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Aula8

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Aula 8 - Transformações 
Lineares do ℝⁿ em ℝ 
 
22,28,29/09/2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RI HER RER
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F xim pn 4
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n 3
ftp.renren.xr.i
iiI
Livro David Poole
Definirão transformação matricial
A matriz mxn
Ta ir iê
n
TA A x x c IR
produto matricial mxn
Dizemos que uma função T IRn vê
é uma transformação matricial se existe
matiz A ter que F TA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo
ÊI
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HEHE Hit
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tal L EI
III K 119
ER2 IÉ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplar Seja T.IR À defenda por
THEYHit
Iergunta T é transformação matricial
7 matriz A tal que tl Af j
Resposta sim
A fo
HENRIETTE
is
i
T t f
4,7
se
EMb É
d MP tiga Http TIAN 112p 2711 21p 71
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2dLp q
etinição Transformação linear
Umatransformação ir trem é linear se
as seguintes afirmações forem verdadeiras
a T Vtv TCU T v
b T du D TCU
para todo
o e IR VERN e de IR
ExempIo Verifique que a transformação
T ir N é linear
iii E
Resolução
a tititi muita
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a than TITITIÊI
Iii tk 1
TIE
The tt v
b Também é verdadeira
Debs Toda transformação linear leva
vetor who em vetor mto pois
1 o T oto Tho
T o
Tl
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 1 Seja A uma matriz mm Então
a transformação matricial T.im Mm
defendapor Tax _A é umatransformaçãolinear
trova produtoUsando as propriedades da matricial
a Tatum A fev Aut Av Tau Tav
b taLau A Xv x Au itau
teorema Seja t.IR km umatransformaçãolinear do trem nm Então T é uma
transformação matricial Maisprecisamentet.tn onde A é amatriz
T A Te Tez tem
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
matrizpadrão ou canônica
da
transformação levanta
trova e p en f
µ
x en t soren
Tx T x e then
There T tnc
X T Ç t In
T en
T les TEM TH Men
T.mx n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exempt Encontre a matiz do operador
linear t ir ir definido por T µ
Tespostam Pelo Teorema 2
A ter Ted E E
Te T f f
teetfoj.fi
Exemplos de transformações
lineares
EIas
à
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 j II Reflexão comrelação ao erro x
T é uma transformação linear
EI L tl'd til
Exemplo Rotação por um ângulo
0 no
sentido anti horário ao redor de 0
É EH
se
III III
t.ro II
o Y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 45
mi
t.EE
HI MÃE 11
milite 1
ir
iii Afffà
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplar A projeção ortogonal de
um pito p f sobre uma retar
que passa pela origem é uma
transformação linear
i
Içuetar diretori
ze
ftp
Iii
Trinta III ftp.t Id
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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à ti
t
EH
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
117
µ
EH D
Htt III HD
IIHA EH Hitt
Combinandotransformações lineares
É t.FI II
50T
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema sejam
T ir Mm e S Mm ir
transformações lineares Então Sat à ir
é também uma transformação linear
Além disso a matriz canônica de s.at é
s.tl HEI
Exemplo Sejam t ir ir e 5 ir ir as
transformações lineares definidaspor
H HEH
Encontre 5 o T
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 1
D f te Ted
s Lser ser ses µ f
existi ftp
Hits Kitt d
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 2
tl li H
ftp sk III
t.fi
X 274 X a
Xp pq x z 34 4 1
iii
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo
iii
Euro seno zsen q cosqsenq
senqagsenq.ws0 Tasoz senti senossenhicosopos02
costeira sendo 17
senta 1oz vs a À
Rosa
Rojkq Rq o.si
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inversa de uma transformação linear
I ir ir
Ira transformação identidade
Definição Umatransformação linear
1 ir 7 ir é invertirel se existe
5 ir à tal que Sot I e t s I
A transformação 5 é chamada
enversa de te é derrotada por S T
1
ExempIo T Ro
T 1 R o pois
R o.RO R O o Ro
I
Ro o R O RO R o Ro L
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo Ra é envertível e Ro R o
ExempIo Reflexão com relação ao euro R
Flite III
F F pro
F F _I
Propensão A inversa É de uma
transformação linear envertivelt é
uma transformação linear Além
disso E é invert Td e
TÍ TI
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos A projeção pf II
de um ponto j no ano
n
é uma transformação linear
não envertível pos
D frei pef.fi não
é envertível
Aplicação: robótica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IÊ03
À M
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O
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ia
ÊÍ
c ElR
Rotação por 0
no sentido antihorário
v Ttitularx
Ç Translação por v
t não é linear no né pois tf fab f
lidei
coordenadas
homogêneas
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E D
Translação T no ir
Effie
Rotação R no wi
t.rkt EXNI.it
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P
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