Teorema do confronto

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EXERCÍCIOS SOBRE O TEOREMA DO CONFRONTO 
01- Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim
𝑥→0
√𝑥3 + 𝑥2 sen
𝜋
𝑥
= 0. 
02. Use o Teorema do Confronto para demostrar que lim
𝑥→0
𝑥6 cos
2
𝑥
= 0 
03. Se 2𝑥 + 3 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑥2 + 𝑥 + 3 para todo 𝑥 ≥ 0, calcule lim
𝑥→1
𝑓(𝑥). 
04. Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim
𝑥→0
(𝑥2 + 1) = 1. 
05. Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim
𝑥→0
𝑥 sen
1
𝑥
= 0 
06. Se 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑐 para algum 𝑐 real, prove que lim
𝑥→0
𝑥2𝑓(𝑥) = 0. 
07. Demonstre que lim
𝑥→0+
√𝑥𝑒
sen
𝜋
𝑥 = 0. 
 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 
01. Observe que 
−1 ≤ sen
𝜋
𝑥
≤ 1 ⇒ −√𝑥3 + 𝑥2 ≤ √𝑥3 + 𝑥2 sen
𝜋
𝑥
≤ √𝑥3 + 𝑥2 
Como lim
𝑥→0
−√𝑥3 + 𝑥2 = lim
𝑥→0
√𝑥3 + 𝑥2 = 0, pelo Teorema do Confornto lim
𝑥→0
√𝑥3 + 𝑥2 sen
𝜋
𝑥
= 0. 
02. Observe que 
−1 ≤ cos
2
𝑥
≤ 1 ⇒ −𝑥6 ≤ 𝑥6cos
2
𝑥
≤ 𝑥6 
Como lim
𝑥→0
−𝑥6 = lim
𝑥→0
𝑥6 = 0, pelo Teorema do Confornto lim
𝑥→0
𝑥6 cos
2
𝑥
= 0 . 
03. Observe que lim
𝑥→1
(2𝑥 + 3) = 2 ∙ 1 + 3 = 5 e lim
𝑥→1
(𝑥2 + 𝑥 + 1) = 12 + 1 + 3 = 5. Logo, pelo 
Teorema do Confronto, calcule lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 5 
04. Para 𝑥 > 0 temos 
0 < 𝑥 < 1 
multiplicando por 𝑥
⇒ 0 < 𝑥2 < 𝑥 ⇒ 1 < 𝑥2 + 1 < 𝑥 + 1 
Como lim
𝑥→0+
1 = lim
𝑥→0+
(𝑥 + 1) = 1, pelo Teorema do Confronto, lim
𝑥→0+
(𝑥2 + 1) = 1. 
Para 𝑥 < 0 temos 
−1 < 𝑥 < 0 
multiplicando por 𝑥
⇒ −𝑥 > 𝑥2 > 0 ⇒ −𝑥 + 1 > 𝑥2 + 1 > 1 
 Como lim
𝑥→0−
(−𝑥 + 1) = lim
𝑥→0−
1 = 1, pelo Teorema do Confronto, lim
𝑥→0−
(𝑥2 + 1) = 1. 
Sendo os limites laterais iguais segue que lim
𝑥→0
(𝑥2 + 1) = 1. 
05. Para 𝑥 > 0 temos 
−1 < sen
1
𝑥
< 1 
multiplicando por 𝑥
⇒ −𝑥 < 𝑥 sen
1
𝑥
< 𝑥 
Como lim
𝑥→0+
(−𝑥) = lim
𝑥→0+
𝑥 = 0, pelo Teorema do Confronto, lim
𝑥→0+
𝑥 sen
1
𝑥
= 0. 
Para 𝑥 < 0 temos 
−1 < sen
1
𝑥
< 1 
multiplicando por 𝑥
⇒ −𝑥 > 𝑥 sen
1
𝑥
> 𝑥 
Como lim
𝑥→0−
(−𝑥) = lim
𝑥→0−
𝑥 = 0, pelo Teorema do Confronto, lim
𝑥→0−
𝑥 sen
1
𝑥
= 0. 
Sendo os limites laterais iguais segue que lim
𝑥→0
𝑥 sen
1
𝑥
= 0. 
06. De fato, para todo 𝑥 temos 𝑥2 ≥ 0. Assim 
0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑐 ⇒ 𝑥2 ≤ 𝑥2𝑓(𝑥) ≤ 𝑐𝑥2 
Como lim
𝑥→0
𝑥2 = lim
𝑥→0
𝑐𝑥2 = 0, pelo Teorema da confronto, lim
𝑥→0
𝑥2𝑓(𝑥) = 0. 
07. Como nos interessa o limite a direita podemos considerar 𝑥 ∈ (0,
𝜋
2
). Assim 0 ≤ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
𝑥
≤ 1. Usando 
agora o fato de que a função 𝑒𝑥 é crescente, temos 
0 ≤ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
𝑥
≤ 1 ⇒ 𝑒0 ≤ 𝑒𝑠𝑒𝑛
𝜋
𝑥 ≤ 𝑒1 ⇒ √𝑥 ≤ √𝑥 𝑒
𝑠𝑒𝑛
𝜋
𝑥 ≤ 𝑒√𝑥 
Como lim
𝑥→0+
√𝑥 = lim
𝑥→0+
𝑒√𝑥 = 0, pelo Teorema do Confronto lim
𝑥→0+
√𝑥𝑒
sen
𝜋
𝑥 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Prof. Paulo Cesar