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Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com
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1.	 Esfera .............................................................................................................................................................. 2	
2.	 Cilindro ............................................................................................................................................................ 5	
3.	 Cone .............................................................................................................................................................. 18	
4.	 Paralelepípedo reto-retângulo e cubo ........................................................................................................... 21	
5.	 Prismas .......................................................................................................................................................... 26	
6.	 Pirâmides ...................................................................................................................................................... 28	
7.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores .................................................................................................... 32	
8.	 Gabaritos ....................................................................................................................................................... 41	
9.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ....................................................................... 42	
10.	 Considerações Finais ...................................................................................................................................... 71	
 
 
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Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Vamos começar a nossa aula sobre Geometria Espacial? 
 
Vamos lembrar algumas relações importantes entre os sistemas de unidades para volumes. 
1	𝑚$ = 1.000	ℓ 
 
1	𝑑𝑚$ = 1ℓ 
 
1	𝑐𝑚$ = 1	𝑚ℓ 
Agora sim. Sem mais delongas, Geometria Espacial!! 
 
1. ESFERA 
 
A esfera é o sólido geométrico mais fácil de trabalhar. Isto porque tudo que precisamos calcular depende 
apenas do seu raio. 
 
 
 
O raio é simplesmente a distância do centro da esfera até qualquer ponto da sua superfície. 
 
 
 
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Esfera 
Volume 𝑉 =
4
3 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟³ 
Área da Superfície 𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟² 
 
Exemplo: Qual é o volume de uma esfera, sabendo que a área de sua superfície é igual a 100𝜋	𝑚²? 
 
Resolução 
 
Vamos igualar a área da superfície a 100𝜋. 
 
 
4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟² = 100𝜋 
 
Podemos cortar 𝜋. 
 
4 ∙ 𝑟² = 100 
 
𝑟² = 25 
 
𝑟 = 5 
 
Vamos agora aplicar a fórmula do volume. 
 
𝑉 =
4
3 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟³ =
4
3 ∙ 𝜋 ∙ 5³ =
500𝜋
3 𝑚³ 
 
 
 
 
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(CESGRANRIO 2005/Petrobras) 
 Um reservatório esférico com 12 m de diâmetro foi construído com chapas soldadas de aço. A área da 
superfície esférica, em m², é de: 
(A) 144	𝜋 
(B) 216	𝜋 
(C) 288	𝜋 
(D) 432	𝜋 
(E) 576	𝜋 
 
Resolução 
O diâmetro de uma esfera é o dobro do seu raio. Esta definição também serve para circunferências. 
 
𝑑 = 2 ∙ 𝑟 
 
Como o diâmetro é de 12 m, então o raio da esfera é de 6 m. Para calcular a área da superfície esférica, 
basta aplicar a fórmula do resuminho visto anteriormente. 
 
𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟² 
𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 6² = 144𝜋 
Gabarito: A 
 
(FCC 2009/SEFAZ-SP) 
 
bola que caiba inteiramente nessa caixa. A máxima quantidade de bolas iguais a essa que podem ser 
colocadas nessa caixa, de forma que ela possa ser tampada, é 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 9 
(D) 10 
(E) 12 
Resolução 
O diâmetro da bola é limitado pela menor das dimensões da caixa retangular. Portanto, o maior diâmetro 
possível da bola é de 9 cm. Como a altura da caixa é de 20 cm, podemos arrumar duas camadas de bola 
(uma em cima da outra). 
 
Uma caixa retangular tem 46 cm de comprimento, 9 cm de largura e 20 cm de altura. Considere a maior
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Como a caixa tem 46 cm de comprimento, podemos colocar no máximo 5 bolas uma ao lado da outra (pois 
9x5=45). Teremos, portanto, 2 camadas de 5 bolas, totalizando 10 bolas. 
 
Como a altura da caixa é de 20 cm, ficam “sobrando” 2 cm na altura. Como o comprimento é de 46 cm, fica 
“sobrando” 1 cm no comprimento. 
 
Gabarito: D 
 
2. CILINDRO 
 
Chamamos de cilindro reto ou de revolução o cilindro cujas geratrizes são perpendiculares às 
bases. 
 
 
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A distância entre as duas bases é chamada de altura (h). 
 
Quando a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base, o cilindro é chamado de equilátero. 
 
𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜	𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 → ℎ = 2𝑟 
 
A base do cilindro é um círculo. Portanto, a área da base do cilindro é igual a 𝜋𝑟². 
 
A área da superfície lateral do cilindro é igual a 2𝜋𝑟ℎ. 
 
E o volume do cilindro é o produto da área da base pela altura: 𝑉 = 𝜋𝑟² ∙ ℎ. 
 
 
Cilindro Reto 
Área da base 𝐴F = 𝜋𝑟² 
Área da superfície lateral (área lateral) 𝐴G = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ 
Volume 𝑉 = 𝜋𝑟² ∙ ℎ 
Cilindro equilátero 𝒉 = 𝟐𝒓 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(CESGRANRIO 2006/PROMINP) 
 
 
Uma esfera está inscrita em um cilindro equilátero de volume 16𝜋	𝑐𝑚³, como representado na 
figura acima. O volume da esfera, em cm³, vale: 
 
(A) 16𝜋/3 
(B) 32𝜋/3 
(C) 64𝜋/3 
(D) 74𝜋/3 
(E) 92	𝜋/3 
 
 
 
Resolução 
 
O problema informa que o cilindro é equilátero. Concluímos que ℎ = 2𝑟. 
 
O volume do cilindro é 16𝜋	𝑐𝑚³. 
 
𝑉 = 𝜋𝑟² ∙ ℎ 
 
Como ℎ = 2𝑟, então: 
 
𝑉 = 𝜋𝑟² ∙ 2𝑟 
 
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𝑉 = 2𝜋𝑟³ 
 
2𝜋𝑟³ = 16𝜋 
 
Podemos cortar 𝜋. 
2𝑟³ = 16 
 
𝑟³ = 8 
 
𝑟 = 2 
 
Observe que o raio da esfera é igual ao raio do cilindro. 
 
O problema pede o volume da esfera. Basta aplicar a fórmula dada anteriormente. 
 
𝑉 =
4
3 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟³ 
 
𝑉 =
4
3 ∙ 𝜋 ∙ 2³ 
 
 
𝑉 =
4
3 ∙ 𝜋 ∙ 8 
 
𝑉 =
32𝜋
3 
 
Gabarito: B 
 
(CESGRANRIO 2009/PROMINP) 
 
 Um cilindro equilátero feito de cartolina foi recortado e desenrolado, de modo a formar um 
retângulo, como mostra a figuraabaixo. Observe que as bases do cilindro foram retiradas. 
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Se, quando montado, o volume do cilindro é 2.000𝜋	𝑐𝑚³, qual é, em cm², a área aproximada do 
retângulo? 
 
(A) 314 
(B) 628 
(C) 742 
(D) 980 
(E) 1.256 
 
 
 
 
Resolução 
 
Novamente o problema nos informa que o cilindro é equilátero. Portanto, ℎ = 2𝑟. 
 
𝑉 = 𝜋𝑟² ∙ ℎ 
 
Como ℎ = 2𝑟, então: 
 
𝑉 = 𝜋𝑟² ∙ 2𝑟 
 
𝑉 = 2𝜋𝑟³ 
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Como o volume do cilindro é 2.000𝜋	𝑐𝑚³, então: 
 
 
2𝜋𝑟³ = 2.000𝜋 
 
Podemos cortar 𝜋. 
 
2𝑟³ = 2.000 
 
𝑟³ = 1.000 
 
𝑟 = 10 
 
 
O cilindro é equilátero, portanto ℎ = 2𝑟 = 20. 
 
 
Observe que a área do retângulo é justamente a área lateral do cilindro. 
 
Vamos aplicar a fórmula que eu coloquei no resuminho... 
 
 
𝐴G = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ 
 
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𝐴G = 2 ∙ 𝜋 ∙ 10 ∙ 20 
 
𝐴G = 400𝜋 
 
 
O problema pede um valor aproximado para a área lateral. Vamos utilizar a seguinte aproximação: 
𝜋 ≅ 3,14. 
 
𝐴G ≅ 400 ∙ 3,14 
 
𝐴G ≅ 1.256 
 
Gabarito: E 
 
(CESGRANRIO 2009/CITEPE) 
Uma jarra contém 1,2 L de água. Parte da água será despejada em um copo cilíndrico, com 4 cm de 
raio e 8 cm de altura. Considerando 𝜋 = 3, quantos mililitros de água sobrarão dentro dessa jarra? 
(A) 1.184 
(B) 1.084 
(C) 912 
(D) 816 
(E) 784 
 
Resolução 
 
Para resolver este problema, precisamos saber que 1 mililitro é igual a 1 cm³. 
 
Vamos calcular o volume total do cilindro que possui raio igual a 4 cm e altura igual a 8 cm 
(observe que este cilindro também é equilátero, já que ℎ = 2𝑟). 
 
𝑉 = 𝜋 ∙ 4² ∙ 8 
 
𝑉 = 3 ∙ 16 ∙ 8 
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𝑉 = 384	𝑐𝑚³ = 384	𝑚𝑙 
 
Como a jarra possui 1,2	𝑙 = 1.200	𝑚𝑙 de água, então sobrarão: 
 
1.200𝑚𝑙 − 384𝑚𝑙 = 816	𝑚𝑙 
 
Gabarito: D 
 
(CESGRANRIO 2010/PROMINP) 
 
 
 
Acima, estão representados dois copos cilíndricos, A e B, de diâmetros respectivamente iguais a 6 cm e 8 
cm. O copo A contém água até a metade, e o copo B está completamente vazio. Transferindo-se a água 
contida no copo A para o copo B, esta ocupará 37,5% de sua capacidade total. Se o copo B tem 9 cm de 
altura, qual é, em cm, a altura do copo A? 
 
(A) 10 
(B) 12 
(C) 15 
(D) 16 
(E) 18 
 
Resolução 
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O problema forneceu os diâmetros. Lembre-se que diâmetro é o mesmo que duas vezes o raio. 
Portanto, o raio do cilindro A é igual a 3 cm e o raio do cilindro B é igual a 4 cm. 
 
O copo A contém água até a metade, e o copo B está completamente vazio. Transferindo-se a água 
contida no copo A para o copo B, esta ocupará 37,5% de sua capacidade total. 
 
Isto significa que metade do volume do cilindro A é igual a 37,5% do volume do cilindro B. 
 
𝑉Q
2 = 37,5% ∙ 𝑉S 
 
O número 2 que está dividindo o primeiro membro, passa multiplicando o segundo membro. 
 
𝑉T = 2 ∙ 37,5% ∙ 𝑉S 
 
𝑉T = 75% ∙ 𝑉S 
 
𝑉T =
3
4 ∙ 𝑉S 
 
Vamos aplicar a fórmula do volume do cilindro. 
 
𝜋𝑟Q² ∙ ℎQ =
3
4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟S² ∙ ℎS 
 
Sabemos que 𝑟Q = 3, 𝑟S = 4 e ℎS = 9 (o enunciado informou que a altura do cilindro B é de 9 cm). 
Aproveite e corte logo o 𝜋. 
 
𝑟Q² ∙ ℎQ =
3
4 ∙ 𝑟S² ∙ ℎS 
 
3² ∙ ℎQ =
3
4 ∙ 4² ∙ 9 
 
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9 ∙ ℎQ =
3
4 ∙ 16 ∙ 9 
 
Cortando o 9... 
 
ℎQ =
3
4 ∙ 16 
 
 
ℎQ = 12 
 
Gabarito: B 
 
(FCC 2006/TRT 4ª Região) 
 
Uma caixa de água tem o formato de um cilindro circular reto, altura de 5 m e raio da base igual a 
2 m. Se a água em seu interior ocupa 30% de seu volume, o número de litros de água que faltam 
para enchê-lo é 
 
 Dado: 𝜋 = 3,1 
(A) 43,4 
(B) 4.150 
(C) 4.340 
(D) 41.500 
(E))43.400 
 
Resolução 
 
Uma questão que mistura sistema de medidas com volume de sólidos. 
 
Sempre que um problema pedir o volume em litros, devemos trabalhar as medidas lineares em 
DECÍMETROS. Isto porque 1𝑑𝑚³ = 1	𝑙. 
 
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Ou seja, se você transformar todas as medidas para decímetros, o volume calculado já será 
expresso em litros. 
 
Há um cilindro reto com altura 5 metros e raio da base igual a 2 metros. Vamos transformar tais 
unidades para decímetros. 
 
km hm dam m dm cm mm 
 
 
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 a cada passagem. Para 
transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 10 a cada passagem. 
 
ℎ = 5	𝑚 = 50	𝑑𝑚 
 
𝑟 = 2	𝑚 = 20	𝑑𝑚 
 
A base de um cilindro é um círculo. A área de um círculo de raio 𝑟 é igual a 𝜋𝑟U. Pois bem, o 
volume do cilindro é o produto da área da base pela sua altura. Ou seja: 
 
𝑉 = 𝜋𝑟U ∙ ℎ 
 
𝑉 = 3,1 ∙ 20² ∙ 50 
 
𝑉 = 62.000	𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
A água no interior do cilindro ocupa 30% de seu volume. Queremos calcular o número de litros de 
água que faltam para enchê-lo. 
 Para tanto, basta calcular 70% (100% - 30%) do volume do cilindro. 
 
70%	𝑑𝑒	𝑉 =
70
100 ∙ 62.000 = 43.400	𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
Gabarito: E 
 
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(CESGRANRIO 2010/PROMINP) 
 
Um recipiente cilíndrico de 12 cm de raio e 20 cm de altura está cheio de água até a metade. Doze esferas 
maciças são colocadas dentro do recipiente, ficando totalmente imersas e, assim, o nível (altura) da água 
em seu interior passa a ser 13 cm. Qual é, em cm, o diâmetro de cada esfera? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 6 
(D) 8 
(E) 12 
 
Resolução 
 
Há um cilindro de 12 cm de raio e 20 cm de altura com água até a metade. 
 
 
 
Colocamos as 12 esferas na água e a altura do líquido passa a ser 13 cm (subiu 3 cm). 
 
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Isto significa que a soma dos volumes das 12 esferas é igual ao cilindro em azul. 
 
Vamos considerar que o raiode cada esfera seja igual a 𝑅 e que o volume de cada esfera seja igual a 𝑉. 
 
Sabemos que o raio do cilindro é 𝑟 = 12 e a sua altura é ℎ = 3. Portanto: 
 
 
12 ∙ 𝑉 = 𝜋𝑟2 ∙ ℎ 
 
12 ∙
4
3 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅³ = 𝜋 ∙ 12
2 ∙ 3 
 
Vamos cortar o 𝜋. 
16 ∙ 𝑅³ = 144 ∙ 3 
 
16 ∙ 𝑅³ = 432 
 
𝑅³ = 27 
 
𝑅 = 3 
 
Como o raio de cada esfera é igual a 3, então o diâmetro é igual a 6. 
 
Gabarito: C 
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3. CONE 
Vamos mostrar os elementos de um cone numa única figura. 
 
 
Estamos interessados em calcular o seu volume e nas suas áreas. 
 
Como a base é um círculo, então a área da base é 𝜋𝑟². 
A área lateral é dada pela fórmula 𝜋𝑟𝑔, onde 𝑔 é o comprimento da geratriz do cone. 
 
O volume de um cone é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura. Como a base de um cone é um 
círculo (a área de um círculo é 𝐴 = 𝜋𝑟U), então o volume do cone é dado por: 
 
𝑉 =
𝜋𝑟Uℎ
3 
 
 
Cone Reto 
Área da base 𝐴F = 𝜋𝑟² 
Área da superfície lateral (área lateral) 𝐴G = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑔 
Volume 𝑉 =
𝜋𝑟Uℎ
3 
Cone equilátero 𝒈 = 𝟐𝒓 
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(CETRO 2006/SEMAE de Piracicaba) 
Suponha que você possui um funil cônico, cujo raio mede 10 cm e a altura é de 15 cm. Assinale a 
alternativa correta quanto ao volume de líquido, em litros, que esse funil pode conter, no máximo. 
(A) 2,7 
(B) 3,2 
(C) 1,57 
(D) 4,83 
(E) 1,66 
Resolução 
O volume de um cone é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura. Como a base de um cone é um 
círculo (a área de um círculo é 𝐴 = 𝜋𝑟U), então o volume do cone é dado por: 
 
𝑉 =
𝜋𝑟Uℎ
3 
 
Queremos calcular o volume em litros. Sempre que quisermos calcular algum volume em litros é 
interessante colocar todas os comprimentos em decímetros (isto porque 1 dm3 = 1 litro). 
 
Assim, o raio que mede 10 cm, diremos que mede 1 dm (pois 10 cm = 1 dm) e a altura que mede 15 cm 
diremos que mede 1,5 dm. 
 
Dessa forma, o volume é dado por: 
 
𝑉 =
𝜋 ∙ 1U ∙ 1,5
3 
 
Fazendo uma aproximação de 𝜋 ≅ 3,14, 
 
𝑉 =
3,14 ∙ 1U ∙ 1,5
3 ≅ 1,57	𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠. 
 
Gabarito: C 
 
 
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(ESAF 2010/ISS-RJ) 
 Se o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V, então o volume de um cone de mesma 
altura h e diâmetro da base 2d é: 
a) 2V. 
b) 4V. 
c) πV. 
d) 2V2. 
e) V3. 
 
Resolução 
 
O problema pergunta o que acontece com o volume de um cone quando mantemos a altura e dobramos o 
diâmetro da base. Obviamente, se estamos dobrando o diâmetro da base, estamos também dobrando o 
raio da sua base, já que o diâmetro é o dobro do raio. 
 
Vamos então considerar um cone de altura ℎ e raio 𝑟. Seu volume é 𝑉. 
 
𝑉 =
𝜋𝑟Uℎ
3 
 
Queremos calcular o volume de um cone de raio 2𝑟. 
 
𝜋(2𝑟)Uℎ
3 =
𝜋 ∙ 4𝑟² ∙ ℎ
3 = 4 ∙
𝜋𝑟Uℎ
3 = 4𝑉 
 
Gabarito: B 
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 21 
71 
 
4. PARALELEPÍPEDO RETO-RETÂNGULO E CUBO 
 
Estes são outros dois sólidos importantes em matéria de concursos públicos. 
 
 
 
 
 
Na realidade, o cubo é apenas um caso particular do paralelepípedo reto-retângulo. 
 
Basta fazer 𝑎 = 𝑏 = 𝑐. 
 
Pois bem o volume de um paralelepípedo reto-retângulo é o produto das suas três dimensões. 
 
𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 
 
No caso do cubo, o volume fica: 
 
𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 
 
𝑽 = 𝒂³ 
 
As faces do paralelepípedo são retangulares, enquanto as faces do cubo são todas quadradas. 
 
A área total do cubo é a soma das 6 faces quadradas. 
𝐴_ = 6𝑎U 
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 22 
71 
 
Já no paralelepípedo reto-retângulo temos 2 retângulos de lados (𝑎, 𝑏), dois retângulos de lados (𝑎, 𝑐) e 
dois retângulos de lados (𝑏, 𝑐). Portanto, a área total de um paralelepípedo é: 
 
𝐴_ = 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 
 
 
(PROMINP 2009/CESGRANRIO) 
Uma embalagem de suco tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo de base quadrada, com 8 cm 
de aresta. Se a embalagem comporta 1,28 L de suco, qual é, em cm, a altura dessa embalagem? 
(A) 12 
(B) 16 
(C) 20 
(D) 22 
(E) 24 
 
Resolução 
 
 
 
 
Sempre que um problema pedir o volume em litros, devemos trabalhar as medidas lineares em 
DECÍMETROS. Isto porque 1𝑑𝑚³ = 1	𝑙. 
 
Ou seja, se você transformar todas as medidas para decímetros, o volume calculado já será 
expresso em litros. 
 
km hm dam m dm cm mm 
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71 
 
A aresta da base é de 8 cm. 
 
8	𝑐𝑚 = 0,8	𝑑𝑚 
 
Como a base é um quadrado, então temos duas dimensões iguais a 0,8 dm. 
 
𝑎 = 𝑏 = 0,8	𝑑𝑚 
 
Vamos calcular a altura 𝑐, sabendo que o volume é de 1,28 L. 
 
𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 1,28 
 
0,8 ∙ 0,8 ∙ 𝑐 = 1,28 
 
0,64 ∙ 𝑐 = 1,28 
 
𝑐 = 2	𝑑𝑚 = 20	𝑐𝑚 
 
Gabarito: C 
 
(CETRO 2006/Assistente Administrativo) 
A área de uma face de um cubo é 50 cm2. Quanto mede a diagonal de sua face? 
(A) 25 cm 
(B) 20 cm 
(C) 15 cm 
(D) 12 cm 
(E) 10 cm 
Resolução 
Um cubo possui 6 faces quadradas. 
 
A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado. 
 
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 24 
71 
Assim, um quadrado de lado ℓ tem área ℓU. 
 
A diagonal de um quadrado de lado ℓ é ℓ√2. 
 
 
 
Como a área do quadrado é 50 cm2, 
 
ℓU = 50 
 
ℓ = √50 
 
A diagonal é dada por 𝐷 = ℓ√2. 
 
𝐷 = √50 ∙ √2 = √100 = 10	𝑐𝑚 
 
Podemos também calcular a diagonal de um quadrado utilizando o Teorema de Pitágoras: 
 
𝐷U = ℓU + ℓU 
 
𝐷U = 50 + 50 
 
𝐷U = 100 
 
𝐷 = 10 
 
 
Gabarito: E 
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(FCC 2006/TRT 4ª Região) 
 
 Um peso de papel, feito de madeira maciça, tem a forma de um cubo cuja aresta mede 0,8 dm. 
Considerando que a densidade da madeira é 0,93 g/cm3, quantos gramas de madeira foram usados 
na confecção desse peso de papel? 
 
(A) 494,18 
(B))476,16 
(C) 458,18 
(D) 49,418 
(E) 47,616 
 
Resolução 
 
Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro. 
 
Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km). 
 
Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). 
 
km hm dam m dm cm mm 
 
Para transformar as unidadesda esquerda para a direita, multiplicamos por 10 a cada passagem. 
Para transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 10 a cada passagem. 
 
A aresta do cubo é de 0,8 dm. Para transformar esta medida para centímetros, devemos 
multiplicar por 10. 
 
0,8	𝑑𝑚 = 8	𝑐𝑚 
 
Sendo 𝑎 aresta de um cubo, o seu volume é igual a 𝑎³. Portanto, o volume do cubo dado é igual a: 
 
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𝑉 = 𝑎³ = 8³ = 512	𝑐𝑚³ 
 
A densidade de um corpo é a razão entre a massa e o volume do corpo. 
 
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 
 
Portanto: 
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 × 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 = 0,93 × 512 = 476,16	𝑔 
Gabarito: B 
 
5. PRISMAS 
Os prismas são figuras geométricas bem parecidas com os cilindros. A diferença é que a base não 
será uma circunferência. A base poderá ser qualquer polígono. 
Trabalharemos exclusivamente com prismas retos, ou seja, em que as arestas laterais são 
perpendiculares às bases. 
Já estudamos dois casos particulares dos prismas: paralelepípedos e cubos. Vamos agora estudar 
casos gerais. 
 
O prisma será classificado de acordo com a sua base. Por exemplo, se a base for um pentágono, o 
prisma será pentagonal. 
 
Independente do tipo do prisma, o volume será sempre o produto da área da base pela altura. 
 
𝑉 = 𝐴F ∙ ℎ 
É importante relembrar algumas fórmulas importantes de áreas. 
 
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• Área do triângulo retângulo de catetos 𝑎 e 𝑏. 
 
Nesse caso, um cateto é a base e o outro cateto será a altura. Portanto, a área desse triângulo 
retângulo será 
𝐴 =
𝑎𝑏
2 
 
• Área do triângulo equilátero de lado ℓ 
 
𝐴 =
ℓU√3
4 
 
 
Finalmente, é importante também saber a área de um hexágono regular. 
 
Observe que o hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros. Portanto, basta 
multiplicar a área de um triângulo equilátero por 6. 
 
𝐴 = 6 ∙
ℓU√3
4 
 
Seja 2𝑝 o perímetro da base (em geometria normalmente chamamos o perímetro de 2𝑝, pois 𝑝 
será o semiperímetro) e ℎ a altura (aresta lateral) do prisma. 
A área lateral de qualquer prisma será: 
𝐴ℓ = 2𝑝 ∙ ℎ 
 
Observe que as faces laterais dos prismas retos são retangulares. 
 
A área total de um prisma será a soma da área lateral com duas bases. 
 
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𝐴_ = 𝐴ℓ + 2 ∙ 𝐴F 
 
 
• O volume do prisma é 𝑉 = 𝐴F ∙ ℎ. 
• A área lateral é 𝐴ℓ = 2𝑝 ∙ ℎ, em que 2𝑝 é o perímetro da base. 
• A área total é 𝐴_ = 𝐴ℓ + 2 ∙ 𝐴F. 
 
6. PIRÂMIDES 
Substituímos a base do cilindro para formar os prismas. Vamos agora substituir a base do cone 
para formar as pirâmides. 
Em vez de uma circunferência, a base da pirâmide poderá ser qualquer polígono. 
Vamos trabalhar apenas com pirâmides regulares. Uma pirâmide é regular quando a base é um 
polígono regular e a projeção do vértice da pirâmide sobre a base é o centro da base. Observe. 
 
 
O segmento que liga o centro da base a um ponto médio da aresta da base é denominado 
“apótema da base”. Indicaremos por 𝑚 o apótema da base. 
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O segmento que liga o vértice da pirâmide ao ponto médio de uma aresta da base é denominado 
“apótema da pirâmide”. Indicaremos por 𝑚′ o apótema da pirâmide. 
 
 
 
Sendo 𝑚′ o apótema da pirâmide e 𝑝 o semiperímetro da base, a área lateral da pirâmide é dada 
por: 
𝐴ℓ = 𝑝𝑚′ 
 
Como há apenas uma base, a área total é dada por: 
 
𝐴_ = 𝐴F + 𝐴ℓ 
 
O volume da pirâmide é calculado da mesma forma que o volume do cone: 1/3 do produto da área 
da base pela altura. 
𝑉 =
𝐴F ∙ ℎ
3 
 
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Três triângulos retângulo são frequentemente construídos nas pirâmides para relacionar as 
arestas, o apótema e a altura. 
Um dos triângulos é formado pelos apótemas (da pirâmide e da base) e pela altura da pirâmide. 
 
 
Esses segmentos são relacionados pelo teorema de Pitágoras. 
(𝑚g)U = ℎU + 𝑚U 
 
Seja 𝑟 o segmento que liga o centro da base ao vértice da base. Seja 𝑎 a aresta lateral. Esses 
segmentos formam com ℎ outro importante triângulo retângulo. 
 
 
 
Pelo teorema de Pitágoras, 
𝑎U = ℎU + 𝑟U 
 
Finalmente, o apótema da pirâmide (𝑚g), a metade da aresta da base (𝑙/2) e a aresta lateral (𝑎) 
formam outro triângulo retângulo. 
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Pelo teorema de Pitágoras, 
𝑎U = (𝑚g)U + h
𝑙
2i
U
 
 
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7. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
(CESPE 2018/FUB) 
A figura a seguir mostra uma mesa em que o tampo é um hexágono regular cujo lado mede 80 cm. 
 
Julgue os itens que se seguem, a respeito da geometria do tampo dessa mesa. 
1. A distância entre dois lados paralelos do tampo da mesa é superior a 1,3 m. 
2. Se esse tampo tiver espessura de 2 cm, então o seu volume será́ superior a 0,04 m3. 
 
 
3. (FCC 2018/SABESP) 
O volume de um cubo, cuja área da face é 2,25	𝑚U, é igual a 
 
a) 1,985	𝑚$. 
b) 4,365	𝑚$. 
c) 2,815	𝑚$. 
d) 3,375	𝑚$. 
e) 3,025	𝑚$. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. (VUNESP 2018/CM de Dois Córregos) 
Um peso de papel tem a forma de um prisma reto de base retangular, cujas medidas estão 
indicadas, em centímetros, na figura. 
 
Sabendo-se que o volume dessa peça é 48 cm3, o valor de sua altura, representada na figura por 
4x, é 
a) 2 cm. 
b) 4 cm. 
c) 6 cm. 
d) 8 cm. 
e) 10 cm. 
5. (VUNESP 2018/IPSM São José dos Campos) 
Um tanque em formato de prisma reto retangular, cujas dimensões são 3,5 m, 1,2 m e 0,8 m, está 
completamente cheio de água. Durante 3 horas e 15 minutos, há a vazão de 12 litros por minuto 
de água para fora do tanque. Lembre-se de que 1 m3 é equivalente a 1 000 litros. Após esse tempo, 
o número de litros de água que ainda permanecem no tanque é igual a 
a) 980. 
b) 1 020. 
c) 1 460. 
d) 1 580. 
e) 1 610. 
6. (VUNESP 2018/TJ-SP Escrevente Técnico Judiciário) 
Um estabelecimento comercial possui quatro reservatórios de água, sendo três deles de formato 
cúbico, cujas respectivas arestas têm medidas distintas, em metros, e um com a forma de um 
paralelepípedo reto retângulo,conforme ilustrado a seguir. 
 
Sabe-se que, quando totalmente cheios, a média aritmética dos volumes de água dos quatro 
reservatórios é igual a 1,53 m³, e que a média aritmética dos volumes de água dos reservatórios 
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cúbicos, somente, é igual a 1,08 m³. Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura do 
reservatório com a forma de bloco retangular, indicada por h na figura, é igual a 
a) 1,55 m. 
b) 1,45 m. 
c) 1,40 m. 
d) 1,50 m. 
e) 1,35 m. 
7. (VUNESP 2018/Pref. de Barretos) 
Em um laboratório escolar, há alguns recipientes iguais ao representado na figura, em que as 
medidas internas estão indicadas em centímetros. Todos têm a forma de bloco retangular de base 
quadrada, sendo a área da base igual a 400 cm2. Sabe-se que cada recipiente contém, quando 
totalmente cheio, 14 000 cm3 de determinado componente líquido. 
 
Nessas condições, a razão entre as medidas, em centímetros, da aresta da base e da altura desse 
recipiente, indicada por h na figura, será igual a 
a) 3/8 
b) 4/7 
c) 3/5 
d) 2/3 
e) 5/7 
8. (VUNESP 2018/IPSM São José dos Campos) 
O formato interno de um vidro de perfume é de um prisma triangular reto, cuja base é um 
triângulo retângulo com o maior e o menor lados medindo 2,5 e 1,5 centímetros, respectivamente. 
Se esse vidro tem capacidade máxima para 15 mililitros de perfume, então é verdade que sua 
altura interna mede, em centímetros, 
a) 10. 
b) 9,5. 
c) 9. 
d) 8,5. 
e) 8. 
 
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9. (AOCP 2018/PM-TO) 
Considere que um reservatório possui o formato de um cilindro reto, cujo raio da base mede 4 cm 
e a altura mede 10 cm. Considere, também, um balde com o formato de um prisma, cuja base é 
um retângulo com comprimento e largura medindo 2 cm e 1 cm, respectivamente, e cuja altura 
mede 2 cm. 
 
Pretende-se preencher todo o volume desse reservatório com água. Para tal, primeiramente 
preenche-se o volume do balde com água e, em seguida, despeja-se o conteúdo do balde no 
reservatório. Esse processo é repetido até que o reservatório esteja totalmente cheio. Dessa 
forma, a quantidade mínima de vezes que o balde deve ser preenchido com água, para que se 
preencha todo o volume do reservatório com essa mesma água, será igual a (considere o valor de 
π = 3) 
a) 100 baldes. 
b) 120 baldes. 
c) 140 baldes. 
d) 160 baldes. 
e) 180 baldes. 
 
10. (VUNESP 2018/Pref. de Garça) 
A professora Márcia queria ensinar para seus alunos a relação existente entre litros e centímetros 
cúbicos. Para tanto, ela despejou o correspondente a um litro de água em um vasilhame, com 
formato interno de paralelepípedo reto retangular, cuja capacidade era também de um litro, e as 
dimensões da base eram 10 e 20 centímetros. 
 
A altura interna, em centímetros, desse vasilhame era 
a) 12,5. 
b) 10. 
c) 7,5. 
d) 5. 
e) 2,5. 
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11. (FGV 2018/BANESTES) 
Certos tambores para coleta de resíduos não recicláveis são cilindros com 40 cm de diâmetro e 60 
cm de altura. 
 
O volume de um desses recipientes, em litros, é de, aproximadamente: 
a) 75 
b) 90 
c) 120 
d) 150 
e) 180 
12. (AOCP 2018/PM-ES) 
Considere que, sobre uma mesa, estão dispostos dois recipientes para líquidos. O primeiro 
recipiente tem o formato de um cilindro e o segundo recipiente tem o formato de um 
paralelepípedo reto retângulo. O cilindro possui a base circular com raio r e cuja área da base é 
igual a 48 dm 2, além da altura com medida h. O paralelepípedo possui as três dimensões, a, b e c, 
iguais a três números pares consecutivos, tal que a soma dessas três dimensões seja igual a 18 dm. 
Sabendo que o volume do cilindro é igual ao triplo do volume do paralelepípedo, e usando a 
aproximação para 𝜋 = 3, então a razão entre a altura h e o raio r do cilindro, nessa ordem, será 
igual a 
a) 1. 
b) 3. 
c) 9. 
d) 27. 
e) 81. 
13. (AOCP 2018/PM-ES) 
Sobre uma mesa, estão dois recipientes: o primeiro tem um formato de um cubo, tal que cada 
aresta desse cubo mede x cm; o segundo tem o formato de um paralelepípedo reto, cujas 
dimensões são 5 cm, 25 cm e 125 cm. Sabendo que os dois recipientes possuem o mesmo volume, 
então a medida da aresta x do cubo é igual a 
a) 5 cm. 
b) 12 cm. 
c) 25 cm. 
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d) 50 cm. 
e) 125 cm. 
14. (FCC 2017/SABESP) 
Um reservatório cilíndrico de altura h e raio R foi substituído por um novo reservatório também 
cilíndrico de altura h/2 e raio 2R. 
Sendo desprezíveis as espessuras das paredes dos dois reservatórios, é correto afirmar que a 
capacidade do novo reservatório é 
a) quatro vezes maior que a capacidade do reservatório antigo. 
b) igual à capacidade do reservatório antigo. 
c) o dobro da capacidade do reservatório antigo. 
d) oito vezes maior que a capacidade do reservatório antigo. 
e) metade da capacidade do reservatório antigo. 
15. (CESPE 2017/Prefeitura de São Luís) 
Os biscoitos de sal de determinada marca têm a forma de um paralelepípedo retângulo: a base é 
um quadrado de lados medindo 6 cm; a altura mede 0,25 cm. Os biscoitos são acondicionados em 
caixas com capacidade para 5.184 cm3. 
 
Nesse caso, a quantidade de biscoitos que podem ser acondicionados em uma dessas caixas é 
a) superior a 1.500. 
b) inferior a 100. 
c) superior a 100 e inferior a 500. 
d) superior a 500 e inferior a 1.000. 
e) superior a 1.000 e inferior a 1.500. 
16. (IBFC 2017/Polícia Científica-PR) 
Um paralelepípedo retângulo tem as seguintes dimensões: 5 m de comprimento, 6 m de largura 
e 8 m de altura. Nessas condições, a medida da área total e o volume deste paralelepípedo são, 
respectivamente: 
a) 60m² e 138m³ 
b) 236m² e 240m³ 
c) 236m² e 260m³ 
d) 240m² e 260m³ 
e) 280m² e 240m³ 
 
 
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17. (VUNESP 2017/CRBio-01) 
De um reservatório com formato de paralelepípedo reto retângulo, totalmente cheio, foram 
retirados 3 m³ de água. Após a retirada, o nível da água restante no reservatório ficou com altura 
igual a 1 m, conforme mostra a figura. 
 
Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura total do reservatório, indicada por h na 
figura, é, em metros, igual a 
a) 1,8. 
b) 1,75. 
c) 1,7. 
d) 1,65. 
e) 1,6. 
18. (IBFC 2017/Polícia Científica-PR) 
Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base com medida A e aresta lateral com medida H, 
assinale a alternativa que apresenta a equação que identifica a área total desse prisma: 
𝑎)	Á𝑟𝑒𝑎	𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3 ∙ 𝐴 ∙ (2 ∙ 𝐻 + 𝐴√3) 
𝑏)	Á𝑟𝑒𝑎	𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4 ∙ 𝐴 ∙ (2 ∙ 𝐻 + 𝐴√3) 
𝑐)	Á𝑟𝑒𝑎	𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5 ∙ 𝐴 ∙ (4 ∙ 𝐻 + 𝐴√3) 
𝑑)	Á𝑟𝑒𝑎	𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 6 ∙ 𝐴 ∙ (3 ∙ 𝐻 + 𝐴√3) 
𝑒)	Á𝑟𝑒𝑎	𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3 ∙ 𝐴 ∙ (3 ∙ 𝐻 + 𝐴√3) 
 
19. (IDECAN 2017/CBM-DF) 
Uma esfera de quatro metros de diâmetro é introduzida em um cilindrocircular reto de três 
metros de raio da base e seis metros de altura, completamente cheio de água. Após a inserção 
completa da esfera, o volume de água remanescente no cilindro será, em m3: 
(Considere 𝜋 = 3.) 
a) 98 
b) 112 
c) 120 
d) 130 
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71 
20. (IDECAN 2017/CBM-DF) 
A rotação de um triângulo retângulo em torno de seu cateto maior gera um cone de 12π m3 de 
volume. Considerando que a área desse triângulo é 2 m2, seu cateto menor mede, em metros: 
a) 7. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 12. 
21. (VUNESP 2016/MPE-SP) 
Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo reto cuja base interna é um retângulo em que 
um lado é duas vezes maior do que o outro. A cada litro de água despejado nesse recipiente, seu 
nível aumenta em 5 cm. A área, em cm2, da base interna desse recipiente, vale 
a) 200. 
b) 175. 
c) 250. 
d) 150. 
e) 225. 
22. (FGV 2016/IBGE) 
Uma pirâmide regular é construída com um quadrado de 6 m de lado e quatro triângulos iguais ao 
da figura abaixo. 
 
O volume dessa pirâmide em m3 é aproximadamente: 
a) 84; 
b) 90; 
c) 96; 
d) 108; 
e) 144. 
 
 
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71 
23. (FCC 2016/SEDU-ES) 
Um frasco tem a forma de pirâmide quadrangular regular. As faces laterais dessa pirâmide são 
triângulos equiláteros de altura 6 cm, e espessura desprezível. Sendo assim, a capacidade desse 
frasco, em mL, é um valor entre 
a) 70 e 75. 
b) 60 e 65. 
c) 55 e 60. 
d) 65 e 70. 
e) 75 e 80. 
24. (IBFC 2016/MGS) 
Se todas as arestas de uma pirâmide reta de base heptagonal são congruentes e cada uma delas 
mede 3,5 cm, então a soma de todas as arestas dessa pirâmide é, em cm: 
a) 24,5 cm 
b) 28 cm 
c) 42 cm 
d) 49 cm 
 
 
 
 
 
 
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71 
 
8. GABARITOS 
 
01. Certo 
02. Errado 
03. D 
04. D 
05. B 
06. D 
07. B 
08. A 
09. B 
10. D 
11. A 
12. B 
13. C 
14. C 
15. D 
16. B 
17. E 
18. A 
19. D 
20. C 
21. A 
22. D 
23. E 
24. D 
 
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9. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 
 
(CESPE 2018/FUB) 
A figura a seguir mostra uma mesa em que o tampo é um hexágono regular cujo lado mede 80 cm. 
 
Julgue os itens que se seguem, a respeito da geometria do tampo dessa mesa. 
1. A distância entre dois lados paralelos do tampo da mesa é superior a 1,3 m. 
2. Se esse tampo tiver espessura de 2 cm, então o seu volume será́ superior a 0,04 m3. 
 
Resolução 
Item I. 
 
Qualquer hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. Observe: 
 
 
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71 
Assim, a distância entre dois lados paralelos corresponde a duas vezes a altura de um triângulo 
equilátero. 
A altura de um triângulo equilátero de lado ℓ é dada por ℓ√$
U
. Portanto, a distância entre dois lados 
paralelos do hexágono é: 
2 ×
ℓ√3
2 = 
 
= ℓ√3 
 
O lado do hexágono mede 80 cm = 0,8 m. Portanto, 
 
= 0,8√3	𝑚 
 
Usando uma aproximação √3 ≅ 1,73, temos: 
≅ 0,8 × 1,73	𝑐𝑚 = 1,384	𝑚 
 
Esse valor é superior a 1,3 m. O item I está certo. 
 
Item II. 
Para calcular o volume do tampo, devemos multiplicar a área do hexágono pela espessura do 
tampo. 
Vimos que o hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. A área de cada triângulo 
equilátero de lado ℓ é dada por 
ℓU ∙ √3
4 
 
Como o hexágono foi dividido em 6 triângulos equiláteros, então vamos multiplicar a fórmula 
anterior por 6. 
 
Á𝑟𝑒𝑎	𝑑𝑜	ℎ𝑒𝑥á𝑔𝑜𝑛𝑜 = 6 ×
ℓU ∙ √3
4 
 
O lado do hexágono é ℓ = 0,8𝑚. A espessura do tampo é 2 cm = 0,02 m. Portanto, o volume do 
tampo é 
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𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = Á𝑟𝑒𝑎	𝑑𝑜	ℎ𝑒𝑥á𝑔𝑜𝑛𝑜	 × 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 
 
𝑉 = 6 ×
ℓU ∙ √3
4 × 0,02 
 
𝑉 = 6 ×
0,8U ∙ √3
4 × 0,02 
 
𝑉 ≅ 6 ×
0,8U ∙ 1,73
4 × 0,02 
 
𝑉 ≅ 0,033216	𝑚$ 
Esse valor é inferior a 0,04 m3. O item está errado. 
Gabarito: Certo, Errado. 
3. (FCC 2018/SABESP) 
O volume de um cubo, cuja área da face é 2,25	𝑚U, é igual a 
a) 1,985	𝑚$. 
b) 4,365	𝑚$. 
c) 2,815	𝑚$. 
d) 3,375	𝑚$. 
e) 3,025	𝑚$. 
 
Resolução 
 
O cubo possui 6 faces quadradas. Seja 𝑥 o lado do quadrado (aresta do cubo). A área da face é a 
área de um quadrado. 
 
𝑥U = 2,25 
 
𝑥 = 1,5	𝑚 
 
Portanto, o volume é: 
 
𝑉 = 𝑥$ 
 
𝑉 = 1,5$ = 3,375	𝑚$ 
Gabarito: D 
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4. (VUNESP 2018/CM de Dois Córregos) 
Um peso de papel tem a forma de um prisma reto de base retangular, cujas medidas estão 
indicadas, em centímetros, na figura. 
 
Sabendo-se que o volume dessa peça é 48 cm3, o valor de sua altura, representada na figura por 
4x, é 
a) 2 cm. 
b) 4 cm. 
c) 6 cm. 
d) 8 cm. 
e) 10 cm. 
Resolução 
O volume de um prisma reto de base retangular é o produto das três dimensões. 
3 ∙ 𝑥 ∙ 4𝑥 = 48 
 
12𝑥U = 48 
 
𝑥U = 4 
 
𝑥 = 2 
Portanto, o valor de sua altura é: 
4𝑥 = 4 × 2 = 8	𝑐𝑚 
Gabarito: D 
 
5. (VUNESP 2018/IPSM São José dos Campos) 
Um tanque em formato de prisma reto retangular, cujas dimensões são 3,5 m, 1,2 m e 0,8 m, está 
completamente cheio de água. Durante 3 horas e 15 minutos, há a vazão de 12 litros por minuto 
de água para fora do tanque. Lembre-se de que 1 m3 é equivalente a 1 000 litros. Após esse tempo, 
o número de litros de água que ainda permanecem no tanque é igual a 
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a) 980. 
b) 1 020. 
c) 1 460. 
d) 1 580. 
e) 1 610. 
Resolução 
Para calcular o volume do tanque, basta multiplicar as três dimensões. 
3,5 × 1,2 × 0,8 = 3,36	𝑚$ 
 
Como 1	𝑚$ = 1.000	ℓ, então: 
3,36	𝑚$ = 3,36	 × 1.000	ℓ = 3.360	ℓ 
Vamos converter o tempo de vazão para minutos. 
3ℎ	15	𝑚𝑖𝑛 = (3 × 60 + 15)𝑚𝑖𝑛 = 195	𝑚𝑖𝑛 
 
A vazão é de 12 litros por minuto. Como são 195 minutos de vazão, então o volume escoado é de: 
195 × 12ℓ = 2.340	ℓ 
 
Assim, o volume que restou no tanque é: 
3.360	ℓ − 2.340	ℓ = 1.020	ℓ 
 
Gabarito: B 
6. (VUNESP 2018/TJ-SP Escrevente Técnico Judiciário) 
Um estabelecimento comercial possui quatro reservatórios de água, sendo três deles de formato 
cúbico, cujas respectivas arestas têm medidas distintas, em metros, e um com a forma de um 
paralelepípedoreto retângulo, conforme ilustrado a seguir. 
 
Sabe-se que, quando totalmente cheios, a média aritmética dos volumes de água dos quatro 
reservatórios é igual a 1,53 m³, e que a média aritmética dos volumes de água dos reservatórios 
cúbicos, somente, é igual a 1,08 m³. Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura do 
reservatório com a forma de bloco retangular, indicada por h na figura, é igual a 
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a) 1,55 m. 
b) 1,45 m. 
c) 1,40 m. 
d) 1,50 m. 
e) 1,35 m. 
Resolução 
Sejam 𝑉m, 𝑉U	e 𝑉$ os volumes dos reservatórios cúbicos e 𝑉 o volume do quarto reservatório, que 
está representado na figura acima. 
A média dos 4 volumes é 1,53	𝑚$. 
𝑉m + 𝑉U + 𝑉$ + 𝑉
4 = 1,53 
 
𝑉m + 𝑉U + 𝑉$ + 𝑉 = 4 × 1,53 
 
𝑉m + 𝑉U + 𝑉$ + 𝑉 = 6,12 
 
A soma dos volumes dos 4 reservatórios é 6,12	𝑚$. 
A média aritmética dos volumes de água dos reservatórios cúbicos, somente, é igual a 1,08 m³. 
𝑉m + 𝑉U + 𝑉$
3 = 1,08 
 
𝑉m + 𝑉U + 𝑉$ = 3 × 1,08 
 
𝑉m + 𝑉U + 𝑉$ = 3,24 
 
Vamos substituir esse resultado na primeira equação obtida. 
𝑉m + 𝑉U + 𝑉$nooopoooq
$,Ur
+ 𝑉 = 6,12 
 
3,24 + 𝑉 = 6,12 
 
𝑉 = 2,88	𝑚$ 
 
O volume do paralelepípedo reto retângulo é o produto das suas três dimensões. 
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1,6 ∙ 1,2 ∙ ℎ = 2,88 
 
1,92 ∙ ℎ = 2,88 
 
ℎ =
288
192 = 1,5	𝑚 
Gabarito: D 
 
7. (VUNESP 2018/Pref. de Barretos) 
Em um laboratório escolar, há alguns recipientes iguais ao representado na figura, em que as 
medidas internas estão indicadas em centímetros. Todos têm a forma de bloco retangular de base 
quadrada, sendo a área da base igual a 400 cm2. Sabe-se que cada recipiente contém, quando 
totalmente cheio, 14 000 cm3 de determinado componente líquido. 
 
Nessas condições, a razão entre as medidas, em centímetros, da aresta da base e da altura desse 
recipiente, indicada por h na figura, será igual a 
a) 3/8 
b) 4/7 
c) 3/5 
d) 2/3 
e) 5/7 
Resolução 
A área da base 𝑥U. 
𝑥U = 400 
𝑥 = 20 
O volume é o produto das três dimensões. 
𝑥 ∙ 𝑥 ∙ ℎ = 14.000 
 
𝑥U ∙ ℎ = 14.000 
 
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400 ∙ ℎ = 14.000 
 
ℎ = 35 
A razão entre as medidas, em centímetros, da aresta da base e da altura desse recipiente, indicada 
por h na figura, será igual a 
20
35 =
4
7 
Gabarito: B 
 
8. (VUNESP 2018/IPSM São José dos Campos) 
O formato interno de um vidro de perfume é de um prisma triangular reto, cuja base é um 
triângulo retângulo com o maior e o menor lados medindo 2,5 e 1,5 centímetros, respectivamente. 
Se esse vidro tem capacidade máxima para 15 mililitros de perfume, então é verdade que sua 
altura interna mede, em centímetros, 
a) 10. 
b) 9,5. 
c) 9. 
d) 8,5. 
e) 8. 
Resolução 
Temos um prisma em que a base é um triângulo retângulo. O maior lado de um triângulo retângulo 
é a hipotenusa, que é o lado oposto ao ângulo reto. 
 
Para calcular o terceiro lado do triângulo retângulo, vamos aplicar o teorema do finado Pitágoras. 
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 50 
71 
(1,5)U + 𝑥U = 2,5U 
 
2,25 + 𝑥U = 6,25 
 
𝑥U = 4 
𝑥 = 2 
 
Assim, podemos calcular a área da base, que é a área do triângulo retângulo. 
A área de um triângulo retângulo é a metade do produto dos catetos. Basta pensar que um cateto 
é a base e o outro cateto será a altura (pois eles formam um ângulo de 90o). 
Á𝑟𝑒𝑎	𝑑𝑎	𝑏𝑎𝑠𝑒 =
1,5 × 2
2 = 1,5	𝑐𝑚
U 
 
O volume do prisma é o produto da área da base pela altura ℎ. 
Antes de montar a equação, precisamos relacionar as unidades de volume. 
Sabemos ainda que 1𝑚$ = 1.000	ℓ. 
1𝑚$ = 1.000	ℓ 
(100	𝑐𝑚)$ = 1.000ℓ 
1.000.000	𝑐𝑚$ = 1.000ℓ 
1.000	𝑐𝑚$ = 1ℓ 
1	𝑐𝑚$ =
1ℓ
1.000 
1	𝑐𝑚$ = 1	𝑚ℓ 
Portanto, 
15	𝑚ℓ = 15	𝑐𝑚$ 
 
Agora podemos montar a equação. 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 15	𝑐𝑚$ 
 
sÁ𝑟𝑒𝑎	𝑑𝑎	𝑏𝑎𝑠𝑒t × (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) = 15 
 
1,5 ∙ ℎ = 15 
 
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 51 
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ℎ = 10	𝑐𝑚 
Gabarito: A 
 
9. (AOCP 2018/PM-TO) 
Considere que um reservatório possui o formato de um cilindro reto, cujo raio da base mede 4 cm 
e a altura mede 10 cm. Considere, também, um balde com o formato de um prisma, cuja base é 
um retângulo com comprimento e largura medindo 2 cm e 1 cm, respectivamente, e cuja altura 
mede 2 cm. 
 
Pretende-se preencher todo o volume desse reservatório com água. Para tal, primeiramente 
preenche-se o volume do balde com água e, em seguida, despeja-se o conteúdo do balde no 
reservatório. Esse processo é repetido até que o reservatório esteja totalmente cheio. Dessa 
forma, a quantidade mínima de vezes que o balde deve ser preenchido com água, para que se 
preencha todo o volume do reservatório com essa mesma água, será igual a (considere o valor de 
π = 3) 
a) 100 baldes. 
b) 120 baldes. 
c) 140 baldes. 
d) 160 baldes. 
e) 180 baldes. 
Resolução 
Vamos calcular o volume total do reservatório cilíndrico. O volume de um cilindro é o produto da 
área da base (área do círculo) pela altura. 
𝑉uvGvwxyz = 𝜋𝑟U ∙ ℎ 
 
𝑉uvGvwxyz = 3 ∙ 4U ∙ 10 = 480	𝑐𝑚$ 
 
Vamos agora calcular o volume do balde, que é um paralelepípedo reto retângulo. 
 
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 52 
71 
𝑉STGx{ = 2 × 1 × 2 = 4	𝑐𝑚$ 
 
Para calcular a quantidade de baldes para encher 480	𝑐𝑚$, devemos dividir 480 por 4. 
480
4 = 120	𝑏𝑎𝑙𝑑𝑒𝑠 
Gabarito: B 
 
10. (VUNESP 2018/Pref. de Garça) 
A professora Márcia queria ensinar para seus alunos a relação existente entre litros e centímetros 
cúbicos. Para tanto, ela despejou o correspondente a um litro de água em um vasilhame, com 
formato interno de paralelepípedo reto retangular, cuja capacidade era também de um litro, e as 
dimensões da base eram 10 e 20 centímetros. 
 
A altura interna, em centímetros, desse vasilhame era 
a) 12,5. 
b) 10. 
c) 7,5. 
d) 5. 
e) 2,5. 
Resolução 
É importante saber as principais relações entre os dois sistemas de unidades de medidas para 
volumes. 
1	𝑚$ = 1.000	ℓ 
 
1	𝑑𝑚$ = 1	ℓ 
 
1	𝑐𝑚$ = 1	𝑚ℓ 
 
Como 1ℓ = 1.000	𝑚ℓ, então 1	ℓ = 1.000	𝑐𝑚$. 
 
Como as dimensões do vasilhame estão dadas em centímetros e o volume dele é igual a 1 litros, 
então vamos converter utilizar a conversão 1	ℓ = 1.000	𝑐𝑚$. 
O volume do vasilhame é o produto das três dimensões. As dimensões da base são 10 cm e 20 cm. 
Sendo ℎ a altura, temos: 
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 53 
71 
10 ∙ 20 ∙ ℎ = 1.000200ℎ = 1.000 
 
ℎ = 5	𝑐𝑚 
Gabarito: D 
11. (FGV 2018/BANESTES) 
Certos tambores para coleta de resíduos não recicláveis são cilindros com 40 cm de diâmetro e 60 
cm de altura. 
 
O volume de um desses recipientes, em litros, é de, aproximadamente: 
a) 75 
b) 90 
c) 120 
d) 150 
e) 180 
Resolução 
Lembre-se que: 
1	𝑐𝑚$ = 1	𝑚ℓ 
 
O volume de um cilindro é o produto da área da base (área de um círculo) pela altura. Como o 
diâmetro é 40 cm, então o raio da base é 20 cm. 
 
𝑉 = 𝜋𝑟U ∙ ℎ 
 
𝑉 ≅ 3,14 ∙ 20U ∙ 60 
 
𝑉 ≅ 75.360	𝑐𝑚$ 
 
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71 
𝑉 ≅ 75.360	𝑚ℓ ≅ 75	ℓ 
 
Gabarito: A 
 
12. (AOCP 2018/PM-ES) 
Considere que, sobre uma mesa, estão dispostos dois recipientes para líquidos. O primeiro 
recipiente tem o formato de um cilindro e o segundo recipiente tem o formato de um 
paralelepípedo reto retângulo. O cilindro possui a base circular com raio r e cuja área da base é 
igual a 48 dm 2, além da altura com medida h. O paralelepípedo possui as três dimensões, a, b e c, 
iguais a três números pares consecutivos, tal que a soma dessas três dimensões seja igual a 18 dm. 
Sabendo que o volume do cilindro é igual ao triplo do volume do paralelepípedo, e usando a 
aproximação para 𝜋 = 3, então a razão entre a altura h e o raio r do cilindro, nessa ordem, será 
igual a 
a) 1. 
b) 3. 
c) 9. 
d) 27. 
e) 81. 
Resolução 
As dimensões do paralelepípedo são 3 números pares consecutivos. 
Assim, se o menor dos números for 𝑥, os próximos serão 𝑥 + 2 e 𝑥 + 4. A soma das 3 dimensões é 
igual a 18. 
𝑥 + (𝑥 + 2) + (𝑥 + 4) = 18 
 
3𝑥 = 12 
 
𝑥 = 4 
 
Assim, as dimensões do paralelepípedo são: 
𝑥 = 4	𝑑𝑚 
 
𝑥 + 2 = 6	𝑑𝑚 
 
𝑥 + 4 = 8	𝑑𝑚 
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O volume do paralelepípedo é o produto das 3 dimensões. 
𝑉|TyTG{G{|í|{xz = 4 × 6 × 8 = 192	𝑑𝑚$ 
 
O volume do cilindro é o triplo do volume do paralelepípedo. 
𝑉~vGvwxyz = 3 × 𝑉|TyTG{G{|í|{xz 
 
𝑉~vGvwxyz = 3 × 192 = 576	𝑑𝑚$ 
 
O volume do cilindro é o produto da área da base pela altura. 
(á𝑟𝑒𝑎	𝑑𝑎	𝑏𝑎𝑠𝑒) × ℎ = 576 
 
48 × ℎ = 576 
 
ℎ = 12 
 
Vamos agora calcular o raio da base. Sabemos que a área da base é 48. A base do cilindro é um 
círculo. 
𝜋𝑟U = 48 
 
3𝑟U = 48 
 
𝑟U = 16 
 
𝑟 = 4 
 
Queremos calcular a razão ℎ/𝑟. 
 
ℎ
𝑟 =
12
4 = 3 
Gabarito: B 
 
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71 
13. (AOCP 2018/PM-ES) 
Sobre uma mesa, estão dois recipientes: o primeiro tem um formato de um cubo, tal que cada 
aresta desse cubo mede x cm; o segundo tem o formato de um paralelepípedo reto, cujas 
dimensões são 5 cm, 25 cm e 125 cm. Sabendo que os dois recipientes possuem o mesmo volume, 
então a medida da aresta x do cubo é igual a 
a) 5 cm. 
b) 12 cm. 
c) 25 cm. 
d) 50 cm. 
e) 125 cm. 
Resolução 
O volume de um cubo de aresta 𝑥 é 𝑥$. 
Para calcular o volume do paralelepípedo basta multiplicar as três dimensões. 
O paralelepípedo e o cubo possuem o mesmo volume. 
𝑉u�Fz = 𝑉|TyTG{G{|í|{xz 
 
𝑥$ = 5 ∙ 25 ∙ 125 
 
𝑥$ = 125 ∙ 125 
 
𝑥$ = 5$ ∙ 5$ 
 
𝑥 = 5 ∙ 5 = 25 
Gabarito: C 
 
14. (FCC 2017/SABESP) 
Um reservatório cilíndrico de altura h e raio R foi substituído por um novo reservatório também 
cilíndrico de altura h/2 e raio 2R. 
Sendo desprezíveis as espessuras das paredes dos dois reservatórios, é correto afirmar que a 
capacidade do novo reservatório é 
a) quatro vezes maior que a capacidade do reservatório antigo. 
b) igual à capacidade do reservatório antigo. 
c) o dobro da capacidade do reservatório antigo. 
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d) oito vezes maior que a capacidade do reservatório antigo. 
e) metade da capacidade do reservatório antigo. 
Resolução 
Vamos calcular o volume do primeiro cilindro. 
𝑉m = 𝜋𝑅U ∙ ℎ 
 
Para calcular o volume do novo cilindro devemos substituir R por 2R e h por h/2. 
𝑉U = 𝜋(2𝑅)U ∙
ℎ
2 
 
𝑉U = 𝜋 ∙ 4𝑅U ∙
ℎ
2 
 
𝑉U = 2𝜋𝑅Uℎ 
 
Para comparar os volumes, basta dividir um pelo outro. 
𝑉U
𝑉m
=
2𝜋𝑅Uℎ
𝜋𝑅U ∙ ℎ 
 
𝑉U
𝑉m
= 2 
 
𝑉U = 2 ∙ 𝑉m 
O volume do novo cilindro é o dobro do cilindro original. 
Gabarito: C 
 
15. (CESPE 2017/Prefeitura de São Luís) 
Os biscoitos de sal de determinada marca têm a forma de um paralelepípedo retângulo: a base é 
um quadrado de lados medindo 6 cm; a altura mede 0,25 cm. Os biscoitos são acondicionados em 
caixas com capacidade para 5.184 cm3. 
 
Nesse caso, a quantidade de biscoitos que podem ser acondicionados em uma dessas caixas é 
a) superior a 1.500. 
b) inferior a 100. 
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c) superior a 100 e inferior a 500. 
d) superior a 500 e inferior a 1.000. 
e) superior a 1.000 e inferior a 1.500. 
Resolução 
Vamos calcular o volume de cada biscoito. 
𝑉Fv�uzv�z = 6 × 6 × 0,25 = 9	𝑐𝑚$ 
 
O volume total da caixa é 5.184 𝑐𝑚$. Para saber quantos biscoitos cabem na caixa, basta dividir o 
volume total pelo volume de cada biscoito. 
5.184
9 = 576	𝑏𝑖𝑠𝑐𝑜𝑖𝑡𝑜𝑠 
Gabarito: D 
 
16. (IBFC 2017/Polícia Científica-PR) 
Um paralelepípedo retângulo tem as seguintes dimensões: 5 m de comprimento, 6 m de largura 
e 8 m de altura. Nessas condições, a medida da área total e o volume deste paralelepípedo são, 
respectivamente: 
a) 60m² e 138m³ 
b) 236m² e 240m³ 
c) 236m² e 260m³ 
d) 240m² e 260m³ 
e) 280m² e 240m³ 
Resolução 
As dimensões do paralelepípedo são 𝑎 = 5, 𝑏 = 6, 𝑐 = 8. 
O volume é dado pelo produto das três dimensões. 
 
𝑉 = 5 × 6 × 8 = 240	𝑚$	 
O paralelepípedo é formado por 2 retângulos de dimensões (𝑎, 𝑏), 2 retângulos de dimensões 
(𝑎, 𝑐) e 2 retângulos de dimensões (𝑏, 𝑐). A área total é: 
𝐴 = 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 
 
𝐴 = 2 ∙ 5 ∙ 6 + 2 ∙ 5 ∙ 8 + 2 ∙ 6 ∙ 8 
 
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𝐴 = 60 + 80 + 96 
 
𝐴 = 236	𝑚U 
 
Gabarito: B 
 
17. (VUNESP 2017/CRBio-01) 
De um reservatório com formato de paralelepípedo reto retângulo, totalmente cheio, foram 
retirados 3 m³ de água. Após a retirada, o nível da água restante no reservatório ficou com altura 
igual a 1 m, conforme mostra a figura. 
 
Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura total do reservatório, indicada por h na 
figura, é, em metros, igual a 
a) 1,8. 
b) 1,75. 
c) 1,7. 
d) 1,65. 
e) 1,6. 
Resolução 
O volume de água retirada corresponde justamente à parte vazia. A altura do paralelepípedo que 
corresponde à parte vazia tem altura ℎ − 1. As outras dimensões do paralelepípedo vazio são 
2,5	𝑒	2. 
Assim, o volume da parte vazia, que mede 3 𝑚$, é o produto entre ℎ − 1, 2,5	𝑒	2. 
 
(ℎ − 1) ∙ 2,5 ∙ 2 = 3 
 
(ℎ −1) ∙ 5 = 3 
 
ℎ − 1 =
3
5 
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ℎ − 1 = 0,6 
 
ℎ = 1,6 
 
Gabarito: E 
 
18. (IBFC 2017/Polícia Científica-PR) 
Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base com medida A e aresta lateral com medida H, 
assinale a alternativa que apresenta a equação que identifica a área total desse prisma: 
𝑎)	Á𝑟𝑒𝑎	𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3 ∙ 𝐴 ∙ (2 ∙ 𝐻 + 𝐴√3) 
𝑏)	Á𝑟𝑒𝑎	𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4 ∙ 𝐴 ∙ (2 ∙ 𝐻 + 𝐴√3) 
𝑐)	Á𝑟𝑒𝑎	𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5 ∙ 𝐴 ∙ (4 ∙ 𝐻 + 𝐴√3) 
𝑑)	Á𝑟𝑒𝑎	𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 6 ∙ 𝐴 ∙ (3 ∙ 𝐻 + 𝐴√3) 
𝑒)	Á𝑟𝑒𝑎	𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3 ∙ 𝐴 ∙ (3 ∙ 𝐻 + 𝐴√3) 
Resolução 
A área lateral de um prisma reto é igual ao perímetro da base multiplicado pela aresta lateral. 
A base é um hexágono regular de lado A. Assim, o perímetro da base é 6A. Portanto, a área lateral 
do prisma é: 
 
𝐴ℓ = (𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜	𝑑𝑎	𝑏𝑎𝑠𝑒) × (𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎	𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙) 
 
𝐴ℓ = 6𝐴 ∙ ℎ 
O prisma possui duas bases. Cada base é um hexágono regular. Observe o hexágono regular. 
 
Perceba que a área de um hexágono regular corresponde a 6 vezes a área de um triângulo 
equilátero. 
Sendo 𝐴 a medida do lado do triângulo equilátero (e do hexágono), a área do hexágono será dada 
por: 
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𝐴�{�á�zwz = 6 × 𝐴�yvâw��Gz 
 
𝐴�{�á�zwz = 6 ×
𝐴U ∙ √3
4 
 
Assim, a área total do prisma é igual a área lateral mais duas vezes a área do hexágono. 
𝐴�z�TG = 𝐴ℓ + 2 ∙ 𝐴�{�á�zwz 
 
𝐴�z�TG = 6𝐴 ∙ ℎ + 2 ∙ 6 ×
𝐴U ∙ √3
4 
 
𝐴�z�TG = 6𝐴ℎ + 3𝐴U√3 
 
Colocando 3𝐴 em evidência, temos: 
 
𝐴�z�TG = 3𝐴(2ℎ + 𝐴√3) 
 
Gabarito: A 
19. (IDECAN 2017/CBM-DF) 
Uma esfera de quatro metros de diâmetro é introduzida em um cilindro circular reto de três 
metros de raio da base e seis metros de altura, completamente cheio de água. Após a inserção 
completa da esfera, o volume de água remanescente no cilindro será, em m3: 
(Considere 𝜋 = 3.) 
a) 98 
b) 112 
c) 120 
d) 130 
Resolução 
O diâmetro da esfera é 4 metros. Portanto, o raio da esfera é 2m. 
Vamos calcular o volume da esfera. 
𝑉{��{yT =
4
3 ∙ 𝜋𝑟
$ 
 
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𝑉{��{yT =
4
3 ∙ 3 ∙ 2
$ = 32𝑚$ 
 
Vamos agora calcular o volume do cilindro. 
𝑉~vGvwxyz = 𝜋𝑅U ∙ ℎ 
 
𝑉uvGvwxyz = 3 ∙ 3U ∙ 6 
 
𝑉uvGvwxyz = 162	𝑚$ 
 
O cilindro está cheio de água. A esfera é introduzida. A água transbordará. O volume de água 
transbordada corresponde ao volume da esfera. 
Portanto, o volume de água remanescente é: 
𝑉á��T = 𝑉uvGvwxyz − 𝑉{��{yT 
 
𝑉á��T = 162 − 32 = 130	𝑚$ 
Gabarito: D 
20. (IDECAN 2017/CBM-DF) 
A rotação de um triângulo retângulo em torno de seu cateto maior gera um cone de 12π m3 de 
volume. Considerando que a área desse triângulo é 2 m2, seu cateto menor mede, em metros: 
a) 7. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 12. 
Resolução 
Vamos considerar um triângulo retângulo de catetos 𝑎, 𝑏 com 𝑏 > 𝑎. 
 
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A área desse triângulo é 2	𝑚U. 
A área do triângulo é metade do produto da base pela altura. 
𝑎𝑏
2 = 2	 
 
𝑎𝑏 = 4 
Vamos girar esse triângulo em torno do maior cateto b para gerar o cone. 
 
Observe que 𝑏 é a altura do cone e 𝑎 é o raio da base. Portanto, o volume do cone é: 
𝑉uzw{ =
1
3 ∙ 𝜋𝑟
U ∙ ℎ 
 
12𝜋 =
1
3 ∙ 𝜋𝑎
U ∙ 𝑏 
 
36 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 
 
Sabemos que 𝑎𝑏 = 4. Portanto, 
36 = 𝑎 ∙ 4 
𝑎 = 9 
O cateto menor mede 9 m. 
Gabarito: C 
21. (VUNESP 2016/MPE-SP) 
Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo reto cuja base interna é um retângulo em que 
um lado é duas vezes maior do que o outro. A cada litro de água despejado nesse recipiente, seu 
nível aumenta em 5 cm. A área, em cm2, da base interna desse recipiente, vale 
a) 200. 
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b) 175. 
c) 250. 
d) 150. 
e) 225. 
Resolução 
Lembre-se que 1	ℓ = 1.000	𝑚ℓ = 1.000	𝑐𝑚$. 
Seja 𝐴F a área da base do paralelepípedo. Se a altura é 5 cm, então o volume é 1	ℓ = 1.000	𝑐𝑚$. 
 
𝐴F ∙ ℎ = 1.000 
 
𝐴F ∙ 5 = 1.000 
 
𝐴F = 200	𝑐𝑚U	 
 
A área da base mede 200 𝑐𝑚U. 
Gabarito: A 
22. (FGV 2016/IBGE) 
Uma pirâmide regular é construída com um quadrado de 6 m de lado e quatro triângulos iguais ao 
da figura abaixo. 
 
O volume dessa pirâmide em m3 é aproximadamente: 
a) 84; 
b) 90; 
c) 96; 
d) 108; 
e) 144. 
Resolução 
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A diagonal de um quadrado de lado ℓ mede ℓ√2. 
A base da pirâmide é um quadrado de lado 6. A diagonal do quadrado é 6√2. 
Assim, a distância do centro do quadrado até um de seus vértices é 3√2 (metade da diagonal). 
Observe a pirâmide. 
 
Podemos calcular a altura da pirâmide pelo teorema de Pitágoras. 
ℎU + s3√2t
U
= 10U 
ℎU + 18 = 100 
ℎU = 82 
ℎ ≈ 9 
A área da base é a área de um quadrado de lado 6. Portanto, a área da base é 𝐴F = 62 = 36. 
O volume da pirâmide é dado por: 
𝑉 =
𝐴F ⋅ ℎ
3 
𝑉 ≈
36 ⋅ 9
3 
𝑉 ≈ 108 
Gabarito: D 
 
 
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23. (FCC 2016/SEDU-ES) 
Um frasco tem a forma de pirâmide quadrangular regular. As faces laterais dessa pirâmide são 
triângulos equiláteros de altura 6 cm, e espessura desprezível. Sendo assim, a capacidade desse 
frasco, em mL, é um valor entre 
a) 70 e 75. 
b) 60 e 65. 
c) 55 e 60. 
d) 65 e 70. 
e) 75 e 80. 
Resolução 
As faces laterais são triângulos equiláteros de altura 6	𝑐𝑚. 
Se o lado do triângulo equilátero é ℓ, então a altura é dada por ℓ√$
U
. Portanto, 
ℓ√3
2 = 6 
 
ℓ√3 = 12 
 
ℓ =
12
√3
 
 
Vamos racionalizar o denominador. Para tanto, vamos multiplicar numerador e denominador por 
√3. 
ℓ =
12
√3
∙
√3
√3
 
 
ℓ =
12 ∙ √3
3 
 
ℓ = 4√3 
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O lado do triângulo equilátero (que é a face lateral) corresponde à aresta da base, que é um 
quadrado. 
 
 
 
A altura do triângulo equilátero mede 6 cm. 
 
Precisamos calcular a altura da pirâmide para calcular seu volume. 
 
Observe que podemos ligar o pé da altura ao ponto médio da aresta lateral para formar um 
triângulo retângulo. 
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Vamos aplicar o teorema do finado Pitágoras no triângulo vermelho para calcular a altura da 
pirâmide. 
 
ℎU + s2√3t
U
= 6U 
 
ℎU + 4 × 3 = 36 
 
ℎU = 24 
 
ℎU = 4 × 6 
 
ℎ = 2√6 
 
Agora podemos calcular o volume da pirâmide, que é 1/3 do produto da área da base pela altura 
da pirâmide. 
𝑉 =
1
3 ∙
(á𝑟𝑒𝑎	𝑑𝑎	𝑏𝑎𝑠𝑒) ∙ (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 
 
𝑉 =
1
3 ∙ s4√3t
U
∙ 2√6 
 
𝑉 =
1
3 ∙ 16 ∙ 3 ∙ 2√6 
 
𝑉 = 32√6 
 
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Como as medidas estão em 𝑐𝑚, então o volume está em 𝑐𝑚$. Lembre-se que 1	𝑐𝑚$ = 1𝑚𝐿. 
Portanto, 
𝑉 = 32√6	𝑚𝐿 
 
Queremos um valor aproximado. Observe que √4 = 2	𝑒	√9 = 3. Vamos testar √6 = 2,5. 
 
2,5U = 6,25 
Vamos testar 2,4. 
2,4U = 5,76 
 
Portanto, 2,45 deverá ser uma ótima aproximação. O volume fica: 
𝑉 = 32 × 2,45 = 78,4	𝑐𝑚$ 
Gabarito: E 
 
24. (IBFC 2016/MGS) 
Se todas as arestas de uma pirâmide reta de base heptagonal são congruentes e cada uma delas 
mede 3,5 cm, então a soma de todas as arestas dessa pirâmide é, em cm: 
a) 24,5 cm 
b) 28 cm 
c) 42 cm 
d) 49 cm 
Resolução 
A base da pirâmide é um heptágono. Há, portanto, 7 arestas na base. 
Teremos mais 7 arestas ligando os vértices da base ao vértice da pirâmide. 
São 7 + 7 = 14 arestas no total. 
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Como todas as arestas têm a mesma medida, então a soma das 14 arestas é igual a: 
14 × 3,5 = 49	𝑐𝑚 
Gabarito: D 
 
 
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Raciocínio Lógico e Matemática p/ BRB (Cargos Nível Superior) Com Videoaulas - Pós-Edital
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Prof. Guilherme Neves 
Aula 10 
 
 
 
 
 
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10. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
Matemática para TJ/PR
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Guilherme Neves
Aula 14
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