AD1_PreCalculoEng_2021_1_gabarito

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – GABARITO – PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA – 2021/1
Questão 1 [2,0 pontos]
Considere a expressão algébrica abaixo.
E =
y
x2 − y2
+
x
|x− y|
Agora, observe atentamente a tentativa de desenvolvimento da expressão:
=
y
x2
− y
y2
+
x
|x− y|
=
=
y
x2
− y
y2
+
x
x− y
=
=
y
x2
− y
y2
+
1
1− y
.
a. [1,0] Encontre os erros cometidos no desenvolvimento, justificando, e explique o que deveria
ter sido feito (ou seja, desenvolva usando passos matematicamente corretos).
b. [1,0] Se x = 1, obtenha algum valor de y tal que E = 1, justificando sua resposta.
Solução:
a. Um erro encontra-se na primeira linha, ao considerarmos
y
x2 − y2
=
y
x2
− y
y2
.
Isto não pode ser feito, pois não se separa frações por somas ou diferenças no denominador.
O segundo erro ocorre em
x
|x− y|
=
x
x− y
,
ao se desconsiderar o módulo. Isto só seria permitido se tivéssemos certeza de que x− y ≥ 0.
Um terceiro erro aparece na terceira linha, onde cancelamos x na fração:
x
x− y
=
1
1− y
.
Isto é totalmente errado, pois podeŕıamos cancelar apenas se a diferença estivesse no numera-
dor, não no denominador.
Um desenvolvimento aceitável segue abaixo:
E =
y
x2 − y2
+
x
|x− y|
=
PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA AD1 2
1. Caso 1: x ≥ y, e portanto |x− y| = x− y.
A expressão ficaria (aproveitando já para fatorar x2 − y2)
E =
y
(x− y)(x+ y)
+
x
x− y
=
E =
y
(x− y)(x+ y)
+
x(x+ y)
(x− y)(x+ y)
=
(consideramos o mmc entre os denominadores)
E =
y + x2 + xy
(x− y)(x+ y)
=
E =
y + x2 + xy
x2 − y2
.
2. Caso 2: x < y, e assim |x− y| = −(x− y).
E =
y
(x− y)(x+ y)
− x
x− y
.
Os passos seriam os mesmos do caso 1, e ficaŕıamos com
E =
y − x2 − xy
(x2 − y2
.
b. Se x = 1, temos
E =
y
1− y2
+
1
|1− y|
= 1.
Por causa do módulo, precisaremos separar em dois casos:
1. Caso 1: 1− y ≥ 0, ou ainda, y ≤ 1, o que nos dá |1− y| = 1− y.
y
(1− y)(1 + y)
+
1
1− y
= 1,
y
(1− y)(1 + y)
+
(1 + y)
1− y2
= 1,
e assim, depois de uniformizar os denominadores, multiplicamos a equação por 1 − y2,
obtendo
y + 1 + y = 1− y2,
e portanto a equação
y2 + 2y = 0,
cujas soluções são 0 e −2. Como ambos são menores do que 1, satisfazem o que foi
requisitado.
Funda̧ao CECIERJ Consórcio CEDERJ
PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA AD1 3
2. Caso 2: 1− y < 0, ou ainda, y > 1, o que nos dá |1− y| = −(1− y).
A equação fica
y
(1− y)(1 + y)
− 1
1− y
= 1,
e seguindo os mesmos passos do caso 1, obtemos
y − (1 + y) = 1− y2,
ou seja, y2 = 2. As soluções desta equação são
√
2 e −
√
2. Apenas a primeira,
√
2, é
aceitável, pelo que foi requisitado no caso 2 (y > 1).
Obtemos assim três soluções, 0, −2 e
√
2.
Questão 2 [3,0 pontos] Considere a expressão E(x) =
3− 5x
|1− 4x| − |x|
. Faça o que se pede:
a. Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
b. Encontre os valores de x tais que E(x) > 0.
c. Encontre os valores de x tais que E(x) < 0.
Sugestão: Faça a tabela do estudo do sinal da expressão E(x).
Solução: Dada a expressão |1−4x|−|x|, sabemos que |1−4x| =

1− 4x, se 1− 4x > 0
0, se 1− 4x = 0
−(1− 4x), se 1− 4x < 0
⇒ |1− 4x| =

1− 4x, se x < 1
4
0, se x = 1
4
−1 + 4x, se x > 1
4
e |x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
Encontrando a expressão |1− 4x| − |x| sem uso do valor absoluto.
x < 0 0 < x < 1
4
x > 1
4
|1− 4x| 1− 4x 1− 4x −1 + 4x
|x| −x x x
|1− 4x| − |x| 1− 3x 1− 5x −1 + 3x
Assim, |1− 4x| − |x| =

1− 3x, se x < 0
1− 5x, se 0 < x < 1
4
−1 + 3x, se x > 1
4
Observe que a expressão do enunciado não está definida para x = 1
3
e x = 1
5
.
a. E(x) = 0 se 3− 5x = 0, ou seja, para x = 3
5
.
b. A expressão 3− 5x muda de sinal em x = 3
5
. Logo, como 0 < 1
5
< 1
4
< 1
3
< 3
5
, temos a seguinte
tabela do estudo do sinal da expressão E(x):
Funda̧ao CECIERJ Consórcio CEDERJ
PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA AD1 4
x < 0 0 < x < 1
5
1
5
< x < 1
4
1
4
< x < 1
3
1
3
< x < 3
5
x > 3
5
3− 5x +++ +++ +++ +++ +++ −−−
|1− 4x| − |x| +++ +++ −−− −−− +++ +++
E(x) =
3− 4x
|1− 3x| − |x|
+++ +++ −−− −−− +++ −−−
3− 5x
|1− 4x| − |x|
> 0 em
(
−∞, 1
5
)
∪
(
1
3
,+∞
)
;
3− 5x
|1− 4x| − |x|
= 0, para x = 3/5.
3− 5x
|1− 4x| − |x|
< 0 em
(
1
5
, 1
3
)
∪
(
3
5
,+∞
)
.
3− 5x
|1− 4x| − |x|
não está definida para x = 1
3
e x = 1
5
.
Questão 3 [3,0 pontos] Considere a equação
√
x2 − 1 = |x| − 1.
Faça o que se pede:
a. [1,0 ponto] Determine os valores reais de x para os quais
√
x2 − 1 existe. Notando que a raiz
quadrada é positiva, considere o membro da direita para determinar quais valores de x são
admisśıveis.
c. [2,0 ponto] Resolva a equação
√
x2 − 1 = |x| − 1 . Caso não exista solução real, justifique.
Solução:
a. A expressão x2 − 1 deve ser maior ou igual a zero. Como y = x2 − 1 é uma parábola com
concavidade para cima e ráızes 1 e −1. Logo, x2 − 1 ≥ 0 se x ≤ −1 ou x ≥ 1.
No caso do membro direito, temos que |x| − 1 ≥ 0 se |x| ≥ 1. Mas isto significa também que
x ≥ 1 ou x ≤ −1, as mesmas condições de existência do membro esquerdo.
b. Vamos considerar o quadrado de ambos os membros, obtendo assim a equação:
x2 − 1 = |x|2 − 2|x|+ 1 = x2 − 2|x|+ 1.
Cancelando x2, ficamos com a equação a seguir:
−2|x|+ 2 = 0,
ou ainda
−|x|+ 1 = 0 =⇒ |x| = 1.
Mas isto ocorre se x = 1 ou x = −1. Como ambos os valores pertencem ao conjunto onde a
equação faz sentido, ambos são soluções.
Questão 4 [2,0 pontos] Dados os pontos A = (a, 0) e B = (−a, 0), determine y de modo que o
ponto P = (0, y) seja o terceiro vértice do triângulo equilátero ABP.
Funda̧ao CECIERJ Consórcio CEDERJ
PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA AD1 5
Solução: Como d(A,B) = 2a, devemos ter também d(P,A) = 2a, ou seja,
√
a2 + y2 = 2a, donde
a2 + y2 = 4a2, y2 = 3a2 e assim, y = ±a
√
3. Os pontos P = (0, a
√
3) e P ′ = (0,−a
√
3) são as
duas respostas posśıveis.
Funda̧ao CECIERJ Consórcio CEDERJ