AULA 2 - Cálculo 3

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Cálculo diferencial integral III
Aula 2: Eq. Dif. Ordinárias: Eq. Diferenciais homogêneas
Apresentação
Nesta aula, trataremos de outro tipo de equações diferenciais ordinárias: as equações homogêneas, que envolvem as funções
homogêneas.
Objetivos
Identi�car e resolver equações homogêneas.
Funções homogêneas
Algumas funções na área de Economia, como por exemplo,
funções utilidade ou de produção, possuem uma característica
interessante:
Quando todas as suas variáveis são multiplicadas por um fator
𝑡, a imagem delas aumenta um fator 𝑡 . São as chamadas
funções homogêneas.
Nesta aula, trataremos de outro tipo de equações diferenciais
ordinárias: as equações homogêneas, que envolvem as funções
homogêneas.
𝑘
 Fonte: Freepik
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Função homogênea
Dizemos que uma função 𝑓(𝑥,𝑦) é homogênea com grau de homogeneidade n quando:
f(tx, ty) = f(x, y)tn
Exemplos
Vamos ver, por meio de dois exemplos, como veri�car se uma função é homogênea?
Exemplo 1
Veri�que se a função 𝑓 (𝑥, 𝑦)=𝑥² −𝑦² é homogênea.
Exemplo 2
Veri�que se a função 𝑔 (𝑥, 𝑦)=2𝑥𝑦 é homogênea.
f(tx, ty) = (tx − (ty) = − x² = 2)(x² − y)² = t²f(x, y))2 t2x2 t2 t(
g(tx, ty) = 2txty = 2xy = g(x, y)t2 t2
Equações homogêneas
Quando dizemos que uma equação 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = 0  é homogênea?
Quando:
Utilizando a de�nição de função homogênea, podemos dizer que 𝑀 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑁 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = 0 é homogênea quando:
1
𝑀(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)=𝑡^𝑛 𝑀(𝑥, 𝑦)
2
𝑁(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)=𝑡^𝑛 𝑁(𝑥, 𝑦)
Método de resolução
Resolvemos as equações homogêneas de forma algébrica. A mudança de variável de 𝑦 para 𝑡 dada por 𝑢 = 𝑡𝑥 (e, portanto, 𝑑𝑦 = 𝑡𝑑𝑥 +
𝑥𝑑𝑡) transforma uma equação homogênea em uma equação de variáveis separáveis.
Vejamos um exemplo para entender melhor. Considere a equação diferencial: (𝑥² − 𝑦² ) 𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0.
Para resolvê-la, precisamos seguir quatro passos.
Clique nos botões para ver as informações.
Veri�caremos primeiro que temos funções homogêneas no problema
𝑀(𝑥, 𝑦)− 𝑥 − 𝑦 
𝑀 (𝑡𝑥, 𝑦𝑥)=(𝑡𝑥) −(𝑡𝑦) = 𝑡 𝑥 −𝑡 𝑦 = 𝑡 (𝑥 −𝑦 )= 𝑡 𝑀 (𝑥, 𝑦) 
 
N(𝑥,𝑦) = 2𝑥𝑦 
N(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) − 2𝑡𝑥𝑡𝑦 −𝑡 2𝑥𝑦 −𝑡 𝑁(𝑥, 𝑦)
1º passo 
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
Faremos a substituição de variável 𝑦 = 𝑡𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑡𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑡 na equação
(𝑥² − 𝑦² ) 𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0 
𝑦 = 𝑡𝑥 ⇒ 𝑑𝑦=𝑡𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑡 
 
(𝑥^2− (𝑡𝑥)^2 )𝑑𝑥 – 2𝑥𝑡𝑥(𝑡𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑡) = 0 
(𝑥^2−𝑡^2 𝑥²)𝑑𝑥 – 2𝑥𝑡𝑥(𝑡𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑡) = 0 
𝑥²(1 – 𝑡²)𝑑𝑥 – 2𝑥²𝑡(𝑡𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑡) = 0 
(1 – 𝑡²)𝑑𝑥 – 2𝑥²𝑡(𝑡𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑡) = 0 
𝑑𝑥 – 𝑡²𝑑𝑥 – 2𝑡²𝑡𝑑𝑥 − 2𝑥𝑡𝑑𝑡 = 0 
𝑑𝑥 – 3𝑡²𝑑𝑥 – 2𝑥𝑡𝑑𝑡 = 0 
(1 – 3𝑡²)𝑑𝑥 – 2𝑥𝑑𝑡 = 0
Separando as variáveis, temos:
2º passo 
dx − dt = 0
1
x
2t
1 − 3t2
Resolvendo a equação de variáveis separáveis, temos:
Integrando
Resolveremos
por substituição de variáveis.
Chamaremos u = 1 – 3t³. Daí, temos que:
Substituindo na integral, temos:
Voltando à equação de variáveis separáveis
e resolvendo-a:
3º passo 
∫ dx− ∫ dt = K1
x
2t
1 − 3t²
∫ dt2t
1 − 3t²
du = −6t dt
du = −2.3t dt
− du = 2t dt
1
3
∫ dt = ∫ . = − ιn|1 − 3t²|2t
1 − 3t²
−1
3
1
u
1
3
∫ dx− ∫ dt = K1
x
2t
1 − 3t²
∫ dx− ∫ dt = K1
x
2t
1 − 3t²
ιn|x| + ιn|1 − 3t²| = K
1
3
ιn|x| + ιn|1 − 3t²| = ιnC
1
3
1
3
3ιn|x| + ιn|1 − 3t²| = ιnC
ιn|x|³ + ιn|1 − 3t²| = ιnC
ιn|x|³|1 − 3t²| = ιnC
|x|³|1 − 3t²| = C
|x³(1 − 3t²)| = C
x³(1 − 3t²) ±C
x³(1 − 3t²) = C1Mas sabemos que y = tx, ou seja,
4º passo 
t =
y
x
x³(1 − 3t²) = C1
x³(1 − 3( )²) =
y
x
C1
x³(1 − ) =
3y²
x²
C1
x³ − =
3y²x³
x²
C1
x³ − 3xy² = C1
− 3xy² = − x³C1
3xy² = − + x³C1
y² =
− + x³C1
3x
y = ±
− + x³C1
3x
− −−−−−−−−
√
Exemplo
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Aplicando o conhecimento
Chegou a hora de aplicar seus conhecimentos sobre Equações diferenciais homogêneas.
Resolva a equação homogênea: (𝟐𝒙 − 𝒚)𝒅𝒙 − (𝒙 + 𝟒𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
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Notas
Referências
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo: volume II. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
BOYCE, William; DIPRIMA, Richard. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 8. ed. São Paulo:
LTC, 2006.
Próximos passos
Equações Diferenciais Ordinárias: Equações diferenciais exatas e fator integrante.
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Leia os textos:
NAGLE, R. Kent; SAFF, Edward B.; SNIDER, Arthur David. Equações diferenciais. Resolva exercícios no material didático do capítulo:
Equações Diferenciais de primeira ordem.
MADUREIRA, Luisa. Problemas de equações diferenciais ordinárias e transformadas de Laplace. FEUP Edições. Cap. 1: Equações
diferenciais de primeira ordem. 1.2. Equações diferenciais homogêneas.