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Relatório: Interferômetro de Michelson

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Interferômetro de Michelson 
Introdução 
 Uma grande fonte de discussão entre os 
mais renomados físicos da antiguidade era acerca 
do comportamento da luz: havia uma indecisão se 
ela era uma partícula, ou uma onda. No século 
XVIII, Newton apresentou a teoria corpuscular da 
luz, segundo a qual ela se comportava como uma 
partícula. Ele propôs que se a luz fosse realmente 
uma onda, ela poderia contornar obstáculos, como 
acontece com o som. 
No entanto, podemos ouvir uma pessoa 
conversando do outro lado de um muro alto, mas 
não podemos vê-la, em razão de o som ser uma 
onda, e a luz, uma partícula. Um pouco antes, 
século XVII, Huygens havia lançado a teoria 
ondulatória da luz. Ele classificou a luz com uma 
onda, pois achava que a luz vibrava os pontos do 
meio, da mesma forma que o som o faz. 
Desde então várias teorias e vários 
experimentos discutiram e verificaram o 
comportamento da luz, para que hoje 
chegássemos à conclusão do princípio de 
dualidade onda-partícula. 
 Aqui, iremos realizar um experimento com 
a luz, de forma a ilustrar seu comportamento 
ondulatório, mediante uma característica exclusiva 
de ondas: o princípio da interferência. 
Objetivos 
 Com auxílio dos materiais e ferramentas 
disponibilizadas pelo laboratório de física 
experimental da Universidade Federal de Minas 
Gerais, e embasado em teorias já consagradas da 
física, verificaremos na prática o princípio 
ondulatório da luz, e descreveremos algumas 
relações importantes entre as grandezas 
relacionadas a ondas (como comprimento de onda 
e índice de refração) a partir da utilização do 
Interferômetro de Michelson. 
Materiais 
 01 𝑙𝑎𝑠𝑒𝑟 𝐻𝑒 − 𝑁𝑒, 𝑐𝑜𝑚 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 (𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑓𝑎𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒); 
 01 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑒𝑟ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑖𝑐ℎ𝑒𝑙𝑠𝑜𝑛; 
 01 𝑐â𝑚𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒; 
 01 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 𝑑𝑒 𝑣á𝑐𝑢𝑜; 
Métodos 
 O experimento consiste em dois 
procedimentos distintos do uso do interferômetro, 
mostrado abaixo (figura 1). Para a primeira parte 
do experimento, não é necessária montagem, uma 
vez que o equipamento já é composto pelos 
espelhos, semi-espelho (divisor de feixe), lente 
divergente e anteparo. No entanto, num segundo 
momento, será acrescentada uma câmera 
transparente entre o divisor de feixe e o espelho 
𝐸2, conectada à bomba de vácuo, através do qual 
o feixe do laser deve se propagar durante o 
experimento. 
Figura 1 
 Esse experimento se baseia, de forma 
geral, no princípio de superposição de ondas no 
padrão de interferência. 
 O feixe emitido pelo laser é parcialmente 
refletido pelo semi-espelho (50% da luz incidente é 
refletido para o espelho 𝐸1, e o valor restante é 
transmitido ao espelho 𝐸2). Tais feixes então são 
refletidos sobre seu respectivo espelho, incidem 
novamente no divisor de feixe, e então são 
projetados sob o anteparo (tela). Como o feixe 
laser é inicialmente dispersado pela lente 
divergente, sob o anteparo se forma padrões 
circulares concêntricos: claros – quando os feixes 
incidem em fase – e escuros – quando se 
encontram em oposição de fase (figura 2). 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 
Originalmente, tais feixes estão em fase, 
uma vez que são produzidos pela mesma fonte. No 
entanto, devido a diferença de percurso até o 
anteparo, estes feixes podem mudar de fase. Essa 
alteração de fase é devido à movimentação do 
espelho móvel ao longo do seu eixo de percurso. 
Movendo-se esse espelho por uma distância 𝑑 =
𝜆
4
, 
a diferença de percurso entre as ondas é 2𝑑 =
𝜆
2
 
(veja que a onda percorre tal deslocamento duas 
vezes antes de atingir o anteparo), sendo suficiente 
para alterar o padrão de interferência 
anteriormente visto, uma vez que quando a 
diferença de percurso entre duas ondas é metade 
do seu comprimento de onda, se elas estão 
inicialmente em fase, elas se encontrarão na tela 
fora de fase (circunferência escura), e se estão 
inicialmente fora de fase, se encontrarão em fase 
(circunferência clara). Em fase, de acordo com o 
princípio de superposição, os pontos de máximo e 
mínimo ocorrem ao mesmo tempo, logo, o 
resultado é uma intensidade maior (padrão claro). 
Por outro lado, fora de fase significa que a crista de 
uma onda se superporá a um vale da outra, criando 
uma interferência parcial ou totalmente 
destrutiva, originando um padrão de baixa 
intensidade. 
Movendo-se o espelho novamente pela 
mesma distância 𝑑 = 𝜆/4, o padrão de círculos 
concêntricos volta ao original. Concluímos então 
que sempre que movermos o espelho móvel 𝐸2 por 
uma distância 𝑑 e observarmos o mesmo padrão 
que o inicial, a seguinte relação é válida (relação 1), 
em que 𝑚 é um número inteiro que representa o 
número de vezes que o padrão original foi 
restaurado durante o deslocamento 𝑑: 
2𝑑 = 𝑚𝜆 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (1) 
Dessa forma, conhecendo o valor de 𝑑, 
podemos determinar o comprimento de onda do 
feixe laser. Assim, a primeira parte do experimento 
consiste em deslocar 𝐸2 de forma gradativa 
(percebe-se através da relação 1 que esse 
deslocamento é mínimo, na prática sendo 
realizado por um micrômetro), anotando o 
deslocamento e o valores do respectivo 𝑚. 
Para esse experimento vimos a 
modificação de franjas 𝑚 = 100 vezes, e nos é 
informado pelo micrômetro um deslocamento 𝑑 =
(550 ± 10) 𝜇𝑚. Esse deslocamento 𝑑 ainda deve 
ser corrigido pelo fator de escala dado pelo 
fabricante do micrômetro. Para nosso caso, esse 
fator é 𝑟 = (17,6 ± 0,8). Portanto, o 
deslocamento real apresentado é 𝑑 = (31,3 ±
1,5)𝜇𝑚. Portanto, usando a relação 1, somos 
capazes de encontrar o comprimento de onda do 
laser He-Ne. 
O interferômetro de Michelson também 
pode ser utilizado para determinar o índice de 
refração em função da pressão de um gás. Isso 
pode ser feito fazendo um dos feixes de luz 
atravessar uma câmara transparente preenchida 
com o gás, como mostrado na figura 3 a seguir. 
Figura 3 
Fora dessa câmara, os caminhos óticos dos 
dois feixes de luz do interferômetro não se alteram 
(espelho 𝐸2 permanece estático). Entretanto, no 
interior da câmara, o comprimento de onda da luz 
modifica-se à medida que a pressão do gás é 
alterada. Toda vez que o caminho ótico de um dos 
feixes for alterado de um comprimento de onda, 
cada franja clara torna-se escura, e novamente 
clara e vice-versa. 
Considerando agora, uma câmara de 
espessura 𝑑 que contém um gás à pressão inicial 𝑝𝑖 
e que, nessa situação, o comprimento de onda da 
luz no gás é 𝜆𝑖. Como o feixe passa duas vezes 
através da câmara, o número 𝑚𝑖 de comprimentos 
de onda no interior dela é dado por (relação 2): 
𝑚𝑖 =
2𝑑
𝜆𝑖
 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (2) 
Alterando-se a pressão do gás para 𝑝𝑓, o 
número 𝑚𝑓 de comprimentos de onda 𝜆𝑓 na 
câmara passa a ser dado por (relação 3): 
𝑚𝑓 =
2𝑑
𝜆𝑓
 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (3) 
Sejam 𝑛𝑖 e 𝑛𝑓 os índices de refração do gás 
nas pressões 𝑝𝑖 e 𝑝𝑓, respectivamente, e 𝜆0 o 
comprimento de onda da luz no vácuo (calculada 
previamente). Então, como 𝜆𝑖 =
𝜆0
𝑛𝑖
, e 𝜆𝑓 =
𝜆0
𝑛𝑓
, 
obtém-se: 
𝑛𝑖 − 𝑛𝑓 =
𝜆0Δ𝑚
2𝑑
 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (4) 
Em que Δ𝑚 = 𝑚𝑖 − 𝑚𝑓 é o número de 
franjas de interferências contadas quando pressão 
do gás passa de 𝑝𝑖 para 𝑝𝑓. 
 Assim, conhecendo um par ordenado de 
referência (𝑝, 𝑛), podemos encontrar o valor do 
índice de refração de qualquer outro valor de 
pressão (observe que para 𝑝 = 0 – vácuo –, 𝑛 = 0), 
com base na relação 4, apenas conhecendo a 
variação do número de franjas de 𝑝𝑖 até 𝑝𝑓. 
 Uma análise rápida e experimental, 
consiste em gradualmente se retirar a pressão da 
câmara e anotar os valores das variações de franja. 
Obtemos assim, a tabela 1. 
𝑚 (𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎𝑠) 𝑝 (𝑚𝑏𝑎𝑟) 
0 980 
2 940 
4 890 
6 850 
8 800 
10 760 
12 710 
Tabela 1 
Fornecendo taisdados ao software de 
análise de dados SciDAVis, nos é fornecido que tal 
relação é linear, como descrito a seguir, figura 3. 
Figura 3 
 Vemos então que a relação se resume à: 
𝑝 = 982 − 22,5 ∗ 𝑚 
 Utilizando a expressão acima, e fazendo 
uma extrapolação da função, vemos que se anula 
para 𝑚 = (43,6 ± 0,6). Assim, o segundo par que 
que necessitávamos para calcular o índice de 
refração é obtido. Logo, voltando a relação 4, e 
utilizando as variáveis desejadas (𝑛𝑖 – índice de 
refração à pressão atmosférica; 𝑛𝑓 – índice no 
vácuo) somos capazes de encontrar o valor 
desejado. 
Resultados 
 Dando prosseguimento a última etapa do 
primeiro experimento, utilizando a relação 1, 
alcançamos o objetivo deste. 
𝜆 =
2𝑑
𝑚
 . : 𝜆 = 626 𝑛𝑚 
Como essa medida foi obtida a partir de 
outras grandezas, a incerteza e o erro das mesmas 
é propagado sobre nosso valor desejado. Assim, 
calculamos a incerteza padrão combinada de 𝑛 
através da relação (5): 
𝑢𝑐
2(𝑦) = ∑ (
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
)
2
∙ 𝑢2(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (5) 
 Para 𝜆, temos: 
Δ𝜆 = (
2
𝑚
) ∙ Δ𝑑 . : Δ𝜆 = 30 𝑛𝑚 
 Comparando o valor do comprimento de 
onda obtido através do experimento, com o valor 
comercial de laser de Hélio-Neônio (632,8 𝑛𝑚) 
vemos que o experimento foi bem sucedido, e o 
valor padrão comercial se encontra no intervalo de 
incerteza do valor calculado. 
 Dando prosseguimento ao segundo 
momento do experimento, utilizando a relação 4 e 
o valor do comprimento de onda obtido 
anteriormente, e fazendo a renomeação 𝑛𝑖 → 𝑛𝑎𝑟 
obtemos: 
𝑛𝑎𝑟 =
𝜆0Δ𝑚
2𝑑
+ 𝑛𝑓 . : 𝑛𝑎𝑟 = 1,00025 
 Para uma câmara de dimensões 𝑑 = 5,4 ±
0,2 𝑐𝑚. Tal valor já era esperado, pois sabemos por 
experiência própria que o índice de refração do ar 
é aproximadamente igual ao índice de refração do 
vácuo. Novamente, tal valor se confirma com 
dados presentes na esfera científica, obtida por 
meio de outros experimentos. 
 Novamente, devemos buscar a incerteza 
associada a 𝑛𝑎𝑟. Assim, utilizando novamente a 
relação 5, e renomeando Δ𝑚 → 𝛿𝑚, obtemos: 
Δ𝑛𝑎𝑟
2 = (
δ𝑚
2𝑑
)
2
∙ Δ𝜆0
2 + (
𝜆0
2𝑑
)
2
∙ Δ𝛿𝑚2
+ (−
𝜆0𝛿𝑚
2𝑑2
)
2
∙ Δ𝑑2 
 . : Δ𝑛𝑎𝑟 = 1 × 10
−5 = 0,00001 
Portanto: 
𝑛𝑎𝑟 = (1,00025 ± 0,00001) 
Conclusão 
 Concluído com sucesso o objetivo, 
baseado na análise experimental auxiliada por 
formulações e modelos matemáticos que 
descrevem corretamente os fenômenos 
observados. Encontramos, ao final desse 
experimento, um valor compatível com os valores 
de mercado do laser de Hélio-Neônio, e um valor 
adequado e condizente com a prática de 
aproximação do índice de refração do ar pelo do 
vácuo, como mostrado abaixo. 
𝜆 = (626 ± 30)𝑛𝑚 
 
𝑛𝑎𝑟 = (1,00025 ± 0,00001)

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