DIMENSIONAMENTO COM ARMADURA DUPLA

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*Acadêmicos do curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual da Região Tocantina do Maranhão 
– UEMASUL / Campus de Açailândia 
**Professor (Orientador) do curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual da Região Tocantina 
do Maranhão – UEMASUL / Campus de Açailândia 
DIMENSIONAMENTO COM ARMADURA DUPLA 
DIMENSIONING WITH DOUBLE ARMOR 
Clesio de Oliveira Rodrigues* 
Francisco Raphael Lima Duarte* 
Helde Costa Silva* 
Jaelson Araújo Rufino* 
Witor Carvalho Bomjardim* 
Marcos Eduardo* 
Jonathas Nascimento** 
RESUMO 
O estudo de elementos de concreto armado é, além de muito complexo, traz consigo 
variadas formas de analisarmos seu comportamento com a finalidade de despertar o 
senso crítico e técnico dos profissionais da engenharia. Nesse caso específico, o 
estudo focou em armaduras duplas e sua utilidade em determinadas situações e 
necessidades. Mostraremos meios de dimensionamentos que podem ser feitos como 
é o caso de uso de alguns softwares e a teoria com formulação para o bom 
entendimento, com isso abranger nossos horizontes para o cálculo de estruturas de 
concreto armado. 
Palavras-chave: Concreto armado; Dimensionamento; Software; Tabela. 
ABSTRACT 
The study of elements of reinforced concrete is, in addition to being very complex, 
brings with it several ways of analyzing its behavior in order to awaken the critical and 
technical sense of the engineering professionals. In this specific case, the study 
focused on double armor and its usefulness in certain situations and needs. We will 
show ways of sizing that can be done as is the case of using some softwares and the 
theory with formulation for the good understanding, with that to include our horizons 
for the calculation of structures of reinforced concrete. 
Keywords: Reinforced Concrete; Sizing; Software; Table. 
1 INTRODUÇÃO 
Aplicações de estruturas em concreto armado são largamente utilizados 
em todos os continentes, tipos de edificações e planos orçamentais. Dessa forma, 
obtiveram ao longo das décadas um sucesso comercial dominante na construção civil. 
Isto é, possuem várias características positivas como sua adaptabilidade, resistência 
mecânica e durabilidade. 
Por tradição histórica, segundo Ana Zulmira (2009, p.14) a abundância de 
pozolana resultante de atividades vulcânicas do Vesúvio trouxe ao conhecimento do 
Império Romano suas aplicações como aglomerantes devido seu bom desempenho 
mecânico. Obras como Coliseu, Panteão e Aquedutos espelham sua durabilidade e 
eficiência positiva, como também a primeira associação de um metal à argamassa 
pozolânica. Já o cimento Portland, tal como hoje conhecido foi descoberto na 
Inglaterra por volta do ano de 1824, e a produção industrial iniciou-se após 1850. 
Considera-se também, que o concreto armado surgiu na França, no ano de 1849, com 
o primeiro objeto de material registrado pela História sendo um barco, do francês, 
Lambot, o qual foi apresentado oficialmente em 1855. O barco foi construído com telas 
de fios finos de ferro preenchidas com argamassa. 
É válido ressaltar que o Brasil foi responsável e um dos pioneiros das 
aplicações de estruturas em concreto armado. As realizações e recordes de Émile 
Henrique Baumgart enriqueceram a percepção indutiva do conhecimento estrutural 
em todos os países onde fez edificações. Obras como ponte Rio do Peixe, Edifício A 
Noite e outros o eternizou como um dos grandes percussores do concreto armado no 
mundo. 
Conforme a NBR 6118/03 os princípios para com o concreto armado, 
quando se trata de seu comportamento estrutural estará condicionado entre a 
aderência do concreto e armadura onde se comina as tensões direcionais na 
superfície de contato. Para tanto, enuncia-se também o conceito de armadura passiva 
quando as tensões e deformações nela aplicada se deve exclusivamente aos 
carregamentos tenazes nas peças onde está inserida. 
Logo, para total funcionalidade do concreto armado é fundamental que 
exista solidariedade entre ambos (concreto e aço), e cujo esforços sejam realizados 
de forma interativa. Este trabalho conjunto, por sua vez, torna-se bem caracterizado 
na análise de vigas de concreto simples (ausência de armadura), onde romperá 
bruscamente na primeira fissura, após a tensão de tracionamento superar a 
resistência do concreto à tensão normal por tração. No entanto, ao inserir uma 
armadura dimensionada no banjo das tensões de tração, eleva-se significativamente 
a capacidade resistente da viga. 
Assim, induz-se o concreto como um aglomerante que apresenta alta 
resistência às tensões normais por compressão, porém, detém baixa resistência à 
tração (cerca de 10% de sua resistência à compressão). À vista disso, levando em 
consideração características básicas como resistência e durabilidade, o concreto 
armado surge da necessidade de aliar qualidades da rocha em edificações primitivas 
(resistência a compressão e durabilidade) ao aço (resistência mecânica), inovando 
em benefícios de poder assumir qualquer forma, com praticidade e facilidade, além 
de proporcionar a necessária proteção do aço contra agentes corrosivos. 
No ponto de vista da segurança do concreto armado, não se acata peças 
estruturais que tendem a apresentar ruptura frágil, sem que exista indicativos prévios. 
Admite-se somente, quando uma estrutura estressada até sua ruína, esteja precedida 
de vestígios que proporcionem providências emergenciais necessárias. Por isto, se 
deve induzir de antemão uma condição de fissuração servindo como alerta. 
À vista disso, no dimensionamento de vigas de concreto armado o 
calculista tem de se prevenir em relação ao domínio (4), onde as armaduras 
tracionadas não entram em escoamento e seu limite último de serviço é dado pelo 
esmagamento do concreto comprimido. Logo, a seção com armadura dupla surge 
como solução ao dimensionamento antieconômico e contra a insegurança da ruptura 
frágil, sem aviso prévio proporcionado pelo domínio 4. Este domínio é evitado 
alterando-se a posição da linha neutra para o limite entre os domínios 3 e 4, isto é, a 
linha neutra encontrando-se no x3lim terá uma máxima seção comprimida. 
De acordo com Paulo Sérgio (2006, p.13) se entende como seção com 
armadura dupla a seção que, além da armadura resistente tracionada, contém 
também armadura longitudinal resistente na região comprimida, ali dimensionada para 
auxiliar o concreto na resistência às tensões de compressão. 
Bem como, as condições impostas pela NBR 6118 para localização da linha 
neutra, modo que se potencialize a ductilidade de vigas e lajes, serão também, razões 
para a utilização de armaduras dupla. Quando a posição da linha neutra excede os 
limites, ao invés de se aumentar a altura da seção, por exemplo, é comumente 
possível manter todos os danos iniciais acrescentando uma armadura na região 
comprimida da viga e assim possibilitar que a linha neutra não ultrapasse os limites 
normativos obrigatórios. A fim de dimensionamento, pode-se utilizar tabelas para 
flexão simples (𝑘𝑐, 𝑘𝑠), equações gerais e softwares para elementos estruturais 
fletidos. 
Portanto, ao se avaliar os custos e eficiência de uma obra, não se deve 
levar em consideração apenas seu dimensionamento, e sim todos os aspectos 
pertinentes ao processo construtivo, tais como: mão-de-obra, tempo de execução, 
recursos e materiais necessários. Haja vista que, na construção civil tende-se como 
problemática na execução de vigas uma uniformidade de alturas quando se trata de 
montagens de formas, variações de área do aço e a precificação de concreto armado 
com alto índice de resistência a compressão. Isto é, torna-se mais econômico o uso 
de armadura dupla ao invés de aumentar a resistência do concreto utilizado. 
Face ao exposto, o objetivo deste artigo é compreender a estrutura de 
concreto armado, os elementos estruturais fletidos, além de identificar a necessidade, 
os benefícios econômicos e estruturais do usoda armadura dupla em vigas. 
Relatando, assim, problemáticas que podem serem resolvidas sem alterar altura útil 
ou resistência do concreto. 
A metodologia elaborada apresenta-se através da verificação de literatura, 
em que é justificável avaliar o conhecimento fornecido em pesquisas prévias, 
ressaltando conceitos, esquemas, resultados, discussões e conclusões relevantes. 
Dessa forma, o coevo artigo fomentará o aprendizado e sua maturação na área de 
estudo. 
2 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA 
2.1 Comportamento da Viga 
O momento (𝑀𝑑) em uma viga é preponderante para o estudo de uma 
estrutura, com o seu aumento, altera diretamente a profundidade da linha neutra (𝑋), 
e posteriormente a região comprimida do concreto e diminuição da deformação 
específica. Isso provoca que o 𝑀𝑑 alcance o 𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚, este que é o limite entre os 
domínios 3 e 4, onde a viga deixa de ser subarmada para ser superarmada. 
Caso o 𝑀𝑑 atinja o domínio 4 impossibilitará o escoamento do aço, 
ocorrendo o que define por ruptura sem aviso prévio, por esse fator não é 
recomendado dimensionamento em domínios propensos (1 e 4). Caso caia nesse 
domínio o recomendável é fazer uma armadura dupla. 
2.2 Vigas com Armadura Dupla 
Quando se fala em dimensionamento de vigas, tem-se a necessidade de 
calcular o quanto esta pode resistir a um determinado momento fletor, e isso pode ser 
feito com armadura simples, ou seja, ela necessitará de apenas uma amadura 
longitudinal resistente tracionada. Entretanto, em alguns casos isso não é possível, 
tendo que modificar suas dimensões, como por exemplo, aumentar sua altura, ou 
outros atributos. 
O problema é que, diante dos diversos projetos arquitetônicos e desafios 
do engenheiro, é que não se pode alterar as dimensões da viga em questão, e deve-
se buscar novos meios para solucionar este problema. E segundo (BOTELHO, 2015), 
a solução é enriquecer a viga com um material mais nobre e resistente que o concreto, 
em que, consiste em colocar em cima e embaixo uma armadura de aço. 
Ou seja, além de uma armadura resistente e tracionada na parte inferior, 
tem-se uma armadura longitudinal na região comprimida, auxiliando o concreto na 
resistência à compressão. Logo, será de fundamental importância para dimensionar 
sessões, que porventura, sua deformação se encontra no domínio quatro, sem ter que 
alterar suas dimensões pré-estabelecidas. 
Esse domínio pode ser evitado, deslocando a linha neutra para o domínio 
três através da armadura dupla, por outro lado, a NBR 6118 também impõe limites a 
respeito da utilização do domínio três de forma a não o utilizar por completo, tornando-
se mais uma razão para a utilização desse método. 
Na prática, a necessidade deste método, é mais evidente em casos onde o 
momento fletor é negativo, ou seja, nos apoios intermediários de vigas contínuas, pois 
geralmente são maiores que os momentos fletores positivos nos vãos, gerando a 
necessidade de seções transversais maiores. Sobretudo, ficaria inviável estipular 
tamanhos para todos os seus tramos em razão de seus momentos fletores. Em que, 
a solução mais viável, seria colocar armadura dupla nos apoios e armadura simples 
nos vãos. 
2.3 Dimensionamento com armadura dupla com equações 
As fórmulas desenvolvidas neste artigo são para vigas de concreto armado 
que são fabricadas com o que a NBR 6118:2014 denomina de concreto do Grupo I 
(fck≤50Mpa). 
Os esforços resistentes das vigas aqui estudadas seguem as hipóteses 
básicas estabelecidas pela NBR 6118 no item 17.2.2. Estes esforços resistentes de 
uma seção transversal retangular de uma viga são concebidos através das equações 
de equilíbrio da estática, onde o somatório das forças normais é igual a zero e o 
somatório dos momentos fletores também é igual a zero. 
∑ 𝑁 = 0 ∑ 𝑀 = 0 
As forças normais de compressão e tração serão calculadas através da 
equação da Resistência dos Materiais de tensão 𝜎 =
𝐹
𝐴
. 
Na viga o concreto e aço ao serem solicitados terão tensões de tração e 
compressão. No entanto, conforme a NBR 6118:2014 no item 17.2.2 d), as tenções 
de tração do concreto serão desprezadas para fins de cálculo. Ainda no mesmo item 
no tópico e) da mesma norma temos que a distribuição de tensões no concreto é 
representada no diagrama parábola-retângulo (Figura 1), onde a tensão máxima é 
0,85 𝑓𝑐𝑑 devido ao efeito Rüsch. No entanto, esse diagrama pode ser substituído por 
um retangular de profundidade 𝑦 = 0,8𝑥, onde x é a altura da linha neutra da viga. 
 
 
2.3.1 Dedução das fórmulas de dimensionamento de armadura dupla em seção 
retangular 
Seja uma viga com armadura dupla e de seção transversal retangular, 
solicitada por momento fletor positivo e sob flexão simples. Na mesma foi feito um 
corte, conforme ilustra a Figura 3. 
 
Onde: 
bw= Base; 
h= Altura; 
x= Altura da Linha Neutra; 
d= Altura útil da armadura tracionada (distância entre topo da viga e o cg da As); 
d '̂= Altura útil da armadura comprimida (distância entre topo da viga e o cg da A's); 
A '̂ c= Área de concreto comprimida; 
As= Área de aço tracionada; 
A's= Área de aço comprimida. 
Nesta viga temos forças resultantes internas, ou seja, haverá uma força 
resultante 𝑅𝑐𝑐 oriunda da compressão do concreto, uma força 𝑅𝑠𝑐 oriunda da 
compressão de aço e uma força 𝑅𝑠𝑡 oriunda da tração do aço. Pelo somatório de 
forças normais temos que 𝑅𝑠𝑡 = 𝑅𝑐𝑐 + 𝑅𝑠𝑐. Estas forças resultantes podem ser 
relacionadas com a tensão e a área dos materiais da viga através da fórmula da 
Resistência dos Materiais, 𝜎 =
𝑅
𝐴
⇒ 𝑅 = 𝜎. 𝐴, onde 𝑅 é a força resultante, 𝜎 é a tensão 
do material e 𝐴 é a área. Para facilitar os cálculos pode-se repartir a viga da Figura 3 
em duas vigas conforme ilustra a Figura 4. 
 
 
VIGA 0 
VIGA 1 
VIGA 2 
A viga número 1 representa a parte do aço tracionado da viga 0 que resiste 
a compressão do concreto, e a viga número 2 representa a parte do aço tracionado 
da viga 0 que resiste a compressão do aço. Sendo assim o que era 𝐴𝑠 na viga 0, agora 
é a soma de 𝐴𝑠1 da viga 1 e 𝐴𝑠2 da viga 2. 
a) Somatório das forças normais (∑ 𝑵 = 𝟎) 
Pela formula de tensão temos que as forças na viga 1 são: 
𝑅𝑐𝑐 = 𝜎𝑐𝑐 . 𝐴
′𝑐 ⇒ 𝑅𝑐𝑐 = 0,85𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 0,8𝑥 ⟹ 𝑅𝑐𝑐 = 0,68𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝑥 Eq.1 
Onde: 
𝑅𝑐𝑐 = Força resultante de compressão; 
𝜎𝑐𝑐 = Tensão de compressão do concreto; 
𝐴′𝑐 = Área de concreto comprimido; 
𝑓𝑐𝑑 = Tensão de cálculo do concreto; 
𝑏𝑤 = base da viga; 
𝑥 = altura da linha neutra. 
 
𝑅𝑠𝑡1 = 𝜎𝑠𝑑 . 𝐴𝑠1 Eq. 2 
Onde: 
𝑅𝑠𝑡1 = Força resultante de tração que resiste a 𝑅𝑐𝑐 ; 
𝜎𝑠𝑑 = Tensão de cálculo do aço da armadura tracionada; 
𝐴𝑠1 = Área de aço tracionada que se opõe a 𝐴′𝑐. 
Pela formula de tensão temos que as forças na viga 2 são: 
𝑅𝑠𝑐 = 𝜎′𝑠𝑑 . 𝐴′𝑠 Eq. 3 
Onde: 
𝑅𝑠𝑐 = Força de compressão da armadura comprimida; 
𝜎′𝑠𝑑 = Tensão de cálculo do aço da armadura comprimida; 
𝐴′𝑠 = Área de aço comprimida. 
 
 𝑅𝑠𝑡2 = 𝜎𝑠𝑑 . 𝐴𝑠2 Eq. 4 
Onde: 
𝑅𝑠𝑡2 = Força resultante de tração que resiste a 𝑅𝑠𝑐; 
𝜎𝑠𝑑 = Tensão de cálculo do aço da armadura tracionada; 
𝐴𝑠2 = Área de aço tracionada que se opõe a 𝐴′𝑠. 
 
b) Somatório de momentos fletores (∑ 𝑴 = 𝟎) 
Da mesma forma que as forças internas têm que se equilibrar pelo 
somatório de forças normais, o momento fletor solicitante 𝑀𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐 e resistente 𝑀𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡 
entre essas forças também tem que se equilibrar pelo somatório de momentos igual a 
zero. Além deles se equilibrarem, eles têm que ser igual ao momento fletor de cálculo 
ou projeto 𝑀𝑑. Ou seja, 𝑀𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐 = 𝑀𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑘. 1,4. E como a viga 0 foi fracionada 
em duas outras vigas chamaremos de 𝑀𝑑1 o momento da viga 1 e 𝑀𝑑2 o momento 
da viga 2. Ou seja, 
𝑀𝑑 = 𝑀𝑑1 + 𝑀𝑑2 Eq. 5 
Ao fazer o cálculo de momento fletor na viga 1 olhando pela armadura 
tracionada temosque: 
𝑀𝑑1 = 𝑅𝑐𝑐. 𝑍𝑐𝑐 Eq. 6 
Onde: 
𝑅𝑐𝑐 = Força resultante de compressão; 
𝑍𝑐𝑐 = Distancia entre 𝑅𝑐𝑐 e 𝑅𝑠𝑡1. 
E pela Eq.1 temos: 
𝑀𝑑1 = 0,68𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝑥. 𝑍𝑐𝑐 ⇒ 𝑀𝑑1 = 0,68𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝑥. (𝑑 − 0,4𝑥) Eq. 7 
Ao fazer o cálculo de momento fletor na viga 1 olhando pelo concreto temos 
que: 
𝑀𝑑1 = 𝑅𝑠𝑡1. 𝑍𝑐𝑐 Eq. 8 
E pela Eq. 2 temos: 
𝑀𝑑1 = 𝜎𝑠𝑑. 𝐴𝑠1 . (𝑑 − 0,4𝑥) ⟹ 𝐴𝑠1 =
𝑀𝑑1
𝜎𝑠𝑑 .(𝑑−0,4𝑥)
 Eq. 9 
Ao fazer o equilíbrio de momento fletor na viga 2 olhando pela armadura 
tracionada temos que: 
𝑀𝑑2 = 𝑅𝑠𝑐. 𝑍𝑠𝑐 Eq. 10 
Onde: 
𝑅𝑠𝑐 = Força de compressão da armadura comprimida; 
𝑍𝑠𝑐 = Distância entre 𝑅𝑠𝑐 e 𝑅𝑠𝑡2. 
E pela Eq. 3 temos: 
𝑀𝑑2 = 𝜎′𝑠𝑑 . 𝐴
′𝑠. (𝑑 − 𝑑′) ⇒ 𝐴′𝑠 =
𝑀𝑑2
𝜎′𝑠𝑑 .(𝑑−𝑑
′)
 Eq. 11 
Ao fazer o equilíbrio de momento fletor na viga 2 olhando pela armadura 
comprimida temos que: 
𝑀𝑑2 = 𝑅𝑠𝑡2. 𝑍𝑠𝑐 Eq. 12 
Onde: 
𝑅𝑠𝑡2 = Força resultante de tração que resiste a 𝑅𝑠𝑐 ; 
𝑍𝑠𝑐 = Distância entre 𝑅𝑠𝑐 e 𝑅𝑠𝑡2. 
Pela Eq. 4 temos: 
𝑀𝑑2 = 𝜎𝑠𝑑. 𝐴𝑠2 . (d − d
′) ⟹ As2 =
𝑀𝑑2
𝜎𝑠𝑑 .(d−d
′)
 Eq. 13 
2.3.2 Exemplo de aplicação 
Dimensionar a área da armadura longitudinal de flexão para o momento 
fletor positivo na viga bi apoiada, considerando os dados a seguir: 
𝑏𝑤 = 20 𝑐𝑚 
ℎ = 50 𝑐𝑚. 
𝑀𝑘 = 15700 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
Concreto C25 
Aço CA-50 
𝑐 = 2,0 𝑐𝑚 
𝜙 = 6,3 𝑚𝑚 
Brita 1 
𝑑 = 45 𝑐𝑚 
𝑑′ = 3 𝑐𝑚 
O primeiro passo é calcular o momento de cálculo ou projeto 𝑀𝑑 =
15700.1,4 = 21980 𝐾𝑁. 𝑐𝑚. O segundo passo é estipular o 𝑥2𝑙𝑖𝑚, 𝑥3𝑙𝑖𝑚 e 𝑥 para saber 
em que domínio a viga se encontra: 
𝑥2𝑙𝑖𝑚 = 0,26𝑑 ⟹ 0,26.45 = 11,7 𝑐𝑚 
𝑥3𝑙𝑖𝑚 = 0,63𝑑 ⇒ 0,63.45 = 28,4 𝑐𝑚 
Pela equação de momento de armadura simples encontramos o valor de 𝑥: 
𝑀𝑑 = 0,68𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝑥. (𝑑 − 0,4𝑥) 
21980 = 0,68.
2,5
1,4
. 20. 𝑥. (45 − 0,4𝑥) ⇒ 𝑥 = 26,2 𝑐𝑚 
Ou seja, como 𝑥2𝑙𝑖𝑚 < 𝑥 < 𝑥3𝑙𝑖𝑚 a viga se encontra do domínio 3 de 
deformação. 
O terceiro passo é verificar se a viga satisfaz a condição estabelecida pela 
NBR 6118 de que 𝛽𝑥 =
𝑥
𝑑
≤ 0,45, caso contrário a mesma terá que ser dimensionada 
com armadura dupla. 
𝛽𝑥 =
26,2
45
= 0,58 
𝑀𝑘 = 15700 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
A viga com 𝛽𝑥 = 0,58 não poderá ser dimensionada com armadura simples 
para as condições estabelecidas, sendo assim vamos dimensioná-la para armadura 
dupla. 
O quarto passo é descobrir que valor de 𝑥 o 𝛽𝑥 = 0,45. 
𝑥 = 0,45𝑑 = 0,45.45 = 20,25 𝑐𝑚. 
Com o valor de 𝑥 determinado o quito passo é determinar 𝑀𝑑1. 
Pela Eq. 7 temos: 
𝑀𝑑1 = 0,68𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝑥. (𝑑 − 0,4𝑥) 
𝑀𝑑1 = 0,68.
2,5
1,4
. 20.20,25. (45 − 0,4.20,25) = 18147 𝐾𝑁. 𝑐𝑚. 
O sexto passo é aplicar o valor de 𝑀𝑑1 na Eq. 5 e encontrar o valor de 𝑀𝑑2. 
𝑀𝑑 = 𝑀𝑑1 + 𝑀𝑑2 ⇒ 21980 = 18147 + 𝑀𝑑2 ⇒ 𝑀𝑑2 = 3833 𝐾𝑁. 𝑐𝑚. 
O sétimo passo é aplicar o valor de 𝑀𝑑2 na Eq. 11. 
𝐴′𝑠 =
𝑀𝑑2
𝜎′𝑠𝑑 .(𝑑−𝑑
′)
⇒ 𝐴′𝑠 =
3833
50
1,15
.(45−3)
= 2,10𝑐𝑚². 
O oitavo passo é encontrar as áreas de aço As1 pela Eq. 9 e As2 pela Eq. 
13. 
𝐴𝑠1 =
𝑀𝑑1
𝜎𝑠𝑑 .(𝑑−0,4𝑥)
=
18147
50
1,15
.(45−0,4.20,25)
= 11,31 𝑐𝑚². 
As2 =
𝑀𝑑2
𝜎𝑠𝑑 .(d−d
′)
=
3833
50
1,15
.(45−3)
= 2,10 𝑐𝑚². 
O nono passo é encontrar a área de aço tracionada somando As1 e As2 
As = As1 + As2 ⇒ 11,31 + 2,10 = 13,41 cm². 
2.4 Dimensionamento de armadura dupla com auxílio de tabelas 
Assim como na armadura simples, a armadura dupla também nos permite 
dimensionar as vigas com a utilização de tabelas com coeficientes K, para as 
diferentes posições da linha neutra βx, e são tabelados com os coeficientes Kc e Ks , 
relativos à resistência do concreto e à deformação da armadura de aço tracionada, 
mostrados na tabela A1. 
Considera-se a variável βx como a posição da linha neutra em relação a 
altura útil da viga, definido pela expressão βx =
𝑥
𝑑
 , e representa em qual domínio de 
deformação a armadura está definida e, como fator de segurança, vale ressaltar que 
a NBR 6118 apresenta os limites de βx ≤ 0,45 para concretos do Grupo I com fck ≤
 50 MPa e de βx ≤ 0,35 para concretos do Grupo II com 50 < fck ≤ 90 MPa, (no 
presente artigo utilizaremos apenas o primeiro grupo). 
Como princípio deve-se definir qual será a profundidade da linha neutra na 
seção transversal, BASTOS (2015) sugere posicionar a linha neutra com a 
profundidade máxima possível, no limite estabelecido na NBR 6118 com a variável 
em função da classe do concreto. 
Uma vez conhecido o limite da linha neutra, calcula-se a resistência do 
concreto através da fórmula 𝑘𝑐 =
𝑏𝑤.𝑑
2
𝑀𝑑
, afim de identificar se este se enquadra dentro 
do limite máximo permitido (βx ≤ 0,45), comparando os valores calculados com os 
da tabela A1 para 𝑘𝑐𝑙𝑖𝑚 e 𝑘𝑠𝑙𝑖𝑚, que serão os limites máximos permitidos pela NBR 
6118 para a resistência do concreto à compressão e de deformação da armadura de 
aço tracionada, respectivamente. 
Caso 𝑘𝑐 esteja fora do limite estipulado pela norma, será definido um valor 
𝑘𝑐𝑙𝑖𝑚 através da tabela A1, afim de identificar 𝑀1𝑑 (momento fletor 1) suportado para 
tais características, através da fórmula 𝑀1𝑑 =
𝑏𝑤.𝑑
2
𝑘𝑐𝑙𝑖𝑚
 , e a parcela 𝑀2𝑑 do momento 
total também será definida por 𝑀2𝑑 = 𝑀𝑑 − 𝑀1𝑑. 
O valor da deformação da armadura de aço poderá ser encontrado pela 
fórmula 𝑘𝑠 =
𝐴𝑠.𝑑
𝑀𝑑
 , porém, mais facilmente é localizado na tabela A1 utilizando o valor 
de βx ≤ 0,45 para as respectivas classes de aço. 
Sendo assim, a área total de armadura tracionada (𝐴𝑠) fica determinada 
por: 
𝐴𝑠 = 𝐾𝑠 𝑙𝑖𝑚
𝑀1𝑑
𝑑
+
𝑀2𝑑
𝑓𝑦𝑑 (𝑑 − 𝑑′)
 
E finalmente, a área da armadura comprimida será dada por: 
𝐴′𝑠 = 𝐾
′
𝑠.
𝑀2𝑑
𝑑 − 𝑑′
 
Onde 𝐴′𝑠 será a área de aço da armadura comprimida e o coeficiente 𝐾
′
𝑠 
mostrado na tabela A2 será o inverso da tensão na armadura comprimida, podendo 
assumir valores em função da relação de d’/d (altura da armadura de aço comprimida 
no banzo superior pela altura útil) 
Tabela A-1 – Valores de Kc e Ks para os aços CA-25, CA-50 e CA-60 (para 
concretos do Grupo I de resistência – fck ≤ 50 MPa, c = 1,4, γs = 1,15). 
 
2.5 Dimensionamento de armadura dupla com auxílio de software 
Para praticidade e eficiência, estamos rodeados de softwares para nos 
atender. Não diferente na engenharia civil e especificamente falando, na disciplina de 
resistência dos materiais, desde computadores a celulares podemos obter vários 
artifícios, muitas vezes até gratuitamente. 
Softwares como MDSolids, ftool, TQS, Eberick, Cypecad, Autodesk 
Forceeffect, proporcionam resultados importantes para um bom desempenho em 
projeções e dimensionamentos. 
MDSolids; é uma ferramenta que se destaca nos cálculos de momentos 
fletores, torção em colunas, estruturas axiais, estruturas estáticas indeterminadas, 
treliças, análise do círculo de Mohr e transformações de tensões. 
Ftool; para montagem de uma estrutura, essa ferramenta proporciona 
simulações de estruturas, desde apoios até cargas distribuídas ou lineares. Através 
dessas informações ela proporciona resultados de momentos, esforços fletores e 
diagramas, entre outras funções em seu vasto repertório. 
TQS; software capaz de desenhar e detalhar estruturas de concreto 
armado, protendido e pré-moldado. Utilizados para edifícios de concreto armado, 
esforços atuantes nas lajes, esforços horizontais, criação de barras de pilares e vigas 
automáticas, deixando na responsabilidade do engenheiro somente as cargas 
atuantes. 
AltoQi Eberick V10 é um software para o projeto estrutural em concreto 
armado moldado in-loco e pré-moldado, que engloba as etapas de lançamento, 
análise da estrutura, dimensionamento e o detalhamento final dos elementos. Possui 
opção de exportação de extensão .IFC a fim de construir modelos BIM integrados, de 
acordo com o “Open BIM”. 
O CYPECAD é um programa para projeto estrutural emconcreto armado, 
pré-moldado, protendido e misto de concreto e aço que engloba as etapas de 
lançamento do projeto, análise e cálculo estrutural, dimensionamento e detalhamento 
final dos elementos. 
Autodesck forceeffect; Software mobile disponível para android e IOS, que 
permite os cálculos e projeções de um projeto na palma da sua mão. Quanto as 
funcionalidades, proporcionam análises de corpos livres, cria juntas (soldadas e fixas) 
e suportes (fixo, aterrado e deslizando), fornece cargas e momentos, faz 
dimensionamento de objetos e relatórios com imagens, resultados e equações. 
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Quando em um procedimento de dimensionando de uma viga de concreto 
a mesma apresentasse uma profundidade de linha neutra superior aos limites 
estabelecidos por norma, uma possível solução seria aumentar a altura da viga, de 
modo a ter mais folga nos domínios 3 e 2, o que com frequência, não é viável. Porem 
se essa alternativa, devido a limites arquitetônicos, por exemplo, não for viável à 
situação apresentada, uma alternativa é calcular a viga com a utilização de armadura 
dupla, ou seja, uma armadura adicional na região comprimida da viga. 
Denominam-se seções com armadura dupla aquelas que possuem 
armaduras tanto no lado comprimido como no lado tracionado. 
 
A solução com armadura dupla é adotada quando no cálculo de uma seção 
com armadura simples resultar βx>βx,lim. Atender aos itens 14.6.4.3 e 17.2.3 da NRB-
6118/2014. 
Os cálculos são feitos de duas formas mostradas, o dimensionamento pelo 
emprego direto das equações de equilíbrio e o cálculo com o uso das tabelas de kc e 
ks, respeitando os limites e as orientações da norma em vigor. Mesmo assim existem 
limites para o emprego de armadura dupla, apesar de a NBR 6118/14 não limitar 
diretamente o emprego de armadura dupla, é razoável adotar algum tipo de restrição, 
para evitar peças com altura muito reduzida e pouca ductilidade. 
REFERÊNCIAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de 
concreto – Procedimento, NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2003, 221p. 
BASTOS, P.S.S. Fundamentos do Concreto Armado - Estruturas de concreto I. São 
Paulo, UNESP, 2006. 
BEZERRA, Matheus Almeida. Objeto de aprendizado para o cálculo de forças em 
vigas. 
Botelho, Manoel Henrique Campos. Concreto armado eu te amo: volume I. – 9. ed. – 
São Paulo: Blucher, 2018. 
Estruturas de Concreto Armado. Fundamentos de Projeto, Dimensionamento e 
Verificação ;(Autor) João Carlos Teatini de Souza – 31 dez 2007 
MARTHA, Luiz Fernando Campos Ramos. FTOOL: um programa gráfico-interativo 
para ensino de comportamento em estruturas. Disponível em: 
https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/124/124_PRINCIPAL.HTM 
SALSA, Tatiane Oliveira. Aplicativo didático de dimensionamento de armaduras em 
estruturas de concreto armado. Disponível em: http://creaprw16.crea-
pr.org.br/revista/sistema/index.php/revista/article/view/317 
VASCONCELOS, A.C. O concreto no Brasil – Recordes, Realizações, História. São 
Paulo, Ed. Pini, 2° ed., v.1, 1985, 277p. 
ZULMIRA, A.G.C. A cal na construção. Guimarães, 2009. Portugal.