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Lei de indução de Faraday Introdução A lei de indução de Faraday (1), que é geralmente enunciada por extenso através da lei de Lenz, a saber: “a força eletromotriz (𝜀) induzida por uma variação de fluxo magnético (𝜙𝐵), será sempre formada em um sentido que se oponha a essa variação” – ou seja, o campo gerado pela corrente induzida é oposto à variação do fluxo magnético que lhe deu origem – descreve um fenômeno que é absolutamente vital para nós atualmente. 𝜀 = − 𝑑𝜙𝐵 𝑑𝑡 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (1) − 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑦 Esse fenômeno eletromagnético indutivo é vital á matriz energética brasileira, uma vez que esta é composta por cerca de 12% de energia que provém de usinas hidrelétricas, segundo a International Energy Agency (IEA), onde a cada segundo, quantidades massivas de energia elétrica são produzidas a partir da indução magnética. Além da produção diária de energia elétrica, esse princípio é utilizado em carros, motores e muitas tecnologias atualmente. Assim, torna-se evidente a necessidade de construir um conhecimento sólido e concreto acerca desse assunto. Para isso, utilizaremos equipamentos que nos permitam obter um campo variável no tempo. Assim, o equipamento em uso será uma Bobina de Helmholz, cujo funcionamento, já conhecemos. Objetivos Para realização desse experimento, utilizaremos o espaço e recursos do laboratório de física experimental da UFMG. O objetivo central desse experimento é verificar na prática, fenômenos relacionados a lei de indução de Faraday. Com diferentes equipamentos, seremos capazes de realizar uma abordagem qualitativa e outra quantitativa, acerca das bases teóricas da lei de Faraday. A abordagem inicial, qualitativa, será a demonstração de uma corrente induzida (prevista pela lei de indução, em circuitos fechados) através da variação do fluxo magnético. Posteriormente, com um ferramental matemático elaborado, mediremos a força eletromotriz induzida (a partir da lei de Faraday) em uma bobina pequena, a partir de um campo magnético oscilante no tempo, para então, a partir de dados coletados empiricamente, calcular o valor do campo indução magnética no centro comum da bobina de Helmholtz e da bobina interna, como ilustrado na figura (1). Figura (1) Materiais 01 Microamperímetro com zero central 01 Diodo emissor de luz (LED) 01 Ímã permanente 01 bobina com aproximadamente 1200 espiras 01 Multímetro digital 01 Fonte de corrente alternada 01 Medidor de campo magnético (sensibilidade de 0,01 𝑚𝑇) 01 Bobina de Helmholtz com aproximadamente 100 espiras, e 40 𝑐𝑚 de diâmetro 01 Bobina com, aproximadamente, 15 espiras, e (5,0 ± 0,1)𝑐𝑚 de diâmetro Suporte para a bobina, e cabos para conexões elétricas Métodos A primeira etapa do experimento é a análise qualitativa. Utilizando uma bobina (1200 espiras), e um amperímetro de zero central – como ilustrado na figura 2 – veremos a lei da indução magnética em prática. Ao aproximarmos ou afastarmos o ímã permanente do eixo da bobina, o amperímetro indica passagem de corrente, em sentidos opostos, para cada movimento. Figura (2) Ao mover o ímã ao longo do eixo da bobina, alteramos o valor do fluxo magnético 𝜙𝐵, portanto, de acordo com a lei de indução de Faraday, uma força eletromotriz é produzida, induzindo uma corrente, esta responsável por fazer a deflexão do ponteiro do amperímetro (note aqui a necessidade do amperímetro de zero central: alterar o sentido do movimento, altera o sentido da corrente, alterando assim, seu sinal). A passagem dessa corrente pode, por exemplo, fazer piscar um led, caso este seja conectado em série com a bobina (atente-se ao sinal da corrente induzida, e veja que o diodo é condutor somente seguindo sua polaridade). Com esse experimento simples, e algumas modificações podemos entender melhor o conceito, como variando a velocidade do movimento, aumentamos ou diminuímos a variação do fluxo, implicando assim, em uma maior força eletromotriz (que implica brilho mais intenso do led), ou num tempo maior de brilho do led, com menor intensidade luminosa. Para a segunda montagem, utilizaremos o circuito da figura (1). Novamente, utilizaremos a bobina de Helmholtz, que produz numa bobina interna, de N espiras e área A, um campo magnético variável 𝐵(𝑡), e, portanto, um fluxo variável no tempo 𝜙𝐵(𝑡), dados pelas relação (2) e (3): 𝐵(𝑡) = 𝐵0 cos 𝜔𝑡 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (2) 𝜙𝐵(𝑡) = 𝑁𝐵0𝐴 cos 𝜃 cos 𝜔𝑡 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (3) Em que 𝜃 é o ângulo entre 𝐵(𝑡) e o vetor normal ao plano da bobina menor. Como utilizaremos uma fonte de corrente alternada, 𝜔 = 2𝜋𝑓, onde 𝑓 é a frequência de oscilação da corrente, estabelecida como 𝑓 = 60 𝐻𝑧. Assim, por definição, sabemos que o a força eletromotriz gerada é: 𝜀 = 𝑑 𝑑𝑡 (𝑁𝐵0𝐴 cos 𝜃 cos 𝜔𝑡) = 𝑁𝐵0𝐴𝜔 cos 𝜃 sen 𝜔𝑡 .: 𝜀 = 𝜀0 sen 𝜔𝑡 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜀0 = 𝑁𝐴𝐵0𝜔 cos 𝜃 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (4) Montamos a bobina menor e interior sobre um suporte giratório, de forma que podemos variar facilmente o 𝜃. Com a montagem e o arcabouço matemático definido, podemos colher os dados experimentais da montagem. Com a bobina de Helmholtz ligada, medimos diferentes pares (𝜃, 𝜀0) de forma a montarmos uma tabela. Atente-se de que o valor medido pelo amperímetro é na verdade o valor quadrático médio, chamado de tensão eficaz, dado por 𝜀𝑒𝑓𝑖𝑐𝑎𝑧 = 𝜀0 √2 . Assim, ao coletarmos o valor indicado pelo amperímetro, já multiplicaremos pelo fator de correção √2. Obtemos assim, a tabela (1). cos 𝜃 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 (𝑒𝑚 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠) 1,0000 0,0397 0,9848 0,0387 0,9396 0,0366 0,8660 0,0333 0,7660 0,0292 0,6427 0,0241 0,5000 0,0186 0,3420 0,0124 0,1736 0,0056 0,0000 0,0008 Tabela (1) Com esses dados, e conhecendo a fórmula matemática de como tais grandezas se relacionam (4), podemos concluir que podemos linearizar 𝜀0 como função de cos 𝜃. { 𝜀0 = 𝑁𝐴𝐵0𝜔 cos 𝜃 𝑌 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (5) Assim, com o auxílio do software gráfico SciDAVis, poderemos obter um gráfico (figura 3) e relações entre tais grandezas experimentais. Figura (3) Resultados A partir da semelhança entre as funções em (5), podemos extrair: { 𝐴 = 𝑁𝐴(𝑟)𝐵0𝜔 𝐵 ≅ 0 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (6) Como já esperávamos, 𝐵 ≅ 0 (pois não existe termo independente na relação 4). Aqui diferenciamos A (slope) da área A da espira, explicitando a área A como uma função do raio da espira 𝐴(𝑟). Tendo os valores em mãos, obtidos através de medições físicas, podemos então encontrar o valor 𝐵0. 𝐵0 = 0,0394 15 ∗ 𝜋 ∗ (5 × 10−2)2 ∗ 2𝜋 ∗ 60 .: 𝐵0 = 0,89 𝑚𝑇 Para encontrar a respectiva incerteza de 𝐵0, utilizaremos a fórmula da incerteza padrão combinada, dada por: 𝑢𝑐 2(𝑦) = ∑ ( 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 ) 2 ∙ 𝑢2(𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (7) Aplicando-se a 𝐵0, temos: Δ𝐵0 2 = ( 1 𝑁𝐴(𝑟)𝜔 ) 2 ∙ Δ𝐴2 + (− 𝐴 𝑁𝐴(𝑟)2𝜔 ) 2 ∙ Δ𝐴(𝑟)2 Δ𝐵0 = 0,03 𝑚𝑇 (𝑁𝑜𝑡𝑎: Δ𝐴(𝑟) = 2𝜋𝑟Δ𝑟) Conclusão Assim, analisando criticamente nossa regressão linear a partir dos dados obtidos, é interessante notar que a incerteza do slope foi próximo a 2%, ou seja, uma ótima precisão. Novamente, a incerteza da área correspondeu a 4%, outro valor relativamente pequeno. Como tais grandezas foram as únicas que contribuíram para o cálculo de incerteza de 𝐵0, concluímos que: 𝐵0 = (0,89 ± 0,03) 𝑚𝑇 Ou seja, a incerteza de 𝐵0 convergiu para 3,3% do valor, uma boa precisão. Ao compararmos nosso valor obtido experimentalmente com o valor obtido através de um teslâmetro (sensor de campo magnético), obtemos uma medição de 0,6 𝑚𝑇 . Atente-se novamente para o funcionamento desses equipamentos: assim como o voltímetro (ao ser usado para medir tensãoalternada) só é capaz de medir a tensão efetiva, o teslâmetro também somente é sensível ao campo magnético eficaz. Para encontrarmos o campo magnético 𝐵0, devemos multiplicar o valor encontrado pelo sensor por √2. Obtemos assim, de acordo com o teslâmetro, um campo magnético de magnitude próxima a 0,85 𝑚𝑇, ou seja, ilustramos mais uma vez a elevada precisão do experimento. Atribuímos esse pequeno erro numérico destoante á elevada precisão das grandezas envolvidas. No entanto, uma vez que trabalhamos com escalas pequenas (milivolts e militesla), existe a possibilidade de que pequenas perdas por correntes parasitas nos fios e interferência eletromagnética do ambiente, se tornem significativas ao cálculo.
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