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Questão 1. Em uma superfície paralela ao chão e sem atrito, um objeto de massa 𝑚 se desloca da esquerda para a direita com velocidade 2𝑣 até colidir com um objeto de massa 2𝑚 que se desloca de baixo para cima, na mesma superfície, com velocidade de 𝑣. Após a colisão, os dois objetos passam a se deslocar juntos. Calcule a energia ∆𝐸 dissipada na colisão. Questão 2. Um projétil de massa 3𝑚 é disparado, sobre o nível do solo, em uma trajetória parabólica que resultaria em um pouso a uma distância 𝑥. No entanto, em seu ponto mais alto, ele explode em dois fragmentos. Imediatamente após a explosão, um dos fragmentos, de massa 2𝑚, tem uma velocidade momentânea igual à zero e, então cai em queda-livre rumo chão. Obtenha a distância 𝐷 em que o outro fragmento, de massa 𝑚, pousa. Questão 3. Encontre uma expressão para o impulso 𝐽 transmitido por uma força dada por 𝐹(𝑡) = 𝐹0𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) durante o intervalo de 𝑡 = 0 a 𝑡 = 𝜋⁄𝑎, sendo 𝐹0 e 𝑎 constantes. Questão 4. O pêndulo balístico mede a velocidade de objetos que se movem rapidamente, como balas. Consiste em um bloco de madeira de massa 𝑀 suspenso por cordas verticais. Uma bala de massa 𝑚 atinge e se enterra no bloco, e o bloco se move até atingir uma altura máxima ℎ. Encontre uma expressão para a velocidade 𝑣 da bala. Questão 5. Uma partícula tem velocidade inicial 𝑣0. Ela colide com uma segunda partícula, de mesma massa, que está inicialmente em repouso. A primeira partícula é desviada por um ângulo 𝜑 e sua velocidade após a colisão é 𝑣. Por sua vez, a segunda partícula passa a se mover numa trajetória que forma um ângulo 𝜃 com a direção inicial da primeira partícula. Obtenha uma expressão para 𝜃 em termos de 𝑣0, 𝑣 e 𝜑. Questão 6. Encontre o centro de massa de uma barra curva em formato semicircular de raio 𝑅 e massa uniforme, ou seja, com densidade linear homogênea. Questão 7. Um homem de massa 𝑚 está em um barco de massa 𝑀. A partir de um estado inicialmente parado, o homem salta para a direita em uma direção exatamente horizontal. Imediatamente após o salto, observa-se que o barco se move para a esquerda com velocidade 𝑣. Quanto trabalho 𝑊 o homem executou? Obs: Em todas as questões use g para a aceleração da gravidade; Conteúdo abordado nas questões: Sistemas de partículas, colisões e Movimento Rotacional. Usar somente fórmulas, teoremas, etc sobre o conteúdo abordado. Renato da Silva Viana RESOLUÇÕES Resolução 1. Após a colisão, os objetos passam a se deslocar com velocidade V e ângulo θ em relação ao eixo esquerda-direita. Em vista disso, as equações da conservação do momento linear #” P = cte. nas direções esquerda-direita, representada pelo eixo x, e baixo-cima, representada pelo eixo y, podem ser escritas, respectivamente, nas formas:{ Pi x = Pf x ⇒ m(2v) = (m+ 2m)(V cos(θ))⇒ 2mv = 3mV cos(θ) Pi y = Pf y ⇒ (2m)v = (m+ 2m)(V sin(θ))⇒ 2mv = 3mV sin(θ) Combinando as equações, faz-se notável que: cos(θ) = sin(θ)⇒ tan(θ) = 1⇒ θ = 45◦ Logo: 2mv = 3mV cos(45◦) 2v = 3V 1√ 2 ⇒ V = 2v √ 2 3 Energia cinética inicial do sistema: Ec i = m(2v)2 2 + (2m)v2 2 = 3mv2 Energia cinética final do sistema: Ec f = (3m)V 2 2 = (3m) 2 ( 2v √ 2 3 )2 = 4 3 mv2 A energia dissipada na colisão pode ser encontrada calculando-se a diferença entre as energias cinéticas inicial e final do sistema de dois corpos: ∆E = Ec i − Ec f = 3mv2 − 4 3 mv2 = 5 3 mv2 X 1 Renato da Silva Viana Resolução 2. A distância D é igual a distância percorrida pelo projétil antes de explodir mais uma parcela percorrida pelo fragmento de massa m. Já que o projétil explodiu no seu ponto mais alto da trajetória, então o caminho percorrido até esse ponto mede a metade do alcance horizontal que o projétil teria se não explodisse. A parcela adicional percorrida pelo fragmento é igual ao produto de sua velocidade horizontal, de imediatamente depois da explosão, pelo intervalo de tempo decorrido entre o momento da explosão e o momento de pouso do fragmento. Considerando que V é a velocidade horizontal do fragmento de massa m imediatamente depois da explosão e que t é o tempo decorrido entre os momentos de explosão e pouso, com base nesse raciocínio, pode-se escrever: D = x 2 + V t (1) No ponto mais alto da trajetória, a velocidade do projétil é horizontal vx, uma vez que a componente vertical da velocidade nesse ponto é nula. Lembrando-se de que o fragmento de massa 2m tem velocidade nula imediatamente depois da explosão, a conservação do momento linear equaciona: Pi = Pf (3m)vx = (2m)0 +mV ⇒ V = 3vx (2) Como a explosão não acelerou o fragmento de massa m verticalmente, então o seu tempo t de queda é igual ao mesmo tempo de subida do projétil, que é a razão entre a velocidade vertical inicial vy do projétil e a aceleração da gravidade g, ou seja: t = vy g (3) Substituindo (2) e (3) em (1): D = x 2 + (3vx) ( vy g ) = x 2 + 3 vxvy g (4) O alcance horizontal x do projétil, caso não houvesse explosão, é igual a velocidade horizontal do projétil vezes o intervalo de tempo decorrido entre o momento do disparo e momento de pouso. Contudo, esse intervalo de tempo é igual ao dobro do tempo de subida. x = (vx) ( 2 vy g ) ⇒ vxvy g = x 2 (5) Substituindo (5) em (4): D = x 2 + 3 (x 2 ) = 2x X 2 Renato da Silva Viana Resolução 3. Dispensada. (Resolvida antes de ser dispensada.) O impulso pode ser obtido pela integral da força com respeito ao tempo: J = ∫ tf ti F (t) dt Para F (t) = F0 sin(at), ti = 0 e tf = π a : J = ∫ π a 0 F0 sin(at) dt = [ −F0 cos(at) a ]π a 0 = 2F0 a X Resolução 4. Pela conservação do momento linear para a colisão da bala no bloco de madeira, em que V é a velocidade escalar do conjunto imediatamente depois da colisão, expressa-se: mv = (m+M)V ⇒ v = m+M m V (1) Depois que a bala atinge o bloco, o conjunto adquire uma energia cinética Ec que é completa- mente convertida em energia potencial Ep quando o conjunto alcança a altura h: Ec = Ep (m+M)V 2 2 = (m+M)gh⇒ V = √ 2gh (2) Substituindo (2) em (1): v = m+M m √ 2gh X Resolução 5. Atribuindo m às massas das partículas e #” V à velocidade da segunda partícula após receber o choque, pela conservação do momento linear: m #”v0 = m #”v +m #” V #”v0 = #”v + #” V ⇒ #”V = #”v0 − #”v 3 Renato da Silva Viana Dados sentidos dos vetores, pode-se escrever: #” V = V (cos(θ), sin(θ)) #”v0 = v0(1, 0) #”v = v(cos(ϕ), sin(ϕ)) Então: V (cos(θ), sin(θ)) = v0(1, 0)− v(cos(ϕ), sin(ϕ)) = (v0 − v cos(ϕ),−v sin(ϕ)) Com efeito: V cos(θ) = v0 − v cos(ϕ) V sin(θ) = −v sin(ϕ) Fazendo-se a segunda equação sobre a primeira: V sin(θ) V cos(θ) = −v sin(ϕ) v0 − v cos(ϕ) tan(θ) = v sin(ϕ) v cos(ϕ)− v0 ⇒ θ = arctan ( v sin(ϕ) v cos(ϕ)− v0 ) Para garantir θ > 0 rad: θ = ∣∣∣∣arctan( v sin(ϕ)v cos(ϕ)− v0 )∣∣∣∣ X ou, similarmente, θ = ∣∣∣∣∣∣arctan sin(ϕ) cos(ϕ)− v0 v ∣∣∣∣∣∣ X Resolução 6. Dispensada. Resolução 7. O barco passa do estado de velocidade nula para o estado de velocidade v. Dessa forma, sua variação de energia cinética é tal que: ∆Ec = Mv2 2 − 0 = Mv 2 2 Conforme o teorema da energia cinética, o trabalho recebido por um corpo é igual a sua variação de energia cinética. Destarte, o trabalho realizado pelo homem sobre o barco é: W = ∆Ec = Mv2 2 X BONS ESTUDOS! 4
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