Lista 2 - Análise de Sinais - 2020-2

Prévia do material em texto

Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
Professor: Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e da Computação 
Prof. Thiago Raposo Milhomem 
 
 
LISTA 2 
 
Sistemas de Tempo Contínuo 
 
-1. Classifique os sistemas 𝑦(𝑡) = ℋ{𝑥(𝑡)} a seguir com respeito a: linearidade, invariância ao 
deslocamento (invariância no tempo), causalidade e estabilidade. 
a) 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡2 − 1) 
b) 𝑦(𝑡) = 𝑥(−𝑡) 
c) 𝑦(𝑡) = 𝑡2𝑥(𝑡) 
e) 𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
−∞
 
f) 𝑦(𝑡) = 𝑒−𝑥(𝑡) 
g) 𝑦(𝑡) = 𝑒
− ∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
−∞ 
 
-2. Determine a expressão – e esboce o correspondente gráfico – para a resposta ao impulso 
ℎ(𝑡) = ℋ{𝛿(𝑡)} e para a resposta ao degrau 𝑠(𝑡) = ℋ{𝑢(𝑡)} de cada sistema a seguir. 
a) 𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
−∞
 
b) 𝑦(𝑡) = 𝑒
− ∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
−∞ 
c) 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡 − 𝑎) 
d) 𝑦(𝑡) = ∑ 𝑥(𝑡 − 𝑘)∞𝑘=0 
 
 
 
 
 
Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
Professor: Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e da Computação 
Prof. Thiago Raposo Milhomem 
 
 
-3. A seguir, são descritos quatro sistemas LTI, cada um por sua resposta ao impulso: 
 ℎ1(𝑡) = 𝑒
−𝑡𝑢(𝑡) ℎ2(𝑡) = 𝛿(𝑡 − 2) ℎ3(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 1) ℎ4(𝑡) = ∑ 𝛿(𝑡 − 5𝑘)
∞
𝑘=0
 
A cada um desses sistemas, são submetidos os seguintes sinais de entrada dados nos itens 
abaixo. Determine, quando possível, a correspondente saída a cada um desses sistemas a cada 
uma dessas entradas descritas. 
a) 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡) (degrau unitário) 
b) 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1) (pulso de amplitude unitária e duração unitária) 
c) 𝑥(𝑡) = (𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1))𝑒−2𝑡 (pulso amortecido) 
d) 𝑥(𝑡) = 𝑟(𝑡) = 𝑡𝑢(𝑡) (rampa) 
e) 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑗2𝜋𝑡 (exponencial complexa (senoide)) 
f) 𝑥(𝑡) = 3𝛿(𝑡 − 1) (impulso) 
 
 
-4. Para os sistemas a seguir, determine a representação, no domínio do tempo, por: 
i) Equação Diferencial. 
ii) Diagrama de Blocos usando elementos somadores, multiplicadores por escalar e 
integradores. 
 
a) Circuito RLC 
Entrada: tensão 𝑥(𝑡) aplicada (fonte de tensão do circuito); 
Saída: corrente 𝑦(𝑡) que circula no circuito; 
 
 
 
Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
Professor: Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e da Computação 
Prof. Thiago Raposo Milhomem 
 
b) Sistema massa-mola-amortecedor 
Entrada: força 𝑥(𝑡) aplicada, conforme indicado; 
Saída: deslocamento 𝑦(𝑡) medido, no sentido indicado; 
 
Onde k é a constante da mola, b é o coeficiente de amortecimento (ou de viscosidade 
do líquido sob o objeto) e m é a massa do objeto. 
 
-5. Faça o mesmo da questão anterior para os circuitos a seguir: 
 
 
Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
Professor: Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e da Computação 
Prof. Thiago Raposo Milhomem 
 
 
-6. Considere os sistemas LTI de tempo contínuo ℋ𝑖{. } com as seguintes respostas ao impulso: 
a) ℎ1(𝑡) = 𝑢(𝑡)𝑒
−𝑡 
b) ℎ2(𝑡) = 𝑢(𝑡) 
c) ℎ3(𝑡) = 1 ∀𝑡 ∈ ℝ 
d) ℎ4(𝑡) = 𝑒
−𝑗𝜔𝑡 
e) ℎ5(𝑡) = cos(𝜔𝑡) 
f) ℎ6(𝑡) = 𝛿(𝑡) 
Quais são estáveis? Quais são causais? Quais possuem memória? Por quê? 
 
-7. Considere o sistema dado por 𝑦(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
𝑥(𝑡). Classifique este sistema quanto a: 
a) Linearidade 
b) Invariância ao deslocamento 
c) Causalidade 
d) Estabilidade 
-8. Mostre que a resposta ao degrau de um sistema LTI pode ser obtida integrando-se sua 
resposta ao impulso, ou seja: 
𝑠(𝑡) = ∫ ℎ(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
−∞
 
 
-9. Seja 𝑝𝑘(𝑡) =
𝑡𝑘
𝑘!
𝑢(𝑡) e seja 𝑧𝑘(𝑡) = ℋ{𝑝𝑘(𝑡)}. Mostre que, se ℋ{. } é um SLID, então vale a 
relação recursiva: 
𝑧𝑘+1(𝑡) = ∫ 𝑧𝑘(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
−∞
 
Além disso, mostre que vale a relação geral: 
𝑧𝑘+𝑁(𝑡) = 𝑧𝑘
[𝑁](𝑡) 
 
 
Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
Professor: Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e da Computação 
Prof. Thiago Raposo Milhomem 
 
 
-10. Dado o sistema LTI descrito pelo diagrama a seguir (sendo a, b e c constantes não nulas), 
determine a Equação Diferencial relacionando entrada 𝑥(𝑡) e saída 𝑦(𝑡). 
 
 
-11. Considere o sistema LTI descrito a seguir por seu diagrama de blocos (sendo a e b 
constantes não nulas): 
 
a) Determine sua resposta ao impulso ℎ(𝑡). 
b) Determine sua resposta ao degrau 𝑠(𝑡). 
c) Classifique-o quanto à estabilidade se, por exemplo, 𝑎 = 𝑏 = 1. 
d) Determine a EDO do sistema relacionando entrada 𝑥(𝑡) e saída 𝑦(𝑡). 
 
-12. Considere que, dado um sistema 𝑦(𝑡) = ℋ{𝑥(𝑡)}, seja observada num osciloscópio a 
resposta ao impulso ℎ(𝑡) = ℋ{𝛿(𝑡)} cujo gráfico é ilustrado a seguir: 
 
 
Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
Professor: Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e da Computação 
Prof. Thiago Raposo Milhomem 
 
Logo após, aplica-se a este mesmo sistema uma entrada 𝑥(𝑡) =
1
2
𝛿(𝑡 − 1), tendo-se a 
resposta 𝑦(𝑡) cujo gráfico é ilustrado a seguir: 
 
Com base nesses gráficos, o que é possível inferir sobre as características do sistema 
(linearidade, invariância no tempo, estabilidade, causalidade e memória)? 
 
 
-13. Considere o sistema a seguir, um circuito RC em série alimentado por uma fonte de 
corrente variável no tempo. A entrada do sistema é a corrente elétrica 𝑥(𝑡) em função do 
tempo e a saída é a tensão 𝑦(𝑡) em função do tempo que se mede entre os pontos A e B, 
como indicado na figura. Considerando que R = 1,0 Ω e F = 1,0 F, responda aos itens logo após. 
 
a) Obtenha o diagrama de blocos deste sistema utilizando os elementos básicos 
(integradores, somadores de sinais e multiplicadores por escalar). 
b) Obtenha a expressão e esboce o gráfico para a resposta 𝑦(𝑡) deste sistema à entrada 
dada por 𝑥(𝑡) = (𝑡 − 3)𝑢(𝑡 − 3). 
 
 
 
Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
Professor: Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e da Computação 
Prof. Thiago Raposo Milhomem 
 
-14. Suponha que um sistema LTI, ao receber uma entrada impulsional 𝑥(𝑡) = 𝛿(𝑡), responda 
com um pulso retangular iniciando em 𝑡 = 2 s, com duração de 1 s, ilustrado a seguir: 
 
Ou seja, podemos expressar a resposta ao impulso deste sistema como ℎ(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 2) −
𝑢(𝑡 − 3). Determine, portanto, a expressão e esboce o gráfico para a saída 𝑦(𝑡) 
correspondente às seguintes entradas 𝑥(𝑡): 
a) 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 10), isto é, um degrau deslocado, iniciando no instante 𝑡 = 10 s. 
b) Pulso triangular ilustrado a seguir: 
 
Considere 𝐴 = 1, 𝑡1 = 2 e 𝑡2 = 3. 
 
-15. Idem à questão 14, porém, com resposta ao impulso dada no gráfico a seguir 
 
e mesmas entradas 𝑥(𝑡). (Determine a expressão para a saída 𝑦(𝑡) e esboce seu gráfico.) 
 
 
Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
Professor: Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e da Computação 
Prof. Thiago Raposo Milhomem 
 
 
-16. Classifique, quanto à linearidade, invariância no tempo, causalidade, estabilidade e 
memória, o sistema descrito pela relação entre entrada 𝑥(𝑡) e saída 𝑦(𝑡) a seguir: 
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) cos(5𝑡) +
1
2
𝑑
𝑑𝑡
𝑥(𝑡) 
 
-17. Considere o sistema LTI com resposta ao impulso ℎ(𝑡) dada por: 
ℎ(𝑡) = ∑
1
𝑘
𝛿(𝑡 − 5𝑘)
∞
𝑘 = 1
 
a) Esboce o gráfico de ℎ(𝑡). 
b) Classifiqueo sistema quanto à estabilidade, causalidade e memória. 
c) Determine e esboce o gráfico da resposta 𝑦(𝑡) deste sistema à entrada dada por 
𝑥(𝑡) = (𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1))e−𝑡. 
 
-18. Um sistema LTI é descrito pelo diagrama de blocos mostrado a seguir. 
 
Trata-se de um sistema com realimentação, em que 𝑎 ∈ ℝ é um escalar diferente de zero. 
Apesar de não saber como obter a resposta ao impulso ℎ(𝑡) deste sistema de forma direta, 
foram-lhe apresentadas cinco opções para a expressão correspondente a ℎ(𝑡), das quais se 
sabe que uma opção certamente é a correta. Assim, entre as opções a seguir, a (única) que 
corresponde à resposta ao impulso deste sistema é: 
A) ℎ(𝑡) = 𝑢(𝑡)e−𝑎𝑡 B) ℎ(𝑡) = 𝑎𝑢(𝑡) 
C) ℎ(𝑡) = 𝑢(𝑡)e𝑎𝑡 D) ℎ(𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝑎𝛿(𝑡) 
E) ℎ(𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝑎𝑡𝑢(𝑡) 
 
 
 
Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
Professor: Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e da Computação 
Prof. Thiago Raposo Milhomem 
 
 
-19. Considere um sistema LTI 𝑦(𝑡) = ℋ1{𝑥(𝑡)} qualquer com resposta ao impulso ℎ1(𝑡) =
ℋ1{𝛿(𝑡)}. Considere, agora, outro sistema, 𝑦(𝑡) = ℋ2{𝑥(𝑡)} cuja resposta 𝑦(𝑡) consiste na 
aplicação sucessiva, por duas vezes, do primeiro sistema, isto é: 
ℋ2{𝑥(𝑡)} = ℋ1{ℋ1{𝑥(𝑡)}} 
Podemos representar o sistema assim obtido, na forma de diagrama, como ilustrado a seguir: 
 
 
Desta maneira, o sistema ℋ2 também é um sistema LTI, cuja resposta ao impulso pode ser 
obtida pela relação ℎ2(𝑡) = ℋ2{𝛿(𝑡)} = ℋ1{ℋ1{𝛿(𝑡)}}. A respeito do sistema ℋ2 e de suas 
relações com o sistema ℋ1, responda: 
a) Se ℋ1 é estável, pode-se afirmar que ℋ2 também será estável? 
b) Se ℋ1 não possui memória, pode-se afirmar que ℋ2 também não a possuirá? 
c) Obtenha uma expressão para ℎ2(𝑡) em função de ℎ1(𝑡). 
 
-20. O diagrama de blocos a seguir representa um sistema linear e invariante no tempo (LTI), 
consistindo de três integradores: 
 
 
 
Considere os fatores de amplificação 𝑎 e 𝑏 sejam positivos e que, a este sistema seja aplicada 
uma entrada dada por 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 𝑡0), onde 𝑡0 > 0. Dentre os sinais mostrados a seguir, o 
único que pode, corretamente, representar a saída 𝑦(𝑡) correspondente é: 
 
 
 
Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
Professor: Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e da Computação 
Prof. Thiago Raposo Milhomem 
 
A) 
 
 
B) 
 
 
C) 
 
 
D) 
 
 
E) 
 
 
 
 
 
 
 
Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
Professor: Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e da Computação 
Prof. Thiago Raposo Milhomem 
 
-21. A figura a seguir mostra o gráfico de um sinal 𝑥(𝑡) a ser submetido como entrada a um 
sistema: 
 
Esse sinal é submetido ao sistema dado pela seguinte relação: 
𝑦(𝑡) = ℋ{𝑥(𝑡)} = 𝑥[1](𝑡) cos(4𝜋𝑡) 
Trata-se de um sistema integrador-modulador. Em termos simples, esse sistema 
suaviza 𝑥(𝑡), atenuando suas altas frequências (etapa de integração), e adéqua-o 
para ser transmitido num sistema de comunicações (etapa de modulação). Assim, 
assinale a opção que descreve corretamente o gráfico da saída 𝑦(𝑡) correspondente à 
entrada 𝑥(𝑡) aplicada: 
A) 
 
 
Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
Professor: Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e da Computação 
Prof. Thiago Raposo Milhomem 
 
B) 
 
 
C) 
 
D) 
 
 
Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
Professor: Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e da Computação 
Prof. Thiago Raposo Milhomem 
 
E)