
As forças internas não interferem no equilíbrio da estrutura como um todo.
FORÇAS EXTERNAS E INTERNAS1.5
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 29]
Forças internas
FORÇAS EXTERNAS E INTERNAS1.5
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 30]
Diagrama de corpo livre
Os apoios são usados para conectar as estruturas ao solo ou a outros
corpos, restringindo assim seus movimentos sob a ação das cargas aplicadas.
As cargas tendem a mover as estruturas, mas os apoios impedem os
movimentos exercendo forças opostas, ou reações, para neutralizar os
efeitos das cargas, mantendo as estruturas em equilíbrio.
O tipo de reação que um apoio exerce sobre uma estrutura depende do
tipo de apoio utilizado e do tipo de movimento a evitar. Um apoio que
impede a translação da estrutura em determinada direção exerce uma força
de reação nesta mesma direção. Do mesmo modo, um apoio que impede a
rotação da estrutura em determinadoeixo exerce um momento de reação
na estrutura sobre este mesmo eixo.
APOIOS1.6
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 31]
APOIOS1.6
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 32]
APOIOS1.6
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 33]
Uma estrutura é considerada em equilíbrio se, inicialmente em repouso,
ela permanecer em repouso quando sujeita a um sistema de forças e
momentos. Se uma estrutura estiver em equilíbrio, então seus elementos e
partes também estarão em equilíbrio.
Para que uma estrutura esteja em equilíbrio, todas as forças e momentos,
incluindo reações de apoio, que atuam sobre ela devem manter um
equilíbrio uns com os outros, e não deve haver nenhuma força ou
momento resultante atuando sobre a estrutura.
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO1.7
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 34]
As condições de resultante força nula e momento resultante nulo podem ser
expressos em um sistema de coordenada cartesiana (xyz) como:
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO1.7
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 35]
௫ ௬ ௭
௫ ௬ ௭
Para uma estrutura plana no plano xy e sujeita a um sistema coplanar de
forças e momentos, as condições necessárias e suficientes ao equilíbrio são:
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO1.7
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 36]
௫ ௬ ௭
A condição de momento nulo pode ser expressa utilizando qualquer
ponto situado no plano da estrutura.
As reações de muitas estruturas podem ser determinadas tratando a
estrutura como um único corpo rígido. Outras estruturas determinadas
estáveis, compostas de vários elementos rígidos conectados por meio de
uma articulação ou que contêm outros dispositivos ou condições de
construção que liberam certas restrições internas, exigem que a estrutura
seja dividida em vários corpos rígidos para se avaliarem as reações.
EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO1.8
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 37]
Escrevendo as equações de equilíbrio para o arco
ao lado, vê-se que estão disponíveis somente três
equações para dar uma solução, para os quatro
componentes de reação desconhecidos, Ax, Ay, Cx
e Cy.
Pode-se escrever uma quarta equação de equilíbrio independente,
considerando o equilíbrio de qualquer segmento de arco entre a articulação
em B e um apoio de extremidade. Como a articulação em B pode transferir
uma força com componentes horizontais e verticais, mas não tem
capacidade de transferir momento (isto é, MB = 0), podemos somar os
momentos sobre a articulação em B para produzir uma equação adicional
relativamente às reações de apoio e das cargas aplicadas. Essa equação
adicional é chamada de equação de condição ou equação de construção.
EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO1.8
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 38]
Para produzir uma estrutura estável, o projetista deve fornecer um conjunto
de apoios que impeça a estrutura ou qualquer um de seus componentes de
se mover como um corpo rígido. O número e os tipos de apoios necessários
para estabilizar uma estrutura dependem da organização geométrica dos
membros, das condições de construção características da estrutura
(articulações, por exemplo) e da posição dos apoios.
Para que um conjunto de apoios impeça o movimento de uma estrutura sob
todas as condições de carga possíveis, as cargas aplicadas e as reações
fornecidas pelos apoios devem satisfazer as três equações de equilíbrio
estático:
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS1.9
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 39]
௫ ௬ ௭
Caso 1: Os apoios fornecem menos de três restrições (R < 3)
Como três equações de equilíbrio devem ser satisfeitas para que um corpo
rígido esteja em equilíbrio, o projetista deve aplicar pelo menos três reações
para produzir uma estrutura estável. Se os apoios fornecem menos de três
reações, então uma ou mais das equações de equilíbrio não pode ser
satisfeita, e a estrutura não está em equilíbrio. Uma estrutura que não está
em equilíbrio é instável ou hipostática.
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS1.9
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 40]
Caso 1: Os apoios fornecem menos de três restrições (R < 3)
Para a viga abaixo:
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS1.9
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 41]
Como o equilíbrio não é satisfeito, a viga é instável e se moverá para a
direita sob a força não balanceada. Os matemáticos diriam que o conjunto
de equações acima é inconsistente ou incompatível.
Caso 2: Os apoios fornecem três restrições (R = 3)
Se os apoios fornecerem três reações, normalmente será possível satisfazer
as três equações de equilíbrio (o número de incógnitas é igual ao número
de equações). Obviamente, se as três equações de equilíbrio estático são
satisfeitas, a estrutura está em equilíbrio (ou seja, é estável). Além disso, se
as equações de equilíbrio são satisfeitas, os valores das três reações são
determinados exclusivamente e diz-se que a estrutura é determinada
externamente ou isostática. Por fim, como três equações de equilíbrio
precisam ser satisfeitas, segue-se que, no mínimo, três restrições são
necessárias para produzir uma estrutura estável sob qualquer condição de
carga.
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS1.9
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 42]
Caso 2: Os apoios fornecem três restrições (R = 3)
Se um sistema de apoios fornece três reações configuradas de tal maneira
que as equações de equilíbrio não podem ser satisfeitas, a estrutura é
denominada geometricamente instável.
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS1.9
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 43]
Caso 3: Os apoios fornecem mais do que três restrições (R > 3)
Se um sistema de apoios, que não é equivalente a um sistema de forças
paralelas ou concorrentes, fornece mais de três restrições para uma única
estrutura rígida, os valores das restrições não podem ser determinados
exclusivamente, pois o número de incógnitas ultrapassa as três equações de
equilíbrio disponíveis para sua solução. Como uma ou mais das reações não
pode ser determinada, a estrutura é denominada indeterminada ou
hiperestática e o grau de indeterminação (G) é igual ao número de
restrições superior a 3, isto é:
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS1.9
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 44]
Caso 3: Os apoios fornecem mais do que três restrições (R > 3)
Para a viga abaixo:
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS1.9
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 45]
Se uma estrutura consiste em vários corpos rígidos interligados por
dispositivos (articulações, por exemplo) que liberam C restrições internas, C
equações de equilíbrio (também chamadas de equações de condição)
adicionais podem ser escritas para resolver as reações. Para estruturas nessa
categoria, os critérios desenvolvidos para definir a estabilidade e a
determinação de uma única estrutura rígida devem ser modificados:
1. Se R < (3 + C), a estrutura é instável.
2. Se R = (3 + C), a estrutura é estável, caso não seja geometricamente
instável.
3. Se R > (3 + C), a estrutura é indeterminada.
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS1.9
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 46]
Em resumo:
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS1.9
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 47]
Exercício 1
Classifique as estruturas a seguir em hipostática, isostática ou hiperestática,
determine o grau de indeterminação nesse último caso.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS1.10
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 48]
Rótula
Rótula
Rótula
Exercício 2
Classifique as estruturas a seguir em hipostática, isostática ou hiperestática,
determine o grau de indeterminação nesse último caso.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS1.10
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 49]
Rótula
Rótula
Rótula
Rótula Rótula
Exercício 3
Determine as reações de apoio para as vigas a seguir.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS1.10
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 50]
(a)
(b)
Exercício 4
Determine as reações de apoio para as estruturasa seguir.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS1.10
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 51]
(a)
(b)
Exercício 5
Determine as reações de apoio para as vigas a seguir.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS1.10
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 52]
Rótula
(a)
(b)
KASSIMALI, A. Análise Estrutural: Tradução da 5º Edição Norte-
Americana. 1 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
REFERÊNCIAS
Engenharia Civil · Resistência dos Materiais I [p. 53]
LEET, K. M.; UANG; C. M.; GILBERT, A. M. Fundamentos da Análise
Estrutural. 3 ed. Porto Alegre: McGraw Hill Education, 2010.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. 6 ed., Rio de Janeiro:
Globo, 1983. v. 1.