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Aula 2 - Subespaços Vetoriais 
 Combinações Lineares 
18/08/2020 
 
Definição 1. (Espaço Vetorial) 
 
Um espaço vetorial V é uma coleção 
de objetos denominados vetores 
munida de duas operações: 
 
(A) Adição vetorial: (u,v) ——> u+v 
 
(M) Multiplicação 
 por escalar : (λ,u) ——> λu 
 
escalar = número real •
 
Estas operações devem satisfazer uma 
lista de 8 propriedades (axiomas). 
Mais precisamente, para todos os 
vetores u, v e w de V e para todos os 
números reais λ, λ₁ e λ₂, os seguintes 
axiomas são válidos: 
 
 
Lista de axiomas: 
 
 
 
(A1) u+v = v+u (comutatividade) 
 
(A2) u+(v+w)=(u+v)+w (associatividade) 
 
(A3) ∃O∊V : u+O=u (vetor nulo) 
 
(A4)∃-u∊V: u+(-u)=0 (elemento oposto) 
 
(M1) (λ₁+λ₂)u = λ₁u+λ₂u (distributiva 1) 
 
(M2) λ(u+v) = λu+λv (distributiva 2) 
 
(M3) λ₁(λ₂u)=(λ₁λ₂)u 
 
(M4) 1u=u 
 
 
OBS. O vetor O é chamado vetor nulo. 
 
 
Exemplos de Espaços Vetoriais 
 
Exemplo 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vetor nulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rn
IR ftp.k vn vier kien
Up Un 1 4 r Up 14 UntVn
Alv vn Av Nr
O 0,0 0
u vn p vn Y
Un_Un
 
 Exemplo 2. M Conj. Matrizes mxn 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vetor nulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 3. P conj. dos polinômios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 grau (p) = grau (q) 
 p=q e 
 Os coeficientes dos termos 
 de mesmo grau são iguais 
 
 
p 2 3É t 7 se
9 x 4K 3kt 4
Pt f R 42 3É 14kt 4
3p m 9 721
0 4 0 Ar vetor nulo
p q pcr q
a V x.CM
f
 
Propriedades que valem em todo 
Espaço vetorial V 
 número zero 
(I) u=O vetor nulo 
 vetor qualquer 
(II) λO=O vetor nulo, λ∊ℝ 
 
(III) -u=(-1)u vetor qualquer 
 
 elemento oposto 
(IV) O vetor nulo O é unico 
 
Justificativa: 
 
(I) 0u+0u=(0+0)u=0u (Usando (M1)) 
 (0u+0u)+(-0u)=0u+(-0u)=O (Usando (A4)) 
 (0u+(-0u))+0u=O (Usando (A2)) 
 O+0u=O (Usando (A4)) 
 0u=O 
 
(II), (III), (IV) Basta proceder de modo análogo ao 
(I). 
 
s
i
 
Definição 2. (Subespaço vetorial) 
 
Um subespaço de um espaço vetorial V 
é um subconjunto H de V que tem três 
propriedades: 
 
(i) O vetor nulo O está em H; 
(ii) u+v∊H para todo u∊H e v∊H; 
(iii) λu∊H para todo λ∊ℝ e u∊H. 
 
Proposição 1: Todo subespaço vetorial 
é um espaço vetorial. 
 
Prova. H≠∅ pois O∊H. 
As operações de adição e 
multiplicação por escalar de V podem 
ser colocadas em H porque H é 
subespaço. Como V é espaço vetorial, 
as operações de adição e 
multiplicação por escalar herdam de V 
os 8 axiomas (A1)-(A4) e (M1)-(M4). 
 
 
Exemplos de subespaços vetoriais 
 
 
 
Exemplo 4. H={0} subespaço nulo. 
 
Prova. Vamos verificar as 
propriedades (i)-(iii). 
 
(i) O∊H 
 
(ii) u,v∊H ⟹ u=v=O ⟹ u+v=O+O=O∊H. 
 
(iii) λ∊ℝ e u∊H ⟹ u=O ⟹ λu=O∊H. 
 
Desta forma, H é um subespaço 
vetorial. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5. Retas que passam pela 
origem e planos que passam pela 
origem são subespaços vetoriais do 
ℝ² e ℝ³. 
 
Justificativa. 
Caso I) H é uma reta que contém O. 
Nesse caso, da Geometria Analítica, 
H={O+tv: t∊ℝ}, onde v é o vetor diretor. 
Vamos verificar (i)-(iii). 
(i) O∊H pois a reta passa por O. 
 
(ii) u,v∊H ⟹ u=t₁v e v=t₂v. Assim 
u+v=t₁v+t₂v=(t₁+t₂)v=tv∊H 
 
 t 
(iii) λ∊ℝ e u∊H ⟹ u=t₁v ⟹ λu=(λt₁)v∊H. 
Assim, H é subespaço vetorial. 
 
Caso II) H é um plano que contém O. 
É análogo, basta usar que nesse caso 
H={O+tu+sv: t∊ℝ+s∊ℝ}, u,v vetores diret. 
 
Obs. Retas ou planos que não passam 
pela origem não são subespaços 
vetoriais pois não contém O. 
 
Exemplo 6. As matrizes triangulares 
inferior de ordem mxn formam um 
subespaço vetorial de M. 
 
Prova. 
Suponha m=n=2, por exemplo. Então, 
 
 
 
(i) é verdadeira porque 
 
Sejam 
 
 
Então 
 
 
e 
 
 
Exemplo 7. O conjunto de polinômios 
P de grau≤n formam um subespaço 
vetorial de P. 
 
Prova. 
(i) é verdadeira pois o polinômio 
nulo é considerado aqui ter grau -∞. 
 
Sejam P:ℝ⇾ℝ e Q:ℝ⇾ℝ polinômios de 
grau ≤n. Então podemos escrever: 
 
 
 
 
Logo, 
Assim, p+q∊P e λp∊P . Isto mostra que 
 
(ii) e (iii) são verdadeiras. 
 
n
 
Combinações lineares 
 
 
Definição 3. (combinação linear) 
 
Seja V um espaço vetorial. Um vetor 
b∊V é combinação linear de r vetores 
v₁, v₂, …, vᵣ se existem números reais 
𝓧₁, 𝓧₂, …, 𝓧ᵣ tais que 
 
 b=𝓧₁v₁ +𝓧₂v₂+…+𝓧ᵣvᵣ 
 
 
Exemplos de combinações lineares: 
 
 
 
 
 
 
Obs. O vetor nulo é combinação linear 
de qualquer conjunto de vetores. 
 
Exemplo 8. Sejam 
 
 
 
 
Determine se b é combinação linear 
de 
 
Resolução: 
 
 
 Matriz 
 aumentada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
hey
b
ikpvptxzvzlv.nl
b
1 2 7
EH D así56 3
I
Aplicando o
Método de Gauss
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: b é combinação linear 
de v₁ e v₂. Mais precisamente, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÉL tl
E E Htt
I 1
Esta
 
Proposição 2. Sejam v₁, v₂, …, vᵣ 
vetores coluna do ℝⁿ. Dado um vetor 
coluna b, a equação vetorial 
 
 b=𝓧₁v₁ +𝓧₂v₂+…+𝓧ᵣvᵣ 
 
tem a mesma solução que o sistema 
linear com matriz aumentada 
 
 A= [v₁ v₂ … vᵣ | b] 
 
Em particular, o vetor b é combinação 
linear dos vetores v₁, v₂, …, vᵣ 
se e somente se o sistema linear 
associado à matriz A tem solução. 
 
Definição 4. O conjunto de todas as 
combinações lineares de r vetores 
v₁, v₂, …, vᵣ de um espaço vetorial V é 
denotado por span(v₁, v₂, …, vᵣ). Desta 
forma, 
 
 
 
span(v₁, …, vᵣ)={𝓧₁v₁+…+𝓧ᵣvᵣ : 𝓧ᵢ∊ℝ} 
 
Exemplo 9. P =span(1,x,x²,…,x ). 
 
Justificativa. 
 
Um polinômio p é um vetor de P se e 
somente se o gr au de p é ≤n. 
Em outras palavras, p está em P se e 
somente se existem coeficientes reais 
 
 
Desta forma, p∊P se e somente se 
p∊span(1,x,x²,…,x ). 
 
 
 
 
 
 
n
n
n
n
n
n
 
Exemplo 10. 
ℝ³=span((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)). 
 
Justificativa: 
 
Span((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) 
 
={a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) : a,b,c∊ℝ} 
 
={(a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c) : a,b,c∊ℝ} 
 
={(a,b,c): a,b,c∊ℝ} 
=ℝ³. 
 
Proposição 3. Sejam v₁, v₂, …, vᵣ 
vetores de um espaço vetorial V. Então 
o conjunto span(v₁, v₂, …, vᵣ) 
é um subespaço vetorial de V 
denominado subespaço vetorial 
gerado por v₁, v₂, …, vᵣ. 
 
 
 
Prova. Basta verificar as propriedades 
(i)-(iii). 
 
(i) O∊span(v₁, v₂, …, vᵣ) pois 
 O=Ov₁+Ov₂ + … + Ovᵣ. 
 
(ii) Sejam 
 u = a₁v₁+a₂v₂+…+aᵣvᵣ 
 v = b₁v₁+b₂v₂+…+bᵣvᵣ 
 
vetores quaisquer de span(v₁, v₂, …, vᵣ) 
Então 
 
u+v=(a₁+b₁)v₁+(a₂+b₂)v₂+…+(aᵣ+bᵣ)vᵣ 
 
Portanto, 
 
u+v∊span(v₁, v₂, …, vᵣ) 
 
(iii) Se λ∊ℝ e u = a₁v₁+a₂v₂+…+aᵣvᵣ, 
Então 
λu = (a₁λ)v₁+(λa₂)v₂+…+(λaᵣ)vᵣ, 
Logo, λu∊span(v₁, v₂, …, vᵣ) 
 
 
Exemplo 11. Toda reta que passa pela 
origem é o subespaço gerado pelo seu 
vetor diretor e todo plano que passa 
pela origem é o subespaço vetorial 
gerado pelos seus vetores diretores. 
 
Justificativa. 
 
Seja r uma reta com vetor diretor r 
que passa pela origem. Então, do 
curso de Geometria Analítica, os 
pontos da reta formam o conjunto 
 
 H={tv: t∊ℝ}=span(v). 
Analogamente, se π é um plano com 
vetores diretores u e v, então do 
curso de Geometria Analítica, os 
pontos do plano formam o conjunto 
 
 H={tu+sv: t∊ℝ e s∊ℝ}=span(u,v).