Relatório: Circuito RC

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Circuito RC 
Introdução 
O avanço da tecnologia, em especial dos 
aparelhos eletroeletrônicos, associado à uma 
demanda cada vez maior por melhores e mais 
portáteis câmeras fotográficas, têm nos levado á 
um ambiente em que os lançamentos do mercado 
são, em sua maioria, smartphones com duas, três 
ou até quatro câmeras digitais, associadas a um 
poderoso flash. 
Nesse experimento, iremos nos 
aprofundar sobre o funcionamento e composição 
do “flash” dessas câmeras, e ao fim, definir para 
quais bandas de valores de resistor e capacitor 
(componentes de todo e qualquer flash) teremos 
um flash ideal. 
𝑞 = 𝐶𝑉 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (1) 
𝑈 =
𝐶𝑉2
2
 𝑒𝑢𝑞𝑎çã𝑜 (2) 
Para isso, é necessário conhecer o princípio 
de funcionamento de um capacitor. Esse 
componente, é composto por duas armaduras que, 
estando em um circuito, sobre a ação de uma 
tensão (𝑉), acumulam carga elétrica (𝑞) 
proporcionalmente à sua capacitância (𝐶), ao 
longo do tempo, de acordo com a equação (1). 
Após carregado, esse dispositivo tem a capacidade 
de descarregar a energia (𝑈) acumulada 
rapidamente, possibilitando o clarão do flash, ao 
descarregar toda essa energia sobre uma lâmpada 
de LED. 
Objetivos 
 Com auxílio dos materiais do laboratório, 
iremos colher dados experimentais, através de um 
sensor diretamente conectado a um computador, 
que será responsável por montar um gráfico 
𝑉 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑇, onde a ordenada (𝑉 𝑒𝑚 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠) 
corresponde a tensão em um capacitor em função 
do tempo (𝑇 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠), durante a descarga 
do mesmo. 
 Com tal gráfico em mãos, obtido com 
dados experimentais, iremos calcular a constante 
de tempo capacitiva do circuito, dada por 𝜏 = 𝑅𝐶, 
a partir das constantes interpoladas pelo método 
gráfico. Tal grandeza é importantíssima associada 
à circuitos RC (resistor-capacitor) por ser uma 
medida temporal de carga e descarga. Podemos 
provar tal argumento fazendo uma análise 
dimensional de 𝜏. 
𝜏 = 𝑅 ∙ 𝐶 =
𝑉
𝐼
∙
𝐼𝑇
𝑉
= [𝑇] 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 Assim, ao final do experimento, iremos 
encontrar valores reais de 𝜏 para as duas 
montagens do mesmo circuito, com resistores 
diferentes, e suas respectivas incertezas, para em 
seguida compará-las com as medidas teóricas 
feitas. 
Materiais 
 01 Capacitor 100 𝜇𝐹 ± 5% de tolerância 
 01 Resistor 1𝑘Ω ± 5% de tolerância 
 01 Resistor 10𝑘Ω ± 2% de tolerância 
 01 Fonte de tensão contínua regulada para 
7 Volts DC 
Sensor de tensão, com alta frequência de 
amostragem 
 Fios (jumpers) para conexão dos 
componentes 
 Computador com interface para aquisição 
de dados 
Métodos 
Dispondo de nossos materiais, montamos 
o circuito mostrado no esquemático (1). 
Analisando as conexões de circuito do capacitor, 
sabemos que a face voltada para a extremidade 𝑎 
é a placa carregada positivamente, e a voltada para 
a extremidade 𝑏, negativamente, pois esta se 
conecta diretamente ao polo negativo da fonte de 
tensão, acumulando cada, cargas de sinais 
opostos, mas de mesmo módulo. 
 
Esquemático (1) 
Aplicando a Lei das tensões de Kirchhoff 
para a malha do esquemático (1), quando a chave 
conecta os terminais A e S, obtemos: 
{
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
𝑞
𝑅𝐶
=
𝜀
𝑅
 
𝑞(0) = 0
 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 (1) − 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 
O sistema (1) nos permite calcular a 
solução dessa equação diferencial, e encontrar a 
carga no capacitor para qualquer tempo 𝑡, pois ela 
satisfaz o sistema. 
𝑞(𝑡) = 𝐶𝜀(1 − 𝑒−𝑡/𝑅𝐶) 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎(1) 
 Para carga, temos 𝑞(0) = 0, o que 
significa que nosso experimento se iniciou com o 
capacitor descarregado. No entanto, para 
descarga, temos que 𝑞(0) = 𝐶𝜀, pois foi 
previamente carregado até uma tensão de 𝜀, dada 
pela fonte. Portanto, para descarga: 
{
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
𝑞
𝑅𝐶
= 0 
𝑞(0) = 𝐶𝜀
 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 (2) − 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 
No momento da descarga, os terminais B e 
S são conectados e a energia é dissipada. 
𝑞(𝑡) = 𝐶𝜀𝑒−𝑡/𝑅𝐶 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 (2) 
Que pode ser reescrita, de acordo com 
equação (1), chamando a tensão inicial entre os 
terminais do capacitor 𝐶𝜀 = 𝑉0, por: 
𝑉(𝑡) = 𝑉0𝑒
−𝑡/𝑅𝐶 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 (2) 
Uma vez que a capacitância é uma 
propriedade intrínseca do capacitor (constante), e 
depende unicamente do material que compõe o 
dispositivo, e da sua geometria (área das placas e 
distância entre elas). 
Com todo arcabouço matemático 
desenvolvido, podemos enfim, buscar os 
resultados desejados, dando um enfoque maior ao 
processo de descarga do capacitor, pois é sobre 
este processo, que nossa interface gráfica nos 
ajudará, amostrando os valores de tensão do 
capacitor a uma taxa que não seríamos capazes 
manualmente. 
Para um gráfico coerente com todo o 
processo, escolheremos analisá-lo durante um 
tempo suficiente para que a tensão no capacitor 
seja aproximadamente um décimo do seu valor 
inicial. Para tal, obtemos que o tempo de 
observação é 𝑡 = 𝑅𝐶 ∙ ln 10. Portanto, 
utilizaremos: 
{
𝑡1 = 1𝑘Ω ∙ 100𝜇𝐹 ∙ ln 10 = 0,23 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
𝑡2 = 10𝑘Ω ∙ 100𝜇𝐹 ∙ ln 10 = 2,30 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
 
Onde associamos o índice da grandeza à 
montagem do experimento com diferente resistor, 
sendo o índice 1 atribuído ao circuito com menor 
valor de resistência. Ainda buscando uma precisão 
adequada do nosso gráfico, queremos construí-lo 
com 200 amostragens ao longo de sua análise, 
portanto, queremos encontrar a frequência de 
amostragem ideal, para podermos assim, 
configurar a interface de obtenção desses dados. 
Logo: 
{
 
 𝑓1 =
200
0,23
≅ 870 𝐻𝑧
𝑓2 =
200
2,30
≅ 87 𝐻𝑧
 
Para cada uma das duas montagens do 
circuito (1), utilizaremos diferentes resistores. 
Como já foi visto, 𝜏 = 𝑅𝐶 é uma constante de 
tempo, portanto, variando as resistências, 
encontraremos gráficos distintos, cujo 
comportamento ao longo do tempo é 
característico daquele par capacitor-resistor. Por 
isso, a necessidade de taxas de amostragem 
diferentes, para diferentes montagens. No 
entanto, para 𝑡 = 𝜏, durante a descarga temos: 
𝑉(𝜏) = 𝑉0𝑒
−1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3) 
Portanto, para 𝑡 = 𝜏, para qualquer 
circuito RC, temos que 𝑉(𝜏) ≅ 0,37𝑉0. 
Resultados 
Como mencionado anteriormente, a 
evolução distinta dos dois gráficos obtidos pela 
interface, pode ser vista na imagem (1), 
comparando os dois gráficos produzidos pelo 
computador, para cada valor de resistência. 
Imagem (1) – Acima temos o gráfico 
correspondente à montagem com o resistor de 1𝑘𝛺, e 
abaixo, 10𝑘𝛺. 
 Como esperado, temos um gráfico que se 
assemelha bastante a uma curva exponencial 
decrescente, assim, ainda utilizando a interface 
gráfica, aplicamos uma regressão exponencial na 
forma 𝑌(𝑥) = 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝑒−𝐶𝑥 , em tais gráficos, para 
obter os valores experimentais. 
 
A 7,12 ± 0,03 
B 0,036 ± 0,06 
C 7,52 ± 0,05 
Tabela 1- Valores obtidos utilizando resistência de 1𝑘𝛺 
 
A 7,26 ± 0,04 
B 0,03 ± 0,01 
C 1,35 ± 0,01 
Tabela 2-Valores obtidos utilizando resistência de 10𝑘𝛺 
 Como sabemos que 𝑌(𝑥) = 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝑒−𝐶𝑥 e 
𝑉(𝑡) = 𝑉0𝑒
−𝑡/𝑅𝐶 são expressões equivalentes, 
obtemos algumas expressões de igualdade a partir 
da comparação das mesmas. Como: 
{
𝐴 = 𝑉0
𝐶′ =
1
𝑅𝐶
=
1
𝜏
 
Aqui apenas definimos 𝐶’ como medida 
obtida do gráfico, para não confundirmos com a 
capacitância. Agora, podemos comparar as 
grandezas obtidas matematicamente, e as obtidas 
experimentalmente. 
Valores 
matematicamente 
calculados 
Valores interpolados 
experimentalmente 
𝜏1 = 1𝑘Ω ∙ 100𝜇𝐹
= 0,1 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 
𝜏1 =
1
7,52
= 0,133 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 
𝜏2 = 10𝑘Ω ∙ 100𝜇𝐹
= 1 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 
𝜏2 =
1
1,35
= 0,741 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 
Tabela (3) 
Para encontrar as respectivas incertezas da 
constante de tempo capacitiva, utilizaremos a 
fórmula da incertezapadrão combinada, dada por: 
𝑢𝑐
2(𝑦) =∑(
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
)
2
∙ 𝑢2(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4) 
Aplicando-se a constante de tempo, 
obtemos: 
Δ𝜏2 = [
𝑑
𝑑𝐶′
(
1
𝐶′
)]
2
∙ Δ𝐶′
2
 . : Δ𝜏 =
Δ𝐶′
(𝐶′)2
= {
Δτ1 = 8,8 × 10
−4 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜
Δ𝜏2 = 54,9 × 10
−4 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜
 
Conclusão 
Por fim, obtemos as constantes de tempo 
capacitivas experimentais, associadas á cada 
montagem do circuito. Para 𝑅 = 1𝑘Ω, 
encontramos finalmente: 
𝜏 = (13,30 ± 0,01) × 10−2 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 
Por outro lado, utilizando-se o resistor 𝑅 =
10𝑘Ω, encontramos: 
𝜏 = (74,07 ± 0,55) × 10−2𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 
Dessa forma, concluindo o pensamento 
introduzido por nós ao início desse texto, ao 
objetivarmos um flash de curta duração devemos 
buscar uma lâmpada (resistor) de baixa resistência, 
e, de acordo com a equação (2), para um flash mais 
intenso, mais enérgico, devemos utilizar um 
capacitor de maior capacitância, desde que sob 
esse dispositivo se mantenha constante a tensão 
entre seus terminais.