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•• JOSÉJOSÉ JÚLIO MJÚLIO M NOGUEIRANOGUEIRA SOARESSOARES Engenheiro Civil e Antigo Professor EfectivoEngenheiro Civil e Antigo Professor Efectivo dodo LiceuLiceu ARITMÉTICAARITMÉTICA RACIONALRACIONAL A.PBOVA.PBOVA.DA.A.DA. O F I C I O F I C I L M E NL M E N T ET E PA.BA.PA.BA. OO 11..00 A.NOA.NO DOSDOS L I C E U SL I C E U S a.•a.• I DIOAOI DIOAO 1111 aa Edições Edições M M A A RR ÂÂ N U SN U S 174 R.174 R. dosdos MártiresMártires da Liberdade 178da Liberdade 178 TelefoneTelefone 798798 PõrtoPõrto RITRITMÉTMÉTIC IC R R CICION ON LL M M R Â N U SR Â N U S CompostoComposto ee impressoimpresso nnaa EMPRÊSAEMPRÊSA INDIND GRÁFICAGRÁFICA DDOO PÔRTOPÔRTO AA 174174 RR MártiresMártires da Liberdadeda Liberdade 178178 : : : : :: : : : : TelefoneTelefone 27982798 : : : : : : :: : : : : : : JOSÉJOSÉ JÚLIOJÚLIO M.M. NOGUEIRANOGUEIRA SOARESSOARES EngenheiroEngenheiro CivilCivil ee AntigoAntigo ProlasProlas oror EleclivoEleclivo dodo LiceuLiceu J \RJJ \RJ \ lÉT\ lÉT CC ftt\ftt\ JJOO 1 1 11 t t ll PARAPARA OO ANOANO DOSDOS LICEUSLICEUS 2 2 aa E I Ç Ã OE I Ç Ã O 942942 EdiçõesEdições MARÃNUSMARÃNUS 174 R.174 R. dosdos MártiresMártires dada LiberdadeLiberdade 178178 TelefoneTelefone 27982798 -- PôrtoPôrto PROGR MPROGR M TeoriTeoria a dos números dos números inteiinteiros ros conside-conside- r dosr dos como representando colecções decomo representando colecções de objeobjectoctos s idêidênticnticos os e e das das suas suas operoperaçõeações.s. Divisibilidade. NúmerosDivisibilidade. Números primosprimos MáximoMáximo divisor comum edivisor comum e menormenor múltiplomúltiplo comum.comum. Teoria dos números fraccionários e dasTeoria dos números fraccionários e das suas operações.suas operações. A Matemática representa um dos maisA Matemática representa um dos mais elevados exercícios do espírito e o instru-elevados exercícios do espírito e o instru- mento mais eiicaz para o progresso mentalmento mais eiicaz para o progresso mental e moral do homeme moral do homem HH WIELEITNERWIELEITNER PRIMEIR PRIMEIR P P RTERTE NÚMEROSNÚMEROS INTEIROS EINTEIROS E SU SSU S OPER ÇÕESOPER ÇÕES CAPÍTULOCAPÍTULO II Definição deDefinição de númerosnúmeros inteiros. Numeração.inteiros. Numeração. 11 TôdasTôdas as ciências têmas ciências têm porpor fundamentofundamento aa obser-obser- vaçãovação ee estudoestudo ddoo mundomundo queque nosnos rodeia.rodeia. ÉÉ variável avariável a extensãoextensão dêstedêste fundamento;fundamento; se ciências háse ciências há que quási seque quási se limitam a verificar a existêncialimitam a verificar a existência dosdos fenómenos, tão comfenómenos, tão com plexos êles seplexos êles se nosnos afiguram,afiguram, outrasoutras jájá conseguem formu-conseguem formu- larlar leisleis oouu princípiosprincípios comcom maiormaior oouu menormenor generalidade.generalidade. Entre tôdas,Entre tôdas, aa que menor númeroque menor número de noçõesde noções necessitanecessita ddoo mundomundo exterior é a matemática.exterior é a matemática. 2. 2. O O edifícedifícioio ddaa aritméticaaritmética podepode basear-se exclubasear-se exclu sivamentesivamente nnaa noção denoção de númeronúmero inteiro.inteiro. ParaPara definirdefinir númeronúmero inteirointeiro consideramosconsideramos intuitivas asintuitivas as noçõesnoções de:de: Colecção ou grupo de objectosColecção ou grupo de objectos 11 .. AusênAusência cia complecompleta dta de objectos e objectos o o que que corres-corres- pondeponde àà não existência da colecção).não existência da colecção). L)L) A expressãoA expressão colecção de objectoscolecção de objectos traduztraduz jájá a verificaçãoa verificação duma propriedade ou circunstância comuns a todos os objectos, querduma propriedade ou circunstância comuns a todos os objectos, quer sejam relativassejam relativas àà semelhança,semelhança, àà localização localização no no espaespaçoço oouu nono tempo),tempo), aoao fimfim a que se destinam, etc.a que se destinam, etc. 11 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL Objecto isolado.Objecto isolado. Correspondência entre objectosCorrespondência entre objectos dede colecçõescolecções diferentes.diferentes. ÀÀ inexistência da colecção,inexistência da colecção, oouu ausência de objectos,ausência de objectos, dizemos que corresponde o númerodizemos que corresponde o número zerozero ao objectoao objecto isolado fazemos corresponder o númeroisolado fazemos corresponder o número umum Se a um objecto juntarmos outro, diremos queSe a um objecto juntarmos outro, diremos que resulta uma colecçào deresulta uma colecçào de doisdois objectos, teremos o númeroobjectos, teremos o número dois;dois; sese àà colecção de dois objectos juntarmos aindacolecção de dois objectos juntarmos ainda outrooutro teremos uma colecção deteremos uma colecção de trêstrês objectos, resultaráobjectos, resultará o númeroo número três.três. Pela adição sucessiva dum objecto criaremos osPela adição sucessiva dum objecto criaremos os números quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, etc.; formanúmeros quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, etc.; forma remos assim a chamadaremos assim a chamada série naturalsérie natural dosdos números,números, sucessão ilimitada pois que a operação se pode repetirsucessão ilimitada pois que a operação se pode repetir indefinidamenteindefinidamente .. 33. . Fazemos Fazemos assassim im corcorrerespospondnder er a a uma uma colecçãocolecção ddee objectos um número.objectos um número. ComoComo vimos, partindo dum objectovimos, partindo dum objecto isolado e adicionando-lhe sucessivamente um objecto,isolado e adicionando-lhe sucessivamente um objecto, podemos obter uma determinada colecção a que correspodemos obter uma determinada colecção a que corres ponde também um determinado número ; inversamente,ponde também um determinado número ; inversamente, dadadada uma colecção, podemos destacar um objecto euma colecção, podemos destacar um objecto e juntar-lhe sucessivamentejuntar-lhe sucessivamente todostodos osos outros;outros; diz-se quediz-se que contamoscontamos os objectos. O resultado da contagem dosos objectos. O resultado da contagem dos 1)1) Se considerarmos o número inteiro afastado da sua signifiSe considerarmos o número inteiro afastado da sua signifi cação concreta, tomando-o assim apto para representar não só umacação concreta, tomando-o assim apto para representar não só uma determinada colecção, mas outras, teremos odeterminada colecção, mas outras, teremos o número abstractonúmero abstracto eleele mento da sucessão natural, enfim omento da sucessão natural, enfim o número natural.número natural. PRIMEIRAPRIMEIRA PARTEPARTE objectos duma colecção é pois o número que lhe corresobjectos duma colecção é pois o número que lhe corres ponde.ponde. 4.4. Para contar teremos de seguir uma certa ordem;Para contar teremos de seguir uma certa ordem; a noção de ordem, fundamental em matemática, estáa noção de ordem, fundamental em matemática, está pois intimamente associadapois intimamente associada àà definição de númerodefinição de número inteirointeiro 11 .. 55. . A A igualdade igualdade e e desigualdade desigualdade de de números inteirosnúmeros inteiros fundamenta-se na noção de correspondência de objectos.fundamenta-se na noção de correspondência de objectos. Se duas colecções são tais que a cada objecto duma corSe duas colecções são tais que a cada objecto duma cor responde um objecto da outra e reciprocamente, diremosresponde um objecto da outra e reciprocamente, diremos que os números que lhe atribuímosque os números que lhe atribuímos sãsã iguaisiguais asas coleccolec ções têm o mesmo número de objectos. Caso contrário,ções têm o mesmo número de objectos. Caso contrário, são desiguais; se na primeira colecçãosão desiguais; se na primeira colecção háhá objectos queobjectos que não têm correspondentes na segunda, diremos que aquelanão têm correspondentes na segunda, diremos que aquela tem mais objectos que esta; o númerocorrespondentetem mais objectos que esta; o número correspondente àà primeiraprimeira éé maior que o correspondente à segunda, oumaior que o correspondente à segunda, ou êsteêste éé menor que aquele.menor que aquele. Exprime-se que dois números, representados pelasExprime-se que dois números, representados pelas l)l) NaNa série natural: um, dois, três, quatro, cinco, seissérie natural: um, dois, três, quatro, cinco, seis •• oo número quatronúmero quatro cardinal)cardinal) é é oo quarto ordinal),quarto ordinal), figura em quarto lugar;figura em quarto lugar; o número cincoo número cinco éé oo quintoquinto etc.etc. Os números naturais podem assim ser considerados no sentidoOs números naturais podem assim ser considerados no sentido colectivo colectivo cardinal)cardinal), , e e no no sensentidtidoo ordinal-ordinal- tendo em vista o lugar quetendo em vista o lugar que ocupam na sérieocupam na série natural-natural- sentido sentido loclocal)al). . Esta libertação da pluralidadeEsta libertação da pluralidade representa mais uma abstracção, por assim dizer uma primeira extensãorepresenta mais uma abstracção, por assim dizer uma primeira extensão da ideia de númda ideia de número. ero. Para determinar o número correspondente aPara determinar o número correspondente a umum grupo, bastará então comparar êste com agrupo, bastará então comparar êste com a sucessãosucessão natural,natural, istoisto é,é, contá-lo; pode interessar-nos muitas vezes o número cardin.al, mas êstecontá-lo; pode interessar-nos muitas vezes o número cardin.al, mas êste exprime-se segundo o modo ordinal.exprime-se segundo o modo ordinal. 22 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL {etras{etras aa ee bb oouu mais simplesmente os númerosmais simplesmente os números aa ee b)b) são iguais, pela relaçãosão iguais, pela relação igualdade}igualdade} aa bb 1)1) Se os números sãoSe os números são desiguais-desiguais- aa maior quemaior que bb ouou óó menormenor que que escreveremos escreveremos asas desigualdadesdesigualdades aa>> bb oouu bb << aa 22 )) NumeraçãoNumeração 66. . Consiste a Consiste a numnumeraeração ção no no estabelecimento estabelecimento dede símbolos e convenções que facilitemsímbolos e convenções que facilitem àà inteligência a coninteligência a con preensão e percepção dos números, permitindo a suapreensão e percepção dos números, permitindo a sua fácil leitura e escritafácil leitura e escrita 3).3). ExporemosExporemos porpor agoraagora o sistema de numeração chao sistema de numeração chamadomado decimal.decimal. A numeração diz-seA numeração diz-se escritaescrita ouou faladafalada conforme asconforme as regrasregras que a estabelecem se destinam a escrever ouque a estabelecem se destinam a escrever ou propro nunciar um númeronunciar um número dado.dado. I)I) O sinalO sinal == ,, exprimindo igualdade,exprimindo igualdade, foifoi proposto pelo inglêsproposto pelo inglêsRobert Recorde em 1557 na sua ÁlgebraRobert Recorde em 1557 na sua Álgebra The WhetstoneThe Whetstone oojj Wite.Wite. Anteriormente empregavam-se para êsteAnteriormente empregavam-se para êste fimfim palavras comopalavras como aequales,aequales, nequnequantantur, jaur, jaciunciuntt e também a forma abreviadae também a forma abreviada aeq.aeq. 2)2) Os sinais de desigualdadeOs sinais de desigualdade >> ee << )) aparecem pela primeiraaparecem pela primeira vez no livrovez no livro Artis AnalyticaeArtis Analyticae PraxisPraxis do inglês Thomas Harriot, publido inglês Thomas Harriot, publi cado em 1631.cado em 1631. 3)3) ÉÉ evidente a necessidade da numeração, dada a impossibilievidente a necessidade da numeração, dada a impossibili dade de se fixarem muitas palavras e símbolos para designar os difedade de se fixarem muitas palavras e símbolos para designar os dife rentes números.rentes números. PRIMEIR PRIMEIR P P RTERTE 1313 ConhecemosConhecemos jájá a significação dos númerosa significação dos números zero,zero, umum dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito,dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove.nove. Se juntarSe juntar mosmos umum unidadeunidade dede ordem zero,ordem zero, oouu simplesmente asimplesmente a unidadeunidade a nove, obtemos um número a que chamaremosa nove, obtemos um número a que chamaremos dez, uma dezena,dez, uma dezena, ouou uma unidadeuma unidade dede primeira ordem;primeira ordem; ââ umum grupogrupo de dez dezenas chamaremos cem, uma centenade dez dezenas chamaremos cem, uma centena oouu uma unidade de segundauma unidade de segunda ordem;ordem; umum grupogrupo ddee dezdez centenas será um milhar ou uma unidade de terceiracentenas será um milhar ou uma unidade de terceira ordem, e assim sucessivamente.ordem, e assim sucessivamente. Os números correspondentes a uma determinadaOs números correspondentes a uma determinada colecção poderão pois exprimir-se simplesmentecolecção poderão pois exprimir-se simplesmente porpor números inferiores a dez (números dígitos), representandonúmeros inferiores a dez (números dígitos), representando unidades de diferentes ordens.unidades de diferentes ordens. Ex :Ex : QuatroQuatro milhares, trez centenas, duas dezenas e setemilhares, trez centenas, duas dezenas e sete unidades.unidades. 7. 7. Resta Resta estabestabeleceelecerr asas normas normas da numeração escritda numeração escrita.a. Em primeiro lugar representaremos os númerosEm primeiro lugar representaremos os números zero, um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove,,zero, um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove,, respectivamente pelos símbolosrespectivamente pelos símbolos algarismos)algarismos) ((11 :: oo 1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9 1)1) O nomeO nome dede algarismo deriva dealgarismo deriva de AIAI karismi ou tambémkarismi ou também Alhwarazmi, diferentes nomes por que foi conhecido Mohamed BenAlhwarazmi, diferentes nomes por que foi conhecido Mohamed Ben Musa, matemático árabe, astrónomo e geógrafo do califa de Bagdad,Musa, matemático árabe, astrónomo e geógrafo do califa de Bagdad, AIAI mansur (813 a 833);mansur (813 a 833); foifoi autor da famoautor da famosa sa obra Algebr W obra Algebr W al al muqabalahmuqabalah oo que significa aproximadamenteque significa aproximadamente ampliaçõesampliações ee igualdades)igualdades) de cujode cujo título nasceu o nome de Álgebra.título nasceu o nome de Álgebra. DeDe AIAI lmrismi deriva tambémlmrismi deriva também algoritmo,algoritmo, actualmactualmente ente sigsignifinificandcandoo processo geral de cálculo ou raciocínio, actividade operatória.processo geral de cálculo ou raciocínio, actividade operatória. 1414 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL ParaPara escreverescrever uumm númeronúmero maior quemaior que nove, colocanove, coloca .. remosremos os algarismosos algarismos representativos das unidadesrepresentativos das unidades ddee .diferentes.diferentes ordensordens aa seguirseguir unsuns aosaos outros,outros, sendosendo aa suasua posiçãoposição reguladaregulada pela seguintepela seguinte convenção:convenção: mm algarismo representará unidadesalgarismo representará unidades dede ordemordem i m ~i m ~ diatamente superior às representadas pelo que se lhe seguediatamente superior às representadas pelo que se lhe segue imediatamenteimediatamente àà direita.direita. Ex :Ex : O número 845O número 845 representará:representará: oito centenas,oito centenas, quatroquatro dezenas e cinco unidades.dezenas e cinco unidades. OO númeronúmero 304304 representará:representará: três centenas etrês centenas e quatroquatro unidades.unidades. OOss algarismosalgarismos 1 a 91 a 9 denominam-sedenominam-se significativos.significativos. ZeroZero não é significativo; utiliza-se, no casonão é significativo; utiliza-se, no caso ddee ausênciaausência ddee algumas unidades,algumas unidades, parapara marcarmarcar aa posiçãoposição relativa dosrelativa dos outrosoutros algarismos dealgarismos de modomodo a manter-se a convençãoa manter-se a convenção acima referida.acima referida. 8. Chama-se8.Chama-se decimaldecimal êste sistemaêste sistema ddee numeraçãonumeração 11 ,, ouou dede base dezbase dez porqueporque as unidadesas unidades ddee diferentes ordensdiferentes ordens representamrepresentam dezdez unidadesunidades ddee ordemordem imediatamente infeimediatamente infe rior;rior; umauma dezenadezena t t mm dez unidades,dez unidades, umauma centenacentena temtem dez dezenas, etc.), utilizandodez dezenas, etc.), utilizando portantoportanto dez algarismosdez algarismos OO aa 9).9). 1)1) O sistema actual de numeração decimal tornou-se conhecidoO sistema actual de numeração decimal tornou-se conhecido na Europana Europa nono séculoséculo XIIXII por intermédio dos Árabes. Estes trouxeram-nopor intermédio dos Árabes. Estes trouxeram-no da Índia, não se podendo porém precisar a data em que neste paísda Índia, não se podendo porém precisar a data em que neste país começou começou a a ser ser usado usado ; ; contudocontudo jájá o era em 662, pois a êle se refere,o era em 662, pois a êle se refere, nesta data, o sábio árabe Severo Sabokht.nesta data, o sábio árabe Severo Sabokht. O valor relativo dos algarismos conforme a sua posição,O valor relativo dos algarismos conforme a sua posição, v lorv lor dede posiçãoposição constituíaconstituía jájá uma noção aplicada pelos babilónicos e pelosuma noção aplicada pelos babilónicos e pelos mayas da América Central; porém,mayas da América Central; porém, a sua aplicaçãoa sua aplicação aoao sistema decimal,sistema decimal,com o emprêgo de nove algarismos e zero, veio da Índia.com o emprêgo de nove algarismos e zero, veio da Índia. PRIMEIRA PARTEPRIMEIRA PARTE 1515 9. 9. A A AritAritméticmética a ((11)) éé aa ctencia ctencia dos dos nlimeros nlimeros dasdas suas operações e das suas propriedades.suas operações e das suas propriedades. E X E R Í I O SE X E R Í I O S 1 -1 - Qual Qual é o número total de algarismos necessários paraé o número total de algarismos necessários para nume-nume- rarrar as primeiras 100 páginas dumas primeiras 100 páginas dum livro?livro? R.R. Números Números com com algarismoalgarismo 99 dondedonde 99 algarismos;algarismos; 2 2 algaalgarismrismos os 9090, , 181800 , , 33 1,1, 33 TotaTotal l . . 192192 Entre os algarismos considerados no exercício anterior, digaEntre os algarismos considerados no exercício anterior, diga quantosquantos sãosão iguais iguais a a ?? RR.. Algarismos iguais a 1 representando unidadesAlgarismos iguais a 1 representando unidades 1010 dezenas 10dezenas 10 centenascentenas TotalTotal 2121 Diga ainda,Diga ainda, quantosquantos são os algarismos iguais asão os algarismos iguais a OO e os iguais ae os iguais a 22?? 33 QualQual é o número total de algarismos necessários para numeraré o número total de algarismos necessários para numerar as primeiras 500 páginas dumas primeiras 500 páginas dum livro?livro? R.R. 1932.1932. 44 < < .Q.Quauantntos núos númemeros ros há há de 3 de 3 algaalgarismrismos?os? R.R. 900.900. 55 < < .Q.Quauantntos núos númeromeros há s há de de 7 alga7 algarisrismosmos?? RR.. 9.ooo.ooo.9.ooo.ooo. 1)1) DeDe arithmosarithmos em gregoem grego -número.-número. CAPÍTULOCAPÍTULO IIII AdiçãoAdição 1010. . Dadas Dadas duaduass oouu mais colecções de objectos, semais colecções de objectos, se as reünirmos numa só, diremos que o número que coras reünirmos numa só, diremos que o número que cor responde a esta última é aresponde a esta última é a somasoma dos números que corresdos números que corres pondem às primeiras; a soma tem pois tantas unidadespondem às primeiras; a soma tem pois tantas unidades quantas as dos números que sequantas as dos números que se somamsomam oouu adicionam.adicionam. Chama-seChama-se adiçãoadição a operação pela qual se obtém aa operação pela qual se obtém a somasoma de doisde dois oouu maismais númerosnúmeros estes são os termosestes são os termos ddaa operaopera ção, a soma é o seu resultado. Os termos da adição chação, a soma é o seu resultado. Os termos da adição cha mam-semam-se parcelas.parcelas. A noção da adição está estreitamente ligadaA noção da adição está estreitamente ligada àà noçãonoção de número inteiro: como se viu, partindo do númerode número inteiro: como se viu, partindo do número um e adicionando sucessivamente uma unidade,um e adicionando sucessivamente uma unidade, podempodem formar-se todosformar-se todos ooss números inteiros.números inteiros. 11. Propriedades11. Propriedades ddaa adição.adição. aa A adiçãoA adição éé umauma operoperação uniforme,ação uniforme, istoisto é,é, conduzconduz a um único resultado bem determinado.a um único resultado bem determinado. Decorre imediatamenteDecorre imediatamente ddaa definição.definição. bb A adição é umaA adição é uma operação comutativaoperação comutativa ,, o queo que L)L) Designação introduzida porDesignação introduzida por F.F. ServoisServois 181.5).181.5). PRIMEIRA PARTEPRIMEIRA PARTE 77 querequere dizerdizer queque oo valor davalor da somasoma nãonão dependedepende ddaa ordemordem das parcelas.das parcelas. Também daTambém da definiçãodefinição se deduzse deduz imediataimediata mentemente queque se obtémse obtém sempresempre aa mesmamesma colecção, ecolecção, e por-:por-: tanto o mesmo número,tanto o mesmo número, qualquer quequalquer que seja aseja a ordemordem seguidaseguida na junção das colecçõesna junção das colecções queque correspondemcorrespondem às*às* parcelas.parcelas.Adicionando 3 a 4 obtém-se o mesmoAdicionando 3 a 4 obtém-se o mesmo resultadoresultado queque adicionandoadicionando 44 aa 33;; adicionandoadicionando 88 aa 77 e e oo resultadoresultado aa 5,5, obtém-se o mesmoobtém-se o mesmo númeró quenúmeró que adicionandoadicionando 55 aa 88 e e oo resultadoresultado aa 7.7. 3 4 =3 4 = 4 3 ;4 3 ; 88 7)7) 55 == 55 8) 78) 7 I)I) oouu simplesmentesimplesmente cc AA adiçãoadição éé umauma operação associativaoperação associativa 2),2), isto é,isto é, numanuma somasoma ddee muitas parcelasmuitas parcelas podemos substituirpodemos substituir duasduas oouu mais parcelas pelamais parcelas pela suasua soma.soma. Justifica-se estaJustifica-se esta proprieproprie dadedade pela definição epela definição e propriedadepropriedade comutativa.comutativa. a+a+ bb c+c+ dd ee== aa bb cc }} +e,+e, 1)1) OOss parêntesis indicam que se consideram efectuadas as operaparêntesis indicam que se consideram efectuadas as opera çõesções nono seu interior; empregam-se curvosseu interior; empregam-se curvos ),), rectos rectos [ [ ] ] e e chachavetavetas s { { }} conformeconforme éé necessário.necessário. OsOs parêntesis rectos aparecem pela primeira vezparêntesis rectos aparecem pela primeira vez na edição manuscrita da Álgebra dena edição manuscrita da Álgebra de R.R. Bom Bom bel bel 1550); 1550); os os curvos curvos foramforam empregadosempregados porpor N.N. Tartaglia Tartaglia General General tratattotratatto didi numeronumero ee misure-1556 ,misure-1556 , Clavius 1608), Girard 1629), etc.Clavius 1608), Girard 1629), etc. 2)2) Designação introduzidaDesignação introduzida porpor W.W. RR Hamilton 1846).Hamilton 1846). 22 88 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL pois quepois que a b c d e = b c d e a =a b c d e = b c d e a = == bb cc d)d) ee a= aa= a bb cc d}d} ee d}d} OO módulomódulo ddaa adiçãoadição éé zero. Chama-sezero. Chama-se módulomódulo de de uma uma operação uoperação um númm número ero quque e considerado coconsiderado comomo têrtêrmo mo da da operoperaçãação o não não tem item inflnfluênuência cia nno o seu resultado.seu resultado. 12.12. RegraRegra da adiçãoda adição Consideremos os númerosConsideremos os números 48484 4 e e 77553 3 que que desejamos adiciodesejamos adicionar. Pelas nar. Pelas propropripriedaedadesdes comutativa e associativa poderemos adicionar primeiracomutativa e associativa poderemos adicionar primeira mente os algarismos que representam unidadesmente os algarismos que representam unidades ddaa mesmamesma ordem ordem e e eem seguida m seguida juntjuntaroar os resultads resultados. Na pos. Na práticarática colocam-se os números uns debaixo dos outros de modocolocam-se os números uns debaixo dos outros de modo que as unidades da mesmaque as unidades da mesma ordemordem fiquem na mesmafiquem na mesma colucoluna na e e procprocede-ede-se se cocomo mo fificocouu dito;dito; parapara simplificarsimplificar quando a soma dos algarismos de certa ordem perfazquando a soma dos algarismos de certa ordem perfaz uma unidade de ordemuma unidade de ordem superior ousuperior ou um número maiorum número maior junta-se aquela unidade aos algarismosjunta-se aquela unidade aos algarismos ddaa mesma ordemmesma ordem 484484 753753 12371237 13.13. ProvaProva dada adiçãoadição Chama-seChama-se provaprova ddee uma uma opeope ração umaração uma outraoutra operação -operação - que não convirá ser menosque não convirá ser menos simples que asimples que a primeira -primeira - e pela qual se pretende verificare pela qual se pretende verificar PRIMEIRA PARTEPRIMEIRA PARTE 99 ~~ a exactidão do seu resultado. Compreende-se que nuncaa exactidão do seu resultado. Compreende-se que nunca poderá haver uma certeza absoluta em face dos resultapoderá haver uma certeza absoluta em face dos resulta ooss concordantes concordantes da prova da prova poipois ess esta ta se se popode errade errar r tatamm bébém m é é contucontudo provável qudo provável que e assiassim não m não suceda. suceda. As As propro priedades comutativa e associativa podem utilizar-se parapriedades comutativa e associativa podem utilizar-se para prova da adição.prova da adição. CAPITULO IIICAPITULO III SubtracçãoSubtracção 14. Chama-se14. Chama-se diferençadiferença entre dois númerosentre dois números aa ee bb um númeroum número == rr 11 também denominadotambém denominado resto,resto, excessoexcesso ouou complementocomplemento tal quetal que a-b)a-b) ++ bb aa A operação que temA operação que tem porpor imim determinar a diferençadeterminar a diferença bb tem o nome detem o nome de subtracção; asubtracção; a é é oo diminuendodiminuendo ouou aditivo; baditivo; b é é oo diminuidordiminuidor oouu subtractivo.subtractivo. Da definição resulta imediatamente que a subtracçãoDa definição resulta imediatamente que a subtracção resolve o seguinteresolve o seguinte problemaproblema dada a somadada a soma ee duas par-duas par- celascelas ee uma delas, determinar a outra:uma delas, determinar a outra: diz-se que adiz-se que a subtracção é asubtracção é a operação inversaoperação inversa ddaa adição.adição. 15.15. áá vimos quevimos que porpor definição édefinição é a - ba - b +b=a;+b=a; l) l) A mA mais antiga obra impressa onais antiga obra impressa onde de se se vêm ovêm os s sinaissinais ++ ou ou -- Behennde Behennde VnnVnnd d hühschhühsche e Rechnug Rechnug auauf allen f allen KanKanffmffmansanschachafftfften)en) dede Behennde Behennde VnnVnnd d hühschhühsche e Rechnug Rechnug auauf allen f allen KanKanffmffmansanschachafftfften)en) dede Johann Widmann, dataJohann Widmann, data dede 1489.1489. PRIMEIRAPRIMEIRA PARTEPARTE 2121 pois quepois que 1111 d)d) seráserá o = b - bo = b - b 14)14) donde, adicionandodonde, adicionando aa a ambos osa ambos os membrosmembros oouu 1166. . ProprPropriediedades ades da da subtracsubtracção.ção. a)a) ÉÉ uma operaçãouma operação uniforme:uniforme: deduz-se imediatadeduz-se imediata mente da definição, em vista da uniformidade da adição.mente da definição, em vista da uniformidade da adição. b)b) Para subtrair uma somaPara subtrair uma soma dede um um número número podempodem subtrair-se sucessivamentesubtrair-se sucessivamente dodo número tôdas as parcelasnúmero tôdas as parcelas dada soma.soma. Terá de demonstrar-se a igualdadeTerá de demonstrar-se a igualdade o:)o:) bb + c =+ c = bb cc Realmente, acrescentando a qualquerRealmente, acrescentando a qualquer dosdos seus memseus mem brosbros bb cc ouou cc b,b, virávirá bb ++cc bb + c =+ c = aa a - b - c + c + b = a - b + b = aa - b - c + c + b = a - b + b = a Lendo a igualdadeLendo a igualdade x)x) da direitada direita parapara a esquerda,a esquerda, dir-se-á:dir-se-á: Para subtrairPara subtrair dede um número sucessivamente muitosum número sucessivamente muitos números números popode de subtsubtrairair-se a r-se a sua sua soma.soma. 2222 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL c)c) OO restoresto não senão se altera quandoaltera quando sese adicionaadiciona ouou subtraisubtrai aoao diminuendo ediminuendo e aoao diminuidor odiminuidor o mesmomesmo número.número. ComoComo aa++ e--c=e--c= aa será subtraindoserá subtraindo bb a ambos os membros e atendendoa ambos os membros e atendendo àà alíneaalínea bb bb= a += a + c c cc bb== aa++ c c -- bb )) d}d} Para subtrair uma diferençaPara subtrair uma diferença podepode juntar-se ojuntar-se o diminuidor e subtrair o diminuendodiminuidor e subtrair o diminuendo ou,ou, sese fôr possfvelfôr possfvel subtrair o diminuendo e juntar o diminuidor.subtrair o diminuendo e juntar o diminuidor. Com Com efeefeitito o pela pela alínea alínea antantererior ior temostemos a - { b - ca - { b - c = a += a + cc bb - c +- c + c ......:.c ......:. aa++ c - b ;c - b ; se partirmos da igualdadese partirmos da igualdade ee juntarmosjuntarmos cc aa ambos os membrosambos os membros vem subtraindovem subtraindo bb a - b + c + b - b = a + c - ba - b + c + b - b = a + c - b ouou PRIMEIRA PARTEPRIMEIRA PARTE 2323 ee ParaPara adicionaradicionar uma diferença, pode adicionar-seuma diferença, pode adicionar-se o diminuendo e subtrair o diminuidor,o diminuendo e subtrair o diminuidor, oouu sendo possfvel,sendo possfvel,subtrair o diminuidor e adicionar o diminuendo:subtrair o diminuidor e adicionar o diminuendo: Com efeito,Com efeito, ddee bb---- c)+c)+ c=bc=b vem, juntandovem, juntando aa aa ambosambos osos membrosmembros a+a+ b-c}b-c} c=a+bc=a+b ee subtraindosubtraindo cc aa++ b -c }=b-c}= aa+b - c+ b - c Partindo agoraPartindo agora ddaa igualdadeigualdade a - c+a - c+ cc== aa ee juntandojuntando bb a ambos osa ambos os membrosmembros vem,vem, subtraindosubtraindo cc a - c + b= a+b - ca - c + b= a+b - c ff Para subtrair uma somaPara subtrair uma soma dede outra soma podeoutra soma pode subtrair-se, sendo possivel, cada parcela dumasubtrair-se, sendo possivel, cada parcela duma dede cadacada parcelaparcela dada outra, e somaroutra, e somar asas diferenças parciais.diferenças parciais. 2424 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL Com efeito pelas alíneasCom efeito pelas alíneas bb ee cc aa++ bb cc++ dd = a += a + bb cc dd==aa cc++ bb dd == = = a - c J + ba - c J + b - d )- d ) .. 17.17. Regra da subtracção.Regra da subtracção. Considere-se a diferençaConsidere-se a diferença de dois números quaisquer.de dois números quaisquer. Ex.:Ex.: 847-395.847-395. PodemosPodemos escrever:escrever: 847-395847-395 == 800800 4040 77 - 300- 300 ++ 9090 5 5 == == 700700 1414 300300 90--+-90--+- 55 == == 700-700- 300)300) 140-140- 90)90) 77 5)5) 18.18. ProvaProva dd sublracção.sublracção. Resulta imediatamente daResulta imediatamente da definição:definição: a - b ) + b = a ;a - b ) + b = a ; adicionando o resto ao diminuidor, deve obter-se oadicionando o resto ao diminuidor, deve obter-se o diminuendo.diminuendo. 19.19. Complemento aritmético.Complemento aritmético. ChamaChama -se-se complecomple mento aritmético de um númeromento aritmético de um número a diferença entre êstea diferença entre êste número e a unidade decimal imediatamente superior.número e a unidade decimal imediatamente superior. O complemento aritmético de 4830 seráO complemento aritmético de 4830 será 10.000-483010.000-4830 == 51705170 PráticamentePráticamente calcula-se o complemento aritmético,calcula-se o complemento aritmético, subtraindo o primeiro algarismo significativosubtraindo o primeiro algarismo significativo ddaa direitadireita de dez ede dez e todostodos os outrosos outros ddee nove.nove. ParaPara efectuar a diferençaefectuara diferença aa b,b, pode juntar-se apode juntar-se a aa o complemento aritmético deo complemento aritmético de bb ee subtrairsubtrair em seguidaem seguida PRIMEIRAPRIMEIRA PARTEPARTE 2525 aaoo total a unidade decimal utilizadatotal a unidade decimal utilizada parapara a determinaçãoa determinação ddoo complemento. Representandocomplemento. Representando porpor 1010 a unidade decia unidade deci mal imediatamentemal imediatamente superiorsuperior aa bb aa bb aa 1010 00 -- bb aa 10 110 1 ++ 1010 -- b)b) == =[a+=[a+ 1010 -- b)]b)] --11 00 Ex.:Ex.: 88 44 -- 77 197197 -- 3030 == 8484 ++ 33 197197 70) 70) -- 1010 -- 110000 == 33554 4 -- 1 1 1100 == 344344 EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS Achar dois números inteiros consecutivos cuja soma é 8437Achar dois números inteiros consecutivos cuja soma é 8437 R.R. 4218, 4219.4218, 4219. 8437 -8437 - 11== 84368436 11 XX 84368436 == 42 842 8 22 77 Achar dois números consecutivos cuja somaAchar dois números consecutivos cuja soma éé igual a 872.igual a 872. S-AcharS-Achar 3 números 3 números tais que tais que a soma a soma ·do·dos 2 primeiros s 2 primeiros é é iguigualal a 32, a soma dos 2 últimos é 54 e a soma doa 32, a soma dos 2 últimos é 54 e a soma do 1.1. 00 e do 3.e do 3. 00 é 46.é 46. R.R. bb== 3232 bb cc== 5454 cc== 4646 aa++ bb++ aa++ b =c=66b =c=66 - 3 2- 3 2 =34=34 a + b +a + b + c - c - b + c ) = a =b + c ) = a = 6 6 - 5 4 =6 6 - 5 4 = 1212 aa++ bb+ c - a ++ c - a + c c == bb == 66 -46=2066 -46=20 2626 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL 9-Achar9-Achar 33 númerosnúmeros taistais queque a soma dos dois primeirosa soma dos dois primeiros éé igualigual a 55, a diferença dosa 55, a diferença dos mesmosmesmos é 25 e a diferença dos dois últimos é 5.é 25 e a diferença dos dois últimos é 5. RR 40, 15, 10.40, 15, 10. 11OO Calcular a expressão :Calcular a expressão : 8- 3.58- 3.5 -- 2323 .f9.f9 -- 15281528 33 00 -- 250250 usando os complementos aritméticos.usando os complementos aritméticos. Dados doisDados dois númerosnúmeros ee bb aa>> b ,b , i_i_ oo queque será necessárioserá necessário fazer para os tornar iguais,fazer para os tornar iguais, semsem alteraralterar a suaa sua soma?soma? RR BastaráBastará juntarjuntar aa bb ee subtrairsubtrair a a a a sua sua semi-diferesemi-diferença:nça: a - ba - b a - ba - b b + - - - - + a - -b + - - - - + a - - - - - = a + b- - - = a + b 2 2 22 11 22 -- Aplicar a propriedade do exercício anterior aos números.Aplicar a propriedade do exercício anterior aos números. 74 e 14, 428 e 36.74 e 14, 428 e 36. 11 33 -- DemonstrarDemonstrar queque a somaa soma dede dois números,dois números, aumentadaaumentada da suada sua diferença é o dôbrodiferença é o dôbro dodo maior.maior. RR a + b + ( a - b ) = a + b - b + a = 2 x a .a + b + ( a - b ) = a + b - b + a = 2 x a . 11 44 -- DemonstrarDemonstrar queque a somaa soma ddee dois números diminuída da suadois números diminuída da sua diferençadiferença éé o dôbroo dôbro dodo menor.menor. 11 55 -- DadasDadas duasduas diferenças, iguaisdiferenças, iguais respectivamenterespectivamente a 16 e 13,a 16 e 13,achar todos os seus termos,achar todos os seus termos, sabendo quesabendo que a soma dos diminuidores é 11,a soma dos diminuidores é 11, ee queque os diminuendos são iguais.os diminuendos são iguais. R.R. a=a =20a=a =20 {{ bb =16=16 a - b = 1 3a - b = 1 3 b=4b=4 bb =7.=7. CAPÍTULOCAPÍTULO IVIV MultiplicaçãoMultiplicação 20. 20. Considere Considere sese umauma soma desoma de bb parcelas iguais aparcelas iguais a aa ata a a a aata a a a a ................ == PP A adiçãoA adição tomatoma neste casoneste caso particularparticular o nome deo nome de mul-mul- tiplicação.tiplicação. Chama se aChama se a PP oo produtoproduto aa aa ee bb ooss factoresfactores aa é é oo multiplicandomultiplicando ee bb oo multiplicador.multiplicador. OO produtoproduto é uma somaé uma soma ddee tantas parcelas iguaistantas parcelas iguais aaoo multiplicando quantasmultiplicando quantas sãosão as unidadesas unidades ddoo multiplicadormultiplicador fo_rma fo_rma se se dodo multiplicando como o multiplicador damultiplicando como o multiplicador da unidade.unidade. P =P = a X b = a a aa X b = a a a aa aa . . . .. . . . .. bb == 1 1 1 1 11 1 1 1 1 ........ 2121 ProdutoProduto dede muitos factores.muitos factores. ProdutoProduto dede muitosmuitos factoresfactores éé o resultado que se obtém multiplicando oso resultado que se obtém multiplicando os 1)1) O sinalO sinal XX foifoi utilizado em primeiro lugar por William Ough-utilizado em primeiro lugar por William Ough- tredtred nono seu livroseu livro Clavis MatlzematicaeClavis Matlzematicae em 1631.em 1631. 2828 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL dois primeiros factores, a seguir multiplicando o resuldois primeiros factores, a seguir multiplicando o resul tado pelo terceiro, êste pelo quarto e assim sucessitado pelo terceiro, êste pelo quarto e assim sucessi vamente.vamente. aXbXcXdXeXaXbXcXdXeX ........ == [(aXb)[(aXb) XX c Xd]XeXc Xd]XeX ........ 22.22. Propriedades de multiplicação.Propriedades de multiplicação. aa ÉÉ uma operaçãouma operação uniforme:uniforme: do mesmodo mesmo modomodo que a adição.que a adição. b)b) ÉÉ uma operaçãouma operação distributivadistributiva em relaçãoem relação àà adiçãoadição e subtracção.e subtracção. ~ ~ X 3 = ~ ~ ~ ~ ~ ~ =~ ~ X 3 = ~ ~ ~ ~ ~ ~ = =(a+a+=(a+a+ a)+(b+b+bJa)+(b+b+bJ =aX3+=aX3+ bX3bX3 ~ - ~ X 3 = ~ - ~ ~ - ~ ~ - ~ =~ - ~ X 3 = ~ - ~ ~ - ~ ~ - ~ = =(a+a+.aJ+(b+b=(a+a+.aJ+(b+b b)=b)= aX3-bX3aX3-bX3 ParaPara multiplicarmultiplicar umauma soma (ou uma diferença) porsoma (ou uma diferença) por uumm mímero pode multiplicar-se cadamímero pode multiplicar-se cada umauma das pareelas dadas pareelas da soma (ou cada têrmo da diferença) pelo número, e depoissoma (ou cada têrmo da diferença) pelo número, e depois somar (ou subtrair) os resultados .somar (ou subtrair) os resultados . Inversamente, tendo uma somaInversamente, tendo uma soma oouu diferença dediferença de produtosprodutos em que háem que há aamm factor comum, pode pôr-se êssefactor comum, pode pôr-se êsse ·factor·factor em evidência,em evidência, multiplicando-o pela soma ou difemultiplicando-o pela soma ou dife rença dosrença dos restantes,.restantes,. c)c) ÉÉ uma operaçãouma operação comutativa;comutativa; o valor doo valor do produtoproduto não depende da ordem dos factores.não depende da ordem dos factores. 11 ProdutoProduto de dois factores.de dois factores. a X b = a X b = ll 11 ++ 1 1 11 + ...+ ... ) X b =) X b = == bb b b b b bb . . .. . . = b X a= b X a PRIMEIRA PARTEPRIMEIRA PARTE 99 2)2) ProdutoProduto de muitos factores.de muitos factores. NumNum produto de 3 factoresproduto de 3 factores podepode alterar-se aalterar-se a ordemordem dosdos dois últimos:dois últimos: 4 X 5 X 3 = ~ 4 4 4 ~ X 3 =4 X 5 X 3 = ~ 4 4 4 ~ X 3 = =4X3 4X3 4X3 4X3 4X3==4X3 4X3 4X3 4X3 4X3= == 44 XX 3)3) X X 55 == 4 4 X X 3 3 X X 55 NumNum produtoproduto de muitos factores pode alterar-se ade muitos factores pode alterar-se a orordedem dm dos dois últimos os dois últimos pois pois que que pela pela dedefifininiçãção o aqueleaquele se pode reduzir sempre a umse pode reduzir sempre a um produtoproduto de 3de 3 f c t o r e s ~f c t o r e s ~ a X b X c xa X b X c x . . .. . . X n X p X q =X n X p X q = == aa XX bb XX ccX X XX m)m) X X XX qq== PP X X XX qq Da definição deduz-se imediatamente ser possívelDa definição deduz-se imediatamente ser possível mudarmudar a a ordeordem m dos dos dois dois primprimeiros eiros factores factores ;; final-final- mente demente de a X b X c X d Xa X b X c X d X . . .. . . Xq= aXbXcXd)><Xq= aXbXcXd)>< . . .. . . XX qq - a X b X d X- a X b X d X c )c )XX . . .. . . XX qq a X b X d X ca X b X d X c . . .. . . XX qq se reconhece a possibilidade de alterar a posição de doisse reconhece a possibilidade de alterar a posição de dois quaisquer intermédios.quaisquerintermédios. Conclui-se pois queConclui-se pois que porpor mudmudançaanças s sucessivas sucessivas sese pode alterar a ordem dos factores de qualquer maneira.pode alterar a ordem dos factores de qualquer maneira. NoTNoT SegundSegundo a deo a definiçãfinição o de de multiplificação multiplificação aosaos produtosprodutos aX laX l ee a x oa x o nãonão éé possível atribuir qualquerpossível atribuir qualquer significado:-significado:- o multio multi plicador deveráplicador deverá terter pelo menos duas unidades.pelo menos duas unidades. 3030 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL Convenciona-se, porém,Convenciona-se, porém, queque a X O = O X a = O Oa X O = O X a = O O j.-0j.-0 . . . . .. . . . . == 00 aaX X 1 1 1 1 XX aa== 1 1 11 1 1 . . . . .. . . . . == aa oo queque implica a vantagem deimplica a vantagem de se manterse manter aa propriedadepropriedade comutativacomutativa nos casos referidos.nos casos referidos. d}d} ÉÉ umauma operaçãooperação associativa.associativa. NumNum produtoproduto ddee muitos factoresmuitos factores podepode substituir-sesubstituir-se uumm númeronúmero qualquerqualquer deles pelo seudeles pelo seu produtoproduto efectuado.efectuado. PelaPela propriedadepropriedade comutativacomutativa podempodem considerar-seconsiderar-se comocomo os primeirosos primeiros quaisquerquaisquer factoresfactores ddoo produto;produto; nestanesta conformidadeconformidade deduz-se adeduz-se a propriedadepropriedade associativassociativa a imediaimedia tamentetamente ddaa definição dedefinição de produto:produto: a X b X c X d X e = b X c X d X a X e =a X b X c X d X e = b X c X d X a X e = b> c)<b> c)< d}d} XX aXe=aX aXe=aX bXcXd}XebXcXd}Xe e)e) OO módulomódulo ddaa multiplicação é amultiplicação é a unidade:unidade: a X b X = a X ba X b X = a X b 23.23. Definição.Definição. Chama-seChama-se múltiplomúltiplo dumdum númeronúmero oo seuseu produtoproduto porpor qualquerqualquer númeronúmero inteiro. Deduz-seinteiro. Deduz-se destadesta definiçãodefinição queque 11 UUmm produtoproduto é múltiplo deé múltiplo de qualquerqualquer dosdos seusseus factores.factores. 22 UUmm númeronúmero é múltiplo de sié múltiplo de si mesmo:mesmo: aaX X 11=a.=a. 33 ZeroZero éé múltiplomúltiplo ddee qualquerqualquer número:número: aaXX OO== O.O. 24.24. justificação da regra da multiplicação.justificação da regra da multiplicação. PRIMEIRA PARTEPRIMEIRA PARTE 3131 00 casocaso O multiplicando e o multiplicador sãoO multiplicando e o multiplicador são algarismos.algarismos. A operação faz-se mentalmente.A operação faz-se mentalmente. 22 00 casocaso O multiplicando tem mais deO multiplicando tem mais de umum algaalga rismo, e o multiplicador tem somente um.rismo, e o multiplicador tem somente um. Aplica-se a propriedade distributiva. Exemplo:Aplica-se a propriedade distributiva. Exemplo: 7538 7538 X X 55 == 7000 4007000 400 ++ 3030 ++ 88 X X 55 == == 7000 7000 X X 5 5 400 400 X X 55 3030 X X 5 5 8 8 X X 55 Pràticamente associa-se a multiplicaçãoPràticamente associa-se a multiplicação àà adição.adição. 00 casocaso O multiplicando e o multiplicador têmO multiplicando e o multiplicador têm ambos mais de um algarismo.ambos mais de um algarismo. Aplica-se igualmente a propriedade distributiva,Aplica-se igualmente a propriedade distributiva, ficando-se reduzido aoficando-se reduzido ao 2.2.00 caso.caso. 8438 X 5248438 X 524 == 8437 8437 X X 500500 2020 == == 8437X8437X 500500 8437X28437X2 8437X48437X4 As parcelas destaAs parcelas desta somasoma são ossão os produtos parciaisprodutos parciais C PÍTULOC PÍTULO DivisãoDivisão 2525. . A A dividivisãosão procuraprocura resolver o seguinte problema:resolver o seguinte problema: Dados dois númerosDados dois números aa ee bb a:::;a:::; b)b) determinar umdeterminar um númeronúmero qq que, multiplicadoque, multiplicado porpor bb conduza a um resul-conduza a um resul- tado igual atado igual a a.a. Nem Nem sempsempre re se se encontencontra ra um um número número que que satissatisfaçafaça àà questão. No caso de possibilidade dizemos que a divi-questão. No caso de possibilidade dizemos que a divi- são ésão é exactaexacta ouou simplessimples e escreveremos :e escreveremos : a:a: bb== qq 11)) aa éé oo dividendodividendo bb oo divisordivisor e e oo quociente.quociente. 2626. . Da Da dedefifininiçãção o resulresulta ta imediimediatameatamente:nte: a=bXqa=bXq istoisto é,é, a divisãoa divisão exactaexacta temtem porpor objectivoobjectivo dados um pro-dados um pro- duto de doiduto de dois s factorefactores e s e um um deles deles detedetermirminar nar o o outro.outro. 1)1) O sinal : como símbolo de divisão,O sinal : como símbolo de divisão, foifoi usado pela primeirausado pela primeira vez por Leibnitzvez por Leibnitz emem Acta EruditorumActa Eruditorum 1684.1684. ÉÉ utilizado também outilizado também o sinalsinal ;.;. queque foifoi introduzido porintroduzido por JohannJohann Heinrich Rahn na suaHeinrich Rahn na sua TeutscheTeutsche AlgebraAlgebra 1659).1659). PRIMEIRA PARTEPRIMEIRA PARTE nn O dividendo, que será assim múltiploO dividendo, que será assim múltiplo ddoo divisor edivisor e ddoo quociente, diz-se tambémquociente, diz-se também divisíveldivisível porpor qualquer deles.qualquer deles. Resulta ainda da definição queResulta ainda da definição que aa divisão exacta édivisão exacta é aa operação inversa da multiplicação eoperação inversa da multiplicação e portantoportanto uniforme.uniforme. 27. No27. No caso de impossibilidadecaso de impossibilidade ddaa resoluçãoresolução ddoo problemaproblema atrás referido diz-se que a divisão deatrás referido diz-se que a divisão de aa porpor bb nãonão éé exacta.exacta. OO seuseu fimfim é então determinar dois númeé então determinar dois núme rosros qq ee rr quociente e resto) taisquociente e resto) tais queque aa== bb ~~ qq rr sendosendo rr<< bb AA divisão não édivisão não é jájá simples; tem dois resultados,simples; tem dois resultados, embora perfeitamente determinados.embora perfeitamente determinados. Procura-se agora oProcura-se agora o maior número que, multiplicado pelo divisor, conduz a ummaior número que, multiplicado pelo divisor, conduz a um resultado inferiorresultado inferior aoao dividendo.dividendo. 28.28. Casos particulares da divisão.Casos particulares da divisão. 11 aa :: 11==aa 2)2) OO a=Oa=O 33 OO sendosendo a X I = aa X I = a OOXX aa== OO a O.a O. Não tem êste último quociente qualquer significado,Não tem êste último quociente qualquer significado, para números finitos, pois nãopara números finitos, pois não éé possívelpossível obterobter um número,um número, que, multiplicadoque, multiplicado porpor zero, conduzazero, conduza aa umum produtoproduto difedife renterente ddee zero;zero; representa umrepresenta um símbolo de impossibilidade.símbolo de impossibilidade. 44 O:O=aO:O=a ouou b,b, oouu cc . . .. . . aXO=OaXO=O bXO=ObXO=O Representa qualquerRepresenta qualquer número;número; constitui umconstitui um símbolosímbolo ddee indeterminação.indeterminação. 33 3434 ARITM.ÉTICA RACIONALARITM.ÉTICA RACIONAL 29.29. Propriedades da divisão:Propriedades da divisão: 11 Para dividir uma somaPara dividir uma soma ouou lll Wlll W diferença) pordiferença) por umum número pode dividir-senúmero pode dividir-se pelopelo mímero cada uma dasmímero cada uma das parcelas da somaparcelas da soma ouou cada têmlo da diferença) e a seguircada têmlo da diferença) e a seguir somarsomar ouou subtrair)subtrair) osos resultados. resultados. Propriedade Propriedade disdis trióativa).trióativa). De facto deduz-se imediatamente:De facto deduz-se imediatamente: (a+ b):c=(a+ b):c= a:c+a:c+ b:c,b:c, atendende> aatendende> a que:que: a:a: cc++ b:c Xc=b:c Xc= aa:: cc XX cc++ b:cxc=b:cxc= aa++ bb 2)2) MultiplicandoMultiplicando ouou dividindo) o dividendo e o dividividindo) o dividendo e o divi sorsor porpor um número, o quocienteum número, o quociente nãonão sese altera e o restoaltera e o resto vemvem multiplicadomultiplicadoouou dividido) por êsse número.dividido) por êsse número. Da definiçãoDa definição resulta:resulta: e multiplicando ambose multiplicando ambos ooss membros da igualdademembros da igualdade porpor cc a X c = 0 X q ~ X c = b X q X c r X c =a X c = 0 X q ~ X c = b X q X c r X c = = b X c ) X q + r= b X c ) X q + r c.c. 3)3) UUmm produtoproduto éé divisível por qualquer dos seusdivisível por qualquer dos seus factores.factores. a X b X c X d = a X ba X b X c X d = a X b c Xd.c Xd. PRIMEIRAPRIMEIRA PARTEPARTE 3535 44 Se um factorSe um factor dede um produtoum produto éé divisível por umdivisível por um número, o produtonúmero, o produto éé divisível por êsse número.divisível por êsse número. SejaSeja P=aXbXcP=aXbXc ee C=dXq;C=dXq; virávirá PP== aa XX bb XX ddXX qq== aa XX bbXX d X,q.d X,q. 55 NãoNão sese altera o resto da divisão quando se adialtera o resto da divisão quando se adi cionaciona ouou subtratsubtrat aoao dividendo um múltiplodividendo um múltiplo dodo divisor.divisor. Com efeito, adicionando a ambos os membrosCom efeito, adicionando a ambos os membros ddaa igualdadeigualdade o múltiplo do divisoro múltiplo do divisor bb :::<c:::<c vem:vem: 66 Para dividirPara dividir umum número por um produtonúmero por um produto dede muimuitos factores, tos factores, popode efectuar-se a de efectuar-se a divisãdivisão suceo sucessivamentessivamente por cada umpor cada um dosdos factores.factores. DeDe deduz-sededuz-se NN:: aXbXc)=aXbXc)= qq ==aa XX bb XX cc XX qq e sucessivamentee sucessivamente NN a=bXcXqa=bXcXq NN aa:: b=cXqb=cXq NN aa :: bb :: c=qc=q NoTA-NoTA- divisão nãodivisão não éé uma operação comutativa,uma operação comutativa, Não é também associativa:Não é também associativa: NN aa:: bb éé igual aigual a N: aXb)N: aXb) e portanto diferente dee portanto diferente de NN aa:: b b .. ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL 30.30. justificação da regra da divisãojustificação da regra da divisão O quociente poderá obter-se de doisO quociente poderá obter-se de dois modos:modos: 11 Subtraindo sucessivamente o divisorSubtraindo sucessivamente o divisor ddoo dividivi dendo até se encontrar um resto menor que o divisor;dendo até se encontrar um resto menor que o divisor; êste resto será também oêste resto será também o restoresto da divisão e o númeroda divisão e o número de subtracções possíveis representará ode subtracções possíveis representará o quocientequociente 2)2) Multiplicando o divisor pelos números inteirosMultiplicando o divisor pelos números inteiros 2,2, 3,3, 4 4 ) ) até até sese obterobter umum produtoproduto maior que o divimaior que o dividendo. O penúltimo multiplicador será o quociente; odendo. O penúltimo multiplicador será o quociente; o resto obtém-se subtraindo do dividendo o produto doresto obtém-se subtraindo do dividendo o produto do divisor pelo quociente.divisor pelo quociente. Na prática aplica-se com facilidade o segundo modoNa prática aplica-se com facilidade o segundo modo quando o quociente tem um só algarismo ; se o quocientequando o quociente tem um só algarismo ; se o quociente tem mais detem mais de umum algarismo, qualquer dos processos indialgarismo, qualquer dos processos indi cados seria trabalhoso se fôsse aplicado isoladamente.cados seria trabalhoso se fôsse aplicado isoladamente. Adopta-se então uma combinaçãoAdopta-se então uma combinação dosdos dois, cuja justifidois, cuja justifi,cação decorre imediatamente do exemplo que,cação decorre imediatamente do exemplo que segue:segue: 5782:215782:21 57825782 == 5757 XX 100100 8282 == 22 XX 2121 15)15) XX 100100 8282 == == 2 2 XX 2121 XX 100100 1515 X 100X 100 8282 == 200 X200 X 2121 15821582 5782:5782: 2121 == 200 X200 X 2121 1582):1582): 2121 == == 200200 XX 2121 :: 2121 1582:1582: 2121 == 200 1582:200 1582: 21.21. O quociente temO quociente tem umum certo númerocerto número ddee centenas,centenas, sendo 2 o seu primeiro algarismo. Para sesendo 2 o seu primeiro algarismo. Para se obterobter osos outros algarismosoutros algarismos ddoo quociente vai efectuar-se a divisão:quociente vai efectuar-se a divisão: 1582:1582: 21,21, sendosendo 15821582== 5782 2005782 200 XX 2121 00 dividendo parcialdividendo parcial PRIMEIRAPRIMEIRA PARTEPARTE Do mesmo modo como anteriormente, temos :Do mesmo modo como anteriormente, temos : 15821582 == 158 X158 X 1010 + + 22 == 77 XX 2121 + + 11) 11) X X 11O O + + 22== == 7 7 XX 2121 XX 1010 ++ 1111 XX 1010 + + 22 == 70X70X 2121 + 112+ 112 1582:211582:21 == 70X2170X21 + 112):21+ 112):21 == 70+70+ 112:21112:21 3377 Será 7 o algarismo das dezenas do quociente; oSerá 7 o algarismo das dezenas do quociente; o algarismo das unidades obtém-se efectuando a divisãoalgarismo das unidades obtém-se efectuando a divisão sendosendo 112=112= 1582-70X211582-70X21 22 00 dividendo parcial;dividendo parcial; teremosteremos 1 1 2 = 5 X 2 1 71 1 2 = 5 X 2 1 7 e finalmentee finalmente 5782 5782 = = 200 200 XX 2121 + + 70 70 XX 2121 + + 5 5 XX 2121 77 == == 200200 7070 5)X215)X21 + + 7 7 = = 275><275><21 21 ++ 7.7. 31.31. Prova da divisãoProva da divisão Utiliza-se só a multiplicação,Utiliza-se só a multiplicação, ou a multiplicação combinada com a adição, conforme aou a multiplicação combinada com a adição, conforme a divisão é exacta ou não, o que decorre imediatamente dadivisão é exacta ou não, o que decorre imediatamente da definição.definição. Inversamente a divisão pode ser utilizada naInversamente a divisão pode ser utilizada na provaprova da multiplicaçãoda multiplicação Para aPara a provaprova ddaa multiplicação sãomultiplicação são também utilizadastambém utilizadas asas propriedades comutativa e assopropriedades comutativa e asso ciativa.ciativa. 3838 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL EXER f IOSEXER f IOS 11 66 -- Achar um número, que, adicionado ao seu produto porAchar um número, que, adicionado ao seu produto por 8,8, dádá nmnm resultado igual aresultado igual a 54.54. RR a a x 8 = 5 4a a x 8 = 5 4 a x 9 = 5 4a x 9 = 5 4 a x a x ll 8)8) =54=54 a = 5 4 : 9 = 6a = 5 4 : 9 = 6 11 77 -- Calcular dois números cuja somaCalcular dois números cuja soma éé igual aigual a 375,375, e o quocientee o quociente da suada sua divisãodivisão 14.14. R.R. a=35a=35 b=25.b=25. 11 88 -- CalcularCalcular doisdois números cuja diferençanúmeros cuja diferença éé 508,508, sendo o maiorsendo o maior ignigna a a a 5 5 vezevezes o s o menor.menor. R.R. a=635a=635 b=127.b=127. 11 99 -- MllltiplicarMllltiplicar 2121 porpor 5,5, 2525 ee 125,125, efectuando divisões respectiefectuando divisões respecti vamente porvamente por 2,2, 4 4 ee 8.8. R.R. 2 I x 5 = 2 l x l 0 : 2 = 2 1 0 : 2 = 1 0 52 I x 5 = 2 l x l 0 : 2 = 2 1 0 : 2 = 1 0 5 2121 XX 2525 == 2121 XX 100:100: -l-l = 2100:= 2100: 44 == 525525 2121 XX 125125 == 2121 XX 1000: 1000: 8 8 = = 21000: 21000: 88 == 26252625 2020 -- -- DividjrDividjr 92509250 porpor 5,5, 25 e25 e 125,125, efectuando multiplicações resefectuando multiplicações res pectivamente porpectivamente por 2,2, 4 4 ee 8.8. 22 -- Calcular o produto 834 XCalcular o produto 834 X 599,599, fazendo uma multiplicação defazendo uma multiplicação de lm só algarismo.lm só algarismo. 834834 XX 599599 == 834 X834 X 600-600- 11 == 834 X834 X 600-600- 834834 222 2 -- CCoommoo nono exercício anterior, calcular o produtoexercício anterior, calcular o produto 5432 X5432 X 9999.9999. 33 -- QualQual éé o maior número que pode juntar-seo maior número que pode juntar-se aoao dividendodividendo sem que se altere osem que se altere o quociente?quociente? R.R. d-r- · -d-r- · - 11 44 --Em--Em qualquer divisão o restoqualquer divisão o resto éé sempre menor que metade dosempre menor que metade do dividendo.dividendo. R.R. DD = d x q r= d x q r PRIMEIRAPRIMEIRA PARTEPARTE 3939 NNoo caso mais desfavorável decaso mais desfavorável de serser qq 11 virávirá ComoComo éé sempresempre maiormaior queque rr resultaresulta [[ >> 22 rr OllOll 55 QuaisQuais são são os os númerosnúmeros que que divdivididididos os porpor 2525 dãodão umum quo-quo- ciente igualciente igual nono resto?resto? R.R. SãoSão os númerosos números iguais a 26iguais a 26 XX 1111 sendosendo qualquer nümeroqualquer nümero menormenor queque 2.5.2.5. Generalizar para qualquer divisor.Generalizar para qualquer divisor. CAPÍTULOCAPÍTULO VIVI otenciaçãootenciação 32. Chama-se32. Chama-se potênciapotência aa umum produtoproduto dede factoresfactores iguais.iguais. A operação pela qual se determina o valor dumaA operação pela qual se determina o valor duma potênciapotência potenciação-potenciação- constitui pois um caso particuconstitui pois um caso particu larlar ddaa multiplicação.multiplicação. O factor que se repete toma o nome deO factor que se repete toma o nome de basebase dada potência, e o número de factores iguais chama-sepotência, e o número de factores iguais chama-se expoenteexpoente ouou grau.grau. Para indicar oPara indicar o produtoproduto dede nn factores iguais afactores iguais a aa aa potência npotência n dede aa oouu aindaainda aa elevadoelevado àà potênciapotência n),n), usa-se usa-se a a notação notação :: anan 1)1) aa x x xx .... n vezes)n vezes) A segunda potência tem a denominação particularA segunda potência tem a denominação particular dede quadrado;quadrado; terceira terceira potência potência chama chama -se -se tambémtambém cubo.cubo. 1)1) Esta Esta notação notação para para desidesignar gnar potênpotências,cias, éé devida a Descartesdevida a Descartes que a empregou no seu livroque a empregou no seu livro LaLa Géométrie,Géométrie, 1637.1637. PRIMEIRA PARTEPRIMEIRA PARTE 4141 Cálculo das potênciasCálculo das potências TeoremaTeorema 33. O33. O produtoproduto dede potências potências da mesmda mesma a basebase éé U ll(lU ll( l potência da mesma base cujo expoentepotência da mesma base cujo expoente éé a soma dosa soma dos expoel?tes.expoel?tes. pp vezesvezes qq vezesvezes aPXaqaPXaq = a X a X a X= a X a X a X .......... ))X X a X a x a xa X a x a x ........ )) == pp++qq vezes)vezes) a X a X aXaX aX aX . . . .. . . . =aP Q=aP Q TeoremaTeorema 34.34. A potência de outra potência tem a mesma baseA potência de outra potência tem a mesma base e o expoente iguale o expoente igual oo produto dos expoentes.produto dos expoentes. qq vezesvezes qq vezesvezes aPaP qq == aPaP XX aPaP XX aPaP XX . . . .. . . . == aPaP ++PP++PP++ .... == aPaP xx qq TeoremaTeorema 35. O35. O produto de potênciasproduto de potências dodo mesmo expoentemesmo expoente éé uma potência uma potência do do mesmo expoente mesmo expoente cuja basecuja base éé o produtoo produto das basesdas bases oouu inversamente,inversamente, a potência de uma potência de um produtoproduto éé igual aoigual ao produtoproduto dasdas potências dos factores.potências dos factores. pp vezesvezes pp vezesvezes aPaP XX bb = = aa XX aa XX aa XX . . .. . . ))XX bb XX bbXX bbXX == pp vezesvezes = = aa XX b)b) aa XX b)b) XX aa XX b)b) XX = = aa XX b)b) PP 4242 RITMÉTICRITMÉTIC RACIONALRACIONAL TeoremaTeorema 36.36. O quociente O quociente de de potêncpotências dias da ma mesmesma a base base é é umauma potência da mesma base cujo expoente é a diferença dospotência da mesma base cujo expoente é a diferença dos expoentes.expoentes. PoisPois queque aaP -P - qq XX qq == aP aP -- íí qq == aPaP deduz-sededuz-se TeoremaTeorema 37.37. O quocienteO quociente ee potênciaspotências oo mesmo expoente émesmo expoente é uma potência do mesmo expoente cuja base é o quocienteuma potência do mesmo expoente cuja base é o quociente das basesdas bases oouu inversamente,inversamente, a potência dea potência de uumm quocientequociente éé igual ao quocienteigual ao quociente das potências dos seusdas potências dos seus termos dividendotermos dividendo e divisor .e divisor . Pois quePois que deduz-se:deduz-se: 38.38. Casos particulares.Casos particulares. A definiçãoA definição ddee potênciapotência exige que o expoente tenha o mínimo de 2exige que o expoente tenha o mínimo de 2 unidades;unidades; dêstedêste modomodo não têm significação :não têm significação : ee PRIMEIRPRIMEIR PARTEPARTE 44 oorr definição atribuímos-lhesdefinição atribuímos-lhes ooss valores :valores : o quo que se je se justiustifica fica pois pois :: aPXa=aP I=aPXalaPXa=aP I=aPXal aP : aP = l =aP P =ao .aP : aP = l =aP P =ao . Considera-seConsidera-se portantoportanto um número como a primeiraum número como a primeira potência de potência de si mesmo si mesmo e e a potêna potência cia zero de zero de qualqualquerquer número sempre igual à unidade.número sempre igual à unidade. CAPÍTULOCAPÍTULO VIIVII adiciaçãoadiciação 39.39. A radiciação ou extracçãoA radiciação ou extracção dede raízesraízes éé aa opeope ração inversaração inversa ddaa potenciação.potenciação. PretendePretende resolver oresolver o seguinteseguinte problemaproblema DadDados os um um número número e e um um iuímeroiuímero n,n, determinardeterminar outrooutro númeronúmero aa que que elevado elevado potênciapotência n,n, reproduza oreproduza o númeronúmero A.A. aa AA Chama-seChama-se aa aa raizraiz dede indice nindice n ddee AA designando-adesignando-a pela notaçãopela notação a { Aa { A O sinalO sinalV-V- 1)1) denomina-sedenomina-se radical; Aradical; A é é oo radicando.radicando. 4040 OO problemaproblema acimaacima expostoexposto nãonão éé sempresempre possível.possível. 1)1) O sinalO sinal 11 foifoi introduzido no cálculo no século XVI; repreintroduzido no cálculo no século XVI; repre senta provàvelmente a transformação desenta provàvelmente a transformação de rr a primeira letraa primeira letra ddee raizraiz lat. radix).lat. radix). PRIMEIRAPRIMEIRA PARTEPARTE 4 54 5 NNoo caso afirmativo diremoscaso afirmativo diremos queque a = { Aa = { A é umaé uma raiz exacta,raiz exacta, oouu que que o o númernúmero o admite admite umauma rai;;:rai;;: exacta.exacta. Em Em gergeral, al, porém, porém, um um daddado o númnúmero ero nào nào tem tem rairaizz exacta. Neste caso o objectivoexacta. Neste caso o objectivo ddee radiciaçào será :radiciaçào será : Determinar o maior númeroDeterminar o maior número aa que, elevadoque, elevado àà potên-potên- ciacia n,n, conduza a um resultado inferior aconduza a um resultado inferior a A A .. Chamar-se-á agora aChamar-se-á agora a aa aa raiz inteiraraiz inteira dede índiceíndice n,n, ouou aa raizraiz dede índiceíndice nn comcom a aproximação de uma unidade.a aproximação de uma unidade. SeráSerá ee aa++ 1)1) 1111 >>AA A diferençaA diferença aa == rr chama-se ochama-se o restoresto da operaçao.da operaçao. De definição decorre imediatamente queDe definição decorre imediatamente que ll ll JJTT 11 { { == RaiRaiz z quadquadrada rada RegrRegra a para para a a extextracracçãoção da raiz quadrada inteirada raiz quadrada inteira 4141 A raizA raiz ddee índice 2 tem o nome particular deíndice 2 tem o nome particular de raiz quadrada.raiz quadrada. o caso que iremos estudar em especial,o caso que iremos estudar em especial, justificando a regra práticajustificando a regra prática ddaa operação, conhecida daoperação, conhecida da Aritmética elementar.Aritmética elementar. Os números com raizOs números com raiz quadradaquadrada exacta chamam-seexacta chamam-se quadrados perfeitos;quadrados perfeitos; estes números são, até 100;estes números são, até 100; oo 1 4 91 4 9 1616 2525 3636 49 6449 64 8181 100;100; 4646 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL as suas raízes são respectivamenteas suas raízes são respectivamente oo 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 11 88 99 10.10. 4242. . A A raraiziz quadradaquadrada inteira de um númerointeira de um número AA oouu a raiz quadradaa raiz quadrada ddoo maior quadrado contidomaior quadrado contido AA seráserá definida pela dupla desigualdadedefinida pela dupla desigualdade 43. Se43. Se umum númeronúmero dadodado éé inferior ainferior a 100100 o cálculoo cálculo ddaa sua raiz quadrada inteirasua raiz quadrada inteiraéé porpor assiassim dizm dizer er imediato imediato tãotão fácilfácil éé a fixaçãoa fixação dosdos quadradosquadrados perfeitos atrás indicados.perfeitos atrás indicados. Para o casoPara o caso ddee um número superior aum número superior a 100100 o estao esta belecimento da regrabelecimento da regra parapara a determinação da sua raiza determinação da sua raiz quadradaquadrada necessita do estabelecimentonecessita do estabelecimento ddee algumas proalgumas pro posições.posições. AtendaAtenda-se em primeiro lu-se em primeiro lugar gar a a quque e pela pela aplicaçãoaplicação da propriedade distributivada propriedade distributiva ddaa multiplicação semultiplicação se deduzdeduz aa++ 22 == aa++ b b XX aa++ b b == aa22 XX a a bb bb22•• TeoremaTeorema 44.44. A diferença dos quadrados de dois númerosA diferença dos quadrados de dois números inteinteiros iros conseconsecutivcutivos os obtéobtém m se se adicionando uma uadicionando uma unidadenidade oo dôbrodôbro dodo menor.menor. Com efeitoCom efeito dondedonde PRIMEIRA PARTEPRIMEIRA PARTE 4747 SeSe aa representa a raiz quadrada inteira derepresenta a raiz quadrada inteira de A,A, decorredecorre imediatamente queimediatamente que o resto da operaçãoo resto da operação AA -- aa22<< aa++ 11 22 aa22 não pode excedernão pode exceder 22 XX aa istoisto éé o dôbro dao dôbro da raizraiz inteirainteira TeoremaTeorema 4545 OO número de dezenas donúmero de dezenas do raizraiz quadraquadrada inteirada inteira do nlÍmerodo nlÍmero AA éé igualigual àà raizraiz quadrada inteira das cente-quadrada inteira das cente- nas denas de AA DesignandoDesignando porpor CC DD ee UU respectivamente os núme-respectivamente os núme- ros das centenas, dezenas e unidades deros das centenas, dezenas e unidades de A,A, teremosteremos AA== CCXX IOO+DXIO+IOO+DXIO+ UU RepresentemosRepresentemos porpor dd a raiz quadrada inteira dea raiz quadrada inteira de CC.. SeráSerá dondedonde dd22 X X 0022 ;; :: C C X X II0000 << dd 22 XX 101022 ouou d X 1 0d X 1 0 ~ C X 1 0 0 < f d +~ C X 1 0 0 < f d + l X10 2.l X10 2. Atendendo a que a diferença entre os membrosAtendendo a que a diferença entre os membros extremos desta dupla desigualdade nunca será inferior aextremos desta dupla desigualdade nunca será inferior a uma centena, esta ainda se manterá se adicionarmos auma centena, esta ainda se manterá se adicionarmos a CCXX 11 o númeroo número DDXX 11 UU LogoLogo ddXX ~ ~ XX 100+100+ DDXX 1010 ++ U<[ dU<[ d ++ II XX 1 ] ~1 ] ~ 4848 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL oouu dd XX 1 0 ~ ~1 0 ~ ~ AA << [ [ dd ++ II XX 10)2,10)2, o que indicao que indica terter a raiz inteira dea raiz inteira de A A dd dezenas.dezenas. TeoremaTeorema 46.46. Subtraindo a um dado número o quadrado dasSubtraindo a um dado número o quadrado das dezenas da sua raiz quadrada, o quociente da divisãodezenas da sua raiz quadrada, o quociente da divisão dodo resto pelresto pelo dôbo dôbro ro das dezedas dezenas nas da raida raiz, z, represenrepresenta o ta o alga-alga- rismo das unidades da raizrismo das unidades da raiz ouou um número maior,um número maior, istoisto é,é, representa o limite superior das unidades da raiz.representa o limite superior das unidades da raiz. Designe-seDesigne-se porpor AA o número dado,o número dado, dd o número daso número das dezenasdezenas ddaa sua raiz quadrada,sua raiz quadrada, uu o algarismo das unidao algarismo das unida des da dita raiz edes da dita raiz e rr o resto de radiciação. Teremoso resto de radiciação. Teremos A = d XA = d X tü+utü+u 22++ rr .d.d22 XX lülü22 + 2 X d X+ 2 X d X 10Xu u10Xu u22 rr;; dondedonde O quociente da divisãoO quociente da divisão nuncanunca é,é, evidentemente, menor queevidentemente, menor que uu Êste quociente não se altera, se, emÊste quociente não se altera, se, em lugar delugar de dividirdividir mos mos o o restresto o d d XX 10)10)22 pelopelo dôbrodôbro das dezenasdas dezenas ddaa raiz, dividirmos, oraiz, dividirmos, o queque sempre será mais simples, osempre será mais simples, o número das dezenasnúmero das dezenas ddoo resto peloresto pelo dôbrodôbro do númerodo número dasdas dezenasdezenas ddaa raiz.raiz. PRIMEIRA PARTEPRIMEIRA PARTE 4949 TeoremaTeorema 47.47. DeterminadoDeterminado oo limite superior do algarismo daslimite superior do algarismo das unidades da raiz quadrada, o verdadeiro valorunidades da raiz quadrada, o verdadeiro valor uu dêstedêste algarismo será o maior ntimero (inferior ou igualalgarismo será o maior ntimero (inferior ou igual aoao limite) que satisfazlimite) que satisfaz àà relação:relação: 2Xd2Xd XX 11 ++aa XX uu ~~ A - d XA - d X 10)10)22 vemvem Com efeito, deCom efeito, de AA - d / ~- d / ~ 1 0 ~1 0 ~ == 2><2>< dd XX lOlO XX aa++ uu22 +r=+r= = 2><dX= 2><dX 11 u)u) uu+r,+r, [[AA -- ddXX 1010 22]] - - 22 XX dd XX 1010 uu XX aa== r,r, subtracção,subtracção, que sóque só será possível se oserá possível se o diminuidordiminuidor fôrfôr menor oumenor ou igual ao diminuendo.igual ao diminuendo. RestaResta provar queprovar que aa devedeve serser oo maiormaior algarismo quealgarismo que s a t i s f ~ zs a t i s f ~ z àà relação indicada. De facto, se assim não fôr,relação indicada. De facto, se assim não fôr, vê-se imediatamente quevê-se imediatamente que rr excederá oexcederá o dôbro dadôbro da raiz 44.).raiz 44.). Visto que se desejaVisto que se deseja determinar umdeterminar um algarismo, se oalgarismo, se o limitelimite superiorsuperior encontradoencontrado fôrfôr maiormaior queque 99 consideconside rar-se-á desderar-se-á desde logologo 99 como novocomo novo limite.limite. 48.48. ÉÉ fácilfácil agoraagora a justificaçãoa justificação ddaa regraregra ddaa extracextrac çãoção ddaa raizraiz quadradaquadrada dede qualquerqualquer númeronúmero dadodado AA PoisPois queque oo número dasnúmero das dezenasdezenas ddaa raizraiz quadradaquadrada ddee AA éé aa raizraiz ddoo númeronúmero AA das suas centenas, haverádas suas centenas, haverá queque calcularcalcular a raiza raiz quadradaquadrada de umde um númeronúmero AA comcom menos dois alga-menos dois alga- 5050 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL ris mosris mos queque AA parapara a determinaçãoa determinação ddoo númeronúmero das dezedas deze nasnas ddaa raizraiz ddee A'A' haverá igualmente que calcular a raizhaverá igualmente que calcular a raiz ddoo númeronúmero AA das suas centenas ;das suas centenas ; A''A'' teráterá jájá menos doismenos dois algarismos quealgarismos que A',A', e menose menos quatroquatro queque A.A. ProsseguindoProsseguindo o raciocínio, compreende-seo raciocínio, compreende-se queque se obteria umse obteria um númeronúmero sósó comcom umum oouu dois algarismos,dois algarismos, númeronúmero cuja raiz secuja raiz se podepode calcular mentalmente. Assim se explica a divisãocalcular mentalmente. Assim se explica a divisão ddoo númeronúmero dadodado em classesem classes ddee 22 algarismosalgarismos aa partir dapartir da direita.direita. A A raiz raiz inteira inteira um algarismo)um algarismo) ddaa primeiraprimeira classeclasse aa ddaa esquerda) representará as dezenas da raizesquerda) representará as dezenas da raiz ddoo númeronúmero formadoformado pelaspelas primeiraprimeira ee segundasegunda classes. Subtraia-seclasses. Subtraia-se dêstedêste númeronúmero oo quadradoquadrado das das dezenas dezenas ou ou o o queque éé idênidên tico, subtraia-setico, subtraia-se ddaa primeira classe oprimeira classe o quadradoquadrado do algado alga rismorismo das dezenas, e escreva-se à direitadas dezenas, e escreva-se à direita ddoo resto aresto a segundasegunda classe), e divida-se oclasse), e divida-se o númeronúmero das dezenas dêstedas dezenas dêste restoresto pelopelo dôbro dodôbro do númeronúmero das dezenasdas dezenas ddaa raiz;raiz; obter-obter- -se-á assim o lirnite-se-á assim o lirnite superiorsuperior ddoo algarismo das unidades.algarismo das unidades. Verificado êste algarismo pela relaçãoVerificado êste algarismo pela relação 22 XX ddXX 1010 ++uu XX uu<< d d XX 10)10)22,, subtraia-se osubtraia-se o produtoproduto 2 X2 X dd XX 1010 ++ u)u) >> uu ddoo restoresto acimacima referido a referido cujacujas dezenas s dezenas serviserviram ram de de dividendodividendo parapara a determinaçãoa determinação ddoo limitelimite superiorsuperior ddee u).u). Se o númeroSe o número dadodado não tivesse maisnão tivesse mais de quatrode quatro algaalga rismos, rismos, estaria a operaçestaria a operação concluída ão concluída ; ; eram conheram conhecidos ecidos osos algarismosalgarismos das dezenas e das unidadesdas dezenas e das unidades ddaa raiz, e o restoraiz, e o resto da operaçãoda operação rr == AA -- dd >> 1010++uu 22 == == A - d XA - d X 1010 22 - - 2 X2 X ddXX 1010++u Xu.u Xu. PRIMEIRAPRIMEIRA PARTEPARTE 5151 Suponhamos porém que o número dado tem maisSuponhamos porém que o número dado tem mais de quatro algarismos. A raiz achada do número formadode quatro algarismos. A raiz achada do número formado pelas duas primeiras classes, indicará agora as dezenaspelas duas primeiras classes, indicará agora as dezenas de raiz do número constituído pela primeira, segundade raiz do número constituído pela primeira, segunda e terceira e terceira claclassesses. s. A diferença entre êste A diferença entre êste númenúmero ro e o e o ,, quadrado das dezenas da raiz obter-se-á simplesmentequadrado das dezenas da raiz obter-se-á simplesmente escrevendo a terceira classe à direita do restoescrevendo a terceira classe à direita do resto rr ddXX 1010 a)a)22 atrás referidoatrás referido AA o número formado pelas duas primeio número formado pelas duas primei ras classes).ras classes). Dividem-se as dezenasDividem-se as dezenas ddoo número assim obtido pelonúmero assim obtido pelo dôbrodôbro da rda raiz aiz achada achada as das dezeezenas da raiz do nas da raiz do númnúmeroero dado), obtendo-se assim o limite superior do algarismodado), obtendo-se assim o limite superior do algarismo das unidades. Verifica-se êste algarismo, etc., etc.das unidades. Verifica-se êste algarismo, etc., etc. Dar-se-áDar-se-á umum exemplo para melhor ilustrar a aplicaexemplo para melhor ilustrar a aplica ção da regra.ção da regra. 774. 4. 39.39.8585 11... ..8_6_2-:---11... ..8_6_2-:--- 6464 166166 17221722 103.9103.9 6 6 22 9999 66 996996 34443444 44 38.538.5 33 44 444 4 9494 11 1 3 ~1 3 ~ 7 7 66 438438 11112112 9494 22 A A raiz raiz ququadradradada a inteira inteira de 7 de 7 443399885 é 5 é 862; 862; o o restoresto éé 941941 5252 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL EXERCiCIOSEXERCiCIOS 26-lndicar26-lndicar o algarismo das unidades de 396o algarismo das unidades de 39644HH e o dee o de 85 2.85 2. RR 66 ee 5.5. 22 77 O cubo da soma de dois númerosO cubo da soma de dois números éé igual ao cuboigual ao cubo dodo pri-pri- meiro, mais três meiro, mais três vezes vezes o produo produto do primeiro peto do primeiro pelo lo quadradquadrado o do do segundo,segundo, mais três vezes o produto do segundo pelo quadradomais três vezes o produto do segundo pelo quadrado dodo primeiro, maisprimeiro, mais o cubo do segundo.o cubo do segundo. 22 88 Calcular dois números inteiros consecutivos sendoCalcular dois números inteiros consecutivos sendo aa diferençadiferença dos seus quadrados: 647.dos seus quadrados: 647. RR 647647 == 22 xx nn 45.45.) ) 323 323 e e 324324.. 29-Calcular29-Calcular dois números sendo a sua diferençadois números sendo a sua diferença 3131 e a diferençae a diferençados seus quadrados 5983.dos seus quadrados 5983. R.R. a - b = 3 1a - b = 3 1 a2-b2= a -b )a2-b2= a -b ) aa++ b)=5983b)=5983 aa b=5983.;-31b=5983.;-31 == 193193 2 X2 X aa == 224224 aa == 112112 2 Xb = l6 22 Xb = l6 2 b=81b=81 33 00 Calcular dois números, sendo a sua somaCalcular dois números, sendo a sua soma 1616 e a diferençae a diferença dos seus quadrados 32.dos seus quadrados 32. RR a = 9a = 9 b=1b=1 33 11 Calcular a raiz quadrada dos números:Calcular a raiz quadrada dos números: 8457, 319, 51472, 1049768457, 319, 51472, 104976 33 22 Calcular dois números inteiros consecutivos cujo produtoCalcular dois números inteiros consecutivos cujo produto éé 674862.674862. R.R. 821821 e 822.e 822. 3 3 A3 3 A diferença dos quadrados de dois númerosdiferença dos quadrados de dois números éé igual ao qua-igual ao qua- drado da diferença dos números mais duas vezes o produto destadrado da diferença dos números mais duas vezes o produto desta diferença pelo número menor.diferença pelo número menor. PRIMEIRAPRIMEIRA PARTEPARTE 5353 RR Seja Seja o o númeronúmero menor;menor; o maior seráo maior será +c,+c, ee cc a suaa sua diferençadiferença 33 44 -- Qualquer múltiplo deQualquer múltiplo de 44 é a diferençaé a diferença ddee dois quadradosdois quadrados RR nn++ l )2 - (n -1 )2=n2+2xn+l )2 - (n -1 )2=n2+2xn+ 1 - n 2+2xn - l1 - n 2+2xn - l =4xn.=4xn . 33 55 -- AA soma dum númerosoma dum número nn e da sua raiz quadradae da sua raiz quadrada 1111 éé 2970;2970; qual équal é número?número? RR nn == 28162816 =54=54 CAPÍTULOCAPÍTULO VIIIVIII SistemasSistemas dede numeraçãonumeração 4949. . Na numerNa numeração ação decdecimalimal, , cocomo mo se se disse disse (8.(8.), ), cacadada unidade representaunidade representa ezez unidades de ordem imediata-unidades de ordem imediata- mente inferior. Assim temos quemente inferior. Assim temos que dezena valedezena vale 1010 unidadesunidades centenacentena 1 milhar1 milhar 1010 dezenas oudezenas ou 100100 unidadesunidades 1010 centenas oucentenas ou 10001000 unidadesunidades ou aindaou ainda 1 unidade1 unidade 11 dede 1.a1.a ordemordem 1010 unidades simplesunidades simples oouu ddee ordem zeroordem zero == 101022 unidades simplesunidades simples == 103103 unidades simplesunidades simples istoisto é,é, asas unidades decimais das diferentes ordens repre-unidades decimais das diferentes ordens repre- sentamsentam potênciaspotências dede 1010 quer dizer, daquer dizer, da basebase dada mime-mime- raçãoração PRIMEIRA PARTEPRIMEIRA PARTE 5555 50.50. fácilfácil será emserá em qualquerqualquer númeronúmero pôrpôr em evi·em evi· dência a relação entre as suas unidades.dência a relação entre as suas unidades. Ex.:Ex.: seja oseja o nümeronümero 45274527 45274527 == 4000 500 20 74000 500 20 7== == 44 >> 11 5 5 XX 11 22 >> 11O O 77 == == 4 4 X X 101033 5 5 X X 101022 2 2 X X 11O O 77 Seja ainda o número 307Seja ainda o número 307 307307 == 33 77 == 3 3 XX 11 OOX X 11O O 77 == == 3 3 XX 11 22 ++ OOX X 10 10 7.7. UUmm dadodado númeronúmero podepode poispois sempresempre decompor-sedecompor-se numanuma somasoma ddee produtosprodutos dos seusdos seus algarismosalgarismos númerosnúmeros inferioresinferiores àà base)base) porpor potências sucessivaspotências sucessivas ddaa base 10.base 10. 5151. . As As considerações considerações que que acabaacabamosmos ddee exporexpor e e aa generalização dos princípiosgeneralização dos princípios queque presidiram à numeraçãopresidiram à numeração escritaescrita valorvalor ddee posição eposição e emprêgo doemprêgo do z roz ro 7.), per7.), per mitem-nos estabelecer sistemasmitem-nos estabelecer sistemas ddee numeração com basenumeração com base di-ferentedi-ferente ddee 11OO 52.52. NumNum sistemasistema ddee basebase oito,oito, porpor exemplo,exemplo, umauma unidadeunidade da primeirada primeira ordemordem valerávalerá oitooito unidades simples,unidades simples, umauma unidadeunidade ddaa segundasegunda ordemordem valerávalerá oitooito unidadesunidades ddee primeiraprimeira ordem,ordem, etc.;etc.; asas unidadesunidades das diferentesdas diferentes ordensordens serão agoraserão agora as potênciasas potências ddee oito.oito. UUmm númeronúmero qualquerqualquer 347347 5656 ARITMÉTICA RACIONALARITMÉTICA RACIONAL supostosuposto escrito num sistema de baseescrito num sistema de base oitooito poderápoderá poispois decompor-se da forma seguinte:decompor-se da forma seguinte: SSee desejássemosdesejássemos sabersaber aa suasua significaçãosignificação
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