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1. Responda VERDADEIRO ou FALSO, justificando sua resposta. a ( F ) Dado V = MR(3, 3) = o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 3 então, 〈A,B〉 = traço(A ·B) define um produto interno em V; Se o produto 〈A,B〉 = traço(A · B) fosse um produto interno sobre MR(3, 3) deveŕıamos ter 〈A,A〉 > 0 para toda A 6= 0 0 00 0 0 0 0 0 . Mas, para A = 0 1 0−1 0 0 0 0 0 6= 0 0 00 0 0 0 0 0 temos que, 〈A,A〉 = tr(A2) = tr 0 1 0−1 0 0 0 0 0 · 0 1 0−1 0 0 0 0 0 = tr −1 0 00 −1 0 0 0 0 = −2 < 0 b ( F ) Em R3 existe um produto interno tal que os vetores v1 = (1, 1, 3), v2 = (2,−1, 4) e v3 = (1,−2, 1) são ortogonais dois a dois segundo esse produto interno, ou seja, 〈v1, v2〉 = 〈v1, v3〉 = 〈v2, v3〉 = 0; Sabemos que se v1 ⊥ v2, v1 ⊥ v3 e v2 ⊥ v3 então, {v1, v2, v2} é linearmente independente. Como, det 1 1 32 −1 4 1 −2 1 = −1 + 4 − 12 + 3 − 2 + 8 = 0 segue que, {v1, v2, v2} não é L.I. Portanto, não existe produto interno em R3 tal que v1 ⊥ v2, v1 ⊥ v3 e v2 ⊥ v3. c ( V ) Se V é um espaço vetorial sobre R, munido de um produto interno 〈 , 〉 então, det ( 〈v, v〉 〈v, w〉 〈w, v〉 〈w,w〉 ) ≥ 0 para quaisquer vetores v, w ∈ V. Lembramos que num espaço vetorial V munido de um produto interno 〈 , 〉 vale a desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈v, w〉| ≤ ||v|| · ||w|| ∀ v, w ∈ V Assim, para quaisquer vetores v, w ∈ V temos que, 〈v, w〉2 ≤ ||v||2 · ||w||2 = 〈v, v〉 · 〈w,w〉, ou seja, 0 ≤ 〈v, v〉 · 〈w,w〉 − 〈v, w〉2 = det ( 〈v, v〉 〈v, w〉 〈w, v〉 〈w,w〉 ) 2. Em R2 existe um produto interno 〈(x, y), (a, b)〉 tal que E = {(1, 1), (2,−1)} é uma base ortonormal. Calcule 〈(3,−7), (−1, 4)〉. Como E é base ortonormal temos que 〈v, w〉 = x · a+ y · b, sendo [v]E = ( x y ) e [w]E = ( a b ) . 1 Terceira Prova Resolvida de Álgebra Linear 1 Se (x, y) = α ·(1, 1)+β ·(2,−1) então, fazendo as contas, conclúımos que, α = x+2y 3 e β = x−y 3 . Desta forma, [(3,−7)]E = ( −11 3 10 3 ) e [(−1, 4)]E = ( 7 3 −5 3 ) . Portanto, 〈(3,−7), (−1, 4)〉 = −11 3 · 7 3 + 10 3 · ( −5 3 ) = −77 9 − 50 9 = −127 9 3. Em cada um dos itens abaixo temos um espaço vetorial V, um operador linear T : V → V e um produto interno sobre V. Em cada caso, determine se T é um operador auto-adjunto ou se T é um operador ortogonal (ou ambos ou não é auto-adjunto nem ortogonal). a. V = R2, T (x, y) = (y, x) e 〈(x, y), (a, b)〉 = x · a+ y · b; Dados (x, y), (a, b) ∈ R2 temos que, 〈T (x, y), (a, b)〉 = 〈(y, x), (a, b)〉 = y · a+ x · b = x · b+ y · a = 〈(x, y), (b, a)〉 = 〈(x, y), T (a, b)〉 Portanto, T é um operador auto-adjunto. Temos também que, dados (x, y), (a, b) ∈ R2 〈T (x, y), T (a, b)〉 = 〈(y, x), (b, a)〉 = y · b+ x · a = x · a+ y · b = 〈(x, y), (a, b)〉 Logo, T também é um operador ortogonal. b. V = MR(2, 3), T (( a11 a12 a13 a21 a22 a23 )) = ( a11 a21 a22 a12 a13 a23 ) e 〈A,B〉 = traço(Bt · A); Notamos que, se A = ( a11 a12 a13 a21 a22 a23 ) e B = ( b11 b12 b13 b21 b22 b23 ) então, 〈A,B〉 = a11b11+a12b12+ a13b13 + a21b21 + a22b22 + a23b23. Desta forma, temos que E = { ( 1 0 0 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 0 0 ) , ( 0 0 1 0 0 0 ) , ( 0 0 0 1 0 0 ) , ( 0 0 0 0 1 0 ) , ( 0 0 0 0 0 1 ) } é uma base ordenada ortonormal de MR(2, 3). Temos que: [T ]EE = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Como [T ]EE é uma matriz simétrica, segue que T é um operador auto-adjunto. Como [T ]EE é uma matriz ortogonal (suas linhas formam uma base ortonormal de R6) segue que T é um operador ortogonal. c. V = R3, T é o único operador tal que, T (1,−1, 0) = (1, 0, 0), T (1, 1, 0) = (0, 1, 0), T (0, 0,−1) = (0, 0, 1) e 〈(x, y, z), (a, b, c)〉 = x · a+ y · b+ z · c. Notamos que, 〈T (1,−1, 0), (1, 1, 0)〉 = 〈(1, 0, 0), (1, 1, 0)〉 = 1 e 〈(1,−1, 0), T (1, 1, 0)〉 = 〈(1,−1, 0), (0, 1, 0)〉 = −1. 2 Logo, 〈T (1,−1, 0), (1, 1, 0)〉 6= 〈(1,−1, 0), T (1, 1, 0)〉 e portanto, T não é um operador auto- adjunto. Notamos também que, 〈T (1,−1, 0), T (1,−1, 0)〉 = 〈(1, 0, 0), (1, 0, 0)〉 = 1 6= 2 = 〈(1,−1, 0), (1,−1, 0)〉. Portanto, T não é um operador ortogonal. 4. A quádrica 2xy+2yz+2xz = 0 representa qual das superf́ıcies abaixo? justifique sua resposta. (Dica: x3 − 3x− 2 = (x− 2)(x+ 1)2) ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................. ..................... .............. .......... ....... ....... ........ ........... ................ ........................... ................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. ..................... .............. .......... ....... ....... ........ ........... ................ ........................... ................................................................................................................................................................. ......................................................................... ......... ........... .................................................................... a. Hiperbolóide .............................................................................................................................................................................. ..................... .............. .......... ....... ....... ........ ........... ................ ........................... ................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. ..................... .............. .......... ....... ....... ........ ........... ................ ........................... ......................................................................................................................................................................... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... b. Cone .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ................ ............. ............ ........... .......... ......... ......... ........ ........ ........ ....... ....... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .. .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................... ............... ............. ........... .......... .......... ......... ........ ........ ........ ....... ....... ....... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .... .... .... . ..................................................................................................................................................................................................................... ......................... ................. ............. .......... ........ ....... ....... ......... ............ ................ ....................... .......................................... .................................................................................................................................................................................. c. Parabolóide Temos que, 2xy + 2yz + 2xz = 0 ⇔ ( x y z ) · 0 1 11 0 1 1 1 0 · xy z = 0 Calculemos agora os autovalores de T : R3 → R3 tal que, [T ]EE = Q = 0 1 11 0 1 1 1 0 (sendo E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} a base ordenada canônica de R3). PT (x) = det x −1 −1−1 x −1 −1 −1 x = x3 − 1− 1− x− x− x = x3 − 3x− 2 = x(x2 − 1− 2)− 2 = x(x2− 1)− 2x− 2 = x(x− 1)(x+ 1)− 2(x+ 1) = (x(x− 1)− 2)(x+ 1) = (x2−x− 2)(x+ 1) = (x− 2)(x+ 1)(x+ 1) = (x− 2)(x+ 1)2 Logo, os autovalores de T são λ1 = −1, λ2 = −1 e λ3 = 2. Seja F = {v1, v2, v3} uma base ordenada ortonormal de R3 formada pelos autovetores de T associados respectivamente aos autovalores λ1, λ2 e λ3. Se, [v]E = xy z e [v]F = XY Z então, ( x y z ) · 0 1 11 0 1 1 1 0 · xy z = 0 ⇔ (X Y Z) · −1 0 00 −1 0 0 0 2 · XY Z = 0 ou seja, −X2−Y 2 + 2Z2 = 0. Essa é a equação de um CONE. Portanto a alternativa correta é a alternativa b. Cone. 3
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