Engenharia Civil - Concreto Armado I - Dimensionamento e Detalhamento de Lajes - Exercício - Prof Clementino

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Prof. MSc. Clementino José dos Santos Filho 
Disciplina: Concreto Armado I 
Assunto: Dimensionamento e detalhamento de lajes convencionais e maciças 
 
Exercício 
 
1) Dimensionar e detalhar as lajes maciças, ilustradas na figura abaixo: 
Dados: 
- Destinação das lajes  escala  h = 10 cm, Sc = 300 kgf / m² 
- Revestimento  100 kgf / m² 
- Aço  Ca – 50 B  ∝ = 35,44 
- Fck = 300 kgf / cm² 
- d' = 2 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º Passo  Determinar o carregamento q das lajes 
 
q = Pp + Sc + Rev 
q = 250 + 300 + 100 
q = 650 kgf / m² 
 
Pp = 𝛾 concreto armado x h 
Pp = 2.500 x 0,10 
Pp = 250 kgf / m² 
 
 
2º Passo  Classificação das Lajes 
 
L1 → 6,15 = 1,0 ≤ 2 (armada em duas direções) 
 6,15 
L1 
L2 
L3 
6
,0
0
 
6,00 2,50 
8,65 3
,0
0
 
15 cm 
Pp = peso próprio 
Sc = sobrecarga 
Rev = revestimento 
 
2 
 
L2 → 6,15 = 2,32 > 2 (armada em uma direção) 
 2,65 
 
L3 → 8,80 = 2,80 > 2 (armada em uma direções) 
 3,15 
 
 
3º Passo  Condições de engastamentos 
 
L1 L2 L3 
 6,15 
 
 
 6,15 
 
 
 
 
 
4º Passo  Cálculo dos momentos fletores 
 
Laje 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momentos positivos 
 
Direção x  mx = q . L x² = 650 x 6,15² = 662 kgf . m 
 mx 37,14 
 
Direção y  my = q . L x² = 650 x 6,15² = 662 kgf . m 
 my 37,14 
 
Momentos negativos 
 
Direção x  Xx = - q . L x² = - 650 x 6,15² = - 1.537 kgf . m 
 nx 16,00 
 
Direção y  Xy = - q . L x² = - 650 x 6,15² = - 1.537 kgf . m 
 my 16,00 
 
Laje 2 
 
 
2,65 
q 
3,15 
q 
q = 650 kgf / m² 𝜆 = 1  Armada em duas direções 
 
- processo de Marcus  tabela 3 
 
Ly = 6,15 = 1,0  kx = 0,500 
Lx 6,15 mx = my = 37,14 
 nx = ny = 16,00 
2,65 
q = 650 2º caso (Armadura em 1 direção) 
- 662 - 
1.537 
6,15 
6,15 
1
.5
3
7
 
- 
6
6
2
 -
 
 
3 
Momento positivo 
 
M = q l x² = 650 . 2,65² = 321 kgf . m 
 14,22 14,22 
 
Momento negativo 
 
X = - q . L² = - 650 . 2,65² = - 571 kgf . m 
 8 8 
 
Laje 3 
 
 
 
 
 
Momento positivo 
 
M = q . L² = 650 . 3,15² = 454 kgf . m 
 14,22 14,22 
 
Momento negativo 
 
X = - q . L² = - 650 . 3,15² = - 806 kgf . m 
 8 8 
 
 
5º passo  Equilíbrio dos momentos negativos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equilíbrio dos momentos negativos (média aritimética ou 80% do maior momento) 
 
 
 
L1/L2 (1.537 - 571) 1.537 + 571 = 1.054 kgf . m 
 2 
 80 % 1.537 = 1.230 kgf . m  Escolhido 
 
L1/L3 (1.537 - 806) 1.537 + 806 = 1.172 kgf . m 
 2 
 80 % 1.537 = 1.230 kgf . m  Escolhido 
 
 
3,15 m 
q = 650 (Armadura em 1 direção  2º caso) 
1.537 
806 
5
7
1
 
1
.5
3
7
 
806 
1 2 
3 
o maior resultado 
é o escolhido 
 
 
4 
L2/L3 (806 - 0) Quando um dos momentos envolvidos for zero, 
 o escolhido é o maior momento  M = 806 kgf . m 
 
 
6º Passo  Cálculo das armaduras 
 
As = Md = M x 1,4 Md = M x 1,4 
 ∝ x d 35,44 x 8 d = h - d' = 10 – 2 = 8 cm 
 
 
Momentos positivos 
 
Laje 1 Mx = My = 662 kgf . m 
 
 AsMx = AsMy = 662 x 1,4 = 3,27 cm² 
 35,44 x 8 
 
 ∅ 6.0 c7 – contrafiado – 80%L 
 
 
Laje 2  M = 321 kgf . m AsM = 321 x 1,4 = 1,59 cm²  ∅5.0c12 
 35,44 x 8 contrafiado 80%L 
 1,59 = 8∅5.0 100 = c12 
 0,19 8 
 
Laje 3  M = 454 kgf . m AsM = 454 x 1,4 = 2,24 cm²  ∅5.0c8 
 35,44 x 8 contrafiado 80%L 
 2,24 = 12∅5.0 100 = c8 
 0,19 12 
 
Momentos negativos 
 
L1/L2  M = 1.230 kgf . m  AsM = 1.230 x 1,4 = 6,07 cm²  ∅8c8 
 35,44 x 8 
 6,07 = 12∅5.0 100 = c8 
 0,50 12 
 
L1/L3  M = 1.230 kgf . m  AsM = 6,07 cm²  ∅8c8 
 
 
L2/L3  M = 806 kgf . m  AsM = 806 x 1,4 = 3,98 cm²  ∅8c12 
 35,44 x 8 
 3,98 = 8∅5.0c12 100 = c12 
 0,50 8 
 
 
 
 
 
 
3,27 = 17 ∅ 50 c6 100 = c6 
0,19 17 
 
3,27 = 14 ∅ 60 100 = c7 
0,24 14 
 
 
5 
7º Passo  Detalhamento das armaduras 
 
 
Armaduras positivas 
 
 
 
 
 
 Comp. 80% x 2,65 = 2,15 
 Quant. 6 = 50 
 0,12 
 
 
 
 
Armaduras negativas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Armadura para cantos A 
 
8
6
∅
6
.0
c7
-4
,9
5
 
86∅6.0c7-4,95 
1
4
∅
4
.2
c1
8
-6
,1
5
 
50∅5.0c12-2,15 
A
m
ar
ra
çã
o
 
17∅4.2c18-8,80 
Amarração 
1
0
8
∅
5
.0
c8
-1
2
,5
5
 
7
5
∅
8
c8
-2
,7
1
 
L1/L2 (6,15 – 2,66) L2/L3 (0 – 3,15) 
 
6,15 = 1,55 3,15 = 0,80 
 4 4 
 
1,55 = 0,55 0,80 = 0,30 
 3 3 
 
L1/L3 (6,15 – 3,15) 
 
6,15 = 1,55 
 4 
 
1,55 = 0,55 
 3 
 
 
 
 
 
 
75∅8c8-2,71 
2
1
∅
8
c1
2
-1
,4
6
 
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 8
 
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
 
2
,5
5
 
5
5
 1
0
0
 1
0
0
 5
5
 
1,55 1,55 
55 100 100 55 
8 8 
8 8 2,55 
3
0
 5
0
 5
0
 3
0
 
88
 
 
8
 
 
 
 
 
 
 
 
8
 
1
,3
0
 
A 
1,05 
 1,05 
 
 (x2) 
21 ∅6.0c7-Var. 
6,15 = 1,05 
 6 
 
d = l √2 
d = 1,05 x 1,41 
d = 1,48 
 
1,48 = 21 
0,07