Técnicas de Demonstração

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL
Campus de Aquidauana – Matemática/Licenciatura
Disciplina: Álgebra Elementar; Prof.: Fernando Batista
Acadêmic@:
11 de junho de 2013
Técnicas de Demonstração
Tipos de demonstração
Para além das demonstrações por indução, por redução ao absurdo, pela proposição "contra-
recíproca", ou outras, existem alguns tipos de demonstração mais divertidas...
Demonstração por facilidade: "A demonstração é tão fácil que nem é preciso escrevê-la."
Demonstração por consenso: "Todos concordam que é verdade?..."
Demonstração por fé: "Bem, vamos acreditar que é verdade..."
Demonstração por conveniência: "Ajuda muito que seja verdade, por isso..."
Demonstração por imperativo teórico: "Se isto não fosse verdade, a teoria não funcionava."
Demonstração por plausibilidade: "Soa tão bem que deve ser verdade."
Demonstração por intimidação: "Não seja tolo; claro que é verdade."
Demonstração por falta de tempo: "Como não temos muito tempo, deixamos a demon-
stração como um exercício."
Demonstração por anexo: "A demonstração é longa e maçadora e por isso segue em anexo."
Demonstração por acidente: "Uau, o que é que temos aqui??!"
Demonstração por censura: — — — descrição omitida — — —
Demonstração por definição: "Vamos definir como sendo verdade."
Demonstração por tautologia: "É verdade porque é verdade."
Demonstração por referência: "Como vemos na página 289,..."
Demonstração por referência perdida: "É mesmo verdade, já vi essa demonstração..."
Demonstração por incapaciade: "A demonstração requer muita matemática, por isso vamos
"saltá-la"."
Demonstração por aborrecimento: "É verdade! Alguém quer ver a demonstração?"
Demonstração por intelegibilidade: " É verdade porque limp
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Demonstração por enunciado: "Se o enunciado diz para provar, então é porque é verdade."
Demonstração por teimosia: "Não me interessa esse argumento... é mesmo verdade!"
Demonstração por alternativa: "Se não é verdade neste enquadramento teórico, vamos
construir um onde seja!"
Demonstração por autoridade: "Se o Euler disse que era verdade, então deve ser..."
Demonstração por intuição: "O meu sexto sentido diz-me que é verdade..."
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Técnicas de Demonstração (Agora a sério)
Antes de começarmos a discutir técnicas de demonstrações, façamos algumas definições:
g Um teorema é uma proposição que é garantida por uma prova.
g Um axioma é uma proposição que se assume como verdadeira e que não precisa de prova.
g Uma conjectura é uma proposição que ainda não foi provada e nem refutada.
Raciocínio Indutivo e Dedutivo
Raciocínio indutivo é algo que se conclui baseado na experiência.
g Por exemplo, observando que, em diversos casos nos quais sempre P é verdade, Q também
o é, formula-se uma conjectura: Quanto mais verifica-se que Q segue de P, mais confiante
que a conjectura é verdadeira.
Raciocínio dedutivo é a verificação de fato se a conjectura é verdadeira.
g Produzir uma demonstração que P Ñ Q, transformando a conjectura em um teorema.
g Ou encontrando um contra-exemplo, mostrando que a conjectura está errada, com um
caso onde P é verdadeiro e Q é falso.
g Não é simples a decisão de qual a abordagem: provar ou buscar um contra-exemplo.
Demonstração Exaustiva
Encontrar um contra-exemplo pode não ser simples. Então o caminho para provar uma conjec-
tura é usar métodos para demonstrá-la.
g Quando temos uma conjectura sobre uma coleção finita, ela pode ser provada verificando
se ela é válida para cada elemento da coleção.
g Uma demonstração por exaustão significa que foram exauridos todos os casos possíveis.
Demonstração Direta
Uma demonstração ou prova é dita direta quando pressupões verdadeira a hipótese e, a partir
desta, prova ser verdadeira a tese.
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Contraposição
Se a demonstração direta P Ñ Q não foi atingida pode-se tentar algumas variantes da técnica
de demonstração direta.
g Se puder provar o teorema Q1 Ñ P 1, pode-se concluir que P Ñ Q, usando a tautologia
pQ1 Ñ P 1q Ñ pP Ñ Qq;
g Q1 Ñ P 1 é a contrapositiva de P Ñ Q;
g A técnica de provar P Ñ Q através de uma demonstração direta de Q1 Ñ P 1 é chamada
de demonstração por contraposição;
g A tautologia pQ1 Ñ P 1q Ñ pP Ñ Qq vem da regra de inferência onde P Ñ Q pode ser
deduzida de Q1 Ñ P 1.
Absurdo
Quando a demonstração de P Ñ Q, consiste em supor a hipótese P, supor a negação de Q e
concluir uma contradição (em geral Q^Q1), a demonstração é chamada de por absurdo.
g Lembrando que uma contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre Falso. Ela
pode ser denotada por 0.
Ż Por exemplo, a proposição A^ A1 tem sempre valor falso.
g Para provar P Ñ Q, podemos levar em conta a seguinte proposição: pP ^ Q1 Ñ 0q Ñ
pP Ñ Qq.
Ż Construindo a tabela verdade, concluímos a que a proposição é uma tautologia.
g Então se provarmos que P ^Q1 Ñ 0, isto implicará em P Ñ Q.
Portanto, na demonstração por absurdo, assume-se o oposto do que se quer provar, ao chegar
a uma contradição, a prova é finalizada.
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Resumo das Técnicas de Demonstração
Técnica Abordagem para
provar P Ñ Q
Observações
Contraposição Suponha Q1, de-
duza P
Use a técnica se Q1 parece dar mais mu-
nição que P .
Absurdo Suponha P ^Q1,
deduza uma con-
tradição
Use essa técnica quando Q disser que
alguma coisa não é verdade.
Direta Suponha P, de-
duza Q
Abordagem padrão – o que se deve ten-
tar em geral.
Exaustão Demonstre P Ñ
Q para todos os
casos possíveis
Pode ser usada para provar um número
finito de casos.
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