apol calculo diferencial

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir:
A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de curvas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em torno do eixo das abscissas é dada por:
Nota: 0.0
	
	A
	16ππ
	
	B
	16ππ√1717 u.a.
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
	
	C
	√1717 u.a.
	
	D
	√17π17π u.a.
	
	E
	2√17217 u.a.
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a respeito da sequência an=3+7n2n+n2an=3+7n2n+n2, pode-se afirmar que:
Nota: 0.0
	
	A
	é convergente com limite 3.
	
	B
	é convergente com limite 7.
Observamos que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.
Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente com limite igual a 7. (livro-base, p. 104-105)
	
	C
	é convergente com limite 10.
	
	D
	é divergente.
	
	E
	é convergente com limite infinito.
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, considere a área AA da região do primeiro quadrante limitada pela parábola y=x2y=x2, pelo eixo yy e pela reta y=4y=4. É correto afirmar que
Nota: 0.0
	
	A
	A=∫40∫√y0dxdy=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=163u.a.
Um esboço desta região é apresentado abaixo:
Note que esta região pode ser descrita como R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤√y}.R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤y}. Assim, 
A=∫40∫√y0dxdy=∫40(∫√y0dx)dy=∫40√ydy=[23√y3]∣∣∣40=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=∫04(∫0ydx)dy=∫04ydy=[23y3]|04=163u.a.            (livro-base p. 54-59)
	
	B
	A=∫40∫√y0dydx=165u.a.A=∫04∫0ydydx=165u.a.
	
	C
	A=∫40∫√y0dxdy=165u.a.A=∫04∫0ydxdy=165u.a.
	
	D
	A=∫40∫√y0dydx=65u.a.A=∫04∫0ydydx=65u.a.
	
	E
	A=∫40∫√y0dxdy=67u.a.A=∫04∫0ydxdy=67u.a.
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a função vetorial ⃗F(x,y,z)=2x2y^i+2yz^j+4xyz2^zF→(x,y,z)=2x2yi^+2yzj^+4xyz2z^, o divergente de ⃗FF→ é
Nota: 0.0
	
	A
	∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.
	
	B
	∇⋅⃗F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.∇⋅F→(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.
	
	C
	∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.
	
	D
	∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.
Observamos que ∇⋅⃗F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z),∇⋅F→(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z), onde F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2.F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2. Logo,
∇⋅⃗F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.    (livro-base, 155-156)
	
	E
	∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
O gráfico abaixo representa a área da região RR limitada pela curva y=x2y=x2 e pela reta xx. 
Considerando o texto acima e os conteúdos explorados no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva e pela reta do gráfico acima.
Nota: 0.0
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	1
	
	D
	2
	
	E
	
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta:
 
Nota: 0.0
	
	A
	2√10u.c.210u.c.
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c.
livro-base: p. 21-24
	
	B
	3√5u.c.35u.c.
	
	C
	4√5u.c.45u.c.
	
	D
	5√5u.c.55u.c.
	
	E
	6√10u.c.610u.c.
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
O uso de funções de várias variáveis permite modelar situações problema nos quais uma variável é afetada pelo comportamento de uma infinidade de outras variáveis. Entretanto, para o uso adequado dessa ferramenta é necessário aprender a calcular o valor de uma função de várias variáveis em um determinado ponto.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Seja AA um conjunto definido no espaço quadridimensional R4R4 e, a função f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2, que associa a quádrupla ordenada de números reais à soma de seus quadrados. 
Considerando o texto e os conteúdos discutidos no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, a alternativa que indica o valor correto de f(1,2,3,4)f(1,2,3,4) é:
Nota: 0.0
	
	A
	16
	
	B
	25
	
	C
	30
f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 
 livro-base:  p. 75-76
	
	D
	36
	
	E
	40
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considere a região RR delimitada pela reta y=x+2y=x+2 e pela parábola y=x2y=x2, conforme a figura abaixo:
O valor da área de RR é
Nota: 0.0
	
	A
	52u.a.52u.a.
	
	B
	132u.a.132u.a.
	
	C
	29u.a.29u.a.
	
	D
	92u.a.92u.a.
A área da região RR pode ser obtida a partir da integral dupla: ∬R1dA.∬R1dA. 
Inicialmente, observamos que R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}.R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}. Assim,
A=∫2−1∫x+2x21dydx=∫2−1(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]2−1=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a.A=∫−12∫x2x+21dydx=∫−12(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]−12=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a.
	
	E
	72u.a.72u.a.
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a alternativa que corresponde ao valor da área da região R limitada pelas curvas y=x2y=x2 e y=√xy=x, do gráfico a seguir, é
Nota: 0.0
	
	A
	13u.a.13u.a.
Solução:
A=∫10∫√xx2dydx=∫10y∣∣∣√xx2dx=∫10(√x−x2)dx=23x3/2−x33∣∣∣10=23−13=13u.a.A=∫01∫x2xdydx=∫01y|x2xdx=∫01(x−x2)dx=23x3/2−x33|01=23−13=13u.a.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p. 54-59
	
	B
	23u.a.23u.a.
	
	C
	43u.a.43u.a.
	
	D
	53u.a.53u.a.
	
	E
	73u.a.73u.a.
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por:
   
Nota: 0.0
	
	A
	6
	
	B
	10
	
	C
	12
	
	D
	15
	
	E
	16
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizadopara múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, calcule o valor da integral de linha I=∫Cyzdx+xzdy+xydzI=∫Cyzdx+xzdy+xydz dadas as equações paramétricas ⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2{x=2ty=t+1z=4t+2com 0≤t≤10≤t≤1 e assinale a alternativa que corresponde a esse valor.
Nota: 0.0
	
	A
	-12
	
	B
	24
Solução:
Fazendo as substituições x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dtx=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt na integral de linha, temos
I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)∣∣∣10=8+12+4=24.I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)|01=8+12+4=24.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016.  p.153 a p.155
	
	C
	15
	
	D
	-20
	
	E
	30
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, qual a lei de formação da sequência dos números ímpares (n), sendo que n é um número natural diferente de zero?
Nota: 0.0
	
	A
	an = 2n
	
	B
	an = 2n + 1
	
	C
	an = n + 1
	
	D
	an = 2n – 1
A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, ....
Como n começa em 1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o primeiro número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2; na alternativa e) teremos 1-1 = 0.
Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 – 1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 – 1 = 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência dos números ímpares.
livro-base p. 101-102
	
	E
	an = n - 1
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta:
 
Nota: 0.0
	
	A
	2√10u.c.210u.c.
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c.
livro-base: p. 21-24
	
	B
	3√5u.c.35u.c.
	
	C
	4√5u.c.45u.c.
	
	D
	5√5u.c.55u.c.
	
	E
	6√10u.c.610u.c.
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir:
A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de curvas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em torno do eixo das abscissas é dada por:
Nota: 0.0
	
	A
	16ππ
	
	B
	16ππ√1717 u.a.
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
	
	C
	√1717 u.a.
	
	D
	√17π17π u.a.
	
	E
	2√17217 u.a.
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a respeito da sequência an=3+7n2n+n2an=3+7n2n+n2, pode-se afirmar que:
Nota: 0.0
	
	A
	é convergente com limite 3.
	
	B
	é convergente com limite 7.
Observamos que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.
Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente com limite igual a 7. (livro-base, p. 104-105)
	
	C
	é convergente com limite 10.
	
	D
	é divergente.
	
	E
	é convergente com limite infinito.
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule a integral , dadas as equações paramétricas:
Nota: 0.0
	
	A
	-1
	
	B
	0
	
	C
	1
	
	D
	2
	
	E
	3
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho a seguir:
A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
Considere a função:  f(x,y,z) = 3x + 5y -6z. De acordo com os conteúdos da Aula 3 - Tema: Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos:
Nota: 0.0
	
	A
	fx = 3; fy = 5;   fz = -6
Calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável.
De acordo com a vídeo aula:
Observar cada termo separadamente Aplicar as regras de derivação para a variável de análise As demais variáveis são consideradas constantes
(Vídeo aula 3).
	
	B
	fx = -3; fy = -5; fz = -6
	
	C
	fx = 5; fy = 3; fz = 6
	
	D
	fx = 6; fy = 5; fz = -3
	
	E
	fx = -6; fy = 5; fz = 3
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Considerando o texto acima e utilizando as técnicas de integração aprendidas ao longo da Videoaula "Exercícios" - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05 e do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que apresenta o valor correto de 
I.I.
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy.
Nota: 0.0
	
	A
	1212
	
	B
	3232
Solução:
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy=∫02(x44+yx22)|x=0x=1dy=∫02(14+y2)dyI=(y4+y24)|02=(24+224)=64=32.
Fonte: Videoaula Exercícios - videoaula 2 - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05, 03'10 até 04'27 | e Livro-Base, p. 54-59.
	
	C
	5252
	
	D
	7272
	
	E
	9292
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Com base no texto acima e nos conteúdos discutidos no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2y=3x+2 no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas e assinale a alternativa que corresponde a esse valor.
Nota: 0.0
	
	A
	25π√20u.a.25π20u.a.
	
	B
	20π√10u.a.20π10u.a.
Solução:
A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a.
livro-base p. 15-20
	
	C
	22π√12u.a.22π12u.a.
	
	D
	23π√13u.a.23π13u.a.
	
	E
	21π√15u.a.21π15u.a.
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integrala Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
O gráfico abaixo representa a área da região RR limitada pela curva y=x2y=x2 e pela reta xx. 
Considerando o texto acima e os conteúdos explorados no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva e pela reta do gráfico acima.
Nota: 0.0
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	1
	
	D
	2
	
	E
	
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho a seguir:
A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
Considere a função:  f(x,y,z) = 3x + 5y -6z. De acordo com os conteúdos da Aula 3 - Tema: Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos:
Nota: 0.0
	
	A
	fx = 3; fy = 5;   fz = -6
Calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável.
De acordo com a vídeo aula:
Observar cada termo separadamente Aplicar as regras de derivação para a variável de análise As demais variáveis são consideradas constantes
(Vídeo aula 3).
	
	B
	fx = -3; fy = -5; fz = -6
	
	C
	fx = 5; fy = 3; fz = 6
	
	D
	fx = 6; fy = 5; fz = -3
	
	E
	fx = -6; fy = 5; fz = 3
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a função vetorial ⃗F(x,y,z)=2x2y^i+2yz^j+4xyz2^zF→(x,y,z)=2x2yi^+2yzj^+4xyz2z^, o divergente de ⃗FF→ é
Nota: 0.0
	
	A
	∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.
	
	B
	∇⋅⃗F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.∇⋅F→(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.
	
	C
	∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.
	
	D
	∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.
Observamos que ∇⋅⃗F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z),∇⋅F→(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z), onde F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2.F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2. Logo,
∇⋅⃗F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.    (livro-base, 155-156)
	
	E
	∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir:
A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de curvas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em torno do eixo das abscissas é dada por:
Nota: 0.0
	
	A
	16ππ
	
	B
	16ππ√1717 u.a.
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
	
	C
	√1717 u.a.
	
	D
	√17π17π u.a.
	
	E
	2√17217 u.a.
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Observe o limaçon abaixo:
Fonte: Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
Considerando o limaçon e os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa que apresenta corretamente a área da região cinza do limaçon r=1+2senθr=1+2senθ.
Nota: 0.0
	
	A
	4+32πu.a.4+32πu.a.
Solução:
A=12∫π0[f(θ)]2dθ=12∫π0[1+2senθ]2dθA=12∫π0(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫π0[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫π0(3+4senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)∣∣∣π0A=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a.A=12∫0π[f(θ)]2dθ=12∫0π[1+2senθ]2dθA=12∫0π(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫0π[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫0π(3+4senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)|0πA=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a.
livro-base: p. 33-36
	
	B
	3+12πu.a.3+12πu.a.
	
	C
	2+52πu.a.2+52πu.a.
	
	D
	1+72πu.a.1+72πu.a.
	
	E
	3+52πu.a.3+52πu.a.
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por:
   
Nota: 0.0
	
	A
	6
	
	B
	10
	
	C
	12
	
	D
	15
	
	E
	16
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a respeito da sequência an=3+7n2n+n2an=3+7n2n+n2, pode-se afirmar que:
Nota: 0.0
	
	A
	é convergente com limite 3.
	
	B
	é convergente com limite 7.
Observamos que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.
Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente com limite igual a 7. (livro-base, p. 104-105)
	
	C
	é convergente com limite 10.
	
	D
	é divergente.
	
	E
	é convergente com limite infinito.
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, calcule o valor da integral de linha I=∫Cyzdx+xzdy+xydzI=∫Cyzdx+xzdy+xydz dadas as equações paramétricas ⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2{x=2ty=t+1z=4t+2com 0≤t≤10≤t≤1 e assinale a alternativa que corresponde a esse valor.
Nota: 0.0
	
	A
	-12
	
	B
	24
Solução:
Fazendo as substituições x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dtx=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt na integral de linha, temos
I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)∣∣∣10=8+12+4=24.I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)|01=8+12+4=24.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016.  p.153 a p.155
	
	C
	15
	
	D
	-20
	
	E
	30
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferenciale integral a várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta:
 
Nota: 0.0
	
	A
	2√10u.c.210u.c.
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c.
livro-base: p. 21-24
	
	B
	3√5u.c.35u.c.
	
	C
	4√5u.c.45u.c.
	
	D
	5√5u.c.55u.c.
	
	E
	6√10u.c.610u.c.
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
O uso de funções de várias variáveis permite modelar situações problema nos quais uma variável é afetada pelo comportamento de uma infinidade de outras variáveis. Entretanto, para o uso adequado dessa ferramenta é necessário aprender a calcular o valor de uma função de várias variáveis em um determinado ponto.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Seja AA um conjunto definido no espaço quadridimensional R4R4 e, a função f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2, que associa a quádrupla ordenada de números reais à soma de seus quadrados. 
Considerando o texto e os conteúdos discutidos no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, a alternativa que indica o valor correto de f(1,2,3,4)f(1,2,3,4) é:
Nota: 0.0
	
	A
	16
	
	B
	25
	
	C
	30
f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 
 livro-base:  p. 75-76
	
	D
	36
	
	E
	40
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
Dadas as equações paramétricas das elipses: Elipse 1:{x=2costy=4sent e Elipse 2:{x=2costy=sent,Elipse 1:{x=2costy=4sent e Elipse 2:{x=2costy=sent, seguem os gráficos no plano xy:
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 25-30.
De acordo com  o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a figura, a área em cinza limitada pelas elipses 1 e 2 e pelo eixo y vale:
Nota: 0.0
	
	A
	3 u.a.
	
	B
	2 u.a.
	
	C
	ππ u.a.
	
	D
	2π2π u.a.
	
	E
	3π3π u.a.
A=2∫0π2y(t)x′(t)dtA=2∫0π2{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫0π2(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫0π2(−6sen2t)dtA=−12∫0π2(12−12cos2t)dt=12(θ2−14sen2θ)∣∣∣0π2=−12(−π4−0)A=3πu.a.A=2∫π20y(t)x′(t)dtA=2∫π20{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫π20(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫π20(−6sen2t)dtA=−12∫π20(12−12cos2t)dt=12(θ2−14sen2θ)|π20=−12(−π4−0)A=3πu.a.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016.
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a alternativa que corresponde ao valor da área da região R limitada pelas curvas y=x2y=x2 e y=√xy=x, do gráfico a seguir, é
Nota: 0.0
	
	A
	13u.a.13u.a.
Solução:
A=∫10∫√xx2dydx=∫10y∣∣∣√xx2dx=∫10(√x−x2)dx=23x3/2−x33∣∣∣10=23−13=13u.a.A=∫01∫x2xdydx=∫01y|x2xdx=∫01(x−x2)dx=23x3/2−x33|01=23−13=13u.a.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p. 54-59
	
	B
	23u.a.23u.a.
	
	C
	43u.a.43u.a.
	
	D
	53u.a.53u.a.
	
	E
	73u.a.73u.a.
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta:
 
Nota: 0.0
	
	A
	2√10u.c.210u.c.
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c.
livro-base: p. 21-24
	
	B
	3√5u.c.35u.c.
	
	C
	4√5u.c.45u.c.
	
	D
	5√5u.c.55u.c.
	
	E
	6√10u.c.610u.c.
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Observe o limaçon abaixo:
Fonte: Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
Considerando o limaçon e os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa que apresenta corretamente a área da região cinza do limaçon r=1+2senθr=1+2senθ.
Nota: 0.0
	
	A
	4+32πu.a.4+32πu.a.
Solução:
A=12∫π0[f(θ)]2dθ=12∫π0[1+2senθ]2dθA=12∫π0(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫π0[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫π0(3+4senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)∣∣∣π0A=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a.A=12∫0π[f(θ)]2dθ=12∫0π[1+2senθ]2dθA=12∫0π(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫0π[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫0π(3+4senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)|0πA=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a.
livro-base: p. 33-36
	
	B
	3+12πu.a.3+12πu.a.
	
	C
	2+52πu.a.2+52πu.a.
	
	D
	1+72πu.a.1+72πu.a.
	
	E
	3+52πu.a.3+52πu.a.
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir:
A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de curvas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em torno do eixo das abscissas é dada por:
Nota: 0.0
	
	A
	16ππ
	
	B
	16ππ√1717 u.a.
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
	
	C
	√1717 u.a.
	
	D
	√17π17π u.a.
	
	E
	2√17217 u.a.
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Considerando o texto acima e utilizando as técnicas de integração aprendidas ao longo da Videoaula "Exercícios" - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05 e do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que apresenta o valor correto de 
I.I.
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy.
Nota: 0.0
	
	A
	1212
	
	B
	3232
Solução:
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy=∫02(x44+yx22)|x=0x=1dy=∫02(14+y2)dyI=(y4+y24)|02=(24+224)=64=32.
Fonte: Videoaula Exercícios - videoaula 2 - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05, 03'10 até 04'27 | e Livro-Base, p. 54-59.
	
	C
	5252
	
	D
	7272
	
	E
	9292
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem do texto:
"A operação de derivada parcial permite encontrar a derivada de uma função de várias variáveis em relação a uma de suas outras funções. A estratégia para o cálculo é considerar todas as outras variáveis como constantes e aplicar as regras de derivação como habitualmente."
Texto elaborado pelo autor.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
Assinale a alternativacorreta que corresponde às derivadas parciais da função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy..
Nota: 0.0
	
	A
	∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.
Calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim,
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.
	
	B
	∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x
	
	C
	∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x
	
	D
	∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y
	
	E
	∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a função vetorial ⃗F(x,y,z)=2x2y^i+2yz^j+4xyz2^zF→(x,y,z)=2x2yi^+2yzj^+4xyz2z^, o divergente de ⃗FF→ é
Nota: 10.0
	
	A
	∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.
	
	B
	∇⋅⃗F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.∇⋅F→(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.
	
	C
	∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.
	
	D
	∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.
Você acertou!
Observamos que ∇⋅⃗F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z),∇⋅F→(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z), onde F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2.F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2. Logo,
∇⋅⃗F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.    (livro-base, 155-156)
	
	E
	∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Com base no texto acima e nos conteúdos discutidos no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2y=3x+2 no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas e assinale a alternativa que corresponde a esse valor.
Nota: 10.0
	
	A
	25π√20u.a.25π20u.a.
	
	B
	20π√10u.a.20π10u.a.
Você acertou!
Solução:
A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a.
livro-base p. 15-20
	
	C
	22π√12u.a.22π12u.a.
	
	D
	23π√13u.a.23π13u.a.
	
	E
	21π√15u.a.21π15u.a.
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Analise o seguinte problema:
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1,x2x1,x2 e x3x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3. Supondo que a empresa fabrica 3 unidades do primeiro produto, x1x1, uma unidade do segundo produto, x2x2, e quatro unidades do terceiro produto, x3.x3..
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75-76.
Com base nos conteúdos estudados no RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica o valor correto para o custo de fabricação destes três produtos é dado por:
Nota: 0.0
	
	A
	120
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
	
	B
	150
	
	C
	180
	
	D
	200
	
	E
	220
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, qual a lei de formação da sequência dos números ímpares (n), sendo que n é um número natural diferente de zero?
Nota: 0.0
	
	A
	an = 2n
	
	B
	an = 2n + 1
	
	C
	an = n + 1
	
	D
	an = 2n – 1
A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, ....
Como n começa em 1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o primeiro número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2; na alternativa e) teremos 1-1 = 0.
Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 – 1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 – 1 = 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência dos números ímpares.
livro-base p. 101-102
	
	E
	an = n - 1
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por:
   
Nota: 10.0
	
	A
	6
	
	B
	10
	
	C
	12
Você acertou!
	
	D
	15
	
	E
	16
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
O gráfico abaixo representa a área da região RR limitada pela curva y=x2y=x2 e pela reta xx. 
Considerando o texto acima e os conteúdos explorados no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva e pela reta do gráfico acima.
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	1
	
	D
	2
	
	E
	
Você acertou!
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta:
 
Nota: 10.0
	
	A
	2√10u.c.210u.c.
Você acertou!
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c.
livro-base: p. 21-24
	
	B
	3√5u.c.35u.c.
	
	C
	4√5u.c.45u.c.
	
	D
	5√5u.c.55u.c.
	
	E
	6√10u.c.610u.c.
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, considere a área AA da região do primeiro quadrante limitada pela parábola y=x2y=x2, pelo eixo yy e pela reta y=4y=4. É correto afirmar que
Nota: 10.0
	
	A
	A=∫40∫√y0dxdy=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=163u.a.
Você acertou!
Um esboço desta região é apresentado abaixo:
Note que esta região pode ser descrita como R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤√y}.R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤y}. Assim, 
A=∫40∫√y0dxdy=∫40(∫√y0dx)dy=∫40√ydy=[23√y3]∣∣∣40=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=∫04(∫0ydx)dy=∫04ydy=[23y3]|04=163u.a.            (livro-base p. 54-59)
	
	B
	A=∫40∫√y0dydx=165u.a.A=∫04∫0ydydx=165u.a.C
	A=∫40∫√y0dxdy=165u.a.A=∫04∫0ydxdy=165u.a.
	
	D
	A=∫40∫√y0dydx=65u.a.A=∫04∫0ydydx=65u.a.
	
	E
	A=∫40∫√y0dxdy=67u.a.A=∫04∫0ydxdy=67u.a.
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Analise o seguinte problema:
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1,x2x1,x2 e x3x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3. Supondo que a empresa fabrica 3 unidades do primeiro produto, x1x1, uma unidade do segundo produto, x2x2, e quatro unidades do terceiro produto, x3.x3..
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75-76.
Com base nos conteúdos estudados no RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica o valor correto para o custo de fabricação destes três produtos é dado por:
Nota: 10.0
	
	A
	120
Você acertou!
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
	
	B
	150
	
	C
	180
	
	D
	200
	
	E
	220
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Com base no texto acima e nos conteúdos discutidos no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2y=3x+2 no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas e assinale a alternativa que corresponde a esse valor.
Nota: 10.0
	
	A
	25π√20u.a.25π20u.a.
	
	B
	20π√10u.a.20π10u.a.
Você acertou!
Solução:
A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a.
livro-base p. 15-20
	
	C
	22π√12u.a.22π12u.a.
	
	D
	23π√13u.a.23π13u.a.
	
	E
	21π√15u.a.21π15u.a.
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem do texto:
"A operação de derivada parcial permite encontrar a derivada de uma função de várias variáveis em relação a uma de suas outras funções. A estratégia para o cálculo é considerar todas as outras variáveis como constantes e aplicar as regras de derivação como habitualmente."
Texto elaborado pelo autor.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
Assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy..
Nota: 10.0
	
	A
	∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.
Você acertou!
Calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim,
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.
	
	B
	∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x
	
	C
	∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x
	
	D
	∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y
	
	E
	∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
O uso de funções de várias variáveis permite modelar situações problema nos quais uma variável é afetada pelo comportamento de uma infinidade de outras variáveis. Entretanto, para o uso adequado dessa ferramenta é necessário aprender a calcular o valor de uma função de várias variáveis em um determinado ponto.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Seja AA um conjunto definido no espaço quadridimensional R4R4 e, a função f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2, que associa a quádrupla ordenada de números reais à soma de seus quadrados. 
Considerando o texto e os conteúdos discutidos no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, a alternativa que indica o valor correto de f(1,2,3,4)f(1,2,3,4) é:
Nota: 10.0
	
	A
	16
	
	B
	25
	
	C
	30
Você acertou!
f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 
 livro-base:  p. 75-76
	
	D
	36
	
	E
	40
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
Dadas as equações paramétricas das elipses: Elipse 1:{x=2costy=4sent e Elipse 2:{x=2costy=sent,Elipse 1:{x=2costy=4sent e Elipse 2:{x=2costy=sent, seguem os gráficos no plano xy:
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 25-30.
De acordo com  o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a figura, a área em cinza limitada pelas elipses 1 e 2 e pelo eixo y vale:
Nota: 10.0
	
	A
	3 u.a.
	
	B
	2 u.a.
	
	C
	ππ u.a.
	
	D
	2π2π u.a.
	
	E
	3π3π u.a.
Você acertou!
A=2∫0π2y(t)x′(t)dtA=2∫0π2{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫0π2(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫0π2(−6sen2t)dtA=−12∫0π2(12−12cos2t)dt=12(θ2−14sen2θ)∣∣∣0π2=−12(−π4−0)A=3πu.a.A=2∫π20y(t)x′(t)dtA=2∫π20{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫π20(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫π20(−6sen2t)dtA=−12∫π20(12−12cos2t)dt=12(θ2−14sen2θ)|π20=−12(−π4−0)A=3πu.a.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016.
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Observe o limaçon abaixo:
Fonte: Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
Considerando o limaçon e os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa que apresenta corretamente a área da região cinza do limaçon r=1+2senθr=1+2senθ.
Nota: 10.0
	
	A
	4+32πu.a.4+32πu.a.
Você acertou!
Solução:
A=12∫π0[f(θ)]2dθ=12∫π0[1+2senθ]2dθA=12∫π0(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫π0[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫π0(3+4senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)∣∣∣π0A=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a.A=12∫0π[f(θ)]2dθ=12∫0π[1+2senθ]2dθA=12∫0π(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫0π[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫0π(3+4senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)|0πA=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a.
livro-base: p. 33-36
	
	B
	3+12πu.a.3+12πu.a.
	
	C
	2+52πu.a.2+52πu.a.
	
	D
	1+72πu.a.1+72πu.a.
	
	E
	3+52πu.a.3+52πu.a.