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Livro Eletrônico Aula 11 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital Guilherme Neves 1 77 1. Trinômio Quadrado Perfeito ............................................................................................................................ 2 1.1 Como fabricar um trinômio quadrado perfeito ............................................................................................... 3 2. Raiz quadrada e equação do segundo grau ...................................................................................................... 5 3. Equação do 2º grau .......................................................................................................................................... 7 4. Solução geral de uma equação do segundo grau ............................................................................................ 11 5. Relações de Girard ......................................................................................................................................... 14 6. Forma fatorada .............................................................................................................................................. 18 7. Lista de Questões de Concursos Anteriores .................................................................................................... 21 8. Gabaritos ....................................................................................................................................................... 31 9. Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ....................................................................... 32 10. Considerações Finais ...................................................................................................................................... 77 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 2 77 Oi, pessoal. Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! Vamos começar a nossa aula sobre Equação do 2º Grau? 1. TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO Denomina-se trinômio quadrado perfeito todo trinômio do segundo grau que pode ser fatorado na forma (𝑚𝑥 + 𝑛)'. Vamos desenvolver a expressão acima. (𝑚𝑥 + 𝑛)' = (𝑚𝑥 + 𝑛)(𝑚𝑥 + 𝑛) = 𝑚'𝑥' + 𝑚𝑛𝑥 + 𝒏𝒎𝒙 + 𝑛' Observe que 𝑚𝑛𝑥 = 𝑛𝑚𝑥, pois a multiplicação é uma operação comutativa. (𝑚𝑥 + 𝑛)' = 𝑚'𝑥' + 𝑚𝑛𝑥 +𝒎𝒏𝒙 + 𝑛' (𝑚𝑥 + 𝑛)' = 𝑚'𝑥' + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛' Desta maneira, como identificar se um trinômio do segundo grau é um trinômio quadrado perfeito? 1) Calcule a raiz quadrada do termo em x2 e do termo independente (o termo que não tem x). Desta forma, você obtém m e n. 2) Multiplique os resultados obtidos e depois multiplique por 2. Assim, você obtém 2mn. 3) Se o resultado for igual ao termo em x, o trinômio é quadrado perfeito. Exemplo: 64𝑥' + 80𝑥 + 25 A raiz quadrada do primeiro termo é 8x. A raiz quadrada do termo independente é 5. Vamos multiplicar esses resultados e depois multiplicar por 2. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 3 77 𝟖𝒙 ∙ 𝟓 ∙ 2 = 80𝑥 O resultado coincidiu com o termo do meio. Assim, o trinômio 64𝑥' + 80𝑥 + 25 é um quadrado perfeito e sua forma fatorada é (𝟖𝒙 + 𝟓)'. Exemplo: Fatore o trinômio 16𝑥' + 24𝑥 + 9. Resolução Vamos verificar se o trinômio acima é um quadrado perfeito. A raiz quadrada do primeiro termo é 4x. A raiz quadrada do termo independente é 3. Vamos multiplicar esses resultados e depois multiplicar por 2. 𝟒𝒙 ∙ 𝟑 ∙ 2 = 24𝑥 O resultado coincidiu com o termo do meio. Assim, o trinômio 16𝑥' + 24𝑥 + 9 é um quadrado perfeito e sua forma fatorada é (𝟒𝒙 + 𝟑)'. 1.1 COMO FABRICAR UM TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 4 77 Em geral, caso um trinômio do segundo grau não seja quadrado perfeito, podemos utilizar alguns artifícios algébricos para forçar a criação de um quadrado perfeito. Isso nos ajudará na resolução de equações do segundo grau. Observe a forma do trinômio perfeito: 𝑚'𝑥' + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛'. Imagine que não temos o termo independente 𝑛'. Como a partir dos outros coeficientes 2mn e m2 podemos calcular n2? i) Eleve 2mn ao quadrado e obtenha 4m2n2. ii) Divida o resultado anterior por 4m2 e obtenha 4m2n2/4m2 = n2. Assim, Se você elevar ao quadrado o coeficiente de x e dividir por 4 vezes o coeficiente de x2, você obterá o termo independente n2. Vamos agora reescrever este procedimento com um binômio geral 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥. No caso anterior, 𝑎 = 𝑚' 𝑒 𝑏 = 2𝑚𝑛. No procedimento anterior, substitua 2mn por b e m2 por a. i) Eleve b ao quadrado e obtenha b2. ii) Divida o resultado anterior por 4a e obtenha b2/4a. Em suma, Se temos apenas um trinômio da forma ax2 + bx e queremos completá-lo para formar um trinômio quadrado perfeito, basta somar b2/4a. Vejamos o trinômio do segundo grau 16𝑥' + 80𝑥 + 30. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 5 77 Este não é um trinômio quadrado perfeito. Observe que a raiz quadrada do termo dominante é 4x, a raiz quadrada do termo independente é√30. Ao multiplicar estes valores e multiplicar o resultado por 2, encontramos 8𝑥√30, que não coincide com o termo do meio. Esqueça por um momento o termo independente. Ficamos com 16𝑥' + 80𝑥. Neste caso, a = 16 e b = 80. Para obtermos um quadrado perfeito, devemos adicionar b2/4a. 𝑏' 4𝑎 = 80' 4 ∙ 16 = 6.400 64 = 100 16𝑥' + 80𝑥 + 100 ⟶ 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 Entretanto, já tínhamos 30 como termo independente. Que vamos fazer então? Vamos tomar o trinômio original e então adicionamos 100 e subtraímos 100 para que o trinômio não seja alterado. 16𝑥' + 80𝑥 + 30 = 16𝑥' + 80𝑥 + 30 + 100 − 100KLLMLLN O = 16𝑥' + 80𝑥 + 100 + 30 − 100 16𝑥' + 80𝑥 + 30 = 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎 − 70 = (𝟒𝒙 + 𝟏𝟎)𝟐 − 70 Esta não é a fatoração do trinômio dado, mas, como dito anteriormente, será bastante útil para resolver equações do segundo grau. 2. RAIZ QUADRADA E EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 6 77 É importante notar a diferença entre, por exemplo, calcular a raiz quadrada de 9 e resolver a equação x2 = 9. A raiz quadrada de 9 é um resultado único: 3. √9 = 3 Isto porque estamos trabalhando no universo dos números reais e a raiz quadrada possui um valor único e positivo. É errado, portanto, no universo dos números reais, escrever que √9 = ±3. Resolver a equação x2 = 9 significa encontrar valores de x que tornam esta sentença aberta uma sentença verdadeira. Há dois valores que satisfazem estaequação, a saber: 3 ou -3. 3' = 9 (−3)' = 9 Assim, o conjunto solução da equação x2 = 9 é S = {-3,3}. Rigorosamente, o passo a passo para resolver tal equação é o seguinte. 𝑥' = 9 V𝑥' = √9 Vimos que √9 = 3. Entretanto, √𝑥' não é x. Existe uma propriedade dos módulos (ou valores absolutos) dos números reais que diz que √𝑥' = |𝑥|. |𝑥| = 3 Existem dois números reais com módulo igual a 3, a saber: 3 ou -3. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 7 77 Portanto, x = 3 ou x = -3. Entretanto, não é necessário escrever este passo a passo toda vez que for resolver uma equação do segundo grau. Fazemos simplesmente assim: 𝑥' = 9 𝑥 = ±√9 𝑥 = ±3 Novamente: o símbolo ± não foi originado da raiz de 9. Ele foi originado de √𝑥' = |𝑥|. 3. EQUAÇÃO DO 2º GRAU Denomina-se equação do 2º grau toda equação que pode ser escrita na forma 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, onde a, b e c são números reais e a ¹ 0. Alguns casos particulares têm solução imediata. i) b = c = 0 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 8 77 Neste caso, a equação reduz-se a ax2 = 0. 𝑎𝑥' = 0 𝑥' = 0 𝑥 = 0 Assim, o conjunto verdade é V = {0}. ii) b = 0 Neste caso, a equação reduz-se a ax2 + c = 0. Nem sempre é possível resolver esta equação no conjunto dos números reais. Observe os seguintes exemplos. Exemplo 1: 9𝑥' − 4 = 0 9𝑥' = 4 𝑥' = 4 9 𝑥 = ±Y 4 9 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 9 77 𝑥 = ± 2 3 Assim, o conjunto solução é S = {-2/3, 2/3}. Exemplo 2: 9𝑥' + 4 = 0 9𝑥' = −4 𝑥' = − 4 9 𝑥 = ±Y− 4 9 Entretanto, não é possível calcular raiz quadrada de números negativos no universo dos números reais. Assim, não há valor real de x que satisfaça a equação 9𝑥' + 4 = 0 e o conjunto solução é 𝑆 = 𝜙. iii) c = 0 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 10 77 Neste caso, a equação reduz-se a ax2 + bx = 0. Podemos resolver esta equação fatorando a expressão. 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 = 0 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 Assim, o produto de dois números (x e ax+b) é igual a zero. Para que o produto entre dois números seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Assim, 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑎𝑥 = −𝑏 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = − 𝑏 𝑎 E o conjunto solução é S = {0, -b/a}. Exemplo 1: 2𝑥' + 6𝑥 = 0 𝑥(2𝑥 + 6) = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑢 2𝑥 + 6 = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = −3 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 11 77 𝑆 = {0,−3} Exemplo 2: −3𝑥' + 12𝑥 = 0 𝑥(−3𝑥 + 12) = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑢 − 3𝑥 + 12 = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 4 𝑆 = {0,4} 4. SOLUÇÃO GERAL DE UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU Vimos como resolver alguns casos particulares de equações do segundo grau. Vamos desenvolver uma fórmula para resolver qualquer equação do segundo grau. A equação do segundo grau tem a seguinte forma: 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Podemos reescrever: 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 = −𝑐 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 12 77 Temos um binômio do segundo grau no primeiro membro da equação. Para obter um trinômio quadrado perfeito, como vimos, devemos adicionar 𝑏'/4𝑎 . Para não alterar a equação, vamos adicionar este número em ambos os membros. 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑏' 4𝑎 = 𝑏' 4𝑎 − 𝑐 O primeiro membro agora é um trinômio quadrado perfeito e pode ser fatorado. Vamos dividir o todos os termos da equação por a para facilitar os cálculos. 𝑥' + 𝑏 𝑎 𝑥 + 𝑏' 4𝑎' = 𝑏' 4𝑎' − 𝑐 𝑎 Vamos agora fatorar o trinômio quadrado perfeito do primeiro membro. A raiz quadrada do primeiro termo é x e a raiz quadrada do último termo é b/2a. No segundo membro, vamos subtrair as frações. `𝑥 + 𝑏 2𝑎a ' = 𝑏' − 4𝑎𝑐 4𝑎' 𝑥 + 𝑏 2𝑎 = ± Y𝑏 ' − 4𝑎𝑐 4𝑎' 𝑥 = − 𝑏 2𝑎 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝒙 = −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 13 77 Esta é a tão conhecida fórmula utilizada para resolver equações do segundo grau. Você não precisa se estressar em entender a dedução dela. Vamos aprender a aplicá-la. Denominamos discriminante o número real 𝚫 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄. Podemos reescrever a fórmula resolutiva da equação do segundo grau da seguinte maneira, 𝑥 = −𝑏 ± √Δ 2𝑎 Esta fórmula, exclusivamente no Brasil, erradamente, é chamada de Fórmula de Bhaskara. Não sei o exato motivo de esse nome ser utilizado no Brasil. Bhaskara foi um famoso matemático indiano e que desenvolveu alguns métodos para resolver problemas que envolviam equações do segundo grau. Algum escritor ou professor brasileiro, algumas décadas atrás, interpretou que Bhaskara “criou” esta fórmula e o nome entrou na moda. Assim, o correto seria chamar a fórmula acima de “fórmula resolutiva da equação do segundo grau” ou algo do gênero. Vejamos como aplicar esta fórmula em três exemplos. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 14 77 Observe que no terceiro exemplo o discriminante é negativo. Em casos como este, o conjunto solução sempre será o conjunto vazio, isto porque as raízes quadradas de números negativos não podem ser calculadas no universo dos números reais. Observando os exemplos acima resolvidos, verificamos que há três casos a considerar. 5. RELAÇÕES DE GIRARD Vamos resolver a equação 12𝑥' − 10𝑥 + 2 = 0. Considerando a notação usual 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, temos que 𝑎 = 12, 𝑏 = −10 𝑒 𝑐 = 2. 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −(−10) ± V(−10)' − 4 ∙ 12 ∙ 2 2 ∙ 12 𝑥 = 10 ± 2 24 0 Duas raízes reais e distintas 0 Duas raízes reais e iguais 0 Não há raízes reais D > Û D = Û D < Û Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof.Guilherme Neves Aula 01 15 77 Assim: 𝑥g = 10 + 2 24 = 12 24 = 1 2 𝑜𝑢 𝑥' = 10 − 2 24 = 8 24 = 1 3 Vamos calcular a soma das raízes: 𝑆 = 𝑥g + 𝑥' = 1 2 + 1 3 = 3 + 2 6 = 5 6 Vamos calcular o produto das raízes: 𝑃 = 𝑥g ∙ 𝑥' = 1 2 ∙ 1 3 = 1 6 Pronto! Todo este trabalho para calcular a soma e o produto das raízes da equação do segundo grau. Será que existe uma forma mais rápida? Sim, existe! É sobre este assunto que falaremos agora: As Relações de Girard. São duas fórmulas que nos ajudam a calcular a soma e o produto. Vejamos: Chamaremos de 𝑥g 𝑒 𝑥' as raízes da equação 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Desta maneira: 𝑥g = −𝑏 + √𝑏' − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑒 𝑥' = −𝑏 − √𝑏' − 4𝑎𝑐 2𝑎 Vamos multiplicar e somar estes dois números: 𝑆 = 𝑥g + 𝑥' = −𝑏 + √Δ 2𝑎 + −𝑏 − √Δ 2𝑎 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 16 77 𝑆 = −𝑏 + √Δ − 𝑏 − √Δ 2𝑎 = −2𝑏 2𝑎 = − 𝑏 𝑎 𝑆 = 𝑥g + 𝑥' = − 𝑏 𝑎 𝑃 = 𝑥g𝑥' = i −𝑏 + √Δ 2𝑎 ji −𝑏 − √Δ 2𝑎 j 𝑃 = 𝑏' + 𝑏√Δ − 𝑏√Δ − k√Δl ' 4𝑎' 𝑃 = 𝑏' − Δ 4𝑎' = 𝑏' − (𝑏' − 4𝑎𝑐) 4𝑎' = 4𝑎𝑐 4𝑎 ∙ 𝑎 𝑃 = 𝑥g𝑥' = 𝑐 𝑎 Relações de Girard 𝑆 = 𝑥g + 𝑥' = − m n -----------------à Soma das raízes 𝑃 = 𝑥g𝑥' = o n -----------------à Produto das raízes Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br ==10ef0== Prof. Guilherme Neves Aula 01 17 77 Vamos voltar ao nosso exemplo: 12𝑥' − 10𝑥 + 2 = 0. 𝑎 = 12, 𝑏 = −10 𝑒 𝑐 = 2 Pois bem, de acordo com as relações de Girard, a soma das raízes é dada por: 𝑆 = −𝑏 𝑎 = −(−10) 12 = 10 12 = 5 6 O produto das raízes é dado por: 𝑃 = 𝑐 𝑎 = 2 12 = 1 6 Ainda com as relações de Girard, podemos resolver outros problemas como, por exemplo, calcular a soma dos inversos das raízes ou a soma dos quadrados das raízes. Observe: a) Soma dos inversos das raízes. 1 𝑥g + 1 𝑥' = 𝑥g+𝑥' 𝑥g𝑥' = 5/6 1/6 = 5 6 ∙ 6 1 = 5 De fato, as raízes são 1/2 e 1/3. Assim, a soma dos seus inversos é 2 + 3 = 5. b) Soma dos quadrados das raízes Agora estamos interessados em calcular 𝑥g' + 𝑥''. Para calcular o desejado, vamos partir de (𝑥g + 𝑥')'. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 18 77 (𝑥g + 𝑥')' = 𝑥g' + 2𝑥g𝑥' + 𝑥'' ` 5 6a ' = 𝑥g' + 2 ∙ 1 6 + 𝑥' ' 25 36 = 𝑥g ' + 1 3 + 𝑥' ' 𝑥g' + 𝑥'' = 25 36 − 1 3 = 25 − 12 36 = 13 36 6. FORMA FATORADA Voltemos à equação 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Podemos reescrever da seguinte forma: 𝑎 `𝑥' + 𝑏 𝑎 𝑥 + 𝑐 𝑎a = 0 𝑎 p𝑥' − `− 𝑏 𝑎a 𝑥 + 𝑐 𝑎q = 0 Sendo S a soma das raízes e P o produto das raízes, temos: 𝒂[𝒙𝟐 − 𝑺𝒙 + 𝑷] = 𝟎 Com a expressão acima, podemos “fabricar” equações do segundo grau, se são dadas as raízes. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 19 77 Por exemplo, vamos fabricar uma equação do segundo grau de raízes -3 e 5. Neste exemplo, a soma das raízes é S = -3 + 5 = 2 e o produto das raízes é P = - 3 x 5 = -15. Substituindo na expressão acima, temos: 𝑎[𝑥' − 2𝑥 − 15] = 0 Agora basta escolher qualquer valor diferente de zero para a. Para a = 1, temos 𝑥' − 2𝑥 − 15 = 0. Para a = -3, temos −3𝑥' + 6𝑥 + 45 = 0. Voltemos à equação 𝑎[𝑥' − 𝑆𝑥 + 𝑃] = 0 Se x1 e x2 são as raízes da equação, das relações de Girard, temos: 𝑎[𝑥' − (𝑥g + 𝑥')𝑥 + 𝑥g𝑥'] = 0 𝑎[𝑥' − 𝑥g𝑥 − 𝑥'𝑥 + 𝑥g𝑥'] = 0 𝑎[𝑥(𝒙 − 𝒙𝟏) − 𝑥'(𝒙 − 𝒙𝟏)] = 0 Observe que (𝑥 − 𝑥g) é um fator comum. Portanto, 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐) = 𝟎 Esta é a forma fatorada da equação do segundo grau. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 20 77 De fato, para fatorar qualquer trinômio do segundo grau, ou seja, para fatorar ax2 +bx +c, bastar achar as raízes da equação ax2 +bx +c=0 e substituir na expressão 𝑎(𝑥 − 𝑥g)(𝑥 − 𝑥'). Em suma, temos: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐) em que x1 e x2 são as raízes da equação 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎. Você também pode usar a forma fatorada para “fabricar” equações do segundo grau. Exemplo: Fatorar o polinômio 3x2 – 15x – 72. O primeiro passo é resolver a equação 3x2 – 15x – 72 = 0. Dividindo todos os membros por 3, temos: 𝑥' − 5𝑥 − 24 = 0 O discriminante é Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 = (−5)' − 4 ∙ 1 ∙ (−24) = 121 𝑥 = −𝑏 ± √Δ 2𝑎 = 5 ± 11 2 Assim, x = 8 ou x = -3. 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥g)(𝑥 − 𝑥') 3𝑥' − 15𝑥 − 72 = 3(𝑥 − 8)(𝑥 + 3) Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 21 77 7. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 1. (CESPE 2008/PRF) No ano de 2006, um indivíduo pagou R$ 4.000,00 pelas multas de trânsito recebidas, por ter cometido várias vezes um mesmo tipo de infração de trânsito, e o valor de cada uma dessas multas foi superior a R$ 200,00. Em 2007, o valor da multa pela mesma infração sofreu um reajuste de R$ 40,00, e esse mesmo indivíduo recebeu 3 multas a mais que em 2006, pagando um total de R$ 6.720,00. Nessa situação, em 2006, o valor de cada multa era a) inferior a R$ 750,00. b) superior R$ 750,00 e inferior a R$ 850,00. c) superior a R$ 850,00 e inferior a R$ 950,00. d) superior a R$ 950,00 e inferior a R$ 1.050,00. e) superior a R$ 1.050,00. 2. (CESPE 2007/SEBRAE-AC) Julgue o item seguinte. As raízes da equação 𝑥² − 4𝑥 + 2 = 0 são números racionais. 3. (CESPE 2008/SEAD-SE) As raízes da equação 𝑥² − 4𝑥 + 1 = 0 são números irracionais. 4. (CESPE 2007/SGA-AC) Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 22 77 Se 𝑥g e 𝑥' são as raízes da equação 𝑥² + 𝑥 − 6 = 0, então 𝑥g/𝑥' > 0. 5. (CESGRANRIO 2010/Petrobras) Na tabela abaixo têm-se duas equações quadráticas de incógnitas x, E1 e E2. Se a maior raiz de E1 é igual à menor raiz de E2, a maior raiz de E2 é (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 6. (CETRO 2006/Pref. Municipal de Cruzeiro) Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 a) (1,-1) b) (-7,-1) c) (7,1) d) (-7,1) e) (-1,0) 7. (CETRO 2004/Assistente Administrativo IMBEL) Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 23 77 a) S={-2,2,-3,3} b) conjunto vazio c) S={-2,-3} d) S={2,3} e) S={-2,-3,-1,1} 8. (ESAF/TTN) A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2 + 144 = 0 é igual a a) 0 b) 16 c) 9 d) 49 e) 25 9. (ESAF 2005/AFC-STN) A soma dos valores reais de 𝑥 𝑥' + 𝑥 + 1 = 156 𝑥' + 𝑥 é igual a: a) −6 b) −2 c) −1 d) 6 e) 13 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 24 77 10. (ESAF 2006/TFC) Determinar 𝑎 de modo que a equação 4𝑥' + (𝑎 − 4)𝑥 + 1 − 𝑎 = 0 tenha duas raízes iguais: a) 𝑎 = 0 b) 𝑎 = −8 𝑜𝑢 𝑎 = 0 c) 𝑎 = 8 d) −8 < 𝑎 < 0 e) 𝑎 < 0 𝑜𝑢 𝑎 > 8 11. (FCC 2002/SEA-AP) Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é: a) 42 b) 45 c) 48 d) 50 e) 52 12. (FCC 2004/TRT 2ª Região) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi: Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 25 77 a) 16 b) 18 c) 21 d) 25 e) 27 13. (CETRO 2006/Assistente Administrativo EBDA) O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja igual a 7 é: a) - 7 b) - 2 c) 1 d) - 1 e) 7 14. (CETRO 2006/Assistente Administrativo EBDA) Na equação de segundo grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: a) -2 b) -1 c) 5 d) 7 e) 2 15. (FEPESE 2005/Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região) As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é: a) 2,4 b) 2,1 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 26 77 c) 1,8 d) 1,5 e) 1,2 16. (CEPERJ 2010/SEE) A equação 𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 possui raízes 3 e 5. Então, 𝑏 + 𝑐 é igual a: a) 7 b) 10 c) 15 d) 19 e) 23 17. (FUNCAB 2015/CRF-FO) Considere m e n as raízes da equação x2 – 18x +10 = 0, o valor de m2 + n2 é: a) 304 b) 324 c) 296 d) 390 e) 398 18. (FUNCAB 2015/CRF-FO) Para que a parábola de equação 𝑦 = 𝑘𝑥' + 𝑝𝑥 + 8 tenha 2 e 4 como raízes, os valores de k e p são, respectivamente: a) 6 e 1 b) -1 e -6 c) 1 e -6 d) 1 e 6 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 27 77 e) 6 e -1. 19. (VUNESP 2016/CM de Guaratinguetá) Uma empresa possui uma frota de 48 veículos, que ficam estacionados no pátio, em fileiras, todas com o mesmo número de veículos. Sabendo-se que o número de veículos por fileira é o triplo do número de fileiras, então o número de veículos de uma fileira é (A) 8. (B) 10. (C) 12. (D) 14. (E) 16. 20. (IBFC 2015/Pref. de Petrópolis) Calcule a quantidade algébrica de C. Para isso considere que a raiz da equação x2–7x–2c é –3. Assinale a alternativa correspondente. a) 12. b) 7. c) 15. d) 29. 21. (CONSULPLAN 2015/CM de Caratinga) A equação x2 + bx +c =0 tem 3 e 9 como raízes. Assim, a soma dos coeficientes “b” e “c” dessa equação é igual a Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 28 77 a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 22. (CONSULPLAN 2015/CM de Caratinga) Marcelo leu x páginas por dia de um livro de 392 páginas. Se ele tivesse lido seis páginas a mais por dia, Marcelo teria gasto 21 dias a menos para ler todo o livro. Assim, o valor de x é A) 4. B) 6. C) 8. D)14. 23. (FCC 2016/Pref. de Campinas) Uma campanha de arrecadação de donativos conseguiu R$ 12.000,00, que seriam destinados a atender certo número de entidades sociais, cada uma recebendo a mesma quantia. Na hora de repartir os donativos por entidade, verificou-se que três delas não atendiam às normas exigidas. A eliminação dessas três entidades implicou em acréscimo no valor de R$ 900,00 para cada entidade que efetivamente recebeu a doação. De acordo com os dados, a soma dos algarismos do número que representa, em reais, o valor que cada entidade efetivamente recebeu de doação é igual a (A) 4. (B) 6. (C) 8. (D) 10. (E) 12. 24. (VUNESP 2016/Pref. de Sertãozinho) Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 29 77 Na equação 3x2 + 8x + a = 0, a incógnita é x, e a é um número inteiro. Sabendo-se que o número (– 3) é raiz da equação, a outra raiz dessa equação é a) -7 b) -2/5 c) 1/3 d) 3/4 e) 2 25. (FCC 2017/SABESP) Um grupo de amigos gastou R$ 396,00 em um restaurante. Ao dividirem a conta, decidiram que um deles que fazia aniversário naquele dia não deveria pagar a parte que lhe cabia. Assim, cada um dos outros teve que pagar R$ 3,00 a mais. Se a conta tivesse sido dividida entre todos do grupo, cada um teria pago (A) R$ 32,00. (B) R$ 34,00. (C) R$ 35,00. (D) R$ 33,00. (E) R$ 30,00. 26. (FCC 2017/SABESP) O valor de k para que a equação {| } ~ − 5� 𝑥' + (𝑘 − 10)𝑥 + 1 = 0 tenha duas raízes iguais é a) 7 b) 6 c) 8 d) -6 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 30 77 e) -8 27. (VUNESP 2016/CM de Registro) Em um grupo de n irmãos, 4 são homens. Cada um desses n irmãos comprou para as irmãs um presente de R$ 30,00 e para os irmãos homens, um presente de R$ 25,00. Ninguém comprou presente para si próprio, e o gasto total com esses presentes foi R$ 3.100,00. O número de irmãs desse grupo é um divisor de (A) 12. (B) 15. (C) 18. (D) 21. (E) 24. 28. (CESPE 2017/Pref. de São Luís) Se X1 e X2, em que X1 < X2, são as raízes positivas da equação x4 – 164x2+6.400 = 0, então a diferença X2 – X1 é igual a a) 2 b) 1 c) 36 d) 18 e) 4 29. (IBFC 2017/Polícia Científica– PR) A alternativa que apresenta a equação de 2º grau cujas raízes reais são 5 e (-1) é: a) x2 + 4x + 5 = 0 b) x2 + 4x2 - 5 = 0 c) 2x2 – 2x + 10 = 0 d) 2x2 + 2x – 10 = 0 e) x2 – 4x – 5 = 0 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 31 77 8. GABARITOS 01. B 02. ERRADO 03. CERTO 04. ERRADO 05. A 06. C 07. B 08. A 09. C 10. B 11. B 12. E 13. C 14. D 15. D 16. A 17. A 18. C 19. C 20. C 21. A 22. C 23. B 24. C 25. D 26. B 27. D 28. A 29. E Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 32 77 9. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 1. (CESPE 2008/PRF) No ano de 2006, um indivíduo pagou R$ 4.000,00 pelas multas de trânsito recebidas, por ter cometido várias vezes um mesmo tipo de infração de trânsito, e o valor de cada uma dessas multas foi superior a R$ 200,00. Em 2007, o valor da multa pela mesma infração sofreu um reajuste de R$ 40,00, e esse mesmo indivíduo recebeu 3 multas a mais que em 2006, pagando um total de R$ 6.720,00. Nessa situação, em 2006, o valor de cada multa era a) inferior a R$ 750,00. b) superior R$ 750,00 e inferior a R$ 850,00. c) superior a R$ 850,00 e inferior a R$ 950,00. d) superior a R$ 950,00 e inferior a R$ 1.050,00. e) superior a R$ 1.050,00. Resolução Digamos que o valor de cada multa em 2006 tenha sido de 𝑥 reais e que ele tenha recebido 𝑛 multas. Como o valor total das multas foi de 4 mil reais, então podemos escrever: 𝑛 ∙ 𝑥 = 4.000 Observe que devemos multiplicar o número de multas pelo valor de cada multa para calcular o total. Em 2007, ele recebeu 3 multas a mais. Portanto, ele recebeu 𝑛 + 3 multas. O valor de cada multa aumentou R$ 40,00. Portanto, o valor de cada multa passou a ser de 𝑥 + 40. Devemos multiplicar o número de multas pelo valor de cada multa para calcular o total. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 33 77 (𝑛 + 3) ∙ (𝑥 + 40) = 6.720 Temos um sistema de equações. � 𝑛 ∙ 𝑥 = 4.000 (𝑛 + 3) ∙ (𝑥 + 40) = 6.720 A primeira equação pode ser reescrita como 𝑛 = ~.OOO � . Vamos agora desenvolver a segunda equação. 𝑛 ∙ 𝑥 + 40𝑛 + 3𝑥 + 120 = 6.720 Da primeira equação, sabemos que 𝑛 ∙ 𝑥 = 4.000. Vamos também substituir 𝑛 por 4.000/𝑥. 𝑛 ∙ 𝑥� ~.OOO + 40 𝑛⏟ ~.OOO � + 3𝑥 + 120 = 6.720 4.000 + 40 ∙ 4.000 𝑥 + 3𝑥 + 120 − 6.720 = 0 160.000 𝑥 + 3𝑥 − 2.600 = 0 Vamos multiplicar todos os termos por 𝑥 para eliminar o denominador. 160.000 𝑥 ∙ 𝑥 + 3𝑥 ∙ 𝑥 − 2.600 ∙ 𝑥 = 0 160.000 + 3𝑥' − 2.600𝑥 = 0 Vamos agora organizar os termos para deixar na ordem padrão. 3𝑥' − 2.600𝑥 + 160.000 = 0 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 34 77 Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 3, 𝑏 = −2.600 e 𝑐 = 160.000. Vamos calcular logo o discriminante e a sua raiz. Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 Δ = (−2.600)' − 4 ∙ 3 ∙ 160.000 = 4.840.000 Δ = 484 × 10.000 √Δ = √484 × 10.000 = 22 × 100 = 2.200 Vamos agora calcular as raízes. 𝑥 = −𝑏 ± √Δ 2𝑎 𝑥 = 2.600 ± 2.200 2 ∙ 3 𝑥 = 2.600 ± 2.200 6 𝑥 = 2.600 + 2.200 6 = 800 𝑜𝑢 𝑥 = 2.600 − 2.200 6 ≅ 66,66 Como as multas são superiores a 200 reais, então 𝑥 = 800 O valor de cada multa foi de R$ 800,00. Gabarito: B Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 35 77 2. (CESPE 2007/SEBRAE-AC) Julgue o item seguinte. As raízes da equação 𝑥² − 4𝑥 + 2 = 0 são números racionais. Resolução Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 1, 𝑏 = −4 𝑒 𝑐 = 2. Vamos calcular o discriminante. ∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 = (−4)' − 4 ∙ 1 ∙ 2 = 8 Assim, as raízes são dadas por: 𝑥 = −𝑏 ± √∆ 2𝑎 𝑥 = 4 ± √8 2 Ora, sabemos que 2² = 4 e que 3² = 9. Assim, a raiz quadrada de 8 é um número IRRACIONAL. O item está errado. Gabarito: ERRADO Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 36 77 3. (CESPE 2008/SEAD-SE) As raízes da equação 𝑥² − 4𝑥 + 1 = 0 são números irracionais. Resolução Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 1, 𝑏 = −4 𝑒 𝑐 = 1. Vamos calcular o discriminante. ∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 = (−4)' − 4 ∙ 1 ∙ 1 = 12 Assim, as raízes são dadas por: 𝑥 = −𝑏 ± √∆ 2𝑎 𝑥 = 4 ± √12 2 Ora, sabemos que 3² = 9 e que 4² = 16. Assim, a raiz quadrada de 12 é um número IRRACIONAL. O item está certo. Gabarito: CERTO 4. (CESPE 2007/SGA-AC) Se 𝑥g e 𝑥' são as raízes da equação 𝑥² + 𝑥 − 6 = 0, então 𝑥g/𝑥' > 0. Resolução Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 37 77 Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 1, 𝑏 = 1 𝑒 𝑐 = −6. Vamos calcular o discriminante. ∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 = 1' − 4 ∙ 1 ∙ (−6) = 25 Assim, as raízes são dadas por: 𝑥 = −𝑏 ± √∆ 2𝑎 𝑥 = −1 ± √25 2 = −1 ± 5 2 Assim, concluímos que 𝑥g = 2 e 𝑥' = −3. A divisão de um número positivo por um número negativo dá um número negativo. O item está errado. Gabarito: ERRADO 5. (CESGRANRIO 2010/Petrobras) Na tabela abaixo têm-se duas equações quadráticas de incógnitas x, E1 e E2. Se a maior raiz de E1 é igual à menor raiz de E2, a maior raiz de E2 é (A) 4 (B) 5 (C) 6 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 38 77 (D) 7 (E) 8 Resolução Vamos resolver a equação 𝐸g. Na equação 𝑥² + 2𝑥 − 15 = 0, consideramos que 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 e 𝑐 = −15. 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −2 ± V2² − 4 ∙ 1 ∙ (−15) 2 ∙ 1 𝑥 = −2 ± √64 2 = −2 ± 8 2 𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = −5 O enunciado diz que a maior raiz de E1 é igual à menor raiz de E2. Portanto, a menor raiz de E2 é igual a 3. Vejamos a equação E2: 𝑥² − 𝑏𝑥 + 12 = 0 Sabemos que 3 é uma de suas raízes, portanto: 3² − 𝑏 ∙ 3 + 12 = 0 9 − 3𝑏 + 12 = 0 −3𝑏 = −21 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas- Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 39 77 𝑏 = 7 A equação E2 tomará a seguinte forma: 𝑥² − 7𝑥 + 12 = 0 Neste caso, temos 𝑎 = 1, 𝑏 = −7, 𝑐 = 12. 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = 7 ± V(−7)' − 4 ∙ 1 ∙ 12 2 ∙ 1 𝑥 = 7 ± 1 2 𝑥 = 4 𝑜𝑢 𝑥 = 3 Já sabíamos que 3 era uma das raízes de E2. A maior raiz de E2 é igual a 4. Gabarito: A 6. (CETRO 2006/Pref. Municipal de Cruzeiro) Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 a) (1,-1) b) (-7,-1) c) (7,1) d) (-7,1) e) (-1,0) Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 40 77 Resolução Considere uma equação do 2º grau 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0. As raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐 2𝑎 Na equação dada, temos que a = 1, b = - 8 e c = 7. Logo, 𝑥 = −(−8) ± V(−8)' − 4 ∙ 1 ∙ 7 2 ∙ 1 𝑥 = 8 ± √64 − 28 2 𝑥 = 8 ± 6 2 Assim, x = 7 ou x = 1. Gabarito: C 7. (CETRO 2004/Assistente Administrativo IMBEL) Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0 a) S={-2,2,-3,3} b) conjunto vazio c) S={-2,-3} d) S={2,3} Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 41 77 e) S={-2,-3,-1,1} Resolução A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, x2 = y. Assim, x4 = y2. A equação ficará 𝑦' + 13𝑦 + 36 = 0 Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = 13 e c = 36) devemos utilizar a seguinte fórmula: 𝑦 = −𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑦 = −13 ± √13' − 4 ∙ 1 ∙ 36 2 ∙ 1 𝑦 = −13 ± √169 − 144 2 𝑦 = −13 ± 5 2 Assim, 𝑦 = −13 + 5 2 = −4 ou Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 42 77 𝑦 = −13 − 5 2 = −9 Como x2=y, então x2 = -4 (x não pertence aos reais, pois não há número real que elevado ao quadrado seja igual a -4, porque todo número real elevado ao quadrado é não-negativo) ou x2 = -9 (x não pertence aos reais pelo mesmo motivo). Assim, o conjunto-solução da equação é o conjunto vazio. Gabarito: B 8. (ESAF/TTN) A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2 + 144 = 0 é igual a a) 0 b) 16 c) 9 d) 49 e) 25 Resolução A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, x2 = y. Assim, x4 = y2. A equação ficará 𝑦' − 25𝑦 + 144 = 0 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 43 77 Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = -25 e c = 144) devemos utilizar a seguinte fórmula: 𝑦 = −𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑦 = −(−25) ± V(−25)' − 4 ∙ 1 ∙ 144 2 ∙ 1 𝑦 = 25 ± √625 − 576 2 𝑦 = 25 ± 7 2 Assim, 𝑦 = 25 + 7 2 = 16 ou 𝑦 = 25 − 7 2 = 9 Como x2=y, então x2 = 16 ou x2 = 9. 𝑥' = 16 𝑜𝑢 𝑥' = 9 𝑥 = 4 𝑜𝑢 𝑥 = −4 𝑜𝑢 𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = −3 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 44 77 A soma de todas as raízes da equação é 4 + (−4) + 3 + (−3) = 0. Gabarito: A 9. (ESAF 2005/AFC-STN) A soma dos valores reais de 𝑥 𝑥' + 𝑥 + 1 = 156 𝑥' + 𝑥 é igual a: a) −6 b) −2 c) −1 d) 6 e) 13 Resolução Vamos utilizar um artifício para facilitar os cálculos. Fazendo 𝑥' + 𝑥 = 𝑦, a equação ficará: 𝑦 + 1 = 156 𝑦 𝑦 ∙ (𝑦 + 1) = 156 𝑦' + 𝑦 = 156 𝑦' + 𝑦 − 156 = 0 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 45 77 𝑦 = −𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −1 ± V1' − 4 ∙ 1 ∙ (−156) 2 ∙ 1 = −1 ± √625 2 = −1 ± 25 2 𝑦 = −1 − 25 2 = −13 ou 𝑦 = −1 + 25 2 = 12 i) 𝑦 = −13 𝑥' + 𝑥 = −13 𝑥' + 𝑥 + 13 = 0 𝑥 = −1 ± √1' − 4 ∙ 1 ∙ 13 2 ∙ 1 = −1 ± √−51 2 Como o problema pede para trabalhar com raízes reais, não podemos continuar neste caso, pois a raiz quadrada de −51 não é um número real. ii) 𝑦 = 12 𝑥' + 𝑥 = 12 𝑥' + 𝑥 − 12 = 0 𝑥 = −1 ± V1' − 4 ∙ 1 ∙ (−12) 2 ∙ 1 = −1 ± 7 2 𝑥 = −1 − 7 2 = −4 𝑜𝑢 𝑥 = −1 + 7 2 = 3 A soma dos valores reais de x é igual a −4 + 3 = −1. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 46 77 Gabarito: C 10. (ESAF 2006/TFC) Determinar 𝑎 de modo que a equação 4𝑥' + (𝑎 − 4)𝑥 + 1 − 𝑎 = 0 tenha duas raízes iguais: a) 𝑎 = 0 b) 𝑎 = −8 𝑜𝑢 𝑎 = 0 c) 𝑎 = 8 d) −8 < 𝑎 < 0 e) 𝑎 < 0 𝑜𝑢 𝑎 > 8 Resolução Uma equação do tipo 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tem raízes iguais se e somente se o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 for igual a 0. 4𝑥' + (𝑎 − 4)𝑥 + 1 − 𝑎 = 0 (𝑎 − 4)' − 4 ∙ 4 ∙ (1 − 𝑎) = 0 𝑎' − 8𝑎 + 16 − 16 + 16𝑎 = 0 𝑎' + 8𝑎 = 0 Vamos colocar 𝑎 em evidência. 𝑎 ∙ (𝑎 + 8) = 0 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 47 77 Devemos pensar o seguinte: quando é que multiplicamos dois números e o resultado é igual a 0? Quando qualquer um dos fatores for igual a 0. Portanto, 𝑎 = 0 𝑜𝑢 𝑎 + 8 = 0 Ou seja, 𝑎 = 0 𝑜𝑢 𝑎 = −8. Gabarito: B 11. (FCC 2002/SEA-AP) Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é: f) 42 g) 45 h) 48 i) 50 j) 52 Resolução De acordo com o enunciado, 𝑥' − 4𝑥 = 1.845. 𝑥' − 4𝑥 − 1.845 = 0 Vamos calcular o discriminante: Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 48 77 Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 = (−4)' − 4 ∙ 1 ∙ (−1.845) = 7.396Temos que calcular a raiz quadrada de 7.396. Observe o seguinte fato: 50' = 2.500 60' = 3.600 70' = 4.900 80' = 6.400 90' = 8.100 Como 6.400 < 7.396 < 8.100, então a raiz quadrada de 7.396 é um número que está entre 80 e 90. Como o algarismo das unidades de 7.396 é igual a 6 concluímos que a raiz quadrada só pode ser 84 ou 86 (isto porque 4 x 4 = 16 e 6 x 6 = 36). 84' = 7.056 Deu errado... Só pode ser 86! 86' = 7.396 Voltando à equação: 𝑥' − 4𝑥 − 1.845 = 0 𝑥 = −(−4) ± 86 2 ∙ 1 = 4 ± 86 2 Como x representa o número de soldados, obviamente 𝑥 > 0, portanto, devemos utilizar apenas o + na fórmula. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 49 77 x = 4 + 86 2 = 45 soldados Gabarito: B 12. (FCC 2004/TRT 2ª Região) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi: a) 16 b) 18 c) 21 d) 25 e) 27 Resolução Digamos que há 𝑛 funcionários e que cada um arquivará 𝑝 processos. O total de processos é dado pelo produto do número de funcionários pelo número de processos que cada um arquivará. Desta forma: 𝑛 ∙ 𝑝 = 108 𝑝 = 108 𝑛 No dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 50 77 Ou seja, cada um dos (𝑛 − 2) funcionários arquivará (𝑝 + 9) processos. (𝑛 − 2) ∙ (𝑝 + 9) = 108 𝑛 ∙ 𝑝 + 9𝑛 − 2𝑝 − 18 = 108 Sabemos que 𝑛 ∙ 𝑝 = 108, logo: 108 + 9𝑛 − 2𝑝 − 18 = 108 108 + 9𝑛 − 2𝑝 − 18 − 108 = 0 9𝑛 − 2𝑝 − 18 = 0 Vamos substituir o valor de 𝑝 por gO� � . 9𝑛 − 2 ∙ 108 𝑛 − 18 = 0 9𝑛 − 216 𝑛 − 18 = 0 Vamos multiplicar os dois membros da equação por 𝑛. 9𝑛 ∙ 𝑛 − 216 𝑛 ∙ 𝑛 − 18 ∙ 𝑛 = 0 ∙ 𝑛 9𝑛' − 18𝑛 − 216 = 0 Para simplificar as contas, vamos dividir os dois membros por 9. 𝑛' − 2𝑛 − 24 = 0 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 51 77 𝑛 = −𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −(−2) ± V(−2)' − 4 ∙ 1 ∙ (−24) 2 ∙ 1 = 2 ± 10 2 Como o número de funcionários é positivo, devemos utilizar apenas o +. 𝑛 = 2 + 10 2 = 12 2 = 6 funcionários. 𝑝 = 108 𝑛 = 108 6 = 18 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜 Essa é a situação inicial: 6 funcionários, cada um arquiva 18 processos. Faltaram 2 funcionários, portanto apenas 4 funcionários trabalharam. Cada um deles arquivou 9 processos a mais, portanto, cada um deles arquivou 27 processos. Gabarito: E 13. (CETRO 2006/Assistente Administrativo EBDA) O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja igual a 7 é: a) - 7 b) - 2 c) 1 d) - 1 e) 7 Resolução Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 52 77 Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0 cujas raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐 2𝑎 A soma das raízes dessa equação é dada por 𝑆 = −𝑏 𝑎 e o produto das raízes é dado por 𝑃 = 𝑐 𝑎 Voltemos ao problema. Na equação mx2 – 7x + 10 = 0, temos que a = m, b = - 7 e c = 10. A soma das raízes é igual a 7, logo −𝑏 𝑎 = 7 7 𝑚 = 7 7𝑚 = 7 𝑚 = 1 Gabarito: C 14. (CETRO 2006/Assistente Administrativo EBDA) Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 53 77 Na equação de segundo grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: a) -2 b) -1 c) 5 d) 7 e) 2 Resolução Na questão anterior vimos que na equação 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, a soma das raízes é dada por 𝑆 = −𝑏 𝑎 e o produto das raízes é dado por 𝑃 = 𝑐 𝑎 Na equação dada, temos que a = 5, b = -10 e c = 2m – 4. Como a soma das raízes é igual ao produto das raízes, 𝑆 = 𝑃 −𝑏 𝑎 = 𝑐 𝑎 −𝑏 = 𝑐 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 54 77 −(−10) = 2𝑚 − 4 2𝑚 − 4 = 10 2𝑚 = 14 𝑚 = 7 Gabarito: D 15. (FEPESE 2005/Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região) As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é: a) 2,4 b) 2,1 c) 1,8 d) 1,5 e) 1,2 Resolução Sejam x1 e x2 as raízes da equação dada. Temos que a = 2, b = m e c = 1. O texto nos informa que uma raiz é o dobro da outra. Ou seja, x1 = 2x2. Sabendo os valores de “a” e “c”, temos condições de calcular o produto das raízes. 𝑥g ∙ 𝑥' = 𝑐 𝑎 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 55 77 Como x1 = 2x2, 2 ∙ 𝑥' ∙ 𝑥' = 1 2 𝑥'' = 1 4 Como as raízes são positivas, então 𝑥' = 1 2 Consequentemente 𝑥g = 2 ∙ 𝑥' = 2 ∙ 1 2 = 1 Assim, a soma das raízes será igual a 𝑥g + 𝑥' = 1 + 1 2 = 2 + 1 2 = 3 2 = 1,5 Gabarito: D 16. (CEPERJ 2010/SEE) A equação 𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 possui raízes 3 e 5. Então, 𝑏 + 𝑐 é igual a: a) 7 b) 10 c) 15 d) 19 e) 23 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 56 77 Resolução Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0. A soma das raízes dessa equação é dada por 𝑆 = −𝑏 𝑎 e o produto das raízes é dado por 𝑃 = 𝑐 𝑎 Sabemos que 𝑎 = 1. Como as duas raízes são 3 e 5, então a soma das raízes é 𝑆 = 3 + 5 = 8 e o produto das raízes é 𝑃 = 3 × 5 = 15. 𝑆 = −𝑏 𝑎 ⇔ −𝑏 1 = 8 𝑏 = −8 𝑃 = 𝑐 𝑎 ⇔ 𝑐 1 = 15 𝑐 = 15 𝑏 + 𝑐 = −8 + 15 = 7 Gabarito: A Matemática para BNB (Analista Bancário 1)www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 57 77 17. (FUNCAB 2015/CRF-FO) Considere m e n as raízes da equação x2 – 18x +10 = 0, o valor de m2 + n2 é: a) 304 b) 324 c) 296 d) 390 e) 398 Resolução Vamos calcular a soma e o produto das raízes. Na equação dada, temos que a = 1, b = -18, e c = 10. 𝑚 + 𝑛 = − 𝑏 𝑎 = 18 1 = 18 𝑚𝑛 = 𝑐 𝑎 = 10 1 = 10 Da mesma forma como fizemos na teoria, vamos utilizar o desenvolvimento de (m+n)2 para calcular m2 + n2. (𝑚 + 𝑛)' = 𝑚' + 2𝑚𝑛 + 𝑛' (18)' = 𝑚' + 2 ∙ 10 + 𝑛' 324 = 𝑚' + 20 + 𝑛' 𝑚' + 𝑛' = 304 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 58 77 Gabarito: A 18. (FUNCAB 2015/CRF-FO) Para que a parábola de equação 𝑦 = 𝑘𝑥' + 𝑝𝑥 + 8 tenha 2 e 4 como raízes, os valores de k e p são, respectivamente: a) 6 e 1 b) -1 e -6 c) 1 e -6 d) 1 e 6 e) 6 e -1. Resolução Existe um erro de linguagem nesta questão, pois parábola não tem raiz. O que a questão gostaria de falar no fundo é que 2 e 4 são as raízes da equação 𝑘𝑥' + 𝑝𝑥 + 8 = 0. É fácil notar que a soma das raízes é 2 + 4 = 6 e o produto das raízes é igual a 2 x 4 = 8. Na equação do segundo grau acima, temos que 𝑎 = 𝑘, 𝑏 = 𝑝 𝑒 𝑐 = 8. Como já temos o valor de c, vamos utilizar o produto das raízes. 𝑐 𝑎 = 8 8 𝑘 = 8 𝑘 = 1 Agora vamos utilizar a soma das raízes. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 59 77 − 𝑏 𝑎 = 6 − 𝑝 1 = 6 𝑝 = −6 Gabarito: C 19. (VUNESP 2016/CM de Guaratinguetá) Uma empresa possui uma frota de 48 veículos, que ficam estacionados no pátio, em fileiras, todas com o mesmo número de veículos. Sabendo-se que o número de veículos por fileira é o triplo do número de fileiras, então o número de veículos de uma fileira é (A) 8. (B) 10. (C) 12. (D) 14. (E) 16. Resolução O enunciado afirma que o número de veículos por fileira é o triplo do número de fileiras. Ora, podemos concluir que o número de veículos em cada fileira é um múltiplo de 3. Dentre as alternativas, o único múltiplo de 3 é 12, que é a resposta da questão. Vamos agora resolver de fato a questão. Se são x fileiras, então há 3x carros em cada fileira. O total de carros é igual a 48. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 60 77 (𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠) ∙ (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑙𝑒𝑖𝑟𝑎) = 48 (𝑥) ∙ (3𝑥) = 48 3𝑥' = 48 𝑥' = 16 Assim, x = 4 ou x = -4. Como x é o número de fileiras, então x > 0. Portanto, x = 4. Desta forma, o número de carros por fileira é 3𝑥 = 3 ∙ 4 = 12. Gabarito: C 20. (IBFC 2015/Pref. de Petrópolis) Calcule a quantidade algébrica de C. Para isso considere que a raiz da equação x2–7x–2c é –3. Assinale a alternativa correspondente. a) 12. b) 7. c) 15. d) 29. Resolução Antes de resolver a questão, vale a pena notar que esta questão deveria ser anulada porque não há equação alguma no enunciado. Temos ali um polinômio do segundo grau. Para que fosse uma equação, deveria haver uma igualdade: x2–7x–2c = 0. Já que -3 é raiz da equação, vamos substituir x por -3. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 61 77 (−3)' − 7 ∙ (−3) − 2𝑐 = 0 9 + 21 − 2𝑐 = 0 30 − 2𝑐 = 0 30 = 2𝑐 𝑐 = 15 Gabarito: C 21. (CONSULPLAN 2015/CM de Caratinga) A equação x2 + bx +c =0 tem 3 e 9 como raízes. Assim, a soma dos coeficientes “b” e “c” dessa equação é igual a a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 Resolução A soma das raízes é 3 + 9 = 12. Portanto, temos: − 𝑏 𝑎 = 12 − 𝑏 1 = 12 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 62 77 𝑏 = −12 O produto das raízes é igual a 3 x 9 = 27. 𝑐 𝑎 = 27 𝑐 1 = 27 𝑐 = 27 A soma dos coeficientes é b + c = - 12 + 27 = 15. Poderíamos também ter utilizado a forma fatorada da equação do segundo grau. 𝑎(𝑥 − 𝑥g)(𝑥 − 𝑥') = 0 Temos que a = 1, x1 = 3 e x2 = 9. 1(𝑥 − 3)(𝑥 − 9) = 0 (𝑥 − 3)(𝑥 − 9) = 0 𝑥' − 9𝑥 − 3𝑥 + 27 = 0 𝑥' − 12𝑥 + 27 = 0 Assim, b = -12 e c = 27. Portanto, b + c = -12 + 27 = 15. Gabarito: A Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 63 77 22. (CONSULPLAN 2015/CM de Caratinga) Marcelo leu x páginas por dia de um livro de 392 páginas. Se ele tivesse lido seis páginas a mais por dia, Marcelo teria gasto 21 dias a menos para ler todo o livro. Assim, o valor de x é A) 4. B) 6. C) 8. D)14. Resolução O candidato leu x páginas por dia. Se a quantidade de dias for igual a d, então: 𝑥𝑑 = 392 Se ele tivesse lido seis páginas a mais por dia, Marcelo teria gasto 21 dias a menos para ler todo o livro. Em outras palavras, Marcelo consegue ler as 392 páginas sendo x + 6 páginas por dia em d – 21 dias. (𝑥 + 6)(𝑑 − 21) = 392 𝑥𝑑 − 21𝑥 + 6𝑑 − 126 = 392 Lembre que 𝑥𝑑 = 392, portanto: 392 − 21𝑥 + 6𝑑 − 126 = 392 −21𝑥 + 6𝑑 − 126 = 0 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 64 77 Da primeira equação, temos que d = 392/x. Assim, −21𝑥 + 6 ∙ 392 𝑥 − 126 = 0 Vamos multiplicar todos os termos da equação por x para eliminar o denominador. −21𝑥' + 6 ∙ 392 − 126𝑥 = 0 −21𝑥' + 2352 − 126𝑥 = 0 Para simplificar um pouco, vamos dividir todos os termos por (-3). 7𝑥' − 784 + 42𝑥 = 0 7𝑥' + 42𝑥 − 784 = 0 Temos uma equação do segundo grau em que a = 7, b = 42, c = - 784. O discriminante é Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 = (42)' − 4 ∙ 7 ∙ (−784) = 23.716 Precisamos calcular a raiz quadrada de 23.716. Você pode fatorar este número ou pensar o seguinte: 102 = 100 1002 = 10.000 2002 = 40.000 Assim, a raiz quadrada é um número entre 100 e 200. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 65 77 1502 = 22.500Estamos bem próximos. A raiz quadrada é bem próxima de 150. Como o último algarismo de 23.716 é 6, vamos tentar 154 e 156. 1542 = 23.716. Já conseguimos, não precisamos tentar 1562. Assim, 𝑥 = −𝑏 ± √Δ 2𝑎 = −42 ± 154 14 Como x > 0, temos: 𝑥 = −42 + 154 14 = 8 Gabarito: C 23. (FCC 2016/Pref. de Campinas) Uma campanha de arrecadação de donativos conseguiu R$ 12.000,00, que seriam destinados a atender certo número de entidades sociais, cada uma recebendo a mesma quantia. Na hora de repartir os donativos por entidade, verificou-se que três delas não atendiam às normas exigidas. A eliminação dessas três entidades implicou em acréscimo no valor de R$ 900,00 para cada entidade que efetivamente recebeu a doação. De acordo com os dados, a soma dos algarismos do número que representa, em reais, o valor que cada entidade efetivamente recebeu de doação é igual a (A) 4. (B) 6. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 66 77 (C) 8. (D) 10. (E) 12. Resolução Digamos que n é o número inicial de entidades que receberiam a quantia de 12.000 reais. Assim, a quantidade recebida por cada entidade é 12.000/n. Digamos que a quantia recebida por cada entidade seja de q reais. Assim, 𝑞 = 12.000 𝑛 𝑞𝑛 = 12.000 Entretanto, 3 das n entidades não participaram do rateio e, assim, cada uma das restantes recebeu 900 reais a mais. Desta forma, vamos dividir 12.000 por n – 3 e o resultado será q+900. 𝑞 + 900 = 12.000 𝑛 − 3 (𝑞 + 900)(𝑛 − 3) = 12.000 𝑞𝑛 − 3𝑞 + 900𝑛 − 2.700 = 12.000 12.000 − 3𝑞 + 900𝑛 − 2.700 = 12.000 −3𝑞 + 900𝑛 − 2.700 = 0 Vamos dividir os dois membros da equação por 3. −𝑞 + 300𝑛 − 900 = 0 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 67 77 − 12.000 𝑛 + 300𝑛 − 900 = 0 Vamos agora multiplicar os dois membros da equação por n. −12.000 + 300𝑛' − 900𝑛 = 0 Vamos dividir todos os termos por 300. −40 + 𝑛' − 3𝑛 = 0 𝑛' − 3𝑛 − 40 = 0 O valor do discriminante é Δ = (−3)' − 4 ∙ 1 ∙ (−40) = 169 𝑛 = −𝑏 ± √Δ 2𝑎 = 3 ± √169 2 = 3 ± 13 2 Como n > 0, temos: 𝑛 = 3 + 13 2 = 8 Portanto, 𝑞 = 12.000 𝑛 = 12.000 8 = 1.500 Esta é o valor que seria recebido por cada uma das 8 entidades, Entretanto, 3 entidades foram desqualificadas e cada uma das 5 entidades restantes recebeu 1.500 + 900 = 2.400 reais. A soma dos algarismos de 2.400 é 2 + 4 + 0 + 0 = 6. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 68 77 Gabarito: B 24. (VUNESP 2016/Pref. de Sertãozinho) Na equação 3x2 + 8x + a = 0, a incógnita é x, e a é um número inteiro. Sabendo-se que o número (– 3) é raiz da equação, a outra raiz dessa equação é a) -7 b) -2/5 c) 1/3 d) 3/4 e) 2 Resolução Calcular o valor de “a” é irrelevante nesta questão. Vamos calcular a soma das raízes. 𝑆 = 𝑥g + 𝑥' = − 8 3 Uma das raízes é -3. −3 + 𝑥' = − 8 3 𝑥' = − 8 3 + 3 = −8 + 9 3 = 1 3 A outra raiz é 1/3. Se o problema perguntasse o valor de “a”, deveríamos proceder assim: Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 69 77 Já que (-3) é raiz da equação, então (-3) satisfaz a equação. Como o enunciado afirmou que x é a incógnita, vamos substituir x por -3. Assim, 3 ∙ (−3)' + 8 ∙ (−3) + 𝑎 = 0 27 − 24 + 𝑎 = 0 𝑎 = −3 Gabarito: C 25. (FCC 2017/SABESP) Um grupo de amigos gastou R$ 396,00 em um restaurante. Ao dividirem a conta, decidiram que um deles que fazia aniversário naquele dia não deveria pagar a parte que lhe cabia. Assim, cada um dos outros teve que pagar R$ 3,00 a mais. Se a conta tivesse sido dividida entre todos do grupo, cada um teria pago (A) R$ 32,00. (B) R$ 34,00. (C) R$ 35,00. (D) R$ 33,00. (E) R$ 30,00. Resolução Vamos dividir 396 entre n amigos e cada um pagará x reais. 396 𝑛 = 𝑥 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 70 77 𝑛𝑥 = 396 Vamos agora dividir 396 por n – 1 amigos e cada um pagará x+3. 396 𝑛 − 1 = 𝑥 + 3 (𝑛 − 1)(𝑥 + 3) = 396 𝑛𝑥 + 3𝑛 − 𝑥 − 3 = 𝑛𝑥 3𝑛 − 𝑥 − 3 = 0 Vamos substituir x por 396/n. 3𝑛 − 396 𝑛 − 3 = 0 Vamos agora multiplicar todos os termos por n. 3𝑛' − 396 − 3𝑛 = 0 Vamos dividir todos os termos por 3. 𝑛' − 𝑛 − 132 = 0 O discriminante é Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 = (−1)' − 4 ∙ 1 ∙ (−132) = 529 𝑛 = −𝑏 ± √Δ 2𝑎 = 1 ± √529 2 = 1 ± 23 2 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 71 77 Como n > 0, temos: 𝑛 = 1 + 23 2 = 12 Se a conta tivesse sido dividida entre todos do grupo, cada um teria pago 396/12 = 33 reais. Gabarito: D 26. (FCC 2017/SABESP) O valor de k para que a equação {| } ~ − 5� 𝑥' + (𝑘 − 10)𝑥 + 1 = 0 tenha duas raízes iguais é a) 7 b) 6 c) 8 d) -6 e) -8 Resolução Nesta equação, temos: 𝑎 = 𝑘' 4 − 5 𝑏 = 𝑘 − 10 𝑐 = 1 Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 72 77 Para que a equação tenha duas raízes iguais, o discriminante tem que ser igual a zero. 𝑏' − 4𝑎𝑐 = 0 (𝑘 − 10)' − 4 ∙ i 𝑘' 4 − 5 j ∙ 1 = 0 𝑘' − 20𝑘 + 100 − 𝑘' + 20 = 0 −20𝑘 = −120 𝑘 = 6 Gabarito: B 27. (VUNESP 2016/CM de Registro) Em um grupo de n irmãos, 4 são homens. Cada um desses n irmãos comprou para as irmãs um presente de R$ 30,00 e para os irmãos homens, um presente de R$ 25,00. Ninguém comprou presente para si próprio, e o gasto total com esses presentes foi R$ 3.100,00. O número de irmãs desse grupo é um divisor de (A) 12. (B) 15. (C) 18. (D) 21. (E) 24. Resolução Se das n pessoas temos 4 homens, então n – 4 são mulheres. São n pessoas e ninguém comprou presente para si próprio. Portanto, cada pessoa recebeu n – 1 presentes. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 73 77 Cada um dos 4 homens recebeu n – 1 presentes de 25 reais. O gasto com isso foi de 4 ∙ (𝑛 − 1) ∙ 25 reais. Cada uma das n – 4 mulheres recebeu n – 1 presentes de 30reais. O gasto com isso foi de (𝑛 − 4)(𝑛 − 1) ∙ 30. A quantia total gasta é igual a 3.100 reais. 4 ∙ (𝑛 − 1) ∙ 25 + (𝑛 − 4)(𝑛 − 1) ∙ 30 = 3.100 100𝑛 − 100 + 30 ∙ (𝑛' − 𝑛 − 4𝑛 + 4) = 3.100 100𝑛 − 100 + 30 ∙ (𝑛' − 5𝑛 + 4) = 3.100 100𝑛 − 100 + 30𝑛' − 150𝑛 + 120 = 3.100 30𝑛' − 50𝑛 − 3.080 = 0 Vamos dividir todos os termos por 10. 3𝑛' − 5𝑛 − 308 = 0 Vamos calcular o discriminante: Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 = (−5)' − 4 ∙ 3 ∙ (−308) = 3.721. Observe que: 502 = 2.500 602 = 3.600 702 = 4.900 Assim, a raiz de 3.721 é um número entre 60 e 70. Como o último algarismo é 1, então √3.721 é igual a 61 ou 69. Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 74 77 Como 612 = 3.721, temos: 𝑛 = −𝑏 ± √Δ 2𝑎 = 5 ± √3.721 6 = 5 ± 61 6 Como n > 0, temos: 𝑛 = 5 + 61 6 = 11 Como são 11 pessoas das quais 4 são homens, há 7 mulheres. 7 é divisor de 21. Gabarito: D 28. (CESPE 2017/Pref. de São Luís) diferença X2 – X1 é igual a a) 2 b) 1 c) 36 d) 18 e) 4 Resolução Equações do tipo ax4 + bx2 +c = 0 são chamadas de equações biquadradas. Para resolvê-la, basta fazer x2 = y. Desta forma, temos que x4 = y2. A equação fica: Se X1 e X2, em que X1 < X2, são as raízes positivas da equação x4 – 164x2+6.400 = 0, então a Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 75 77 𝑦' − 164𝑦 + 6.400 = 0 Vamos calcular o discriminante. Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 = (−164)' − 4 ∙ 1 ∙ 6.400 = 1.296 Observe que: 202 = 400 302 = 900 402 = 1.600 Assim, a raiz quadrada de 1.296 é um número entre 30 e 40. Como o último algarismo é 6, então ficamos com 34 ou 36. 342 = 1.156 362 = 1.296 𝑦 = −𝑏 ± √Δ 2𝑎 = 164 ± √1.296 2 = 164 ± 36 2 𝑦 = 100 𝑜𝑢 𝑦 = 64 Como x2 = y, temos: 𝑥' = 100 𝑜𝑢 𝑥' = 64 𝑥 = 10 𝑜𝑢 𝑥 = −10 𝑜𝑢 𝑥 = 8 𝑜𝑢 𝑥 = −8 Queremos apenas as raízes positivas. Portanto, X2 = 10 e X1 = 8. A diferença é igual a 2. Gabarito: A Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 76 77 29. (IBFC 2017/Polícia Científica – PR) A alternativa que apresenta a equação de 2º grau cujas raízes reais são 5 e (-1) é: a) x2 + 4x + 5 = 0 b) x2 + 4x2 - 5 = 0 c) 2x2 – 2x + 10 = 0 d) 2x2 + 2x – 10 = 0 e) x2 – 4x – 5 = 0 Resolução A forma fatorada da equação do segundo grau é 𝑎(𝑥 − 𝑥g)(𝑥 − 𝑥') = 0. As raízes são 5 e (-1). Portanto, 𝑎(𝑥 − 5)(𝑥 + 1) = 0 𝑎(𝑥' + 𝑥 − 5𝑥 − 5) = 0 𝑎(𝑥' − 4𝑥 − 5) = 0 Existem infinitas equações do segundo grau com raízes 5 e -1. Basta que você substitua a por qualquer número diferente de zero na equação acima. Se substituirmos a por 1, temos: 𝑥' − 4𝑥 − 5 = 0 Gabarito: E Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves Aula 01 77 77 10. CONSIDERAÇÕES FINAIS Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no nosso fórum de dúvidas. Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. Um forte abraço e até a próxima aula!!! Guilherme Neves Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com . Guilherme Neves Aula 11 69360 60 Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br
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