AD1-CIII-2-2005-gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
1a Avaliação a Distância de Cálculo III 
 
Nome:____________________________________________________Pólo:________________ 
 
 
1ª Questão (2,0 pontos) - Seja 2( , ) 2f x y x y= − 
a) Determine o domínio de f. 
b) Determine e faça um esboço para a curva de nível k = 1 de f. 
c) Use a aproximação linear de f em (3,1) para determinar um valor aproximado de 
f(3,01 , 1,02) 
d) Faça um esboço para o gráfico de f. 
 
Solução: 
 y 
a) 2 22 0 2x y x− ≥ ⇒ ≥ y 
 
 
 x 
 
 
 y 
b) 2 22 1 1 2x y x− = ⇒ = + y 
 
 
 1 x 
 
 
c) Use a aproximação linear de f em (3,1) para determinar um valor aproximado de 
f (3,01 , 1,02) 
 
Note que 
 
2
1( , )
2 2
f x y
x x y
∂ =∂ − ⇒
1(3,1)
2
f
x
∂ =∂ e 
 
2 2
4 2( , )
2 2 2
f y yx y
y x y x y
∂ − −= =∂ − − ⇒ (3,1) 2
f
y
∂ = −∂ 
 
⇒ 1(3,1) (3,1) (3,1) (0,01) ( 2)(0,02) 0,005 0,04 0,035
2
f fdf dx dy
x y
∂ ∂ ⎛ ⎞= + = + − = − = −⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠ 
 
f(3.01,1.02) = f(3,1) + df (3,1) = 1 - 0,035 = 0,965. ⇒ 
 
 
d) Faça um esboço para o gráfico de f 
 z 
 
 
 x 
y
 
(*) o gráfico de f é a “metade” do parabolóide elíptico 2 2 2x z y= + (z≥0, x≥0) 
 
 
 
2a Questão (2,0 pontos) - Calcule, caso seja possível, os seguintes limites. E quando não 
existir, justifique sua resposta. 
 
a) ( ) 2 212 2
( , ) (0,0)
lim x y
x y
x y e +→ + b) 
( )
2 2( , ) (0,0)
lim
x y
xy x y
x y→
−
+ 
 
 
Solução: 
 
 
a) Ora, 
( ) 2 2 21 12 2 2
( , ) (0,0) 0
lim limx y r
x y r
x y e r e+→ →+ = ... 
 
Note entretanto que 
 
2 2
32
1 10 0 02
2
1
1lim lim lim
r r rr r
rr
r e e
→ → →
−
= =
2
1
3
2re
r
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
− 210
1lim 0
r re
+
→
= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 
⇒ ( ) 2 2 21 12 2 2
( , ) (0,0) 0
lim limx y r
x y r
x y e r e+→ →+ = = +∞ 
 
 
 
b) 
( ) 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
lim lim lim
x y x y x y
xy x y x y xy x y xy
x y x y x y x→ → →
⎛ ⎞− −= = −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠y+
= 
 
= 
2 2
2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
lim lim 0 0 0
x y x y
x yy x
x y x y→ →
− = − =+ + 
 
 
 
3a Questão (1,5 ponto) Calcule as derivadas parciais da função ( , )
1
xz f x y sen
y
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟+⎝ ⎠ e 
verifique que satisfaz a equação diferencial a seguir: ( , )z f x y=
 
2( ) (1 )z zx xy y
x y
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0= 
 
Solução: 
 
Note que 
 
1 cos
1 1
z x
x y y
⎛ ⎞∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
( )2 cos 11
z x x
y yy
⎛ ⎞ ⎛∂ −=⎜ ⎟ ⎜∂ ++⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠ 
 
Logo: 
 
2( ) (1 )z zx xy y
x y
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
=
( )
2
2
1( ) cos (1 ) cos
1 1 11
x xx xy y
y y yy
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + ++⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x = 
cos cos 0
1 1
x xx x
y y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
 
4a Questão (3,0 pontos) - Seja
3
2 2 , ( , ) (0,( , )
0, ( , ) (0,0)
x se x y
f x y x y
se x y
⎧ ≠⎪= +⎨⎪ =⎩
0)
. 
 
a) Verifique se f é contínua. Justifique sua resposta. 
b) Calcule ),( yx
x
f
∂
∂ e ),( yx
y
f
∂
∂ para (x,y) ≠ (0,0). 
c) Calcule )0,0(
x
f
∂
∂ e )0,0(
y
f
∂
∂ . 
d) f é diferenciável? Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
a) Note inicialmente que f é contínua em R2 –{(0,0)}, pois f é razão de duas funções contínuas. 
Temos ainda que f é contínua na origem, pois 
3 2
2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
lim lim . 0 (0,0)
x y x y
x xx f
x y x y→ →
= =+ + = 
Logo f é contínua em R2. 
 
b) 
( )
( ) ( )
2 2 2 3 2 2 4
2 22 2 2 2
3 2 3( , )
x y x x xf x y xx y
x x y x y
+ −∂ += =∂ + +
 
 
 
( )
( ) ( )
2 2 3 3
2 22 2 2 2
0 2 2( , )
x y x yf x yx y
y x y x
+ −∂ −= =∂ + + y
 
 
c) 
 
)0,0(
x
f
∂
∂ =
0 0
( ,0) (0,0) 0lim lim 1
x x
f x f x
x x→ →
− −⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠ 
 
)0,0(
y
f
∂
∂ =
0 0
(0, ) (0,0) 0 0lim lim 0
y x
f y f
y y→ →
⎛ ⎞ ⎛− −= =⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠ . 
 
e) Note que f não é diferenciável na origem. 
 
 
De fato, 
 
 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2( , ) (0,0)
2 2( , ) (0,0)
3
3 222 2
2
3 32 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 0 02 2 22 2
( , )lim
( , ) (0,0) (0,0)( 0) (0,0)( 0)
lim
cos .
lim lim lim lim cos .
x y
x y
x y x y r r
E x y
x y
f ff x y f x y
x y
x y
x x r senxyx y sen
x y x y r
θ θ θ θ
→
→
→ → → →
=
+
∂ ∂− − − − −∂ ∂ =
+
− −−+= = = = −
+ +
 
Logo, para cada θ fixo, o limite acima assume um valor diferente. 
 
⇒ f não é diferenciável na origem. 
 
 
 
 
5ª Questão (1,5 ponto) – Seja uma função diferenciável em um subconjunto aberto A 
do plano xy contendo o ponto (2,1) no seu interior. Considere α(t) = (2cost,1+2sent), t ∈ R. 
Sabendo que 
),( yxf
(2,1) 1f
x
∂ =∂ e (2,1) 3
f
y
∂ = −∂ , determine ( ) (´0)foα . 
 
 Solução: 
 
Note que: 
 
 α(t) = (2cost,1+2sent) ⇒ α ´(t) = (-2sent,2cost) ⇒ α ´(0) = (0,2) 
 
Assim, usando a regra da cadeia, obtemos: 
 
( )´(0) ( (0)). (´0) (1, 3).(0,2) 0 6 6fo fα α α= ∇ = − = − = −