MICRO I (Aula 14 - Exc Consumidor, Var Compensatótia, Var Equivalente)

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UFC/FEAAC/DTE Microeconomia I Prof. Henrique Félix Aula 14 
 
O EXCEDENTE DO CONSUMIDOR E OUTRAS MEDIDAS DE BEM-ESTAR 
 
1. EXCEDENTE DO CONSUMIDOR (EC) 
O excedente do consumidor corresponde ao ganho do consumidor medido pela diferença entre 
o seu preço de reserva1 e preço que ele efetivamente paga pela quantidade do bem demandado. 
Graficamente, o EC é definido como a área sob a curva de demanda marshalliana (ordinária) 
e acima da linha de preço pago pelo consumidor. Esta área fornece a utilidade do consumo do 
bem em questão. 
Observe que no caso de uma função demanda linear (como no gráfico abaixo), é fácil 
determinar o EC calculando a área do triângulo ApB. 
 
Cálculo do Excedente do Consumidor (EC) 
Suponha uma função demanda inversa contínua e diferenciável 𝒑(𝒙) . O excedente do 
consumidor é dado por: 
𝑬𝑪 = ∫ [𝒑(𝒙) − 𝒑]
�̅�
𝟎
𝒅𝒙 = ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 − 𝒑 ∫ 𝒅𝒙 =
�̅�
𝟎
�̅�
𝟎
∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 − 𝒑�̅�
�̅�
𝟎
 
onde: 
𝑝(𝑥) é a função demanda inversa; 
𝑝 é o preço pago 
 
1 A expressão “preço de reserva” tem origem no mercado de leilões. Num leilão, cada item tem um preço mínimo pelo qual 
o leiloeiro está disposto a vendê-lo. Se o preço oferecido por um comprador for abaixo deste preço mínimo, o leiloeiro se 
reserva o direito de comprar este item ele mesmo. Este preço ficou conhecido como preço de reserva do vendedor e passou 
a descrever o preço pelo qual alguém está exatamente disposto a comprar ou vender alguma coisa. (VARIAN, 2012) 
�̅� é a quantidade consumida 
Exemplo Numérico 
Considere o mercado de um bem hipotético, cujas funções demanda e oferta são, 
respectivamente, 𝑝(𝑄) = 400 − 10𝑄 e 𝑝(𝑄) = 25 + 𝑄2. 
O ponto de equilíbrio deste mercado é (𝑄∗, 𝑝∗) = (15, 250). 
O EC neste caso é: 
𝐸𝐶 = ∫ [𝑝(𝑄) − 𝑝∗]
�̅�
0
𝑑𝑄
= ∫ [400 − 10𝑄 − 250]𝑑𝑄 =
15
0
∫ [150 − 10𝑄]𝑑𝑄
15
0
= 150 ∫ 𝑑𝑄 − 10 ∫ [𝑄]𝑑𝑄
15
0
15
0
= [150𝑄 − 5𝑄2]|0
15 = 150𝑄|0
15 − 5𝑄2|0
15
= 150(15) − 150(0) − 5(152) + 5(02) = 1125 
 
2. VARIAÇÃO DO EXCEDENTE DO CONSUMIDOR (𝑽𝑬𝑪) 
 
A Variação do Excedente do Consumidor (𝑽𝑬𝑪) revela as variações do nível de bem-estar 
do consumidor em termos de perdas ou ganhos após alguma mudança nos preços, de uma 
incidência de impostos ou de outras políticas que impactam sobre o preço de um bem no 
mercado. 
Por exemplo, a incidência de um imposto sobre o consumo do bem x, que eleva o preço de p0 
para p1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que no caso de uma cobrança de imposto sobre a venda do bem, seu preço aumenta e 
a VEC será negativa (𝑉𝐸𝐶 < 0), indicando que houve perda de bem-estar. Por outro lado, no 
Cecilia
Realce
caso da aplicação de um subsídio, o preço se reduz e a VEC será positiva (𝑉𝐸𝐶 > 0), 
indicando que a política beneficiou o consumidor. 
 
No gráfico abaixo, a VEC pode ser decomposta em duas subáreas: 
(1) área A, que representa a perda gerada relativa às quantidades do bem consumidas; e, 
(2) área B, que representa a perda gerada relativa às quantidades do bem que deixam de ser 
consumidas. 
 
 
A Variação do Excedente do Consumidor, VEC é dada por: 
𝑽𝑬𝑪 = 𝑬𝑪(𝒑𝟏) − 𝑬𝑪(𝒑𝟎) = ∫ [𝒑(𝒙) − 𝒑𝟏]
𝒙𝟏
𝟎
𝒅𝒙 − ∫ [𝒑(𝒙) − 𝒑𝟎]
𝒙𝟎
𝟎
𝒅𝒙 
Expandindo-se esta expressão, têm-se, 
= ∫ 𝑝(𝑥)
𝑥1
0
𝑑𝑥 − 𝑝1 ∫ 𝑑𝑥
x1
0
− ∫ 𝑝(𝑥)
𝑥0
0
𝑑𝑥 + 𝑝0 ∫ 𝑑𝑥
x0
0
 (1) 
Note que o terceiro termo em (1) pode ser reescrito como 
∫ 𝑝(𝑥)
𝑥0
0
𝑑𝑥 = ∫ 𝑝(𝑥)
𝑥1
0
𝑑𝑥 + ∫ 𝑝(𝑥)
𝑥0
𝑥1
𝑑𝑥, (2) 
Substituindo-se em (1), tem-se, 
𝑉𝐸𝐶 = ∫ 𝑝(𝑥)
𝑥1
0
𝑑𝑥 − 𝑝1 ∫ 𝑑𝑥
x1
0
− (∫ 𝑝(𝑥)
𝑥1
0
𝑑𝑥 + ∫ 𝑝(𝑥)
𝑥0
𝑥1
𝑑𝑥) + 𝑝0 ∫ 𝑑𝑥
x0
0
 (3) 
Que resulta em, 
𝑉𝐸𝐶 = − [∫ [𝑝(𝑥)]
𝑥0
𝑥1
𝑑𝑥 + 𝑝1𝑥1 − 𝑝0𝑥0] (4) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo Numérico: 
Dados: 
𝑝(𝑥) = 10 −
𝑥
2
 
𝑝0 = 2 → 𝑥0 = 16 
𝑝1 = 3 → 𝑥1 = 14 
𝑉𝐸𝐶 = − [∫ [𝑝(𝑥)]
𝑥0
𝑥1
𝑑𝑥 + 𝑝1𝑥1 − 𝑝0𝑥0] 
𝑉𝐸𝐶 = − [∫ (10 −
𝑥
2
)
16
14
𝑑𝑥 + (3.14 − 2.16)] = − [10 ∫ 𝑑𝑥
16
14
−
1
2
∫ 𝑥𝑑𝑥 + 10
16
14
]
= − [10𝑥|14
16 −
1
2
𝑥2
2
|14
16 + 10] = − [10(16 − 14) −
1
4
(162 − 142) + 10]
= − [20 −
60
4
+ 10] = −[20 − 15 + 10] = −15 
 
Observação: 
Usando-se a função demanda ordinária, 𝑥(𝑝) = 20 − 2𝑝 , a VEC é calculada com a integral no 
preço, 
𝑉𝐸𝐶 = ∫ 𝑥(𝑝)𝑑𝑝 = ∫ [20 − 2𝑝]𝑑𝑝 = [20(3 − 2) − (32 − 22)] = 15 > 0
3
2
𝑝1
𝑝0
 
Mas o exemplo é de um aumento do preço, logo a VEC deveria ser negativa. Para resolver isto, 
deve-se inverter os limites de integração, 
𝑉𝐸𝐶 = ∫ 𝑥(𝑝)𝑑𝑝 = ∫ [20 − 2𝑝]𝑑𝑝 = [20(2 − 3) − (22 − 32)] = −15
2
3
𝑝0
𝑝1
< 0 
Assim, chega-se ao mesmo resultado anterior com a função demanda inversa. Pode-se concluir 
que a medida da VEC é a mesma tanto com a demanda ordinária (usando-se os preços como 
limites da integração) quanto com a demanda inversa (usando-se as quantidades como limites 
da integração), ou seja, 𝑉𝐸𝐶[𝑝(𝑥)] = 𝑉𝐸𝐶[𝑥(𝑝)]. 
 
3. VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA (VC) 
 
A Variação Compensatória (VC) é uma medida monetária que representa a variação de renda 
que seria necessária para deixar o consumidor tão bem quanto antes de uma variação de preço, 
ou seja, para levá-lo à curva de indiferença original, ou ainda, para compensá-lo pela variação 
do preço. É dada pelo negativo da Compensação Hicksiana na renda. 
Cecilia
Realce
No caso de uma elevação do preço do bem, há redução do nível de bem-estar do consumidor e, 
portanto, a VC é negativa. Caso contrário, o nível de bem-estar aumenta e a VC é positiva. 
 
 
Observação: Usando-se as funções utilidade indireta e dispêndio mínimo, pode-se definir a VC 
como abaixo. No mesmo nível de bem-estar anterior, têm-se, 
𝑣(𝑝1, 𝑀 − 𝑉𝐶) = 𝑣(𝑝0, 𝑀) 
𝑒(𝑝1, 𝑣(𝑝1, 𝑀 − 𝑉𝐶)) = 𝑒(𝑝1, 𝑣(𝑝0, 𝑀)). 
𝑒(𝑝1, 𝑣(𝑝1, 𝑀 − 𝑉𝐶)) = 𝑀 − 𝑉𝐶 
𝑽𝑪 = 𝑀 − 𝒆(𝒑𝟏, 𝒗(𝒑𝟎, 𝑀)) 
 
Exemplo Numérico de Cálculo da VC 
Um consumidor encara uma função utilidade 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
1/2
𝑥2
1/2
, paga, originalmente, os 
preços ($1,$1) e tem uma renda de $100. Suponha uma incidência de impostos indiretos que 
eleva o preço do bem 1 para $2. Calcule a variação compensatória. 
A solução do PMU neste caso resulta em: 
(1) Antes da incidência do imposto, 
𝑥1
∗ =
𝑀
2𝑝1
=
100
2(1)
= 50 e 𝑥2
∗ =
𝑀
2𝑝2
=
100
2(1)
= 50 
(2) Após a incidência do imposto, 
𝑥1
∗∗ =
𝑀
2𝑝1
=
100
2(2)
= 25 e 𝑥2
∗∗ =
𝑀
2𝑝2
=
100
2(1)
= 50 
Cecilia
Realce
Para manter o nível de utilidade anterior à variação de preço, iguala-se as utilidades máximas 
antes e após a variação do preço do bem 
𝑈(𝑥1
∗, 𝑥2
∗) = 𝑈(𝑥1
∗∗, 𝑥2
∗∗) 
𝑈(50, 50) = 𝑈 (
𝑀
2𝑝1
,
𝑀
2𝑝2
) 
50
1
250
1
2 = (
𝑀
2(2)
)
1
2
(
𝑀
2(1)
)
1
2
 
50 =
𝑀
√4√2
 → 𝑀 = 100√2 → 𝑀 = 141,42 
𝑉𝐶 = (100 − 141,42) = −41,42 
 
Conclusão: se, após o imposto, a renda do consumidor fosse de $141,42, ele estaria tão bem 
quanto com a renda inicial de $100 pagando os preços originais (antes do imposto) e manteria 
o mesmo nível de bem-estar anterior (na mesma curva de indiferença original). 
 
4. VARIAÇÃO EQUIVALENTE (VE) 
 
A Variação Equivalente (VE) é uma medida monetária que representa a variação de renda que 
o consumidor estaria disposto a abrir mão para evitar a variação de preço, ou seja, para que sua 
escolha na curva de indiferença posterior possa deixa-lo com o mesmo nível de bem-estar de 
antes da variação no preço, ou ainda, para compensá-lo pela variação do preço. 
No caso de uma elevação do preço, uma vez que prejudica o consumidor, a VE é negativa. Caso 
contrário será positiva. 
 
Cecilia
Realce
Observação: Usando-se as funções utilidade indireta e dispêndio mínimo, pode-se definir a VC 
como abaixo. No mesmo nível de bem-estar anterior, têm-se, 
𝑣(𝑝1, 𝑀) = 𝑣(𝑝0, 𝑀 + 𝑉𝐸) 
𝑒(𝑝1, 𝑣(𝑝1, 𝑀)) = 𝑒(𝑝0, 𝑣(𝑝0, 𝑀 + 𝑉𝐸)) 
𝑒(𝑝0, 𝑣(𝑝0, 𝑀 + 𝑉𝐸)) = 𝑀 + 𝑉𝐸 
𝑽𝑬 = 𝒆(𝒑𝟎, 𝒗(𝒑𝟎, 𝑴 + 𝑽𝑬))− 𝑴 
 
Exemplo Numérico de Cálculo da VE 
No mesmo exemplo da Cobb-Douglas acima, 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
1/2
𝑥2
1/2
, tem-se: 
Para manter o nível de utilidade posterior à variação de preço, 
𝑈(𝑥1
∗, 𝑥2
∗) = 𝑈(𝑥1
∗∗, 𝑥2
∗∗) 
𝑀
2
1/2 𝑀
2
1/2
= 251/2501/2 → 𝑀 ≅ 70 
𝑉𝐸 = (70 − 100) = −30 
 
Conclusão: o consumidor estaria disposto a pagar (reduzir sua renda) em $30 para não encarar 
a elevação do preço do bem 1 via imposto. De outra maneira, se o consumidor tivesse uma 
renda de $70 aos preços originais, estaria tão bem quanto com uma renda de $100 aos novos 
preços, ou seja, estaria com o mesmo nível de bem-estar posterior ao da variação de preço. 
 
Observação: 
Se a mudança de preço melhora a situação de bem-estar do indivíduo, então: 𝑉𝐶 > 0 𝑒 𝑉𝐸 >
0. Caso contrário, isto é, se piora, então, 𝑉𝐶 < 0 𝑒 𝑉𝐸 < 0. 
Note que o sinal de VC e VE é igual ao sinal de VEC. Assim, 
• Se o bem-estar melhora ⟹ 𝑉𝐶 > 0, 𝑉𝐸 > 0 𝑒 𝑉𝐸𝐶 > 0 
• Se o bem-estar piora ⟹ 𝑉𝐶 < 0, 𝑉𝐸 < 0 𝑒 𝑉𝐸𝐶 < 0 
 
5. PREFERÊNCIAS QUASE-LINEARES 
No caso de funções utilidade quase-lineares, onde a demanda por um dos bens não depende da 
renda, as medidas VC e VE são iguais, V𝐶 = 𝑉𝐸 
Cecilia
Realce
Cecilia
Realce
 
 
6. O EXCEDENTE DO PRODUTOR 
 
 
O excedente do produtor pode ser medido pela área acima da função oferta e abaixo do nível 
de preço efetivamente praticado. 
𝐸𝑃 = 𝑝𝑠
∗𝑥∗ − ∫ 𝑝𝑠(𝑥)
𝑥∗
0
𝑑𝑥 
 
A Variação do Excedente do Produtor (VEP) 
𝑉𝐸𝑃 = 𝐸𝑃1 − 𝐸𝑃2 = [𝑝
′′𝑥′′ − ∫ 𝑝𝑠(𝑥)𝑑𝑥
𝑥′′
0
] − [𝑝′𝑥′ − ∫ 𝑝𝑠(𝑥)𝑑𝑥
𝑥′
0
] = 
= [𝑝′′𝑥′′ − 𝑝′𝑥′] − {∫ 𝑝𝑠(𝑥)𝑑𝑥
𝑥′
0
+ ∫ 𝑝𝑠(𝑥)𝑑𝑥
𝑥′′
𝑥′
} + ∫ 𝑝𝑠(𝑥)𝑑𝑥
𝑥′
0
 
𝑽𝑬𝑷 = [𝒑′′𝒙′′ − 𝒑′𝒙′] − ∫ 𝒑𝒔(𝒙)𝒅𝒙
𝒙′′
𝒙′
 
 
 
Cecilia
Realce
Cecilia
Realce
Literatura: 
VARIAN, Hal R. (2012) Cap. 14 
RESENDE, José G. de L. (Notas de Aula 10 e 11) 
JEHLE & RENY (2001) 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Considere o mercado competitivo para um bem qualquer com as seguintes funções de 
demanda e oferta de mercado: 
Demanda: P = 400 – 10Q 
Oferta: P = 25 + Q² 
Onde P é o preço do bem e Q é a quantidade demandada do bem. 
Responda as questões abaixo: 
(a) Qual o preço e a quantidade de equilíbrio desse mercado? 
(b) Calcule o excedente do consumidor nesse mercado. 
(c) Calcule o excedente do consumidor após o governo fixar o máximo de unidades 
vendidas em apenas 10. 
 
2. Considere o mercado competitivo para um bem qualquer com as seguintes funções demanda 
e oferta: 
Demanda: P = a – Q² 
Oferta: P = 3Q² 
Onde “a” é uma função qualquer da renda agregada dos consumidores nesse mercado. 
Responda as questões abaixo: 
(a) Qual o preço e a quantidade de equilíbrio? 
(b) Calcule o excedente do consumidor. 
(c) Suponha a = R/3, onde “a” é a renda agregada dos consumidores nesse mercado. 
Suponha que R=4. Qual a variação no excedente do consumidor quando a renda 
agregada dos consumidores aumenta? 
 
3. Suponha que certo modelo de mercado possui as funções de demanda e oferta dadas, 
respectivamente, por: P = 14 – Q²d e P = 2 + Q0. Nessas condições, calcule o excedente do 
consumidor. 
 
4. Suponha que uma mercadoria Q tenha uma função demanda inversa p = 3⋅q-1/2 e que 
atualmente são vendidas 100 unidades. Qual é o excedente do consumidor desta 
mercadoria? 
 
5. Suponha um consumidor com uma função utilidade U(x1, x2) = x1
1/2
x2
1/2
. Originalmente, 
ele se defronta com os preços ($1,$1) e tem uma renda de $100. No momento seguinte o 
preço do bem 1 aumenta para $2. Determine as variações compensatória e equivalente. 
 
6. A função utilidade quase-linear de um consumidor é dada por 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = √𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 . 
Suponha que o preço do bem 1 varie de p1
0 para p1
1. Pede-se: 
(a) Encontre a expressão da Variação Compensatória (VC); 
(b) Encontre a expressão da Variação Equivalente (VE); 
(c) O que há em comum entre os resultados dos itens anteriores?