aula 01 - Projeto de Compensador de Avanço pelo Método do Lugar das Raízes

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SISTEMAS DE CONTROLE 2
Projeto de Compensador de Avanço 
pelo Método do Lugar das Raízes
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), Campus Pato Branco
Departamento de Elétrica
Prof. Dr. Rafael Cardoso
Prof. Dr. Rafael Cardoso
Objetivo
 Descrever quando pode ser utilizado o controlador 
de avanço.
 Circuito para implementação.
 Metodologia de projeto.
 Exemplo de projeto.
 Simulações.
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R(s) Y(s)
Uso do Compensador de Avanço
Considere o sistema abaixo:
Planta a ser controladaControlador a ser projetado
 A compensação de avanço é útil quando:
 Deseja-se modificar a resposta transitória de um sistema.
 Especificações típicas: 
 Sobressinal: Mp
 Tempo de pico: tp
 Tempo de subida: tr
 Tempo de acomodação: ts
𝜁, 𝜔𝑛 dos polos dominantes de MF.
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Uso do Compensador de Avanço
A definição de 𝜁, 𝜔𝑛 estabelece os polos de MF dominantes. 
ζ = cos(𝛽)s1
𝑠1 = −𝜎 + 𝑗𝜔𝑑 𝜎 = 𝜁𝜔𝑛
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 1 − 𝜁
2
Relações úteis:
𝑀𝑝 = 𝑒
−
𝜁𝜋
1−𝜁2
𝑡𝑠(2%) =
4
𝜁𝜔𝑛
𝑡𝑟 =
𝜋 − 𝛽
𝜔𝑑
𝑡𝑝 =
𝜋
𝜔𝑑
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Circuito para Implementação
Importante:
Se 𝑅1𝐶1 > 𝑅2𝐶2 Controlador de avanço
Se 𝑅1𝐶1 < 𝑅2𝐶2 Controlador de atraso
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Função de Transferência do Circuito
𝑍1(𝑠)
𝑍2(𝑠)
𝑍3(𝑠)
𝑍4(𝑠)
𝐺𝑐 𝑠 =
𝐸0(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
𝐸(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
𝐸0(𝑠)
𝐸(𝑠)
𝐸(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
= −
𝑍2(𝑠)
𝑍1(𝑠)
𝐸0(𝑠)
𝐸(𝑠)
= −
𝑍4(𝑠)
𝑍3(𝑠)
𝑍1 𝑠 =
1
𝑠𝐶1
𝑅1
1
𝑠𝐶1
+𝑅1
=
𝑅1
𝑅1𝐶1𝑠 + 1
𝑍2 𝑠 =
1
𝑠𝐶2
𝑅2
1
𝑠𝐶2
+𝑅2
=
𝑅2
𝑅2𝐶2𝑠 + 1
𝐸(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
= −
𝑅2
𝑅1
𝑅1𝐶1𝑠 + 1
𝑅2𝐶2𝑠 + 1
𝐸0(𝑠)
𝐸(𝑠)
= −
𝑅4
𝑅3
𝐺𝑐 𝑠 =
𝑅2𝑅4
𝑅1𝑅3
𝑅1𝐶1𝑠+1
𝑅2𝐶2𝑠+1
=
𝑅4𝐶1
𝑅3𝐶2
𝑠+
1
𝑅1𝐶1
𝑠+
1
𝑅2𝐶2
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Função de Transferência do Circuito
𝐺𝑐 𝑠 =
𝑅2𝑅4
𝑅1𝑅3
𝑅1𝐶1𝑠+1
𝑅2𝐶2𝑠+1
=
𝑅4𝐶1
𝑅3𝐶2
𝑠+
1
𝑅1𝐶1
𝑠+
1
𝑅2𝐶2
𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑐𝛼
𝑇𝑠+1
𝛼𝑇𝑠+1
= 𝐾𝑐
𝑠+
1
𝑇
𝑠+
1
𝛼𝑇
A função de transferência do controlador é:
Que pode ser escrita nas seguintes formas:
Por comparação:
𝑇 = 𝑅1𝐶1 𝛼𝑇 = 𝑅2𝐶2 𝐾𝑐 =
𝑅4𝐶1
𝑅3𝐶2
𝐾𝑐𝛼 =
𝑅2𝑅4
𝑅1𝑅3
𝛼 =
𝑅2𝐶2
𝑅1𝐶1
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Função de Transferência do Circuito
𝐺𝑐 𝑠 =
𝑅4𝐶1
𝑅3𝐶2
𝑠+
1
𝑅1𝐶1
𝑠+
1
𝑅2𝐶2
Considere a função de transferência do controlador na forma:
Polo: −
1
𝑅2𝐶2
Zero: −
1
𝑅1𝐶1
Como visto:
Se 𝑅1𝐶1 > 𝑅2𝐶2 Controlador de avanço
Se 𝑅1𝐶1 < 𝑅2𝐶2 Controlador de atraso
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Metodologia de Projeto
1. A partir das especificações de desempenho, determine a posição desejada dos polos de 
malha fechada dominantes.
2. Através do método do lugar das raízes, verifica-se se os polos poder alocados 
modificando-se o ganho K. Caso contrário, calcula-se a deficiência angular 𝜙 que será 
inserida pelo compensador.
3. Assuma que 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑐𝛼
𝑇𝑠+1
𝛼𝑇𝑠+1
= 𝐾𝑐
𝑠+
1
𝑇
𝑠+
1
𝛼𝑇
, 0 < 𝛼 < 1 . Os parâmetros 𝛼 e 𝑇 são 
determinados a partir de 𝜙. O ganho 𝐾𝑐 é obtido através do requisito de magnitude do 
lugar das raízes.
4. Determine o polo e zero tal que o compensador de avanço contribua com o ângulo 𝜙.
5. Determine o ganho de MA do sistema compensado a partir da condição de magnitude do 
lugar das raízes.
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Exemplo de Projeto
1) Considere uma planta 𝐺 𝑠 =
4
𝑠(𝑠+2)
, em malha fechada, como mostrado 
abaixo:
A função de transferência de malha fechada do sistema é:
𝐺𝑀𝐹 𝑠 =
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
Os polos de malha fechada são: 𝑠1,2 = −1 ± 𝑗 3
Logo, o coeficiente de amortecimento e a frequência natural do sistema em malha 
fechada são:
𝜁 = 0,5 𝜔𝑛 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠
=
4
𝑠2 + 2𝑠 + 4
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Exemplo de Projeto
A resposta ao degrau do sistema em malha fechada é:
Deseja-se que o sistema em malha fechada tenha sobressinal de, no máximo, 
16,3% e tempo de acomodação de, no máximo, 2 s.
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Exemplo de Projeto
Resolução:
1) A partir das especificações de desempenho, determinar os polos de malha 
fechada dominantes:
𝑀𝑝 ≤ 0,163
𝑡𝑠 ≤ 2 𝑠
𝜁 = 0,5
𝜔𝑛 = 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑀𝑝 = 𝑒
−
𝜁𝜋
1−𝜁2
𝑡𝑠 =
4
𝜁𝜔𝑛
s1 𝑠1,2 = −𝜎 ± 𝑗𝜔𝑑
𝑠1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛 1 − 𝜁
2
ζ = cos(𝛽)
𝑠1,2 = −2 ± 𝑗2 3
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Exemplo de Projeto
2) Verificar se os polos desejados fazem parte do lugar das raízes do sistema G(s):
ቚ∠𝐺(𝑠)
𝑠=𝑠1
= ቤ∠
4
𝑠(𝑠 + 2)
𝑠=−2+𝑗2 3
= −210°
Para que um polo faça parte do lugar das raízes:
ቚ∠𝐺(𝑠)
𝑠=𝑠1
= ±(2𝑘 + 1)180°
Logo, o compensador deve inserir o ângulo:
𝜙 = −180° − (−210°) = 30°
OBS:
−210°
150°
𝜙 = 180° − 150° = 30°
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Exemplo de Projeto
Lugar das raízes de G(s) mostrando a impossibilidade do polo desejado em malha 
fechada 𝑠1 = −2 + 𝑗2 3 fazer parte deste.
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Exemplo de Projeto
4) Determine o polo e o zero para que o compensador introduza o ângulo 𝜙 = 30°.
X 𝜎
𝑗𝜔
XX
2 3
−2
𝑠1
O
a) Vamos escolher o zero do compensador em -2.
b) O polo do compensador estará sobre o eixo 𝜎
de acordo com a geometria da figura, onde: 
𝜙
𝜃𝑝 𝜃𝑧
𝜙 = 𝜃𝑧 − 𝜃𝑝
𝑥
tan 𝜙 =
𝑥
2 3
𝑥 = tan 30° ∙ 2 3 = 2
Logo, o polo do compensador é -4 e o
compensador tem a forma:
𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑐
𝑠 + 2
𝑠 + 4
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Exemplo de Projeto
5) Determine o ganho 𝐾𝑐 do compensador, através da condição de magnitude do 
lugar das raízes:
R(s) Y(s)
𝐺𝑐 𝑠 𝐺(𝑠) 𝑠=𝑠1 = 1
𝐾𝑐
(𝑠 + 2)
(𝑠 + 4)
4
𝑠(𝑠 + 2)
𝑠=−2+𝑗2 3
= 𝐾𝑐
4
𝑠(𝑠 + 4)
𝑠=−2+𝑗2 3
= 1
𝐾𝑐 = 4
Logo, o compensador é: 𝐺𝑐 𝑠 = 4
𝑠 + 2
𝑠 + 4
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Exemplo de Projeto
Sistema compensado:
R(s) Y(s)
Onde:
𝐺𝑐 𝑠 = 4
(𝑠 + 2)
(𝑠 + 4)
𝐺 𝑠 =
4
𝑠(𝑠 + 2)
Função de transferência de MF:
𝐺𝑚𝑓𝑐 𝑠 =
𝐺𝑐 𝑠 𝐺(𝑠)
1 + 𝐺𝑐 𝑠 𝐺(𝑠)
Polos de MF:
𝑠1,2 = −2 ± 𝑗3,46
=
16
𝑠2 + 4𝑠 + 16
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Exemplo de Projeto
Lugar das raízes do sistema compensado:
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Simulação - Matlab
%Planta
num=4;
den=[1 2 0];
G=tf(num,den)
%Planta sem compensação em malha
%fechada
Gmf=feedback(G,1)
%Polos de MF sem compensação
pole(Gmf)
%Compensador
numc=4*[1 2];
denc=[1 4];
Gc=tf(numc,denc)
%Planta com compensação em malha fechada
Gmfc=feedback(Gc*G,1);
Gmfc=minreal(Gmfc)
%Polos de MF com compensação
pole(Gmfc)
%Resposta ao degrau
step(Gmf);
hold;
step(Gmfc);
legend('Sem compensação','Com compensação');
%Lugar das raízes de G(s)
rlocus(G);
%Verificação da condição de ângulo
s=-2+j*2*sqrt(3);
angle(4/(s*(s+2)))*180/pi %O resultado
%é em rad que é convertido para graus.
%Cálculo de Kc
Kc=1/abs(4/(s*(s+4)))
%Lugar das raízes da planta compensada
figure;
rlocus(Gc*G);
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Simulação - Python
#As próximas 3 linhas são para selecionar entre plot inline ou em nova janela
#Útil para rlocus
from IPython import get_ipython
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'qt')
#get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')
import numpy as np #Biblioteca para cálculo numérico
import math #Funções matemáticas
import matplotlib.pyplot as plt # Funções de plot similares as do MATLAB
import control as ctrl # Biblioteca para Controle
from control.matlab import * # Funções para Controle similares as do MATLAB
#Planta
num=[4]
den=[1,2,0]
G=tf(num,den)
print(G)
#Planta sem compensação em malha fechada
Gmf=feedback(G,1)
print(Gmf)
#Polos de MF sem compensação
print(pole(Gmf))
#Lugar das raízes de G(s)
rlocus(G)
#Verificação da condição de ângulo
s=complex(-2,2*math.sqrt(3))
angle=np.angle(4/(s*(s+2)))*180/np.pi #Conversão de rad para graus.
print(angle)
#Cálculo de Kc
Kc=1/abs(4/(s*(s+4)))
print(Kc)
#Compensador
numc=[4, 8] #4*[1, 2]
denc=[1,4 ]
Gc=tf(numc,denc)
print(Gc)
#Planta com compensação em malha fechada
Gmfc=feedback(Gc*G,1)
Gmfc=minreal(Gmfc)
print(Gmfc)#Polos de MF com compensação
print(pole(Gmfc))
#Resposta ao degrau
t=np.linspace(0,6,1000)
y1, t1 = step(Gmf,t)
y2, t2 = step(Gmfc,t)
plt.figure()
plt.plot(t1,y1,t2,y2)
plt.legend((‘Sem compensação’,’Com compensação'))
plt.xlabel('t(s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.grid()
#Lugar das raízes do sistema compensado
rlocus(Gc*G)
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Exemplo de Projeto
Verificação do projeto por simulação:
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Exemplo de Projeto
Determinação dos componentes do circuito do compensador:
𝐺𝑐 𝑠 = 4
𝑠+2
𝑠+4
= 𝐾𝑐
𝑠+
1
𝑇
𝑠+
1
𝛼𝑇
= 
𝑅4𝐶1
𝑅3𝐶2
𝑠+
1
𝑅1𝐶1
𝑠+
1
𝑅2𝐶2
𝑇 = 𝑅1𝐶1 𝛼𝑇 = 𝑅2𝐶2 𝐾𝑐 =
𝑅4𝐶1
𝑅3𝐶2
1
𝑇
= 2
1
𝛼𝑇
= 4 𝐾𝑐 = 4𝑇 = 0,5 𝛼𝑇 = 0,25
𝑅1𝐶1 = 0,5
𝑅2𝐶2 = 0,25
𝑅4𝐶1
𝑅3𝐶2
= 4
Temos um sistema com 3 equações e 6 incógnitas. 
Para resolvê-lo, vamos atribuir o valor de 3 
incógnitas.
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Exemplo de Projeto
Atribuindo: 
𝑅1𝐶1 = 0,5
𝑅2𝐶2 = 0,25
𝑅4𝐶1
𝑅3𝐶2
= 4
𝑅1 ∙ 10 ∙ 10
−6 = 0,5
𝑅2 ∙ 10 ∙ 10
−6 = 0,25
𝑅4
10 ∙ 103
= 4
De onde: 
𝐶1 = 𝐶2 = 10 𝜇𝐹 𝑅3 = 10 𝑘Ω
𝑅1 = 50 𝑘Ω
𝑅2 = 25 𝑘Ω
𝑅4 = 40 𝑘Ω
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Exemplo de Projeto
Circuito para implementação:
𝐶1 = 𝐶2 = 10 𝜇𝐹
𝑅3 = 10 𝑘Ω
𝑅1 = 50 𝑘Ω
𝑅2 = 25 𝑘Ω
𝑅4 = 40 𝑘Ω