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Resumo | Progressão geométrica

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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
 
Definição: 
Progressão geométrica é uma sequência onde o 
quociente de dois termos consecutivos quaisquer 
é uma constante, chamada razão da progressão 
geométrica e denotada por 𝑞. Isto é: 
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
= 𝑞. 
Exemplo: 
 (8, 4, 2, ... ). 
 
No exemplo acima, temos 𝑎1 = 8, 𝑎2 = 4, 
𝑎3 = 2 e assim sucessivamente. Observe que a 
razão é igual a 1/2, pois: 
𝑞 = 𝑎3/𝑎2 = 𝑎2/𝑎1 = 1/2. 
 
Termo geral: 
Como o quociente de dois termos consecutivos é 
a razão da progressão geométrica, podemos 
obter cada termo, a partir do segundo, 
multiplicando seu anterior pela razão, ou seja: 
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 
𝑎3 = 𝑎2 ∙ 𝑞 
𝑎4 = 𝑎3 ∙ 𝑞 
 ⋮ 
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑞 
 
Porém, note que cada termo a partir do segundo 
pode ser escrito utilizando-se apenas o primeiro 
termo e a razão: 
𝑎3 = (𝑎1 ∙ 𝑞) ∙ 𝑞 = 𝑎1 ∙ 𝑞
2 
𝑎4 = ((𝑎1 ∙ 𝑞) ∙ 𝑞) ∙ 𝑞 = 𝑎1 ∙ 𝑞
3 
 ⋮ 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
 
Analogamente, é possível obter qualquer termo 
a partir de outro qualquer e a razão: 
𝑎𝑛 = 𝑎𝑘 ∙ 𝑞
𝑛−𝑘 
 
Soma dos termos: 
Considere uma quantidade finita de n números 
em progressão geométrica. A soma desses n 
números é dada por 
𝑆𝑛 =
𝑎1(𝑞
𝑛−1)
𝑞 − 1
. 
Quando 0 < q < 1, os termos da progressão 
geométrica se aproximam cada vez mais de 
zero, de modo que a soma dos infinitos termos 
converge para um número real dado por: 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
. 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1) (UFSM) Os termos x, x + 9 e x + 45 estão em 
P.G., nesta ordem. A razão desta progressão é: 
 
a) 45 b) 9 c) 4 d) 3 e) 4/3 
 
Resolução: 
Note que o terceiro número dividido pelo 
segundo é igual ao segundo dividido pelo 
primeiro, pois ambas as divisões resultam a 
razão, logo: 
𝑥 + 45
𝑥 + 9
=
𝑥 + 9
𝑥
 
𝑥(𝑥 + 45) = (𝑥 + 9)2 
𝑥2 + 45𝑥 = 𝑥2 + 18𝑥 + 81 
27𝑥 = 81 
𝑥 = 3. 
 
Então a sequência é 3, 12, 48. A razão é 
q = 48/12 = 12/3 = 4. 
 
 
2) (PUC-PR) Considere a sequência infinita 
𝑆 = (2−1; −2−2; 2−3; −2−4; … ). Sobre a 
sequência S, julgue as afirmativas a seguir. 
 
I. S é uma progressão aritmética de razão r = 1/2. 
 
II. S é uma progressão geométrica de razão 
q = -2. 
 
III. A soma dos infinitos termos de S é 1/3. 
 
IV. A sequência S não é uma progressão 
aritmética nem progressão geométrica. 
 
V. S é uma sequência crescente. 
 
a) Somente III é correta. 
b) Somente II é correta. 
c) Somente I é correta. 
d) I, II, III, IV e V são corretas. 
e) Todas as proposições são falsas. 
 
RESUMOS 
 
 
Resolução: 
A sequência pode ser reescrita da seguinte 
maneira: 
𝑆 = (
1
2
; −
1
22
; 
1
23
; −
1
24
; … ). 
 
Com isso é fácil perceber que se trata de uma 
progressão geométrica de razão -1/2. De fato: 
𝑎4 − 𝑎3 =
−
1
24
1
23
= −
1
24
∙
23
1
= −
1
2
. 
𝑎3 − 𝑎2 =
1
23
−
1
22
=
1
23
∙ (−
22
1
) = −
1
2
. 
𝑎2 − 𝑎1 =
−
1
22
1
2
= −
1
22
∙
2
1
= −
1
2
. 
 
Como q < 0, a sequência não é crescente nem 
decrescente. A soma dos infinitos termos é 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
=
1
2
1 − (−
1
2
)
=
1
2
∙
2
3
=
1
3
. 
 
Logo, apenas a afirmação III está correta.