Prova resolvida - Integrais duplas e triplas

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Matemática em Exerćıcios
Exerćıcios resolvidos - Integrais Duplas e Triplas
Professor Guilherme Miguel Rosa
Questão 1. Calcule o valor da integral dupla
∫∫
R
ycos x2 dA; onde R é a região do primeiro quadrante
delimitada por y = 0, x = 4 e x = y2.
Solução:
A região R é:
Portanto 0 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤
√
x, logo:∫∫
R
ycos x2 dA =
∫ 4
0
∫ √x
0
ycosx2 dydx
=
∫ 4
0
(cosx2)
y2
2
/√x
0
dx
=
∫ 4
0
(cosx2)
x
2
dx.
Fazendo u = x2 =⇒ du/2x = dx temos:∫ 4
0
cos u
4
du =
sen u
4
/4
0
=
sen x2
4
/4
0
=
sen 16
4
.
Questão 2. Calcule
∫∫
R
x2 + y2 dA; onde R é a região interna à curva x2 + y2 = 4y e externa à curva
x2 + y2 = 2y.
Solução:
• x2 + y2 = 4y =⇒ x2 + y2 − 4y = 0 =⇒ x2 + (y − 2)2 − 4 = 0 =⇒ x2 + (y − 2)2 = 4.
• x2 + y2 = 2y =⇒ x2 + y2 − 2y = 0 =⇒ x2 + (y − 1)2 − 1 = 0 =⇒ x2 + (y − 1)2 = 1.
Logo, a região R é a região dentro da circunferência de centro (0, 2) e raio 2 e fora da circunferência
de centro (0, 1) e raio 1, conforme a figura a seguir.
1
Mudando para coordenadas polares, temos:
• x2 + y2 = 2y =⇒ r2 = 2rsenθ =⇒ r = 2senθ.
• x2 + y2 = 4y =⇒ r2 = 4rsenθ =⇒ r = 4senθ.
Logo, 0 ≤ θ ≤ π e 2senθ ≤ r ≤ 4senθ, então:∫∫
R
x2 + y2 dA =
∫ π
0
∫ 4senθ
2senθ
r3 drdθ
=
∫ π
0
r4
4
/4senθ
2senθ
dθ
=
∫ π
0
64sen4θ − 4sen4θ dθ
=
∫ π
0
60sen4θ dθ.
Utilizando a identidade sen2x = 1−cos(2x)2 temos:∫ π
0
60sen4θ dθ = 60
∫ π
0
(
1− cos(2θ)
2
)2
dθ
= 60
∫ π
0
(
1− 2cos(2θ) + cos2(2θ)
4
)
dθ
= 15
∫ π
0
(
1− 2cos(2θ) + 1
2
+
cos(4θ)
2
)
dθ
= 15
∫ π
0
(
3
2
− 2cos(2θ) + cos(4θ)
2
)
dθ
= 15
(
3θ
2
− 2 · sen(2θ)
2
+
1
2
· sen(4θ)
4
)/π
0
=
45π
2
.
Questão 3. Determine o volume do sólido limitado superiormente por x2+y2+z2 = 1 e inferiormente
por z =
√
x2 + y2.
Solução:
Em coordenadas polares temos z2 = 1− r2 e z2 = r2, logo a interseção ocorre em:
• 1− r2 = r2 =⇒ r2 = 1/2 =⇒ r = 1/
√
2.
2
Então basta calcular:∫ 2π
0
∫ 1/√2
0
(
√
1− r2 − r)r drdθ =
∫ 2π
0
∫ 1/√2
0
r
√
1− r2 − r2 drdθ
=
∫ 2π
0
∫ 1/√2
0
r
√
1− r2 drdθ −
∫ 2π
0
∫ 1/√2
0
r2 drdθ
=
∫ 2π
0
∫ 1/√2
0
−r · u1/2du
2r
dθ −
∫ 2π
0
r3
3
/1/√2
0
dθ
=
∫ 2π
0
∫ 1/√2
0
−1
2
u1/2 dudθ −
∫ 2π
0
1
6
√
2
dθ
=
∫ 2π
0
−u
3/2
3
/1/√2
0
dθ − θ
6
√
2
/2π
0
=
∫ 2π
0
−(1− r
2)3/2
3
/1/√2
0
dθ − π
3
√
2
=
∫ 2π
0
(
−(1/2)
3/2
3
+
1
3
)
dθ − π
3
√
2
=
(
− θ
6
√
2
+
θ
3
)/2π
0
− π
3
√
2
=
2π
3
− π
3
√
2
− π
3
√
2
=
2π
3
− 2π
3
√
2
.
Questão 4. Calcule a integral tripla de f(x, y, z) = xy sobre a região T acima do plano xy delimitada
por x+ y + z = 6, x = 0, y = 0, x = 3 e y = 2.
Solução:
A região de integração é 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 6− x− y.
∫ 3
0
∫ 2
0
∫ 6−x−y
0
xy dzdydx =
∫ 3
0
∫ 2
0
zxy
/6−x−y
0
dydx
=
∫ 3
0
∫ 2
0
(6− x− y)xy dydx
=
∫ 3
0
∫ 2
0
6xy − x2y − xy2 dydx
=
∫ 3
0
(
3xy2 − x
2y2
2
− xy
3
3
)/2
0
dx
=
∫ 3
0
12x− 2x2 − 8x
3
dx
=
∫ 3
0
28x
3
− 2x2dx
=
(
14x2
3
− 2x
3
3
)/3
0
= 42− 18
= 24.
3
Questão 5. Calcule o volume do sólido delimitado por z = 1− x2, z = 0, y = 0 e x+ y = 4.
Solução: Projetando o sólido no plano zx, temos:
Então −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1− x2 e 0 ≤ y ≤ −x+ 4. Logo o volume é dado por∫ 1
−1
∫ −x+4
0
∫ 1−x2
0
dzdydx =
∫ 1
−1
∫ −x+4
0
z
/1−x2
0
dydx
=
∫ 1
−1
∫ −x+4
0
(1− x2)dydx
=
∫ 1
−1
(1− x2)y
/−x+4
0
dx
=
∫ 1
−1
(1− x2)(−x+ 4)dx
=
∫ 1
−1
x3 − 4x2 − x+ 4 dx
=
(
x4
4
− 4x
3
3
− x
2
2
+ 4x
)/1
−1
=
1
4
− 4
3
− 1
2
+ 4−
(
1
4
+
4
3
− 1
2
− 4
)
=
16
3
.
Questão 6. Calcule ∫ 2
−2
∫ √4−x2
−
√
4−x2
∫ √4−x2−y2
−
√
4−x2−y2
dzdydx.
Solução: Temos −
√
4− x2 − y2 ≤ z ≤
√
4− x2 − y2, −
√
4− x2 ≤ y ≤
√
4− x2 e −2 ≤ x ≤ 2.
• z = ±
√
4− x2 − y2 =⇒ z2 = 4− x2 − y2 =⇒ x2 + y2 + z2 = 4.
A região de integração é a região dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 4. Em coordenadas esféricas a
equação é ρ2 = 4, logo, 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ π e 0 ≤ θ ≤ 2π. Então∫ 2
−2
∫ √4−x2
−
√
4−x2
∫ √4−x2−y2
−
√
4−x2−y2
dzdydx =
∫ 2π
0
∫ π
0
∫ 2
0
ρ2senφ dρdφdθ
=
∫ 2π
0
∫ π
0
ρ3
3
senφ
/2
0
dφdθ
=
∫ 2π
0
∫ π
0
8
3
senφ dφdθ
=
∫ 2π
0
−8
3
cosφ
/π
0
dθ
=
∫ 2π
0
16
3
dθ =
16
3
θ
/2π
0
=
32π
3
.
4