trabalho transformadas tempo contínuo e discreto

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CENTRO UNIVERSITÁRIO INTERNACIONAL UNINTER
ESCOLA SUPERIOR POLITÉCNICA
BACHARELADO EM ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO
DISCIPLINA DE PBL – TRANSFORMADAS: TEMPO CONTÍNUO E DISCRETO
TRANSFORMADA DE FOURIER NA ENGENHARIA
aLUNO: 
professorA: DAYANE BRAVO 
 
PORTO ALEGRE - rS
2020
Resumo: A transformada de Fourier pode ser considerada como um caso especial da transformada de Laplace com s = j ω No caso do sinal ser a resposta ao impulso de um determinado sistema, é necessário que o sistema seja estável para que s = j ω pertença à RDC do sistema Ao contrário da transformada de Laplace, a transformada de Fourier inversa pode ser calculada sem a necessidade do formalismo do cálculo de variáveis complexas A transformada de Fourier é bastante usada em aplicações de processamento de sinais e nas telecomunicações.
pALAVRAS- CHAVE: tRANSFORMADA DE fOURIER. tRANSFORMADA lAPLACE. iMPULSO.
ÍNDICE
OBJETIVOS-------------------------------------------------------------------3
PROCEDIMENTOS-----------------------------------------------------------3
INTRODUÇÃO-----------------------------------------------------------------3
QUESTÃO 1 -----------------------------------------------------------------------7
QUESTÃO 2 ------------------------------------------------------------------------8
QUESTÃO 3 -------------------------------------------------------------------------10
CONSIDERAÇÕES FINAIS-------------------------------------------------------13
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS---------------------------------------------14
FIGURAS
FIGURA 1: TRANSFORMADA FOURIER--------------------------------------------------------3
FIGURA 2: TRANSFORMADA FOURIER PERIÓDICO----------------------------------------4
FIGURA 3: ESPECTRO PERIÓDICO CONTÍNUO-----------------------------------------------4
FIGURA 4: ESPECTRO CONTÍNUO--------------------------------------------------------------5
FIGURA 5: GRÁICO VALORES DN---------------------------------------------------------------5
FIGURA 6: INTERPRETAÇÃO DE ÁREA--------------------------------------------------------6
FIGURA 7: CIRCUITO ATIVIDADE 1-------------------------------------------------------------7
OBJETIVOS
Esse projeto tem como finalidade demonstrar de forma prática e assertiva os procedimentos utilizados na disciplina de transformadas de tempo contínuo e discreto, bem como, na resolução de modo dissertativo os problemas propostos.
PROCEDIMENTOS
Nesse trabalho foi realizado um copilado de informações para se adquirir uma noção teórica sobre o tema em discussão e utilização de métodos coerentes e claros no desenvolvimento dos cálculos propostos na atividade.
INTRODUÇÃO
Em engenharia, a ideia por trás do nome “transformada” consiste basicamente em uma operação matemática que tem por finalidade promover algum tipo de simplificação. Dessa forma, o logaritmo consiste, provavelmente, na ferramenta mais antiga de que se tem notícia cujo conceito se aproxima da ideia de transformada, uma vez que transforma multiplicações e divisões em somas e subtrações, além de ser útil na resolução de equações cujos expoentes são desconhecidos (Boyer, 1974). Na verdade, o conceito das transformadas vai muito além dos logaritmos no contexto da engenharia, em que desempenham papel importante. Entre as mais conhecidas (e com certeza mais utilizadas) figura a transformada z.
A transformada de Fourier de um sinal x(t) é definida por:
x(ω) = 
Transformada de Fourier inversa de x(ω) é dada por:
x(ω) = 
Transformadas de Fourier pode ser denotado por:
x(ω) = F, x(t) = , x(t) ⇐⇒ x(ω)
A transformada de Fourier definida anteriormente pode ser obtida a partir da série de Fourier exponencial Para os sinais abaixo, tem-se que:
=n x(t)
FIGURA 1: RESOLUÇÃO GRÁFICA DA SÉRIE TRANSFORMADA FOURIER.
FIGURA 2: RESOLUÇÃO GRÁICA TRANSFORMADA FOURIER SINAL PERIÓDICO.
Mas xT0 (t) é um sinal periódico com período T0 e assim pode ser representado por:
Xt0(t) = D n ·, Dn= dt
Se t0 , então 
D n= 
Assim, temos:
À medida que T0 cresce o espectro se torna mais denso (ω0 diminui), mas a forma permanece a mesma a do envelope x():
Quando t0, o espectro se torna contínuo.
FIGURA 3: ESPECTRO NO PERÍODO CONTÍNUO.
FIGURA 4: EVOLUÇÃO DO ESPECTRO CONTÍNUO NO PERÍODO X (
Na figura abaixo, é mostrado o gráfico de D n para dois valores de T0.
FIGURA 5: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DN DE VALORES T0.
 Analogamente, a transformada de Fourier inversa pode ser obtida fazendo-se:
 
 
FIGURA 6: GRÁFICO DE INTERPRETAÇÃO DE ÁREA.
Assim, quando x(t) é um sinal real, o seu espectro de amplitude é uma função par e o seu espectro de fase é uma função ímpar Pode-se mostrar também que a transformada de Fourier é uma operação linear, ou seja:
Assim como foi feito com as transformadas de Laplace e Z, é útil obter as transformadas de Fourier para alguns modelos de sinais Antes de calcular as transformadas de Fourier, convém definir algumas funções bastante utilizadas na teoria de filtros: a função de porta unitária, a função triângulo unitário e a função de interpolação.
DESENVOLVIMENTO
QUESTÃO 1
Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a
segunda Lei de Kirchhoff estabelece que a soma das quedas de tensão no indutor
(L) e no resistor (R) é igual à tensão aplicada no circuito E(t), conforme ilustrado na
figura:
FIGURA 7: CIRCUITO PROPOSTO PARA RESOLUÇÃO DA ATIVIDADE.
Obtemos assim, a equação diferencial linear para a corrente i(t):
L + R1= E(t)
Com base nessas informações, suponha que uma bateria de 5 volts é
conectada ao circuito descrito acima, no qual a indutância é de 2H e a resistência
é de 10 ohms. Determine a corrente i(t) por meio da Transformada de Fourier.
Utilize: ℱ{𝑓(𝑛)(𝑥)} = (-𝑖𝛼)𝑛𝐹(𝛼) e ℱ-1{𝐹(𝛼)} = 1𝜋∫∞ 𝐹(𝛼)𝑒-𝑖𝛼𝑥𝑑𝛼
1º Passo: Faremos a substituição dos dados na derivada:
2*+10=5
2F()+ 10F(i)=5
2º passo: Aplicaremos a fórmula da transformada de função derivada:
F=(-i αf(α)
Reescrevendo:
2(-iα)y(α)+10y(α)=5
Colocando o y em evidência:
Y(α)=
3º Passo: Transformada inversa:
= dα
Substituindo, teremos:
= dα
Resultando em:
= dα
QUESTÃO 2
Determine a corrente de um circuito, dado sua equação diferencial. 
 - -6i=0
Por meio da Transformada de Laplace, sabendo que 𝑖(0) = 2 e 𝑑𝑖 𝑑𝑡= -1.
Utilize: ℒ{𝑦′(𝑦)} = 𝑠ℒ{𝑦(𝑡)} - 𝑦(0); ℒ{𝑦′′(𝑡)} = 𝑠2ℒ{𝑦(𝑡)} - 𝑠𝑦(0) - 𝑦′(0)
e ℒ-1 {𝑠-1𝑎} = 𝑒𝑎𝑡 
1º passo: Comparando Laplace as derivadas, temos:
I´´ - i´-6i=0
L - L - L =0
2º passo: Aplicaremos o artifício das transformadas referente ás funções derivadas:
L = s L - y0
L = s L - 5y0 – y´0
 – -6 =0
L - 2s +1+2=0
L = 2s-3
L 
L 
3º Passo: Fazendo a decomposição por frações:
L = + 
= + 
4º Passo: Eliminando o denominador de ambas as frações:
2s-3= As +B s-3B
2s3= (A+B)s + (2 A – 3 B)
Obtemos um sistema com duas incógnitas:
5º Passo: Resolvendo o sistema:
-2 A – 2 B= -4
2 A – 3 B= - 3
- 5 B= - 7 *(- 1 )
B= 
A + = 2
A= - 
A= 
6º Passo: Substituindo A e B na equação:
L = + 
L = + 
L () + ()
7º Passo: utilizando a transformada inversa:
 = 
Temos assim, o valor de corrente:
I(t)= + 
QUESTÃO 3
Determine a corrente de um circuito, sabendo que 𝑦𝑛-2 - 𝑦𝑛-1 - 6𝑦𝑛 = 𝛿
Por meio da Transformada Z.
Utilize: 𝑍{𝑦(𝑛+𝑘)} = 𝑌(𝑧) ∗ 𝑧𝑘 ; 𝑍{𝛿} = 1 e 𝐹 (𝑧-𝑧𝑎) = 𝑎𝑛
1º Passo: Aplicaremos a transformada Z na equação:
𝑦𝑛 - 2 - 𝑦𝑛-1 - 6𝑛 = 𝛿
Z - Z -6Z = Z
2º Passo: Na tabela de transformada Z achamos os seguintes valores para resolução:
Z – y (z) e Z = 1
3º Passo: Desenvolvimento:
 – - 6y (z)
 = 1
Y (z) – z y (z) - 6 y (z)= 
Y (z) = 
Y (z) = 
Y (z)= Z ( 
4º Passo: Decompondo em frações parciais, achamos as incógnitas necessárias para substituição na equação geral.
 = + 
 = + 
Z= Az - + B z + 
5º Passo: Isolando a incógnita Z, temos:
Z = Z ( A + B) + ( )
6° Passo: Resolução do sistema:
 A e B 
B= 
B= /3= 
A + B= 1
A + = 1
A= 1 - 
A= 
A= e B= 
7º Passo: Substituindo os valores de A e B na equação:
 = + 
Obtemos a equação com os seguintes valores:
= + 
8º Passo: Substituiremos na equação na transformada, obteremos o seguinteresultado:
Y (z) = Z 
9 º Passo: Aplicando a transformada inversa, sabendo que na tabela encontremos :
F = 
Temos: Y n = + 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
No decorrer do projeto foi possível ter um aprofundamento constante no desenvolvimento das atividades propostas, adquirir um conhecimento apurado sobre a discussão do tema apresentado, na objetivação de se realiar os exercícios nominados ao longo do trabalho de forma clara e na observância comportamental dos resultados obtidos com as transformadas de Fourier.
As transformadas Z são baseadas em séries de potência nas “séries de Laurent” , publicadas pelo matemático francês Pierre Alphonse Laurent (1813 – 1854). Embora não tivessem sido publicadas anteriormente, estas séries já tinham sido desenvolvidas dois anos antes em 1841, por Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897), um matemático alemão que frequentemente é citado como sendo o pai da análise moderna. As transformadas Z têm grande importância nos métodos atuais de análise de sistemas de controle discreto, em processos de amostragem, no processamento de sinais digitais, entre outros. 
Como podemos visualizar, ao longo de estudos, pesquisas e todo processo de instrumentalização desenvolvida, percebemos de grande valia és a metodologia das transformadas em seus campos de atuação, pois através dela apreciar os comportamentos de processo e amostragem de sistemas elétricos, sinais e frequência de diferentes áreas como telecomunicações, e a sua variância no espetro de controle discreto em função do tempo.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
http://www.univasf.edu.br acesso: 27/02/2021 ás 15 h 39 min.
Htt://www.aprender.ead.unb.br acesso: 28/02/2021 ás 16 h 22 min.
Porta l educação. O crime de plágio. http://www.portaleducacao.com.br acesso: 01/03/2021 ás 18 h 23 min.
Nagle, Kent R,; Saff, Edward B, ; Snider, Arthur David. Equações diferenciais P. Ed. São Paulo: Person Education do Brasil, 2013. Portal
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