Buscar

EMB5115 - Provas Anteriores

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CAMPUS JOINVILLE
EMB5115 – VIBRAÇÕES
PROVAS ANTERIORES
Formulário
	Newton-Euler
	Raio de giração (): 
Teorema dos eixos paralelos: 
	
1GDL Freqüência natural: ;
Freqüência natural amortecida: ;
Período de oscilação: ;
	
Fator de amortecimento: ;
Decremento logarítmico: .
Rigidez equivalente
 (paralelo) e (série)
Sistema de 1GDL
Resposta livre:
, subamortecido;
, raízes repetidas;
, superamortecido.
Resposta forçada:
Não amortecida: 
Amortecida: 
Resposta em frequência
	 
 
	
Isolamento de vibração
 
 
 
Desbalanceamento rotativo
 
 e 
 
Excitação pela base
 
 e 
 
Múltiplos GDL
 , sendo 
Absorvedor de vibração
 , , , , , 
 e 
Frequências naturais: 
Curva das frequências naturais em função da razão de massa, de um absorvedor sintonizado para .
Sistema de 1GDL
1) 
Uma roda de bicicleta é suportada para girar livre pelo cubo (eixo do centróide). Uma pequena massa, de peso W, é colada no pneu da roda, a uma distância R do eixo de rotação. Quando solta de uma certa altura, a roda oscila , em que se observam 3 ciclos a cada 10s. Determine o momento de inércia da roda/ pneu, com relação ao centróide. Dados: e .
Solução
Momento de inércia da massa + pneu/ roda, em relação ao eixo de rotação: .
	
Newton-Euler
.
Equação de movimento
.
Linearizando-a para :
.
Freqüência natural
.
	
O período de oscilação da roda é:
 e , portanto,
.
2) 
Determinar a freqüência natural do sistema a seguir, considerando que o momento de inércia polar da barra é Jo, com relação ao eixo de rotação em .
Solução
Newton-Euler
.
As relações trigonométricas para e são e , então:
.
Portanto, a freqüência natural do sistema é:
.
3) Determine a frequência natural do sistema a seguir.
Solução
a) Sistema de coordenadas/ D.C.L.
b) 2° lei de Newton
 e (Eq. I)
. (Eq. II)
c) Cinemática (polia)
.
Portanto, pela relação da polia e substituindo a eq. I na eq. II, tem-se:
,
,
d) Condição estática
.
e) Equação de movimento
. Substituindo :
,
.
f) Frequência natural
.
4) A ilustração a seguir representa a vibração de uma estrutura apoiada por duas colunas de concreto. Determine a frequência de oscilação e a máxima amplitude do deslocamento da massa se as condições iniciais são e . Dados: massa , módulo de elasticidade e densidade do concreto, área e momento de inércia de área da seção transversal, comprimento da coluna . Desconsidere as massas das colunas.
Solução
a) Rigidez equivalente
Para o modelo de uma viga em balanço com o grau de liberdade na extremidade livre, tem-se pelo formulário que .
b) Sistema equivalente
Para uma montagem com rigidez em paralelo, a rigidez equivalente do sistema é
c) Sistema de 1GDL
Como a equação do movimento para um 1 GDL não amortecido é , então
 e a frequência natural,
d) Resposta temporal
Para uma solução do tipo e, sua derivada temporal, .
Substituindo as condições iniciais de e ,
Pela equação (II), . Para uma fase de , a amplitude A é:
Assim, a amplitude da vibração (máxima) é de 0,2m, ou seja, como o sistema não é amortecido, o sistema vibra na mesma amplitude da condição inicial de deslocamento (se a condição inicial de velocidade é nula).
5) Um bloco de madeira, com massa M, está preso através de uma mola de rigidez k. Uma bala, de massa m, é disparada com velocidade v contra o bloco. Determine qual é o máximo deslocamento do bloco, se após o choque a bala permanece no bloco. Desconsidere as perdas de energia do impacto.
Solução
Freqüência natural do conjunto bala + massa: .
Considerando a condição inicial como:
· 
.
· Conservação da quantidade de movimento (para determinar a velocidade inicial):
,
.
Supondo uma resposta temporal do tipo: , cuja derivada é:
.
Aplicando as condições iniciais para calcular as constantes da resposta e :
,
 (amplitude do sinal harmônico).
Portanto, o máximo deslocamento () pela resposta é em .
6) 
O esquema seguinte mostra uma turbina hidráulica Francis, cujo rotor (parte girante) tem massa de 250kg com um desbalanceamento de , eixo de diâmetro 10cm e folga radial de 5mm entre rotor e estator (parte não girante). O eixo pode ser considerado engastado no mancal, para o movimento de flexão. A turbina é equipada com um sensor para pará-lo, caso o rotor entre em contato com o estator. Se o sistema opera na ressonância, quanto tempo levaria para ativar o sensor, para uma deflexão radial inicial do rotor de 1mm e velocidade inicial nula. Desconsidere o amortecimento e a massa do eixo. O módulo de elasticidade do eixo é .
	
	· Rigidez Equivalente (viga engastada-livre):
· Momento de inércia de massa (eixo circular):
Solução
Rigidez equivalente
.
Freqüência natural do sistema
.
Como está na ressonância, .
Força de desbalanceamento
Resposta de 1GDL forçada e sem amortecimento (para )
As condições iniciais são e , portanto:
O instante de tempo , em que , é dado por:
Na condição de ressonância sem amortecimento, a amplitude de vibração aumenta com o tempo.
Sistema de 1GDL Amortecido
7) Um disco sólido, de raio e massa , rola sem escorregamento. Determine os valores do coeficiente de amortecimento para que o sistema vibre em regime subamortecido.
Solução
1) 
a) Sistema de coordenadas/ D.C.L.
b) Newton-Euler
Como o disco não escorrega, o ponto O é o Centro Instantâneo de Rotação. Então, a somatória de momentos em relação à O será:
, sendo que . O ponto O terá somente uma aceleração na direção vertical, por causa da trajetória cicloidal:
Portanto, .
c) Momento de inércia de massa
Como , pelo teorema dos eixos paralelos, tem-se
 
d) Equação do movimento
e) Cinemática
Pela relação trigonométrica, e sua derivada no tempo , a equação do movimento é reescrita como:
, linearizando-a,
, então 
f) Parâmetros modais para um sistema de 1GDL
Frequência natural: 
Como o fator de amortecimento é: 
Para que o sistema seja subamortecido , portanto,
, ou seja, .
8) 
Uma porta uniforme está montada com dobradiças que contêm rigidez torsional () e amortecimento torsional viscoso (), que faz com que a porta feche automaticamente após a abertura. A porta tem massa 65kg e momento de inércia no centróide (), com relação a um eixo paralelo à rotação da porta, de 7,5kg.m². A rigidez torsional tem valor de 25Nm/rad e centro de gravidade da porta em G, que coincide com o centro geométrico.
· 
Determine o coeficiente de amortecimento para que o sistema seja criticamente amortecido ().
· Uma pessoa entra chutando a porta (inicialmente fechada) para abri-la. Qual é a velocidade angular inicial para que a porta abra até 75°, considerando o sistema criticamente amortecido?
Solução
a)
Momento de inércia de massa em relação ao eixo de rotação (dobradiça): .
	
Newton-Euler
,
 ou (E.D.M).
	 D.C.L.
Fator de amortecimento
, logo para um (amortecimento crítico):
.
b)
Solução proposta: , cujas derivadas são e .
Substituindo-as na E.D.M,
,
.
Solução trivial: (sem movimento).
Polinômio característico: , cujas raízes são:
.
Portanto, a resposta temporal é da forma:
 e a velocidade
.
Condições iniciais:
 (porta fechada),
 ( é a velocidade angular inicial, dado pelo chute).
Então, a resposta temporal para a condição inicial dada é . O valor máximo da resposta ocorre no instante de tempo em que (no ponto de máximo a derivada da função é zero):
,
.
Assim, substituindo o tempo na resposta e :
,
.
9) 
O bloco de massa m está sobre um outro bloco, de massa M. Determine qual deve ser o menor coeficiente de atrito estático entre os blocos, para que, se o sistema é excitado por uma força na freqüência conhecida ω, não ocorra escorregamento entre blocos. Despreze o atrito entre o bloco M e o chão.
Solução
	Lei de Newton
	D.C.L
A resposta da
excitação forçada (Formulário) é:
, para 
que para este caso, e .
e 
Assim, a amplitude da aceleração do conjunto será de:
	Lei de Newton
	D.C.L. do bloco m (direção x)
Se os blocos movem-se juntos, então as acelerações são as mesmas:
 (a máxima força de atrito estático é )
Para a máxima aceleração:
10) Considere que um sistema cuja mola está montada com pré-carga de e a massa é solta a partir do repouso. Qual a deflexão máxima da mola-amortecedor, se o sistema é criticamente amortecido. Adote-o sem atrito e , , , .
Solução
a) Sistema de coordenadas/ D.C.L.
b) 2° Lei de Newton
.
Pela cinemática, 
E 
Portanto, , que é a velocidade inicial () da massa ao entrar em contato com a mola-amortecedor.
c) Resposta de 1GDL amortecido
Como na condição criticamente amortecida, as raízes são repetidas com , então:
.
Derivando-a no tempo,
. (Equação I)
d) Condições iniciais
Para a condição inicial, a partir da posição de equilíbrio estático: e ,
 e 
.
Então, . E a resposta temporal da massa será:
.
e) Ponto de máximo
O ponto de máximo (ou mínimo) ocorre quando a primeira derivada é igual à zero. Assim, pela eq. I,
,
.
Portanto, o ponto de máximo é:
.
.
Transmissibilidade
11) Uma máquina apoiada por coxins pode ser modelada como um sistema de 1GDL, que é excitada por uma força de amplitude 1500N e faixa de trabalho entre 10 e 25Hz. Se a massa é de 800kg, qual deve ser a rigidez do coxim para que o deslocamento dela seja atenuada (). Adote que o fator de amortecimento gerado pelo coxim no sistema é de 35%.
Solução
a) Sistema de coordenadas/ D.C.L.
b) Resposta em frequência
Como a amplitude normalizada do deslocamento deve ser inferior a um, então
.
As raízes da inequação do segundo grau são obtidas por . Ou ainda,
.
Portanto,
 ou 
Assim, a inequação será verdadeira quando . Então, ou , pois a equação do segundo grau tem concavidade para cima.
Como , então: . Portanto, .
E sendo .
Assim,
.
12) 
O modelo da mesa vibratória a seguir, pode ser considerado como um corpo rígido de massa m e momento de inércia, em relação ao CG, de . O suporte da mesa é através de uma mola de rigidez k e amortecimento c. Se um mecanismo de quatro barras é usado na extremidade B, para transmitir o movimento, como sendo , encontre a expressão para a transmissibilidade de deslocamento e a frequência de maior vibração da mesa. Considere o ponto de equilíbrio estático na horizontal.
Solução
	Newton-Euler
,
,
	D.C.L.
 (E.D.M.), sendo .
A solução da resposta forçada de é:
, substituindo os termos da E.D.M.,
.
Assim, a transmissibilidade de deslocamento é:
.
Freqüência de maior amplitude da transmissibilidade
, para ,
,
.
13) Um leitor envia uma pergunta ao “The Washington Post” descrevendo que utiliza uma máquina de lavar roupa frontal em sua casa no campo, esta de 1896 montada com pisos de madeira sobre as vigas da época, sendo que o piso fica a algumas polegadas acima do chão. Ele afirma que, mesmo na opção de baixa velocidade da máquina, a casa inteira vibra violentamente. O fabricante recomenda que essas máquinas sejam usadas somente em piso de concreto. Discuta o motivo do problema e a solução indicada pelo fabricante. Existem outras soluções possíveis?
https://www.washingtonpost.com
Solução
Durante o funcionamento da máquina de lavar roupa, ela gera uma excitação harmônica sobre o piso na frequência da rotação e, como o piso está suspenso, a estrutura tem alta flexibilidade respondendo à excitação da máquina. Para que a casa vibre com altas amplitudes, a faixa de trabalho da máquina está próxima da frequência natural do sistema, situação em que pequenas perturbações são amplificadas como grandes deslocamentos da massa. Quanto mais próximo a excitação estiver da frequência natural do sistema maior será a amplitude, sendo que quando estiverem muito próximas, a resposta temporal será na forma de um sinal modulado, denominado de batimento. A solução do fabricante em alterar o material e estrutura do piso, aumentaria a massa do sistema, e faria (para um sistema de 1GDL) que a frequência natural diminuísse e reduz a amplificação do movimento vibratório induzido pela excitação. Outras alternativas seriam a introdução de dissipadores de energia, por exemplo, colocando entre máquina e piso um amortecedor (coxins) – isolamento – ou amortecimento interno no próprio piso da casa.
14) Um máquina, de massa 100kg, opera com rotação de 1.200rpm e está apoiada diretamente sobre o piso, gerando uma força neste de 1800N. Foi decidido isolar a máquina do piso através de uma mola e amortecedor, de modo que a máquina não vibre mais do que 1,24mm e a força transmitida ao piso seja menor do que 40%. Determine os valores da rigidez e coeficiente de amortecimento para atender esses requisitos.
Solução
a) Isolamento de vibração
Resposta temporal
Como a resposta da massa, de 1GDL, suportada por uma mola-amortecedor é
 
Em que a frequência de operação é .
Então, a amplitude de vibração para uma frequência ω é
 
(Equação 1) 
Frequência natural
Como , então
 (Equação 2)
b) Transmissibilidade de força
Para força transmitida máxima de 40%, então, . Assim, para .
Cuja função da transmissibilidade é:
 (Equação 3)
Dividindo a equação 1 pela equação 3, tem-se
 (Equação 4)
E substituindo-a na equação 2,
 
 
Rigidez
Portanto, a rigidez do sistema é
 
 
Coeficiente de amortecimento
Pela equação 4,
 
 
 
c) Curvas de transmissibilidade
15) Escreva a equação da transmissibilidade do deslocamento da massa em relação à excitação da base para o sistema a seguir.
Solução
a) Sistema de coordenadas/ D.C.L.
Para ,
b) Segunda lei de Newton
,
. (Equação do Movimento)
c) Resposta temporal
Adotando como solução da resposta temporal do sistema:
,
,
. Portanto, substituindo na equação do movimento,
.
Como a equação anterior é verdadeira para qualquer instante de tempo, , então para , tem-se que
.
,
. (Equação I)
E para , a nova expressão será:
.
Ou seja,
,
,
.
Pela relação fundamental da trigonometria , tem se
,
,
,
.
Logo, substituindo-a na Equação I,
.
d) Transmissibilidade de deslocamento
Assim, a transmissibilidade de deslocamento da massa em relação à excitação da base é
.
Sendo que e . Para a razão de frequência, , reescreve-se para
.
Sistema de Múltiplos GDL
16) 
Um sistema de duas massas, com valores iguais a m, que estão presas através de cabos sem massa, tem uma pré-carga constante de T. Assumindo pequenos deslocamentos e condições iniciais , , e , determine a resposta temporal do conjunto.
Solução
D.C.L.
2° Lei de Newton
.
Linearização
Como para pequenos deslocamentos:
, e , então:
, que na forma matricial, a equação de movimento é:
.
Autovalor
Para uma solução homogênea: e as suas derivadas:
 e .
Substituindo-as na E.D.M.:
,
. (I)
Para que a solução de e não seja trivial:
,
,
 (Polinômio característico).
Assim,
 (autovalores).
Assim, as freqüências naturais são:
 e .
Modos de vibração (Autovetores)
Substituindo os autovalores na equação (I), tem-se:
para ,
,
 .
E para ,
 .
Resposta temporal
Assim, a resposta temporal é:
.
E a velocidade, como a derivada temporal dela:
.
Nas condições iniciais fornecidas pelo problema,
,
,
,
,
então,
.
Somando-se as duas primeiras equações e as duas últimas equações:
	
	
, como não existe um que zera simultaneamente ambas as equações, portanto: .
Analogamente, subtraindo-se as duas primeiras equações e as duas últimas equações:
, assim, e .
A resposta temporal é:
 e 
17) Determine a equação de movimento do sistema a seguir.
Solução
D.C.L. ()
2° Lei de Newton
Na forma matricial,
(Equação Diferencial
do Movimento)
18) Determine as frequências naturais do sistema seguir.
	
	Dados:
 
 
 
, em relação ao centro do disco.
 
 
Solução
a) Sistema de coordenadas/ D.C.L.
b) Newton-Euler
Para e , tem-se no disco:
 
 
E para a massa:
 
Na forma matricial reescreve-se,
 (Equação do movimento)
c) Autovalores
Para uma resposta temporal do tipo: , as derivadas temporais são
 e . Substituindo-as na equação do movimento,
,
.
Então a solução não trivial será para
.
 
 
Portanto,
 (polinômio característico)
E os autovalores são as raízes do polinômio:
 
 
 
 
d) Frequências naturais
Como , então
 e .
19) Determine a equação do movimento matricial do sistema a seguir.
Solução
a) Sistema de coordenadas/ D.C.L.
Para e ,
b) Segunda lei de Newton
,
,
,
.
Assim, o sistema de equações diferenciais será
,
,
,
.
Então, na forma matricial,
.
20) Discuta considerando o problema anterior, como determinar as frequências naturais, frequências naturais amortecidas e modos de vibração do sistema. O que aconteceria nas respostas temporais, se a massa quatro fosse excitada na quarta frequência natural do sistema?
Solução
Os parâmetros modais do sistema podem ser determinados a partir da solução de autovalores e autovetores, em que os autovalores são calculados como as raízes do polinômio característico obtido na substituição da expressão da resposta temporal no sistema de equações diferenciais. Sendo o autovalor, , a parte real é o produto da frequência natural com o fator de amortecimento, enquanto que a parte imaginária é a frequência natural amortecida do modo de vibração i. O valor absoluto dos autovalores fornecem as frequências naturais (não amortecidas) do sistema. Os autovetores são obtidos pela álgebra matricial linear, de modo que , sendo a matriz dinâmica, definida pelas matrizes de massa, rigidez e amortecimento, uma matriz identidade de mesmo tamanho que e os autovetores, que correspondem à forma modal de vibração (relação de amplitudes entre os graus de liberdades) de cada frequência natural. No caso de uma excitação no quarto grau de liberdade, na mesma frequência do quarto modo, todas as massas irão responder somente na frequência deste quarto modo, pois a resposta temporal acompanha a frequência de excitação.
Absorvedor de vibração
21) Um motor de 5kg, montado na extremidade da viga, excita uma vibração por desbalanceamento. Se a rotação de trabalho está próxima da frequência natural do sistema, especifique um absorvedor sintonizado, de modo que a deflexão estática não ultrapasse 0,001m. (Adote a posição de equilíbrio estático da viga na horizontal).
	L=0,8m
	Dados da viga
Resistência a tração:
	
Dureza: 72HB
Limite de escoamento: 18kg/mm2
Solução
 e .
Rigidez Equivalente (rigidez do sistema)
,
,
.
Frequência natural do sistema
.
Como a frequência de trabalho da máquina está próxima da freqüência natural, então o absorvedor será sintonizado na própria frequência natural do sistema.
.
Ou seja,
.
Massa do absorvedor
Pela máxima deflexão estática permitida, devido ao peso do absorvedor, fica:
.
Rigidez do absorvedor
Assim,
,
.
22) Um sistema de tubulação, que transporta vapor em uma indústria alimentícia, vibrava violentamente (máxima vibração) quando era bombeada com rotação de 232rpm pela bomba. Para reduzi-la, colocou-se um absorvedor de vibração no tubo, sintonizado em 232rpm com uma massa de 1kg. Variando a rotação da bomba, determinou-se que o novo sistema tinha uma das ressonâncias na rotação de 198rpm. Determine a massa e rigidez equivalente do sistema original.
Solução
a) Sistema equivalente
b) Frequência natural do sistema original
 
c) Absorvedor sintonizado sobre 
 
Portanto, 
d) Frequências naturais do sistema de 2 GDL
Pelo dado do enunciado, uma das frequências naturais do sistema com o absorvedor é
 .
Assim, a razão de frequências é
.
Pelo gráfico de , verifica-se que para , :
e) Razão de massas
Então, a massa equivalente do sistema original será
.
E como a frequência natural do sistema original é
.
23) Uma mesa montada com uma serra circular tem massa de 74kg. Durante a operação, trabalha com velocidade constante de 180rpm e gera uma força de excitação de 13N. Se a rigidez equivalente da mesa é de 2.600N/m, na horizontal, projete um absorvedor de vibração, de modo que sua amplitude não seja superior a 0,2cm.
Solução
a) Sistema de coordenadas/ D.C.L.
Dados:
, , 
, .
b) Absorvedor de vibração
Para um absorvedor sintonizado na frequência de operação da serra, tem-se
 e 
Então, e 
E 
c) Deslocamento de 
Pela amplitude máxima que o absorvedor pode se deslocar, tem-se que
,
Calculando para o valor positivo do módulo,
,
,
,
.
Como a solução anterior não tem significado físico, pois . Então, calculando para o valor negativo do módulo,
.
.
d) Relação entre massas – cálculo da massa do absorvedor 
.
e) Frequência do absorvedor – cálculo da rigidez do absorvedor 
Como , portanto
.
21
mm
kg
e
m
e
.
1
.
=
GPa
E
200
=
3
.
.
3
L
I
E
k
eq
=
64
.
4
d
I
p
=
2
/
.
A
CG
CG
A
d
m
I
I
+
=
m
N
L
I
E
k
e
equivalent
5
3
10
.
68
,
3
.
3
=
=
s
rad
m
k
e
equivalent
e
equivalent
n
/
37
,
38
250
10
.
68
,
3
5
=
=
=
w
s
rad
n
/
37
,
38
=
=
w
w
(
)
(
)
N
e
m
F
e
O
47
,
1
37
,
38
.
10
.
1
.
.
2
3
2
=
=
=
-
w
n
w
w
=
(
)
(
)
(
)
(
)
t
sen
t
m
F
t
sen
x
t
x
t
x
n
n
n
.
.
.
.
2
.
.
.
cos
.
0
0
w
w
w
w
w
+
+
=
&
m
x
001
,
0
0
=
0
0
=
x
&
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
t
sen
t
t
sen
t
t
x
.
37
,
38
.
.
37
,
38
.
2
250
47
,
1
.
37
,
38
.
37
,
38
0
.
37
,
38
cos
.
001
,
0
+
+
=
*
t
m
k
n
=
w
mm
x
5
=
(
)
(
)
(
)
(
)
*
*
*
*
.
37
,
38
.
.
37
,
38
.
2
250
47
,
1
.
37
,
38
.
37
,
38
0
.
37
,
38
cos
.
001
,
0
005
,
0
t
sen
t
t
sen
t
+
+
=
s
t
06
,
64
*
@
t
k
t
c
G
I
1
=
x
2
0
2
.
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
l
m
I
I
CG
2
1
.
x
w
w
-
=
n
na
q
q
q
&
&
&
.
2
.
.
2
0
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
-
-
=
å
l
m
I
k
c
M
cg
t
t
0
.
.
.
4
.
2
=
+
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
q
q
q
t
t
cg
k
c
l
m
I
&
&
&
0
.
.
.
=
+
+
q
q
q
t
t
O
k
c
I
&
&
&
t
t
eq
eq
eq
k
I
c
k
m
c
.
.
2
.
.
2
0
=
=
x
1
=
x
m
Ns
k
I
c
t
t
75
,
48
.
.
2
0
=
=
(
)
st
e
A
t
.
=
q
(
)
st
e
As
t
.
=
q
&
(
)
st
e
s
A
t
.
.
2
=
q
&
&
a
w
p
t
.
2
=
(
)
(
)
(
)
0
.
.
.
.
.
.
.
.
2
0
=
+
+
st
t
st
t
st
e
A
k
e
s
A
c
e
s
A
I
(
)
(
)
0
.
.
.
.
2
0
=
+
+
st
t
t
e
A
k
s
c
s
I
0
0
..
=
®
=
A
e
A
st
0
.
.
2
0
=
+
+
t
t
k
s
c
s
I
0
0
2
,
1
.
2
.
2
0
I
c
I
c
s
t
t
-
=
±
-
=
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
t
I
c
t
A
t
I
c
A
t
t
t
.
.
2
exp
.
.
.
.
2
exp
.
0
2
0
1
q
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=
t
I
c
A
t
I
c
t
I
c
A
t
I
c
I
c
A
t
t
t
t
t
t
.
.
2
exp
.
.
.
2
exp
.
.
.
2
.
.
.
2
exp
.
.
2
.
0
2
0
0
2
0
0
1
q
&
(
)
0
0
0
0
1
1
=
®
=
+
=
=
A
A
t
q
(
)
0
2
0
2
0
1
.
2
.
0
q
q
q
&
&
&
=
®
=
+
-
=
=
A
A
I
c
A
t
t
0
q
&
critico
c
c
m
k
c
=
=
.
.
2
x
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
t
I
c
t
t
t
.
.
2
exp
.
.
0
0
q
q
&
(
)
0
'
=
t
x
&
(
)
0
'
.
.
2
exp
.
'
.
.
2
exp
'.
.
.
2
.
'
0
0
0
0
0
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=
t
I
c
t
I
c
t
I
c
t
t
t
t
q
q
q
&
&
&
t
t
t
t
c
I
t
t
I
c
t
I
c
t
I
c
0
0
0
0
0
0
0
0
.
2
'
0
'
.
.
2
.
0
'
.
.
2
exp
.
'
.
.
2
.
=
®
=
+
-
®
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
q
q
q
q
&
&
&
&
180
.
75
max
p
q
o
=
(
)
max
0
0
0
0
.
2
.
.
2
exp
.
.
2
.
'
q
q
q
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
t
t
t
c
I
I
c
c
I
t
&
s
rad
e
I
c
t
65
,
3
1
.
.
2
.
1
0
max
0
=
=
-
q
q
&
m
(
)
t
F
F
O
.
cos
.
w
=
(
)
t
F
x
c
x
k
x
m
M
F
O
x
w
cos
.
.
.
.
+
-
-
=
+
=
å
&
&
&
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
-
=
+
1
2
ln
1
.
.
2
j
j
x
x
x
x
p
d
(
)
t
F
x
k
x
c
x
m
M
O
w
cos
.
.
.
.
=
+
+
+
&
&
&
(
)
(
)
(
)
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
+
-
=
-
2
1
2
2
2
0
1
.
.
2
.
cos
.
.
.
2
1
r
r
tg
t
r
r
k
F
t
x
p
x
w
x
(
)
t
F
x
k
x
c
x
m
O
.
cos
'.
'.
'.
'.
w
=
+
+
&
&
&
n
r
w
w
=
m
M
k
n
+
=
w
(
)
(
)
(
)
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
+
-
-
=
-
2
1
2
2
2
1
.
.
2
.
.
.
.
2
1
.
r
r
tg
t
sen
r
r
k
F
t
x
O
p
x
w
x
w
&
(
)
(
)
(
)
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
+
-
-
=
-
2
1
2
2
2
2
1
.
.
2
.
cos
.
.
.
2
1
.
r
r
tg
t
r
r
k
F
t
x
O
p
x
w
x
w
&
&
(
)
(
)
2
2
2
2
.
.
2
1
.
r
r
k
F
x
O
x
w
+
-
=
&
&
1
.
x
m
f
F
x
&
&
=
=
å
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
t
A
t
sen
A
e
t
sen
e
A
t
x
a
a
t
a
t
n
n
.
cos
.
.
.
.
.
.
.
2
1
.
.
.
.
w
w
f
w
w
x
w
x
+
=
+
=
-
-
g
m
N
g
m
N
F
y
.
0
.
=
®
=
-
=
å
(
)
g
m
N
f
t
x
m
x
m
p
.
.
.
.
.
1
m
m
=
£
=
=
&
&
&
&
N
.
m
(
)
g
t
x
p
.
m
£
\
&
&
(
)
(
)
®
£
+
-
=
g
r
r
k
F
X
O
.
.
.
2
1
.
2
2
2
2
m
x
w
&
&
(
)
(
)
2
2
2
2
.
.
2
1
.
.
r
r
k
g
F
O
x
w
m
+
-
³
CG
I
(
)
t
X
x
.
cos
.
w
=
(
)
(
)
(
)
(
)
t
m
F
t
sen
x
t
m
F
x
t
x
n
n
n
n
n
.
cos
.
.
.
.
cos
.
2
2
0
2
2
0
w
w
w
w
w
w
w
w
-
+
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=
&
(
)
d
t
X
d
k
a
a
c
I
M
O
O
.
cos
.
.
.
.
.
w
q
q
q
-
-
-
=
=
å
&
&
&
t
d
X
k
d
k
a
c
I
O
w
q
q
q
cos
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
=
+
+
&
&
&
t
I
d
X
k
I
d
k
I
a
c
O
O
O
w
q
q
q
cos
.
.
.
.
.
.
.
2
2
=
+
+
&
&
&
O
n
n
O
I
d
k
e
I
a
c
2
2
.
.
2
.
=
=
w
w
x
t
F
k
c
m
w
q
q
q
cos
.
'.
'.
'.
=
+
+
&
&
&
(
)
(
)
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
+
-
=
-
2
1
2
2
2
1
.
.
2
.
cos
.
.
.
2
1
'
r
r
tg
t
r
r
k
F
t
x
p
x
w
x
(
)
(
)
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
+
-
=
-
2
1
2
2
2
2
1
.
.
2
.
cos
.
.
.
2
1
1
.
.
1
.
.
.
r
r
tg
t
r
r
I
d
k
I
d
X
k
t
O
O
x
w
x
q
(
)
(
)
2
2
2
.
.
2
1
1
.
r
r
X
d
x
+
-
=
Q
2
*
.
2
1
x
-
=
r
2
2
<
x
O
n
n
O
I
d
k
I
a
c
r
2
2
2
*
.
.
2
.
.
2
1
w
w
w
w
=
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
2
4
2
2
.
2
.
.
O
O
I
a
c
I
d
k
-
=
w
012345678910
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Transmissibilidade - Isolamento de Vibração
Razão de frequência
Transmissibilidade
 
 
Força Ft/F
Deslocamento [mm]
(
)
1
0
1
=
=
t
x
(
)
1
0
2
-
=
=
t
x
(
)
0
0
1
=
=
t
x
&
(
)
0
0
2
=
=
t
x
&
q
ï
î
ï
í
ì
-
-
=
=
+
-
=
=
å
å
3
2
2
2
2
1
1
1
.
.
.
.
.
.
q
q
q
q
sen
T
sen
T
x
m
F
sen
T
sen
T
x
m
F
x
x
&
&
&
&
L
x
sen
1
1
1
=
@
q
q
L
x
x
sen
1
2
2
2
-
=
@
q
q
L
x
sen
2
3
3
=
@
q
q
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-
-
+
=
-
-
+
0
.
.
.
0
.
.
.
2
1
2
2
1
2
1
1
L
x
T
L
x
x
T
x
m
L
x
x
T
L
x
T
x
m
&
&
&
&
þ
ý
ü
î
í
ì
=
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
+
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
0
0
.
2
2
.
0
0
2
1
2
1
x
x
L
T
L
T
L
T
L
T
x
x
m
m
&
&
&
&
(
)
{
}
{
}
st
e
X
t
x
.
=
(
)
{
}
{
}
st
e
s
X
t
x
.
=
&
(
)
{
}
{
}
st
e
s
X
t
x
.
2
=
&
&
þ
ý
ü
î
í
ì
=
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
+
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
0
0
.
.
2
2
.
.
0
0
2
1
2
2
1
st
st
e
X
X
L
T
L
T
L
T
L
T
e
s
X
X
m
m
m
R
28
,
0
=
þ
ý
ü
î
í
ì
=
þ
ý
ü
î
í
ì
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
+
ú
û
ù
ê
ë
é
0
0
.
2
2
.
0
0
2
1
2
X
X
L
T
L
T
L
T
L
T
s
m
m
1
X
2
X
0
2
.
2
.
2
2
=
+
-
-
+
L
T
s
m
L
T
L
T
L
T
s
m
0
.
2
.
2
.
2
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
L
T
L
T
L
T
s
m
L
T
s
m
0
3
4
.
2
2
2
4
2
=
+
+
L
T
s
L
mT
s
m
L
m
T
L
m
T
s
.
.
2
2
2
,
1
±
-
=
L
m
T
n
.
1
=
w
L
m
T
n
.
3
2
=
w
L
m
T
s
.
2
1
-
=
N
W
34
,
3
=
þ
ý
ü
î
í
ì
=
þ
ý
ü
î
í
ì
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
ú
û
ù
ê
ë
é
0
0
.
2
2
.
.
0
0
2
1
2
X
X
L
T
L
T
L
T
L
T
L
m
T
m
m
Þ
þ
ý
ü
î
í
ì
=
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
0
0
21
11
X
X
L
T
L
T
L
T
L
T
1
11
21
1
u
X
X
=
=
L
m
T
s
.
3
2
2
-
=
Þ
þ
ý
ü
î
í
ì
=
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
-
0
0
22
12
X
X
L
T
L
T
L
T
L
T
2
12
22
1
u
X
X
=
-
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
cos
1
~
cos
1
~
j
w
j
w
-
þ
ý
ü
î
í
ì
+
-
þ
ý
ü
î
í
ì
=
þ
ý
ü
î
í
ì
t
u
C
t
u
C
t
x
t
x
n
n
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
.sen
.
1
~
.sen
.
1
~
j
w
w
j
w
w
-
þ
ý
ü
î
í
ì
-
-
þ
ý
ü
î
í
ì
-
=
þ
ý
ü
î
í
ì
t
u
C
t
u
C
t
x
t
x
n
n
n
n
&
&
(
)
(
)
(
)
1
cos
~
cos
~
0
2
2
1
1
1
=
-
+
-
=
j
j
C
C
x
(
)
(
)
(
)
1
cos
.
~
cos
.
~
0
2
2
2
1
1
1
2
-
=
-
+
-
=
j
j
u
C
u
C
x
(
)
(
)
(
)
0
sen
.
~
.sen
.
~
0
2
2
2
1
n1
1
1
=
-
-
-
-
=
j
w
j
w
n
C
C
x
&
(
)
(
)
(
)
0
sen
.
.
~
sen
.
.
~
0
2
2
2
2
1
1
1
1
2
=
-
-
-
-
=
j
w
j
w
u
C
u
C
x
n
n
&
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-
=
+
-
=
-
=
+
0
sen
.
~
sen
.
~
0
sen
.
~
.sen
.
~
1
cos
~
cos
~
1
cos
~
cos
~
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
n1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
j
w
j
w
j
w
j
w
j
j
j
j
n
n
n
C
C
C
C
C
C
C
C
ï
î
ï
í
ì
=
=
0
sen
.
~
.
2
0
cos
~
.
2
1
n1
1
1
1
j
w
j
C
C
1
j
2
0
.
R
m
J
J
total
+
=
0
~
1
=
C
ï
î
ï
í
ì
=
=
0
sen
.
~
.
2
2
cos
~
.
2
2
n2
2
2
2
j
w
j
C
C
0
2
=
j
1
~
2
=
C
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
t
mL
T
t
x
.
3
cos
1
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
t
mL
T
t
x
.
3
cos
2
2
1
x
x
>
(
)
(
)
1
1
2
1
2
1
1
.
.
.
2
.
x
m
x
k
x
x
k
x
x
c
F
x
&
&
&
&
=
-
-
-
-
-
=
å
(
)
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
.
.
x
m
x
x
k
x
x
k
x
x
c
F
x
&
&
&
&
=
-
+
-
+
-
=
å
(
)
(
)
q
q
&
&
.
.
.
.
2
R
m
J
sen
R
W
M
O
O
+
=
-
=
å
þ
ý
ü
î
í
ì
=
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
+
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
+
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
0
0
2
2
2
3
0
0
2
1
2
1
2
1
x
x
k
k
k
k
x
x
c
c
c
c
x
x
m
m
&
&
&
&
&
&
2
/
300
.
70
mm
N
E
=
2
/
25
mm
kg
4
98
,
9
cm
I
zz
=
kg
m
p
5
=
m
001
,
0
max
=
d
4
8
4
10
.
98
,
9
98
,
9
m
cm
I
zz
-
=
=
(
)
(
)
0
.
.
.
.
2
=
+
+
q
q
sen
R
W
R
m
J
O
&
&
2
10
2
10
.
03
,
7
300
.
70
m
N
mm
N
E
=
=
p
eq
k
m
N
x
x
L
EI
k
=
=
=
=
-
17
,
183
.
41
8
,
0
10
.
98
,
9
10
.
03
,
7
3
3
3
8
10
3
s
rad
m
k
p
p
np
76
,
90
0
,
5
17
,
183
.
41
=
=
=
w
s
rad
np
na
76
,
90
=
=
w
w
a
a
a
a
na
m
k
s
rad
m
k
.
76
,
90
76
,
90
2
=
®
=
=
w
kg
x
m
k
g
m
a
p
a
20
,
4
81
,
9
17
,
183
.
41
001
,
0
.
=
=
®
=
d
m
N
x
m
k
a
a
18
,
592
.
34
20
,
4
76
,
90
.
76
,
90
2
2
=
=
=
84
,
0
5
20
,
4
=
=
=
p
a
m
m
m
(
)
q
q
@
sen
(
)
0
.
.
.
.
2
=
+
+
q
q
R
W
R
m
J
O
&
&
2
.
.
R
m
J
R
W
O
n
+
=
w
t
=
Þ
ciclo
s
ciclos
s
3
10
3
10
t
p
w
.
2
=
n
2
2
2
2
2
2
.
2365
,
0
.
.
4
.
.
.
.
.
2
m
kg
R
g
W
R
W
J
R
m
J
R
W
O
O
=
-
=
®
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
t
t
p
q
q
q
q
&
&
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
2
3
1
1
2
1
1
1
O
t
t
O
J
k
k
l
x
k
l
x
k
l
x
k
M
=
-
-
-
-
-
=
å
1
x
2
x
q
.
1
1
l
x
=
q
.
2
2
l
x
=
(
)
0
.
.
.
.
.
2
1
2
2
3
2
1
2
2
1
1
=
+
+
+
+
+
q
q
t
t
O
k
k
l
k
l
k
l
k
J
&
&
(
)
O
t
t
n
J
k
k
l
k
l
k
k
2
1
2
2
3
2
1
2
1
.
.
+
+
+
+
=
w
m
M
k
n
+
=
w
0
=
o
x
(
)
(
)
(
)
0
2
1
.
0
.
.
.
.
v
M
m
M
v
m
v
m
v
m
i
i
i
i
+
=
+
®
=
å
å
v
M
m
m
v
.
0
+
=
(
)
(
)
f
w
+
=
t
sen
A
t
x
n
.
.
(
)
(
)
f
w
w
+
=
t
A
t
x
n
n
.
cos
.
.
&
A
O
O
CG
O
O
a
m
r
I
M
a
m
F
r
r
r
r
r
r
.
.
.
/
´
+
=
=
å
å
a
f
(
)
(
)
0
0
.
0
=
®
=
=
f
f
sen
A
x
(
)
(
)
n
n
v
A
v
A
x
w
f
w
0
0
cos
.
.
0
=
®
=
=
&
(
)
1
.
=
+
f
w
t
sen
n
n
v
M
m
m
A
w
.
+
=

Teste o Premium para desbloquear

Aproveite todos os benefícios por 3 dias sem pagar! 😉
Já tem cadastro?

Outros materiais