Apostila matemática Pré-Cálculo FUNÇÃO MODULAR

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MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA ............... 2 
MÓDULO ..................................................................................... 6 
PROPRIEDADES DO MÓDULO .................................................. 6 
FUNÇÃO MODULAR ................................................................... 9 
GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR ............................................ 9 
EQUAÇÕES MODULARES ....................................................... 27 
INEQUAÇÕES MODULARES .................................................... 32 
RESPOSTAS ............................................................................. 37 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 44 
 
 
No final das séries de exercícios podem aparecer 
sugestões de atividades complementares. Estas 
sugestões referem-se a exercícios do livro 
“Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo 
FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto 
durante o triênio 2015-2017. 
 
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se 
referem ao volume 1. 
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS 
DE UMA SENTENÇA 
 
 Já vimos, em apostilas anteriores, 
como tratar com funções definidas por 
mais de uma expressão e agora vamos 
usar aqueles conceitos. 
 Uma função é definida por mais de 
uma sentença quando cada uma delas 
está associada à um subdomínio D1, D2, 
D3, ... Dn e a união destes n subconjuntos 
forma o domínio D da função original, ou 
seja, cada domínio Di é um subconjunto 
de D. 
 Vamos ver alguns exemplos de 
funções definidas por mais de uma 
sentença e seus respectivos gráficos. 
 
Ex.1: Seja a função 
 
 









2xse3
2x0se1x
0xse1
xf
 
 
O seu gráfico é dado por: 
 
 
 
 
Ex. 2: Veja o gráfico de 
 
 






1xse1x
1xsex
xf
2
 
 
 
 
 
Ex. 3: Seja a função 
 
 









1xse1x
1x2se1x
2xse1x
xf 2
 
 
o gráfico é: 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 3 RELAÇÕES 
 
 
01) Construa o gráfico de cada uma das 
funções abaixo: 
a) 
 






0xsex
0xse1x
xf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)  









2xse2
2x2sex
2xse2
xf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
c) 
 






1xsex1
1xsex2x
xf
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 






1xse12x
1xse1x
xf
2
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 5 RELAÇÕES 
 
02) Dada 
 








2xse1
2
x
2xse2xx
xf
2
 
a) Construa seu gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Encontre os valores de x que admitem 
4 como imagem. 
 
03) Quais valores de x tem imagem 7 na 
função 
 








0xse2x
0xse1x
2
5
x
xf
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
04) Construa o gráfico de 
 






0xsex
0xsex
xf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
___________________________ 
 
MÓDULO 
 
Sendo x um número real, 
definimos MÓDULO ou VALOR 
ABSOLUTO que se representa por |x| 
através da expressão: 
 
 






0xsex
0xsex
x 
 
 
Da expressão acima, podemos 
tirar duas conclusões: 
 
1. Se x é zero ou um número 
positivo, então o módulo de x é o 
próprio x. 
2. Se x é um número negativo, então 
o módulo de x é o oposto aditivo 
de x. 
 
É interessante associar a idéia de 
valor absoluto a distância, assim, o 
módulo de um número x é a distância do 
afixo de x até a origem do sistema. Este 
conceito voltará a ser usado quando você 
estiver estudando Números Complexos 
no 3º ano. 
 
 
2
1
2
1
00
355333
131333



 
PROPRIEDADES DO MÓDULO 
 
 Da definição de módulo, decorrem 
algumas propriedades que veremos a 
seguir: 
 
I 
 x,0x
 
II 
0x0x 
 
III 
 y,x,xyyx
 
IV 
 x,xx 2
2
 
V 
 y,x,yxyx
 
VI 
 y,x,yxyx
 
VII 
axa0aeax 
 
VIII 
axouax0aeax 
 
 
 
05) Aplicando o conceito de módulo, 
calcule: 
 
a) 
4
 
 
b) 
18
 
 
c) 
49 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 7 RELAÇÕES 
 
d) 
125 
 
 
e) 
27 
 
 
f) 
35 
 
 
 
06) Para que valores reais de x é válida 
cada uma das igualdades a seguir? 
a) 
3x3x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
22 x11x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
1x1x 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07) O módulo de um número real x 
também pode ser definido desta forma: 
2xx 
. Assim, calcule: 
 
a) 
 23
 
 
 
 
 
b) 
 213 
 
 
 
 
 
 
c) 
 25x 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
08) Considere, na reta real, os pontos 
A(a) e B(b). 
 
 
 
 
O conceito de módulo pode ser 
usado para o cálculo da distância AB 
entre os pontos A e B, a partir de suas 
coordenadas. Assim, por definição, 
 
abbaAB 
 
 
 
Desta forma, calcule a distância AB 
quando: 
 
a) a = -3 e b = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) a = -5 e b = -8 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) a = 
3
 e b = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) Uma partícula desloca-se sobre uma 
reta real. Inicialmente ela se encontra no 
ponto A(-5), em seguida vai até B(7) e 
depois até C(-2). 
a) Qual a distância total percorrida pela 
partícula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual seu deslocamento final. 
 
 
 
 
10) Verifique se cada uma das 
afirmativas a seguir é VERDADEIRA ou 
FALSA. 
 
a) 
 xxx
 
 
 
b) 
 x0x
 
 
 
c) 
 y,x,yxyx
 
 
 
d) 
 xxx 2
2
 
 
 
e) 
axax 
 
 
 
f) 
0x|x 
 
 
______________________ 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 192 – Exercícios 1 a 4 
______________________ 
A B 
a b 
 
 
 
MATEMÁTICA I 9 RELAÇÕES 
 
FUNÇÃO MODULAR 
 
 A função que associa a cada 
número real o seu valor absoluto é 
chamada FUNÇÃO MODULAR e 
representamos; 
  xxf 
 
 Utilizando o conceito de módulo de 
número real apresentado na página 6 
desta apostila, a função modular também 
pode ser definida da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO 
MODULAR 
 Na questão 04 (Pág. 06) desta 
apostila, você construiu o gráfico da 
função 
  xxf 
 porém apresentada sob 
a forma de duas sentenças. Observe lá o 
que você fez. 
O gráfico da função modular é a 
reunião de duas semirretas de origem em 
(0, 0) que são as bissetrizes do 1º e 2 º 
quadrantes. 
 
 
D =  e Im = + 
 Vamos, a partir de agora, 
desenvolver algumas técnicas para 
construção de gráficos de função 
modular. 
 Em cada exemplo a seguir vamos 
aprender um tipo de gráfico e, a seguir, 
construiremos um semelhante. 
 
Vamos construir o gráfico de 
  x2xf 
. 
 
Resolução: 
 
Quando nos deparamos com uma função 
elementar como esta, em princípio, 
construímos o gráfico de 𝑔(𝑥) = 2𝑥. 
 
 
 
A seguir devemos fazer 𝑓(𝑥) = | 𝑔(𝑥) |, 
ou seja devemos “rebater”a parte do 
gráfico que se encontra abaixo do eixo 
horizontal, desta forma: 
x 
y 
 






0xsex
0xsex
xf 
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
 
Então, o gráfico de 𝑓(𝑥) = | 2𝑥 | é 
 
D =  e Im = + 
 
Agora é sua vez: 
 
 
11) Construa, nas malhas quadriculadas 
de cada item, o gráfico que se pede. Em 
todas as malhas, está tracejado o gráfico 
da função f(x)=|x|. Aproveite para 
comparar o gráfico que vc construiu com 
este. 
a) 𝑓(𝑥) = |
𝑥
2
| 
 
 
D = e Im = . 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = |3𝑥| 
 
 
 
D = e Im = . 
 
 
 
MATEMÁTICA I 11 RELAÇÕES 
 
c) 𝑓(𝑥) = −|𝑥| 
 
 
 
D = e Im = . 
 
 
 
 
Construir o gráfico da função 
𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2|. 
 
Resolução: 
 
Assim como fizemos antes, vamos 
construir o gráfico de g(x) = x + 2 
 
 
Agora, vamos “rebater” o que estiver 
abaixo do eixo das abscissas. 
 
Este é o gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| 
e podemos observar o domínio e a 
imagem da função olhando para o 
gráfico: 
D = ℝ e Im = ℝ+ 
 
 
 Vamos aproveitar este gráfico 
para fazer outra observação. Na figura 
abaixo está o gráfico de 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| e, 
tracejado em verde, o gráfico da função 
𝑓(𝑥) = |𝑥|. 
 
 
 
Comparando os dois gráficos, 
podemos dizer que o gráfico de f foi 
obtido a partir do deslocamento do 
gráfico de g em duas unidades para a 
esquerda. 
 
A seguir, você pode observar uma 
família de gráficos do tipo 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 𝑎|. 
Note cada gráfico é deslocado, em 
relação do gráfico de 𝑓(𝑥) = |𝑥| em a 
unidades. 
CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
 
 
 
Tente associar esta ideia com o 
que você viu quando estudou os 
deslocamentos laterais do gráfico da 
função quadrática. 
 
 
12) Construa o gráfico de 
  1xxf 
 
 
 
D = e Im = . 
 
 
Construir o gráfico da função 
  x2xxf 2 
. 
 
Resolução: 
 
Da mesma forma que já fizemos, 
construiremos o gráfico de g(x) = x2 + 2x 
e “rebateremos” o que está abaixo do 
eixo x pois f(x) não admite valor negativo. 
 
 
 
D = ℝ e Im = ℝ+ 
 
 
 
 
Construa o gráfico de cada uma das 
funções apresentadas nas questões de 
13 a 19. 
 
 
 
MATEMÁTICA I 13 RELAÇÕES 
 
 
13) 
  1x2xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 
 
 
14) 
  3x2xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
15) 
  x32xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 
 
 
16) 
  x4xxf 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 15 RELAÇÕES 
 
 
17) 
  4xxf 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 
 
 
18) 
  x3xxf 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
19) 
  2x3xxf 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 
 
 
 
Construir o gráfico da função 
definida em todo o capo dos reais dada 
por f(x) = | x + 1| - 2 
 
Resolução: 
 
Em princípio, vamos construir o 
gráfico de g(x) = | x + 1 | como vimos nos 
exemplos anteriores. 
 
 
 
Agora devemos “deslocar” o 
gráfico duas unidades para baixo pois 
f(x) = g(x) - 2 
 
 
 
Podemos ver que o DOMÍNIO desta 
função são todos os números reais. 
Observando o gráfico, qual é a IMAGEM 
desta função? 
 
 
 
MATEMÁTICA I 17 RELAÇÕES 
 
 
Construa o gráfico de cada uma das 
funções apresentadas nas questões de 
20 a 24. 
 
20) 
  3xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 
21) 
  31x2xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
22) 
  34xxf 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 
23) 
  33x4xxf 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 
 
 
MATEMÁTICA I 19 RELAÇÕES 
 
24) 
  41xxf 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 Agora vamos começar a tratar com 
funções que apresentam incógnitas 
dentro e fora do módulo e outras com 
soma de módulos. 
 
 
Ex1.: Construir o gráfico da função 
  1x2xxf 
. 
 
Resolução: 
Vamos dividir a função em duas partes. A 
primeira é o que está no módulo: 
2x 
 e 
a segunda parte será 
1x 
. 
 
De 
2x 
, temos: 






2xse2x
2xse2x
2x
 
De 
1x 
 temos que, independente do 
valor de x, seu valor será 
1x 
. 
 
Vamos agora dispor estas situações num 
quadro. O que vai separar uma coluna de 
outra será o -2 que é o valor que faz 
mudar a expressão na primeira parte da 
função. 
2
 
2x 
 
2x 
 
1x 
 
1x 
 
3
 
1x2 
 
 
Note que a terceira linha é a soma das 
duas anteriores. A função que dividimos 
em duas partes era formada pela soma 
dessas. Assim, a função que 
trabalharemos agora será: 
 
 
 






2xse3
2xse1x2
xf
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Vamos agora construir o gráfico 
desta função definida por partes. 
 
 
_____________________________ 
 
Ex1.: Construir o gráfico da função 
  1x1x2xf 
. 
 
Resolução: Assim como fizemos antes, 
vamos dividir a função em duas partes e, 
a seguir, formaremos o quadro. Veja. 









2
1
xse1x2
2
1
xse1x2
1x2 
 






1xse1x
1xse1x
1x
 
 
 2
1

 
1
 
1x2 
 
1x2 
 
1x2 
 
1x 
 
1x 
 
1x 
 
x3
 
2x 
 
x3
 
 
Assim, a função de que devemos 
construir o gráfico será: 
 
 













1xsex2
1x
2
1
se2x
2
1
xsex3
xf
 
 
 
 
 
 
Construa o gráfico de cada uma das 
funções apresentadas nas questões de 
25 a 32. 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 21 RELAÇÕES 
 
25) 
  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
26) 
  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
27) 
  2x3xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
281) 
  3x1xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 
 
 
MATEMÁTICA I 23 RELAÇÕES 
 
29) 
  2x1x2xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
30) 
  3x22x3xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
31) 
  3x4xxf 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
32) 
  4x1xxf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 
 
 
MATEMÁTICA I 25 RELAÇÕES 
 
 
Construa o gráfico de cada uma das 
funções apresentadas nas questões de 
33 a 37. 
 
33)
  1x1xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
34) 
  1x1xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
35) 
  53x2x2xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
36) 
  2x4xxf 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 
 
 
MATEMÁTICA I 27 RELAÇÕES 
 
37) 
 
2
3x1x2
xf


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = e Im = 
 No link abaixo, você tem acesso a 
uma vídeo-aula de cerca de 30 minutos 
que abrange tudo que vimos até aqui 
sobre função modular. 
 
 
EQUAÇÕES MODULARES 
 
 Para resolver equações 
modulares, devemos lembrar de duas 
propriedades de módulo: 
 
P1: 
 
kxoukxkx 
 
 
 
P2: 
 
yxouyxyx 
 
 
 
Utilizando estas duas 
propriedades e a condição de 
que 
0x 
, vamos resolver algumas 
equações modulares. 
CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
 
Ex.1: Resolver 
71x2 
 
 
Resolução: 








4x71x2
ou
3x71x2
71x2
 
 
 
 3;4S 
 
 
 
Ex.2: Resolver 
3x21x3 
 
 
Resolução: 
 









5
2
x3x21x3
ou
4x3x21x3
3x21x3
 
 
 







5
2
;4S
 
 
 
Ex.2: Resolver 
8x21x 
 
 
Resolução: 
Em princípio devemos lembrar que 
4082  xx
 
 
Deste forma só serão convenientes 
aquelas soluções maiores ou iguais a 4 
 
 






3x8x21x
ou
7x8x21x
8x21x
 
Como previmos anteriormente, a solução 
x = 3 não convém, neste caso, 
 
 7S 
 
___________________________ 
 
 
 
 
Faça agora os exercícios 
referentes a este assunto. 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 29 RELAÇÕES 
 
 
 
38) Resolva as equações a seguir no 
campo dos números reais. 
a) 
32x 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
21x3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
05x4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)\
13x2 
 
 
 
e) 
31x3x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
4
5
4
1
x
2
5
x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
25x4x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
39) Resolva as equações a seguir no 
campo dos números reais. 
a) 
1x2x3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
03x21x4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
1x45xx2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
1xx2x2x 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 31 RELAÇÕES 
 
 
40) Resolva as equações a seguir no 
campo dos números reais. 
a) 
1x22x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
3x22x3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
1x5x2 
 
 
d) 
3x2x3x15x2 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
2x32x3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
4x3x34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 32 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
Existem outras situações envolvendo 
equações modulares que não trataremos 
aqui mas você pode ver nas vídeo-aulas 
acessíveis pelos links abaixo: 
 
 
 
Equações 
Modulares 
Parte 3 
 
Equações 
Modulares 
Parte 4 
 
Equações 
Modulares 
Parte 5 
 
INEQUAÇÕES MODULARES 
 
 A idéia de módulo está ligada ao 
conceito de distância, como foi dito no 
início desta apostila. Assim, temos que: 
 
axouaxax
axaax

 
 
 
 
MATEMÁTICA I 33 RELAÇÕES 
 
Utilizando estas propriedades, 
podemos resolver as equações que 
envolvem módulo. 
 
 
 
Ex.1: Resolver a inequação 
73x2 
. 
 
Resolução: 
 
Aplicando a primeira propriedade 
acima, encontramos 
 
73x27 
 
 
Resolvendo o sistema de 
inequações temos: 
 
2x5 
 
 
Logo: 
 2x5|xS 
 
 
Ex.2: Resolver a inequação 
21x3 
 
 








21x3
ou
21x3
21x3
 
 
Resolvendo as equações acima, 
temos: 
 
1xou
3
1
x 
 
 
Assim: 
 






 1xou
3
1
x|xS
 
 
 
 
41) Resolva, no campo dos números 
reais, cada uma das cinco inequações a 
seguir: 
a) 
42x3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
13x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
3x34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
d) 
04x3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
31x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42) Resolver em ℝ as quatro inequações 
a seguir. 
a) 
15x5x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
24xx2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
6x5x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 35 RELAÇÕES 
 
d) 
64x3x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43) Resolver em ℝ a inequação 
01x7x2 
. 
(Esta questão está resolvida na seção RESPOSTAS) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
44) Resolver em ℝ a inequação 
07x31x 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45) Resolver em  a inequação 
0x341x2 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 37 RELAÇÕES 
 
RESPOSTAS 
01) a) 
 
 b) 
 
 c) 
 
 d) 
 
 
02) Resolução 
a) 
 
b) Para encontrar os pontos de 
imagem 4, devemos resolver as 
equações: 
  41
2
x
2
42xx)1( 2

 
 
De (1), temos x1 = -3 e x2 = 2 
Mas -3 não convém 
 
De (2) temos x = -6. 
 
Assim 2 e -6 tem imagem 4. 
 
03) 4 
 
04) 
 
 
 
05) a) 4 d) 12 - 5 
 b) 18 e) 
27 
 
 c) 9 - 4 f) 
53 
 
CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
06) a) 
3x 
 c) 
x
 
 b) 
1x1 
 
 
07) a) 
3 c) 





5xse5x
5xse5x 
 b) 
13 
 
 
08) a) 7 c) 
13 
 
 b) 3 
 
09) a) 21 c) 3 
 
10) Verdadeiras: a, b, d, f 
 Falsa: c, e 
 
11) a) 
 
D =  e Im = + 
 
 b) 
 
D =  e Im = + 
 c) 
 
D =  e Im = - 
 
12) 
 
D =  e Im = + 
 
 
13) 
 
D =  e Im = + 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 39 RELAÇÕES 
 
 
14) 
 
D =  e Im = + 
 
 
15) 
 
D =  e Im = + 
 
 
16) 
 
D =  e Im = + 
 
 
 
17) 
 
D =  e Im = + 
 
 
18) 
 
D =  e Im = + 
 
 
19) 
 
D =  e Im = + 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
20) 
 
D =  e Im = [-3; ) 
 
 
21) 
 
D =  e Im = [3; )22) 
 
D =  e Im = [-3; ) 
 
 
 
23) 
 
D =  e Im = [-3; ) 
 
 
24) 
 
D =  e Im = [-3; ) 
 
 
25) 
 
D =  e Im = + 
 
 
26) 
 
D =  e Im = + 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 41 RELAÇÕES 
 
 
27) 
 
D =  e Im = [-1; ) 
 
 
28) 
 
D =  e Im = [4; ) 
 
 
29) 
 
D =  e Im = [
2
3

; ) 
 
 
 
30) 
 
D =  e Im = [
3
13
; ) 
 
 
31) 
 
D =  e Im = [-1; ) 
 
 
32) 
 
D =  e Im = + 
 
 
33) 
 
D =  e Im = [2; ) 
 
 
34) 
CÁSSIO VIDIGAL 42 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
 
D =  e Im = [-2; 2] 
 
35) 
 
D =  e Im = [-1; ) 
 
 
36) 
 
D =  e Im = + 
 
 
37) 
 
D =  e Im = [2; ) 
 
 
 
38) a) 
 5,1S 
 
 
b) 







3
1
,1S
 
 
c) 







4
5
S
 
 d) 
S
 
 e) 
 4,2,1,1S 
 
 
f) 






 3,2,
2
1
,
2
1
S
 
 g) 
 3,1S 
 
 
39) 
a) 







4
1
,
2
3
S
 
 
b) 







3
1
,2S
 
 c) 
 4,1,1,6S 
 
 
d) 






 1,
3
1
,
2
3
S
 
 
40) 
a) 







3
1
S
 
 b) 
S
 
 c) 
 4,2S 
 
 d) 
 6,13S 
 
 
e) 






 ;
3
2
S
 
 
f) 






 ;
3
4
S
 
 
41) 
a) 






 2x
3
2
|xS
 
 b) 
 2x1|xS 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 43 RELAÇÕES 
 
 
 
c) 






 3x
3
1
|xS
 
 
d) 







3
4
S
 
 e) 
 2xou1x|xS 
 
 
42) 
a) 
 4x3ou2x1|xS 
 
b) 
 3xou2x1ou2x|xS 
 
c) 
 6xou3x2ou1x|xS 
 
d) 
 5x2ou1x2|xS 
 
 
43) (Resolução) 
Sabendo que 






1xse1x
1xse1x
1x
, 
devemos considerar duas situações: 
 
1ª situação: 
1x 
 
2x01x7x2
01x7x2


 
 
Assim, a solução desta primeira parte é 
 
   
 2x|x
2x|x1x|xS1


 
2ª situação: 
1x 
 
8x01x7x2
01x7x2


 
 
Logo, temos como S2, 
     8x|x1x|xS2 
 
 
 
Portanto, a solução da inequação 
proposta será: 
21 SSS 
 
Ou seja: 
 2x|xS 
 
 
 
44) 
 3x|xS 
 
 
45) 
 5x|xS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
MACHADO, Antônio dos Santos; 
Matemática, Temas e Metas. São Paulo, 
Atual, 1988. 
IEZZI, Gelson e outros; 
Fundamentos da Matemática Elementar, 
Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição, 
1977. 
 RUBIÓ, Angel Pandés; 
Matemática e suas tecnologias; Volume 
1. São Paulo, IBEP, 2005. 
 PAIVA, Manoel; Matemática; 
Volume 1. São Paulo, Moderna, 1995. 
 
 
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Pág. 27: 
vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/funcao-
modular/ 
 
 
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vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoes-
modulares-p1/ 
 
 
Pág. 32 
parte 3 
vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoes-
modulares-p3/ 
 
parte 4 
vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoes-
modulares-p4/ 
 
parte 5 
vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoes-
modulares-p5/