Apostila Estatística II

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
PÓLO UNIVERSITÁRIO DE VOLTA REDONDA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística II 
 
 
 
CAROLINA CONDÉ MARQUES 
ORIENTADORA: ELIANE DA SILVA CHRISTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volta Redonda 
2010 
 
2 
 
ÍNDICE 
Capítulo 1 Inferência Estatística .................................................................................. 2 
Capítulo 2 Distribuição de Amostragem da Média .................................................... 3 
Capítulo 3 Estimador ou Estatística ............................................................................ 6 
Capítulo 4 Estimação Pontual ...................................................................................... 6 
Capítulo 5 Estimação Intervalar .................................................................................. 7 
Intervalo de Confiança para Média quando a Variância é conhecida, IC para Média 
quando a Variância é desconhecida, IC para Proporção Populacional, Determinação do 
tamanho necessário da Amostra para estimar a Média, Determinação do tamanho 
necessário da Amostra para estimar a Proporção, IC para Variância Populacional, IC 
para Diferença de duas Médias, IC para Diferença de duas Proporções, Exercícios 
Capítulo 6 Teste de Hipótese .......................................................................................22 
Teste da Média Populacional para Variância conhecida, Teste da Média Populacional 
para Variância desconhecida, Teste da Proporção Populacional, Teste da Igualdade de 
Variâncias, Teste da Variância (usando Distribuição Quiquadrado), Teste da Diferença 
entre duas Médias usando Distribuição Normal Padronizada e usando Distribuição t de 
Student, Exercícios 
Capítulo 7 Teste Quiquadrado ....................................................................................37 
Teste de Aderência, Teste de Independência, Teste de Homogeneidade, Exercícios 
Capítulo 8 Análise de Variância – ANOVA ...............................................................46 
Estimativa dos Tratamentos entre a Variância da População, Estimativa dos 
Tratamentos dentro da Variância da População, Comparando Estimativas da Variância, 
Tabela ANOVA, Exercícios 
Capítulo 9 Regressão Linear .......................................................................................51 
Método dos Mínimos Quadrados, Coeficiente de Determinação, Coeficiente de 
Correlação, Exercícios 
Apêndices........................................................................................................................58 
Tabela da Distribuição Normal-Padrão, Tabela da Distribuição t, Tabela da Distribuição 
Quiquadrado, Tabela da Distribuição F 
Bibliografia ....................................................................................................................66 
 
 
 
3 
 
Capítulo 1 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 
Aprendendo o desconhecido a partir do conhecido 
A Estatística Inferencial compreende as técnicas por meio das quais são tomadas 
decisões sobre uma população, decisões baseadas unicamente na observação de uma 
amostra. Devido ao fato de que tais decisões são tomadas em condições de incerteza, 
requer-se, na estatística inferencial, o uso de conceitos de probabilidade. 
- Parâmetros da população: medidas características da população 
- Estatísticas da amostra: medidas características de uma amostra 
Em estudos anteriores foram apresentados vários modelos probabilísticos utilizados em 
problemas reais como a distribuição normal, binomial por exemplo. 
Estes modelos probabilísticos dependem de grandezas que foram consideradas 
conhecidas, os parâmetros. No modelo normal os parâmetros são a média e a variância 
enquanto no modelo binomial o parâmetro é a probabilidade de sucesso. 
Nos problemas reais estes parâmetros devem ser determinados antes da construção do 
modelo. Como os parâmetros muitas vezes não são observáveis (por exemplo, se a 
população for muito grande exigindo um trabalho exaustivo e de custo elevado, ou se os 
ensaios forem destrutivos) as informações sobre os mesmos podem ser obtidas através 
de valores das variáveis em questão, uma vez que estes são observáveis. 
Cada um dos valores possíveis de uma variável é denominado observação da mesma, 
estatística. 
Portanto, a solução é tentar obter os parâmetros a partir de uma amostra de n (n < N) 
observações das variáveis. Pode-se assim, obter possíveis valores do parâmetro e 
verificar hipóteses se os mesmos são verdadeiros ou não. Ao contrário da população, as 
observações são variáveis aleatórias e variam de amostra para outra. Assim, pode-se 
falar de população das médias amostrais ou distribuição das médias amostrais. 
Resumo 
Inferência estatística: tirar conclusões a respeito da população, baseando-se em uma 
amostra da mesma. 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Capítulo 2 - DISTRIBUIÇÃO DE AMOSTRAGEM DA MÉDIA 
Parâmetro 
(medida que descreve certa 
característica dos elementos 
da população) 
 
Simbologia 
 
Fórmula para o cálculo 
 
Média 
 
 1 2
1
... 1 nn
i
i
X X X
X X
N N 
  
   
 
Variância 
 
2 
2
1
1
( )
N
i
i
X
N


 
 
Desvio-padrão 
 
 2
1
1
( )
N
i
i
X
N


 
 Tabela 2.1 – Distribuição de Amostragem da Média (Parâmetro) 
 
Estatística 
(medida que descreve certa 
característica dos elementos 
da amostra) 
 
Simbologia 
 
Fórmula para o cálculo 
 
Média 
 
X 
1 2
1
... 1 nn
i
i
X X X
X
n n 
  
  
 
Variância 
 
2S 
2
1
1
( )
1
n
i
i
X X
n 


 
 
Desvio-padrão 
 
S 2
1
1
( )
1
n
i
i
X X
n 


 
 Tabela 2.2 - Distribuição de Amostragem da Média (Estatística) 
 
A distribuição de amostragem da média é a distribuição de probabilidade para os 
possíveis valores da média da amostra X baseados em um particular tamanho da 
amostra. 
Para qualquer tamanho dado n de amostra tomada de uma população com média  , o 
valor da amostra X irá variar de amostra para amostra. 
A distribuição de amostragem da média é descrita através da determinação do valor 
esperado E( X ), ou média da distribuição e através do desvio padrão da distribuição das 
médias  , usualmente chamado de erro padrão da média. Em geral, o valor esperado e 
o erro padrão da média são descritos como: 
E( X ) =  ;  x = 

√�
 
 
5 
 
Exemplo: Suponha que a média de uma população bastante grande seja  = 50,0 e o 
desvio padrão  = 12,0. Determinamos a distribuição de amostragem das médias das 
amostras de tamanho n = 36, em termos de valor esperado da seguinte forma: 
E( X ) =  = 50,0 
 x = 

√�
 = 
��,�
√��
 = 
��,�
�
 = 2,0 
 
Observações: 
1) Ao fazer amostras de uma população finita (amostragem sem reposição), deve-se 
incluir um fator de correção finita na fórmula do erro padrão da média: 

x = 

√�
�
���
���
 
2) Se o desvio padrão da população for desconhecido, o erro padrão da média pode 
ser estimado, usando-se o desvio padrão da amostra como um estimador do 
desvio padrão da população: 
sx = 
�
√�
 
A fórmula para o erro padrão estimado da média quando se inclui o fator de 
correção finita é: 
sx = 
�
√�
�
���
���
 
O erro padrão da média fornece a base principal para a inferência estatística no que diz 
respeito a uma população com média desconhecida. Um teorema em estatística que 
conduz o uso do erro padrão da média é o seguinte: 
 
Teorema do Limite Central: À medida que se aumenta o tamanho da amostra, a 
distribuição de amostragem da média se aproxima da forma da distribuição normal, 
qualquer que seja a forma da distribuição da população. Na prática, a distribuição de 
amostragem da média pode ser considerada como aproximadamente normal sempre que 
o tamanho da amostra for n ≥ 30. 
Kazmier, Leonard J. (2004). Estatística aplicada à Economia e Administração. p. 127 
 
 
 
6 
 
Seja X uma população de média  a variância