[Resolvido] Exercício - Estudo da função

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Renato da Silva Viana
Questão
Estudo da função s(x) = −x3 + 2x+ 5.
Resolução
I)
Visto que a função é polinomial, seu domínio é o conjunto dos números reais Ds = R.
Para encontrar a interseção com o eixo y, calcula-se s(0):
s(0) = −(0)3 + 2(0) + 5 = 5
Assim, a interseção com o eixo Oy acontece em y = 5.
Para encontrar as interseções com o eixo x, resolve-se a equação s(x) = 0:
s(x) = −x3 + 2x+ 5 = 0⇒ x3 − 2x− 5 = 0
Tratando-se de uma equação do terceiro grau na forma x3+px+ q = 0, a fórmula de Tartaglia-
Cardano diz respeito a solução:
x =
3
√
−q
2
+
√(q
2
)2
+
(p
3
)3
+
3
√
−q
2
−
√(q
2
)2
+
(p
3
)3
Observando que p = −2 e q = −5, obtém-se:
x =
3
√√√√−−5
2
+
√(
−5
2
)2
+
(
−2
3
)3
+
3
√√√√−−5
2
−
√(
−5
2
)2
+
(
−2
3
)3
≈ 2,09
Logo, a interseção com o eixo Ox acontece em x ≈ 2,09.
II)
Os pontos críticos são aqueles para os quais a derivada é nula ou não está definida. Uma vez
que a função s é polinomial, sua derivada está definida em todo o domínio R. Em vista disso,
resta encontrar os pontos críticos para os quaisca derivada é nula. Igualando a 0 a derivada de
s:
s′(x) = 0
d(−x3 + 2x+ 5)
dx
= 0
−3x2 + 2 = 0
1
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Esta equação fornece os pontos críticos da função. Resolvendo-a para x:
−3x2 + 2 = 0⇒ 3x2 = 2⇒ x = ±
√
2
3
Portanto, os pontos críticos de s são x = −
√
2
3
≈ − 0,82 e x =
√
2
3
≈ 0,82.
III)
As regiões de crescimento possuem pontos cujas derivadas são positivas, isto é, maiores que 0.
Para encontrar tais regiões, faz-se:
s′(x) > 0
−3x2 + 2 > 0
−3
(
x+
√
2
3
)(
x−
√
2
3
)
> 0
O gráfico da função s′(x) é uma parábola com concavidade voltada para baixo que intercepta o
eixo Ox em x = −
√
2
3
e x =
√
2
3
. Por isso, conclui-se que s′(x) é positiva para os pontos entre
as suas raízes:
−
√
2
3
< x <
√
2
3
Logo, essa é a região de crescimento de s.
A região de decrescimento da função é caracterizada por possuir pontos cujas derivadas são
negativas, fato conduz a inequação:
s′(x) < 0
Conforme já se sabe, o gráfico da função s′(x) é uma parábola com concavidade voltada para
baixo que intercepta o eixo Ox em x = −
√
2
3
e x =
√
2
3
. Assim sendo, é negativa quando:
x < −
√
2
3
ou x >
√
2
3
Logo, essas são as regiões de decrescimento de s.
IV)
A segunda derivada de s é:
s′′(x) =
d(−3x2 + 2)
dx
= −6x
2
Renato da Silva Viana
Teste da segunda derivada para os pontos críticos x = −
√
2
3
e x =
√
2
3
:
s′′
(
−
√
2
3
)
= −6
(
−
√
2
3
)
= 6
√
2
3
> 0
s′′
(√
2
3
)
= −6
(√
2
3
)
= −6
√
2
3
< 0
Em suma, s′
(
−
√
2
3
)
= 0 e s′′
(
−
√
2
3
)
> 0, bem como s′
(√
2
3
)
= 0 e s′′
(√
2
3
)
< 0. Dessa
forma, s tem um mínimo local em s
(
−
√
2
3
)
= 5+ 4
√
6
9
≈ 6,09 e um máximo local em s
(√
2
3
)
=
5− 4
√
6
9
≈ 3,91.
V)
Observado que:
lim
x→−∞
s(x) = lim
x→−∞
−x3 + 2x+ 5 =∞
e
lim
x→∞
s(x) = lim
x→∞
−x3 + 2x+ 5 = −∞
A função s não é limitada e, então, não possui máximo ou mínimo absoluto.
Além disso, por ser polinomial, s não possui assíntotas.
VI)
Para determinar os intervalos nos quais a concavidade da função está voltada para cima, busca-
se os valores de x para os quais a segunda derivada é positiva:
s′′(x) > 0
−6x > 0⇒ x < 0
Assim sendo, a concavidade da função é voltada para cima quando x < 0.
Para determinar os intervalos nos quais a concavidade da função está voltada para baixo,
busca-se os valores de x para os quais a segunda derivada é negativa:
s′′(x) < 0
−6x < 0⇒ x > 0
Assim sendo, a concavidade da função é voltada para baixo quando x > 0.
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Renato da Silva Viana
Solucionando a equação s′′(x) = 0 obtém-se os pontos de inflexão da função:
s′′(x) = 0
−6x = 0⇒ x = 0
Por conseguinte, s tem ponto de inflexão em x = 0.
Bons estudos!
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