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Interferômetro de Michelson Introdução Uma grande fonte de discussão entre os mais renomados físicos da antiguidade era acerca do comportamento da luz: havia uma indecisão se ela era uma partícula, ou uma onda. No século XVIII, Newton apresentou a teoria corpuscular da luz, segundo a qual ela se comportava como uma partícula. Ele propôs que se a luz fosse realmente uma onda, ela poderia contornar obstáculos, como acontece com o som. No entanto, podemos ouvir uma pessoa conversando do outro lado de um muro alto, mas não podemos vê-la, em razão de o som ser uma onda, e a luz, uma partícula. Um pouco antes, século XVII, Huygens havia lançado a teoria ondulatória da luz. Ele classificou a luz com uma onda, pois achava que a luz vibrava os pontos do meio, da mesma forma que o som o faz. Desde então várias teorias e vários experimentos discutiram e verificaram o comportamento da luz, para que hoje chegássemos à conclusão do princípio de dualidade onda-partícula. Aqui, iremos realizar um experimento com a luz, de forma a ilustrar seu comportamento ondulatório, mediante uma característica exclusiva de ondas: o princípio da interferência. Objetivos Com auxílio dos materiais e ferramentas disponibilizadas pelo laboratório de física experimental da Universidade Federal de Minas Gerais, e embasado em teorias já consagradas da física, verificaremos na prática o princípio ondulatório da luz, e descreveremos algumas relações importantes entre as grandezas relacionadas a ondas (como comprimento de onda e índice de refração) a partir da utilização do Interferômetro de Michelson. Materiais 01 𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟 𝐻𝑒 − 𝑁𝑒, 𝑐𝑜𝑚 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 (𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑓𝑎𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒); 01 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑒𝑟ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑖𝑐ℎ𝑒𝑙𝑠𝑜𝑛; 01 𝑐â𝑚𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒; 01 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 𝑑𝑒 𝑣á𝑐𝑢𝑜; Métodos O experimento consiste em dois procedimentos distintos do uso do interferômetro, mostrado abaixo (figura 1). Para a primeira parte do experimento, não é necessária montagem, uma vez que o equipamento já é composto pelos espelhos, semi-espelho (divisor de feixe), lente divergente e anteparo. No entanto, num segundo momento, será acrescentada uma câmera transparente entre o divisor de feixe e o espelho 𝐸2, conectada à bomba de vácuo, através do qual o feixe do laser deve se propagar durante o experimento. Figura 1 Esse experimento se baseia, de forma geral, no princípio de superposição de ondas no padrão de interferência. O feixe emitido pelo laser é parcialmente refletido pelo semi-espelho (50% da luz incidente é refletido para o espelho 𝐸1, e o valor restante é transmitido ao espelho 𝐸2). Tais feixes então são refletidos sobre seu respectivo espelho, incidem novamente no divisor de feixe, e então são projetados sob o anteparo (tela). Como o feixe laser é inicialmente dispersado pela lente divergente, sob o anteparo se forma padrões circulares concêntricos: claros – quando os feixes incidem em fase – e escuros – quando se encontram em oposição de fase (figura 2). Figura 2 Originalmente, tais feixes estão em fase, uma vez que são produzidos pela mesma fonte. No entanto, devido a diferença de percurso até o anteparo, estes feixes podem mudar de fase. Essa alteração de fase é devido à movimentação do espelho móvel ao longo do seu eixo de percurso. Movendo-se esse espelho por uma distância 𝑑 = 𝜆 4 , a diferença de percurso entre as ondas é 2𝑑 = 𝜆 2 (veja que a onda percorre tal deslocamento duas vezes antes de atingir o anteparo), sendo suficiente para alterar o padrão de interferência anteriormente visto, uma vez que quando a diferença de percurso entre duas ondas é metade do seu comprimento de onda, se elas estão inicialmente em fase, elas se encontrarão na tela fora de fase (circunferência escura), e se estão inicialmente fora de fase, se encontrarão em fase (circunferência clara). Em fase, de acordo com o princípio de superposição, os pontos de máximo e mínimo ocorrem ao mesmo tempo, logo, o resultado é uma intensidade maior (padrão claro). Por outro lado, fora de fase significa que a crista de uma onda se superporá a um vale da outra, criando uma interferência parcial ou totalmente destrutiva, originando um padrão de baixa intensidade. Movendo-se o espelho novamente pela mesma distância 𝑑 = 𝜆/4, o padrão de círculos concêntricos volta ao original. Concluímos então que sempre que movermos o espelho móvel 𝐸2 por uma distância 𝑑 e observarmos o mesmo padrão que o inicial, a seguinte relação é válida (relação 1), em que 𝑚 é um número inteiro que representa o número de vezes que o padrão original foi restaurado durante o deslocamento 𝑑: 2𝑑 = 𝑚𝜆 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (1) Dessa forma, conhecendo o valor de 𝑑, podemos determinar o comprimento de onda do feixe laser. Assim, a primeira parte do experimento consiste em deslocar 𝐸2 de forma gradativa (percebe-se através da relação 1 que esse deslocamento é mínimo, na prática sendo realizado por um micrômetro), anotando o deslocamento e o valores do respectivo 𝑚. Para esse experimento vimos a modificação de franjas 𝑚 = 100 vezes, e nos é informado pelo micrômetro um deslocamento 𝑑 = (550 ± 10) 𝜇𝑚. Esse deslocamento 𝑑 ainda deve ser corrigido pelo fator de escala dado pelo fabricante do micrômetro. Para nosso caso, esse fator é 𝑟 = (17,6 ± 0,8). Portanto, o deslocamento real apresentado é 𝑑 = (31,3 ± 1,5)𝜇𝑚. Portanto, usando a relação 1, somos capazes de encontrar o comprimento de onda do laser He-Ne. O interferômetro de Michelson também pode ser utilizado para determinar o índice de refração em função da pressão de um gás. Isso pode ser feito fazendo um dos feixes de luz atravessar uma câmara transparente preenchida com o gás, como mostrado na figura 3 a seguir. Figura 3 Fora dessa câmara, os caminhos óticos dos dois feixes de luz do interferômetro não se alteram (espelho 𝐸2 permanece estático). Entretanto, no interior da câmara, o comprimento de onda da luz modifica-se à medida que a pressão do gás é alterada. Toda vez que o caminho ótico de um dos feixes for alterado de um comprimento de onda, cada franja clara torna-se escura, e novamente clara e vice-versa. Considerando agora, uma câmara de espessura 𝑑 que contém um gás à pressão inicial 𝑝𝑖 e que, nessa situação, o comprimento de onda da luz no gás é 𝜆𝑖. Como o feixe passa duas vezes através da câmara, o número 𝑚𝑖 de comprimentos de onda no interior dela é dado por (relação 2): 𝑚𝑖 = 2𝑑 𝜆𝑖 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (2) Alterando-se a pressão do gás para 𝑝𝑓, o número 𝑚𝑓 de comprimentos de onda 𝜆𝑓 na câmara passa a ser dado por (relação 3): 𝑚𝑓 = 2𝑑 𝜆𝑓 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (3) Sejam 𝑛𝑖 e 𝑛𝑓 os índices de refração do gás nas pressões 𝑝𝑖 e 𝑝𝑓, respectivamente, e 𝜆0 o comprimento de onda da luz no vácuo (calculada previamente). Então, como 𝜆𝑖 = 𝜆0 𝑛𝑖 , e 𝜆𝑓 = 𝜆0 𝑛𝑓 , obtém-se: 𝑛𝑖 − 𝑛𝑓 = 𝜆0Δ𝑚 2𝑑 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (4) Em que Δ𝑚 = 𝑚𝑖 − 𝑚𝑓 é o número de franjas de interferências contadas quando pressão do gás passa de 𝑝𝑖 para 𝑝𝑓. Assim, conhecendo um par ordenado de referência (𝑝, 𝑛), podemos encontrar o valor do índice de refração de qualquer outro valor de pressão (observe que para 𝑝 = 0 – vácuo –, 𝑛 = 0), com base na relação 4, apenas conhecendo a variação do número de franjas de 𝑝𝑖 até 𝑝𝑓. Uma análise rápida e experimental, consiste em gradualmente se retirar a pressão da câmara e anotar os valores das variações de franja. Obtemos assim, a tabela 1. 𝑚 (𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎𝑠) 𝑝 (𝑚𝑏𝑎𝑟) 0 980 2 940 4 890 6 850 8 800 10 760 12 710 Tabela 1 Fornecendo taisdados ao software de análise de dados SciDAVis, nos é fornecido que tal relação é linear, como descrito a seguir, figura 3. Figura 3 Vemos então que a relação se resume à: 𝑝 = 982 − 22,5 ∗ 𝑚 Utilizando a expressão acima, e fazendo uma extrapolação da função, vemos que se anula para 𝑚 = (43,6 ± 0,6). Assim, o segundo par que que necessitávamos para calcular o índice de refração é obtido. Logo, voltando a relação 4, e utilizando as variáveis desejadas (𝑛𝑖 – índice de refração à pressão atmosférica; 𝑛𝑓 – índice no vácuo) somos capazes de encontrar o valor desejado. Resultados Dando prosseguimento a última etapa do primeiro experimento, utilizando a relação 1, alcançamos o objetivo deste. 𝜆 = 2𝑑 𝑚 . : 𝜆 = 626 𝑛𝑚 Como essa medida foi obtida a partir de outras grandezas, a incerteza e o erro das mesmas é propagado sobre nosso valor desejado. Assim, calculamos a incerteza padrão combinada de 𝑛 através da relação (5): 𝑢𝑐 2(𝑦) = ∑ ( 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 ) 2 ∙ 𝑢2(𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (5) Para 𝜆, temos: Δ𝜆 = ( 2 𝑚 ) ∙ Δ𝑑 . : Δ𝜆 = 30 𝑛𝑚 Comparando o valor do comprimento de onda obtido através do experimento, com o valor comercial de laser de Hélio-Neônio (632,8 𝑛𝑚) vemos que o experimento foi bem sucedido, e o valor padrão comercial se encontra no intervalo de incerteza do valor calculado. Dando prosseguimento ao segundo momento do experimento, utilizando a relação 4 e o valor do comprimento de onda obtido anteriormente, e fazendo a renomeação 𝑛𝑖 → 𝑛𝑎𝑟 obtemos: 𝑛𝑎𝑟 = 𝜆0Δ𝑚 2𝑑 + 𝑛𝑓 . : 𝑛𝑎𝑟 = 1,00025 Para uma câmara de dimensões 𝑑 = 5,4 ± 0,2 𝑐𝑚. Tal valor já era esperado, pois sabemos por experiência própria que o índice de refração do ar é aproximadamente igual ao índice de refração do vácuo. Novamente, tal valor se confirma com dados presentes na esfera científica, obtida por meio de outros experimentos. Novamente, devemos buscar a incerteza associada a 𝑛𝑎𝑟. Assim, utilizando novamente a relação 5, e renomeando Δ𝑚 → 𝛿𝑚, obtemos: Δ𝑛𝑎𝑟 2 = ( δ𝑚 2𝑑 ) 2 ∙ Δ𝜆0 2 + ( 𝜆0 2𝑑 ) 2 ∙ Δ𝛿𝑚2 + (− 𝜆0𝛿𝑚 2𝑑2 ) 2 ∙ Δ𝑑2 . : Δ𝑛𝑎𝑟 = 1 × 10 −5 = 0,00001 Portanto: 𝑛𝑎𝑟 = (1,00025 ± 0,00001) Conclusão Concluído com sucesso o objetivo, baseado na análise experimental auxiliada por formulações e modelos matemáticos que descrevem corretamente os fenômenos observados. Encontramos, ao final desse experimento, um valor compatível com os valores de mercado do laser de Hélio-Neônio, e um valor adequado e condizente com a prática de aproximação do índice de refração do ar pelo do vácuo, como mostrado abaixo. 𝜆 = (626 ± 30)𝑛𝑚 𝑛𝑎𝑟 = (1,00025 ± 0,00001)
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