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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE PÓLO UNIVERSITÁRIO DE VOLTA REDONDA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Estatística II CAROLINA CONDÉ MARQUES ORIENTADORA: ELIANE DA SILVA CHRISTO Volta Redonda 2010 2 ÍNDICE Capítulo 1 Inferência Estatística .................................................................................. 2 Capítulo 2 Distribuição de Amostragem da Média .................................................... 3 Capítulo 3 Estimador ou Estatística ............................................................................ 6 Capítulo 4 Estimação Pontual ...................................................................................... 6 Capítulo 5 Estimação Intervalar .................................................................................. 7 Intervalo de Confiança para Média quando a Variância é conhecida, IC para Média quando a Variância é desconhecida, IC para Proporção Populacional, Determinação do tamanho necessário da Amostra para estimar a Média, Determinação do tamanho necessário da Amostra para estimar a Proporção, IC para Variância Populacional, IC para Diferença de duas Médias, IC para Diferença de duas Proporções, Exercícios Capítulo 6 Teste de Hipótese .......................................................................................22 Teste da Média Populacional para Variância conhecida, Teste da Média Populacional para Variância desconhecida, Teste da Proporção Populacional, Teste da Igualdade de Variâncias, Teste da Variância (usando Distribuição Quiquadrado), Teste da Diferença entre duas Médias usando Distribuição Normal Padronizada e usando Distribuição t de Student, Exercícios Capítulo 7 Teste Quiquadrado ....................................................................................37 Teste de Aderência, Teste de Independência, Teste de Homogeneidade, Exercícios Capítulo 8 Análise de Variância – ANOVA ...............................................................46 Estimativa dos Tratamentos entre a Variância da População, Estimativa dos Tratamentos dentro da Variância da População, Comparando Estimativas da Variância, Tabela ANOVA, Exercícios Capítulo 9 Regressão Linear .......................................................................................51 Método dos Mínimos Quadrados, Coeficiente de Determinação, Coeficiente de Correlação, Exercícios Apêndices........................................................................................................................58 Tabela da Distribuição Normal-Padrão, Tabela da Distribuição t, Tabela da Distribuição Quiquadrado, Tabela da Distribuição F Bibliografia ....................................................................................................................66 3 Capítulo 1 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Aprendendo o desconhecido a partir do conhecido A Estatística Inferencial compreende as técnicas por meio das quais são tomadas decisões sobre uma população, decisões baseadas unicamente na observação de uma amostra. Devido ao fato de que tais decisões são tomadas em condições de incerteza, requer-se, na estatística inferencial, o uso de conceitos de probabilidade. - Parâmetros da população: medidas características da população - Estatísticas da amostra: medidas características de uma amostra Em estudos anteriores foram apresentados vários modelos probabilísticos utilizados em problemas reais como a distribuição normal, binomial por exemplo. Estes modelos probabilísticos dependem de grandezas que foram consideradas conhecidas, os parâmetros. No modelo normal os parâmetros são a média e a variância enquanto no modelo binomial o parâmetro é a probabilidade de sucesso. Nos problemas reais estes parâmetros devem ser determinados antes da construção do modelo. Como os parâmetros muitas vezes não são observáveis (por exemplo, se a população for muito grande exigindo um trabalho exaustivo e de custo elevado, ou se os ensaios forem destrutivos) as informações sobre os mesmos podem ser obtidas através de valores das variáveis em questão, uma vez que estes são observáveis. Cada um dos valores possíveis de uma variável é denominado observação da mesma, estatística. Portanto, a solução é tentar obter os parâmetros a partir de uma amostra de n (n < N) observações das variáveis. Pode-se assim, obter possíveis valores do parâmetro e verificar hipóteses se os mesmos são verdadeiros ou não. Ao contrário da população, as observações são variáveis aleatórias e variam de amostra para outra. Assim, pode-se falar de população das médias amostrais ou distribuição das médias amostrais. Resumo Inferência estatística: tirar conclusões a respeito da população, baseando-se em uma amostra da mesma. 4 Capítulo 2 - DISTRIBUIÇÃO DE AMOSTRAGEM DA MÉDIA Parâmetro (medida que descreve certa característica dos elementos da população) Simbologia Fórmula para o cálculo Média 1 2 1 ... 1 nn i i X X X X X N N Variância 2 2 1 1 ( ) N i i X N Desvio-padrão 2 1 1 ( ) N i i X N Tabela 2.1 – Distribuição de Amostragem da Média (Parâmetro) Estatística (medida que descreve certa característica dos elementos da amostra) Simbologia Fórmula para o cálculo Média X 1 2 1 ... 1 nn i i X X X X n n Variância 2S 2 1 1 ( ) 1 n i i X X n Desvio-padrão S 2 1 1 ( ) 1 n i i X X n Tabela 2.2 - Distribuição de Amostragem da Média (Estatística) A distribuição de amostragem da média é a distribuição de probabilidade para os possíveis valores da média da amostra X baseados em um particular tamanho da amostra. Para qualquer tamanho dado n de amostra tomada de uma população com média , o valor da amostra X irá variar de amostra para amostra. A distribuição de amostragem da média é descrita através da determinação do valor esperado E( X ), ou média da distribuição e através do desvio padrão da distribuição das médias , usualmente chamado de erro padrão da média. Em geral, o valor esperado e o erro padrão da média são descritos como: E( X ) = ; x = √� 5 Exemplo: Suponha que a média de uma população bastante grande seja = 50,0 e o desvio padrão = 12,0. Determinamos a distribuição de amostragem das médias das amostras de tamanho n = 36, em termos de valor esperado da seguinte forma: E( X ) = = 50,0 x = √� = ��,� √�� = ��,� � = 2,0 Observações: 1) Ao fazer amostras de uma população finita (amostragem sem reposição), deve-se incluir um fator de correção finita na fórmula do erro padrão da média: x = √� � ��� ��� 2) Se o desvio padrão da população for desconhecido, o erro padrão da média pode ser estimado, usando-se o desvio padrão da amostra como um estimador do desvio padrão da população: sx = � √� A fórmula para o erro padrão estimado da média quando se inclui o fator de correção finita é: sx = � √� � ��� ��� O erro padrão da média fornece a base principal para a inferência estatística no que diz respeito a uma população com média desconhecida. Um teorema em estatística que conduz o uso do erro padrão da média é o seguinte: Teorema do Limite Central: À medida que se aumenta o tamanho da amostra, a distribuição de amostragem da média se aproxima da forma da distribuição normal, qualquer que seja a forma da distribuição da população. Na prática, a distribuição de amostragem da média pode ser considerada como aproximadamente normal sempre que o tamanho da amostra for n ≥ 30. Kazmier, Leonard J. (2004). Estatística aplicada à Economia e Administração. p. 127 6 Seja X uma população de média a variância