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Regras de Kirchhoff Introdução Circuitos elétricos lineares e de baixa complexidade frequentemente possuem resistores dispostos de forma que, podemos simplificar a malha substituindo um conjunto de itens por um único equivalente, de forma que tal substituição não modifique as propriedades básicas do circuito. No entanto, trabalhando com análise de malhas mais complexas, o alemão Gustav Robert Kirchhoff, elaborou dois teoremas que hoje são tidos como leis, e se tornaram as bases da análise de circuitos elétricos. São elas, a Lei das Tensões de Kirchhoff, e Lei das Correntes (de Kirchhoff), abreviadas por LTK e LCK respectivamente, baseadas em princípios fundamentais como conservação da carga elétrica, e conservação de energia. 𝑉 = 𝑅𝐼 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 1) Assim, com o devido embasamento teórico, e auxiliado com a formula básica (1) da lei de Ohm, montaremos um circuito com elementos resistivos e fontes, e aplicaremos as leis de Kirchhoff sobre o circuito, para determinar matematicamente valores associados a cada elemento, e em seguida comparar com medições realizadas sobre o experimento. Objetivos Com o auxílio dos materiais e elementos presentes no laboratório de eletromagnetismo da UFMG, associado a matemática pura e aplicada, iremos comparar grandezas físicas á resultados analíticos, e determinar a funcionalidade e aplicabilidade das leis de Kirchhoff para circuitos de maior complexidade. Esquemático do circuito montado (1) Materiais 01 Fonte de tensão independente contínua 𝜀1 = 6𝑉𝐶𝐶 01 Fonte de tensão independente contínua 𝜀2 = 3𝑉𝐶𝐶 01 Multímetro (função voltímetro e amperímetro) 01 Suporte para conexões elétricas 02 Resistores de 680 Ω (𝑅1 𝑒 𝑅2), com incerteza de ±5% (dado pelo esquema de cores de resistores) 01 Resistor de 1𝑘Ω (𝑅3), com incerteza de ±10% Cabos para conexões Métodos Para encontrar os valores desejados de corrente e tensão em cada resistor, iremos aplicar uma veze a LCK, obtendo: 𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 = 0 (2) E duas vezes a LTK, obtendo: 𝜀1 − 𝐼1𝑅1 − 𝐼2𝑅2 = 0 (3) 𝜀2 + 𝐼2𝑅2 − 𝐼3𝑅3 = 0 (4) Assim, deduzimos a quantidade necessária de equações lineares para obter uma solução do sistema associado, com incógnitas 𝐼1, 𝐼2 𝑒 𝐼3. [ 1 −1 −1 𝑅1 𝑅2 0 0 𝑅2 −𝑅3 ] ∙ [ 𝐼1 𝐼2 𝐼3 ] = [ 0 𝜀1 −𝜀2 ] Cuja solução é 𝐼1 = 6,65 𝑚𝐴, 𝐼2 = 2,17 𝑚𝐴, 𝑒 𝐼3 = 4,48 𝑚𝐴. Multiplicando cada corrente pela resistência do correspondente resistor, obtemos a queda de tensão (em Volts), dada pela lei de Ohm (equação 1). Assim, ao realizarmos a montagem do circuito, devemos encontrar valores próximos de 𝑉1 = 4,52 𝑉, 𝑉2 = 1,48 𝑉, 𝑒 𝑉3 = 4,48 𝑉. Tendo em mãos nossos dados esperados, iremos proceder para a correta montagem do circuito elétrico mostrado no esquemático (1). Resultados Tensão (Volts) Corrente (mA, 10−3𝐴𝑚𝑝é𝑟𝑒) 𝑉1 = 4,52 𝑉 𝐼1 = 6,65 𝑚𝐴 𝑉2 = 1,48 𝑉 𝐼2 = 2,17 𝑚𝐴 𝑉3 = 4,48 𝑉 𝐼3 = 4,48 𝑚𝐴 Tabela (1) obtida matematicamente. Após a devida e correta montagem do experimento, foram obtidos os seguintes valores: Tensão (Volts) Corrente (mA, 10−3𝐴𝑚𝑝é𝑟𝑒) 𝑉1 = 4,40 𝑉 𝐼1 = 6,74 𝑚𝐴 𝑉2 = 1,63 𝑉 𝐼2 = 2,15 𝑚𝐴 𝑉3 = 4,30 𝑉 𝐼3 = 4,50 𝑚𝐴 Tabela (2) obtida através de medições realizadas com o multímetro. Montadas as tabelas (1) e (2), vemos que as medidas se aproximam bastante do que era esperado. Atribuímos a diferença entre os valores obtidos à incerteza dos resistores produzidos pelo fabricante. Tal imprecisão se confirma, por exemplo, quando dividimos 𝑉3/𝐼3 a fim de se obter o valor aproximado de 𝑅3 naquele circuito, e obtemos 𝑅3 = 977,8 Ω, que pertence ao intervalo de erro dado pelo fabricante (900 Ω ≤ 𝑅3 ≤ 1100 Ω). O mesmo pode ser expandido para os demais resistores. Assim como os resistores apresentam desvios de seus valores ideais, as fontes também apresentam, e tal inconsistência é da ordem de ±1,5% do valor da tensão gerada por ela. Dessa forma, podemos através dos nossos conhecimentos acerca de propagação do erro, calcular a incerteza da corrente, utilizando a incerteza (5) dos resistores e das fontes. 𝑢𝑐 2(𝑦) = ∑ ( 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 ) 2 ∙ 𝑢2(𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 5) Então, para equação (1), temos Δ𝐼𝑗 = √( 1 𝑅𝑗 ) 2 ∙ Δ𝑉𝑗 2 + (− 𝑉𝑗 𝑅𝑗 2) 2 ∙ Δ𝑅𝑗 2 Assim, encontramos Δ𝐼1 = 0,35 𝑚𝐴, Δ𝐼2 = 0,11 𝑚𝐴, 𝑒 Δ𝐼3 = 0,45 𝑚𝐴, para as incertezas da corrente. Atualizando a tabela (1) então, temos: Tensão (Volts) ±1,5% V Corrente (mA, 10−3𝐴𝑚𝑝é𝑟𝑒) 𝑉1 = 4,52 𝑉 𝐼1 = 6,65 ± 0,35 𝑚𝐴 𝑉2 = 1,48 𝑉 𝐼2 = 2,17 ± 0,11 𝑚𝐴 𝑉3 = 4,48 𝑉 𝐼3 = 4,48 ± 0,45 𝑚𝐴 Tabela (1) atualizada. Analisando as incertezas obtidas, chegamos à conclusão de que a incerteza relativa das correntes por resistor é praticamente idêntica á incerteza da resistência dada pelo fabricante, portanto, atribuímos á essa imprecisão de valor dos resistores como principal gerador dos demais erros. Conclusão Em suma, atribuindo uma fração considerável dos erros das correntes á incerteza dos resistores, concluímos que as Leis de Kirchhoff modelam perfeitamente o fenômeno físico, simplificando e possibilitando a análise de circuitos. Existem no mercado, resistores cuja tolerância ao erro é de ±0,1%, na cor violeta, ou ±0,05%, na cor cinza. Portanto, para uma maior exatidão do experimento, uma boa opção será buscar resistores mais precisos, no entanto, com custo de produção mais elevado.
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