Grandezas Direta e Inversas

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Prof. Mestre Hamilton Brito 
2021 
Razão, Proporção, Grandezas 
Diretas e Inversas e Regra de Três 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 RAZÃO E PROPORÇÃO 
1.1 RAZÃO 
 
Chama-se de razão a relação entre duas 
grandezas, expressas na mesma unidade ou não. A 
razão pode ter dimensão (ex. velocidade: m/s, km/h 
etc.) ou ser adimensional (quando dividimos coisas do 
mesmo tipo (área por área, etc.) 
Representa-se por: 
b
a
 ou a: b 
 Lê-se: “a está para b” 
a é chamado antecedente b é chamado consequente. 
 
 
Exemplo Resolvido: 
(ENEM 2020) Uma empresa de ônibus utiliza um 
sistema de vendas de passagens que fornece a 
imagem de todos os assentos do ônibus, diferenciando 
os assentos já vendidos, por uma cor mais escura, dos 
assentos ainda disponíveis. A empresa monitora, 
permanentemente, o número de assentos já vendidos e 
compara-o com o número total de assentos do ônibus 
para avaliar a necessidade de alocação de veículos 
extras. Na imagem tem-se a informação dos assentos 
já vendidos e dos ainda disponíveis em um 
determinado instante. 
 
A razão entre o número de assentos já 
vendidos e o total de assentos desse ônibus, no 
instante considerado na imagem, é: 
a) 16/42 b) 16/26 c)26/42 
d) 42/26 e) 42/16 
 
Solução: Questão muito fácil. Na imagem, temos 16 
assentos vendidos de um total de 42. Logo: 
 
 
 
 
 
Resp.: A 
 
1.2 PROPORÇÃO 
 
Chama-se de proporção a igualdade entre duas 
razões. 
Proporção: 
d
c
b
a
 ou a: b = c: d 
Lê-se: “a está para b assim como c está para d”. 
Temos que a e d são os extremos enquanto que b e c 
são os meios. 
 
1.2.1 Relação Fundamental Das Proporções: Em 
toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao 
produto dos extremos. 
Exemplo: 
3361212
182
18
122


xx
xmeioseeextremos
x . 
 
(ENEM 2018) Os tipos de prata normalmente vendidos 
são 975, 950 e 925. Essa classificação é feita de 
acordo com a sua pureza. Por exemplo, a prata 975 é a 
substância constituída de 975 partes de prata pura e 25 
partes de cobre em 1 000 partes da substância. Já a 
prata 950 é constituída de 950 partes de prata pura e 
50 de cobre em 1 000; e a prata 925 é constituída de 
925 partes de prata pura e 75 partes de cobre em 1 
000. Um ourives possui 10 gramas de prata 925 e 
deseja obter 40 gramas de prata 950 para produção de 
uma joia. Nessas condições, quantos gramas de prata 
e de cobre, respectivamente, devem ser fundidos com 
os 10 gramas de prata 925? 
a) 29,25 e 0,75 b) 28,75 e 1,25 
c) 28,50 e 1,50 d) 27,75 e 2,25 
e) 25,50 e 5,00 
 
Conhecimentos Numéricos: relações de 
dependência entre grandezas. 
H10 - Identificar relações entre grandezas e 
unidades de medida. 
H11 - Utilizar a noção de escalas na leitura de 
representação de situação do cotidiano. 
H12 - Resolver situação-problema que envolva 
medidas de grandezas. 
H15 - Identificar a relação de dependência entre 
grandezas. 
H16 - Resolver situação-problema envolvendo a 
variação de grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais. 
 
 
 
 
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Solução: 
{
 
 
 
 {
 
 
 {
 
 
 {
 
 
 
 O ourives tem 10 g de , isto 
é, {
 
 
 e quer obter 40 g de , isto é, 
teremos a proporção {
 
 
 
 . Em resumo, temos a 
seguinte situação: 
 
{
 
 ⏟ 
 
 {
 
 ⏟ 
 
 
 Ora, como a questão pede a quantidade que 
deve ser fundida aos 10 g, isto é, quantas gramas 
devem ser colocadas, então é só subtrair a 
quantidade a mais, isto é: 
 
 
 
Resp.: B 
 
1.3 RAZÕES ESPECIAIS 
 
1.3.1 Escala: Quando um engenheiro faz a planta de 
um prédio, ele não pode fazer no tamanho real, por 
isso ele faz uma redução proporcional das medidas 
reais para que seja possível representá-las nessa 
planta. Essa redução segue um parâmetro definido 
pelo engenheiro. Esse parâmetro é chamado escala. 
Assim: 
 
 
 
 
 
Exemplo. Numa planta de um escritório, medindo-se 
uma das paredes, obteve-se 1,5 cm. Sabendo que a 
escala do desenho é 1:400, qual a medida real dessa 
parede? 
 
Solução: 
600
400
15,1
400
1
.
.
 x
xrealcomp
desenhonocomp
. 
Logo, a parede tem 600 cm, ou seja, 6 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(ENEM 2013) A figura apresenta dois mapas, em que o 
estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas. 
 
Há interesse em estimar o número de vezes 
que foi ampliada a área correspondente a esse estado 
no mapa do Brasil. Esse número é 
a) menor que 10. 
b) maior que 10 e menor que 20. 
c) maior que 20 e menor que 30. 
d) maior que 30 e menor que 40. 
e) maior que 40. 
 
Solução: Você, aluno Destaque, já sabe que a razão 
entre áreas é igual ao quadrado da constante de 
proporcionalidade (K). Logo: 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
Resp.: D 
 
 
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝟏
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝟐
 𝑲 
 
 𝒓𝒆𝒂 𝟏
 𝒓𝒆𝒂 𝟐
 𝑲𝟐 
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝟏
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝟐
 𝑲𝟑 
 
K=Constante de 
proporcionalidade=Escala 
 
 
 
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1.3.2 Densidade Demográfica (Ou Populacional): é a 
medida expressa pela razão entre a população e a 
área do território, geralmente aplicada a seres 
humanos, mas também em outros seres vivos 
(comumente, animais). É geralmente expressa em 
habitantes por quilômetro quadrado. 
Segundo dados do Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística - IBGE o Brasil em (2006) 
possuía 187.000.000 de habitantes em uma área de 
8.514.215,3 km², ou seja, uma densidade demográfica 
de 21,96 habitantes por quilômetro quadrado. 
 
 
 
(ENEM 2011) Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem 
na região coberta pela caatinga, em quase 800 mil km2 
de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua 
família precisam caminhar quilômetros em busca da 
água dos açudes. A irregularidade climática é um dos 
fatores que mais interferem na vida do sertanejo. 
Segundo este levantamento, a densidade demográfica 
da região coberta pela caatinga, em habitantes por km2, 
é de: 
a) 250 b)25 c)2,5 
d) 0,25 e) 0,025 
Solução: Aluno Destaque não perde tempo em 
questão boba. Vai logo fazendo a razão entre a 
quantidade e habitantes e a área, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: B 
 
2 GRANDEZAS 
 
Grandeza é o que pode ser medido. A grandeza 
não é o objeto que pode ser medido, mas a medida 
que é possível ser observada nele, como: distância, 
peso, velocidade etc. 
 
2.1 GRANDEZA DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Dizemos que as grandezas A e B são diretamente 
proporcionais quando, aumentando a medida da 
grandeza A, a medida da grandeza B aumenta, em 
consequência disso, na mesma proporção. 
Se duas grandezas forem diretamente 
proporcionais, diminuir a medida da grandeza A fará 
com que a medida da grandeza B também diminua na 
mesma proporção, por isso, a palavra diretamente é 
usada para representar esse tipo de proporcionalidade 
entre grandezas. 
 
 
 
2.2 GRANDEZA INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
Duas grandezas que são inversamente 
proporcionais ainda variam uma em consequência da 
outra e na mesma proporção, entretanto, o aumento da 
medida relativa à primeira faz com que a medida 
relativa à segunda diminua. Se diminuirmos a medida 
relativa à primeira grandeza, isso fará com que a 
medida relativa à segunda aumente. É por isso que 
essa proporcionalidade é chamada de inversa. 
Exemplo: em uma fábrica de sapatos que possui 
25 funcionários, é produzida uma determinada 
quantidade de sapatos em 10 horas. Se o número de 
funcionários for 50, essa mesma quantidade de 
sapatos será produzida em 5horas. 
É evidente que o dobro de funcionários fará o 
trabalho na metade do tempo. Isso acontece porque as 
grandezas horas trabalhadas e quantidade de 
funcionários são inversamente proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*Uma grandeza que estiver no 
numerador da fração é 
diretamente proporcional. 
 
*Uma grandeza que estiver no 
denominador da fração é 
inversamente proporcional. 
 
Exemplo: Na expressão da 
pressão 𝑃 
𝐹
𝐴
, temos que a 
pressão é diretamente 
proporcional à força e 
inversamente proporcional á 
área. 
 
 
 
 
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(ENEM 2020 DIGITAL) Com base na Lei Universal da 
Gravitação, proposta por Isaac Newton, o peso de um 
objeto na superfície de um planeta aproximadamente 
esférico é diretamente proporcional à massa do planeta 
e inversamente proporcional ao quadrado do raio desse 
planeta. A massa do planeta Mercúrio é, 
aproximadamente 
 
 
 da massa da Terra e seu raio é, 
aproximadamente, 
 
 
 do raio da Terra. Considere um 
objeto que, na superfície da Terra, tenha peso P. O 
peso desse objeto na superfície de Mercúrio será igual 
a: 
a) 
 
 
 b)
 
 
 c)
 
 
 d)
 
 
 e)
 
 
 
 
Solução: Com base nas informações do problema e na 
dica ENEM anterior, sabemos que a massa fica no 
numerador da fração pois é diretamente proporcional e 
o quadrado do raio fica no denominador porque é 
inversamente proporcional, isto é, o peso P é igual a: 
 
 
 
 
 . 
 Sendo e a massa e o raio de mercúrio, 
respectivamente, e e a massa e o raio da Terra, 
nesta ordem, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 O objeto na Terra tem peso P dado por: 
 
 
 
 
 Fazendo o mesmo para Mercúrio, temos: 
 
 
 
 
 Substituindo-se 
 
 
 
 
 
 na 
expressão acima, temos: 
 
 
 
 
 
 
(
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fazendo-se uma divisão de fração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como já foi informado que 
 
 
 , então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: A 
 
 
(ENEM 2018) 
 
 
Solução: Mais uma questão corriqueira envolvendo a 
lei da gravitação universal. Você, aluno destaque, já 
sabe que uma grandeza no numerador é diretamente 
proporcional e uma grandeza no denominador é 
inversamente proporcional. Assim, pela fórmula já 
vemos que o quadrado da distância entre o satélite e 
a Terra é uma grandeza inversa, isto é, quanto 
maior a distância menor será força exercida e 
quanto menor a distância maior é a força. Como a 
questão nos diz que o satélite E é o mais próximo da 
Terra, então é nele exerce Terra exerce a maior 
força. 
Resp.: E 
 
 
 
(ENEM 2013) A Lei da Gravitação Universal, de Isaac 
Newton, estabelece a intensidade da força de atração 
entre duas massas. Ela é representada pela expressão: 
 
onde m1 e m2 correspondem às massas dos corpos, d 
à distância entre eles, G à constante universal da 
gravitação e F à força que um corpo exerce sobre o 
outro. O esquema representa as trajetórias circulares 
de cinco satélites, de mesma massa, orbitando a Terra. 
 
 
 
 
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 Qual gráfico expressa as intensidades das 
forças que a Terra exerce sobre cada satélite em 
função do tempo? 
 
 
 
 
3 PORCENTAGEM 
Porcentagem é usada para calcular descontos, 
acréscimo de preços, lucros, etc. É uma fração em que 
o denominador é igual a 100. O símbolo para 
representar uma porcentagem é % e vem precedido 
por um número. 
 
Definição 
Ao número p associamos a razão p⁄100, ou seja, 
tomamos p partes de um todo que foi dividido em 100 
partes iguais. 
Exemplos Resolvidos: 
1) 5% (leia-se: cinco por cento) equivale a fração 5⁄100. 
2) Calcular 30% de 4. 
Solução: Sabemos que 
 
 
. Logo: 
30% de 4=
 
 
 
 
 
 
3) Quanto vale √ ? 
a) 5% 
b) 0,5% 
c) 50% 
 
Solução: 25%=
 
 
. Logo: 
 
√ √
 
 
 
 
 
 
Resp.: C 
Para passar de decimal para %, basta 
multiplicar por 100 o resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos Resolvidos: Quanto é 4% de aumento em 
cima de 6%? 
Solução: Pelas dicas ENEM, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUMENTO: Se um produto custa x reais e 
teve um aumento de p%, então o novo valor 
será calculado observando quantos % 
passou de 100%. 
 
Exemplo: O salário de Pedro era 1200 reais e 
aumentou 3%. Seu novo salário será quanto? 
 Solução: Como o aumento foi de 
3%, então passou a ser 103%. É só fazer: 
1200.103%=𝟏𝟐𝟎𝟎 
𝟏𝟎𝟑
𝟏𝟎𝟎
 𝟏𝟐𝟑𝟔 reais. 
 
DESCONTO: Se um produto custa x reais e 
teve um desconto de p%, então o novo valor 
será calculado observando quantos % faltam 
para 100%. 
 
Exemplo: Um vade mecum que Lucas vai 
usar no curso de Direito custava R$140,00. 
Ele ganhou um desconto de 5%. Quanto ele 
vai pagar? 
 Solução: Como o desconto foi de 
5%, então Lucas vai pagar 95%. É só fazer: 
140.95%=𝟏𝟒𝟎 
𝟗𝟓
𝟏𝟎𝟎
 𝟏𝟑𝟑 reais. 
 
 
 
 
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4 COMO CAI NO ENEM? 
 
1) (ENEM 2021) Uma editora pretende fazer uma 
reimpressão de um de seus livros. A direção da editora 
sabe que o gasto com papel representa 60% do custo 
de reimpressão, e que as despesas com a gráfica 
representam os 40% restantes. Dentro da programação 
da editora, no momento em que ela realizar a 
reimpressão, o preço do papel e os custos com a 
gráfica terão sofrido reajustes de 25,9% e 32,5%, 
respectivamente. O custo para a reimpressão de cada 
livro, nos preços atuais, é de R$ 100,00. Qual será o 
custo, em real, para a reimpressão de cada livro com 
os reajustes estimados de custo de papel e despesas 
com a gráfica? 
a) 128,54 b) 129,20 c)129,86 
d) 158,40 e) 166,82 
Solução: Pelo comando, temos: 
 {
 
 
 
 {
 
 
 
Final: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim, os novos custos passaram a ser de: 
( ) 
 
 
 
 
Resp.: A 
2) (ENEM 2021) A gerência de uma loja de eletrônicos 
organizou em um quadro os dados de venda 
(quantidade e preço unitário) de celulares, impressoras 
e notebooks de um ano. Para o ano seguinte, deseja 
arrecadar 10% a mais do que foi arrecadado naquele 
ano anterior, vendendo as mesmas quantidades de 
cada um desses três produtos, mas reajustando 
apenas o preço do notebook. O preço de venda a ser 
estabelecido para um notebook, para o ano seguinte, 
em real, deverá ser igual a: 
a) 975 b) 990 c) 1040 
d) 1065 e) 1540 
 
Solução: Vamos reorganizar a tabela para calcular o 
custo total, lembrando que o custo é a quantidade 
multiplicada pelo preço: 
Produto Quant. Preço 
Valor 
arrecadado 
Celular 300 300 90.000 
Impressora 300 200 60.000 
Notebook 200 900 180.000 
Valor total 330.000 
Já sabemos pela tabela que o valor arrecadado 
foi de R$330.000,00. Segundo a questão, a empresa 
quer ter um valor 10% maior, isto é: 
 
 
 
 
 
 Para que a empresa tenha seu sucesso, 
reajustando o preço do notebook e deixando as 
mesmas quantidades, devemos ter: 
Produto Quant. Preço 
Valor 
arrecadado 
Celular 300 300 90.000 
Impressora 300 200 60.000 
Notebook 200 900.X 180.000X 
Valor total 363.000 
 Pela tabela acima, devemos ter: 
 
 
 
 
 
 
 O novo preço do notebook será: 
 reais 
Resp.: D 
 
 
 
 
 
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5 REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Para resolver-se situações utilizando a regra de três, 
é fundamental que exista a proporcionalidade, além 
disso, é de grande importância a identificação da 
relação entre as grandezas. 
Os problemas que envolvem regra de três simples 
podem ser separados em dois casos, quando as 
grandezas são diretamente proporcionais ou 
inversamente proporcionais. Ao deparar-se com 
qualquer questão que possa ser resolvida com regra de 
três, seguimos os seguintes passos: 
1º passo – Identificar as grandezas e construção da 
tabela. 
2º passo – Analisar se as grandezas são diretamente 
ou inversamente proporcionais. 
3º passo – Aplicar o método de resolução correto para 
cada um dos casos, e, por fim, resolver a equação. 
 Sempre colocamos como primeira grandeza 
aquela que o problema quer encontrar. 
 
Exemplos Resolvidos 
1) (ENEM 2012) Pensando em desenvolver atividade 
física e reduzir gasto com energia elétrica em sua 
residência, uma pessoa resolveu instalar uma bomba 
d'água acoplada a uma bicicleta ergométrica. Após 
alguns dias de atividade física, ela observou que, 
pedalando durante uma hora, o volume médio de 
água bombeada para o seu reservatório era de 500 
litros. Esta pessoa observou, ainda, que o consumo 
diário em sua casa é de 550 litros de água. Qual a 
atitude, em relação ao tempo de exercício diário, essa 
pessoa deve tomar para suprir exatamente o consumo 
diário de água da sua casa? 
a) Reduzir o seu tempo diário de exercício na bicicleta 
em 6 minutos. 
b) Reduzir o seu tempo diário de exercício na bicicleta 
em 10 minutos. 
c) Aumentar o seu tempo diário de exercício na 
bicicleta em 5 minutos. 
d) Aumentar o seu tempo diário de exercício na 
bicicleta em 6 minutos. 
e) Aumentar o seu tempo diário de exercício na 
bicicleta em 10 minutos. 
Solução: Vamos seguir os três passos: 
 
1º) As grandezas são tempo e litros. 
 
2º) Pelo comando, percebemos que quanto mais 
tempo ela pedalar, mais litros ela consegue 
bombear. Ora, se aumentando uma grandeza 
(tempo) a outra (litros) também aumenta, então 
temos grandezas diretamente proporcionais. 
 
3º) Vamos montar nosso esquema de resolução, 
lembrando que o problema pede o tempo então iremos 
colocar essa grandeza primeiro. 
 
Tempo (hora) Litros 
1 500 
x 550 
 Montando-se a proporção, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ou seja, a pessoa vai gastar 0,1 hora a mais, 
isto é, 0,1 h=0,1.60 min=6 min a mais. 
Resp.: D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (ENEM 2015) Alguns medicamentos para felinos são 
administrados com base na superfície corporal do 
animal. Foi receitado a um felino pesando 3,0 kg um 
medicamento na dosagem diária de 250 mg por metro 
quadrado de superfície corporal. 
O quadro apresenta a relação entre a massa do felino, 
em quilogramas, e a área de sua superfície corporal, 
em metros quadrados. 
 
A dose diária, em miligramas, que esse felino 
deverá receber é de: 
 a) 0,624 b) 52 c) 156 
d) 750 e) 1201,99 
 
Solução: Vamos agilizar os passos. As grandezas são 
área e dose de medicamento já que a questão pede a 
quantidade de medicamento por área corporal. 
Obs.: Quando formos montar o esquema de 
setas, a direção das setas não importa 
desde que AMBAS ESTEJAM NO 
MESMO SENTIDO SE FOREM 
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS E 
EM SENTIDOS CONTRÁRIOS SE 
FOREM INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS. 
 
 
 
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Diretas e Inversas e Regra de Três 
 Portanto, é de se entender que quanto maior a 
área corporal, mais medicamentos o animal vai 
receber, ou seja, são grandezas diretamente 
proporcionais. Além disso, pela tabela sabemos que 
um animal de 3 kg tem área corporal de 0,208 m2. 
 
Dose (mg) Área (m2) 
250 1 
x 0,208 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: B 
3) O estoque de alimentos do restaurante de uma 
empresa é suficiente para alimentar 320 operários 
durante 22 dias. Após 4 dias dessa previsão, são 
admitidos mais 40 operários. Quanto tempo ainda 
durará o estoque se a ração de cada operários não for 
diminuída? 
 
Solução: As grandezas são operários e dias, sendo 
dias a pergunta do problema. Sabemos que se o 
estoque não teve nenhuma alteração, então quanto 
mais pessoas tiverem para comer, menos tempo vai 
durar a comida. Ora, se uma grandeza aumenta e a 
outra diminui, então temos grandezas inversamente 
proporcionais. 
 Não podemos deixar de analisar no problema 
que eram 320 operários e passaram a ser 360 
(somando-se os 40 novos). Por outro lado, já gastamos 
4 dos 22 dias, sobrando 18 dias apenas. 
 
Dias Operários 
18 320 
x 360 
 
Como as grandezas são inversas, então temos que 
inverter uma delas (Você pode inverter qualquer 
uma). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) (ENEM 2011) Em uma fábrica de bebidas, a 
máquina que envasa refrigerantes é capaz de encher 
150 garrafas de 2 L a cada minuto e funcionar 
ininterruptamente durante 8 horas por dia. Para 
atender uma encomenda de 198 000 garrafas de 2 L, a 
máquina é colocada para funcionar todos os dias, a 
partir do dia 10, sempre das 8 h às 16 h. A máquina 
terminará essa tarefa no dia: 
a) 11, às 14 h. b)12, às 14 h. 
c) 13, às 14 h. d)12, às 08 h 6 min. 
e) 13, às 08 h 6 min. 
 
Solução: As grandezas são minutos e garrafas. 
Atenção: como o volume das garrafas não se alterou, 
isto é, continua sendo 2 l, então litros não é uma 
grandeza que iremos trabalhar. 
Ora, quanto mais tempo passa, mais garrafas 
são enchidas, ou seja, minutos e garrafas são 
grandezas diretas. 
Minutos Garrafas 
1 150 
x 198000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No entanto, a questão quer saber dias e horas. 
Assim, vamos usar uma outra regra de três lembrando 
que em 1 hora temos 60 min. 
1 h_____60 min 
y_______1320 min 
y=
 
 
 
 Como a questão nos diz que a máquina 
trabalha apenas por 8 horas diárias, então das 22 
horas, a máquina vai trabalhar 2 dias seguidos 
(totalizando 16 horas) e mais 6 horas. Como a 
contagem começa dia 10 a partir das 8 horas, então ela 
vai terminar o serviço no dia 12 (10+2) às 14 horas 
(8+6). 
Resp.: B 
 
 
 
 
 
 
5) Eu tenho uma melancia de 1kg que possui 99% de 
água. Por descuido, deixei a melancia ao sol, ela 
perdeu água e ficou com 98% de água. Qual a massa 
da melancia ao final? 
 
6 REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
Para resolvermos regra de três composta, 
procedemos de forma parecida na regra de três 
simples mas lembrando duas coisas: 
a) A primeira grandeza sempre será a que o problema 
quer calcular. 
b) Todas as grandezas terão sua relação direta ou 
inversa comparando-se com a primeira grandeza. 
 
 
 
Prof. Mestre Hamilton Brito 
2021 
Razão, Proporção, Grandezas 
Diretas e Inversas e Regra de Três 
c) As demais grandezas serão multiplicadas entre si 
sendo que após a primeira grandeza a gente coloca 
o sinal de igualdade. 
 
Exemplos Resolvidos 
1) (ENEM 2020 DIGITAL) Com base na Lei Universal 
da Gravitação, proposta por Isaac Newton, o peso de 
um objeto na superfície de um planeta 
aproximadamente esférico é diretamente 
proporcional à massa do planeta e inversamente 
proporcional ao quadrado do raio desse planeta. A 
massa do planeta Mercúrio é, aproximadamente 
 
 
 da 
massa da Terra e seu raio é, aproximadamente, 
 
 
 do 
raio da Terra. Considere um objeto que, na superfície 
da Terra, tenha peso P. O peso desse objeto na 
superfície de Mercúrio será igual a: 
a) 
 
 
 b)
 
 
 c)
 
 
 d)
 
 
 e)
 
 
 
 
Solução: Já resolvemos essa questão mas vamos 
resolvê-la usando regra de três. As grandezas são 
peso, quadrado do raio e massa. 
 
Peso Massa 
Quadrado do 
Raio 
 
 
 
 
 (
 
 
 )
 
 
 
 Vamos montar nossos cálculos não 
esquecendo de inverter a grandeza inversamente 
proporcional, colocar o sinal de igualdade após a 
primeira razão e multiplicaras demais razões. 
Lembre-se que . 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: A 
2) (ENEM 2015) Uma confecção possuía 36 
funcionários, alcançando uma produtividade de 5400 
camisetas por dia, com uma jornada de trabalho diária 
dos funcionários de 6 horas. Entretanto, com o 
lançamento da nova coleção e de uma nova campanha 
de marketing, o número de encomendas cresceu de 
forma acentuada, aumentando a demanda diária para 
21600 camisetas. Buscando atender essa nova 
demanda, a empresa aumentou o quadro de 
funcionários para 96. Ainda assim, a carga horária de 
trabalho necessita ser ajustada. Qual deve ser a nova 
jornada de trabalho diária dos funcionários para que a 
empresa consiga atender a demanda? 
a) 1 hora e 30 minutos. 
b) 2 horas e 15 minutos. 
c) 9 horas. 
d) 16 horas. 
e) 24 horas. 
 
Solução: Pelo comando, vemos que as grandezas são 
horas por dia, camisetas, funcionários. A questão 
está pedindo jornada diária de trabalho (horas por 
dia) então essa será nossa primeira grandeza e as 
demais iremos multiplicar entre si. Vamos fazer a 
análise da proporcionalidade entre as grandezas, 
mantendo-se horas por dia como referência. 
 Se a mesma quantidade de funcionários trabalhar 
mais horas por dia, então eles vão produzir mais 
camisetas. Então horas por dia e camisetas são 
diretas e devem ter setas na mesma direção. 
 Se quisermos produzir a mesma quantidade de 
camisetas, então se tivermos mais funcionários 
iremos precisar de menos horas por dia já que 
teremos mais gente trabalhando então eles vão 
produzir a mesma quantidade de camisetas em 
menor tempo. Portanto, funcionários e horas por 
dia são grandezas inversas e devem ficar com as 
setas em direção contrária. 
Não podemos esquecer que a quantidade de 
funcionários passou para 96. 
Horas por Dia Funcionários Camisetas 
6 36 5400 
x 96 21600 
 
 Vamos montar nossas proporções não 
esquecendo de inverter a grandeza funcionários. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) (ENEM 2013) Uma indústria tem um reservatório de 
água com capacidade para 900 m3. Quando há 
necessidade de limpeza do reservatório, toda a água 
precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por 
seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está 
cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, 
com capacidade de 500 m3, cujo escoamento da água 
deverá ser realizado em 4 horas, quando o 
reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo 
 
 
 
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Razão, Proporção, Grandezas 
Diretas e Inversas e Regra de Três 
reservatório deverão ser idênticos aos do já existente. 
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser 
igual a 
a) 2. b) 4. c) 5. d) 8. e) 9. 
 
Solução: As grandezas são ralos, volume (m3) e 
horas. 
 Se mantivermos ao volume fixo e analisarmos ralos 
e horas, vamos concluir que quanto mais ralos 
tivermos, menos horas será gasto para escoar. 
Portanto, ralos e horas são inversamente 
proporcionais e devem ter setas em direção 
contrária. 
 Se mantivermos as horas fixas e analisarmos ralos 
e volume, podemos concluir que mais ralos vai 
permitir um maior volume sendo escoado, ou 
seja, ralos e volumes são diretamente 
proporcionais e devem ter setas no mesmo 
sentido. 
 
Ralos Horas Volumes (m3) 
6 6 900 
x 4 500 
 
 Montando nossa resolução, invertendo-se a 
grandeza horas, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: C 
 
 
 
 
7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) (ENEM 2011) Nos últimos cinco anos, 32 mil 
mulheres de 20 a 24 anos foram internadas nos 
hospitais do SUS por causa de AVC. Entre os homens 
da mesma faixa etária, houve 28 mil internações pelo 
mesmo motivo. Suponha que, nos próximos cinco 
anos, haja um acréscimo de 8 mil internações de 
mulheres e que o acréscimo de internações de homens 
por AVC ocorra na mesma proporção. De acordo com 
as informações dadas, o número de homens que 
seriam internados por AVC, nos próximos cinco anos, 
corresponderia a: 
a) 4 mil. b) 9 mil. c) 21 mil. 
d) 35 mil. e) 39 mil. 
 
2) (ENEM 2011) Em 2010, um caos aéreo afetou o 
continente europeu, devido à quantidade de fumaça 
expelida por um vulcão na Islândia, o que levou ao 
cancelamento de inúmeros voos. Cinco dias após o 
início desse caos, todo o espaço aéreo europeu acima 
de 6 000 metros estava liberado, com exceção do 
espaço aéreo da Finlândia. Lá, apenas voos 
internacionais acima de 31 mil pés estavam liberados. 
Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 
3,3 pés. Qual a diferença, em pés, entre as altitudes 
liberadas na Finlândia e no restante do continente 
europeu cinco dias após o início do caos? 
a) 3 390 pés. b) 9 390 pés. c) 11 200 pés. 
d) 19 800 pés. e) 50 800 pés. 
 
3) (ENEM 2009) Uma escola lançou uma campanha 
para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, 
alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade 
carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e 
nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, 
arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com 
os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, 
e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias 
seguintes até o término da campanha. 
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se 
mantido constante, a quantidade de alimentos 
arrecadados ao final do prazo estipulado seria de 
a) 920 kg. b) 800 kg. c) 720 kg. 
d) 600 kg. e) 570 kg. 
 
4) (ENEM 2020) Um pé de eucalipto em idade 
adequada para o corte rende, em média, 20 mil folhas 
de papel A4. A densidade superficial do papel A4, 
medida pela razão da massa de uma folha desse papel 
por sua área, é de 75 gramas por metro quadrado, e a 
área de uma folha de A4 é 0,062 metro quadrado. 
Nessas condições, quantos quilogramas de papel 
rende, em média, um pé de eucalipto? 
a) 4301 b)1500 c) 930 
d) 267 e) 93 
 
5) (ENEM 2020) A caixa-d’água de um edifício terá a 
forma de um paralelepípedo retângulo reto com volume 
igual a 28 080 litros. Em uma maquete que representa 
o edifício, a caixa-d’água tem dimensões 2 cm × 3,51 
Se um gato e meio come um rato e meio em um 
minuto e meio, em quanto tempo 10 gatos comem 
10 ratos? 
a) 10 minutos 
b) 66 minuto e 40 segundos 
c) 1 minuto e 30 segundos 
d) 1 minuto 
 
 
 
Prof. Mestre Hamilton Brito 
2021 
Razão, Proporção, Grandezas 
Diretas e Inversas e Regra de Três 
cm × 4 cm. Dado: 1 dm³ = 1 L. A escala usada pelo 
arquiteto foi 
a) 1:10 b) 1:100 c) 1:1 000 
d) 1:10 000 e) 1:100 000 
 
6) (ENEM 2020 DIGITAL) Uma associação desportiva 
contratou uma empresa especializada para construir 
um campo de futebol, em formato retangular, com 250 
metros de perímetro. Foi elaborada uma planta para 
esse campo na escala 1:2000. Na planta, a medida do 
perímetro do campo de futebol, em metro, é: 
a) 0,0005 b) 0,125 c) 8 
d) 250 e)500000 
 
7) (ENEM 2013) Em um certo teatro, as poltronas são 
divididas em setores. A figura apresenta a vista do 
setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão 
reservadas e as claras não foram vendidas. 
 
A razão que representa a quantidade de cadeiras 
reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras 
desse mesmo setor é: 
a) 17/70 b) 17/53 c) 53/70 
d) 53/17 e) 70/17 
 
8) (ENEM 2013) Muitos processos fisiológicos e 
bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de 
respiração, apresentam escalas construídas a partir da 
relação entre superfície e massa (ou volume) do 
animal. 
 Uma dessas escalas, por exemplo, considera 
que “o cubo da área S da superfície de um mamífero 
é proporcional ao quadrado de sua massa M”. Isso é 
equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a 
área S pode ser escrita em função de M por meio da 
expressão: 
a) b) 
c) d) 
e) 
 
9) (ENEM 2012) Um biólogo mediu a altura de cinco 
árvores distintase representou-as em uma mesma 
malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, 
conforme indicações na figura a seguir. 
 
Qual é a árvore que apresenta a maior altura real? 
a) I b) II c) III d) IV e) V 
 
10) (ENEM 2012) A resistência mecânica S de uma 
viga de madeira, em forma de um paralelepípedo 
retângulo, é diretamente proporcional à sua largura 
(b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente 
proporcional ao quadrado da distância entre os 
suportes da viga, que coincide com o seu 
comprimento (x), conforme ilustra a figura. A 
constante de proporcionalidade k é chamada de 
resistência da viga. 
 
A expressão que traduz a resistência S dessa 
viga de madeira é: 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 
c) 
 
 
 d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
Gabarito dos Exercícios Propostos. 
 
 
 
1 - D 2 - C 3 - A 4 - E 5 - B 
6 - B 7 - A 8 - D 9 -D 10 - A