Apostila Cálculo e funções de várias variáveis - UNIP (3º Sem)

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CALCULO DE FUNÇÕES DE
VARIAS VARIÁVEIS
»'
a'
N
H
E
7
ALEXANDRE D. FRUGOLI
CHRISTIANE M. DOI
MIRTES V. MARIANO
ÍNDICE
CAPÍTULO 1. REVISÃO. DERIVADAS. INTEGRAIS
CAPITULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
CAPÍTULO 3. DERIVADAS PARCIAIS
CAPÍTULO 4. DERIVADAS DIRECIONAIS
CAPÍTULO 5. INTEGRAIS MÚLTIPLAS
pÁG.04
PAG.27
PAG.43
PAG.61
PAG.73
CAPITULO 1. REVISÃO
1. 1. DERIVADAS
1.1.1 Regras e Prooriedades
(cy= 0 , onde c é uma constante
rea l
(Xy= l
(x"y= (cos xy= -senx
(exy = ©x
(tgxy= seca x
(sec xy = sec tgx
(senxy = cos x
(axy= a* Ina
(cotgxy = -cossec: x (cos sec xy = - cos sec x. cot gx
(f(x) + g(x)y = f' (x) + g' (x)
(cf(x)y = cf (x)
Exemplo l.Aderivadade y=4x2 5x+6é y' =::;8x-5
Exemplo 2. Aderivadade y=1/x =xjé y' = dy : l
Exemplo 3. A derivada de f(x) = senx +4cosxé f(x) = cosx-4senx
Exemplo 4. A derivada de f(x)=41nxé g; = 4
Exemplo 5. A derivada de
Exemolo 6. A derivada de } : 4x-'é y' :: - 4.(-Q.x-S : -:Xy; X
4
Exemplo 7. A derivada de y x + tgxé y
1.1.2. Regra do Produto e Refira do Quociente
Regra do Produto
(u.vy = u' v + uv'
Reg ra do Quociente
:l : -'F"l
Exemplo 1. Considere a função y = xJ cosx . Para encontrarmos a derivada dessa
função, devemos utilizar a regra do produto: (u.vy= u'.v + uv
Fazemos u = x3, com u' = 3x2, e v = cosx, com v' = --seno
Assim :
y' = 3x2 cos x . x3senx
y'= x2(3cosx xsenx)
Exemplo 2. Considere a função y - senx . Para encontrarmos a derivada dessa
x' + 2x
Fazemos u= senx, com u' = cosx, e v= x2+2x, com v' = 2x+2
Assim:
cos x.(xz + 2x) - senx.(2x + 2)
(x2 + 2x)2
função, devemos utilizar a regra do quociente: u' .v -- u.v'U
V
y
1. 1.3. Reta Tangente
A neta tangente a uma função y=f(x) em x=a é a reta que passa pelo ponto
(a, f(a)) e tem inclinação igual a f'(a).
5
Exemplo 1. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = xz 5x +6 no
ponto de abscissa x=2
Equação da reta: y=a.x+b, onde a é o coeficiente angular da reta (inclinação) e
b é o seu coeficiente linear.
a = f' (2)
f(X) = x2 - 5X + 6
f' (x) = 2x - 5
f' (2) : 2.2 - 5 : -1
f(x) = x2 - 5x + 6
f(2) = 22 - 5.2 + 6
f(2) = 0
(2. 0) ponto comum a reta e a parábolaa
Logo, y=-lx+b e. para encontrarmos o coeficiente linear, basta substituirmos
um ponto da reta na equação. O ponto (2, 0) pertence a neta
y = -x + b
0 = -2 + b +::> b = 2
A rega tangente ao gráfico de y=xZ 5x+6no ponto de abscissa x=2 é
y=-x+2.
Representação Gráfica:
7
Y
6
S
4
5x + 6
\
\
\
0
y = -x + 2
1.1.4. Taxa de Variação
Considere a situação a seguir
'A posição de uma partícula é dada pela equação s(t)=t3 6t2+20t, onde té
medido em segundos e s é medido em metros.
Para determinarmos a posição da partícula no instante em t=2 segundos, basta
substituirmos t=2 na função s(t) = t3 6t2 +20t, conforme segue:
s(2) = 23 6.2Z +20.2 ; 24metros.
Para determinarmos a velocidade da partícula no instante t=2 segundos,
devemos encontrar. primeiramente, a derivada da função s(t) = t3 . 6t2 +20t .
Velocidade = taxa de variação (instantânea) do espaço pelo tempo, ou seja,
v(t)
v(t) = !1: = 3t2 - 12t + 20
V(2) = 3.22 12.2+20 = 8 m/s
Exemplo. Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. O volume
de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é
dado por V(t) = 18tz - 60(1 +10000
a) Determine o volume de água no reservatório no instante t = 3 horas
V(t) = 18t2 600t + 10000
V(2) = 18.32 600.3 + 10000
v(2) = 8362 L
b) Determine a taxa de variação do volume de água no reservatório após 3 horas
do escoamento.
V' (t) = 36t - 600
V' (2) - 36.3 - 600 ; -492 L/h
7
1.1.5. Derivada da função composta
Tabela de Derivadas -- Funções compostas
u=u(x)
(e' y = u'.e' (in u)'= g
U
(cos uy= -u' menu (senuy = u' cos u
(u')' = n.u'-l.u
Exemplo 1. A derivada da função y = ©5x é y': 5e5x
Exemplo 2. A derivada da função y - in(x2 +lO) é y'= 2x
x2 + lO
Exemplo 4. A derivada da função f(x) = sen(8x) é f'(x) = 8cos(8x)
Exemplo 5. A derivada da função f(x) =(x4 +2x)6 é f'(x) = 6(x4 + 2x)S(4x3 + 2)
Exemplo 3. A derivada da função y = cos é y';- l sen
Exemplo 6. O raio de um círculo cresce à razão de 2 cm/s. Qual a taxa de
crescimento da área do círculo (A = iE.r2) em relação ao tempo, quando r é igual
a 20 cm?
dA dA dr
dt dr dt
dA . dr
=-- = 2xr. =-
dt dt
80n cmz / s
1.1.6. Exercícios Propostos
1. Encontre as derivadas das funções a seguir
a) y = xõ - ./5
c) s = cos 0 + 6sen0
d) f(x)
X
e) y
f) y = xõ Ji
g) y = 2er + 16r
Vt
10
2. Encontre as derivadas das funções abaixo
a) y = (x3 +lOx)e*
b) y = 4xsenx
c) y = (5x + lO)in x
d) y cos x
'' « :Ê=
3. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = x2 +4x no ponto de
abscíssa x=3.
4. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y=x3no ponto de
abscissa x= l
9
5. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = 1 no ponto de abscissa
6. Encontre as derivadas das funções compostas a seguir
a) y = 4e2x
b) f(x) = c0,5x
c) y = 3e
d) y = sen(4x + 12)
e) y = senx2
f) f(x) + 2x)
g) y = COS(2t + 4)
h) y = in(4x l 12)
i) y = in(x2 + 8)
j) y = sen2x
1) f(x) = (4x + 9)e2*
m) y = e4* cos(2x)
n) y = x in(2x + 4)
d « - !ull:lu
n « - sEL
Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. O volume de
ua no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dado
r V(t) = 16.t2 - 1500.t + 12000
Determine o volume de água no reservatório no instante t = 3 horas.
Determine a taxa de variação do volume de água no reservatório após 3 horas
escoamento
10
8. Uma bola é lançada para cima e sua altura (em metros) após t segundos é
h : 12t 2,4t2
a) Encontre a velocidade da bola após t segundos.
b) Encontre a velocidade da bola quando t=2 s.
9. O deslocamento de uma partícula é dado pela equação s(t) = 12 + locos(8nt),
sendo s medido em centímetros e t, em segundos. Qual a velocidade da partícula
quando t=2 segundos?
10. Suponha o número N de pessoas afetadas por dada doença depois de t dias
do seu início seja dado pela função N = 32t l-
a) Qual é a variação do número de pessoas afetadas pela doença em função do
tempo?
b) Quantas pessoas foram afetadas pela doença depois de 4 dias dos seu início.
3
11
1.2. INTEGRAIS
1.2.1. Primitivas
Uma primitiva da função f(x)=6x2é a função F(x)=2x3+12
(2x3 + 12y= 6x2
Uma primitiva da função f(x) = 6x2é a função F(x) = 2x3+ 1 , pois(2x3 +:y
Uma primitiva da função f(x)=6xZé a função F(x)=2x3+C,
(2x3 + Cy= 6x2
Utilizamos a notação abaixo.
16x2dx - 2x3 + C
pois
6x2
pois
1.2.2. Uso da Tabela e Propriedades
Tabela 3. Primitivas Imediatas
f cdx = cx + C
r !dx = in l x l +C
Í XndX = Xn+l + C, n :e -l
f cosxdx = senx + C
Í senxdx = cos x + Cfe*dx = e* + C
r seca xdx = tgx + C r sec x.tgxdx = sec x + C
1.2.2.1. Propriedades das Integrais
Í[f(x) + g(x)]dx = J f(x)dx+ f g(x)dx
J cf(x)dx = c.J f(x)dx
12
Exemplo 1. J(4x -6)dx = 2x2 -6x+C
Exemplo 2. J(2x+16)dx= x2 +16x+C
Exemplo 3. J(5cosx 12)dx=5senx 12x+C
Exemplo 4 = Jx2dx = g #= -- c
1.2.3 Integrais Definidas
Teorema Fundamental do Cálculo
b
f f(x)dx = F(b) F(a)
a
Exemplol. z(2x-10)dx=lx2 loxli =22-10.2-(12 10.1)= 7
Exemplo 2 e2 . eo : e2
1.2.3.1. Cálculo de Áreas
'T y=f(x}/
a f(x)>0 b x
13
1.2.4. Integrais Dor substituição
[ r f(g( x)g' ( x)dx r f(u)du = F(u) + C = F(g(x)) + C
u = g(x) du = g' (x)dx
Exemplo 1. fxcosx2dx = fcosu-J- ;Jcosudu = jjsenu +c = lsenxZ + C
U = Xz
]g ; :x - d. : 2xdx e xdx : .ÇF
Exemplo2. r4x+9 x:Jldu L f} du = -L in u + C4'u 4 lln(4x + 9) + C4 ' '
u = 4x + 9
:y- : 4dx H dx = !}
Exemplo 3. jx3sen(x4 +8)dx = rsenuljj! . -- cos u + C4 -; cos(x' + 8) + C
u : x4 +8
.SX : 4x3 + du : 4x3dx + x3dx - sF
Exemplo4. je5xdx = JeuJJu : IJeudu L' .- c5 l.e5x . c5
u = 5x
.SV- : 5 n du : 5dx ., dx : !g
Exemplo 5. ecos(2x)dx = fcosu T ;ecos udu= jjsenu+c = 1 sen(2x)+ C
u = 2x
gg : 2 .;, du : 2dx ., dx : !F
14
Exemplo 6. Jsen(3x)dx = Jsenull;! = 1 Jsenudu = --;cosu+C = --;cos(3x)+C
u = 3x
du
dx
f cos(ax)dx = lsen(ax) + ca
f sen(CEX)dx =
1.2.5. 11ltearais. Dor Partes
f udv = uv - J vdu
Exemplo 1. Jxexdx= x.©x Je*dx= xcx -©x +c
dv = exdx H v = Jexdx = ex
Exemplo 2. J(2x +4)cosxdx =(2x + 4).senx-Jsenx2dx =(2x + 4)senx+2cosx +C
u = 2x + 4
dv = cos dx ++ v = J cos xdx = senx
15
Exemplo 3
u = in x
du
dx
X3
dv = xzdx n v = Jx'dx = ::t + C
1.2.6. Exercícios Propostos
1. Resolva as integrais a seguir
f x2 in xdx = in x. -f! .Idx =!! .Inx
X3
3
3
X
F x2dx Inx
33 9
b) f(4x3 6x -2)dx
c) f#x2dx
d) J(4senx+ 16x)dx
2. Resolva as integrais definidas a seguir
12)dx
3.
b) J6x' dx
16
3. Resolva as integrais por substituição a seguir
a) JiL-dx
x' + 4
n íÕ;l-i'*
c) fxs cos(xõ + 12)dx
d) Íx2ex3dx
e) flãiiiÕdx
4. Resolva as integrais por partes a seguir
a) J(6x + 7)senMx
b) f x cos xdx
c) Jln xdx
d) J5x cos xdx
e) J(7x + 14)e*dx
17
18
1. Encontre as derivadas das funções a seguir
d) y = (x4 + 6x).In x
e) y = (2x + 9).senx
F) y - !::
x'
19
TAREFA 1. REVISÃO; DERIVADAS
NOME RA :
TURMA: PROFESSOR:
2. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 7x+12 no ponto
de abscissa x= 1 .
3. Encontre as derivadas das funções compostas abaixo
a) y = e2* i5
b) f(x) = in(8x2 + 16)
c) y = 16sen(4x)
d) y !cos(x: +6x)
e) f(x) = cosa x
20
f) y = cos x2
g) y = e5x .sen(2x+4)
' x+10
4. O deslocamento de uma partícula é dado pela equação s(t) = 16 + l cos(2xt) ,
sendo s medido em centímetros e t em segundos. Qual a velocidade da partícula
quando
t=3 s?
21
22
1. Resolva as integrais imediatas
b) f#idt
c) J(x3 2x+19)dx
d) J(seno + 9cos0)dO
2. Resolva as integrais definidas a seguir
16x)dx
23
TAREFA 2. REVISÃO: INTEGRAIS
NOME RA:
TURMA: PROFESSOR:
3. Resolva as integrais por substituição
a) jx3sen(x4 + 16)dx
b) Jl9!!dxsenx
d) f6xSe*Õdx
24
4. Resolva as integrais por partes
a) Jxe*dx
b) J(2t + 9)sentdt
c) Jx4.Inxdx
d) J(9x + 3) cos xdx
25
26
2. Funções de duas variáveis
2.1 Introdução
Uma função de duas variáveis é uma lei que associa a cada par ordenado
(x, y) de números reais de um conjunto (denominado domínio de f) um
único valor real z. Indicamos essa função como z=f(x, y).
Exemplo 1. Aplicando o par ordenado (2, 4) na função f(x,y)=x-2y+16
obtemos f(2,4)=2-2.4+16=10. Ou seja, 10 é a imagem do par ordenado
(2, 4) para a função f
Exemplo 2. O volume de um cone V é dado por V(r, h)= i'n.r2.h , onde r é o raio
da base e h é a altura do cone. O volume do cone depende dos valores do raio
da sua base e da sua altura, ou seja, o volume do cone é uma função do raio da
base e da sua altura. Se o raio é igual a 3 cm e a altura é igual a 5 cm, então o
volume do cone é igual a V(3, 5)= 1 .it.32.5 = 15n cm3
Exemplo 3. Suponha que a superfície corporal S (em m2) de um humano seja
dada por S(p, h) = 0,0072.p0'42S.h0'72S , sendo p o peso (em kg) e h a altura (em
m) da pessoa. Logo, a superfície corporal de um humano é uma função do seu
peso e da sua altura. Uma mulher com peso de 56 kg e altura de 158 cm tem
superfície corporal igual a
S(56, 158) = 0,0072.560,425.1580'725 = 1,5644 mz
Exemplo 4. A superfície S de um cilindro circular reco é dada por
S(r,h)=2iEr2 +2nrh, sendo r o raio da base e h a altura do cilindro. Logo, a
superfície do cilindro é uma função do seu raio e da sua altura. A superfície de
um cilindro com raio da base igual a 10 cm e de altura igual a 8 cm é
S(IO, 8) = 2lt102 + 27E10.8 = 3607t cm2
27
1234
Esboço do domínio da função f(x, y) 5x + 6y 15
Exemplo 2. O domínio da função h(x,y)=-1 é
x+y
D(h) ={(x, y)E R2/x+y# O} . O par ordenado(1, 1) pertence ao domínio de h e
h(1,1)= 1: 1. Ouseja, ; éa imagemdo parordenado(1, 1) para afunção
Na figura a seguir, temos o esboço do domínio da função h(x, y) = --lx+y
h
4y
3
2
4 -3 .3 4x
x+y=0
Esboço do domínio da função h(x, y) = l
x+y
29
Exemplo 3. O domínio de g(x,y)=Vl-(x2+y2) é
D(g) ={(x, y)c R2/x2 +y2 É 1} . 0 par ordenado Í;,- ;l pertence ao domínio de g
e gl;,-;l Ít-l;lZ l ll2 :Ji;3 Ou seja, {ã é a imagem do par
ordenado 1;, - { para a função g
Na figura a seguir, temos o esboço do domínio da função g(x, y)
Esboço do domínio de g(x, y)
Exemp[o4. O domíniode f(x,y)=.1- !:l é D(f)={(x,y)eR2/y>x2].. O par
ordenado(l, 10) pertence ao domínio de fe f(i,lo)-.':=" =1' Ou seja, :l é
a imagem do par ordenado(l, 10) para a função f
30
Na figura a seguir, temos o esboço do domínio da função f(x, y)
Esboço do domínio de f(x, y)
2. 3. Gráfico de uma função de duas variáveis
Gráfico de uma função de duas variáveis: conjunto de todos os pontos
(x,y,z)c R', z = f(x, y)e(x, y) pertence ao domínio da função
A seguir, temos exemplos de gráficos de funções de duas variáveis
31
f(x,y) cos(x+y)f(x, y) = x2 + yz
z - in (x2 + yZ)
F(x, y) 3
32
z = cos«2 + y2) z : 1 -- x2 . y2
Exemplo 1. Esboçar o gráfico da função f(x, y) = \l4-(x + y2)
z2 : (J4 - (x2 + y2))2
Z2 : 4 - X2 - y2
x2 + y2+ z2 = 4(Equação da Esfera de Centro na origem e raio igual a2)
Como z à 0 . temos o gráfico indicado na fiqu ra a seguir
Esboço do gráfico da função f(x, y)
Exemplo 2. Esboçar o gráfico da função f(x, y) = 10 - x - 2y
zelo-x 2ynx+2y+z=lO(EquaçãodoPlano)
33
Abaixo, temos alguns pontos de f(x y)=10 x-2y
Na figura a seguir, temos o esboço do gráfico da função f(x, y) 10 - x - 2y
r
y
»
x .,,'' lO
A
Esboço do gráfico da função f(x, y) 10-x 2y
2.4. Curvas de nível
As curvas de nível de uma função de duas variáveis são projeções, no plano xy,
da intersecção do gráfico de f com os planos horizontais f(x, y) =c.
Encontramos as curvas de nível de uma função fazendo f(x, y) =c, sendo c uma
constante e pertence à imagem de f.
Exemplo 1. Esboçar as curvas de nível da função z = x+4y para c-0, c=-2 e
3C
34
X y Z
0 0 10
10 0 0
0 5 0
x + 4y = c(Equação da Rega)
Para c=0, temos x+ 4y = 0 e os pontos(0, 0) e(4. -1) pertencem à reta.
Para c=-2, temos x + 4y = -2 e os pontos(2, -1) e(-2, O) pertencem à reta
Para c=3, temos x +4y = 3 e os pontos(-1, 1) e(3, 0) pertencem à neta
Na figura a seguir, temos as curvas de níveis da função z= x+4y para
c=-2 e c=3
[ 'y
l
: B--:Í:--.
l
X
4 c:-3 53
2
Curvas de níveis da função z x + 4y para c=O, c= 2 e c=3
Exemplo 2. Esboçar as curvas de nível da função r(x,v)=J4-(x2 -py2)para
c=O, c=1 e c=2
C
': :lvã:ü'al:
c2 - 4 - x2 - y2
X2 + y2 : 4 -C2
Para c=0, temos xZ+y2 ;4 02 n x2+y2 :4(Equação da Circunferê
centro em(0, 0) e raio igual a 2).
Para c=1, temos x2 +y2 :4-12 Hx2 +y2 :3(Equação da Circunferência de
centro em (o, 0) e raio igual a Jã).
ncia
35
Para c=2. temos x2+y2 = 4-22 ++ xZ+yZ = 0(ponto(0,0))
Na figura a seguir. temos as curvas de nível da função
f(x,y)=\l4(x2+y2)para c:0, c=1 ec=2.
Curvas de nível da função f(x, y) l4 -- (x2 + yZ) para c=0, c=1 e c=2
Exemplo 3. Esboçar as curvas de nível da função f(x, y) = Jy - x2 para c=0, c=l
2ec
y = c2 + x2 (Equação da Parábola)
Para c=0, temos a função y = xz
Para c=1, temos a função
36
Para c=2, temos a função y = 4 + x2
Na figura a seguir, temos as curvas de nível da função f(x, y) = Jy - x2 para c=0,
c=1 e c=2.
16
!s
14
13
12
9
6
53
Curvas de nível da função f(x, y) .Jy - x2 para c=O, c=2 e c=4
2.5. Exercícios propostos
1. Suponha que T(x,y) = 4x2 + 6y2(em graus Celsius) represente a distribuição
de temperatura T no plano xy. Encontre as temperaturas no ponto (1, 2) e no
ponto (0, 0).
2. Considere a função F(x,y) =J\too- x2 +y2) . Encontre f(-1, 1) e f( 4, 5)
3. Encontre e esboce o domínio das funções a seguir
a) f(x, y) = \l49- x2 y2
b) f(x, y) = in(y - x)
c) z = --=-
x + 6y
37
d) f(x, y) = Zx+y
e) f(x, y) =
4. Esboce os gráficos das fu
a) z = x- 6y+ 12
b) í(x,v)=J49-xz y2
c) f(x,y) = y -2xZ
d) z = 1 + 4x2 + y2
5. Esboce as curvas de nível de z = x 6y + 12 para c=-4, c=0, c=2 e c=4.
6. Esboce as curvas de nível de f(x,y) para c'O, c=1, c=4 e c
7. Esboce as curvas de nível de f(x,y)=y 2xzpara c=-2, c=0, c=2 e c=4.
o r'nl..,..,n.-ç R'- /-P IP'v"qr'' #-l/x anis//'\1 /4fn T l v2 t..l:=r":a ÍQ--') r---ZI r'--C\ f) r-==f2
nções abaixoe
5
38
1. Considerea função f(x,y)= . 1 - Encontref(1, 0) ef(-3, 2)
x2 + 2y
2. Encontre e esboce o domínio das funções a seguir
a) f(x, y) = in(4x + 16)
b)
39
TAREFA 3. EIINÇAO DE DUAS VARIÁVEIS
NOME RA:
TURMA: PROFESSOR:
c) z '9 3x
3. Esboce as curvas de nível de f(x,y) 10x 4y + 25 para c 0 C 2 C 4ec 6
4. Esboce as curvas de nível de f(x,y) 16-(x2 + y2) para c=0, c=1, c=2 e c=4
40
5. Associe as funções aos seus respectivos gráficos
(c) f(x, y) = 4x - 2y + 16
(d) f(x, y) = sen(xy)
() ()
() ()
41
42
3. Derivadas parciais
3.1. Notações para as derivadas parciais
Seja z=f(x,y) uma função de duas variáveis. Se existirem. suas derivadas
parciais em relação à variável x Í i)iil e à variável y i); \são indicadas conforme
\. o-r ./ \ av J
mostrado no quadro abaixo.
z = f(x, y)
:;::'* . t:$:',
3.2. Definição de derivadas parciais
Considere z=f(x, y) uma função real de duas variáveis
A derivada parcial de f em relação à variável x é
" !(!:!43.XL:!(3.©
3=(x, y) = limAxa0 AX
A derivada parcial de f em relação à variável y é
" r<3. !:!ax)i(!.©
ã=(x, y)=limaV.o Ay
Exemplo 1. Considere a função f(x,y)=4x+2y. A derivada parcial de f em
relação à variável x é
Õx (x, y) ;limar-.)0 '+ 4x+2v) limA*o0 4x+4ax+2y-4x-2y
= lim.x-o !!:l! = 4
43
Exemplo 2. Considere a função f(x, y) = 4x + 2y . A derivada parcial de f em relação
à variável y é:
ã--(x,y)=limAV..}o 4x+2(y+Ay)(4x+2y) :limAya0 4x+2y+2Ay-4x-2y
limaya02Ay ; 2
3.3 Derivadas parciais (uso das regras de derivadas)
Considere a função f(x, y). Para encontrarmos sua derivada parcial em relação a
x, devemos considerar y como uma constante. Para encontrarmos sua derivada
parcial em relação a y, consideramos x como uma constante
Exemplo 1. Considerando a função z= xz+ 4y , temos o que segue.
A derivada parcial em relação a x é fx = 5:- = 2x e a derivada parcial em relação
a y é fV
Exemplo 2. Considerando a função f(x,y) = 6xZy3. temos o que segue
fx = 12xy3 e fy = ].8x2y2
Exemplo 3. Considerando a função f(x, y) = ysenx , temos o que segue
fx = yCosx e fy = senx
Exemplo 4. Considerando a função temos o que segue
Exemplo 5. Considerando a função f(x,y) = exy , temos o que segue
fx = yexy e fV = xexy
44
Exemplo 6. Considerando a função z = in(2x + 6y), temos o que segue
âz 2 1 àz 6 3= = a = =
i)x 2x+6y x+3y ' ay 2x+6y x+3y
Exemplo 7. Considerando a função f(x,y) sen(xy) , temos o que segue
af af
= x cos(xy)= y COS(xy) e
Dx ay
Exemplo 8. Considerando a função z - cos(6x2 + 3y), temos o que segue
12xsen(6x2+3y) e ;l!= 3sen(6x2+3y).
Exemplo 9 Considerando a função z = XlxZ + yZ , temos o que segue
: ;;(x: + y:)'2 .2x :
Exemplo 10. Considerando a função z: exy.cos(x2 + y2), temos o que segue.
g! = yexy cos(x2+ y2)-exy.2xsen(x2 + y2); e*VEy cos(x2 +y2)- 2xsen(x2+ y2)]
g!: xcxy cos(x2 + y2)-exy.2ysen(x2 + y2) = exy]xcos(x2 + y2)- 2ysen(x2+ y2)]
z=
àz l
(x2 + y2) 2.2y ;X e 2ay
Exemplo 11. Considerando a função f(x, y) = !1?!!!Xt, temos o que segue.
x' + 4y'
. -ysen(xy).(xZ +4yZ)-cos(xy).2x
'*; i;=ãçÍjí '
f.. . - xsen(xy).(xZ + 4yZ)- cos(xy).8y
Exemplo 12. Considerando a função z; xln(x2+ y2), temos o que segue.
!!=1.In(x2+y2)+x.; 2x :tn(x2+y2)+=lllx2 e az- 2xy
45
Exemplo 13. Considerando a função z = yZ.e*V , temos o que segue
àz :y3exy e az:2yexy +y2xexy ;yexy(2+xy).
Exemplo 14. Considerando a função f(x,y) = 4xy2 , a derivada parcial de f em
relação a x no ponto (1, -2) é f*(1,-2) = 4.( 2)2 = 16.A derivada parcial de f em
relação a y no ponto(1, -2) é fV(1,-2) = 8.1.(-2) = -16
3.4. Derivadas parciais de funções de três variáveis
Considere a função f(x,y,z) = 4x3 + 3y2z2 2z4
Para encontrarmos a derivada parcial de f em relação a x, devemos considerar y
e z como constantes. Assim. obtemos P! : 12x2
Para encontrarmos a derivada parcial de f em relação a y, devemos considerar x
e z como constantes. Assim, obtemos -: - 6yz2
Para encontrarmos a derivada parcial de f em relação a z, devemos considerar x
e y como constantes. Assim, obtemos !! = 6yZz - 8z3
X
Z
Exemplo 1. Suponha que a temperatura T em um ponto (x, y, z) do espaço seja
dada por T(x,y,z)=4x3 +2y2 +6z, sendo T medida em graus Celsius e as
variáveis x, y, e z medidas em metros. A variação da temperatura em relação ao
eixo x é :lt ; 12x2(OC/m), a variação da temperatura em relação ao eixo y é
e a variação da temperatura em relação ao eixo z é
46
3.5. Derivadas parciais de segunda ordem
Se f(x, y) é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são f* = ?f e" ê)x
fv = af Derivando novamente as funções fx e fV, encontramos as derivadas
parciais de segunda ordem, indicadas por fxx : â'rf , fxy = õzf
' yx aXay
82f
O esquema a seguir ilustra a obtenção das derivadas de ordens superiores
,. ,/
f*x
f*v
F(x, y)
,,,,,,. '»
fvv
Exemplo 1. Considerando a função f(x, y) xzseny , temos
fx = 2xseny , fxx = 2seny e fxy = 2x cosy
fy : x2 cos y , fyy = --x2seny e fyx = 2x cosy
Observe que fxy = fyx
47
3.6. Regra da Cadeia
Suponha a função de duas variáveis z=f(x,y), na qual z depende das
variáveis x e y. Nessa função, x e y dependem da variável t, ou seja,
x = g(t) e y=h(t). Para encontrarmos a derivada de z =f(x,y), em relação a t,
fazemos :
dz 8z dx õz dy
dt àx dt ay dt
Exemplo 1. Considere a função z= 4xy2 + senx , x= 2t2e y= 8t
função, determine :il
àz dx õz dy
õx' dt ay dt
(4y2 + cos x).4t + 8xy.8
:Í =14.(8t)Z + cos(2t2)].4t + 8.2tZ.8t.8 : 2048t3 + 4t cos(2tZ)
Para essa
Exemplo 2. Imagine que a tensão V (em Volts) em um circuito que satisfaz à lei
1 = : (1 em Amperes) esteja caindo enquanto a bateria descarrega e que, ao
mesmo tempo, a resistência R (em ohms) esteja aumentando conforme o
resistir esquenta. Encontre a variação da intensidade de corrente com o tempo,
ou seja, S:, no instante que R=200n, v=20 v, !lf=o,õn/se
48
di ai dv ai
dt aV' dt ' aR
dl
dt
l dv
R dt -$-1T
g :à.'-',.', * (-B).,' -5,5x10-4 A / s
Suponha uma função de duas variáveis z=f(x,y), na qual z depende das
variáveis x e y. Nessa função, x e y dependem das variáveis u e v, ou seja,
x=g(u,v) e y=h(u, v). Para encontrarmos a derivada de z=f(x,y), em
relação a t, fazemos:
àz
Õu
Õz àx âz ay. + .-=-
i)x Õu ay ' àu
àz
àv
8z Õx Õz ay
i)x ' Õv ay ' Õv
Exemplo 1. Considere a função z=2x3y2, na qual x =cu.senv e y=2vcosu
Determin
Õz
àu
i)z àx i)z ay
Õx àu ' ay 'Õu
âz
Dv
Dz Õx àz ay
àx ' âv ' ay ' Õv
àz ; 6x2y2.e'senv + 4x3y.(-2vsenu) àz - 6x2y2.eu cosv + 4x3y.2cosu
3.7. Plano Tangente
Uma equação do plano tangente ao gráfico de f, no ponto P(xo, yo, yO), é dada
por
z f(xo, yo ) F*(xo, yo)(x - xo) + fy(xo, yo)(y - yo)
49
Exemplo 1. Determine a equação do plano tangente
f(x, y) = -x2 - y2no ponto P(0, 0, 0).
Se f(x,y)= x2 y2,então f* =-2xe f*(0,0)=0.
Se f(x,y)=-x2 y2,então fV= 2ye fV(0,0)=0.
Equaçãodo planotangente: z 0=0(x 0)+0(y-0)ou z=0
Esse plano está ilustrado na figura a seguir
à superfície
Plano tangente à superfície f(x, y) xz yz no ponto P(0, 0, 0)
Exemplo 2. Determine a equação do plano tangente à superfície
r(x,V)=J4-x2 yZ no ponto p(-l, i, 2).
Se f(x, y) = V4 - xz - y2 , então
#X
e fx(-1, 1) = -==-X 2
y
e fy (--1, 1) = 2
50
Se f(x, y) J'l-x2 .y , então
Equação do plano tangente
:-:B». :@-v--õz*z.
Esse plano está ilustrado na figura a seguir.
z - 2 :eB -- D - $Q - Dou
3.8. Exercícios propostos
1, Encontre as derivadas para.
a) z : 4x 2y3
b) f(x,y) = 6x3y4
c) z - 2y +5x3y - 6x2
d) f(x, y) = x in y
e) z : e2* cos(6y)
f) f(x, y) = sen(4x).cos( 2y)
51
g) f(x,y) : %
y
h) z : e4*y
Í) f(x,y) = 10e*3+ÕV
j) f(x, y) = in(x + 4y)
k) f(x, y) = cos(xy)
1) f(x,y) = 15cos(x3 + 6y2)
m) f(x, y) = sen(2x + 9y)
n) f(x, y) = 20sen(4xy)
o) f(x, y) : ii;;:Íii. i;F
b
P) f(x, y) = --r-=
x2 + y2
q) f(x, y) = (x3 + 7y2).cos(xy)
r) f(x, y) = eyx2 .sen(2x + 10y)
s) f(x,y) = 6x2 in(x2 + y2)
t) f(x, y) = :;1;
u) z = -ly
Cxy
© rB,y)::l;;t;; +y'')
x) z = 2y.sen(xy)
2. Uma lata tem a forma de um cilindro de altura h (em cm) e raio r (em cm). O
volume V da lata é dado pela função V = 7t.F2.h. Qual é a derivada parcial do
volume em relação ao raio e qual é a derivada parcial do volume em relação à
altu ra ?
3. Suponha que a intensidade de corrente (1), em Amperes, em um circuito seja
dada por 1 = ;, sendo que V representa a tensão (em Volts) e R a resistência
em (ohms). Qual é a variação da intensidade de corrente em relação à tensão
52
quando V=15V e R=2000? Qual é a variação da intensidade de corrente em
relação à resistência quando V=15V e R=2000 ?
4. Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da função
F(x, y) = 4x3y4 + 4x - 6yS
5. Considere a função f(x,y) = x2 cos(xy)e encontre f*V
6. Considere a função f(x, y) = ye*'*V e encontre fV*
7. Encontre g! e 8z para as funções a seguir.
a) f(x,y) = 4x +2y , x = v.e' e y = usenv
b) f(x,y)= 4xy2 , x = 2u+4v e y =u2 + 6uv
8. O raio de um cone circular reto aumenta à taxa de 2 cm/s enquanto sua altura
decresce à taxa de 3 cm/s. Qual é a taxa de variação do volume do cone quando
o seu raio é igual a 20 cm e sua altura é igual a 18 cm?
Dado
9. Encontrar a equação do plano tangente à superfície z=x2 +2y no ponto
P(1, -1, 2).
10. Encontrar a equação do plano tangente à superfície z=xy no ponto
P(1, 1, 1).
53
54
1. Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir
a) f(x, y) = x cos y
b) f(x, y) = sen(xy). cos(x + y)
c) f(x, y) = in(x2 + y3)
d) f(x,y) = x3e*y
55
TAREFA 4. DERIVADAS PARCIAL
NOME RA:
TURMA: PROFESSOR:
e) z 12xy + cos(xy)
f) z 9yeÕ* + 2xsen(4y)
g) z 5 cos(4x + 6y)
h) f(x,y)
x' + y'
56
i) z = e*V.In y
j) f(x, y) = (2x - 3y)3
k) f(x, y) .2x5 4y).e2x+6y
2. Suponha que a função T(x,y) = 100 - 4x2 -5y2 represente a temperatura, em
OC, em um ponto (x, y) de uma chapa de metal, onde x e y são dados em
metros. Determinar a taxa de variação da temperatura em relação à distância
percorrida ao longo da placa na direção do eixo x e na direção do eixo y, no
ponto (1, 2).
57
3. O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam às razões de 0,04
cm/min e 0,08 cm/min, respectivamente. Qual a taxa de variação do volume
quando r=10 cm e h=20 cm?
Vcilindro = nr2.h
4. Encontre as derivadas parciais pedidas
a) f(x, y) x3y4 + 5xy2 + 3x - 2y fxx , fxy , fyx , fyy
b) f(x, y) = ycos(xy) fxy
58
5. Encontrar a equação do plano tangente à superfície z = 3x2 4y2 no ponto
P(0, 1, 3)
59
60
Capitulo 4. Derivadas Direcionais
4. 1. Vetores no plano
Antes de começarmos o estudo de derivadas dírecionais, vamos relembrar alguns
temas importantes sobre vetores.
Vetor no plane: v = x i + y j
Módulo(comorimento) de ym vetar: lv 1= Jx2+ y
Exemplo: o módulo do vetar v = (1, -2) é igual a l v 1= Ji=2 + (-2)2 = Ji
--=-(mesma direção de v , mesmo sentido de v e comprimento
vl
Exemplo: oversorde v =(1,-2)é v =( 1,.2)
Vetor definido Dor dois pontos:
Se A(xí,yí) e B(xp,y2)são pontos do plano, então AB = (x) -xl,y) -yl )
unitário)ita ri
Exemplo: se A(-1, 3) e B(2
AB ,-1 - 3)
1) são pontos do plano então
Produto escalar:
C) produto escalar entre os vetores u =(xi,yi)e v =(x2,y2)é o número real
dado por u . v = xí.x2 + yi.y2
-+ -+
Exemplo: o produto escalar entre os vetores u =(-3,2)e v=(-2,5) éo
número real u . v =( 3).( 2)+2.5 = 16.
-+ -9
61
4.2. Derivada direcional
Para a função z= f(x, y), a derivada parcial de z em relação a x, indicada por !l!
representa a taxa de variação de z na direção do eixo x e a derivada parcial de z
em relação a y, indicada por ;S, representa a taxa de variação de z na direçãa
do eixo y.
No entanto, muitas vezes precisamos determinar a taxa de variação de uma
função de várias variáveis em uma direção qualquer.
C
(
A derivada direcional de f (D.f(x,y)) no ponto P(xo,yo) na direção de um
vetor unitário u = (a,b) é o número dado por:
D.f(xo, yo) = f*(xo, yo).a + fy(xo, yo).b
Exemplo 1. Considere a função f(x, y) = x2y3
P (1, 1) na direção do vetou unitário u
mostrado a seguir
fx ; 2xy3 e fy = 3x2y2
fx(1, 1) = 2.1.13 = 2 e fV(1, 1) = 3.12.l2 : 3
O.fü,U :2.l-;l*3 ' : '
A derivada direcional de f no ponto
:l-:,:ló igual a 6, conforme
Exerr.plo 2. Determinar a derivada direcional de f(x,y)=4x2 6y+2x2y2na
ponto P(2, 1) e na direção do vetor unitário que forma ângulo o = 30o com o eixo
X
62
Observação: qualquer vetar unitário pode ser escrito da forma u = (coso,senos
para algum ângulo o. Logo, u =(cos30',sen30') =( T; X)
fx = 8x+ 4xy2 e fV = -6+4x2y
fx(2, 1) = 8.2+4.2.12 = 24e fy = -6+4.22.l= lO
D.f(2,i) )f+iO.{-i2~/i+S
4.3. Vetou Gradiente e Derivada Direcional
O gradiente de f(x, y), denotado por Vf(x, y) , é o vetor definido por:
-fB, © : gl .T-. $ . 1'
Exemplo 1. 0 gradiente de f(x,y)=ln(x2 +y2)no ponto P(1, 1)
indicado a seguir.
v'B, n : ;ã?l$Ú I'* ;Ígl:?. 'Í
v'u,D- &br*iíi? '
-+ -+
ví(l, i) = i + j
é o vetou
Exemplo 2. O gradiente de f(x, y) = xe*v no ponto P(2, 0) é o vetou indicado a
seguir
Vf(x, y) =(e*v + xye*V) i+ x2exy. j
Vf(x, y) =(e2'0 +2.0e2 0) i+ 22e2'0.o
vr(i, í) = í + 4 j
63
Podemos encontrar a derivada direcional de z=f(x, y) fazendo o produto escalar
entre o vetor gradiente e o vedor unitário u
D.f(x, y) = Vf(x, y) . u
Exemplo 1. Considerando a função f(x,y)
pede
a) O vetar gradiente de f no ponto P(2, -1).
Vf(x, y) = 2xy i + (x2 + 12y2). j
-+ . . -+
Vf(x,y) =(2.2.( 1)) i'+(22+12.( 1)2). j'
vf(i, i) = -4 i + i6 j
xZy + 4y3, determinar o que se
b) A derivada dírecional de f no ponto P(2, -1) na direção de v = í + 2 j
-+ -+ -+
O módulo do vetar v = i+ 2 j é igual a v5 . O vetor unitário que tem a mesma
díreção de v e mesmo sentido de v é -.l:-- = 1 -5 '
lvl \ '
0.f(x, y) = vf(x, y) . u
-'.'P,-n:(--,:ul-$,Zfl: r' r; í
Exemplo 2. Considerando a função f(x, y) = \lx2 + yZ , determinar o que se pede
a) O vetor gradiente de f no ponto P(3, 4).
64
vf(x, y)
x '''}
3a
1+
J32 + 4z
3 -'} 4 -+
y '+
4 -'}
G;T7 . '
vf(3, 4)
vf(1, 1)
b) A derivada direcional de f no ponto P(3, 4) na díreção de P a Q(2, 7).
O vetou definido pelos pontos P e Q é PQ = ( 1, 3). O módulo de PQé igual a
PQ 1= ./10 . 0 vetar unitário que tem a mesma direção e mesmo sentido de PQé
A derivada direcional de f no ponto P e na direção de PQé
;] .í-ú ,Ê] :ú ;v30.f(3, 4) = 5
Exemplo 3. Determine a função gradiente e os gradientes nos pontos P(0,1)Q(1,1) e R(-1,1) da função f(x, y) = x2 + y2
vf(x, y) = 2x i + 2y. j
vf(o,l)
vf(l, i) = 2 Í + 2 j
vf( i, i) = -2 i + 2 j
Na figura a seguir, temos um esboço do gráfico de f(x,y)=x2+y2 e a
apresentação de vetores gradientes em vários pontos da curva.
65
4.4. Taxa máxima de variação
O vetorgradiente vf(x, y) fornece a direção de maior crescimento da função
f(x,y). O valor máximo da derivada direcional é o módulo do vedor
gradiente l Vf(x, y) l .
Exemplo 1. Encontrar a taxa máxima de variação de f(x,y)=sen(xy)+yz no
ponto P(0, 2) e em que direção ocorre
A taxa máxima de variação ocorre na direção do vetor gradiente e é dada pelos
cálculos a seguir
Vf(x, y) = y cos(xy) i+ (x cos(xy) + 2y). j
vf(0, 2) = 2cos(0.2) i+(Ocos(0.2)+2.2). j
vf(O, 2)
A taxa máxima é l Vf(O, 2) 1= J22 + 42 = J20 = 21/5
Exemplo 2. Suponha que a função T(x,y)=6yZ+2x2, em que T é medida em
graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de
temperatura T no plano xy. Partindo do ponto PI {, 4 1, qual seria a direção de
66
maior crescimento de temperatura? Qual é a taxa máxima de crescimento da
temperatu ra?
A maior taxa de crescimento da temperatura ocorre na direção do vetor
gradiente e é dada pelos cálculos a seguir
-+ -+
VT(x, y) = 4x i + 12y. j
-+ -+
ví(o, 2) = 2 i + 48 j
Vf(O, 2) = '.!
-+-+
. i + (12.4). j
A taxa máxima de variação é o módulo de vf(0, 2) = 2 i+48 j . ou seja, é
2 i+48 j =V2z+48z =J2308 =48oC/m
4. 5. Exercícios propostos
1. Encontre a derivada direcional de f(x,y)= 4xy+x3 +2y no ponto P(1, -1) e
na direção do vetor unitário que forma ângulo 0 = 45o com o eixo x
2. Encontre a derivada direcional de f(x, y) = x2 cos(xy) no ponto P(2, 0) e na
díreção do vetor v = 2 i + j
3. Encontre a derivada dírecional de f(x, y) = xlny no ponto P(3, 1) e na direção
do vetor v
4. Encontre a derivada direcional de f(x, y)
direção do vetor v =1=11i,- 21
no ponto P(1, 1) e na
67
5. Encontre a derivada direcional de f(x,y)= --E no ponto P(-1, 4) e na
(x + y)'
díreção de P a Q(2, 5).
6. Encontre a derivada dírecional de f(x, y) = 2y.In(x2 + y2) no ponto P(-1, 4) e
na díreção de P a Q(2, 5).
7. Encontre a taxa de variação máxima de f(x,y)=2y.In(x2 +y2) no ponto
P(-1, 4) e na direção de P a Q(2, 5).
8. Encontrar a taxa máxima de variação de f(x,y)
P(1, 0) e determinar em que direção ocorre.
9. Encontrar a taxa máxima de variação de f(x,y)
P(3, -2) e determinar em que direção ocorre
(x2 + 6y)e*V no ponto
6x3 + 12xy no ponto
10. Suponha que a função T(x,y)=---T----5:1=, em que T é medida em graus
(x' + y' )'
Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de
temperatura no plano xy.
a) Determinar a derivada dírecional da temperatura no ponto P(2, 1) e na
díreção de v = i + 3 j
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto P?
c) Qual é a taxa máxima de variação da temperatura no ponto P?
ll. Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico V, em Volts,
seja expresso pela função V(x, y,z) = 3xZ 2xy + xyz com as coordenadas x, y
e z dadas em metros.
a) Determinar a taxa de variação de V no ponto P(1,2,5) e na direção de
v = í+2 j-k.
b) Qual é a direção de maior variação de V no ponto P?
c) Qual é a taxa máxima de variação de V no ponto P?
68
1. Encontre a derivada direcional de f(x,y)=2xy+4xS no ponto P(1, 2) e na
direção do vetor unitário que forma ângulo 0 = 30o com o eixo x.
2. Encontre a derivada direcional de f(x,y)=xcosy no ponto P(1, 0) e na
direção do vetor v = (4, - 2) .
69
TAREFA 5. DERIVADAS DIRECIONAIS
NOME: RA :
TURMA: PROFESSOR:
3. Encontre a derivada dírecíonal de f(x, y) = cxy + 4y+2x no ponto P(3, 0) e na
direção do vetor v = 3 i 4 j
4. Encontre a derivada direcíonal de
de P a Q(2, 4).
no ponto P(-2, 1) e na direção
70
5. Encontre a taxa máxima de variação de f(x,y)=(xZ +6y).cos(xy) no ponta
P(1, 0) e determine em que direção ocorre
6. Suponha que a função T(x, y) = em que T é medida em grauseai
60
(x2 + y2)2
m metros, represente uma distribuição dedados eCelsius e x e y são me
temperatura no plano xy
a) Determe a derivada direcíonal da temperatura no ponto P(1, 3) e na direção
de v =2 i+3 j
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto P?
c) Qual é a taxa máxima de variação da temperatura no ponto P7
71
72
5. Integrais Múltiplas
5.1. Integrais duplas
Considere o gráfico da função z=f(x, y) mostrado na figura abaixo
z=f(x, y
Suponha z:f(x, y) seja uma função de duas variáveis contínua no retângula
R={(x,y)cR2/aÉxgb,cgy$d}. Nessa situação, podemos escrever as
integrais duplas mostradas a seguir.
f f(x, y)dydx = ÍI J f(x, y)dy bxc aLC
ou
db
f J f(x, y)dxdy =
dl b
íl J f(x, y)dx Hy
cl a
73
5.2. Propriedades das integrais duplas
jÍ[f(x, y) + g(x, y)]dxdy = JF f(x, y)dxdy +Jf g(x, y)dxdy
ÍJ c.f(x, y)dxdy = clf f(x, y)dxdy
b
Importante: J f(x)dx
a
F(b) F(a)
Exemplo 1. Calcule a integral dupla: J J(2xy)dydx
Primeiramente, devemos integrar a função z=2xy em relação à variável y, desde
c=1 até d=2 (neste caso, a função de x permanece como uma constante)
Depois, integramos a função em relação à variável x desde a=0 até b=2
rÍ[ *«:0'
2
dx = J 3xdx =
0
22
01
l
Exemplo 2. Calcule a integral dupla: J J(2xy)dxdy
Primeiramente, devemos integrar a função z=2xy em relação à variável x desde
a=0 até b=2 (nesse caso, a função de y permanece como uma constante).
Depois, integramos a função em relação à variável y desde c=1 até d=2
rÍ[ *:« dy - J 4ydy : 2
22
10
0
Exemplo 3. Calcule a integral dupla
Primeiramente, devemos integrar a função z = x2.seny em relação à variável x
desde a=0 até b=2(nesse caso, a função de y permanece como uma constante).
Depois, integramos a função em relação à variável y desde c=1 até d=2.
il "'"l.'";sá"-«-*-gt«;«]í:-l; («;: ";:,
74
Exemplo 4 Calcular a integra dupla JÍ (4xy + 6x)dA ,
R
onde
R {(x, y)/ 2 g x g 4 e 0 g y g l}
41
r J (4xy + 6x)dydx20
44
2 + 6xy k*:r : '- 16 : 48dx = f 8xdx =
2 20 2
Exemplo 5 Calcular a integ ra dupla de ff xe xydA
R
onde
R {(x, y) / l É x É 2, 0 $ y $ 3
jlxexydA= f Jxexydydx= Jlexy 0dx:2(e3x -i)dx=jteSx -xll :leÕ ;e3-l
5.3. Integrais duplas sobre regiões genéricas
5.3.1. Região de integração tipo l
Tipo l Região de Integração: D {(x,y) c R2/a É x $ b, fl(x) $ y $ f2(x)}
y
:.''' /
...,./' ./'
F2( }:)
/.'
.f'
/
a X
75
Se z=f(x, y) é contínua na região de integração D, temos
ff f(x, y)dA
D
b f2 (x )
:f 'Í f(x, y)dydx
a fi(x)
Exemplo 1. Calcular JF(x + y)dA , onde D é a região limitada pela reta y=2x e pela
parábola y=xz
D
Região de Integração
y=x"2
i['* * "'-«-* ; :L*« * {j::-*: :r-*: - *: - {] -*:]ç 5215
Exemplo 2. Calcular a integral dupla
1 4j*10x2ydydx = Jlsx2y2l4xdx : i75x4dx0x 0' 'x 0
76
Exemplo 3. Calcular a integral Jf(10- x - 2y)dydx , onde R é a região limitada por
x=O, y=1 e y = x2
Região de integração:
R
jí(lo-x-2y)dydx ;il ,$(10-x-2y)dydx :ijl10y-xy y:r dx
:o*: -*--n-*:le--.- x .:o{..{---9*l::lg
5.3.2. Região de integração tipo ll
Tipo ll - Região de Integração; D = {(x,y) € R2 / g] (y) É x É g2(y), c ç y $ d}lly 2
77
g2( }' )
Se z=f(x, y) é contínua na região de integração D, temos
d g2(y)
Jf f(x, y)dA =J f f(x, y)dxdy
0 c gl(y)
Exemplo 4. Calcular fÍ(x + y)dA , onde D é a região limitada pela neta x = le pela
parábola x = Jy
Região de Integração:
x B -/ "D , 5
4Jy
f J (x + y)dxdy
oy
2 :lS**«l:«
2
11{ * &' -{ «:l-,
';*ÍM-
52
15
5.4. Volume de um sólido
Considere a função f(x, y) à 0. O volume V do sólido localizado acima da
região de integração e abaixo da superfíciez=f(x, y) é calculado pela seguinte
integral dupla:
V = JÍ f(x, y)dydx
D
Exemplo 1. Com base na definição acima, calcule o volume do sólido abaixo da
superfície f(x,y) =6+ 2xy e acima de R = {(x, y)/ 0 É x É 2, 0 $ y É l}.
íjiv--*y:ll d*: ÍD«)dx: lõ*-'-$1 : 12--2 - 14
Exemplo 2. Determine o volume do sólido localizado abaixo da superfície
z ; 2x2 + 4y2 e acima da região D limitada pela reta y=x e y = x2
Região de Integração
79
*-ybdyd*: l2*:y--!f-l d*:
i T*: .:*- - 'f,-*:ll*' -;*: -;*'l:::
Exemplo 3. Calcule a integral dupla
j TU* -- 2üd*dy - Íl:*: .-2V*l'dy : l-y:'V : ljÇI -"
5.5. Área de uma região plana.
Podemos usar a integral dupla para calcularmos a área de uma região no plano
xy. A área A é calculada usando A(D) = Jr IdA
D
80
Exemplo 1. Calcular a área limitada pelas curvas y x2 e y X3
:(-«-*:z'*: *:,.*;re-Tl:
Exemplo 2. Calcular a área limitada pelas curvas y = x2 e y = vx
A(D)
81
   
   
   
 
1=3a
1.«« :1'"- *:«* - le-€11
5.6. Integrais duplas em coordenadas polares
Supondo regiões genéricas circulares, como a indicada na figura a seguir, a
utilização de coordenadas polares poderá facilitar a resolução da integral dupla.
Mudança de coordenadas retangulares para regiões polares
P(r. e)=?(x, yl cos 0 -- n x = r. coso
r
x2 + y2 : r2
>
Se z=f(x, y) é contínua no retângulo polar dado por 0 $ a g r g b, a g o $ fS para
0 É B - OI $ 2n , então Jr f(x, y)dA
R
r J f(r cos 8, rsen0)rd rd0
(/ a
82
Exemplo 1. Por meio de coordenadas polares, calcule a integral:
ff cos(x2 + y2 )dydx , onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência
xz + yz = 9
n 3 . n
J J cos r'.rd rd0 = J000 IÍ senti: ) -! Osen92
R
Exemplo 2. Por meio de coordenadas polares determine JTJ 2 + y dA . onde R é
a região do semiplano superior limitado pelos círculos x2+ y2: 9 e x2 + yZ . 4
R
No semíplano superior, temos yzO e 4É xz + y2 É 9
! i':« :!lÇll« ::p. - i:.ii :ç«
5.7. Exercícios propostos.
1. Calcular a integrais duplas
32
a) J J (5x
00
y 2 )dydx
12x 3 )dydx
c) J J(6x3y: +2)dydx
11
d) J J xsen(xy)dydx
00
22
2b) J J (8xy
11
83
2. Calcular JJ(3+ xy)dA, onde R ={(x,y)/0 É x g 2. 1É y É3}
3. Ca]cu]ar JÍy.sen(xy)dA , onde R = [1,2] x [0,7t].
R
4. Calcular jf(x+12y)dA. onde D é a região limitada pela reta y=4e pela
parábola x = 4x2
5. Calcular fÍ16xy2dA, onde D é a região limitada pelas curvas y = xze y = ./x
6. Calcular o volume do sólido localizado abaixo da superfície z = x2+ y2e acima
das curvas y = x2 e y : Jx
7. Calcular o volume do sólido localizado abaixo da superfície z = 2x + 6ye acima
das curvas y = 4x2 e y : x2 +3.
8. Calcular o volume do sólido abaixo da superfície z=20 4x-2ye acima do
retângulo R = {(x, y)/0 É x É 2, O ç y $ 1}
9. Usando as integrais duplas, calcular a área limitada pelas curvas y = 2xZ e
10. Usando as integrais duplas, calcular a área limitada, no primeiro quadrante,
pela rega y = 4x e pela curva y = xJ
10. Usando as integrais duplas, calcular a área limitada pela reta y = xe pelo
gráfico de y = x/2x .
84
R
D
D
12. Por meio de coordenadas polares, calcular a integra
a região acima do eixo x e dentro da circunferência x2 + y2
onde R é
13. Por meio de coordenadas polares, calcular a integra
limitada pelo círculo x2 + y2 = l
14. Calcular o volume do sólido localizado abaixo da superfície z = 10 x2 - y2 e
acima do plano xy.
85
86
1. Calcular a integrais duplas
a) l J(3x+4y3)cJydx
01
2
b) J
l
2
c) J
l
i(xye* + 2y)dxdy
0
21
d) J J y cos(xy)dxdy
10
87
TAREFA 6. INTEGRAIS MULTIPLAS
NOME RA :
TURMA: PROFESSOR :
2 Calcular Jr (10xy + 2y)dA
R
onde R {(x, y) / 0 g x $ 1, 1 $ y É 4}
3. Calcular JF(4xy)dA , onde D é a região limitada pelas retas x=O, y = le pela
parábola y = x2 . Esboçar a região de integração.
D
88
4. Calcular JÍ(x+ 4y)dA. onde D é a região limitada pelas curvas y = x2e y : ~/x
Esboce a região de integração.
D
89
5. Calcular o volume do sólido localizado abaixo da superfície z=4x+9y2e
acima das curvas y = 5x2
90
6. Usando as integrais duplas, calcular a área limitada pelas curvas y =4x2 e
y = xz + 12
91
7. Por meio de coordenadas polares, calcular a integral fl(x2 +y2)dydx, onde R
é a região acima do eixo x e dentro da circunferência
R
8. Por meio de coordenadas polares, calcular o volume do sólido acima do plano
xy delimitado por z = 16- x2 y2
92
RESPOSTAS
Ta refa 1. Revisão Derivadas
1.
a) y'- secxtgx+ x4
b)
c) y'= 2cos0
d) y ; (4x3 +6)Inx + x3 +6
e) y'= 2senx + (2x + 9)cosx
f)
2. y= 5x+ll
3.
a)
b)
c)
d)
e)
y'= 2e2x 15
y'= 64cos(4x)
y'- (-x2 2)sen(x3 + 6x)
f'(x) = 2cosxsenx
93
f)
g)
h)
y'= -2xsenx2
y'= 5eS*sen(2x + 4) + 2e5* cos(2x + 4)
(x + lO)2
Tarefa 2. Revisão Inteciral
l
a)
b) 2#'? +c
C) X4 .x' + 19x + C
4
d) coso + 9sen0 + C
2. a) 16 b)2
3.
a)
b)
c)
+ 16) + C
In(senx) + C
ljln(4t + 8) + C
94
d) ex6 +C
4
a) *©x ex +C
b) (2t + 9) cost
c)
d) (9x + 3)senx + 9 cosx + C
Tarefa 3. Função de duas variáveis
1. f(l,o) = 1 e f(-3,2) = li\
2
a) D(f) = {(x, y)/4x + 16 > O}
b) D(f) - {(x,y)/y z x2 + 4}
c) D(f) = {(x,y)/ x É 3}
3 . Regas
4, Circunfe rênclas.
5. C, D, B, A
Ta refa 4. Derivadas Pa rciais
+ 2sent + C
l
a)
b)
fx »v- r b 'v ' "uL' 'y
y cos(xy)cos(x+ y) - sen(xy)sen(x+ y) e
x cos(xy)cos(x+ y) - sen(xy)sen(x + y)
: ,3 : '« : /;
x2exy(3 + xy) e fV = x4exy
í2y - ysen(xy) e :i = 12x - xsen(xy)
54ye6x + 2sen(4y) e gi = 9e6x + 8xcos(4y)
20sen(4x + 6y) e :!l = 30sen(4x + 6y)
.::!b . .. : 2C:!(
(x' + y')' ' (x' + y')'
ye*y Iny e àz : exy(xlny + !)
õ(2x-3y)2eg;= 9(2x 3y)2
2e2x+6y(5x4 +2xS 4y) efy = 4e2*+ÕV(3x5 -6y
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Dz
àx
Dz
âx
Dz
Õx
fx
âz
8x
àz
Õx
fx 1)
2. 8oC/ m e - 20oC/m
3. 247E cm3 /min
fxx = 6xy4 fvy = 12x3y2 + 10x fxy = fyx = 12x2y3 + 10y
f*V = -2ysen(xy) y2xcos(xy)
96
5. z = -8y + 27
Tarefa 5. Derivadas Direcionais
1. t21/ã + l
:. g®
5. vf(l,o) =(2, 6)el vf(l,o) 1= 2JiÓ
6. a) 0,6o/ m b) Vf(1, 3) ( 0,24; - 0,72) e l Vf(1, 3) l= 0,76aC/m
Tarefa 6 Integrais Múltiolas
b) e2 -e-l c) 4,5l
2
3
4
5
6
7
8
a) 172
105
2
2
3
3
4
13584
35
32
647t
128n
97