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Prova 3 Resolvida de Álgebra Linear - Material para Estudo

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1. Responda VERDADEIRO ou FALSO, justificando sua resposta.
a ( F ) Dado V = MR(3, 3) = o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 3 então,
〈A,B〉 = traço(A ·B) define um produto interno em V;
Se o produto 〈A,B〉 = traço(A · B) fosse um produto interno sobre MR(3, 3) deveŕıamos ter
〈A,A〉 > 0 para toda A 6=
0 0 00 0 0
0 0 0
. Mas, para A =
 0 1 0−1 0 0
0 0 0
 6=
0 0 00 0 0
0 0 0
 temos
que,
〈A,A〉 = tr(A2) = tr
 0 1 0−1 0 0
0 0 0
 ·
 0 1 0−1 0 0
0 0 0
 = tr
−1 0 00 −1 0
0 0 0
 = −2 < 0
b ( F ) Em R3 existe um produto interno tal que os vetores v1 = (1, 1, 3), v2 = (2,−1, 4) e
v3 = (1,−2, 1) são ortogonais dois a dois segundo esse produto interno, ou seja, 〈v1, v2〉 =
〈v1, v3〉 = 〈v2, v3〉 = 0;
Sabemos que se v1 ⊥ v2, v1 ⊥ v3 e v2 ⊥ v3 então, {v1, v2, v2} é linearmente independente.
Como, det
1 1 32 −1 4
1 −2 1
 = −1 + 4 − 12 + 3 − 2 + 8 = 0 segue que, {v1, v2, v2} não é L.I.
Portanto, não existe produto interno em R3 tal que v1 ⊥ v2, v1 ⊥ v3 e v2 ⊥ v3.
c ( V ) Se V é um espaço vetorial sobre R, munido de um produto interno 〈 , 〉 então,
det
(
〈v, v〉 〈v, w〉
〈w, v〉 〈w,w〉
)
≥ 0 para quaisquer vetores v, w ∈ V.
Lembramos que num espaço vetorial V munido de um produto interno 〈 , 〉 vale a desigualdade
de Cauchy-Schwarz:
|〈v, w〉| ≤ ||v|| · ||w|| ∀ v, w ∈ V
Assim, para quaisquer vetores v, w ∈ V temos que, 〈v, w〉2 ≤ ||v||2 · ||w||2 = 〈v, v〉 · 〈w,w〉, ou
seja,
0 ≤ 〈v, v〉 · 〈w,w〉 − 〈v, w〉2 = det
(
〈v, v〉 〈v, w〉
〈w, v〉 〈w,w〉
)
2. Em R2 existe um produto interno 〈(x, y), (a, b)〉 tal que E = {(1, 1), (2,−1)} é uma base
ortonormal. Calcule 〈(3,−7), (−1, 4)〉.
Como E é base ortonormal temos que 〈v, w〉 = x · a+ y · b, sendo [v]E =
(
x
y
)
e [w]E =
(
a
b
)
.
1
Terceira Prova Resolvida de Álgebra Linear 1 
Se (x, y) = α ·(1, 1)+β ·(2,−1) então, fazendo as contas, conclúımos que, α = x+2y
3
e β = x−y
3
.
Desta forma, [(3,−7)]E =
(
−11
3
10
3
)
e [(−1, 4)]E =
(
7
3
−5
3
)
. Portanto,
〈(3,−7), (−1, 4)〉 = −11
3
· 7
3
+
10
3
·
(
−5
3
)
= −77
9
− 50
9
= −127
9
3. Em cada um dos itens abaixo temos um espaço vetorial V, um operador linear T : V → V e
um produto interno sobre V. Em cada caso, determine se T é um operador auto-adjunto ou
se T é um operador ortogonal (ou ambos ou não é auto-adjunto nem ortogonal).
a. V = R2, T (x, y) = (y, x) e 〈(x, y), (a, b)〉 = x · a+ y · b;
Dados (x, y), (a, b) ∈ R2 temos que,
〈T (x, y), (a, b)〉 = 〈(y, x), (a, b)〉 = y · a+ x · b = x · b+ y · a = 〈(x, y), (b, a)〉 = 〈(x, y), T (a, b)〉
Portanto, T é um operador auto-adjunto.
Temos também que, dados (x, y), (a, b) ∈ R2
〈T (x, y), T (a, b)〉 = 〈(y, x), (b, a)〉 = y · b+ x · a = x · a+ y · b = 〈(x, y), (a, b)〉
Logo, T também é um operador ortogonal.
b. V = MR(2, 3), T
((
a11 a12 a13
a21 a22 a23
))
=
(
a11 a21 a22
a12 a13 a23
)
e 〈A,B〉 = traço(Bt · A);
Notamos que, se A =
(
a11 a12 a13
a21 a22 a23
)
e B =
(
b11 b12 b13
b21 b22 b23
)
então, 〈A,B〉 = a11b11+a12b12+
a13b13 + a21b21 + a22b22 + a23b23. Desta forma, temos que
E = {
(
1 0 0
0 0 0
)
,
(
0 1 0
0 0 0
)
,
(
0 0 1
0 0 0
)
,
(
0 0 0
1 0 0
)
,
(
0 0 0
0 1 0
)
,
(
0 0 0
0 0 1
)
}
é uma base ordenada ortonormal de MR(2, 3). Temos que:
[T ]EE =

1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1

Como [T ]EE é uma matriz simétrica, segue que T é um operador auto-adjunto.
Como [T ]EE é uma matriz ortogonal (suas linhas formam uma base ortonormal de R6) segue
que T é um operador ortogonal.
c. V = R3, T é o único operador tal que, T (1,−1, 0) = (1, 0, 0), T (1, 1, 0) = (0, 1, 0),
T (0, 0,−1) = (0, 0, 1) e 〈(x, y, z), (a, b, c)〉 = x · a+ y · b+ z · c.
Notamos que, 〈T (1,−1, 0), (1, 1, 0)〉 = 〈(1, 0, 0), (1, 1, 0)〉 = 1 e
〈(1,−1, 0), T (1, 1, 0)〉 = 〈(1,−1, 0), (0, 1, 0)〉 = −1.
2
Logo, 〈T (1,−1, 0), (1, 1, 0)〉 6= 〈(1,−1, 0), T (1, 1, 0)〉 e portanto, T não é um operador auto-
adjunto.
Notamos também que,
〈T (1,−1, 0), T (1,−1, 0)〉 = 〈(1, 0, 0), (1, 0, 0)〉 = 1 6= 2 = 〈(1,−1, 0), (1,−1, 0)〉.
Portanto, T não é um operador ortogonal.
4. A quádrica 2xy+2yz+2xz = 0 representa qual das superf́ıcies abaixo? justifique sua resposta.
(Dica: x3 − 3x− 2 = (x− 2)(x+ 1)2)
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a. Hiperbolóide
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b. Cone
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