Estudando a cinemática com o trilho de ar

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Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho
de ar
Meta
Apresentar um método para obter experimentalmente a posição e a veloci-
dade de um carrinho que se desloca em um trilho de ar.
Objetivos
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:
1. identificar, de forma qualitativa, a cinemática do carrinho do trilho de
ar;
2. utilizar corretamente o trilho de ar;
3. reconhecer as características relevantes do modelo que será utilizado no
experimento;
4. reconhecer os conceitos de medida e incerteza associada;
5. reconhecer a quantidade de algarismos significativos de um número;
6. arredondar um número para que ele fique de acordo com a quantidade
de algarismos significativos solicitados;
7. arredondar uma grandeza de acordo com o número de algarismos sig-
nificativos da sua incerteza;
8. medir as posições do carrinho sobre o trilho de ar horizontal em função
do tempo. Obter, a partir do gráfico da posição do carrinho em função
do tempo, as velocidades instantâneas;
9. obter expressões teóricas da velocidade do carrinho sobre o trilho incli-
nado com a sua incerteza;
10. medir as posições do carrinho sobre o trilho de ar inclinado em função
do tempo. Calcular, com as expressões teóricas obtidas no Objetivo 8
e com as medidas encontradas, as velocidades instantâneas do carrinho
com suas incertezas;
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11. medir, a partir do gráfico da velocidade em função do tempo, a acele-
ração do carrinho sobre o trilho inclinado;
12. obter a expressão teórica da incerteza do ângulo de inclinação do trilho.
Calcular esse ângulo com a sua incerteza.
Pré-requisitos
Para ter bom aproveitamento desta aula, é importante que você saiba os
princípios do método científico. Esse conteúdo pode ser encontrado no livro
da disciplina Introdução às Ciências Físicas 1.
Introdução
Uma análise mais quantitativa do movimento dos corpos teve início no século
XIV (Idade Média), com um grupo de filósofos e matemáticos do Colégio de
Merton, em Oxford. Eles começaram fazendo uma distinção entre Cinemá-
tica e Dinâmica, afirmando que o movimento poderia ser estudado tanto do
ponto de vista das causas, quanto dos efeitos. A partir daí, desenvolveram
os fundamentos para tratar da Cinemática, que estuda os movimentos do
ponto de vista dos efeitos. Definiram o movimento retilíneo uniforme e o
movimento uniformemente acelerado. O movimento retilíneo uniforme se-
ria aquele em que o corpo percorre distâncias iguais em tempos iguais e o
movimento uniformemente acelerado seria aquele no qual o corpo adquire
incrementos de velocidade iguais em tempos iguais. Eles também afirmaram
que, no movimento retilíneo uniformemente acelerado, um corpo
percorrerá a mesma distância em um determinado tempo, caso se
mova em movimento retilíneo uniforme com a velocidade igual à
velocidade média do intervalo. Esse resultado foi denominado Teorema
da Velocidade Média .
Os filósofos medievais lidavam com os problemas relacionados ao movimento
de uma maneira hipotética, sem fazer qualquer tentativa para relacioná-los
a movimentos reais na natureza. Mas é justo dizer que, naquela época, se-
ria muito difícil, por exemplo, determinar experimentalmente se um dado
movimento era retilíneo uniformemente acelerado ou não. No entanto, em
meados do século XVI, o espanhol Domingo de Soto (1494-1570) intuiu que a
queda dos corpos seria um movimento uniformemente acelerado e propôs um
método experimental para comprovar a sua intuição, baseado no Teorema da
Velocidade Média.
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Figura 7.1: Domingo de Soto (Segóvia, 1494 - Salamanca, 1570) foi um frade
dominicano, teólogo e confessor do imperador Carlos V.
Fonte: http://www.escolasticos.ufm.edu/index.php/Domingo−de−Soto
Nesta aula, você tentará classificar a cinemática do movimento de um carri-
nho que se desloca sobre um trilho de ar. Para isso, você utilizará o método
científico, apresentado na disciplina de Introdução às Ciências Físicas 1. Em
outras palavras, você observará o movimento do carrinho sobre o trilho de
ar, utilizará um procedimento experimental que permita determinar a posi-
ção do carrinho como função do tempo e, através do tratamento dos dados
experimentais obtidos, verificará se os movimentos do carrinho sobre o trilho
de ar são compatíveis com o movimento retilíneo uniforme ou uniformemente
acelerado.
Serão realizados os seguintes experimentos:
Experimento 1: movimento do carrinho sobre um trilho de ar horizontal.
Experimento 2: movimento do carrinho sobre um trilho de ar inclinado.
Experimento 1: movimento do carrinho sobre
um trilho de ar horizontal
Material do experimento
Para esta experiência, você utilizará:
1. trilho de ar equipado com amortecedores nas suas extremidades, com
a polia e com as fitas condutoras do centelhador;
2. unidade geradora de fluxo de ar;
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3. centelhador;
4. carrinho do trilho equipado com uma placa de plástico com fios condu-
tores (acessório do centelhador);
5. suporte com massas, linha, fita de papel termossensível, nível de bolha,
régua de metal.
A Figura 7.2 mostra o trilho de ar com o amortecedor, a unidade
geradora de fluxo de ar, o centelhador e suas fitas condutoras.
Figura 7.2: 1 - trilho de ar; 2 - amortecedor; 3 - fitas condutoras do cente-
lhador; 4 - unidade geradora de fluxo de ar; 5 - centelhador.
A Figura 7.3 mostra o carrinho do trilho de ar equipado com a placa
de plástico com fios condutores, a fita termossensível, o suporte com discos,
a polia e a linha.
Figura 7.3: 1 - carrinho do trilho de ar; 2 - placa de plástico com fios condu-
tores; 3 - linha de alta resistência; 4 - fita termossensível.
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Descrição do trilho de ar e do sistema para centelhar
O trilho de ar é um tubo metálico com a seção reta em forma de cunha,
como mostra a Figura 7.4.
Cunha: instru-
mento de ferro,
cortado em ân-
gulo sólido, e que
serve para rachar
lenha, fender pe-
dras etc.
Figura 7.4: A parte superior da seção reta do trilho de ar, que foi destacada
em branco na figura, tem a forma de cunha.
As placas superiores do trilho de ar têm pequenos furos, de onde sairá
o ar injetado no tubo pela unidade geradora de fluxo de ar.
Para medir as posições do carrinho, o trilho de ar vem equipado com um
acessório do centelhador. Esse acessório é constituído por três fitas metálicas
(condutoras) paralelas ao trilho, conforme indicado na Figura 7.5.
Figura 7.5: 1 - fita condutora fina superior; 2 - fita condutora larga; 3 - fita
condutora fina inferior.
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A unidade geradora de fluxo de ar (mostrada na Figura 7.6) injeta ar
dentro do trilho. Esse ar, ao sair pelos furos do trilho, produz uma camada
de ar de aproximadamente 0,5 mm, que permite que o carrinho flutue, sem
estar em contato direto com o metal.
Figura 7.6: 1 - botão que controla a saída de ar; 2 - botão que liga a unidade
geradora de ar.
O carrinho do trilho de ar é formado por duas placas metálicas que se
encaixam perfeitamente na cunha do trilho (Figura 7.7).
Figura 7.7: 1 - carrinho do trilho de ar; 2 - fios condutores; 3 - pontas do fio
condutor superior.
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O carrinho do trilho de ar vem equipado com o acessório do centelhador,
que é uma placa de plástico com dois fios condutores. Os fios são embutidos
na placa. Todavia, suas pontas estão fora dela, como mostra a Figura 7.7.
O circuito elétrico do centelhador é um circuito aberto composto pelo
centelhador, pela fitametálica mais larga, ligada ao trilho de ar, por uma
das fitas condutoras estreitas, também ligada ao trilho de ar, e por um dos
fios condutores da placa, ligado ao carrinho do trilho de ar. Denominare-
mos caminho elétrico 1 aquele formado pela fita condutora larga, pelo fio
condutor superior da placa do carrinho e pela fita condutora fina superior,
e caminho elétrico 2 , aquele formado pela fita condutora larga, pelo fio
condutor inferior da placa do carrinho e pela fita condutora fina inferior.
O circuito só é fechado quando o centelhador é ligado e o botão de cen-
telhar é pressionado. O esquema desse circuito elétrico foi apresentado na
Figura 7.8. Nela, a fita condutora larga está ligada ao terminal positivo da
fonte e a fita fina superior, ao terminal aterrado.
Terminal ater-
rado da fonte é o
que tem potencial
nulo.
Figura 7.8: Caminho elétrico 1: fita condutora larga, fio condutor superior
da placa do carrinho e fita condutora fina superior.
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O centelhador cria, em intervalos de tempo regulares (períodos), uma
diferença de potencial entre os seus terminais. Uma vez que eles estão co-
nectados às fitas metálicas do trilho de ar, cria-se a mesma diferença de
potencial entre duas dessas fitas. É essa diferença de potencial que torna
o ar condutor, criando centelhas entre as fitas condutoras do trilho ligadas
ao centelhador e as pontas condutoras do fio condutor da placa do carrinho
mais próxima a elas. O que ocorre, então, é que, em intervalos de tempo
regulares, há um centelhamento entre as tiras metálicas do trilho e as pontas
condutoras da placa do carrinho. Como a fita condutora mais larga do trilho
de ar vai ser coberta por uma fita termossensível e a produção da centelha é
acompanhada de produção de calor, a centelha que sai da ponta do condutor
da placa do carrinho próxima à fita condutora mais larga deixará uma marca
na fita termossensível. Dessa forma, podemos registrar a posição do carrinho
nos instantes em que ocorre o centelhamento.
Como o isolamento do ar só é rompido quando o campo elé-
trico que existe no ar é maior do que 3000 V/m, a diferença de
potencial fornecida pelo centelhador é muito alta. Por isso, você
deve manuseá-lo com muito cuidado a fim de evitar choques.
Atividade 1
Atende ao Objetivo 1
Baseado no que você leu nesta aula e na Aula 5, faça a seguinte questão:
O tutor do seu Polo vai mostrar como obter com o centelhador os pontos
associados ao movimento de um carrinho que se desloca sobre o trilho de ar
horizontal. Observe os pontos que foram marcados na fita termossensível,
intua e escreva qual deve ser a classificação do movimento do carrinho do
trilho de ar, quanto à variação da sua velocidade.
Resposta Comentada
Esta atividade não tem resposta, porque ela depende da intuição de cada
aluno. Recomendamos que você utilize as informações teóricas da Cinemá-
tica dos Movimentos Unidimensionais (Aula 5) para resolvê-la.
Atividade 2
Atende ao Objetivo 1
Baseado no que você leu nesta aula e na Aula 5, faça a seguinte questão:
O tutor do seu Polo vai mostrar como obter com o centelhador os pontos
associados ao movimento de um carrinho que se desloca sobre o trilho de
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ar inclinado. Observe os pontos que foram marcados na fita termossensível,
intua e escreva qual deve ser a classificação do movimento do carrinho do
trilho de ar, quanto à variação da sua velocidade.
Resposta Comentada
Esta atividade também não tem resposta, porque depende da intuição de
cada aluno. Recomendamos que você utilize as informações teóricas da Ci-
nemática dos Movimentos Unidimensionais (Aula 5) para resolvê-la.
Experimento 1: Movimento do carrinho sobre
um trilho de ar horizontal
Modelo
Atende ao Objetivo 3
Na Atividade 1, você deve ter notado que as distâncias entre dois pontos con-
secutivos da fita termossensível, obtidos pelo seu tutor, para o movimento do
carrinho sobre o trilho de ar horizontal, parecem iguais. Como os pontos fo-
ram centelhados em intervalos de tempo iguais, existe uma probabilidade alta
de o movimento do carrinho ser retilíneo uniforme. Por isso, você vai fazer
medidas experimentais para verificar se o modelo que descreve o movimento
do carrinho é compatível com o movimento retilíneo uniforme.
No movimento retilíneo uniforme, o gráfico da posição do
corpo em função do tempo é uma reta . Por isso, para verificar se o
modelo escolhido para descrever o movimento do carrinho no trilho horizon-
tal é compatível com os resultados experimentais, você vai colocar o carrinho
sobre o trilho de ar horizontal, obter os pontos associados ao seu movimento
em uma fita termossensível, medir as distâncias desses pontos a uma origem
escolhida e construir o gráfico da posição do carrinho em função do tempo.
Procedimento experimental
Atende ao Objetivo 2
1. Certifique-se de que o centelhador está desligado.
2. A mesa onde se localiza o trilho de ar pode estar desnivelada. Por isso,
é necessário verificar se a base fixa do trilho está nivelada. Coloque o
nível de bolha na base fixa do trilho.
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Se a bolha não estiver no centro do nível de bolha, nivele a base fixa do
trilho utilizando os parafusos do tipo 1 que se encontram em um dos
lados do trilho, como mostra a Figura 7.9.
Figura 7.9: 1 - base fixa do trilho de ar; 2 - parafusos do tipo 1; 3 - base
móvel do trilho de ar; 4 - parafusos do tipo 2; 5 - transferidor.
É necessário colocar o nível de bolha na base móvel do trilho de ar.
Se ela estiver desnivelada, faça o seu nivelamento com o auxílio dos
parafusos do tipo 2 (ver Figura 7.9). É preciso colocar o nível de
bolha nas laterais da base móvel também. Se houver desnível, tente
eliminá-lo ajustando os parafusos do tipo 2, de forma que a diagonal
da seção reta do trilho fique na vertical, como mostra a Figura 7.10.
Figura 7.10: A reta AB da figura deve estar na vertical.
3. Coloque o carrinho sobre o trilho de ar. Cuidado! Não empurre o
carrinho sobre o trilho de ar com a unidade de ar desligada.
Esse procedimento pode arranhar o trilho.
Coloque o botão da unidade geradora de ar no nível mais baixo. Ligue-
-a. Ajuste a vazão da unidade de ar, lentamente, até que o carrinho
flutue sem encostar no metal.
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Não utilize uma vazão muito grande, porque, nesse caso, po-
dem ser criadas turbulências no colchão de ar quando o car-
rinho se deslocar sobre o trilho.
Se o nivelamento do trilho de ar estiver correto, o carrinho se deslo-
cará sobre ele com velocidade baixa. Esse deslocamento ocorre mesmo
quando o trilho está nivelado, porque o fluxo de ar produzido pela uni-
dade de ar cria diferenças de pressão entre os dois lados da placa de
plástico acoplada ao carrinho, gerando uma pequena velocidade.
Se o trilho de ar estiver desnivelado, o carrinho tenderá a ficar ou no
centro do trilho, ou nas laterais dele. Nesse caso, chame o seu tutor
para ajudá-lo a fazer o ajuste fino no nivelamento do trilho.
4. Faça as ligações entre o trilho de ar e o centelhador, com o centelha-
dor desligado.
Cuidado! Você tem que colocar o fio condutor da placa do carrinho
que está próximo às fitas condutoras (acessórios do centelhador) fixas
no trilho, perto das fitas que foram ligadas ao centelhador, como mos-
tra a Figura 7.8, para garantir que as centelhas que serão produzidas
pelo centelhador transitem apenas entre essas fitas e o fio condutor.
As fotos a seguir mostram como você deve posicionar o fio condutor da
placa do carrinho, de acordo com a ligação das fitas ao centelhador.
A Figura 7.11mostra a fita condutora fina mais alta e a fita condutora
larga ligadas ao centelhador.
Figura 7.11: Parte atrás do trilho: 1- fita condutora fina superior; 2 - fita
condutora larga; 3 - fita condutora fina inferior; 4 - conector da fita condutora
fina superior; 5 - conector da fita condutora larga. Painel do centelhador:
6 - terminal aterrado do centelhador; 7 - terminal positivo do centelhador.
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A Figura 7.12 mostra uma foto ampliada dos conectores da fita
condutora fina mais alta e da fita condutora larga ligados aos cabos do
centelhador, representados na Figura 7.11.
Figura 7.12: Parte atrás do trilho: 1 - fita condutora fina superior; 2 - fita
condutora larga; 3 - conector da fita condutora fina superior; 4 - conector da
fita condutora larga; 5 - cabos do centelhador.
Nesse caso, são as pontas do fio condutor superior da placa do carrinho
que devem ficar próximas das fitas condutoras ligadas ao centelhador,
como mostra a Figura 7.13.
Figura 7.13: 1 - ponta superior do fio condutor superior da placa do carrinho;
2 - ponta inferior do fio condutor superior da placa do carrinho; 3 - conector
da fita condutora fina superior; 4 - conector da fita condutora larga.
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A Figura 7.14 mostra a fita condutora fina superior e a fita condutora
larga ligadas ao centelhador.
Figura 7.14: Parte atrás do trilho: 1 - fita condutora fina superior;
2 - fita condutora larga; 3 - fita condutora fina inferior; 4 - conector da fita
condutora larga; 5 - conector da fita condutora fina inferior. Painel do
centelhador: 6 - terminal aterrado do centelhador; 7 - terminal positivo do
centelhador.
A Figura 7.15 mostra uma foto ampliada dos cabos do centelhador
liagados à fita condutora fina superior e à fita condutora larga, repre-
sentados na Figura 7.14.
Figura 7.15: Parte atrás do trilho: 1 - fita condutora fina superior; 2
- fita condutora larga; 3 - fita condutora fina inferior; 4 - conector da fita
condutora larga; 5 - conector da fita condutora fina inferior.
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Nesse caso, são as pontas do fio condutor inferior da placa do carrinho
que devem ficar próximas das fitas condutoras ligadas ao centelhador,
como mostra a Figura 7.16.
Figura 7.16: 1 - conector da fita condutora larga; 2 - conector da fita con-
dutora fina inferior; 3 - ponta superior do fio condutor inferior da placa do
carrinho; 4 - ponta inferior do fio condutor inferior da placa do carrinho.
A regulagem do centelhador permite a escolha do intervalo de tempo
entre duas centelhas sucessivas. Escolha a escala do centelhador com
100 ms.
Figura 7.17: 1 - botão de regulagem do centelhador.
As marcas na fita ocorrerão a intervalos de tempo iguais de 100 ms
(período). Em alguns modelos de centelhador, o ajuste dos intervalos
se dá através da frequência f com que as centelhas ocorrem.
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Nesses modelos, o intervalo entre duas centelhas sucessivas (período) é
de ∆t = 1/f , em que f é a frequência ajustada no centelhador. Nesse
caso, escolha a frequência f = 10 Hz.
5. Utilize os parafusos que estão próximos aos dois amortecedores do trilho
de ar para ajustar a distância entre as pontas do condutor da placa do
carrinho e as fitas condutoras. A Figura 7.18 mostra dois desses
parafusos.
Figura 7.18: A figura mostra dois dos parafusos que ajustam a distância
entre as fitas do trilho e as pontas do condutor do carrinho.
O rompimento do isolamento do ar só ocorre quando o campo elétrico
que existe nele é maior do que 3.000.000 V. O campo elétrico que
existe nas proximidades das pontas do fio condutor da placa do carrinho
diminui quando a distância entre elas e as fitas condutoras do trilho
aumenta. No caso do trilho que existe no seu Polo, a distância máxima
que produz o campo elétrico que rompe o isolamento do ar entre as
pontas dos fios condutores da placa do carrinho e as fitas condutoras
do trilho de ar é da ordem de 0,5 cm.
6. Antes de ligar o centelhador, chame o seu tutor para verificar se as
ligações elétricas estão corretas. Na presença dele, ligue o centelhador,
empurre o carrinho do trilho de ar e aperte sem soltar o botão dispa-
rador, até que o carrinho percorra todo o trilho. Solte o botão. Se as
centelhas estiverem sendo produzidas apenas entre as fitas condutoras
e as pontas do fio condutor da placa do carrinho, desligue o centelhador
e dê prosseguimento ao experimento.
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Cuidado com as ligações elétricas que você vai realizar
no sistema do centelhador. A diferença de potencial criada
pelo centelhador é grande e é preciso atenção nas ligações
para não danificá-lo e, também, para evitar choques.
As pontas dos fios condutores da placa do carrinho não podem
estar muito afastadas das fitas metálicas. Isso pode fazer com
que as centelhas ocorram diretamente entre as fitas do trilho,
ou mesmo dentro do centelhador, o que pode danificar o aparelho.
Além disso, as pontas dos fios condutores da placa
do carrinho não podem encostar nas fitas termossensíveis.
7. Avalie com o seu tutor presencial o tamanho da fita termossensível que
deve ser colocada na fita condutora larga. Coloque a fita termossensível
na fita metálica larga do trilho de ar. O lado da fita termossensível com
borda escura (Figura 7.19) deve ficar voltado para você.
Figura 7.19: 1 - lado da fita termossensível com borda escura; 2 - lado da
fita termossensível com borda clara.
8. Empurre o carrinho do trilho de ar sobre o amortecedor que existe
em uma de suas extremidades (Figura 7.20) e, quando ele inverter o
sentido do seu movimento, aperte o botão do centelhador sem largá-lo
durante o tempo em que o carrinho percorre a região do trilho de ar
onde existe a fita termossensível. Solte o botão do centelhador, antes
de ele colidir com o amortecedor da outra extremidade do trilho.
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Figura 7.20: Amortecedor do trilho.
9. Verifique, durante o processo de centelhamento, se todas as centelhas
ocorreram entre o carrinho e o centelhador. Caso contrário, será ne-
cessário reajustar a distância entre as pontas do fio condutor da placa
do carrinho e as fitas condutoras do trilho de ar e refazer a tomada de
dados. Caso tenha obtido a quantidade suficiente de marcações (pelo
menos 8 pontos), a tomada de dados estará encerrada. Do contrário,
ela deverá ser refeita.
10. Após terminar as medidas, antes de encostar no trilho de ar, verifique
se o centelhador está desligado. Só assim o manuseio do trilho deverá
ser feito.
11. Após finalizar as suas medidas, desligue a unidade de ar e retire o
carrinho do trilho de ar. A permanência prolongada do carrinho sobre
o trilho com a unidade de ar desligada pode deformá-lo.
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Tratamento dos dados
Agora você vai medir as posições dos pontos da fita termossensível
para verificar se os resultados experimentais são compatíveis com o modelo
proposto. Todavia, antes de fazer as medidas, caso você ainda tenha
dúvidas sobre a avaliação das incertezas das medidas diretas, seria
conveniente recordar alguns pontos importantes sobre incertezas
experimentais em medidas diretas e algarismos significativos, na
próxima seção. Caso contrário, você pode ir direto para a seção
"Medindo as coordenadas do carrinho do trilho de ar" .
Medidas diretas e suas incertezas
Você já viu, nas disciplinas de Introdução às Ciências Físicas 1 e 2,
que uma medida vem sempre acompanhada da sua incerteza. É importante
observar que a determinação da incerteza faz parte de uma medida direta.
Em cada caso, é preciso que o experimentador defina a incerteza associada à
medida.
Em geral, a incerteza não depende apenas do seuinstrumento
de medida, mas também dos equipamentos utilizados no experi-
mento e das condições em que este está sendo realizado. Por exem-
plo, se você medir o tamanho de um livro com uma régua milimetrada, sua
incerteza será menor do que se você medir o mesmo tamanho utilizando o
seu palmo como instrumento de medida. Por outro lado, se você medir o
tamanho do carrinho do trilho de ar com ele parado sobre uma mesa, você
terá uma incerteza menor do que se tentar medir o tamanho do carrinho se
este estiver em movimento sobre o trilho de ar, mesmo que você utilize a
mesma régua. Portanto, é fundamental saber que, em cada medida
realizada, é preciso definir a incerteza, tomando cuidado para não
subestimá-la, nem superestimá-la .
O valor medido, com sua incerteza, vai dar um intervalo em que você
tem "certeza" de que a medida se encontra. Em outras palavras, se você re-
petir a mesma medida de uma quantidade x, com uma incerteza δx
diversas vezes, sempre vai encontrar um valor de x dentro da faixa
de valores [x−δx;x+δx]. Outro conceito importante associado à incerteza
de uma medida é o de algarismo significativo. A incerteza indica a partir de
qual algarismo você não tem mais certeza sobre o valor da medida. Sendo
assim, a incerteza será sempre dada com um algarismo significativo.
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MÓDULO 1 - AULA 7
Além disso, você já sabe que o valor de uma medida deve ser escrito
sempre com a quantidade de algarismos significativos compatível com a in-
certeza.
É possível também utilizar dois algarismos significativos,
mas em Física 1A utilizaremos sempre um.
É importante não confundir algarismo significativo com casa decimal.
O primeiro algarismo significativo de um número é o primeiro número dife-
rente de zero, quando percorremos o número da esquerda para a direita.
Não esqueça que, para escrever as medidas com o número de algarismos
significavos corretos, é preciso utilizar as regras de arredondamento de um
número, que podem ser revistas no Complemento 1 do módulo 1 da disciplina
de Introdução às Ciências Físicas 1.
Atividade 3
Atende ao Objetivo 5
Escreva as grandezas a seguir com apenas um algarismo significativo:
1. v = 0,2637 m/s;
2. x = 34,124 m;
3. a = 0,014 m/s2.
Respostas Comentadas
Lembrando que o primeiro algarismo significativo é o primeiro número di-
ferente de zero, quando percorremos o número da esquerda para a direita,
temos que:
1. O primeiro algarismo significativo da grandeza v = 0,2637 m/s é o
número 2, da casa do décimo. Como ele é diferente de 5 e é sucedido
pelo número 6, que é maior do que 5, ele deve ser arredondado para
cima, isto é, para 3. Logo, a grandeza v = 0,2637 m/s, escrita com
apenas um algarismo significativo, é igual a v = 0,3 m/s.
2. O primeiro algarismo significativo da grandeza x = 34,124 m é o número
3, da casa da centena. Como ele é diferente de 5 e é sucedido pelo
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número 4, que é menor do que 5, ele deve ser mantido. Logo, a grandeza
x = 34,124 m, escrita com apenas um algarismo significativo, é igual a
x = 3× 10 m.
3. O primeiro algarismo significativo da grandeza a = 0,014 m/s2 é o nú-
mero 1, da casa do centésimo. Como ele é diferente de 5 e é sucedido
pelo número 4, que é menor do que 5, ele deve ser mantido. Logo a
grandeza a = 0,014 m/s2, escrita com apenas um algarismo significa-
tivo, é igual a a = 0,01 m/s2.
Atividade 4
Atende aos Objetivos 5, 6 e 7
Escreva as grandezas a seguir, compatíveis com as suas respectivas incertezas:
1. v = 0,2637 m/s, δv = 0,003 m/s;
2. x = 34,124 m, δx = 2 m;
3. a = 0,014 m/s2, δa = 0,1 m/s2.
Respostas Comentadas
As grandezas devem ser escritas com o número de algarismos significativos
compatíveis com as incertezas. Por isso, temos que arredondar o número que
representa o valor da grandeza medida, de acordo com a casa do primeiro
algarismo significativo da incerteza.
1. A incerteza é igual a δv = 0,003 m/s. Nesse caso, o algarismo significa-
tivo da incerteza está na casa do milésimo. Logo, temos que arredondar
o algarismo da casa do milésimo da grandeza. Sendo ele igual a 3, e
o algarismo consecutivo igual a 7, que é maior do que 5, ele deve ser
arredondado para cima, isto é, para o valor 4. Logo, a grandeza física
com a sua incerteza se escreve como v = (0,264± 0,003) m/s.
2. A incerteza é δx = 2 m. Nesse caso, o algarismo significativo da incer-
teza está na casa da unidade. Logo, temos que arredondar o algarismo
da casa da unidade da grandeza. Como este é igual a 4, e o algarismo
CEDERJ 240
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
consecutivo é 1, que é menor do que 5, ele deve ser mantido. Logo, a
grandeza física com a sua incerteza se escreve como x = (34± 2) m.
3. A incerteza é δa = 0,1 m/s2. Nesse caso, o algarismo significativo
da incerteza está na casa do décimo. Logo, temos que arredondar
o algarismo da casa do décimo da grandeza. Como este é igual a 0
e o algarismo consecutivo é 1, que é menor do que 5, ele deve ser
mantido. Logo, a grandeza física com a sua incerteza se escreve como
a = (0,0± 0,1) m/s2.
Medindo as coordenadas do carrinho do trilho de ar
Atende aos Objetivos 4, 5, 6, 7 e 8
Inicialmente, você vai fazer as medidas das distâncias dos pontos da fita
termossensível a um ponto da fita que será escolhido como a origem do seu
eixo OX.
Construa uma tabela com as medidas da posição x em função do tempo t.
Não se esqueça das unidades! Desconsidere a incerteza na medida do tempo,
pois tal medida é bem mais precisa do que a da posição. Discuta com o seu
tutor presencial o valor que você determinou para a incerteza na medida da
posição.
t (s) x(t) (cm) δx(t) (cm)
Tabela 7.1: Tabela com os dados da cinemática do carrinho no trilho de ar
horizontal.
241 CEDERJ
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
Construindo o gráfico das coordenadas do carrinho
como função do tempo
Atende ao Objetivo 8
A partir da tabela com as medidas da posição x em função do tempo t,
construa, em papel milimetrado, um gráfico dos valores da posição em função
desse mesmo tempo. Considere a incerteza na medida do intervalo de tempo
entre duas centelhas produzidas pelo centelhador desprezível. Uma vez que
apenas a coordenada do carrinho tem incerteza não desprezível, coloque essa
grandeza no eixo vertical do seu gráfico e deixe o tempo no eixo horizontal.
Utilize as folhas de papel milimetrado que se encontram ao final da aula.
Caso você ainda tenha dúvidas sobre construção de gráficos, leia a
seção sobre esse assunto, a seguir. Caso contrário, vá direto para
a seção denominada "Medindo a velocidade do carrinho" .
Construção de gráficos
Na Física, em muitas ocasiões, utilizamos gráficos para apresentar re-
sultados obtidos experimentalmente. Lembrando que o objetivo da Física é
descrever a natureza, se temos várias medidas diferentes de duas quantida-
des, digamos x e y, e queremos saber como é o comportamento de uma em
função da outra, é muito mais simples visualizar tal comportamento através
de um gráfico do que avaliando cada par [xi; yi] medido individualmente.
Nas práticas de Física 1A e 1B, estaremos, na maior parte dos casos,
interessados em quantidades que se relacionam linearmente. Portanto, tra-
çaremos retas nos gráficos encontrados. Sendo assim, se for observado o
comportamento linear, as retas que melhor se ajustam aos pontos nos darão
informações sobre as características das medidas experimentais.
Se você tem dúvidas sobre a construção de gráficos, leia a se-
ção denominada "Cuidados ao construir gráficos". Caso contrário,
vá direto para a seção "Medindo a velocidade do carrinho" .
Cuidados ao construir gráficos
Os resultados de medidas experimentais são representados em tabelas e
gráficos. Nesta seção, discutiremos a construção de gráficos.Construiremos
um gráfico com os dados representados na Tabela 7.2.
CEDERJ 242
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
t (s) δt (s) x (cm) δx (cm)
0, 1000 0,0001 21, 5 0, 2
0, 2000 0,0001 22, 7 0, 2
0, 3000 0,0001 24, 1 0, 2
0, 4000 0,0001 25, 4 0, 2
0, 5000 0,0001 26, 8 0, 2
0, 6000 0,0001 28, 0 0, 2
0, 7000 0,0001 29, 4 0, 2
0, 8000 0,0001 30, 8 0, 2
0, 9000 0,0001 32, 2 0, 2
Tabela 7.2: Dados experimentais com incertezas.
Use papel milimetrado para fazer o seu gráfico. Os seguintes critérios
devem ser atendidos para que se tenha um bom resultado:
1. o gráfico deve ter um título. No nosso caso, o título é “Distâncias versus
tempo”;
2. deve-se indicar nos eixos as grandezas físicas correspondentes e suas res-
pectivas unidades. Veja, na Figura 7.21, a distância x em centímetros
(cm) e o tempo em segundos (s);
Figura 7.21: Gráfico dos dados experimentais.
243 CEDERJ
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
3. o gráfico deve ter leitura fácil. Portanto, o centímetro do papel não
deve corresponder a valores do tipo 0, 66 ou 1, 43 etc. Para escolher o
valor do centímetro do papel milimetrado, divida a sua faixa de valores
pela faixa de valores do papel milimetrado e escolha um valor maior
ou igual àquele obtido. No nosso exemplo, o eixo dos tempos tem
18 cm e a faixa de valores do tempo é 0, 8 s, por isso o centímetro tem
que ter um valor maior ou igual a 0, 8/18 = (0, 044...) s. O gráfico
cujo centímetro tem o valor 0, 8/18 = (0,044...) s não é de leitura fácil.
Portanto, o valor escolhido para o centímetro foi 0, 05 s. O eixo das
distâncias percorridas x tem 28 cm e a faixa de valores das distâncias
é de 10, 7/28 = (0, 382...) cm. O centímetro desse eixo tem que ter um
valor maior ou igual a (0, 382...). O valor escolhido para o centímetro
foi 0, 5 cm;
4. os eixos devem conter apenas valores que definem as suas escalas. Não
se escrevem nos eixos os valores medidos;
5. não use linhas de chamada, que são aquelas linhas perpendiculares,
utilizadas para localizar os pontos. Elas confundem a leitura dos pontos
interpolados;
6. escolha o eixo e a orientação do papel, de forma que a maior faixa de
valores fique sobre o eixo que coincide com a maior dimensão do papel;
7. os dados devem ocupar a maior parte das escalas, para que seja pos-
sível ler os pontos que não foram medidos (interpolados) com maior
precisão. Não é necessário que a origem do gráfico coincida com o zero
da medida. No nosso gráfico (Figura 7.21), a origem do eixo das
distâncias coincide com o valor 19,0 cm;
8. as faixas de incerteza devem ser marcadas nos pontos (ver Figura 7.21).
Em algumas situações, elas são muito pequenas e não podem ser mar-
cadas no gráfico. Esse é o caso da incerteza no tempo, que não foi
representada no gráfico da Figura 7.21;
9. a melhor reta deve cortar o número máximo de barras de incerteza dos
pontos;
10. o coeficiente angular da reta pode ser estimado escolhendo-se dois pon-
tos sobre a reta traçada. Esses pontos podem ser diferentes dos pontos
obtidos experimentalmente.
CEDERJ 244
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
Medindo a velocidade do carrinho
Se o gráfico que você obteve é uma reta, o movimento do carrinho é
retilíneo uniforme e podemos utilizá-lo para estimar a velocidade do movi-
mento. Esta será o coeficiente angular da reta que você traçou. Podemos,
portanto, obter a velocidade a partir de tal reta. Note que você traçou a
reta que melhor se ajustava, na sua avaliação, a todos os pontos que mediu.
Portanto, a informação contida na reta é mais precisa do que a informação
de dois pontos experimentais quaisquer (esses pontos não precisam pertencer
ao conjunto dos pontos obtidos experimentalmente). Portanto, escolha dois
pontos na reta que você traçou e obtenha, a partir deles, a velocidade do
carrinho:
v =
∆x
∆t
=
x2 − x1
t2 − t1 .
O valor da velocidade obtido experimentalmente precisa, como tal, de
uma incerteza associada a ele. No entanto, esse método artesanal de cons-
trução da reta não permite obter a incerteza na velocidade do carrinho.
Obtendo a velocidade do carrinho com o método dos
mínimos quadrados
A Figura 7.22 representa um conjunto de pontos experimentais e uma
reta que foi traçada na tentativa de ajustá-los.
Figura 7.22: Na figura foram representados os pontos experimentais
(x1, y1, ..., x6, y6) e a melhor reta y(x) = a x+ b.
245 CEDERJ
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
O critério escolhido parte da definição de uma soma denominada χ2.
Essa soma depende da soma dos quadrados das distâncias verticais entre os
pontos experimentais e os pontos da reta escolhida.
χ2 =
N∑
i=1
(y(xi)− yi)2
(δyi)2
,
em que y(xi) é o valor da grandeza obtida utilizando-se a função que define
a reta, yi é a medida experimental associada à medida xi, δyi é a incerteza
da medida experimental associada à medida e N é o número de medidas
experimentais da grandeza y.
A melhor reta é aquela que fornece o menor valor possível para χ2, isto
é, é a reta que a minimiza χ2.
O processo matemático que encontra a reta que minimiza a
função χ2 é denominado método dos mínimos quadrados. Ele for-
nece o coeficiente linear b e o coeficiente angular a da melhor reta
com as suas incertezas δb e δa.
Na disciplina ICF2 você utilizou, sem demonstrar, resultados do mé-
todo dos mínimos quadrados para ajustar pontos experimentais. Continu-
aremos a utilizar, em Física 1A, o método dos mínimos quadrados, porém
sem demonstrá-lo. A demonstração pode ser encontrada no caderno didático
denominado "Tópicos de tratamento de dados experimentais" , disponível no
Portal TECA (http://teca.cecierj.edu.br/).
A qualidade da aproximação dos pontos experimentais por uma reta é
medida pelo valor de χ2. Para um bom ajuste, o valor de χ2 deve se aproximar
de 1. Se ele for muito menor do que 1, isso significa, provavelmente, que as
incertezas δy foram superestimadas. Por outro lado, se você obtiver um valor
de χ2 muito maior do que 1, isso significa, provavelmente, que seu modelo
não descreve os dados obtidos.
Um aplicativo em que o método dos mínimos quadrados foi implemen-
tado numericamente está disponível no seu Polo. Com ele, você pode obter
a velocidade do carrinho com sua incerteza.
CEDERJ 246
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
Relatório
Faça o relatório do seu experimento. O relatório é de formato livre,
todavia, é importante que contenha algumas informações, listadas a seguir:
• Introdução: É importante introduzir o experimento que será feito,
informando qual o objetivo esperado. Em geral, o objetivo será testar
um modelo e/ou medir uma quantidade.
• Modelo: Descreva com cuidado as aproximações utilizadas no modelo
teórico do experimento.
• Procedimento experimental: Descreva de forma resumida o proce-
dimento experimental adotado, informando os equipamentos utilizados
e as medidas feitas.
• Resultados: Após introduzir o experimento e descrever o que foi feito,
é preciso apresentar os resultados de maneira clara. Utilizaremos grá-
ficos e tabelas, quase sempre, para apresentá-los. Aqui é importante
ressaltar que todas as grandezas obtidas experimentalmente têm uma
incerteza associada a elas. E não se esqueça de citar as aproximações
que foram adotadas!
• Conclusão: Por fim, é importante comentar sobre seus resultados, di-
zendo se o modelo é ou não compatível com o seu experimento. Aqui,
mais uma vez, é preciso fazer essa avaliação dentro das incertezas ob-
tidas. No caso de os resultados experimentais não serem compatíveis
com o modelo teórico, cite quais são, provavelmente, as aproximações
desse modelo que você acha que não são verdadeiras no contexto do
seu experimento.
247 CEDERJ
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de arExperimento 2: Movimento do carrinho sobre
o trilho de ar inclinado
Modelo
Atende ao Objetivo 3
Na Atividade 2 você deve ter notado que as distâncias entre dois pontos con-
secutivos da fita termossensível, obtidas pelo seu tutor no caso do movimento
do carrinho sobre o trilho de ar inclinado, não eram iguais. Como os pontos
foram centelhados em intervalos de tempo idênticos, o movimento do carri-
nho não pode ser retilíneo uniforme, isto é, o carrinho está acelerado. Como
o movimento acelerado mais simples é o uniformemente acelerado, você vai
fazer medidas experimentais para verificar se o modelo que descreve o movi-
mento do carrinho é compatível com o movimento uniformemente acelerado.
No movimento retilíneo uniformemente acelerado, o gráfico da velocidade
instantânea do corpo em função do tempo é uma reta. Por isso, para verificar
se o modelo escolhido para descrever o movimento do carrinho no trilho
inclinado é compatível com os resultados experimentais, você vai:
• colocá-lo sobre o trilho de ar inclinado;
• obter os pontos associados ao seu movimento com uma fita termossen-
sível;
• medir as distâncias desses pontos a uma origem escolhida;
• calcular as velocidades do carrinho nesses pontos;
• construir o gráfico da velocidade instantânea do carrinho em função do
tempo.
Em um movimento retilíneo uniformemente acelerado, a velocidade instan-
tânea no instante tn pode ser obtida quando se conhecem as posições nos
instantes tn−1 = tn −∆t e tn+1 = tn + ∆t. Nesse caso, a velocidade em tn é
v(tn) =
x(tn+1)− x(tn−1)
tn+1 − tn =
x(tn+1)− x(tn−1)
2 ∆t
. (7.1)
CEDERJ 248
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
Atividade 5
Atende ao Objetivo 9
Baseado no que você aprendeu na Aula 5, faça a seguinte questão:
Utilize as equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado para
demonstrar a equação 7.1.
Resposta Comentada
No movimento retilíneo uniformemente acelerado com aceleração ~a na direção
do eixo OX, a velocidade no instante tn é igual a:
v(tn) = v0x + ax tn. (7.2)
As posições nos instantes tn−1 e tn+1 são iguais a:
x(tn+1) = x0 + v0x tn+1 +
ax t
2
n+1
2
e (7.3)
x(tn−1) = x0 + v0x tn−1 +
ax t
2
n−1
2
. (7.4)
A diferença entre as coordenadas dos instantes tn−1 e tn+1 é igual a:
x(tn+1)− x(tn−1) = v0x (tn+1 − tn−1) + ax (t
2
n+1 − t2n−1)
2
⇒
x(tn+1)− x(tn−1) = (tn+1 − tn−1)
[
v0x +
ax (tn−1 + tn+1)
2
]
⇒
x(tn+1)− x(tn−1) = (tn+1 − tn−1)
[
v0x + ax
(
tn −∆t+ tn + ∆t
2
)]
⇒
x(tn+1)− x(tn−1) = (tn+1 − tn−1) (v0x + ax tn). (7.5)
249 CEDERJ
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
Como o último termo da equação 7.5 é a velocidade instantânea no instante
tn, temos que:
x(tn+1)− x(tn−1) = (tn+1 − tn−1) vx(tn)⇒
v(tn) =
x(tn+1)− x(tn−1)
tn+1 − tn−1 =
x(tn+1)− x(tn−1)
2 ∆t
.
Material do experimento
Para esta experiência, você utilizará:
1. trilho de ar equipado com amortecedores nas suas extremidades, com
a polia e com as fitas condutoras do centelhador;
2. unidade geradora de fluxo de ar;
3. centelhador;
4. carrinho do trilho equipado com uma placa de plástico (acessório do
centelhador) com fios condutores;
5. linha, fita de papel termossensível, nível de bolha, régua de metal.
A Figura 7.23 mostra o trilho de ar com o amortecedor, a unidade geradora
de fluxo de ar, o centelhador e suas fitas condutoras.
Figura 7.23: 1 - trilho de ar; 2 - amortecedor; 3 - fitas condutoras do cente-
lhador; 4 - unidade geradora de fluxo de ar; 5 - centelhador.
A Figura 7.24 mostra o carrinho do trilho de ar equipado com a placa de
plástico com fios condutores, a fita termossensível, o suporte com discos, a
polia e a linha.
CEDERJ 250
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
Figura 7.24: 1 - carrinho do trilho de ar; 2 - placa de plástico com fios
condutores; 3 - fita termossensível; 4 - linha de alta resistência.
Procedimento experimental
1. Certifique-se de que o centelhador está desligado.
2. Coloque o carrinho sobre o trilho de ar. Cuidado! Não empurre o
carrinho sobre o trilho de ar com a unidade de ar desligada.
Esse procedimento pode deformar e arranhar o trilho.
3. Ligue a unidade de ar e ajuste sua vazão, de forma que o ar seja su-
ficiente para o carrinho flutuar sem encostar no metal. Não utilize
uma vazão muito grande, para evitar turbulências quando o carrinho
se deslocar sobre o trilho. Retire o carrinho do trilho de ar .
4. Coloque o nível de bolha na base fixa do trilho de ar. Se a bolha não
estiver no centro do nível, nivele o trilho com o auxílio dos parafusos do
tipo 1. Utilize os parafusos do tipo 2 (ver Figura 7.25) para colocar,
no transferidor, um ângulo de aproximadamente 2o.
251 CEDERJ
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
Figura 7.25: 1 - parafuso do tipo 1; 2 - parafusos do tipo 2; 3 - base fixa do
trilho; 4 - transferidor; 5 - base móvel do trilho.
A seguir, verifique se a diagonal da seção reta do trilho está na vertical,
como mostra a Figura 7.26.
Figura 7.26: A reta AB da figura deve estar na posição vertical.
Se necessário, utilize os parafusos do tipo 2 para colocar a diagonal AB
na vertical.
5. Faça as ligações entre o trilho de ar e o centelhador, com o centelha-
dor desligado. Essas ligações são iguais àquelas realizadas no
Experimento 1 .
CEDERJ 252
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
Cuidado com as ligações elétricas que você vai realizar
no sistema do centelhador. A diferença de potencial criada
pelo centelhador é grande e é preciso atenção nas ligações
para não danificá-lo e, também, para evitar choques.
As pontas dos fios condutores da placa do carrinho não podem
estar muito afastadas das fitas metálicas. Isso pode fazer com
que as centelhas ocorram diretamente entre as fitas do trilho,
ou mesmo dentro do centelhador, o que pode danificar o aparelho.
Além disso, as pontas dos fios condutores da placa
do carrinho não podem encostar nas fitas termossensíveis.
6. Antes de ligar o centelhador, chame o seu tutor para ele ve-
rificar se as ligações elétricas estão corretas .
Na presença dele, coloque o carrinho na parte mais alta do trilho.
Mantenha-o nessa posição, segurando-o com um objeto isolante (ré-
gua de plástico etc.). Ligue o centelhador e aperte, sem soltar, o seu
botão disparador. Solte o carrinho mantendo o botão disparador aper-
tado até que ele chegue perto do amortecedor da parte mais baixa do
trilho. Se as centelhas estiverem sendo produzidas apenas entre as fitas
e as pontas do fio condutor da placa do carrinho, desligue o cente-
lhador e dê prosseguimento ao experimento.
7. Avalie com o seu tutor presencial o tamanho da fita termossensível que
deve ser colocada na fita condutora larga. Cole a fita termossensível
na fita condutora larga do trilho de ar. O lado da fita termossensível
com borda escura (Figura 7.27) deve ficar voltado para você.
Figura 7.27: 1 - lado da fita termossensível com borda escura; 2 - lado da
fita termossensível com borda clara.
253 CEDERJ
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
8. Recoloque o carrinho na parte mais alta do trilho, mantendo-o nessa
posição e segurando-o com um objeto isolante (régua de plástico etc.).
Ligue o centelhador e aperte sem soltar o seu botão disparador. Solte
o carrinho, mantendo o botão disparador apertado até que ele chegue
perto do amortecedor da parte mais baixa do trilho.
9. Verifique, durante o processo de centelhamento, se todas as centelhas
ocorreram entre o carrinho e o centelhador. Caso contrário, será neces-
sário reajustar as distâncias entre as pontas do fio condutor da placa
do carrinho e as fitas condutoras do trilho de ar, e refazer a tomada de
dados. Caso tenha obtido a quantidade suficiente de marcações (pelo
menos 8 pontos),a tomada de dados estará encerrada.
10. Após terminar as medidas, antes de encostar no trilho de ar, verifique
se o centelhador está desligado. Só assim o manuseio do trilho deve ser
feito.
11. Após finalizar as suas medidas, desligue a unidade de ar e retire o
carrinho do trilho de ar. A permanência prolongada do carrinho
sobre o trilho com a unidade de ar desligada pode deformá-lo.
Tratamento dos dados
Agora você vai fazer medidas das posições dos pontos da fita termos-
sensível e calcular as velocidades do carrinho do trilho de ar para verificar se
os resultados experimentais são compatíveis com o modelo proposto.
Medindo as coordenadas do carrinho do trilho de ar
inclinado
Atende aos Objetivos 4, 5, 6, 7 e 10
Inicialmente, você vai fazer as medidas das distâncias dos pontos da fita
termossensível a outro ponto da mesma fita, que vai ser escolhido como a
origem do seu eixo OX.
Coloque na Tabela 7.3 as medidas da posição x em função do tempo t.
Desconsidere a incerteza na medida do tempo, pois tal medida é bem mais
precisa do que a da posição. Discuta com o seu tutor presencial o valor que
você determinou para a incerteza na medida da posição.
CEDERJ 254
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
t (s) x(t) (cm) δx(t) (cm) vx(t) (cm/s) δvx(t) (cm/s)
Tabela 7.3: Tabela com os dados da cinemática do carrinho no trilho de ar
inclinado.
Calculando as velocidades com suas incertezas
Calcule as velocidades instantâneas do carrinho, através dos dados co-
locados na Tabela 7.3 das medidas da posição x em função do tempo t, e
através da expressão da velocidade instantânea (equação 7.1). Note que não
é possível obter as velocidades nos instantes inicial e final, pois, neles, não
temos informação, respectivamente, sobre x(tn−1) e x(tn+1).
Coloque os seus resultados na Tabela 7.3.
Você precisa calcular as incertezas das velocidades do carrinho. Como
a sua velocidade é uma medida indireta, uma vez que ela foi obtida com uma
expressão que depende de medidas diretas, é necessário fazer a propagação da
incerteza. Caso você tenha dúvidas sobre como calcular incertezas
em medidas diretas, antes de fazer a propagação de erros da veloci-
dade do carrinho, leia a seção "Incertezas nas medidas indiretas".
Caso contrário, vá direto para a Atividade 7.
255 CEDERJ
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
Incertezas nas medidas indiretas
No laboratório, é comum encontrar situações em que o resultado do
experimento é medido indiretamente, em termos de duas ou mais medidas
obtidas diretamente. Por exemplo, o cálculo da velocidade do carrinho que se
desloca sobre o trilho de ar inclinado é uma função das posições do carrinho
em dois instantes diferentes e do intervalo de tempo entre duas centelhas.
Nesse caso, é preciso determinar a incerteza da velocidade vx(tn), medida in-
direta, em função das incertezas das medidas diretas (δx(tn+1) , δx(tn−1) ,∆t).
A incerteza de medidas indiretas é obtida por um método denominado
Propagação de Erros , baseado na aplicação de resultados do cálculo dife-
rencial com diversas variáveis, que você estudará em uma das disciplinas de
Cálculo.
Para ilustrar como os erros se propagam, apresentamos na Figura 7.28
uma representação gráfica esquemática da propagação do erro de uma medida
direta x para uma medida indireta y, tal que y = f(x).
Figura 7.28: Gráfico da propagação de erro de uma medida direta x para
uma medida indireta y.
Nessa ilustração, vemos que uma variação δx1 no valor de x1 resulta numa
variação δy1 no valor de y1.
Quando a incerteza relativa da medida direta
∣∣∣∣δx1x1
∣∣∣∣ é pequena, a incer-
teza na medida indireta δy1 é
δy1 =
∣∣∣∣dy1dx δx
∣∣∣∣ . (7.6)
Quando a medida indireta depende de mais do que uma medida direta,
a expressão 7.6 deve ser generalizada.
CEDERJ 256
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
Essa generalização requer o conceito de derivada parcial, que você
aprenderá posteriormente, nas disciplinas de Cálculo. Todavia, como esse
conceito é intuitivo e fácil de compreender, ele será adiantado aqui.
A derivada parcial de uma função f , com N variáveis xi, em
que i varia de 1 até N , é igual à derivada ordinária da função se
imaginarmos que as variáveis xj, em que j 6= i, são constantes , isto
é,
∂f
∂xi
=
(
df
dxi
)
xj 6=xi=constante
.
O símbolo ∂ (pronunciado "d-romb") foi utilizado na derivada parcial
para diferenciá-la da derivada ordinária. Observe que a derivada parcial
se reduz à ordinária quando a função f é uma função de apenas
uma variável .
Exemplo 7.1
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções em termos das suas va-
riáveis.
1. f(x, y) = a (x+ y);
2. f(x, y) = a (x− y);
3. f(x) = a x, sendo a uma constante (const.);
4. f(x, y) = a x y, sendo a uma constante;
5. f =
x
y
;
6. f = a x2, sendo a uma constante;
7. f(x, y, z) =
x− y
z
;
8. f(x, y, z) = x y z.
Resolução
1. As derivadas parciais da função f(x, y) = a (x+ y) são iguais a:
∂f
∂x
=
(
df
dx
)
y=const.
= a e
∂f
∂y
=
(
df
dy
)
x=const.
= a.
257 CEDERJ
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
2. As derivadas parciais da função f(x, y) = a (x− y) são iguais a:
∂f
∂x
=
(
df
dx
)
y=const.
= a e
∂f
∂y
=
(
df
dy
)
x=const.
= −a.
3. Como a função f(x) = a x, sendo a uma const., tem apenas uma va-
riável, a sua derivada parcial é igual à sua derivada ordinária, isto é,
∂f
∂x
=
df
dx
= a.
4. As derivadas parciais da função f(x, y) = a x y, sendo a uma const.,
são iguais a:
∂f
∂x
=
(
df
dx
)
y=const.
= a y e
∂f
∂y
=
(
df
dy
)
x=const.
= a x.
5. As derivadas parciais da função f =
x
y
são iguais a:
∂f
∂x
=
(
df
dx
)
y=const.
=
1
y
e
∂f
∂y
=
(
df
dy
)
x=const.
= − x
y2
.
6. Como a função f = a x2, sendo a uma constante que tem apenas uma
variável, a sua derivada parcial é igual à sua derivada ordinária, isto é,
∂f
∂x
=
df
dx
= 2 a x.
7. As derivadas parciais da funçãof(x, y, z) =
x− y
z
são iguais a:
∂f
∂x
=
(
df
dx
)
y=const., z=const.
=
1
z
,
∂f
∂y
=
(
df
dy
)
x=const., z=const.
= −1
z
e
∂f
∂z
=
(
df
dz
)
x=const., y=const.
= −x− y
z2
.
8. As derivadas parciais da função f(x, y) = x y z são iguais a:
∂f
∂x
=
(
df
dx
)
y=const., z=const.
= y z,
∂f
∂y
=
(
df
dy
)
x=const., z=const.
= x z e
∂f
∂z
=
(
df
dz
)
x=const., y=const.
= x y.
CEDERJ 258
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
É possível demonstrar que a incerteza na medida indireta f(x1, ..., xN), no
caso em que as incertezas relativas
δxi
xi
, i = 1...N são pequenas, é dada por:
δf =
√√√√ N∑
i=1
(
∂f
∂xi
δxi
)2
. (7.7)
É importante ressaltar que as medidas diretas com incertezas
desprezíveis são tratadas como constantes no cálculo da
incerteza de uma medida indireta.
Exemplo 7.2
Se a grandeza f é uma medida indireta que depende das medidas diretas x,
y e z, calcule as incertezas das seguintes medidas indiretas:
1. f(x, y) = a (x+ y), sendo a uma medida direta constante;
2. f(x, y) = a (x− y), sendo a uma medida direta constante;
3. f(x) = a x, sendo a uma medida direta constante;
4. f(x, y) = a x y, sendo a uma medida direta constante;
5. f(x, y) =
x
y
;
6. f(x) = a x2, sendo a uma medida direta constante;
7. f(x) = sen(x );
8. f(x, y, z) =
x− y
z
;
9. f(x, y, z) = x y z.
Resolução
Para resolver este exemplo, utilizaremos as derivadas parciais calculadas no
Exemplo 7.1 e a equação 7.7.
1. As derivadas parciais da função f(x, y) = a (x+ y) são:
∂f
∂x
=a e
∂f
∂y
= a.
Logo, a incerteza na medida indireta f(x, y) é:
δf =
√
(a δx)2 + (a δy)2 = |a|
√
(δx)2 + (δy)2.
259 CEDERJ
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
2. As derivadas parciais da função f(x, y) = a (x− y) são:
∂f
∂x
= a e
∂f
∂y
= −a.
Logo, a incerteza na medida indireta f(x, y) é:
δf =
√
(a δx)2 + (a δy)2 = |a|
√
(δx)2 + (δy)2.
3. Como a função f(x) = a x, sendo a uma constante, tem apenas uma
variável, a sua derivada parcial é igual à sua derivada ordinária, isto é,
∂f
∂x
=
df
dx
= a.
Logo, a incerteza da medida indireta f(x, y) é
δf =
√
(a δx)2 = |a| δx.
É prática corrente escrever, sempre que possível, as incertezas das me-
didas indiretas em termos das incertezas relativas das medidas diretas.
Neste caso, a incerteza na medida indireta f(x) pode ser reescrita da
seguinte forma:
δf =
√
(a δx)2 = |a| δx = |a x| δx|x| = |f |
δx
|x| .
4. As derivadas parciais da função f(x, y) = a x y, sendo a uma constante,
são:
∂f
∂x
= a y e
∂f
∂y
= a x.
Logo, a incerteza na medida indireta f(x, y) é
δf =
√
(a y δx)2 + (a x δy)2.
A incerteza dessa medida indireta pode ser reescrita em termos das
incertezas relativas das medidas diretas, uma vez que:
δf =
√(
a y x
δx
x
)2
+
(
a x y
δy
y
)2
= |a x y|
√(
δx
x
)2
+
(
δy
y
)2
⇒
δf = |f |
√(
δx
x
)2
+
(
δy
y
)2
.
5. As derivadas parciais da função f =
a x
y
são:
∂f
∂x
=
a
y
e
∂f
∂y
= −a x
y2
;
CEDERJ 260
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
Logo, a incerteza na medida indireta f(x, y) é
δf =
√(
a
1
y
δx
)2
+ (a
x
y2
δy)2.
A incerteza dessa medida indireta pode ser reescrita em termos das
incertezas relativas das medidas diretas, uma vez que:
δf = |a x
y
|
√(
δx
x
)2
+
(
δy
y
)2
⇒
δf = |f |
√(
δx
x
)2
+
(
δy
y
)2
.
6. Como a função f = a x2, sendo a uma constante que tem apenas uma
variável, a sua derivada parcial é igual à sua derivada ordinária, isto é:
∂f
∂x
=
df
dx
= 2 a x.
Logo, a incerteza na medida indireta f(x) é
δf =
√
(2 a x δx)2 = |2 a x| δx = |2 a x2| δx|x| = 2 |f |
δx
|x| .
7. A derivada da medida indireta f(x) = sen(x ) é
df
dx
= −cos(x ).
Logo, a incerteza na medida indireta f(x) é
δf =
√
(cos(x ) δx )2 = |cos(x )| δx .
8. As derivadas parciais da função f =
x− y
z
são:
∂f
∂x
=
1
z
,
∂f
∂y
= −1
z
e
∂f
∂z
= −x− y
z2
.
Logo, a incerteza na medida indireta f(x, y) é
δf =
√(
1
z
δx
)2
+
(
1
z
δy
)2
+
(
x− y
z2
δz
)2
.
9. As derivadas parciais da função f(x, y, z) = x y z são:
∂f
∂x
= y z,
∂f
∂y
= x z e
∂f
∂z
= x y.
261 CEDERJ
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
Logo, a incerteza na medida indireta f(x, y) é
δf =
√
(y z δx)2 + (x z δy)2 + (x y δy)2 ⇒
δf = |x y z|
√(
δx
x
)2
+
(
δy
y
)2
+
(
δz
z
)2
⇒
δf = |f |
√(
δx
x
)2
+
(
δy
y
)2
+
(
δz
z
)2
.
A Tabela 7.4 contém as incertezas das medidas indiretas do Exemplo
7.2.
Função Incerteza
f(x, y) = x± y δf = √(δx)2 + (δy)2
f(x) = a x δf = |f |
∣∣∣∣δxx
∣∣∣∣
f(x, y) = a x y δf = |f |
√(
δx
x
)2
+
(
δy
y
)2
f(x, y) =
x
y
δf = |f |
√(
δx
x
)2
+
(
δy
y
)2
f(x) = sen(x ) δf = |cos(x)| δx
f(x, y) = x−y
z
δf = δf =
√(
1
z
δx
)2
+
(
1
z
δy
)2
+
(
x− y
z2
δz
)2
f(x, y, z) = x y z δf = |f |
√(
δx
x
)2
+
(
δy
y
)2
+
(
δz
z
)2
Tabela 7.4: Tabela de propagação de erros.
Exemplo 7.3
Quando o carrinho do trilho de ar se desloca no trilho de ar horizontal, a sua
velocidade média entre os instantes tn e tn+1 = t+ ∆t é:
vx(tn, tn+1) =
x(tn+1)− x(tn)
∆t
,
sendo ∆t o intervalo de tempo entre duas centelhas consecutivas. Calcule a
incerteza dessa velocidade média. Despreze a incerteza no intervalo de tempo
entre as duas centelhas (∆t ∼= 0).
CEDERJ 262
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
Resolução
A velocidade média é uma função de três medidas diretas x(tn+1), x(tn) e
∆t, cujas incertezas não são correlacionadas. Com a finalidade de facili-
tar o cálculo da incerteza da velocidade média, vamos utilizar as seguintes
denominações:
x = x(tn+1), y = x(tn), a =
1
∆t
e f1 = a (x− y).
Como a incerteza de ∆t é desprezível, temos que procurar na Tabela 7.4 a
incerteza de uma função f1 = a (x− y).
A Tabela 7.4 mostra que:
δf1 = |a|
√
δx2 + δy2 ⇒
δvm(tn, tn+1) =
√
(δx(tn+1))2 + (δx(tn))2
∆t
.
Atividade 6
Atende ao Objetivo 10
Baseado no que você aprendeu na seção "Incertezas nas medidas indiretas",
faça a seguinte questão:
Utilize a Tabela 7.4 para calcular a incerteza na velocidade do carrinho que
se desloca sobre o trilho de ar inclinado. A velocidade do carrinho no instante
tn é igual a
v(tn) =
x(tn+1)− x(tn−1)
2 ∆t
.
Resposta Comentada
A velocidade é uma função de três medidas diretas x(tn+1), x(tn−1) e ∆t, cujas
incertezas não são correlacionadas. Com a finalidade de facilitar o cálculo da
incerteza da velocidade, vamos utilizar as seguintes denominações:
x = x(tn+1), y = x(tn−1), a =
1
2 ∆t
e f1 = a (x− y).
263 CEDERJ
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
Como a incerteza de ∆t é desprezível, temos que procurar na Tabela 7.4 a
incerteza da função f1 = a (x− y), na qual a tem incerteza desprezível.
A Tabela 7.4 mostra que:
δf1 = |a|
√
δx2 + δy2 ⇒
δv(tn) =
√
(δx(tn+1))2 + (δx(tn−1))2
2 ∆t
. (7.8)
Atividade 7
Atende aos Objetivos 4, 5, 6, 7 e 10
Calcule as incertezas nas velocidades do carrinho obtidas experimentalmente
utilizando a expressão da incerteza da velocidade (equação 7.8). Coloque os
seus resultados na Tabela 7.3.
Resposta Comentada
Esta atividade não tem resposta comentada, porque depende dos dados in-
dividuais dos alunos.
Construindo o gráfico da velocidade do carrinho como
função do tempo
Você vai construir agora o gráfico da velocidade do carrinho como fun-
ção do tempo.
A partir da tabela de velocidades que você obteve, construa, em papel
milimetrado, um gráfico dos valores da velocidade em função do instante de
tempo t. Considere a incerteza na medida do intervalo de tempo entre duas
centelhas produzidas pelo centelhador desprezível. Uma vez que apenas a
velocidade do carrinho tem incerteza não desprezível, coloque essa grandeza
no eixo vertical do seu gráfico e deixe o tempo no eixo horizontal.
Medindo a aceleração do carrinho
Se o gráfico que você obteve for uma reta, o movimento do carrinho é
retilíneo uniformememente acelerado e podemos utilizar o gráfico para esti-
mar a aceleração desse movimento. Essa aceleração será o coeficiente angular
da reta que você traçou. Podemos, portanto, obter a aceleração do carrinho
a partir da reta traçada por você. Note que você traçou a reta que melhor
se ajustava, na sua avaliação, a todos os pontos que mediu.
CEDERJ 264
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
Portanto, a informação contida na reta é mais precisa do que a informa-
ção obtida com duas velocidades calculadas em dois instantes consecutivos
quaisquer.
Com base nesses dados, escolha dois pontos na reta que você traçou
e, obtenha, a partir deles, a aceleração do carrinho:
a =
∆vx
∆t
=
vx(t2)− vx(t1)
t2 − t1 .
O valor da aceleração obtido experimentalmente precisa, como tal, de
uma incerteza associada a ele. Esse método artesanal de construção da reta
não permite obter a incerteza na velocidade do carrinho.
Obtendo a aceleração do carrinho com o método dos
mínimosquadrados
Um aplicativo no qual o método dos mínimos quadrados foi implemen-
tado numericamente está disponível no seu Polo. Com ele, você pode obter
a velocidade do carrinho com sua incerteza.
A qualidade da aproximação dos pontos experimentais por uma reta é
medida pelo valor de χ2. Para um bom ajuste, o valor de χ2 deve se aproximar
de 1. Se esse valor for muito menor do que 1, isso significa que, provavelmente,
as incertezas δy foram superestimadas. Por outro lado, se você obtiver um
valor de χ2 muito maior do que 1, isso significa que, provavelmente, seu
modelo não descreve os dados obtidos.
Cálculo da inclinação do trilho de ar
A inclinação do trilho de ar é caracterizada pelo ângulo θ que a base
móvel do trilho faz com a sua base fixa.
A leitura desse ângulo no transferidor do trilho de ar é incerta. Podemos
obter um valor mais preciso desse ângulo medindo as alturas h0 e h1 dos
pontos 0 e 1, escolhidos sobre a régua do trilho de ar, e a distância d entre
eles. As alturas devem ser medidas a partir da base fixa do trilho de ar até
a sua quina, como mostra a Figura 7.29. O ângulo θ pode ser obtido da
seguinte forma:
sen(θ) =
h0 − h1
d
⇒ θ = arsen
(
h0 − h1
d
)
.
265 CEDERJ
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
Figura 7.29: Ângulo de inclinação do trilho de ar.
Atividade 8
Atende aos Objetivos 4, 5, 6, 7 e 11
Baseado no que você aprendeu na seção "Incertezas nas medidas indiretas",
faça as seguintes questões:
1. Calcule a incerteza δu da medida indireta u =
hA − hB
d
.
2. Calcule a incerteza δθ da inclinação do trilho de ar.
3. Calcule a inclinação do trilho de ar com a sua incerteza. Com essa
finalidade, utilize os valores que você obteve para hA ± δhA, hB ± δhB
e d± δd.
Respostas Comentadas
1. Para calcular a incerteza δu da medida indireta u =
hA − hB
d
, vamos
denominar hA = x, hB = y e d = z. Dessa forma, temos que:
u =
x− y
z
.
CEDERJ 266
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
MÓDULO 1 - AULA 7
A expressão da incerteza dessa função está na Tabela 7.4 . Ela é igual
a:
δf =
√(
1
z
δx
)2
+
(
1
z
δy
)2
+
(
x− y
z2
δz
)2
.
Por isso, temos que:
δu =
√(
1
d
δhA
)2
+
(
1
d
δhB
)2
+
(
hA − hB
d2
δd
)2
.
2. A inclinação do trilho pode ser reescrita da seguinte forma:
θ = arsen(u).
Logo, a inclinação do trilho pode ser considerada como uma função
apenas da medida indireta u. Assim, a sua incerteza é dada por:
δθ =
dθ
du
=
1√
1− u2 δu,
sendo u =
hA − hB
d
e δu =
√(
1
d
δhA
)2
+
(
1
d
δhB
)2
+
(
hA − hB
d2
δd
)2
.
3. Este item não vai ser apresentado, porque depende das medidas de cada
aluno.
Resumo
Nesta aula você realizou medidas experimentais para descobrir a cinemática
de um carrinho que se deslocou sobre um trilho de ar horizontal e inclinado.
Comparou os seus resultados experimentais com os resultados teóricos dos
movimentos retilíneo uniforme e uniformemente acelerado. Essa comparação
permitiu a você decidir se as hipóteses iniciais de que o movimento do carri-
nho no trilho de ar horizontal era retilíneo uniforme e no trilho inclinado era
retilíneo uniformemente acelerado eram válidas.
Informações sobre a próxima aula
Na próxima aula você vai aprender a relacionar as grandezas cinemáticas
medidas por dois observadores de referenciais que não giram entre si.
267 CEDERJ
Aula 7 - Estudando a cinemática com o trilho de ar
Referências bibiliográficas
ALMEIDA, Maria Antonieta Teixeira. Introdução às ciências físicas 1. v.
2, 4. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2010.
MARECHAL, Bernard M. Tópicos de tratamento de dados experimentais.
v. 1, 1. ed. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2006.
VUOLO, José Henrique. Fundamentos da Teoria de Erros. São Paulo: Ed-
gard Blücher, 1995.
CEDERJ 268