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Renato da Silva Viana Questão Estudo da função s(x) = −x3 + 2x+ 5. Resolução I) Visto que a função é polinomial, seu domínio é o conjunto dos números reais Ds = R. Para encontrar a interseção com o eixo y, calcula-se s(0): s(0) = −(0)3 + 2(0) + 5 = 5 Assim, a interseção com o eixo Oy acontece em y = 5. Para encontrar as interseções com o eixo x, resolve-se a equação s(x) = 0: s(x) = −x3 + 2x+ 5 = 0⇒ x3 − 2x− 5 = 0 Tratando-se de uma equação do terceiro grau na forma x3+px+ q = 0, a fórmula de Tartaglia- Cardano diz respeito a solução: x = 3 √ −q 2 + √(q 2 )2 + (p 3 )3 + 3 √ −q 2 − √(q 2 )2 + (p 3 )3 Observando que p = −2 e q = −5, obtém-se: x = 3 √√√√−−5 2 + √( −5 2 )2 + ( −2 3 )3 + 3 √√√√−−5 2 − √( −5 2 )2 + ( −2 3 )3 ≈ 2,09 Logo, a interseção com o eixo Ox acontece em x ≈ 2,09. II) Os pontos críticos são aqueles para os quais a derivada é nula ou não está definida. Uma vez que a função s é polinomial, sua derivada está definida em todo o domínio R. Em vista disso, resta encontrar os pontos críticos para os quaisca derivada é nula. Igualando a 0 a derivada de s: s′(x) = 0 d(−x3 + 2x+ 5) dx = 0 −3x2 + 2 = 0 1 Renato da Silva Viana Esta equação fornece os pontos críticos da função. Resolvendo-a para x: −3x2 + 2 = 0⇒ 3x2 = 2⇒ x = ± √ 2 3 Portanto, os pontos críticos de s são x = − √ 2 3 ≈ − 0,82 e x = √ 2 3 ≈ 0,82. III) As regiões de crescimento possuem pontos cujas derivadas são positivas, isto é, maiores que 0. Para encontrar tais regiões, faz-se: s′(x) > 0 −3x2 + 2 > 0 −3 ( x+ √ 2 3 )( x− √ 2 3 ) > 0 O gráfico da função s′(x) é uma parábola com concavidade voltada para baixo que intercepta o eixo Ox em x = − √ 2 3 e x = √ 2 3 . Por isso, conclui-se que s′(x) é positiva para os pontos entre as suas raízes: − √ 2 3 < x < √ 2 3 Logo, essa é a região de crescimento de s. A região de decrescimento da função é caracterizada por possuir pontos cujas derivadas são negativas, fato conduz a inequação: s′(x) < 0 Conforme já se sabe, o gráfico da função s′(x) é uma parábola com concavidade voltada para baixo que intercepta o eixo Ox em x = − √ 2 3 e x = √ 2 3 . Assim sendo, é negativa quando: x < − √ 2 3 ou x > √ 2 3 Logo, essas são as regiões de decrescimento de s. IV) A segunda derivada de s é: s′′(x) = d(−3x2 + 2) dx = −6x 2 Renato da Silva Viana Teste da segunda derivada para os pontos críticos x = − √ 2 3 e x = √ 2 3 : s′′ ( − √ 2 3 ) = −6 ( − √ 2 3 ) = 6 √ 2 3 > 0 s′′ (√ 2 3 ) = −6 (√ 2 3 ) = −6 √ 2 3 < 0 Em suma, s′ ( − √ 2 3 ) = 0 e s′′ ( − √ 2 3 ) > 0, bem como s′ (√ 2 3 ) = 0 e s′′ (√ 2 3 ) < 0. Dessa forma, s tem um mínimo local em s ( − √ 2 3 ) = 5+ 4 √ 6 9 ≈ 6,09 e um máximo local em s (√ 2 3 ) = 5− 4 √ 6 9 ≈ 3,91. V) Observado que: lim x→−∞ s(x) = lim x→−∞ −x3 + 2x+ 5 =∞ e lim x→∞ s(x) = lim x→∞ −x3 + 2x+ 5 = −∞ A função s não é limitada e, então, não possui máximo ou mínimo absoluto. Além disso, por ser polinomial, s não possui assíntotas. VI) Para determinar os intervalos nos quais a concavidade da função está voltada para cima, busca- se os valores de x para os quais a segunda derivada é positiva: s′′(x) > 0 −6x > 0⇒ x < 0 Assim sendo, a concavidade da função é voltada para cima quando x < 0. Para determinar os intervalos nos quais a concavidade da função está voltada para baixo, busca-se os valores de x para os quais a segunda derivada é negativa: s′′(x) < 0 −6x < 0⇒ x > 0 Assim sendo, a concavidade da função é voltada para baixo quando x > 0. 3 Renato da Silva Viana Solucionando a equação s′′(x) = 0 obtém-se os pontos de inflexão da função: s′′(x) = 0 −6x = 0⇒ x = 0 Por conseguinte, s tem ponto de inflexão em x = 0. Bons estudos! 4
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